500 bdt

500
Bài Toán B t ð ng Th c Ch n L c
Cao Minh Quang
♦♦♦♦♦

Vĩnh Long, Xuân M u Tý, 2008

500 Bài Toán B t ð ng Th c Ch n L c Cao Minh Quang

500 Bài Toán B t ð ng Th c Ch n L c
♦♦♦♦♦
1. Cho a, b, c là các s th c dương. Ch ng minh r ng

2 2 2 3 2
a 2 + (1− b) + b 2 + (1− c) + c 2 + (1− a ) ≥ .
2
Komal
2. [ Dinu Serbănescu ] Cho a, b, c ∈ (0,1) . Ch ng minh r ng

abc + (1− a )(1− b)(1− c) < 1 .

Junior TST 2002, Romania
3. [ Mircea Lascu ] Cho a, b, c là các s th c dương th a mãn ñi u ki n abc = 1 . Ch ng
minh r ng
b+c c +a a +b
+ + ≥ a + b + c + 3.
a b c
Gazeta Matematică
4. N u phương trình x 4 + ax3 + 2 x 2 + bx + 1 = 0 có ít nh t m t nghi m th c, thì
a 2 + b2 ≥ 8 .
Tournament of the Towns, 1993
5. Cho các s th c x, y, z th a mãn ñi u ki n x 2 + y 2 + z 2 = 1 . Hãy tìm giá tr l n nh t c a
bi u th c
x3 + y 3 + z 3 − 3xyz .
6. Cho a, b, c, x, y, z là các s th c dương th a mãn ñi u ki n x + y + z = 1 . Ch ng minh
r ng
ax + by + cz + 2 ( xy + yz + zx )(ab + bc + ca ) ≤ a + b + c .

Ukraine, 2001
7. [ Darij Grinberg] Cho a, b, c là các s th c dương. Ch ng minh r ng
a b c 9
+ + ≥ .
(b + c)
2
(c + a )
2 2
( a + b) 4 (a + b + c)

8. [ Hojoo Lee ] Cho a, b, c ≥ 0 . Ch ng minh r ng

a4 + a2b2 + b4 + b4 + b2c2 + c4 + c4 + c2a2 + a4 ≥ a 2a2 + bc + b 2b2 + ca + c 2c2 + ab .
Gazeta Matematică
9. Cho a, b, c là các s th c dương th a mãn ñi u ki n abc = 2 . Ch ng minh r ng

a 3 + b 3 + c3 ≥ a b + c + b c + a + c a + b .
JBMO 2002 Shortlist
10. [ Ioan Tomescu ] Cho x, y, z là các s th c dương. Ch ng minh r ng
xyz 1
≤ 4.
(1 + 3x)( x + 8 y )( y + 9 z )( z + 6) 7

2


Gazeta Matematică
11. [ Mihai Piticari, Dan Popescu ] Cho a, b, c là các s th c dương th a mãn ñi u ki n
a + b + c = 1 . Ch ng minh r ng
5 (a 2 + b 2 + c 2 ) ≤ 6 (a 3 + b 3 + c3 ) +1 .

12. [ Mircea Lascu ] Cho x1 , x2 ,..., xn ∈ ℝ , n ≥ 2, a > 0 sao cho

a2
x1 + x2 + ... + xn = a, x12 + x2 + ... + xn ≤
2 2
.
n −1
Ch ng minh r ng
 2a 
xi ∈ 0,  , i = 1, 2,..., n .
 n 
13. [ Adrian Zahariuc ] Cho a, b, c ∈ (0,1) . Ch ng minh r ng

