Một trong những bất đẳng thức kinh điển.

1. PHƯƠNG PHÁP 2: SỬ DỤNG BĐT CAUCHY
1. Bất đẳng thức CauChy:
a) Cho
a+b
0, b 0
2
≥ ≥ ⇒ ≥a ab . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a= b
b) Cho 3a+b+c
0, b 0, c 0
3
≥ ≥ ≥ ⇒ ≥a abc . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a= b = c
c) Cho 1 2 n
1 2 1 2
a +a +...+a
0, 0, ... , 0 . ...
n
≥ ≥ ≥ ⇒ ≥ n
n na a a a a a . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ
khi 1 2 ...= = = na a a
2. Ví dụ:
1) Cho 2 số dương a, b . Chứng minh rằng:
a) 2+ ≥
a b
b a
b) ( ) ( )1 4+ + ≥a b ab ab
2) Chứng minh: ( ) ( ) ( ) ( )
3
3
1 1 1 1+ + + ≥ +a b c abc với a, b, c không âm.
3) Chứng minh: 3 94
2 3 4 9+ + ≥a b c abc
4) Chứng minh: + + ≥ + +
xy yz zx
x y z
z x y
với x, y, z > 0
5) Chứng minh: a)
3
2
+ + ≥
+ + +
a b c
b c c a a b
với a, b, c > 0
b)
2 2 2
2
+ +
+ + ≥
+ + +
a b c a b c
b c c a a b
3. Bài tập:
1) Cho a, b, c > 0 . Chứnng minh:
a) ( )
1 1
4
 
+ + ≥ ÷
 
a b
a b
b) ( )
1 1 1
9
 
+ + + + ≥ ÷
 
a b c
a b c
c) 2 2 2
+ + ≥ + +a b c ab bc ca d) ( ) ( )2 2 2
9+ + + + ≥a b c a b c abc
e) + + ≥ + +
bc ca ab
a b c
a b c
f)
4 4 4 9
2 2 2
+ + ≥
+ + + + + + + +a b c a b c a b c a b c
g)
1 1 1
+ + ≥ + +
a b c
bc ca ab a b c
2) Cho 1 2, ,..., na a a là các số thực dương thoả 1 2. ... 1=na a a . Chứng minh:
( ) ( ) ( )1 21 1 ... 1 2+ + + ≥ n
na a a
3) Cho x, y, z > 0. Chứng minh
2 2 2
2 2 2
+ + ≥ + +
x y z x y z
y z xy z x
4) Chứng minh:
1
! ; n N
2
+
> ∈nn
n

2. 5) Cho ba số dương x, y, z thoả x + y + z =1 . Chứng minh: ( ) ( ) ( )
8
.
729
x y y z z x xyz+ + + ≤
6) Cho 1; b 1≥ ≥a Chứng minh rằng: 1 1− + − ≤a b b a ab
7) Cho a > 0, b > 0, c > 0 thoả a + b + c = 1. Chứng minh: 6+ + + + + ≤a b b c c a
8) Chứng minh ( ) ( ) ( ) 8+ + + ≥x y y z z x xyz với x, y, z > 0
9) Cho các số dương x, y, z thoả xyz=1 và n là 1 số nguyên dương. Chứng minh
1 1 1
3
2 2 2
+ + +     
+ + ≥ ÷  ÷  ÷
     
n n n
x y z
10) Cho x, y, z là 3 số dương. Chứng minh 3 2 4 3 5+ + ≥ + +x y z xy yz zx
11) Cho a, b, c là 3 số thực bất kỳ thoả a+b+c = 0. Chứng minh 8 8 8 2 2 2+ + ≥ + +a b c a b c
12) Chứng minh với mọi số thực a, ta có:
2
4 4 8
3 3 2− +
+ ≥a a
13) Cho , , 0x y z > và thỏa 1x y z+ + = . Chứng minh rằng
18
2
xyz
xy yz zx
xyz
+ + >
+
14) Cho a, b, c, d > 0 . Chứng minh
2 2 2 2
5 5 5 5 3 3 3 3
1 1 1 1
+ + + ≥ + + +
a b c d
b c d a a b c d
15) Cho x, y, z tuỳ ý khác không. Chứng minh 2 2 2 2 2 2
1 1 1 9
+ + ≥
+ +x y z x y z
16) Chứng minh với x, y là 2 số không âm tuỳ ý, ta luôn có: 3 3 2
3 17 18+ ≥x y xy
17) Chứng minh
( ) ( ) ( ) ( )4 5 4 3 6 1
4
+ + − −
≤
+ + +
a b c d
a b c d
với 5, 4, 3, 6a b c d> − > − > >
18) Cho a, b, c > 0. Chứng minh ( ) ( )2 2 2 1 1 1 3
2
 
