Costruzione macchine vol.2

Elementi di Costruzione di Macchine vol. 2
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7. CUSCINETTI VOLVENTI
I cuscinetti volventi, in base all’angolo che la congiungente i punti di contatto tra i corpi volventi e gli
anelli forma con l’asse, possono essere così suddivisi:
1. Cuscinetti radiali
2. Cuscinetti assiali
3. Cuscinetti obliqui
Poiché i cuscinetti a rotolamento sono organi di massima precisione e delicatezza, si comprende come il
loro perfetto funzionamento sia legato alla scrupolosa osservanza delle norme di montaggio.
La prima regola da rispettare è l’adozione degli accoppiamenti opportuni fra gli anelli interni ed esterni
e le loro sedi. A tal riguardo occorre tenere presente che se un anello deve ruotare rispetto alla direzione
del carico lo si deve montare con un accoppiamento abbastanza serrato per impedire la lenta rotazione
dell’anello rispetto alla sede. D’altro canto si deve ricordare che i forzamenti con interferenza
provocano un aumento del carico sui corpi volventi; perciò quando gli anelli devono essere montati con
interferenza, questa deve essere sempre accuratamente verificata per contenere il sovraccarico indotto
entro limiti tollerabili.
Sempre per evitare sollecitazioni anomale, si deve prestare molta attenzione affinché l’asse dell’albero e
delle sedi coincidano perfettamente con l’asse del cuscinetto. Si dovranno quindi minimizzare sia gli
errori di eccentricità, sia quelli di parallelismo e, qualora tali errori non possano essere adeguatamente
contenuti, si dovrà ricorrere inevitabilmente a cuscinetti di tipo orientabile.
Norme di montaggio
Montaggio dei cuscinetti radiali
Nelle applicazioni dei cuscinetti radiali, siano essi a sfere o a rulli, si deve tener presente che il compito
di bloccare assialmente l’albero dovrà essere affidato ad un solo cuscinetto, mente gli altri devono

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essere scelti e montati in modo da non reagire a spinte assiali; ciò per evitare che rialzi termici,
conseguenti a funzionamento con velocità elevate, diano luogo a carichi insopportabili.
Montaggio dei cuscinetti obliqui
I cuscinetti obliqui possono essere montati in due modi:
1. Montaggio ad O
2. Montaggio ad X
Montaggio a O
In questo caso la registrazione si effettua generalmente sull’anello interno che perciò deve essere
calettato a spinta (h6). Questo tipo di montaggio è generalmente usato per basse frequenza di
rotazione (n < 1000 rpm)
Montaggio a X

3
In questo caso la registrazione si effettua generalmente sull’anello esterno e, poiché è possibile
montare l’interno con un accoppiamento bloccato, questa disposizione è particolarmente indicata per
frequenze di rotazione elevate (n > 1000 rpm)
I due tipi di montaggio si differenziano anche per la diversa rigidezza che conferiscono al supporto. Il
montaggio ad O, allontanando i centri di spinta, conferisce a tutto il supporto una maggiore rigidezza.
E’ da notare inoltre che nel montaggio ad O le dilatazioni assiali dell’albero, conseguenti al
riscaldamento, tendono a diminuire il precarico, al contrario, nel montaggio a X le dilatazioni assiali
dell’albero aumentano il precarico.
Montaggio in coppia dei cuscinetti a sfere a contatto obliquo
In funzione delle esigenze dell’applicazione, i cuscinetti possono venire sistemati in tre modi diversi
come indicato nella figura sotto riportata.
Nella disposizione in tandem il carico è sopportato in eguale misura da ciascun elemento della coppia.
Per quanto riguarda i carichi assiali, i due cuscinetti possono reggere solo quelli diretti in un unico
senso e generalmente devono venire montati in opposizione ad un terzo cuscinetto che sopporta i carichi
in senso opposto.
Nella disposizione ad O le rette di contatto divergono verso l’asse dei cuscinetti. Il carico assiale viene
sopportato in entrambi i sensi però da un solo cuscinetto per volta. La disposizione a O costituisce
un’applicazione relativamente rigida, che può reagire anche a momenti ribaltanti.
Nella disposizione a X le rette di contatto convergono verso l’asse dei cuscinetti. Anche in questo caso
il carico assiale viene sopportato in entrambi i sensi, però da un solo cuscinetto alla volta. Questa
disposizione è meno rigida della disposizione ad O ed è quindi meno adatta a reagire ai momenti di
ribaltamento.
Montaggio dei cuscinetti assiali
I cuscinetti reggispinta vanno montati lasciando all’anello fisso un gioco radiale che ne permetta il
libero spostamento sulla sede piana di appoggio.

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Qualora il cuscinetto assiale possa funzionare, anche per brevi istanti, a velocità elevata e sotto carichi
molto bassi, è conveniente applicare alle sfere, mediante molle, un precarico iniziale in modo da
impedire il reciproco allontanamento degli anelli che potrebbe consentire una parziale caduta della
gabbia.
Quando non si possa fare affidamento su una perfetta quadratura fra i perni d’appoggio e l’albero, è
indispensabile usare cuscinetti assiali orientabili.
In questo caso si ricorre per lo più all’adozione simultanea di un cuscinetto radiale orientabile e di un
reggispinta a sede sferica cercando, se possibile, di prevedere le posizioni relative dei cuscinetti in
modo che essi abbiano lo stesso centro di oscillazione. Necessità di spazio possono però anche imporre
la rinuncia a tale coincidenza.

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Cuscinetti montati su scatole divise in due metà
Quando il cuscinetto è alloggiato entro una scatola divisa a metà non deve assolutamente rimanere
Gioco tra il cappello e il corpo della scatola. In caso contrario una chiusura energica delle viti di unione
potrebbe produrre una ovalizzazione dell’anello esterno, provocando un forte sovraccarico in due zone
diametralmente opposte.
Per evitare questo inconveniente occorre tornire i supporti dopo aver ben lavorato le superficie di
contatto del cappello e del corpo e bloccato le due metà per mezzo di viti di unione.
Alloggiamento realizzato in materiale tenero
Nel caso in cui l’alloggiamento sia ricavato da un getto in materiale tenero (ad esempio alluminio) è
consigliabile, se le sollecitazioni sono elevate, riportare una bussola in ghisa o acciaio in modo da
creare una sede che non sia suscettibile a deformarsi o a guastarsi rapidamente.
Qualora comunque si rinunci all’adozione di una bussola riportata, si deve tener presente che, nel caso
di alloggiamenti in lega leggera, vanno scelti accoppiamenti più stabili che non per le sedi in acciaio e
ghisa, e ciò per realizzare un alloggiamento sufficientemente rigido.

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Trasmissioni lunghe
Nelle trasmissioni lunghe si fissa assialmente il cuscinetto alloggiato in uno dei supporti situati verso
la mezzeria; in quelle di lunghezza limitata si fissa il cuscinetto del supporto più caricato, perché
conviene che i cuscinetti chiamati a permettere scorrimenti longitudinali siano ostacolati in ciò il meno
possibile dal carico da essi portato. I cuscinetti vengono in generale fissati con una bussola conica di
calettamento; si osservi la regola che il cuscinetto deve essere possibilmente orientato in modo che il
senso della filettatura della bussola risulti contrario a quello di rotazione dell’albero.
Raccordi
Il raccordo fra la sede e lo spallamento dovranno avere un raggio minore di quello degli anelli,
altrimenti questi non potrebbero assumere la giusta posizione.
Dato però che più è ampio il raccordo tra albero e spallamento tanto più favorevole risulta la
distribuzione delle tensioni, soprattutto per alberi molto sollecitati, può essere indispensabile preveder
un raccordo più ampio di quello dell’anello interno. In tal caso tra l’anello interno e lo spallamento si
deve sistemare un distanziale che offra all’anello stesso una superficie d’appoggio estesa e che non
interferisca con il raccordo.

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Spallamenti
L’altezza dello spallamento deve rispettare le indicazioni fornite dal costruttore che ne fissano l’altezza
minima e massima.
Se per ragioni speciali si fosse vincolati a ad avere l’altezza dello spallamento sensibilmente inferiore a
quella normalmente richiesta, si può rimediare utilizzando un anello ausiliario in modo da formare uno
spallamento sufficiente.
Sono ammessi anche spallamenti maggiori di quelli normalmente previsti; in questi casi occorre però
prevedere o degli smussi , oppure delle fresature che permettano agli estrattori di agire sulla faccia degli
anelli quando occorra smontarli.
Per i cuscinetti a rulli cilindrici le dimensioni degli spallamenti vanno fissate tenendo conto della
possibilità di sfilare l’albero senza la necessità di smontare l’anello interno.

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Supporti d’estremità
Le figure sotto riportate si riferiscono al bloccaggio di anelli esterni in cuscinetti di estremità.
La soluzione (a) è la più diffusa ed è costituita da un dado filettato che blocca assialmente l’anello
interno. Tra il dado e l’anello è posta una rosetta di lamiera con un dente sul bordo interno che entra in
una apposita scanalatura dell’albero, e, in genere, cinque denti sul bordo esterno, uno dei quali va
ripiegato in corrispondenza di uno dei quattro intagli del dado. In tal modo, effettuato il serraggio, viene
assicurata la posizione del dado.
La soluzione (b) rappresenta un bloccaggio effettuato con dado e controdato.
Quando però si è in presenza di sforzi assiali particolarmente elevati, e nel caso di cuscinetti con foro
maggiore di 70 mm, conviene adottare la soluzione (c) costituita da una piastra assicurata frontalmente
all’estremità dell’albero con tre viti, a loro volta assicurate con un lamierino di sicurezza.
Supporti non d’estremità
Se l’albero non termina in corrispondenza del cuscinetto, ma si prolunga oltre, si può adottare una
soluzione come la (d), oppure se un altro elemento di macchina è montato vicino al cuscinetto si può
bloccarlo con un distanziale (e).
A volte si può bloccare l’anello interno semplicemente con un anello elastico inserito in un’apposita
scanalatura dell’albero, a condizione che questa scanalatura non pregiudichi la resistenza dell’albero
stesso.

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Accoppiamenti
I fattori più importanti da prendere in considerazione al momento della scelta degli accoppiamenti sono
i seguenti:
1. Condizione di rotazione
1.1. Carico rotante
Si ha una situazione di carico rotante quando l’anello ruota e il carico è fermo oppure
quando l’anello è fermo e il carico ruota in modo che, durante un giro, tutti i punti della pista
risultino sollecitati.
Un anello sottoposto a carico rotante, se montato con un accoppiamento libero ruoterà
rispetto alla sede provocando usura delle superficie a contatto. Occorre pertanto prevedere
un accoppiamento forzato il cui grado di interferenza verrà stabilito in base alle condizioni
di funzionamento.
I forti carichi oscillanti, quelli che agiscono ad esempio sugli anelli esterni dei cuscinetti per
bielle, vengono generalmente considerati carichi rotanti.
1.2. Carico fisso
Si ha una situazione di carico fisso quando l’anello del cuscinetto è fermo e lo è pure il
carico, oppure quando l’anello e il carico ruotano alla stessa velocità in modo che
quest’ultimo risulti sempre rivolto verso lo stesso punto della pista.
Un anello di un cuscinetto sottoposto ad un carico fisso normalmente non ruota rispetto alla
sede. A meno che altre ragioni non lo impongano, non è pertanto necessario un
accoppiamento forzato.
Quando la direzione del carico è indeterminata, e specialmente in presenza di carichi di forte entità,
è opportuno prevedere un accoppiamento forzato per entrambi gli anelli.1
2. Entità del carico
Il grado di interferenza fra l’anello e la sua sede deve essere commisurato all’entità del carico:
quanto più elevato è quest’ultimo, tanto maggiore è il forzamento richiesto.
3. Condizioni termiche
Durante il funzionamento, gli anelli dei cuscinetti normalmente raggiungono una temperatura
superiore a quella dei particolari su cui sono montati. Ciò può provocare un allentamento
dell’accoppiamento dell’anello interno sulla sua sede oppure fare in modo che l’anello esterno si
dilati fino ad assorbire il gioco che aveva rispetto all’alloggiamento compromettendo la sua libertà
di movimento in senso assiale. Nella scelta degli accoppiamenti bisogna quindi tener conto dei
gradienti termici.
4. Precisione di marcia
Quando i cuscinetti devono avere un alto grado di precisione di marcia, per ridurre al minimo i
cedimenti elastici e le vibrazioni, occorre evitare accoppiamenti liberi.
1
Qualora il carico non sia particolarmente elevato e/o l’anello esterno deve poter scorrere assialmente,
quest’ultimo può essere montato con un accoppiamento più libero.