b a c b a c
+ + ≥1 .
4b c − c a 4c a − a b 4a b − b c
14. Cho a, b, c là các s th c dương th a mãn ñi u ki n abc ≤ 1 . Ch ng minh r ng
a b c
+ + ≥ a +b+c .
b c a
15. [ Vasile Cirtoaje, Mircea Lascu ] Cho a, b, c, x, y, z là các s th c dương th a mãn ñi u
ki n a + x ≥ b + y ≥ c + z , a + b + c = x + y + z . Ch ng minh r ng
ay + bx ≥ ac + xz .
16. [ Vasile Cirtoaje, Mircea Lascu ] Cho a, b, c là các s th c dương th a mãn ñi u ki n
abc = 1 . Ch ng minh r ng
3 6
1+ ≥ .
a + b + c ab + bc + ca
Junior TST 2003, Romania
a 3 b3 c 3 a 2 b 2 c 2
+ + ≥ + + .
b2 c2 a 2 b c a
JBMO 2002 Shortlist
18. Cho x1 , x2 ,..., xn > 0, n > 3 th a mãn ñi u ki n x1 x2 ...xn = 1 . Ch ng minh r ng
1 1 1
+ + ... + >1.
1 + x1 + x1 x2 1 + x2 x3 1 + xn + xn x1
Russia, 2004
19. [ Marian Tetiva ] Cho x, y, z là các s th c dương th a ñi u ki n x 2 + y 2 + z 2 + 2 xyz = 1 .
Ch ng minh r ng
1
a) xyz ≤ ,
8
3
b) x + y + z ≤ ,
2

3


3
c) xy + yz + zx ≤ ≤ x 2 + y 2 + z 2 ,
4
1
d) xy + yz + zx ≤ + 2 xyz .
2
20. [ Marius Olteanu ] Cho x1 , x2 ,..., x5 ∈ ℝ sao cho x1 + x2 + ... + x5 = 0 . Ch ng minh r ng

cos x1 + cos x2 + ... + cos x5 ≥ 1 .
Gazeta Matematică
21. [ Florina Cârlan, Marian Tetiva ] Cho x, y, z là các s th c dương th a mãn ñi u ki n
x + y + z = xyz . Ch ng minh r ng

xy + yz + zx ≥ 3 + x 2 + 1 + y 2 + 1 + z 2 + 1 .
22. [ Laurentiu Panaitopol ] Cho x, y, z là các s th c th a mãn ñi u ki n x, y , z > −1 .
Ch ng minh r ng
1+ x2 1+ y2 1+ z 2
+ + ≥2.
1+ y + z 2 1+ z + x2 1+ x + y 2
JBMO, 2003
23. Cho a, b, c là các s th c dương th a mãn ñi u ki n a + b + c = 1 . Ch ng minh r ng
a2 + b b2 + c c2 + a
+ + ≥ 2.
b+c c+a a +b
24. Cho a, b, c ≥ 0 th a mãn ñi u ki n a 4 + b 4 + c 4 ≤ 2 (a 2b 2 + b 2 c 2 + c 2 a 2 ) . Ch ng minh
r ng
a 2 + b 2 + c 2 ≤ 2 (ab + bc + ca ) .
Kvant, 1988
25. Cho x1 , x2 ,..., xn > 0, n > 2 th a mãn ñi u ki n
1 1 1 1
+ + ... + = .
x1 +1998 x2 +1998 xn +1998 1998
Ch ng minh r ng
n x1 x2 ...xn
≥ 1998 .
n −1
Vietnam, 1998
26. [Marian Tetiva ] Cho x, y, z là các s th c dương th a mãn ñi u ki n x 2 + y 2 + z 2 = xyz .
Ch ng minh r ng
a) xyz ≥ 27,
b) xy + yz + zx ≥ 27 ,
c) x + y + z ≥ 9 ,
d) xy + yz + zx ≥ 2 ( x + y + z ) + 9 .
27. Cho x, y, z là các s th c dương th a mãn ñi u ki n x + y + z = 3 . Ch ng minh r ng

x + y + z ≥ xy + yz + zx .