+ + + + ≥ + + ÷
+ + + 
a b c a b c
a b b c c a
19) Cho x, y, z > 0 Chứng minh 1 1 1 8
   
+ + + ≥ ÷ ÷ ÷
   
x y z
y z x
20) Chứng minh
2
2
3
2
2
x
x
x
+
≥ ∀ ∈
+
¡
21) Chứng minh
8
6 >1
1
x
x
x
+
≥ ∀
−
22) Cho n số 1 2, ,..., na a a không âm thoả 1 2 ... 1+ + + =na a a . Chứng minh
1 2 1 3 1
1
. . ... .
2
−
−
+ + + ≤n n
n
a a a a a a
23) Chứng minh
+1
1 , 2n
n n n
n
< + ∀ ∈ ≥¢
24) Cho x, y, z > 0 và x+ y + z = 1. Chứng minh :
1 1 1
1 1 1 64
    
+ + + ≥ ÷ ÷ ÷
    x y z
25) Cho 0, 0, 0≥ ≥ ≥x y z và
1 1 1
1
1 1 1x y z
+ + ≥
+ + +
. Chứng minh
1
8
≤xyz

3. 26) Chứng minh:
1
1 1
1 1 ;
1
n n
n
n n
+
   
+ ≤ + ∀ ∈ ÷  ÷
+   
¥
27) Chứng minh ( ) +
1.3.5... 2 1 n
n n n− < ∀ ∈¢
28) Cho 2 2
1+ =x y Chứng minh 2 2− ≤ + ≤x y
29) Cho 3 số thực x, y, z thỏa 3; y 4 ; z 2≥ ≥ ≥x . Chứng minh
2 3 4 2 3 2 2 6
4 6
− + − + − + +
≤
xy z yz x zx y
xyz
30) Cho ( ) ( )( ) 4 5= + −f x x x với 4 5− ≤ ≤x . Xác định x sao cho f(x) đạt GTLN
31) Tìm GTNN của các hàm số sau:
a)
3
( ) = +f x x
x
với x > 0 b)
1
( )
1
= +
−
f x x
x
với x > 1
32) Cho 0 4; 0 y 3≤ ≤ ≤ ≤x . Tìm GTLN của ( ) ( ) ( )3 4 2 3= − − +A y x y x
33) Tìm GTLN của biểu thức:
2 3 4− + − + −
=
ab c bc a ca b
F
abc
với 3; b 4; c 2≥ ≥ ≥a
34) Cho x, y, z > 0 và x + y + z = 1. Tìm GTLN của
1 1 1
= + +
+ + +
x y z
P
x y z
(ĐHNT-1999)
35) Cho 3 số dương a, b, c thỏa a.b.c=1. Tìm GTNN của biểu thức:
2 2 2 2 2 2
= + +
+ + +
bc ca ab
P
a b a c b c b a c a c b
(ĐHNN – 2000)
36) Chứng minh các bất đẳng thức sau với giả thiết , , 0a b c > :
1.
5 5 5
3 3 3
2 2 2
a b c
a b c
b c a
+ + ≥ + +
2.
5 5 5
3 3 3a b c
a b c
bc ca ab
+ + ≥ + +
3.
5 5 5 3 3 3
3 3 3
a b c a b c
b c ab c a
+ + ≥ + +
4.
4 4 4
2 2 2
a b c
a b c
bc ca ab
+ + ≥ + +
5.
3 3 3
2 2 21
( )
2 2 2 3
a b c
a b c
a b b c c a
+ + ≥ + +
+ + +
6.
3 3 3
2 2 2
1
( )
4( ) ( ) ( )
a b c
a b c
b c c a a b
+ + ≥ + +
+ + +
7.
3 3 3
1
( )
( )( ) ( )( ) ( )( ) 4
a b c
a b c
a b b c b c c a c a a b
+ + ≥ + +
+ + + + + +
37) Cho , ,x y z là ba số dương thỏa mãn 1xyz = . Chứng minh rằng
2 2 2
3
1 1 1 2
x y z
y z x
+ + ≥
+ + +
(ĐH 2005)
38) Cho , ,x y z là các số dương. Chứng minh rằng
4 4 4
3 3 31
( )
2
x y z
x y z
y z z x x y
+ + ≥ + +
+ + +
(ĐH 2006)
39) Giả sử ,x y là hai số dương thay đổi thỏa mãn điều kiện
5
4
x y+ = . Tìm GTNN của biểu thức
4 1
4
S
x y
= + (ĐH 2002)