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Tab. 7. 1
Tab. 7. 2

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Tolleranze di lavorazione delle sedi
E’ della massima importanza che le
superficie delle sedi siano lavorate con la
massima accuratezza sia per quanto
riguarda la precisione sia per quanto
riguarda la rugosità. Per gli errori di
forma è buona norma, per le applicazioni
di uso corrente, cioè quelle che si
avvalgono della qualità IT5-IT6, stare
entro la metà delle tolleranze prescritte
per i diametri; per qualità più grossolane
conviene invece stare in un campo di
tolleranza non superiore a IT5. La
massima cura deve anche essere posta
nelle lavorazioni delle superficie laterali
di appoggio dei cuscinetti le quali devono
risultare perpendicolari alle rispettive
superficie cilindriche.
Il difetto di perpendicolarità tra le superficie cilindriche e le superficie laterali d’appoggio dovrebbe
stare, nelle applicazioni normali, entro il limite di tolleranza della qualità ISO IT7 riferita al diametro
medio delle battute d’appoggio.
Lubrificazione
E’ invalso l’uso di valutare il prodotto d n
⋅ ( d diametro del foro in mm; n velocità di rotazione in rpm)
per orientarsi se sia meglio adottare la lubrificazione a grasso oppure ad olio.
Per cuscinetti a sfere o a rulli cilindrici con foro fino a 50 mm, si potrà prevedere la lubrificazione con
grasso per valori d n
⋅ uguali o inferiori a 300000÷500000 secondo il grado di precisione con il quale è
stato costruito il cuscinetto. Per cuscinetti con foro più grande, il valore limite diminuisce all’aumentare
del foro, approssimativamente secondo la relazione:
300000 500000
50
d
÷
Per i cuscinetti orientabili a rulli i valori limite sono circa la metà di quelli indicati in precedenza.
Si ribadisce comunque che il controllo del parametro d n
⋅ ha un valore puramente indicativo, dato che
la scelta del tipo di lubrificazione dipende da molti fattori valutabili solo caso per caso.
In genere, quando è possibile, è conveniente prevedere la lubrificazione a grasso, sia perché il
lubrificante può essere meglio trattenuto nei supporti, sia perché si possono adottare dispositivi più
semplici e quindi più economici.
Quando però la velocità di rotazione e la temperatura di esercizio raggiungono valori molto elevati,
oppure quando vi è la necessità di raffreddare il supporto per mezzo di liquido circolante, la
lubrificazione ad olio diventa insostituibile.
Lubrificazione a grasso
Il grasso non deve mai riempire completamente il supporto, altrimenti si generano, nella rotazione, dei
moti vorticosi che producono dannosi rialzi termici.

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Il periodo di tempo durante il quale un cuscinetto funziona regolarmente senza necessità di
rilubrificazione dipende dal tipo dalle dimensioni del cuscinetto stesso, dalla sua velocità e dalla
temperatura di esercizio del grasso.
Gli intervalli di lubrificazione si possono orientativamente stabilire dal diagrammo di seguito proposto
tenendo presente che i dati rilevati sono validi per cuscinetti montati su macchine fisse e in condizioni
normali di carico.
La quantità di grasso occorrente per la lubrificazione è data approssimativamente dalla formula:
0.005
G D B
= ⋅ ⋅
con G quantità di grasso in grammi; D diametro esterno in mm; B larghezza del cuscinetto in mm.
Lubrificazione ad olio
1. Lubrificazione a bagno d’olio
E’ un tipo di lubrificazione adatto solamente per
basse velocità. Le parti del cuscinetto in rotazione
trascinano l’olio, distribuendolo per tutto il
cuscinetto, dopo di che l’olio ricade nel bagno.
Il livello dell’olio, a cuscinetto fermo, deve essere
leggermente al di sotto del centro del corpo
volvente più basso.
Aumentando la velocità, aumenta anche la
temperatura d’esercizio e viene così accelerato
l’invecchiamento dell’olio. Ne consegue la
necessità di cambiarlo di frequente.

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2. Lubrificazione a circolazione d’olio
Il lubrificante, dopo essere passato attraverso il cuscinetto, viene filtrato, eventualmente raffreddato e
poi riportato al cuscinetto. Di solito l’olio viene fatto circolare tramite un’apposita pompa.
2.1. Lubrificazione iniezione d’olio
In caso di elevate velocità di deve provvedere
affinché l’olio giunga in quantità sufficiente
alle varie parti del cuscinetto e possa dissipare
il calore dovuto all’attrito.
Un sistema di lubrificazione particolarmente
efficace è quello ad iniezione d’olio che
consiste nell’iniettare tale lubrificante da un
lato del cuscinetto. La velocità del getto deve
essere tale (> 15 m/s) da permettere che
almeno una parte dell’olio passi attraverso il
vortice d’aria generato dalla rotazione del
cuscinetto.
2.2. Lubrificazione a nebbia d’olio
Il sistema a nebbia d’olio consiste nel fare affluire al cuscinetto, tramite una corrente d’aria,
dell’olio finemente polverizzato. La nebbia d’olio è ottenuta in un apposito nebulizzatore.
L’aria compressa secca, prelevata da un impianto centrale, viene filtrata nel nebulizzatore e la
sua pressione viene regolata tra gli 0.05 e gli 0.1 MPa. La nebbia d’olio viene poi fatta affluire
mediante tubazioni ai diversi cuscinetti da lubrificare. L’aria che affluisce nel supporto serve
anche a raffreddare il cuscinetto ed a creare una leggera sovrappressione che contrasta la
penetrazione delle impurità nell’interno del supporto stesso.

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Protezione dei cuscinetti
I cuscinetti devono essere protetti in modo adeguato per impedire la penetrazione al loro interno di
umidità e sostanze estranee e per evitare la fuoriuscita di lubrificante.
L’efficacia della tenuta può avere un’influenza determinante sulla durata del cuscinetto.
Nella scelta del dispositivo di protezione più adatto per una certa applicazione occorre prendere in
considerazione molti fattori tra cui:
• tipo di lubrificante (olio o grasso);
• velocità periferica in corrispondenza della superficie di tenuta
• il disassamento dell’albero
• lo spazio disponibile
• l’attrito addebitabile alla protezione
• l’aumento di temperatura indotto dalla protezione
• il costo della protezione
Le protezioni usate nelle applicazioni dei cuscinetti volventi sono essenzialmente di due specie:
1. Protezioni non striscianti
Le protezioni non striscianti si basano principalmente sull’effetto di tenuta delle piccole luci e
possono essere disposte radialmente, assialmente oppure in ambedue le direzioni. Le protezioni di
questo tipo risultano particolarmente adatte per funzionare ad alta velocità e a temperature elevate.
La protezione strisciante di forma più semplice , sufficiente per macchine che lavorano in ambienti
asciutti ed esenti da polvere, consiste in una piccola luce radiale tra l’albero e l’alloggiamento (a).
CALCOLO A DURATA DEI CUSCINETTI VOLVENTI
Premessa
Il calcolo di un cuscinetto ha lo scopo di determinare, in funzione dell’entità e del tipo di carico, la
durata presunta del cuscinetto.
La relazione tra la durata Lh (h), la frequenza di rotazione n (rpm), il coefficiente di carico dinamico C
(N) e il carico equivalente P (N) ha la seguente espressione1
:
1
Se il carico agente sul cuscinetto fosse variabile, il carico P da introdurre nella (7.1) deve essere posto pari a:
1
1
n
i i
i
m n
i
i
U P
P
U
=
=
=
∑
∑
dove Pi sono i carichi costanti per Ui giri.

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6
10
60
m
h
C
L
n P
 
=  
⋅  
(7.1)
dove l’esponente m vale:
• 3 per cuscinetti a sfere;
• 10/3 per cuscinetti a rulli.
Se il carico F gravante sul cuscinetto risulta costante in modulo, direzione e verso ed agisce in modo
puramente radiale sui cuscinetti radiali e in modo puramente assiale sui cuscinetti assiali si ha:
P F
=
e tale carico P può essere introdotto direttamente nella (7.1).
In tutti gli altri casi è necessario calcolare il carico dinamico equivalente.
Il carico dinamico equivalente è quel carico ipotetico, costante come intensità, direzione e verso che, se
applicato, avrebbe sulla durata del cuscinetto rotante lo stesso effetto dei carichi agenti in realtà.
Riportiamo di seguito le procedure per il calcolo a durata dei cuscinetti rigidi radiali e dei cuscinetti a
rulli conici sottoposti a carichi costanti
Procedura di calcolo
Il carico equivalente viene calcolato come segue:
r a
P X F Y F
= ⋅ + ⋅
dove:
• Fr carico radiale effettivo (N)
• Fa carico assiale effettivo (N)
• X/Y fattori di amplificazione del carico radiale/assiale
Cuscinetti rigidi a sfere
1. Dal tipo di cuscinetto si ricava il valore di C0, coefficiente di carico statico (tabellato);
2. Si calcola il rapporto 0
a
F C e in base ad esso il valore di e (tabellato);
3. Confrontando a r
F F con e si determinano i valori di X e Y
Cuscinetti a rulli conici
1. In base al tipo di cuscinetto si ricavano il valori di e (tabellato);
2. Confrontando a r
F F con e si determinano i valori di X e Y
Esempio 7.1
Scegliere un cuscinetto rigido a sfere ruotante a 1000 rpm che, sotto l’azione di un carico radiale
costante pari a 5000 N, raggiunga una durata di almeno 20000 ore.
Dalla (7.1) si ricava il coefficiente di carico dinamico C minimo richiesto:
6
6
60
10
53133 N
60 10
m
h
m
h
L n
C
L C P
n P
⋅ ⋅
 
= → > ⋅ ≅
 
⋅  

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Calcolo dei carichi assiali su coppie di cuscinetti obliqui
Vediamo ora come determinare il carico assiale sul singolo elemento di una coppia di cuscinetti obliqui
costituente un supporto.
Conviene considerare gli schemi sotto proposti riferiti rispettivamente al montaggio a O e al montaggio
a X.
Con Fai si è indicato il carico assiale sul cuscinetto i-esimo indotto dal carico radiale Fri.
Tale carico assiale si determina, in base ai coefficienti tabellati ei e Yi, secondo la (7.2).
cuscinetti obliqui a sfere
0.5
cuscinetti a rulli conici
ai i ri
ri
ai
i
F e F
F
F
Y
=
⋅
=
(7.2)
Con Ka si è indicato il carico assiale esterno che si scarica sul supporto.
Indicata con Fa1 la reazione assiale massima indotta dal carico radiale, si distinguono quattro situazioni
di carico:
A. Carico assiale esterno assente
B. Carico assiale Ka concorde con Fa1
C. Carico assiale opposto a Fa1 e tale che ( )
1 2
a a a
K F F
< −
D. Carico assiale opposto a Fa1 e tale che ( )
1 2
a a a
K F F
≥ −
Schematizzazione delle condizioni di carico: Montaggio ad “O”

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Schematizzazione delle condizioni di carico: Montaggio a “X”
Pertanto, indipendentemente dalla modalità di montaggio si riconoscono le seguenti distribuzioni dei
carichi assiali sui singoli elementi costituenti il supporto.
Tipo di carico
A B C D
Cuscinetto 1 1
a
F 1
a
F 1
a
F 2
a a
F K
+
Cuscinetto 2 1
a
F 1
a a
F K
+ 1
a a
F K
− 2
a
F

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Esempio 7.2
Sulla coppia di cuscinetti a rulli conici sotto rappresentati agisce un carico radiale di 35000 N.
Nell’ipotesi che la velocità di rotazione sia pari a 500 rpm, determinare, in prima approssimazione,
la durata in ore dei singoli cuscinetti.
Cuscinetto A1
d = 55 D = 95 X = 0.4 Y = 1.6 C = 95000 N e = 0.37
Cuscinetto B1
d = 35 D = 80 X = 0.4 Y = 1.9 C = 81500 N e = 0.31
Tolleranze consigliate h6/N7 per gli anelli esterni e k6/N7 per quelli interni
Si suppone che il carico radiale di distribuisca uniformante tra i due cuscinetti. Si ha quindi:
17500 N
rA rB
F F
= ≅
I carichi assiali indotti valgono pertanto:
0.5 0.5
5469 N 4605 N
rA rB
aA aB
A B
F F
F F
Y Y
⋅ ⋅
= ≅ = ≅
Dato che il carico assiale esterno è nullo si è nella condizione di carico A. I carichi assiali sui due
cuscinetti risultano pari al massimo carico assiale indotto.
Pertanto, tenuto conto della mutua azione tra i cuscinetti, i carichi radiali e assiali agenti sul
singolo cuscinetto risultano:
Fr (N) Fa (N) Fa/Fr e X Y
Cuscinetto A 17500 5469 0.312 0.37 1 0
Cuscinetto B 17500 5469 0.312 0.31 0.4 1.9
I carichi equivalenti dei due cuscinetti risultano pari a:
17500 N
17390 N
A A rA A aA
B B rB B aB
P X F Y F
P X F Y F
= ⋅ + ⋅ ≅
= ⋅ + ⋅ ≅
Le durate dei due cuscinetti, in prima approssimazione, risultano:
1
I valori dei coefficienti X e Y sono validi se il rapporto tra il carico assiale e quello radiale risulta maggiore del
valore tabellato di e. In caso contrario si ponga X =1 e Y = 0.