4


Russia 2002
28. [ D. Olteanu ] Cho a, b, c là các s th c dương. Ch ng minh r ng
a+b a b+c b c+a c 3
. + . + . ≥ .
b + c 2a + b + c c + a 2b + c + a a + b 2c + a + b 4
Gazeta Matematică
a b c c +a a+b b+c
+ + ≥ + + .
b c a c +b a +c b+a
India, 2002
a3 b3 c3 3(ab + bc + ca)
2 2
+ 2 2
+ 2 2
≥ .
b − bc + c c − ac + a a − ab + b a +b +c
Proposed for the Balkan Mathematical Olympical
31. [ Adrian Zahariuc ] Cho x1 , x2 ,..., xn là các s nguyên ñôi m t phân bi t nhau. Ch ng
minh r ng
x12 + x2 + ... + xn ≥ x1 x2 + x2 x3 ... + xn x1 + 2n − 3 .
2 2

32. [ Murray Klamkin ] Cho x1 , x2 ,..., xn ≥ 0, n > 2 th a mãn ñi u ki n x1 + x2 + ... + xn = 1 .
Hãy tìm giá tr l n nh t c a bi u th c
x12 x2 + x2 x3 + ... + xn−1 xn + xn x1 .
2 2 2

Crux Mathematicorum
33. Cho x1 , x2 ,..., xn > 0 th a mãn ñi u ki n xk +1 ≥ x1 + x2 + ... + xk v i m i k. Hãy tìm giá tr
l n nh t c a h ng s c sao cho x1 + x2 + ... + xn ≤ c x1 + x2 + ... + xn .
IMO Shortlist, 1986
34. Cho các s th c dương a, b, c, x, y, z th a mãn ñi u ki n a + x = b + y = c + z = 1. Ch ng
minh r ng
1 1 1 

(abc + xyz ) + + ≥ 3.
 

 ay bz cx 
Russia, 2002
35. [ Viorel Vâjâitu, Alexvàru Zaharescu ] Cho a, b, c là các s th c dương. Ch ng minh
r ng
ab bc ca 1
+ + ≤ (a + b + c) .
a + b + 2c b + c + 2a c + a + 2b 4
Gazeta Matematică
36. Cho a, b, c, d là các s th c th a mãn ñi u ki n a 2 + b 2 + c 2 + d 2 = 1 . Tìm giá tr nh
nh t c a bi u th c
a 3 (b + c + d ) + b3 (c + d + a) + c 3 (d + a + b) + d 3 (a + b + c) .
37. [ Walther Janous ] Cho x, y, z là các s th c dương. Ch ng minh r ng

5


x y z
+ + ≤1 .
x + ( x + y )( x + z ) y + ( y + z )( y + x ) z + ( z + x)( z + y )
Crux Mathematicorum
38. Cho a1 , a2 ,..., an , n ≥ 2 là n s th c sao cho a1 < a2 < ... < an . Ch ng minh r ng

a1a2 + a2 a3 + ... + an a14 ≥ a2 a14 + a3a2 + ... + a1an .
4 4 4 4

39. [ Mircea Lascu ] Cho a, b, c là các s th c dương. Ch ng minh r ng
b+c c +a a +b  a b c .
+ + ≥ 4
 + + 

a b c b + c c + a a + b

40. Cho a1 , a2 ,..., an là các s nguyên dương l n hơn 1. T n t i ít nh t m t trong các s
3
a1
a1 , a2 a3 ,..., an−1 an , an a1 nh hơn ho c b ng 3.
Adapted after a well – known problem
41. [ Mircea Lascu, Marian Tetiva ] Cho x, y, z là các s th c dương th a mãn ñi u ki n
xy + yz + zx + 2 xyz = 1 . Ch ng minh r ng
1
a) xyz ≤ ,
8
3
b) x + y + z ≥ ,
2
1 1 1
c) + + ≥ 4( x + y + z) ,
x y z
2
1 1 1 (2 z −1)
d) + + − 4( x + y + z) ≥ , z = max { x, y, z } .
x y z z (2 z +1)
42. [ Manlio Marangelli ] Cho x, y, z là các s th c dương. Ch ng minh r ng

3( x 2 y + y 2 z + z 2 x )( xy 2 + yz 2 + zx 2 ) ≥ xyz ( x + y + z ) .
3

43. [ Gabriel Dospinescu ] Cho a, b, c là các s th c dương th a mãn ñi u ki n
max {a, b, c} − min {a, b, c} ≤ 1
Ch ng minh r ng
1 + a 3 + b3 + c 3 + 6abc ≥ 3a 2b + 3b 2 c + 3c 2 a .
44. [ Gabriel Dospinescu ] Cho a, b, c là các s th c dương. Ch ng minh r ng
 a 2  b2  c2   1 1 1
27 + 2 + 2 + 2 +  ≥ 6 (a + b + c ) + +  .
   




