Quantum Mechanics

1. ΚΥΜΑΤΟΣΥΝΑΡΤΗΣΗ
Εξίσωση Σρέντινγκερ.
Erwin Rudolf Josef Alexander Schrödinger
1887 - 1961
Νόμπελ 1933 μαζί με τον Ντιράκ.
Max Born
1882 - 1970

2. ΠΥΚΝΟΤΗΤΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ
Ρίχνουμε δυο ζάρια και μετράμε το
άθροισμα.
Οι πιθανότητες για κάθε άθροισμα:
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
1
2
3
4
5
6
5
4
3
2
1
Πιθανότητα x 36
Η πιθανότητα να έρθει μεταξύ 5 και 8 είναι:
Η πιθανότητα να έρθει 9 και πάνω:

3. ΠΥΚΝΟΤΗΤΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ
Ρίχνουμε δυο ζάρια και μετράμε το
άθροισμα.
Οι πιθανότητες για κάθε άθροισμα:
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
1
2
3
4
5
6
5
4
3
2
1
Πιθανότητα x 36
Η πιθανότητα να έρθει μεταξύ 5 και 8 είναι:
Η πιθανότητα να έρθει 9 και πάνω:

4. ΠΥΚΝΟΤΗΤΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ
Αν οι τιμές είναι
συνεχείς:
Η πιθανότητα να πάρει το μέγεθος τιμή
μεταξύ x και x+dx είναι:
Ίση δηλαδή με το γραμμοσκιασμένο
εμβαδόν.
Η P(x) είναι η «πυκνότητα πιθανότητας».
Το συνολικό εμβαδόν είναι ίσο με 1. (Γιατί;)

5. ΚΥΜΑΤΟΣΥΝΑΡΤΗΣΗ
Η φύση είναι
πιθανοκρατική.
Ένα σωματίδιο έχει κάποια πιθανότητα να βρίσκεται σε μια
περιοχή.
Η πιθανότητα αυτή περιγράφεται από ένα κύμα. Όπου το κύμα έχει
μεγάλο πλάτος η πιθανότητα είναι μεγάλη και το αντίθετο.
Ο Έρβιν Σρέντινκερ πρότεινε μια
εξίσωση:
Οι λύσεις της Ψ(x) είναι οι «κυματοσυναρτήσεις».
Ο Μάξ Μπορν πρότεινε ένα πιθανοκρατικό φυσικό περιεχόμενο για τις
κυματοσυναρτήσεις.
Συγκεκριμένα πρότεινε το τετράγωνο του μέτρου της κυματοσυνάρτησης να δίνει την
πυκνότητα πιθανότητας. Δηλαδή η πιθανότητα να βρίσκεται το σωματίδιο μεταξύ x και
x+dx είναι:

6. ΚΥΜΑΤΟΣΥΝΑΡΤΗΣΗ
Η πιθανότητα να βρούμε το σωματίδιο σε συγκεκριμένο σημείο είναι μηδέν.
Η πιθανότητα να βρούμε το σωματίδιο σε συγκεκριμένη περιοχή dV περί το σημείο
είναι:
Προφανώς η πιθανότητα να βρίσκεται κάπου στον χώρο είναι 1,
δηλαδή:
Το συνολικό εμβαδόν είναι
1.

7. ΕΝΑ ΕΚΤΟΣ ΥΛΗΣ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ
Μέσα U = 0 οπότε:
Λύση είναι η:
Απαιτώντας να είναι η πιθανότητα να βρίσκεται κάπου
μέσα στο πηγάδι ίση με τη μονάδα βρίσκουμε το Α.

8. ΕΝΑ ΕΚΤΟΣ ΥΛΗΣ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ
Δεν είναι ίδια η πιθανότητα για όλες τις θέσεις!!

9. Η ΚΒΑΝΤΩΣΗ ΤΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ
Οι κυματοσυναρτήσεις – λύσεις έχουν μήκη
κύματος:
Ορμές:
Η ενέργεια είναι μόνο
κινητική:

10. Η ΚΒΑΝΤΩΣΗ ΤΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ
Αποκλείεται να έχει μηδενική
ενέργεια!
Το επιβάλλει και η αρχή της αβεβαιότητας, αφού
περιορίστηκε από μηδέν ως L πρέπει να έχει ορμή.
Όσο μικρότερο το L τόσο μεγαλύτερη η ελάχιστη ενέργεια.
Η κβάντωση ενέργειας προσφέρει ευστάθεια.

11. ΕΝΑ ΚΛΑΣΙΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ
Σε βαθύ πηγάδι πλάτους 1 m έχουμε μια μπάλα 1 kg.
Η ελάχιστη ενέργεια που μπορεί να έχει είναι:
Άνετα τη θεωρούμε μηδενική.
Οι διαφορές των ενεργειακών σταθμών είναι τόσο μικρές που
θεωρούμε ότι η ενέργεια μεταβάλλεται συνεχώς χωρίς τις κβαντικές
ασυνέχειες.

12. ΤΑ ΙΔΙΑ ΜΕ ΑΛΛΑ ΛΟΓΙΑ
Ο κυματοσωματιδιακός δυϊσμός ξαναχτυπά.

13. Το σωματίδιο – κύμα πρέπει να σχηματίσει στάσιμα κύματα:
Γενικά:
Και βγάζουμε τα ίδια!