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10 3 10 3
6 6
10 3 10 3
6 6
10 10 95000
9372 h
60 60 500 17500
10 10 81500
5742 h
60 60 500 17390
A
hA
A
B
hB
B
C
L
n P
C
L
n P
   
= = ≅
   
⋅ ⋅  
 
   
= = ≅
   
⋅ ⋅  
 
Esempio 7.3
La figura sotto riportata mostra una boccola ferroviaria che collega l’assale ad una ruota di
diametro pari a 1m. Determinare, prima approssimazione, la durata dei cuscinetti nell’ipotesi che il
carico sulla boccola sia pari a 87000 N e che la velocità media del carro sia di 75 km/h.
Caratteristiche dei cuscinetti d = 120 D = 260 C = 440000 N
Su ogni cuscinetto agisce un carico radiale pari a 43500 N che si assume pari al carico dinamico
equivalente.
Noto il diametro della ruota e la velocità del carro, si ricava la velocità di rotazione dell’assale:
75000 1 60
41.6 rad/s 400 rpm
3600 0.5 2
V
n
R
ω
ω
π
⋅
= = = → = ≅
La durata in ore è quindi:
10 3 10 3
6 6
10 10 440000
93000 h
60 60 400 43500
h
C
L
n P
   
= = ≅
   
⋅ ⋅
   

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Esempio 7.4
Con riferimento alla figura sotto riportata si determini, in prima approssimazione, la durata dei
cuscinetti nell’ipotesi che la velocità di rotazione sia di 270 rpm e che la ruota (Φ = 250 mm) sia
assoggettata ad un carico radiale di 8000 N e ad un carico assiale, applicato alla periferia e con
verso indeterminato, pari al 20% del carico radiale stesso.
Caratteristiche dei cuscinetti: d = 30 D = 72 X = 0.4 Y = 1.9 C = 65500 N e = 0.31
Tolleranze consigliate: albero k6 alloggiamento M6
Di seguito viene riportato lo schema di carico

21
I carichi sui cuscinetti risultano:
Carichi esterni
Carichi assiali
indotti Fa (N)
Carico radiale
Fr (N)
Carico assiale
K (N)
Cuscinetto dx 6105 1600 1606
Cuscinetto sx 1895 0 499
Con riferimento ad un montaggio ad “O” ci troviamo nella condizione di carico D (al carico assiale
K orientato verso dx e applicato alla ruota, corrisponde una reazione K orientata verso sx e
applicata al perno) dato che a adx asx
K F F
> − . Pertanto tenuto conto del carico assiale esterno e dei
carichi assiali indotti i cuscinetti risultano caricati come di seguito riportato in tabella:
Le durate in ore sono pari a:
Risultato del calcolo di durata
P (N) C (N) C/P n (rpm) Durata (h)
Cuscinetto dx 6430 65500 10.2 270 142000
Cuscinetto sx 1895 65500 34.5 270 8000000
0
Carichi
Fa/Fr e X Y P
Fr Fa
Cuscinetto dx 6105 2099 0.34 0.31 0.4 1.9 6430
Cuscinetto sx 1895 499 0.26 0.31 1 0 1895

22
Esempio 7.5
La figura rappresenta l’albero di una pompa centrifuga che ruotando a 1450 rpm elabora una
portata d’acqua pari 24 m3
/min con una prevalenza di 90 J/kg.
La coppia di cuscinetti a contatto obliquo sopporta un carico assiale di 7700 N e un carico radiale
di 5900 N; il cuscinetto a rulli cilindrici fronteggia invece un carico radiale di 11000 N.
Determinare, in prima approssimazione, la durata dei cuscinetti.
Tolleranze consigliate:
Coppia di cuscinetti a contatto obliquo: albero j5; alloggiamento J6
Cuscinetto radiale a rulli: albero k5; alloggiamento J7
Caratteristiche dei cuscinetti
A contatto obliquo a sfere accoppiati con disposizione a X
d (mm) D (mm) C (N) e
Fa/Fr ≤ e Fa/Fr > e
X Y X Y
70 150 126000 1.14 1 0.55 0.57 0.93
Radiale a rulli cilindrici
d (mm) D (mm) C (N)
70 150 146000

23
La coppia di cuscinetti obliqui è sottoposta ad un carico equivalente pari a:
7700
1.30 1.14 0.57 0.93 0.57 5900 0.93 7700 10524 N
5900
aobl
obl
robl
F
X Y P
F
= = > → = = → = ⋅ + ⋅ ≅
La durata risulta pari a:
3
6
10
19700 h
60
hobl
C
L
n P
 
= ≅
 
⋅  
Il cuscinetto radiale a rulli è soggetto ad un carico equivalente pari al carico radiale su di esso
insistente (11000 N).
10 3
6
10
63600 h
60
hobl
C
L
n P
 
= ≅
 
⋅  
Esempio 7.6
La figura rappresenta l’albero di una sega circolare ruotante a 6000 rpm con una potenza di 22 kW.
Determinare, in prima approssimazione la durata dei cuscinetti nell’ipotesi che i carichi radiali
massimi sui cuscinetti A e B siano pari rispettivamente a 2100 N e 600 N e che la spinta assiale
sull’albero possa ritenersi pari a 400 N.
Tolleranze consigliate: albero j5; alloggiamento J6

24
Cuscinetto d (mm) D (mm) C (N) Co (N)
A 50 90 27000 19600
B 50 90 27000 19600
Elementi per il calcolo del carico equivalente
Fa/Co e
Fa/Fr ≤ e Fa/Fr > e
X Y X Y
0.025 0.22 1 0 0.56 2
0.04 0.24 1 0 0.56 1.8
0.07 0.27 1 0 0.56 1.6
0.13 0.31 1 0 0.56 1.4
0.25 0.37 1 0 0.56 1.2
0.5 0.44 1 0 0.56 1
Il carico assiale si scarica interamente sul cuscinetto A il cui carico equivalente vale:
0
400
0.002 0.22 0.19 1 0
19600
2100 N
aA aA
rA
A rA
F F
e X Y
C F
P F
= ≅ ⇒ ≅ > = ⇒ = =
= =
Il cuscinetto B è sottoposto al solo carico radiale; il suo carico equivalente vale quindi:
600 N
B rB
P F
= =
Le durate dei cuscinetti valgono:
3 3
6 6
3 3
6 6
10 10 27000
5900 h
60 60 6000 2100
10 10 27000
253000 h
60 60 6000 600
A
hA
A
B
hB
B
C
L
n P
C
L
n P
   
= = ≅
   
⋅ ⋅  
 
   
= = ≅
   
⋅ ⋅  
 

25
Esempio 7.7
La figura sotto riporta tata rappresenta l’albero di una piallatrice sviluppante una potenza di 9 kW e
ruotante a 4500 rpm.
Determinare, in prima approssimazione, la durata dei cuscinetti nell’ipotesi che il carico radiale sul
cuscinetto A sia di 600 N e che il carico radiale sul cuscinetto B sia pari a 1800 N.
Cuscinetto SKF
d
(mm)
D
(mm)
C (N) e
Fa/Fr≤ e Fa/Fr > e
X Y X Y
A 2208 40 80 17300 0.33 1 1.9 0.65 3
B 2208 40 80 17300 0.33 1 1.9 0.65 3
Tolleranze consigliate: albero j5; alloggiamento J6
I carichi assiali sono trascurabili pertanto i carichi dinamici equivalenti coincidono con i rispettivi
carichi radiali.
Si ha quindi
Cuscinetto Fr (N) P (N) n (rpm) Lh (h)
A 600 600 6000 66000
B 1800 1800 6000 2500

26
Esempio 7.8
La figura sotto riportata mostra l’albero che movimenta il cestello di una lavabiancheria.
Si ritengano soddisfatte le seguenti ipotesi:
1. peso proprio di albero e puleggia trascurabili;
2. carico sul cestello schematizzabile come il carico di biancheria secca (bilanciato) più un
carico eccentrico pari a 1/3 del carico della biancheria secca, collocato a metà cestello sul
punto più esterno dello stesso;
3. la lavatrice lavori principalmente alla velocità di rotazione di centrifuga col carico
sbilanciato come sopra indicato (le altre condizioni di esercizio siano trascurabili).
Dati:
Tiro di cinghia T 200 N (diretto verso l’alto)
Massa del cestello Mc 4.5 kg
Massa biancheria secca Mb 5 kg
Velocità di rotazione della centrifuga n 800 rpm
Dimensioni
a 85 mm
b 150 mm
c 235 mm
d 15 mm
D 500 mm
Cuscinetti
Cuscinetto SKF d (mm) D (mm) C (N)
A 6305-2RS 25 62 17500
B 6307-2RS 35 80 25500
Si richiede di stimare, in prima approssimazione, la durata dei cuscinetti.

27
Si distinguono
carichi con direzione fissa T, Pst
carichi rotanti Pdin
Pst tiene conto del peso del cestello e della biancheria secca, pertanto si ha:
( ) 93.2 N
st c b
P g M M
= ⋅ + ≅
Pdin è dovuta alla forza centrifuga corrispondente al carico sbilanciato.
2
1
2924 N
3 2
din b
D
P M ω
= ⋅ ⋅ ≅
Sui cuscinetti agiranno delle reazioni fisse dovute a Pst e T e delle reazioni rotanti dovute a Pdin.
Reazioni fisse Reazioni rotanti
T Pst Tot. Pdin
Cuscinetto A -235 -165 -400 5160
Cuscinetto B +35 +258 +293 8084
Reazioni espresse in newton. Positive se dirette verso l’alto
I carichi gravanti sui cuscinetti si compongono di un carico F1 invariabile in grandezza, direzione e
verso ( 400 N per il cuscinetto A e 293 N per il cuscinetto B) e di un carico rotante F2 costante
(5160 N per il cuscinetto A e 8084 N per il cuscinetto B).
In questo caso i manuali consigliano di determinare il carico medio Fm con la seguente relazione:
( )
1 2
m m
F f F F
= +

28
dove m
f si ricava dal diagramma di seguito riportato
Nel nostro caso avremo
F1 (N) F2 (N) F1/(F1+F2) fm Fm (N)
Cuscinetto A 400 5160 0.072 0.97 5393
Cuscinetto B 293 8084 0.03 0.99 8293
Dato che le componenti assiali sono nulle, il carico medio coincide con il carico dinamico
equivalente.
In prima approssimazione, le durate dei cuscinetti risultano:
3 3
6 6
3 3
6 6
10 10 17500
712 h
60 60 800 5393
10 10 25500
654 h
60 60 800 8084
hA
m
hB
m
C
L
n F
C
L
n F
   
= = ≅
   
⋅ ⋅  
 
   
= = ≅
   
⋅ ⋅  
 
Ipotizzando che una famiglia media esegua quattro lavaggi alla settimana della durata di 1.5 ore di
cui 15 in centrifuga, una durata di 654 ore corrisponde ad una vita del cuscinetto di circa 12 anni.
Bibliografia
AA.VV. Catalogo generale RIV-SKF
AA.VV. Manuale dei cuscinetti RIV-SKF
AA.VV. Le roulement dans ses Montages Pubbl. 00200 FA
Conti G. Cuscinetti a rotolamento vol. 1 e 2 Hoepli

29
8. IL VOLANO
Il momento torcente disponibile all’albero di un
motore non è costante ma varia, lungo il ciclo, in
conseguenza della variazione di pressione
all’interno del cilindro, dell’angolo di manovella
e delle forze di inerzia associate agli organi in
movimento.
La prima delle figure a fianco rappresentate
mostra l’andamento del momento torcente M in
funzione dell’angolo di manovella θ. L’area
sottesa dalla curva rappresenta il lavoro motore
sviluppato in un ciclo. Se il momento resistente è
costante (ipotesi semplificativa, ma realistica)
questo è rappresentato dal segmento AE che
definisce pure il valore del Momento Motore
Medio.
Tra i punti A e B la coppia motrice è eccedente
rispetto a quella resistente e il sistema accelera.
Tra i punti B e C il momento motore è inferiore a
quello resistente, perciò tutto il sistema è
assoggettato ad una decelerazione. Estendendo
queste considerazioni a tutto il ciclo si conclude
che:
nei tratti AB e CD il sistema accelera
nei tratti BC e DE il sistema decelera
Nei punti A, B, C, D, E, luogo di intersezione
delle due curve del momento motore e del
momento resistente, la coppia motrice uguaglia il
momento resistente e il sistema è soggetto ad
una accelerazione nulla. Si può perciò affermare
che nei punti sopra considerati la velocità del
sistema raggiunge dei massimi o dei minimi
relativi1
1
Sia f(x) una funzione continua e derivabile in un intorno H del punto x0. Indicata con f’(x) la derivata
prima della funzione, se nell’intorno H risulta:
0
'
0
0
0
( ) 0
0
per x x
f x per x x
per x x



= =



0
'
0
0
0
( ) 0
0
per x x
f x per x x
per x x



= =



x0 è un punto di minimo relativo per la funzione x0 è un punto di massimo relativo per la funzione
Tenuto presente che l’accelerazione angolare α rappresenta la derivata prima della velocità angolare ω, è facile
vedere che i punti B e D sono punti di massimo relativo per l’espressione della velocità angolare, mentre i punti A,
C, E rappresentano dei minimi relativi

30
Il lavoro di fluttuazione
Da A a B, come già detto, il sistema accelera, ovvero indicata con ωA la velocità nel punto A, in B si
raggiungerà una velocità ωB maggiore. Il lavoro motore eccedente lungo il tratto AB (La) è stato speso
per accelerare il sistema, e incrementarne, di conseguenza, l’energia cinetica. Applicando infatti la
legge della conservazione dell’energia, indicato con J il momento di inerzia delle masse rotanti ridotte
al medesimo asse, si ha:
( )
2 2
1
2
a B A
L J ω ω
= ⋅ − (8.1)
Estendendo le stesse considerazione ai tratti BC, CD, e DE del ciclo si ha:
( )
( )
( )
2 2
2 2
2 2
1
2
1
2
1
2
b B C
c D C
d D E
L J
L J
L J
ω ω
ω ω
ω ω
= ⋅ −
= ⋅ −
= ⋅ −
Poiché l’area corrispondente a La è sicuramente maggiore delle rimanenti, anche l’incremento di
velocità che si ha nel tratto AB è certamente superiore a quello registrato nei restanti. Il problema è ora
quello di valutare se tale incremento di velocità può essere giudicato accettabile.
Compito del progettista è appunto quello di aumentare, quando necessario, il momento di inerzia della
trasmissione J, aggiungendo eventualmente una massa volanica, in modo da mantenere l’incremento di
velocità entro limiti tollerabili
( )
2 2
2 a
A B
L
J
ω ω
⋅
=
−
(8.2)
La è, come già detto, la più grande, in valore assoluto, fra le fluttuazioni presenti nel ciclo e viene
semplicemente denominata lavoro di fluttuazione. In seguito pertanto, quando si parlerà di lavoro di
fluttuazione si intenderà sempre la più grande, in valore assoluto, fra le fluttuazioni presenti nel ciclo.
Determinazione del momento di inerzia del volano
La relazione (8.2) sarebbe già di per sé risolutiva, tuttavia il lavoro di fluttuazione La e la differenza
dei quadrati delle velocità sono due grandezze non facilmente determinabili in fase di progetto.
Giova allora introdurre due parametri adimensionali: il grado di irregolarità e il coefficiente di
fluttuazione.
Grado di irregolarità δ
Il grado di irregolarità è definito come il rapporto tra la variazione di velocità ∆ω corrispondente
al lavoro di fluttuazione La e la velocità media di regime ωm
B A
m m
ω ω
ω
δ
ω ω
−
∆
≡ = (8.3)