bc  

ca  

ab  a b c

 


1 a2
45. Cho a0 = , a k+1 = ak + k . Ch ng minh r ng
2 n
1
1− < an < 1 .
n
TST Singapore
46. [ Călin Popa ] Cho a, b, c ∈ (0,1) th a mãn ñi u ki n ab + bc + ca = 1 . Ch ng minh r ng

6


a b c 3 1− a 2 1− b2 1− c 2 

+ + ≥  + + .
1 − a 2 1− b 2 1− c 2 4  a
 b c  

47. [ Titu Vàreescu, Gabriel Dospinescu ] Cho x, y, z ≤ 1 th a mãn ñi u ki n x + y + z = 1 .
Ch ng minh r ng
1 1 1 27
2
+ 2
+ 2
≤ .
1+ x 1+ y 1+ z 10
48. [ Gabriel Dospinescu ] Cho x + y + z = 1 . Ch ng minh r ng
2 2 2
(1− x) (1− y ) (1− z ) ≥ 215 xyz ( x + y )( y + z )( z + x) .
49. Cho x, y, z là các s th c dương th a mãn ñi u ki n xyz = x + y + z +2 . Ch ng minh r ng
a) xy + yz + zx ≥ 2 ( x + y + z ) ,
3
b) x+ y+ z≤ xyz .
2
50. Cho x, y, z là các s th c th a mãn ñi u ki n x 2 + y 2 + z 2 = 2 . Ch ng minh r ng
x + y + z ≤ xyz + 2 .
IMO Shortlist, 1987
51. [ Titu Vàreescu, Gabriel Dospinescu ] Cho x1 , x2 ,..., xn ∈ (0,1) và σ là m t hoán v c a
{1, 2,..., n} . Ch ng minh r ng
 n 
 ∑ xi   n



 
n
1 1 + i=1 .
 1 

∑ 1− x ≥
  ∑
  1− x . x  .

n   i=1 

i=1   i σ(i ) 
i

 

 
n
1
52. Cho x1 , x2 ,..., xn là các s th c dương th a mãn ñi u ki n ∑ 1+ x = 1 . Ch ng minh r ng
i=1 i

n n
1
∑ xi ≥ (n −1) ∑
xi
.
i=1 i=1

Vojtech Jarnik
n
53. [ Titu Vàreescu ] Cho n > 3 và a1 , a2 ,..., an là các s th c th a mãn ñi u ki n ∑a ≥ n i
i=1
n
và ∑a 2
i ≥ n 2 . Ch ng minh r ng
i=1

max {a1 , a2 ,..., an } ≥ 2 .
USAMO, 1999
54. [ Vasile Cirtoaje ] Cho a, b, c, d là các s th c dương. Ch ng minh r ng
a −b b−c c − d d −a
+ + + ≥0.
b+c c +d d +a a +b
55. Cho x, y là các s th c dương. Ch ng minh r ng
x y + yx >1 .
7


France, 1996
(a + b)(b + c)(c + a ) ≥ 4 (a + b + c −1) .
MOSP, 2001

(a 2 + b2 + c2 )(a + b − c)(b + c − a)(c + a − b) ≤ abc (ab + bc + ca) .
58. [ D.P.Mavlo ] Cho a, b, c là các s th c dương. Ch ng minh r ng
1 1 1 a b c (a + 1)(b +1)(c +1)
3+ a +b + c + + + + + + ≥ 3 .
a b c b c a 1 + abc
Kvant, 1988
59. [ Gabriel Dospinescu ] Cho x1 , x2 ,..., xn là các s th c dương th a mãn ñi u ki n
x1 x2 ...xn = 1 . Ch ng minh r ng

 n 1
n
n n
n .∏( x + 1) ≥ ∑ xi + ∑  .
n n 



i=1
i
 i =1

x i=1 i

60. Cho a, b, c, d là các s th c dương th a mãn ñi u ki n a + b + c = 1 . Ch ng minh r ng
1 1 d 
 
a 3 + b3 + c3 + abcd ≥ min  , +  .
 4 9 27 

 

