1. 5.1 Techniques of Amortized Analysis
島崎 清山 @seizans

2. 着想
• 従来：処理単位の計算量を解析
×n
• 処理列の計算量：(各処理の計算量)
• 各処理の計算量を、抑えたい合計計算量 / n で抑える
必要
• ならし解析：処理列の計算量を解析
• 処理列の合計計算量にフォーカス
• 各処理に自由度：重い処理が数回あることを許容可

3. 方法
• Amortized Cost (ならしコスト) という概念を導入
• Actual
Cost (実コスト) に対しての仮想コスト
• ならしコストの設定
• (抑えたい合計計算量) >= (ならしコスト) × n
• (ならしコストの和)
>= (実コストの和)
• 上記のように設定、証明できれば次が示せたことに
• (抑えたい合計計算量) >= (実コストの和)

4. Phisicist’s Method (Potential Method)
• 日本語：ポテンシャル法
• ポテンシャル関数を使ってならしコストを定義する
• ポテンシャル関数
• データの状態→ 実数 という対応を定義する
• 定義例：スタックに積まれたオブジェクト数
• (ならしコスト和) = (実コスト和) + (現ポテンシャル)
• 次のようなポテンシャル関数 p を定義できれば・・・
• p(D0) = 0
• p(Di) >= 0 (any i)
• (ならしコスト和) >= (実コスト和) が示せたことになる

5. 例：スタック(multipopあり)
• multipop：複数個を一度にpopする(最悪計算量は n)
• p(Di)：操作 i 後のスタック上のオブジェクト数と定義
• この定義は p(D0) = 0 と p(Di) >= 0 を満たしている
• ならしコストの計算
• push：2 ( = 実コスト(1) + ポテンシャル差(1) )
• pop：0 ( = 実コスト(1) + ポテンシャル差 (-1) )
• multipop：0 ( = 実コスト(n) + ポテンシャル差 (-n) )
• よってならしコストはどれも O(1)
• よって総ならしコストは O(n)
• よって総実コストは O(n)

6. Banker’s Method (Accounting Method)
• 日本語：出納法
• ポテンシャル法でのポテンシャル差にフォーカス
• 各処理で預金額(=ポテンシャル差)を決める
• (ならしコスト) = (実コスト) + (預金額)
• 預金総額(=ポテンシャル)が常に非負である必要

7. 例：スタック(multipop あり)
• 各処理での預金額を次のように定義
• push：1
• pop：-1
• multipop：-n
• するとならしコストは
• push：2
• pop：0
• multipop：0
• よってならしコストはどれも O(1)
• よって総ならしコストは O(n)
• よって総実コストは O(n)

8. 私見
• Banker’s Method の預金を割り当てるロケーション
• 今のところ考える必要がない
• Banker’s Method で預金と借金との区別
• 両方の和で預金だと考えて問題ない
• のか？