31
Coefficiente di fluttuazione β
Il coefficiente di fluttuazione è definito come il rapporto tra il lavoro di fluttuazione La e il lavoro
intero del ciclo E
L
E
β ≡ (8.4)
Confrontando la (8.4) con la (8.2) si ricava:
( ) ( ) ( )
2 2
2 2
B A B A B A
J J
E E
ω ω ω ω ω ω
β
⋅ − ⋅ + ⋅ −
= =
Dividendo e moltiplicando per ωm , tenuto presente che, per un limitato valore dello scarto di velocità,
si può ritenere
2
B A
m
ω ω
ω
+
= si ottiene:
( ) 2
2
B A
m m
B A
m
J
J
E E
ω ω
ω ω δ
ω ω
β
ω
− ⋅ ⋅
+
= ⋅ ⋅ ⋅ =
da cui:
2 2
m m
L E
J
β
ω δ ω δ
⋅
= =
⋅ ⋅
(8.5)
La (8.5) permette di determinare il momento di inerzia complessivo della trasmissione atto a realizzare,
in corrispondenza di un coefficiente di fluttuazione β, il prestabilito grado di irregolarità δ alla velocità
di regime ωm
Si possono presentare due casi:
1) il valore di J ricavato dalla (8.5) è minore del momento di inerzia complessivo
attuale della trasmissione J0. In questo caso non occorre aggiungere masse
supplementari, dato che gli stessi organi della macchina sono in grado di rendere la
trasmissione uniforme entro i limiti stabiliti dal valore di δ
2) il valore di J ricavato dalla (8.5) è superiore al momento di inerzia complessivo
attuale della trasmissione J0. In questo caso occorre aggiungere una massa volanica
supplementare che con il suo momento di inerzia sia in grado di ridurre la
variazione di velocità entro i limiti definiti dal valore di δ
Indicato con J il momento di inerzia calcolato con la (8.5) e con J0 il momento di inerzia della
trasmissione, il momento di inerzia del volano JV vale21
:
0
V
J J J
= − (8.6)
La (8.5) si trova spesso espressa in forma diversa, dato che sovente non viene assegnata l’energia del
ciclo, bensì la potenza del motore.
6
3
5.5 10
N
J
n
β
δ
⋅
≅ ⋅ ⋅
⋅
(8.7)
dove
N potenza espressa in kW; n velocità di rotazione in giri/min
2
In pratica, il momento di inerzia della trasmissione viene trascurato, cosicché il momento di inerzia del
volano risulta definito direttamente dalla (8.5) ponendo V
J J
=

32
Si riportano di seguito i valori dei coefficienti β e δ tabellati rispettivamente in funzione del tipo di
motore e della sua utilizzazione.
Tab. 8. 1
Coefficienti di fluttuazione β
Tipo di Macchina
Motore a:
Numero di cilindri
1 2 3 4 6 8
Carburazione a2 tempi 0.80÷1.00 0.15÷0.25 0.08÷0.10 0.04÷0.05 ─ −
Carburazione a 4 tempi 1.40÷2.00 0.50÷0.70 0.25÷0.35 0.12÷0.20 0.060÷0.09
0
0.030÷0.050
Iniezione a 2 tempi 1.25÷1.35 0.55÷0.65 0.22÷0.28 0.10÷0.12 0.02÷0.03 0.013÷0.016
Iniezione a 4 tempi 3.20÷3.60 1.30÷1.80 0.80÷1.90 0.20÷0.30 0.100÷0.15
0
0.090÷0.110
Vapore 0.15÷0.17 0.06÷0.08 0.02÷0.04 ─ ─ ─
Tab. 8. 2
Gradi di irregolarità δ consigliati in funzione dell’utilizzazione
Utilizzazione δ
Motori per autotrazione (a minima velocità) 0.07÷0.10
Motori lenti a iniezione (a minima velocità) 0.03÷0.07
Propulsori navali 0.04÷0.06
Pompe alternative 0.03÷0.04
Telai macchine per la carta 0.02÷0.027
Trasmissioni d’officina 0.02÷0.03
Mulini 0.018÷0.022
Dinamo per illuminazione 0.006÷0.011
Alternatori trifase 0.0025

33
Dimensionamento del volano
La forma geometrica dei volani dipende dalle applicazioni a cui sono destinati e dalle dimensioni di
ingombro. Si distinguono:
volani a disco pieno;
volani a corona circolare.
Volani a disco pieno
Nei volani a disco pieno, adottati nelle costruzioni automobilistiche, le dimensioni sono imposte dalle
esigenze della frizione; il volano deve avere dimensioni tali da rendere possibile l’utilizzo di dischi di
frizione di diametro adeguato.

34
Il momento di inerzia J di un disco pieno, indicato con r il raggio del disco e con m la sua massa e con
ρ la densità del materiale1
, vale :
2 4
1 1
2 2
J m r r b
π ρ
= ⋅ = ⋅ ⋅ (8.8)
Volani a corona circolare
Nei volani a corona circolare si trascurano di solito i contributi al momento di inerzia dati dalle razze e
dal mozzo. Il momento di inerzia di una corona circolare, nell’ipotesi che l’estensione radiale della
corona stessa (a) sia trascurabile rispetto al suo raggio medio (rm), vale:
2 3
2
m m
J m r a b r
π ρ
= ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ (8.9)
Verifica a forza centrifuga
Soprattutto i volani a corona circolare possono essere verificati all’azione delle forze centrifughe.
Considerando la massa del volano distribuita uniformemente lungo la circonferenza media, la tensione
indotta dalle azioni centrifughe risulta pari a:
2
1000
c amm
v
ρ
σ σ
⋅
= ≤ (8.10)
dove, al solito, ρ è la densità del materiale in kg/dm3
e v è la velocità periferica, misurata in
corrispondenza del diametro medio, espressa in m/s.
Infatti
2
2 2
2
0
2 cos 2
m C C m
m m
v v
dm a b r d dF dm F a b r d a b v
r r
π
ρ ϕ ρ ϕ ϕ ρ
= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅
∫
La forza centrifuga genera su due sezioni di corona diametralmente una tensione di
trazione pari a:
2
2
C
c
F
v
a b
σ ρ
= =
⋅
da cui si ricava, tenuto conto delle unità di misura, la (8.10).
Nel caso volani in ghisa, in cui si prevede una tensione ammissibile a trazione intorno ai 12 MPa, la
(8.10) impone di non superare una velocità periferica intorno ai 40 m/s. Nel caso di volani in acciaio,
invece, non si superano, di norma, i 70 m/s.
1
I volani sono in genere realizzati in acciaio o in ghisa. La densità dell’acciaio vale circa 7.8 kg/dm3
, mentre la
densità della ghisa vale circa 7.2 kg/dm3

35
Schema di calcolo
1. Assegnate le caratteristiche del motore e dell’utilizzatore si determinano il coefficiente di
fluttuazione φ e il grado di irregolarità massimo consentito δ;
2. dalla (8.7) si determina il momento di inerzia del volano;
3. a secondo se si è scelto la tipologia a disco pieno o a corona si esegue il proporzionamento, a
tentativi, del volano secondo rispettivamente la (8.8) o la (8.9) verificando anche la (8.10).
Appendice
Calcolo del momento di inerzia di una corona circolare e di un disco pieno rispetto all’asse rotazione
baricentrico con traccia O.
Corona circolare
2
2 2
0
2
2
2
0
2
2
m m m
m
m
m
m
m
J dm r r d r
r
m r
d m r
π
π
ϕ
π
ϕ
π
≡ ⋅ = ⋅ ⋅
⋅
= = ⋅
∫ ∫
∫
Disco pieno
2
3
2
0 0
4 2
2
2
4 2
R
m
m
J dm r r dr d
R
m R m R
J
R
π
ϕ
π
π
π
= ⋅ =
⋅
⋅
= ⋅ =
⋅
∫ ∫ ∫

36
Esempio 8.1
Un motore Diesel marino a 4 tempi, 4 cilindri sviluppa una potenza di 370 kW al regime di 900 giri al
minuto. Determinare la massa e le dimensioni della sezione della corona del volano.
Il grado di irregolarità δ può essere posto, in prima approssimazione, pari a 0.05 (Tab. 8.2)
Il coefficiente di fluttuazione β, determinato in base al tipo di motore (Tab. 8.1), può essere posto
pari a 0.25.
Dalla (8.7) si ottiene immediatamente il valore del momento di inerzia JV della massa volanica
6 6 2
3 3
0.25 370
5.5 10 5.5 10 14 kgm
0.05 900
V
N
J
n
β
δ
⋅ ⋅
= ⋅ = ⋅ ⋅ =
⋅ ⋅
In un volano a razze si è soliti ritenere che la corona assuma un momento di inerzia JC pari a circa
il 90% del totale. Con i dati del problema si ha pertanto:
2
0.9 12.6 kgm
C V
J J
= ⋅ =
La massa della corona mC, indicato con Rm il suo raggio medio, si determina con la (8.9):
2
C C m
J m R
= ⋅
La precedente relazione presenta tuttavia due incognite poiché anche il raggio medio della corona
deve essere ancora definito.
Il raggio medio, ipotizzando di realizzare un volano in ghisa, può essere determinato imponendo
una velocità periferica della corona inferiore ai 40 m/s.
Posta una velocità periferica vC di 38 m/s, il raggio medio della corona risulta:
38 60
403 mm
2 900
C
m
v
R
ω π
⋅
= = =
⋅
Sostituendo il valore di Rm, trovato in precedenza, nella (8.9) si
ricava la massa della corona:
2
78 kg
C
C
m
J
m
R
= =
Indicata con A la sezione trasversale della corona, posto ρ = 7.25 kg/dm3
, si ha:
2
2 4249 mm
C m
m A r A
ρ π
= ⋅ → ≅
Fissato un rapporto ξ = 2 ,tra lo spessore della corona b e la sua estensione radiale a, si ottiene:
46 mm 92 mm
A
a b
ξ
= ≅ ≅

37
Esempio 8.2
Un generatore elettrico e un motore elettrico sono collegati tramite un volano calettato su di un albero
comune. Il generatore assorbe 750 kW durante un periodo t1 di 10 s e 60 kW durante gli altri 15 s, dopo
di che il ciclo si ripete. Il motore è tale che la potenza sviluppata si mantiene rigorosamente costante. Le
velocità minima e massima dell'albero siano rispettivamente 400 e 500 giri/min.
Calcolare:
1. la massa del volano sapendo che ha un raggio giratorio ρ di 1.2 m;
2. le espressioni della frequenza di rotazione nel periodo;
3. la decelerazione massima nel periodo.
Il ciclo ha un periodo totale T pari a:
1 2 10 15 25
T t t s
= + = + =
Nel ciclo, il lavoro resistente deve essere pari al lavoro motore:
1 1 2 2
336
r m
r r m
m
L L
P t P t P T
P kW
=
+ =
≅
Nel ciclo sono presenti due fluttuazioni di pari entità. Nel periodo t1 il lavoro resistente eccederà il
lavoro motore. Tale eccedenza risulta:
1 1 1 1 1 4140
E r m
L P t P t kJ
= − =
Nel periodo t2 il lavoro motore eccederà il lavoro resistente. Tale eccedenza risulta:
2 1 2 2 2 2 4140
E m r
L P t P t kJ
= − − =
Nel periodo t1 (il lavoro motore è inferiore al lavoro resistente) il sistema subisce una
decelerazione e la frequenza di rotazione si porterà da 600 a 400 giri/min; nel periodo t2 (il lavoro
motore è superiore al lavoro resistente) il sistema subisce una accelerazione e la frequenza di
rotazione si porterà da 400 a 600 giri/min.