Kvant, 1993

∑ (1+ a ) (1 + b ) (a − c) (b − c) ≥ (1 + a )(1 + b )(1 + c )(a − b) (b − c) (c − a) .
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

AMM
62. [ Titu Vàreescu, Mircea Lascu ] Cho x, y, z là các s th c dương th a mãn ñi u ki n
xyz = 1 và α ≥ 1. Ch ng minh r ng
xα yα zα 3
+ + ≥ .
y+z z+x x+ y 2
63. Cho x1, x2 ,..., xn , y1, y2 ,..., yn ∈ ℝ th a mãn ñi u ki n x12 + x2 +... + xn = y12 + y2 +... + yn =1 .
2 2 2 2

Ch ng minh r ng
 n 
( x1 y2 − x2 y1 ) ≤ 2 1− ∑ xi yi  .

2


 i=1
 

Korea, 2001
64. [ Laurentiu Panaitopol ] Cho a1 , a2 ,..., an là các s nguyên dương khác nhau t ng ñôi m t.
Ch ng minh r ng
2n + 1
a12 + a2 + ... + an ≥
2 2
(a1 + a2 + ... + an ) .
3
TST Romania
65. [ Călin Popa ] Cho a, b, c là các s th c dương th a mãn ñi u ki n a + b + c = 1 . Ch ng
minh r ng

8


b c c a a b 3 3
+ + ≥ .
a ( 3c + ab ) b ( 3a + bc ) c ( 3b + ca ) 4

66. [ Titu Vàreescu, Gabriel Dospinescu ] Cho a, b, c, d là các s th c th a mãn ñi u ki n
(1 + a 2 )(1+ b2 )(1+ c 2 )(1 + d 2 ) = 16 . Ch ng minh r ng

−3 ≤ ab + bc + cd + da + ac + bd − abcd ≤ 5 .

(a 2 + 2)(b2 + 2)(c2 + 2) ≥ 9(ab + bc + ca) .
APMO, 2004
68. [ Vasile Cirtoale ] Cho x, y, z là các s th c th a mãn các ñi u ki n 0 < x ≤ y ≤ z,
x + y + z = xyz + 2 . Ch ng minh r ng
a) (1− xy )(1− yz )(1− zx) ≥ 0 ,
32
b) x 2 y ≤ 1, x 3 y 2 ≤ .
27
69. [ Titu Vàreescu ] Cho a, b, c là các s th c dương th a mãn ñi u ki n a + b + c ≥ abc .
Ch ng minh r ng ít nh t m t trong ba b t ñ ng th c sau ñây là ñúng
2 3 6 2 3 6 2 3 6
+ + ≥ 6, + + ≥ 6, + + ≥ 6 .
a b c b c a c a b
TST 2001, USA
70. [ Gabriel Dospinescu, Marian Tetiva ] Cho x, y, z là các s th c dương th a mãn ñi u
ki n x + y + z = xyz . Ch ng minh r ng

( x −1)( y −1)( z −1) ≤ 6 3 −10 .
71. [ Marian Tetiva ] Cho a, b, c là các s th c dương. Ch ng minh r ng
2 2 2
a3 − b3 b3 − c3 c 3 − a3 (a − b) + (b − c ) + (c − a )
+ + ≤ .
a +b b+c c+a 4
Moldova TST, 2004
72. [ Titu Vàreescu ] Cho a, b, c là các s th c dương. Ch ng minh r ng

(a5 − a 2 + 3)(b5 − b2 + 3)(c5 − c 2 + 3) ≥ (a + b + c)3 .
USAMO, 2004
73. [ Gabriel Dospinescu ] Cho x1 , x2 ,..., xn > 0, n > 2 th a mãn ñi u ki n
 n  n 1  
 x 
∑ k   ∑  = n 2 + 1 .

 k =1  k =1 xk 
  

Ch ng minh r ng
 n 2  n 1 
  2
 x 
 ∑ k  ∑ 2  > n + 4 +
2
.

 k =1  k =1 xk 
 n (n −1)
 