4. 40) Cho , ,x y z là các số dương và 1x y z+ + ≤ . Chứng minh rằng:
2 2 2
2 2 2
1 1 1
82x y z
x y z
+ + + + + ≥ (ĐH 2003)
41) Cho , ,x y z là các số dương thỏa mãn
1 1 1
4
x y z
+ + = . Chứng minh rằng:
1 1 1
1
2 2 2x y z x y z x y z
+ + ≤
+ + + + + +
(ĐH 2005)
42) Chứng minh rằng với mọi x∈¡ thì
12 15 20
3 4 5
5 4 3
x x x
x x x     
+ + ≥ + + ÷  ÷  ÷
     
(ĐH 2005)
43) Cho , ,x y z là các số dương thỏa mãn 1xyz = . Chứng minh rằng:
3 3 3 3 3 3
1 1 1
3 3
x y y z z x
xy yz zx
+ + + + + +
+ + ≥ (ĐH 2005)
44) Chứng minh rằng với mọi , 0x y > thì
2
9
(1 ) 1 1 256
y
x
x y
  
+ + + ≥ ÷ ÷ ÷  
(ĐH 2005)
45) Cho , ,x y z thỏa mãn 0x y z+ + = . Chứng minh 3 4 3 4 3 4 6x y z
+ + + + + ≥ (ĐH 2005)
46) Cho , ,a b c là ba số dương thỏa mãn
3
4
a b c+ + = . Chứng minh rằng:
3 3 3
3 3 3 3a b b c c a+ + + + + ≤ (ĐH 2005)
47) Cho , ,x y z thỏa mãn 3 3 3 1x y z− − −
+ + = . Chứng minh
9 9 9 3 3 3
43 3 3 3 3 3
x y z x y z
x y z y x z z x y+ + +
+ +
+ + ≥
+ + +
(ĐH 2006)
48) Tìm GTNN của hàm số 2
11 7
4 1 ( 0)
2
y x x
x x
 
= + + + > ÷
 
(ĐH 2006)
49) Cho ,x y là hai số dương thỏa mãn điều kiện 4x y+ ≥ . Tìm GTNN của biểu thức
2 3
2
3 4 2
4
x y
A
x y
+ +
= + (ĐH 2006)
50) Ba số dương , ,a b c thỏa mãn
1 1 1
3
a b c
+ + = . Chứng minh rằng: (1 )(1 )(1 ) 8a b c+ + + ≥ (ĐH 2001)
51) Giả sử x và y là hai số dương và 1x y+ = . Tìm GTNN của
1 1
x y
P
x y
= +
− −
(ĐH 2001)
52) Cho hai số thực 0, 0x y≠ ≠ thỏa mãn 2 2
( )x y xy x y xy+ = + − . Tìm GTLN của biểu thức
3 3
1 1
A
x y
= + (ĐH 2006)
53) Chứng minh rằng nếu 0 1y x≤ ≤ ≤ thì
1
4
x y y x− ≤ (ĐH 2006)