38
Dobbiamo ora determinare la massa del volano in grado di garantire che la frequenza di rotazione
del sistema nel ciclo sia compresa tra 600 e 400 giri/min. Indicato con Jv il momento di inerzia del
volano e con nmax e nmin rispettivamente la frequenza massima e minima del sistema, si ha:
( )
2 2
2 2 max min
1 max min
2 2
1 1
2 2 60 60
E v v
n n
L J J
π π
ω ω
 
   
= − ≅ −
 
 
 
 
 
 
 
sostituendo i valori numerici:
2
8389
v
J kg m
= ⋅
Indicata con m la massa del volano, l'espressione del raggio giratorio ρ è data dalla seguente
relazione:
V
J
m
ρ ≡
La massa del volano è pertanto pari a:
2
5826
v
J
m kg
ρ
= ≅
Determinazione dell’espressione della velocità nel periodo t1.
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
2
2
1 1 max 1
2
2
2
1 1 max
1
0
2
1 4
2 60
r m v
r m v
P P t J t t t
P P t J n n t
ω ω
π
− ⋅ = − ≤ ≤
− ⋅ = −
sostituendo i valori numerici si ottiene:
( ) 1
500 1 0.036 / min 0
n t t giri t t
= − ≤ ≤

39
In modo del tutto analogo si ottiene la funzione della frequenza di rotazione per ( )
1 1 2
t t t t
≤ ≤ +
( ) ( ) ( )
1 1 1 2
400 1 0.0375
n t t t t t t t
= + − ≤ ≤ +
Determinazione della decelerazione massima
Il sistema decelera nei primi 10 secondi del ciclo.
Indicata con α la decelerazione, si ha:
r m
v
P P
J α
ω
−
=
E’ evidente pertanto che la decelerazione massima si ha in corrispondenza della velocità minima.
Sostituendo i valori numerici si ha:
2
max
min
1.178 /
r m
v
P P
J rad s
α
ω
−
= ≅

40
Esempio 8.3
Una pressa meccanica da stampaggio deve tranciare, su lamiera di acciaio allo 0.25% di carbonio dello
spessore di 2.5 mm, un profilo chiuso il cui perimetro misura 740 mm.
L’albero a gomito della pressa è azionato mediante ingranaggi da un albero motore che compie a vuoto
960 rpm.
Si desidera che durante ogni colpo di tranciatura la velocità dell’albero motore diminuisca al massimo
del 10% e a tale scopo su di esso sarà montato un volano.
Si trovi le dimensioni di massima del volano, in ghisa e a disco, capace di contenere entro tali limiti la
variazione di velocità, supponendo che il lavoro di tranciatura sia effettuato soltanto a spese dell’energia
cinetica del volano, cioè trascurando il lavoro attivo del motore in questa fase.
Indicata con T la forza applicata dal punzone, con l il perimetro chiuso del profilo da realizzare e
con s lo spessore della lamiera, il lavoro teorico L di tranciatura è espresso dalla seguente
relazione:
s
T
L ⋅
=
con T pari a:
3
R
T l s
σ
= ⋅ ⋅
Note la tensione di rottura a trazione della lamiera e la geometria del profilo da realizzare, il
calcolo del lavoro teorico di tranciatura risulta pertanto immediato:
2
3
s
l
L R
⋅
=
σ
Considerata una lamiera con lo 0.25% di C il carico di rottura a trazione può porsi:
2
/
500 mm
N
R ≅
σ
Pertanto il lavoro teorico di tranciatura vale1
:
2 2
500
740 2.5 1335
3 3
R
L l s Nm
σ
= ⋅ = ⋅ ⋅ ≅
La velocità massima dell’albero motore, indicata con nmax la massima frequenza, vale:
max
2 2 960
100.5 /
60 60
n
rad s
π π
ω
⋅ ⋅
= = ≅
La velocità minima tollerata vale:
s
rad /
45
.
90
9
.
0 max
min ≅
⋅
≅ ω
ω
Il grado di irregolarità massimo ammesso vale:
( )
105
.
0
2
min
max
min
max
≅
−
−
≅
ω
ω
ω
ω
δ
1
In realtà il problema è più complesso:
• durante l’operazione di tranciatura occorre anche superare la resistenza degli attriti
• il distacco della lamiera avviene per una corsa del punzone inferiore allo spessore della lamiera stessa

41
Il momento d’inerzia J del volano, noto il lavoro di tranciatura L, si determina applicando il
principio di conservazione dell’energia meccanica:
( )
2 2
max min
1
2
J L
ω ω
− =
da cui:
( )
2
2 2
max min
2
1.39
L
J kgm
ω ω
= ≅
−
Determinato il momento di inerzia del volano occorre ora stabilirne la geometria.
Si tratta di un volano in ghisa e pertanto la velocità periferica non deve superare i 40 m/s.
Ipotizzando, come primo tentativo, una velocità periferica v intorno ai 25 m/s si ottiene un raggio
esterno del disco pari a:
m
r
m
v
r 25
.
0
248
.
0
max
≅
→
≅
=
ω
Con riferimento ad un disco pieno di raggio r e massa m, l’espressione del momento di inerzia J
risulta:
2
2
1
mr
J =
da cui è immediato ricavare m:
2
2
44.5
J
m kg
r
= ≅
Indicato con b lo spessore del disco e con ρ la densità della ghisa (7.25 kg/dm3
), deve essere:
( ) ρ
π ⋅
⋅
⋅
= b
r
m 2
Lo spessore b vale pertanto:
2
0.031 31
m
b m mm
r
π ρ
= ≅ =
⋅ ⋅
La geometria del volano risulta accettabile. Nel caso invece in cui il dimensionamento risultasse
incongruo occorrerebbe modificare r fino ad ottenere una soluzione soddisfacente.

Esempio 8.4
Si consideri un motore il cui momento torcente
seguente espressione
( ) 25320 12600 sin 2 15650 cos2
t
M θ θ θ
= + ⋅ − ⋅
e che sia accoppiato con un utilizzatore in grado di fornire una coppia resistente uniforme.
Nell’ipotesi che il volano abbia un momento di
a 150 rpm, calcolare:
a. il lavoro di fluttuazione;
b. la variazione massima di velocità del volano durante un ciclo
c.
Il momento resistente si determina uguagliando il lavoro motore con quello resi
( )
0 0
25320 Nm
m r t r r
L L M d M d M
π π
θ θ θ
= ⇒ =
∫ ∫
Tenuto presente che1
:
1
sin cos sin
tan
a b a b
φ



=


vol. 2
42
momento torcente Mt(θ), in funzione dell’angolo di manovella
25320 12600 sin 2 15650 cos2
θ θ θ
= + ⋅ − ⋅ (Nm)
Nell’ipotesi che il volano abbia un momento di inerzia pari a 16000 km2
, e la velocità di regime sia pari
il lavoro di fluttuazione;
la variazione massima di velocità del volano durante un ciclo.
Il momento resistente si determina uguagliando il lavoro motore con quello resistente:
0 0
25320 Nm
m r t r r
L L M d M d M
π π
θ θ θ
= ⇒ =
∫ ∫
( )
2 2
1
sin cos sin
tan
a b a b
b
a
θ θ θ φ
−
− = + −
=
), in funzione dell’angolo di manovella θ, abbia la
, e la velocità di regime sia pari
stente:

43
( )
2 2 1
sin cos sin tan
b
a b a b
a
θ θ θ φ φ −
− = + − =
L’espressione del momento motore può essere riscritta nel modo seguente:
( ) ( ) 1 15650
25320 20090 sin 2 tan
12600
t
M θ θ φ φ −
= + ⋅ − = (8.11)
Dalla (8.11) è immediato riconoscere che momento motore e momento resistente raggiungono lo
stesso valore in corrispondenza di angoli di manovella pari a:
1 2
2 2 2
φ π φ
θ θ
= = +
La massima fluttuazione di energia vale:
( ) ( )
( )
( )
2 2 2
2 2 2
20090 sin 20090 Nm
m r
L M d M d d
π φ π φ π φ
φ φ φ
θ θ θ φ θ
+ + +
= − = ⋅ − =
∫ ∫ ∫
La variazione di velocità nell’arco di manovella compreso tra gli angoli θ1 e θ2 si determina
imponendo la conservazione dell’energia meccanica:
( ) ( )
2 2
2 1 2 1
1
2
2
0.08 rad/s 0.76 rpm
1
L= J J
2
L
n
J
ω ω ω ω ω
ω
ω
− = ⋅ −
∆ = ≅ → ∆ ≅
⋅

44
Esempio 8.5
Un motore ruotante alla velocità di regime di 120 rpm il cui momento motore varia, nel ciclo, come di
seguito riportato viene accoppiato ad un utilizzatore che oppone un momento resistente costante.
Determinare il momento di inerzia di un volano in grado di assicurate un grado di irregolarità δ pari a
0.05.
Il lavoro motore Lm , in un ciclo, è equivalente all’area ABCD, una volta che si trasformino gli
angoli da gradi in radianti.
180 45
2700 5301 J
2 180
m
L
π
+  
≅ ⋅ ≅
 
 
Analogamente, il lavoro resistente vale:
180
180
r r
L M
π
= ⋅ ⋅
Dall’uguaglianza del lavoro motore con quello resistente si ricava il momento resistente:
844 Nm
r
M ≅
La fluttuazione massima L corrisponde all’area EFCD (EF ≅ 135°) e vale:
( )
45 135
2700 844 2915 J
2 180
L
π
+
≅ − ≅
Dalla (8.5) si ricava il momento di inerzia J del volano:
2
2
369 kg m
m
L
J
ω δ
= ≅ ⋅
⋅

45
Bibliografia
Giovannozzi R. Costruzione di Macchine vol.1 Patron
Hannah J et al. Mechanics of Machines Arnold
Heisler H. Advance vehicle technology Elsevier
Ottani M. Corso di Meccanica vol. 3 Cedam
Pierotti P. Meccanica Macchine e progettazione vol. 3 Calderini

46
9. CINEMATICA E DINAMICA DEI SISTEMI RIGIDI PIANI
Def. 9.1 Si definisce sistema rigido un sistema materiale i cui punti godono della proprietà che la loro
mutua distanza è costante rispetto al tempo durante il moto.
Def. 9.2 Un sistema rigido si dice dotato di moto piano se tutti i suoi punti si mantengono, durante il
moto, su di uno stesso piano detto piano del moto.
Determinazione delle velocità di punti appartenenti ad un sistema rigido piano
La figura sotto riportata (a), rappresenta un corpo rigido i cui punti A e B hanno rispettivamente velocità
complanari VA e VB.
Dalla Def. 9.1 risulta immediato riconoscere che le proiezioni di VA e VB lungo AB devono essere
uguali. Più in generale diremo che le velocità di due punti appartenenti allo stesso sistema rigido hanno
istante per istante la stessa proiezione, con segno, sulla retta che li unisce.
Sempre con riferimento alla figura precedente (b) si nota che il movimento nel piano del corpo rigido
può essere scomposto in una traslazione e in una rotazione. Questa possibilità si dimostra essere vera in
generale, pertanto diremo che un generico moto piano di un corpo rigido può essere sempre decomposto
in un moto di traslazione più un moto di rotazione.
Si consideri lo spazio connesso ad un corpo rigido animato da un moto di roto-traslazione (c).
Esiste sempre un punto di tale spazio caratterizzato dall’avere velocità nulla ad un dato istante. Tale
punto, che può essere a distanza finita o infinita dal corpo e, in generale, varia istante per istante, viene
chiamato centro istantaneo di rotazione del corpo.
E’ immediato riconoscere che (teorema di Chasles1
) il centro di istantanea rotazione si trova, in ogni
istante, sulle normali alle traiettorie dei punti del sistema.
1
Michel Chasles (Épernon, 15 novembre 1793 – Parigi, 18 dicembre 1880) dopo brillanti studi superiori entra
all'École polytechnique nel 1812 sotto la guida di Siméon Denis Poisson. Nel 1814 viene chiamato alle armi da
Napoleone in difesa di Parigi. Poco dopo, finita la guerra, ritorna ai suoi studi di matematica e diventa professore
nel 1841. Nel 1846 viene istituita per lui una cattedra di geometria superiore alla Sorbona. Nel 1851 viene eletto
membro dell’Accademia delle scienze francese.
Michel Chasles diventa membro straniero della Royal Society il 15 giugno 1854. I suoi lavori di geometria gli
varranno la Medaglia Copley nel 1865.

47
Verificheremo ora che le velocità angolari ω indotte dalle
scomposizioni del moto secondo gli schemi (b) e (c) sono
uguali.
Dallo schema (b) si vede che il punto C è dotato di sola
traslazione lungo AB e la velocità angolare (con centro di
rotazione C) vale:
sin
C A
V AC
ω α
= ⋅
D’altra parte, dallo schema (c), si nota che se Ci è il
centro di istantanea rotazione allora deve essere
CiC AB
⊥ e la velocità angolare (con centro di rotazione
Ci) vale:
Ci A
V ACi
ω =
Poiché sin
ACi AC α
= è immediato riconoscere che C Ci
ω ω
=
Consideriamo ora un’asta rigida i cui estremi A e B abbiano rispettivamente velocità pari a VA e VB.
Se riportiamo le velocità VA e VB a partire da un polo O, è facile ottenere, congiungendo b con a, la
velocità VAB ossia la velocità di A relativa a B.
Tale velocità relativa VAB può essere immaginata ottenersi impartendo a tutta l’asta una velocità uguale
e opposta a VB. In questo nuovo moto, il punto B rimarrà fisso e la nuova velocità assoluta di A
rappresenta la velocità relativa di A rispetto a B nel moto originario.
In questo nuovo moto, ottenuto per sovrapposizione a tutto il corpo rigido di una velocità pari a –VB,
l’asta può essere considerata come ruotante attorno al punto fisso B con velocità angolare ω tale che:
AB
V
AB
ω =
E’ inoltre evidente che VAB deve essere perpendicolare ad AB infatti, poiché B è da considerarsi fermo,
se ciò non fosse l’asta sarebbe soggetta ad allungamento o accorciamento violando l’ipotesi di corpo
rigido.
Pertanto, se VB è conosciuta in direzione e intensità e VA solo in direzione, l’intensità di VA si può
ottenere tracciando da b una perpendicolare ad AB fino ad intersecare la direzione di VA.
La velocità di un punto qualsiasi C su AB può ottenersi dividendo ab in modo da rispettare la seguente
proporzione:
: :
bc ba BC BA
=
Il segmento oc così determinato rappresenta la velocità di C.