74. [ Gabriel Dospinescu, Mircea Lascu, Marian Tetiva ] Cho a, b, c là các s th c dương.
Ch ng minh r ng

9


a 2 + b 2 + c 2 + 2abc + 3 ≥ (1 + a)(1 + b)(1 + c) .
75. [ Titu Vàreescu, Zuming Feng ] Cho a, b, c là các s th c dương. Ch ng minh r ng
2 2 2
( 2a + b + c ) (2b + a + c) (2c + b + c)
2
+ 2 2
+ 2 2
≤8.
2a + (b + c)
2
2b + (a + c) 2c + (a + b)
USAMO, 2003
76. Cho x, y là các s th c dương và m, n là các s nguyên dương. Ch ng minh r ng

(n −1)(m −1)( x m+n + y m+n ) + (m + n −1)( x m y n + x n y m ) ≥ mn ( x m+n−1 y + y m+n−1 x) .
Austrian – Polish Competition, 1995
77. Cho a, b, c, d , e là các s th c dương th a mãn ñi u ki n abcde = 1 . Ch ng minh r ng
a + abc b + bcd c + cde d + dea e + eab 10
+ + + + ≥ .
1 + ab + abcd 1 + bc + bcde 1 + cd + cdea 1 + de + deab 1 + ea + eabc 3
Crux Mathematicorum
 π
78. [ Titu Vàreescu ] Cho a, b, c ∈ 0,  . Ch ng minh r ng
 2

 

sin a.sin (a − b).sin (a − c ) sin b.sin (b − c ).sin (b − a ) sin c.sin (c − a ).sin (c − b)
+ + ≥0.
sin (b + c ) sin (c + a ) sin (a + b)
TST 2003, USA

a 4 + b4 + c 4 + a 2b 2 + b 2c 2 + c 2 a 2 ≥ a 3b + b3c + c 3a + ab3 + bc3 + ca 3 .
KMO Summer Program Test, 2001
80. [ Gabriel Dospinescu, Mircea Lascu ] Cho a1 , a2 ,..., an > 0, n > 2 th a mãn ñi u ki n
a1a2 ...an = 1 . Hãy tìm h ng s kn nh nh t sao cho
a1a2 a2 a3 an a1
+ + ... + ≤ kn .
(a2
1 + a2 )(a + a1 )
2
2 (a 2
2 + a3 )(a + a2 )
2
3 (a 2
n + a1 )(a12 + an )

81. [ Vasile Cirtoaje ] Cho a, b, c, x, y, z là các s th c dương. Ch ng minh r ng
2
ax + by + cz + (a 2 + b2 + c 2 )( x 2 + y 2 + z 2 ) ≥ 3 (a + b + c)( x + y + z ) .
Kvant, 1989
82. [ Vasile Cirtoaje ] Cho a, b, c là ñ dài ba c nh c a m t tam giác. Ch ng minh r ng
a b c  b c a
3 + + −1 ≥ 2  + +  .
 
  

b c a 
 a b c

83. [ Walther Janous ] Cho x1 , x2 ,..., xn > 0, n > 2 th a mãn ñi u ki n x1 + x2 + ... + xn = 1 .
Ch ng minh r ng
  n  
1 + 1  ≥  n − xi  .
n

∏ x  ∏ 1 − x 

i=1 


 i=1 




i i

Crux Mathematicorum

10


84. [ Vasile Cirtoaje, Gheoghe Eckstein ] Cho x1 , x2 ,..., xn là các s th c dương th a mãn ñi u
ki n x1 x2 ...xn = 1 . Ch ng minh r ng
1 1 1
+ + ... + ≤1 .
n −1 + x1 n −1 + x2 n −1 + xn
TST 1999, Romania
85. [ Titu Vàreescu ] Cho a, b, c là các s th c không âm th a ñi u ki n a2 +b2 +c2 +abc = 4 .
Ch ng minh r ng
0 ≤ ab + bc + ca − abc ≤ 2 .
USAMO, 2001
86. [ Titu Vàreescu ] Cho a, b, c là các s th c dương. Ch ng minh r ng
a +b +c 3
{( ) ( ) ( ) }.
2 2 2
− abc ≤ max a− b , b− c , c− a
3
TST 2000, USA
87. [ Kiran Kedlaya ] Cho a, b, c là các s th c dương. Ch ng minh r ng

a + ab + 3 abc 3 a + b a + b + c
≤ a. . .
3 2 3
88. Tìm h ng s k l n nh t sao cho v i b t kì s nguyên dương n không chính phương, ta
có