48
Esempio 9.1
Il punto B di un corpo rigido che si muove nel piano π è vincolato, nell’istante considerato, a muoversi
lungo la direzione y-y. Trovare la velocità di B sapendo che VA = 10 m/s e che AB = 5 m.
Soluzione 1
( )
sin 30 2.5 m
CiA AB
= ⋅ ° =
4 rad/s (orario)
A
V
CiA
ω = =
17.3 m/s (verticale verso l'alto)
B
V CiB
ω
= ⋅ ≅
Soluzione 2
Poiché le proiezioni, lungo AB, delle velocità di A e B devono essere uguali, si ha:
( ) ( )
( )
( )
cos 30
cos 30 cos 60 17.3 m/s
cos 60
A B B A
V V V V
°
⋅ ° = ⋅ ° → = ≅
°
Soluzione 3
( )
tan 60 17.3 m/s
B A
V V
= ⋅ ° ≅

49
Esempio 9.2
Determinazione della velocità di un pattino scorrevole su di un’asta rotante
Consideriamo un’asta che ruota con velocità angolare ω attorno ad un punto fisso O, e un pattino A
dotato di velocità assoluta VA.
Se A’ è il punto dell’asta a contatto con il pattino, la velocità di A’ relativa ad O deve essere
perpendicolare ad OA’.
D’altra parte la velocità di A relativa ad A’ deve essere parallela a OA’.
Pertanto, dopo aver riportato il vettore VA, tracciamo da o una perpendicolare ad OA’ e da a una
parallela ad OA: il punto di intersezione a’ così individuato permette di determinare la velocità
VAA’.

50
Determinazione delle accelerazioni di punti appartenenti ad un sistema rigido piano
Consideriamo un’asta AB ruotante con velocità e accelerazione angolari pari rispettivamente a ω e α e
siano aAe aB le accelerazioni rispettivamente dei punti A e B.
Come nel caso dello studio delle velocità, riportiamo le accelerazioni di A e B a partire dal polo o.
Il segmento congiungente gli estremi b ed a rappresenta l’accelerazione di A relativa a B.
Tale accelerazione relativa ha due componenti:
1. una accelerazione centripeta 2 2
AB
AB V AB
ω = , parallela ad AB e rappresentata dal segmento
a’b
2. una accelerazione tangenziale AB
α , perpendicolare ad AB e rappresentata dal segmento a’a.
Normalmente, solamente una accelerazione, ad esempio aB sarà conosciuta completamente, mentre
l’altra sarà nota solo in direzione.
Al solito riportiamo da o l’accelerazione conosciuta aB.
Dall’estremo b tracciamo una parallela ad AB (la direzione dell’accelerazione centripeta) e su di essa
posizioniamo un segmento a’b corrispondente a 2
AB
ω
Dall’estremo a’ tracciamo una perpendicolare ad AB fino ad intersecare la direzione dell’accelerazione
del punto A.
Il segmento oa rappresenta l’accelerazione di A e il segmento ba l’accelerazione relativa di A rispetto a
B. Per trovare l’accelerazione di un punto C lungo AB dovremo individuare su ab un punto c tale che:
: :
ac ab AC AB
= . In tal modo l’accelerazione di C sarà rappresentato dal segmento oc.
Allo stesso modo si possono ottenere le accelerazioni di punti appartenenti ad altre aste connesse con
AB.
Esempio 9.3
Il meccanismo di figura mostra un glifo oscillante,
utilizzato per consentire un corsa di ritorno veloce, e
montato su di una limatrice. La manovella ruota con verso
antiorario alla velocità di 90 rpm.
La lunghezza QP è 800 mm.
Determinare:
1. la velocità massima di P;
2. l’accelerazione massima di P;
3. l’accelerazione di P quando θ = 45°.
Sia
ω la velocità angolare dell’asta OA
Ω la velocità angolare dell’asta QP
Φ l’angolo OQA

Elementi di Costruzione di Macchine
Dal triangolo OQA si ha:
(
(
0.2 0.5 0.5
sin cos
sin 180 90
φ θ φ
= =
− + +
( )
sin 0.4 cos 0.4 cos cos sin sin
2.5 cos cot sin
φ θ φ θ φ θ φ
θ φ θ
= ⋅ + = ⋅ −
= −
Da cui infine
cos
tan
2.5 sin
θ
φ
θ
=
+
Derivando la (9.1) si ottiene l’espressione della velocità angolare
(
(
2
2.5 sin cos cos
1
cos 2.5 sin
d d
dt dt
φ θ
φ
− + −
=
( )
(
2 2.5sin 1
1 tan
2.5 sin
φ ω
+ Ω = −
+
Sostituendo la (9.1) nella (
2.5sin 1
5sin 7.25
θ
ω
θ
+
Ω = −
+
La (9.3) assume valore massimo per
O e tale massimo vale:
max 2 rad/s
π
Ω =
La velocità massima di P vale:
max max 2 0.8 5.03 m/s
V PQ π
= Ω ⋅ = ⋅ ≅
51
)) ( )
0.2 0.5 0.5
sin cos
φ θ φ
θ φ
= =
+
− + +
( )
sin 0.4 cos 0.4 cos cos sin sin
φ θ φ θ φ θ φ
θ φ θ
= ⋅ + = ⋅ −
si ottiene l’espressione della velocità angolare Ω
)
)
2
2.5 sin cos cos
2.5 sin
d d
dt dt
θ θ θ
φ θ
θ
− + −
+
)
2
2.5sin 1
2.5 sin
θ
φ ω
θ
+
+
(9.2) si ottiene infine:
assume valore massimo per θ = 270° ovvero quando A è posto verticalmente al di sotto di
La velocità massima di P vale:
2 0.8 5.03 m/s
= Ω ⋅ = ⋅ ≅
(9.1)
(9.2)
(9.3)
posto verticalmente al di sotto di

L’accelerazione angolare dΩ/dt
( )
2
2
13.125cos
5sin 7.25
d
dt
θ
ω
θ
Ω
= −
+
L’accelerazione centripeta di P
2 2 2
0.8 m/s
CP
a PQ
= Ω ⋅ = Ω ⋅
L’accelerazione tangenziale di P vale:
0.8 m/s
TP
d d
a PQ
dt dt
Ω Ω
= ⋅ =
L’accelerazione risultante vale pertanto:
(
2 2 2 2.5sin 1 13.125cos
0.8
P CP TP
a a a ω
= + =
Di seguito viene riportato il grafico dell’accelerazione del punto P in funzione dell’angolo
manovella
L’accelerazione massima di P vale 55.95 m/s
Per θ = 45°, dalla (9.4) si ottiene:
2
45
7.33 m/s
P
a θ = °
≅
vol. 2
52
Ω/dt si ottiene derivando la (9.3):
vale:
2 2 2
0.8 m/s
L’accelerazione tangenziale di P vale:
2
0.8 m/s
L’accelerazione risultante vale pertanto:
) ( )
( )
4 2
4
2.5sin 1 13.125cos
5sin 7.25
θ θ
θ
+ +
+
Di seguito viene riportato il grafico dell’accelerazione del punto P in funzione dell’angolo
massima di P vale 55.95 m/s2
si ottiene:
(9.4)
Di seguito viene riportato il grafico dell’accelerazione del punto P in funzione dell’angolo di

53
Il sistema biella-manovella
Il sistema biella-manovella è un manovellismo di spinta rotativa utilizzato nella macchine alternative.
Il manovellismo è costituito da una manovella m, avente l’estremo O incernierato al telaio, da una biella
l, incernierata in C alla manovella ed in P allo stantuffo s che, per la presenza delle guide g, è costretto
a muoversi lungo PO.
La biella l è costituita da un fusto che porta alle sue estremità la testa di biella ed il piede di biella.
La testa di biella viene collegata al bottone di manovella ed è, in genere, costruita in due pezzi per
ragioni di montaggio.
Il piede di biella, che costituisce l’estremità più piccola della biella, viene collegata allo stantuffo
tramite una boccola cilindrica, generalmente cava, che prende il nome di spinotto.
Determinazione grafica delle velocità di un sistema biella-manovella
Sia ω la velocità angolare della manovella OC e sia Ω la velocità angolare della biella PC.
Il centro di istantanea rotazione I della biella è determinato dall’intersezione delle perpendicolari a VP e
VC a partire rispettivamente dai punti P e C.
Poiché I è il centro di istantanea rotazione della biella deve essere:
C PC
P
V V
V
IC IP PC
= = = Ω
I triangoli PIC e OCM sono simili e pertanto:
P C C
PC C C
PC
IP OM
V V V OM
IC OC
PC CM
V V V CM
IC OC
V CM
PC PC
ω
ω
ω
= = = ⋅
= = = ⋅
Ω = =

54
Determinazione grafica delle accelerazioni di un sistema biella-manovella
Nel seguito illustreremo la costruzione di Klein che è valida solo nell’ipotesi che la manovella ruoti con
velocità angolare ω costante.
1. si traccia una circonferenza di diametro PC;
2. si prolunga PC fino ad incontrare la verticale per O nel punto M;
3. si traccia una nuova circonferenza di centro C e raggio CM che interseca la circonferenza
precedente nei punti K ed L;
4. si prolunga il segmento HK fino ad intersecare OP in N e PC in L;
Il quadrilatero OCLN rappresenta il diagramma delle accelerazioni nella stessa scala con cui OC
rappresenta l’accelerazione centripeta di C. Si ha pertanto:
Accelerazione di P 2
1
P
a ON
ω
∝ ⋅
Accelerazione centripeta di P relativa a C 2
1
cPC
a LC
ω
∝ ⋅
Accelerazione tangenziale di P relativa a C 2
1
tPC
a LN
ω
∝ ⋅
Accelerazione angolare di PC 2
1
LN
PC
α ω
∝
Analizziamo ora la costruzione del diagramma delle accelerazioni una volta nota la geometria del
sistema e la velocità di rotazione ω della manovella.
1. si traccia, in scala, un segmento oc corrispondente all’accelerazione centripeta del punto C
2
2
oc OC
ω
∝ ⋅
2. da o si traccia una semiretta avente la direzione dell’accelerazione di P;
3. dall’estremo c, con direzione parallela a PC, si traccia il segmento cp1 corrispondente
all’accelerazione centripeta di P relativa C.
2 2
2
2
c 1
AB
cPC cPC
V OM
a p a
PC PC
ω
= = ∝
4. da p1 si traccia una perpendicolare a PC fino a incontrare in p la semiretta uscente da o.
Il segmento op rappresenta in scala l’accelerazione di P e il segmento pc rappresenta, sempre nella
stessa scala, l’accelerazione di P relativa a C.
Dobbiamo ora dimostrare che la costruzione di Klein è corretta, in altri termini resta da verificare che i
quadrilateri OCMN e ocp1p sono simili.
a. Preliminarmente verifichiamo che gli angoli corrispondenti sono congruenti.
ɵ
C c O o
= =
ɵ per costruzione
ɵ
1
p L
= perché entrambi retti

55
b. Dimostreremo ora che
1
cp CL
oc OH
=
2 2
2 2
2 2
1
1
CM cp CM
cp oc OC
CP oc OC CP
ω ω
∝ ∝ ⋅ → =
⋅
I triangoli CLH e CHP sono ovviamente simili1
da cui:
2 2
2
CL CH CH CM
CL CL
CH CP CP CP
CL CM
OC OC CP
= → = → =
=
⋅
Poiché:
2 2 2
2
2
2
1 1
CM
cp CM
oc CP OC OC CP
ω
ω
∝
= =
∝ ⋅
Poiché
1
cp CL
oc OC
= tenuto presente che in precedenza avevamo già verificato che gli angoli
corrispondenti erano congruenti resta dimostrato che i due quadrilateri OCMN e ocp1p sono
simili.
La costruzione di Klein, sempre nell’ipotesi che ω sia costante, è utile anche per determinare
l’accelerazione di un punto qualsiasi giacente sull’asse della biella ovvero appartenente a PC.
Di seguito vediamo come, sullo schema di Klein e sul diagramma delle accelerazioni, si posiziona
l’accelerazione di un punto generico S.
CN e cp rappresentano l’immagine dell’accelerazione dell’asta PC e deve essere: : :
SC NC sc pc
= .
I segmenti os e OS’ rappresentano, nelle rispettive scale, l’accelerazione del punto S.
1
I due triangoli sono entrambi retti e hanno un angolo in comune.