(1+ n ) sin (π n ) > k .
Vietnamese IMO Training Camp, 1995
3
89. [ Tr n Nam Dũng ] Cho x, y, z là các s th c dương th a ñi u ki n ( x + y + z ) = 32 xyz .
Tìm giá tr l n nh t và giá tr nh nh t c a bi u th c
x4 + y4 + z 4
4
.
(x + y + z)
Vietnam, 2004
90. [ George Tsintifas ] Cho a, b, c, d là các s th c dương. Ch ng minh r ng
3 3 3 3 4
(a + b) (b + c) (c + d ) (d + a) ≥ 16a 2b2 c 2 d 2 (a + b + c + d ) .
Crux Mathematicorum
91. [ Titu Vàreescu, Gabriel Dospinescu ] Cho a, b, c là các s th c không âm th a mãn ñi u
ki n a + b + c = 1 và n là s nguyên dương. Tìm giá tr l n nh t c a bi u th c
(ab) (bc) (ca)
n n n

+ + .
1− ab 1− bc 1− ca
1 1 1 3
+ + ≥ .
a (1 + b) b (1 + c ) c (1 + a ) 3
abc 1 + 3 abc ( )
93. [Tr n Nam Dũng ] Cho a, b, c là các s th c dương th a mãn ñi u ki n a 2 + b2 + c 2 = 9 .
Ch ng minh r ng

11


2 (a + b + c) − abc ≤ 10 .
Vietnam, 2002
94. [ Vasile Cirtoaje ] Cho a, b, c là các s th c dương. Ch ng minh r ng
        
a + 1 −1b + 1 −1 + b + 1 −1c + 1 −1 + c + 1 −1a + 1 −1 ≥ 3 .
        

 b   
c   c   
a   a  b  

95. [ Gabriel Dospinescu ] Cho n là s nguyên l n hơn 2. Tìm s th c l n nh t mn và s
th c nh nh t M n sao cho v i các s th c dương b t kì x1 , x2 ,..., xn (xem xn = x0 , xn+1 = x1 ),
ta có
n
xi
mn ≤ ∑ ≤ Mn .
i=1 xi−1 + 2 (n −1) xi + xi +1
96. [ Vasile Cirtoaje ] Cho x, y, z là các s th c dương. Ch ng minh r ng
1 1 1 9
2 2
+ 2 2
+ 2 2
≥ 2
.
x + xy + y y + yz + z z + zx + x (x + y + z)
Gazeta Matematică
97. [ Vasile Cirtoaje ] Cho a, b, c, d là các s th c dương. Ch ng minh r ng

2 (a3 +1)(b3 +1)(c 3 + 1)(d 3 +1) ≥ (1 + abcd )(1 + a 2 )(1 + b 2 )(1 + c 2 )(1 + d 2 ) .

Gazeta Matematică
4 4
4 4
(a + b) + (b + c) + (c + a) ≥
4

7
(a + b 4 + c 4 ) .
Vietnam TST, 1996
1 1 1 1 1 1
+ + ≤ + + .
1+ a + b 1+ b + c 1+ c + a 2 + a 2 + b 2 + c
Bulgaria, 1997
100. [Tr n Nam Dũng ] Cho a, b, c là các s th c dương th a 21ab + 2bc + 8ca ≤ 12 . Tìm
giá tr nh nh t c a bi u th c
1 2 3
+ + .
a b c
Vietnam, 2001
101. [ Titu Vàreescu, Gabriel Dospinescu ] Cho a, b, c, x, y, z là các s th c dương th a mãn
ñi u ki n xy + yz + zx = 3 . Ch ng minh r ng
a b c
( y + z)+ ( z + x) + ( x + y) ≥ 3 .
b+c c+a a +b
2 2 2
(b + c − a ) (c + a − b) (a + b − c) 3
2
+ 2
+ 2
≥ .
(b + c) + a 2 (c + a) + b 2 (a + b) + c 2 5
Japan, 1997
12