56
Esempio 9.4
Si consideri un sistema biella-manovella sia caratterizzato da una biella e da una manovella lunghe
rispettivamente 800 mm e 200 mm.
Sapendo che la manovella ruota alla velocità costante di 480 rpm, mediante la costruzione grafica di
Klein, determinare, in corrispondenza di una angolo di manovella 45°:
1. l’accelerazione del pistone;
2. l’accelerazione del punto medio della biella;
3. l’accelerazione angolare della biella.
Dalla costruzione sopra riportata risulta:
23 mm 92 mm 16.5 mm 19 mm 16 mm
OC PC ON OJ LN
≅ ≅ ≅ ≅ ≅
Il fattore di scala risulta:
1 200 23 8.7
∝ = ≅
L’accelerazione di P vale:
2
2
1
200 2 480 16.5
362.5 m/s
23 60 1000
P
a ON
π
ω
⋅
 
= ∝ ⋅ ⋅ = ⋅ ≅
 
 
L’accelerazione del punto medio G vale:
2
2
1
200 2 480 19
417.4 m/s
23 60 1000
G
a OJ
π
ω
⋅
 
= ∝ ⋅ ⋅ = ⋅ ≅
 
 
L’accelerazione angolare della biella vale:
2
2 2
1
200 2 480 16
439 rad/s
23 60 800
LN
PC
π
α ω
⋅
 
= ∝ ⋅ ≅ ≅
 
 

57
Determinazione analitica delle velocità e delle accelerazioni nel sistema biella-manovella
Velocità e accelerazione del piede di biella
Sia x lo spazio percorso dal pistone a partire dal punto morto superiore.
( ) ( )
cos cos
x r l r l
θ φ
= + − + (9.5)
sin sin
r
l
φ θ
= posto
l
n
r
= si ha:
2 2
2
sin sin
cos 1 1
2
n n
θ θ
φ
 
 
= − ≅ −
 
 
 
 
 
lecito poiché
1
n
è piccolo1
(9.6)
Sostituendo la (9.6) nella (9.5) e derivando rispetto al tempo si ottiene la velocità di P.
( )
2
2
sin
1 cos
2
x r l
n
θ
θ
= − +
2
sin2 sin2
sin sin
2 2
P
dx d
v r l r
dt n dt n
θ θ θ
θ ω θ
   
= = + ⋅ = ⋅ +
   
   
(9.7)
Derivando la (9.7), nell’ipotesi semplificativa che ω sia costante, si ottiene l’accelerazione del punto P.
2
2
2
cos2 cos2
cos cos
p
P
dv
d x d
a r r
dt dt n dt n
θ θ θ
ω θ ω θ
   
= = = + = +
   
   
(9.8)
Velocità angolare Ω e accelerazione angolare α della biella
Dalla figura precedente è immediato ricavare che:
sin
sin
n
θ
φ =
Derivando rispetto al tempo si ottiene la velocità angolare della biella:
cos
cos
d d
dt n dt
φ θ θ
φ ⋅ = ⋅
cos cos
cos
d
dt n n
φ θ ω θ
ω
φ
⋅
Ω = = ≅
⋅
lecito poiché cos 1
φ ≅ (9.9)
Derivando ulteriormente la (9.9) rispetto al tempo si ottiene l’accelerazione angolare della biella
2 sin
d
dt n
θ
α ω
Ω
= = − (9.10)
1
Sia 2
( ) 1
f x x
= − lo svilippo in serie di Mac-Laurin della funzione vale: 2 4 6
1 1 1
( ) 1 .....
2 8 16
f x x x x
≅ − − − −
Posto 2 2 2
sin
x n
θ
= si giustifica l’approssimazione introdotta dalla (9.6)

58

59
Forze di inerzia su di un’asta
Se ag è l’accelerazione lineare del baricentro di un’asta di massa m, la forza, applicata in G, necessaria
a produrre tale accelerazione è pari a g
P m a
= ⋅
In modo del tutto simile, un’accelerazione angolare α è prodotta da una coppia M pari a:
2
M I m
α ρ α
= =
dove I è il momento di inerzia baricentrico dell’asta e ρ il corrispondente raggio giratorio.
L’azione combinata di P ed M (P applicata al baricentro dell’asta) può essere ottenuta tramite l’azione
della sola forza P applicata a distanza h da G tale che:
2
M I m
h
P P P
α ρ
⋅
= = =
La forza di inerzia agente sull’asta è ovviamente sempre uguale e opposta a P.
Sistema dinamico equivalente di un’asta
Un’asta di massa m e raggio giratorio ρ può essere sostituita da un sistema dinamicamente equivalente
realizzato con due masse puntiformi m1 e m2 posizionate a distanza a e b dal baricentro come
schematizzato nella figura sotto riportata.
L’entità delle masse e il loro posizionamento, per garantire l’equivalenza dinamica dei sistemi, devono
soddisfare tre condizioni:
1. Invarianza della massa
1 2
m m m
+ = (9.11)

60
2. Invarianza della posizione del baricentro
1 2
m a m b
⋅ = ⋅ (9.12)
3. Invarianza del momento di inerzia
2 2 2
1 2
m a m b m ρ
⋅ + ⋅ = ⋅ (9.13)
Dalle (9.12) e (9.13) si ottiene:
1 2
b a
m m m m
a b a b
= =
+ +
(9.14)
Sostituendo la (9.14) nella (9.13) si ottiene:
2
a b ρ
⋅ = (9.15)
Pertanto una delle due distanze può essere sempre scelta in modo arbitrario, ma l’altra deve soddisfare
la (9.15).
Se ad esempio la massa m1 viene posizionata all’estrema A dell’asta, la massa m2 deve essere
posizionata in C in modo tale che 2
a c ρ
⋅ =
E’ importante notare che per l’equivalenza dei due sistemi, le direzioni di aC, aA e P devono convergere
in un unico punto O e che la direzione di P deve essere parallela ad ag..

61
Sovente, come nel caso di una biella, è conveniente utilizzare un sistema dinamico equivalente
caratterizzato dalla disposizione delle masse m1 ed m2 all’estremità dell’asta1
.
L’entità delle masse è stabilita dalle (9.14)
1 2
b a
m m m m
a b a b
= =
+ +
ma in generale la condizione definita dalla (9.13) non potrà essere soddisfatta.
Il momento di inerzia del sistema dinamico equivalente vale infatti:
2 2
1 2
d
I m a m b m ab
= ⋅ + ⋅ = ⋅
Mentre il momento di inerzia originario vale:
2
I mρ
=
Pertanto a meno che 2
ab ρ
= i due momenti di inerzia differiscono della quantità:
( )
2
d
I I I m ab ρ
∆ = − = −
Per compensare questo “errore” si introduce nel sistema dinamico equivalente così definito una coppia
correttiva aggiuntiva pari a
C
M I α
= ∆ ⋅ .
Se 2
ab ρ
la coppia correttiva ha lo stesso senso della accelerazione angolare α, se 2
ab ρ
è orientata
in modo opposto.
1
Si tratta comunque, a differenza della precedente, di una schematizzazione approssimata, per altro giustificata
dal fatto che la testa di biella risulta di massa considerevolmente più grande di quella del piede. In tali condizioni,
il baricentro G della biella risulta relativamente vicino al bottone di manovella B: se la massa m1 viene quindi
disposta nel piede di biella A, la massa m2 dovrà essere disposta in un punto che risulterà così vicino a B da
considerarsi coincidente con questo.

62
Momento trasmesso da un sistema biella-manovella
Sia F la forza agente sul pistone e Q la corrispondente forza applicata alla manovella e ad essa
perpendicolare. Nell’ipotesi di trascurare gli effetti dell’inerzia e della gravità deve essere:
P
P C
C
v LP OM
F v Q v Q F F F
v LC OC
⋅ = ⋅ → = = =
Il momento trasmesso alla manovella vale quindi:
M Q OC F OM
= ⋅ = ⋅
Se p è la pressione nel cilindro e a l’area del pistone, la forza esercitata dai gas vale pa.
Le masse alterne mA sono soggette ad un’accelerazione aP che dà luogo ad una forza di inerzia che deve
essere sottratta alla forza dei gas durante il periodo di accelerazione e sommata ad essa durante la fase
di decelerazione.
2 cos2
cos
A
M pa m r
n
θ
ω θ
 
= − ⋅ +
 
 
(9.16)
Effetto della massa e delle forze di inerzia sulla biella
Ai fini del computo delle forze di inerzia, la biella può venire scomposta da due masse concentrate in P
e D ovvero posizionate in modo tale da rispettare la (9.15).

63
Tramite la costruzione di Klein, otteniamo il quadrilatero OCLN in cui CN rappresenta l’immagine
dell’accelerazione della biella. I punti g e d su CN sono ottenuti tracciando rispettivamente da G e D
delle parallele a PO.
I segmenti dO e gO forniscono le rispettive accelerazioni di D e G le cui ampiezze sono 2
dO
ω ⋅ e
2
gO
ω ⋅ rispettivamente.
La forza di inerzia dovuta alla massa posizionata in P agisce lungo PO (direzione dell’accelerazione del
punto P), mentre la forza di inerzia dovuta alla massa posizionata in D passa per D con direzione
parallela a dO.
La risultante di queste due forze di inerzia deve passare obbligatoriamente per il loro punto di
intersezione Z e deve essere parallela a gO (direzione di aG).
Sulla biella insistono pertanto tre forze:
1. La risultante delle forze di inerzia di intensità G
ma
2. La reazione verticale S tra pistone e cilindro (si trascurano gli attriti di scorrimento);
3. La reazione V nel bottone di manovella.
Per l’equilibrio, le linee d’azione delle tre forze devono essere concorrenti e pertanto non possono che
passare per il punto comune H.
Il triangolo HEJ permette di calcolare facilmente le forze S e V.
Il momento torcente sulla manovella, dovuta alle forze di inerzia, Mi si determina moltiplicando V per
la sua distanza QO d O.
Se il peso della biella è complanare alla manovella, come rappresentato in figura, contribuisce
anch’esso al momento torcente. Questa quota parte di momento torcente MPb è pari a:
( )
Pb
M mg PG PC
= ⋅ ⋅
Il momento totale sulla manovella sarà la somma del momento Mg dovuto all’azione dei gas sul
cilindro, del momento dovuto all’inerzia della biella Mi , del momento dovuto all’inerzia delle parti
alterne Ma ed eventualmente del momento MPb dovuto al peso della biella.
In precedenza abbiamo determinato il momento dovuto all’inerzia della biella scomponendola in due
masse di cui una posizionata al piede.
Esamineremo ora il momento dovuto all’inerzia della biella scomponendola in due masse posizionate
rispettivamente al piede e al bottone di manovella.
Le masse m1 e m2 devono essere tali da soddisfare le (9.14) e si deve, come abbiamo visto, introdurre
una coppia correttiva pari a:
( )
2
C
M m PG GC ρ α
= ⋅ − ⋅ (9.17)
La forza di inerzia su m1 produce una coppia di inerzia pari a 1 P
m a OM
⋅ ⋅ . La forza di inerzia su m2,
diretta secondo OC, non produce alcun momento torcente, ma il peso di m2 induce rispetto ad O una
coppia pari a 2
m g OK
⋅ ⋅ (sempre nell’ipotesi che il peso della biella sia complanare alla manovella).

64
La coppia di correzione può considerarsi generata da due forze N uguali e contrarie applicate al piede e
al bottone di manovella in modo tale che:
( )
2
C
M N PK m PG GC ρ α
= ⋅ = ⋅ −
Come già riportato, la coppia MC è diretta secondo α se 2
PG GC ρ
⋅ , diretta in verso opposto
altrimenti.
La coppia sulla manovella dovuta all’inerzia della biella e al peso della medesima vale pertanto:
( )
1 2
i Pb P
M M m a OM m g N OK
+ = − ⋅ − + ⋅ (9.18)
Per ottenere la coppia totale dovremo sommare ancora la coppia dovuta all’azione dei gas sul pistone e
la coppia dovuta all’inerzia delle masse alterne.

65
Esempio 9.5
Un motore a vapore monocilindrico, disposto orizzontalmente, ha un raggio di manovella di 0.75 e una
biella di lunghezza 1.8 m. Le masse alterne sono pari a 520 kg, mentre la biella ha una massa di 230 kg.
Il baricentro della biella dista 0.8 dal bottone di manovella e il suo momento di inerzia rispetto all’asse
baricentrico perpendicolare al piano del moto è pari a 100 kgm2.
.
Con riferimento ad una velocità di 90 rpm e ad un angolo di manovella di 45°, determinare il momento
sulla manovella e lo sforzo sui cuscinetti di banco dovute all’azione dell’inerzia nell’ipotesi che il peso
della biella sia complanare alla manovella.
Risolveremo questa esemplificazione prima (1) scomponendo la biella con due masse di cui una
posizionata al piede, e successivamente (2) considerando due masse posizionate rispettivamente al
piede e al bottone di manovella (in questo caso dovremo introdurre una coppia di correzione).
1. Scomposizione della biella con due masse di cui una al piede
Dalla (9.15) si ottiene:
2 100
0.435 m
230
PG GD ρ
⋅ = = ≅
0.435
0.435 m
1
GD = =
Nella figura sopra riportata il quadrilatero OCLN rappresenta il diagramma di Klein delle
accelerazioni. Gg e Dd sono parallele all’asse del manovellismo, e gO e dO individuano le
accelerazioni delle accelerazioni rispettivamente di G e D.
La velocità angolare della manovella vale:
2
9.42 rad/s
60
n
π
ω = =
L’accelerazione del punto G, dal diagramma di Klein, vale:
( )
2
2 2
3 0.3 26.65 m/s
g
a gO
ω π
= ⋅ ≅ ⋅ =
La forza di inerzia sulla biella vale:
230 26.65 6129 N
ib b g
F m a
= ⋅ ≅ ⋅ =
Dal triangolo delle forze HJE, la forza agente sulla manovella vale:
5708 N
m
F =
Il momento torcente dovuto all’inerzia della biella vale quindi:
5708 0.15 856 Nm
i m
M F OQ
= ⋅ ≅ ⋅ =

66
Il momento torcente dovuto alle masse alterne vale:
( )
2
2
520 3 0.265 0.305 3773 Nm
a a P a
M m a OM m ON OM
ω π
= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ≅ ⋅ ⋅ ⋅ ≅
Il momento torcente dovuto alle inerzie della biella e delle masse alterne vale pertanto:
856 3773 4430 Nm
it i a
M M M
= + ≅ + ≅
Le forze agenti sul bottone di manovella sono:
• La componente della forza di inerzia della biella diretta secondo HC e di intensità 5708
N, diretta da C ad H;
• La forza dovuta alle masse alterne diretta lungo l’asse della biella. Tale forza diretta da
C a P ha un’intensità pari a 12250 cos 12440 N
φ
⋅ ≅ ;
• La forza totale, determinata, dal parallelogramma delle forze vale: 17750.
La reazione sul cuscinetto di banco sarà uguale e contraria a tale forza.
2. Scomposizione della biella con due masse rispettivamente al piede e al bottone di manovella.
Le masse m1 e m2 rispettivamente al piede e al bottone di manovella si ricavano dalle (9.14):
1 2
102.2 kg 127.8 kg
m m
≅ =
Le masse alterne, in questa schematizzazione, valgono:
520 102.2 622.2 kg
a
m = + ≅
La forza di inerzia associate a queste masse vale:
2
14646 N
a a
F m ON
ω
= ⋅ ⋅ ≅
Il momento torcente dovuto a questa forza di inerzia vale:
14646 0.305 4467 Nm
ia ia
M F OM
= ⋅ ≅ ⋅ ≅
L’accelerazione tangenziale di P relativa a C vale:
2
23.5 rad/s
PC
a LN
ω
= ⋅ ≅
Conseguentemente l’accelerazione angolare di PC vale:
2
23.5
13.1 rad/s
1.8
PC
a
PC
α = ≅ ≅ (oraria)
La coppia di correzione MC, dalla (9.17), vale:
( )
230 1 0.8 0.435 13.1 1100 Nm
C
M ≅ ⋅ − ⋅ = (concorde con α, pertanto oraria)
La coppia di correzione può essere sostituta da due forze N tali che:
620 N
C
N PK M N
⋅ = → ≅
Il momento torcente sulla manovella dovuto alla coppia di correzione vale:
620 0.263 163 Nm
iC
M N OK
= ⋅ ≅ ⋅ ≅

67
Il momento torcente totale sulla manovella, dovuto alle inerzie, vale quindi:
4630 Nm
it i iC
M M M
= + ≅
Come è facile verificare i momenti torcenti totali agenti sulla manovella differiscono a secondo
del tipo di schematizzazione usata. La prima schematizzazione, che prevede il posizionamento
fisso di una sola massa, è senz’altro corretta, la seconda invece, che prevede il posizionamento
di due masse agli estremi della biella, è una schematizzazione, per altro molto usata, ma che
conduce ad una soluzione accettabile ma tuttavia approssimata.
Azioni sul telaio del manovellismo biella-manovella
La figura (a) mostra l’effetto sul telaio delle forze prodotte dalla spinta del pistone e dalla inerzia delle
masse alterne (pistone, spinotto, fasce elastiche e la quota parte della massa della biella ridotta al piede).
Tali forze, la cui risultante è F, inducono sul telaio una coppia che viene reagita dai sopporti con due
reazioni uguali e contrarie Fyr.
Questa coppia di reazione è uguale alla coppia motrice M, infatti1
:
sin cos sin
cos sin
yr b
b yr
F F F F b OP
M F b F OP F OP
φ φ φ
φ φ
= = = ⋅
= ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅
La figura (b) mostra invece l’effetto sul telaio della coppia di inerzia Mc applicata alla biella.
Il telaio reagisce con una coppia di reazione Mr pari a:
C
r r
M
M N OP OP
PK
= ⋅ = − ⋅
1
Detto in altri termini: la coppia di rovesciamento sull’incastellatura è uguale e opposta alla coppia motrice
sull’albero.

68
Bibliografia
Guido AR et al Lezioni di meccanica delle macchine vol.2 CUEN
Hannah J et al. Mechanics of Machines Arnold
Ottani M Corso di Meccanica vol.3 CEDAM

69
10. PROGETTO E VERIFICA DI UNA BIELLA
Dimensionamento di massima a carico di punta
In un primo dimensionamento di larga massima il fusto della biella viene considerato come
un’asta caricata di punta1
.
Le indicazioni di progetto distinguono il caso dei motori a scoppio, in cui la pressione dei gas
non si mantiene costante durante la fase utile del ciclo, e il caso delle motrici a vapore e delle
pompe volumetriche in cui la pressione sul pistone si mantiene costante lungo tutta la corsa di
mandata.
Motore a scoppio
Il fusto si calcola al punto morto superiore (pms), trascurando, a favore della stabilità il
contributo delle forze di inerzia.
In questa schematizzazione, indicata con p la pressione massima dei gas con d l’alesaggio
del cilindro, la forza agente sulla biella vale:
2
4
d
N p
π
= (9.19)
Motrici a vapore e pompe
Il fusto si calcola in corrispondenza di un angolo di manovella pari a 90°.
Con questa schematizzazione la forza agente sulla biella vale:
2
4cos
d
N p
π
φ
= (9.20)
Una volta determinata la forza massima N, tramite la (9.19) o (9.20) a secondo del tipo di
motore assegnato, si determina il momento di’inerzia minimo da assegnare alla sezione,
nell’ipotesi che la biella, sottoposta a compressione, si comporti come un’asta caricata di punta.
1
In effetti, soprattutto nei motori a combustione interna, il calcolo della biella per
il carico di punta non è il più delle volte necessario; occorre eseguirlo solo per
gradi di snellezza superiori a 60. L’eseguire la verifica a carico di punta per gradi
di snellezza inferiori, come qui si suggerisce, porta a gradi di sicurezza apparenti
molto elevati dal punto di vista del carico di punta, mentre non offre di per sé
sufficiente garanzia dal punto di vista della trazione-compressione.
Comunque, nei casi in cui la verifica a carico di punta fosse necessaria, si deve
tenere presente che le verifiche da compiersi sono due: una nel piano normale
all’asse dello spinotto (in base al momento di inerzia Jxx rispetto all’asse
parallelo all’asse dello spinotto), supponendo la biella incernierata agli estremi e
come tale con una lunghezza libera pari alla lunghezza l della biella; l’altra nel
piano medio contenente l’asse dello spinotto (in base al momento di inerzia Jyy
rispetto all’asse normale all’asse dello spinotto) supponendo questa volta la biella
incastrata agli estremi e come tale con lunghezza libera pari a l/2. Da questo
punto di vista dovrebbe perciò farsi Jxx/Jyy = 4.

70
Dall’ipotesi formulata da Eulero1
, sul comportamento di un’asta caricata di punta, si ricava:
2 2
0 0
0 0
2 2
con con 2
xx yy
N l N l
J l l J l l
E E
µ µ
π π
⋅ ⋅
= = = = (9.21)
dove N è il carico agente sulla biella, l0 la lunghezza libera della biella, E il modulo di elasticità
normale, µ un opportuno coefficiente di sicurezza, da porsi orientativamente pari a:
• 20 per i motori a combustine interna;
• 25-30 per le motrici a vapore e le pompe volumetriche.
Segue una verifica con il metodo di Rankine2
2 2
1
amm amm
N A
E
σ β σ
α
αλ π
⋅
= =
+
(9.22)
dove A è la sezione trasversale dell’asta definita tramite la (9.21), λ è la snellezza3
della biella e
β è un opportuno grado di sicurezza (in genere pari a 3).
Nelle indicazioni fornite in precedenza si sono trascurate le azioni dovute all’inerzia delle
masse alterne che al pms scaricano la biella, ma al punto morto inferiore (pmi) la
sovraccaricano. Nei motori a combustione interna al pmi la pressione dei gas è quasi assente
pertanto una verifica della biella in tale posizione è inutile. Nelle motrici a vapore e nelle
pompe volumetriche invece la pressione si mantiene pressoché costante lungo tutta la corsa di
mandata per cui la sollecitazione massima si ha al pmi dove l’inerzia delle masse alterne si
somma all’azione del pressione del fluido.
Pertanto, nelle motrici a vapore e nelle pompe volumetriche, potrebbe essere giustificato
condurre una verifica anche al pmi considerando la biella sottoposta contemporaneamente alla
forza N ricavabile dalla (9.19) e dalla forza di inerzia Fia dovute alla masse alterne ma soggette
all’accelerazione a:
ia a
F m a
= ⋅ (9.23)
1
Leonhard Euler, noto in Italia come Eulero (Basilea, 15 aprile 1707 – San Pietroburgo, 18 settembre 1783), è
stato un matematico e fisico svizzero. È considerato il più importante matematico dell'Illuminismo. Allievo di
Johann Bernoulli, è noto per essere tra i più prolifici di tutti i tempi ed ha fornito contributi storicamente cruciali
in svariate aree: analisi infinitesimale, funzioni speciali, meccanica razionale, meccanica celeste, teoria dei
numeri, teoria dei grafi.
2
William John Macquorn Rankine (Edimburgo, 5 luglio 1820 – Glasgow, 24 dicembre 1872) è stato un ingegnere
e fisico scozzese. Contribuì a dare orientamento moderno alla Scienza delle costruzioni e all’ingegneria
meccanica, sistemando su basi razionali le molte nozioni e norme di progetto evolutesi con la pratica. Notevoli
sono i suoi studi sulla resistenza dei materiali specialmente per quel che concerne le sollecitazioni a fatica nel
campo ferroviario, ma la sua fama é principalmente legata agli studi sulla termodinamica.
3
Ricordiamo che la snellezza di un’asta caricata di punta, indicata con 0
l la lunghezza libera di inflessione e ρ il
raggio di inerzia rispetto all’asse perpendicolare al piano di inflessione considerato, vale: 0
l
λ ρ
≡

71
In un dimensionamento di massima, come quello ora proposto, tale verifica viene in genere
omessa e si tiene conto dell’azione dell’inerzia delle masse alterne semplicemente modulando
in modo opportuno, come è già stato fatto1
, i coefficienti di sicurezza da inserire nella (9.21)
Verifica al colpo di frusta
Si effettua solo per i motoria a c.i. in cui la velocità di rotazione della manovella induce delle
forze di inerzia sulla biella non trascurabili. Si pone la biella perpendicolare alla manovella e si
valuta il momento flettente max dovuto alle masse accelerate tenendo presente che in tale
posizione l’accelerazione del piede di biella può ritenersi prossima a zero.
La biella può essere quindi assimilata ad una trave appoggiata agli estremi e sollecitata da un
carico, costituito dalle forze di inerzia agenti su di essa, distribuito linearmente con valore zero
al piede.
Le forze di inerzia, per unità di lunghezza, si ottengono moltiplicando le masse per unità di
lunghezza, per le rispettive accelerazioni. Nell’ipotesi semplificativa che la biella, di massa M,
abbia sezione uniforme, la massa per unità di lunghezza m, indicati con ρ la densità del
materiale e con A la sezione trasversale del fusto, vale:
M A l
m A
l l
ρ
ρ
⋅ ⋅
= = = (9.24)
Le accelerazioni, lungo l’asse della biella, come detto in precedenza, variano linearmente dal
valore zero al piede al valore massimo amax in corrispondenza della testa. Indicata con ω la
velocità di rotazione della manovella e con r il suo raggio, tale accelerazione massima vale:
2
max
a rω
=
Da cui il carico massimo per unità di lunghezza vale:
2
max
q A r
ρ ω
= ⋅ ⋅ ⋅ (9.25)
Pertanto, agli effetti del colpo di frusta, la biella viene schematizzata come di seguito riportato.
Il valore del momento flettente, in corrispondenza di una generica sezione di ascissa x , vale:
1
In effetti i coefficienti di sicurezza consigliati per le pompe volumetriche e per le motrici a vapore (25-30) sono
superiori ai coefficienti di sicurezza consigliati per i motori a combustione interne (20)

72
( ) 3
max max
6 6
f
q l q
M x x x
l
⋅
= − (9.26)
Mentre la funzione del taglio è:
( )
( ) 2
max max 3
6 6
f
dM x q l q x
T x
dx l
⋅ ⋅
= = − (9.27)
Il momento flettente assume il valore massimo in corrispondenza della sezione in cui il taglio si
annulla, ovvero, dalla (9.27), per:
3
0.577
3
x l l
= ≅ ⋅ (9.28)
Sostituendo la (9.28) nella (9.26) si ottiene il valore del momento flettente massimo:
2
2 2
max
max max
3
0.064 0.064
27
f
q l
M q l M r l
ω
⋅ ⋅
= ≅ ⋅ ⋅ ≅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ (9.29)
Nella (9.29) max
f
M è dato in Nm, quando r ed l sono espressi entrambi in metri e ω viene
misurato in rad/s.
Si determina la tensione massima di flessione con riferimento ad una sezione posta a circa 0.6l
dal piede di biella avente modulo di resistenza alla flessione 0.6
f l
W
max
max
0.6
f
f
f l
M
W
σ = (9.30)
Questa tensione coesiste con la tensione di compressione σn dovuta alla forza N che agisce in
direzione della biella. Quando la biella è perpendicolare alla manovella l’angolo φ vale:
2 2
cos
l
l r
φ =
+
e la pressione all’interno del cilindro, in prima approssimazione, si può porre:
max /3
p p
≅
La tensione σn , indicata con Ap l’area del pistone, e con A la sezione trasversale della biella,
vale pertanto:
max
3 cos
p
n
p A
A
σ
φ
=
⋅ ⋅
(9.31)
Una verifica alquanto grossolana può essere condotta verificando che:
max
f n amm
σ σ σ σ
≅ + ≤
I valori della tensione ammissibile possono essere posti, in prima approssimazione pari a:
5 10
sn
amm
σ
σ ≅
÷
Cenni sull’impostazione della verifica a fatica
Sempre considerando gli effetti del colpo di frusta, si potrebbe impostare una verifica a fatica
determinando, per la fibra interessata, il valore della tensione massima e minima e quindi della
tensione media.
Occorre distinguere, a questo scopo, le macchine a doppio effetto dalle macchine a effetto
semplice.
Nelle macchine a semplice effetto, durante la corsa di ritorno, l’azione sul fusto della biella
dovuto al fluido può essere considerato nullo, pertanto, nel ciclo, il valore di della tensione σn
oscilla tra zero e il valore determinato dalla (9.31). Con riferimento alla figura di seguito
riportata, la biella è sottoposta sulla fibra 2, ossia quella maggiormente sollecitata, ad una
tensione alterna asimmetrica tra i valori:

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