103. [ Vasile Cirtoaje, Gabriel Dospinescu ] Cho a1 , a2 ,..., an ≥ 0, an = min {a1 , a2 ,..., an } .
Ch ng minh r ng
 a + a2 + ... + an−1 n
a1n + a2 + ... + an − na1a2 ...an ≥ (n −1) 1
n n
 − an  .



 n −1 
104. [ Turkervici ] Cho x, y , z , t là các s th c dương. Ch ng minh r ng
x 4 + y 4 + z 4 + t 4 + 2 xyzt ≥ x 2 y 2 + y 2 z 2 + z 2t 2 + x 2 z 2 + y 2t 2 .
Kvant
105. Cho a1 , a2 ,..., an là các s th c dương. Ch ng minh r ng

 n 2 n
 a ≤
∑ i 
ij
 ∑ i + j −1ai a j .
 i=1  i , j=1
 

106. Cho a1 , a2 ,..., an , b1 , b2 ,..., bn ∈ (1001, 2002) sao cho a12 + a2 + ... + an = b12 + b2 + ... + bn .
2 2 2 2

Ch ng minh r ng
a13 a2
3
a 3 17
+ + ... + n ≤ (a12 + a2 + ... + an ) .
2 2

b1 b2 bn 10
TST Singapore
107. [ Titu Vàreescu, Gabriel Dospinescu ] Cho a, b, c là các s th c dương th a mãn ñi u
ki n a + b + c = 1 . Ch ng minh r ng

(a 2 + b2 )(b2 + c 2 )(c 2 + a 2 ) ≥ 8(a 2b2 + b2c 2 + c 2 a 2 )
2
.

108. [ Vasile Cirtoaje ] Cho a, b, c, d là các s th c dương th a mãn ñi u ki n abcd = 1 .
Ch ng minh r ng
1 1 1 1
2
+ 2
+ 2
+ 2
≥1.
(1 + a ) (1 + b) (1 + c) (1 + d )
Gazeta Matematică
a2 b2 c2 a b c
2 2
+ 2 2
+ 2 2
≥ + + .
b +c c +a a +b b+c c +a a +b
Gazeta Matematică
110. [ Gabriel Dospinescu ] Cho n s th c a1 , a2 ,..., an . Ch ng minh r ng
2
 
 a ≤ 2

 1≤∑ n ( i
∑ i 
  a + ... + a j ) .
i∈ℕ* 
  i≤ j≤

TST 2004, Romania
111. [Tr n Nam Dũng ] Cho x1 , x2 ,..., xn ∈ [−1,1] th a mãn ñi u ki n x1 + x2 + ... + xn = 0 .
3 3 3

Tìm giá tr l n nh t c a bi u th c
x1 + x2 + ... + xn .
112. [ Gabriel Dospinescu, Călin Popa ] Cho n s th c a1 , a2 ,..., an , n ≥ 2 th a mãn ñi u
ki n a1a2 ...an = 1 . Ch ng minh r ng

13


2n n
a12 + a2 + ... + an − n ≥
2 2
n −1 (a1 + a2 + ... + an − n) .
n −1

2a 2b 2c
+ + ≤ 3.
a +b b+c c+a
Gazeta Matematică
114. Cho x, y, z là các s th c dương. Ch ng minh r ng
 1 1 1  9
( xy + yz + zx)  2
+ 2
+ 2
≥ .
 ( x + y ) ( y + z) ( z + x)  4
Iran, 1996
115. [ Cao Minh Quang ] Cho x1 , x2 ,..., xn là các s th c dương th a mãn ñi u ki n
n

∏(3x +1) ≤ 2
i=1
i
n
.

Ch ng minh r ng
n
1 n
∑ 6 x +1 ≥ 3 .
i=1 i

116. [ Suranyi ] Cho a1 , a2 ,..., an là các s th c dương. Ch ng minh r ng

(n −1)(a1n + a2 + ... + an ) + na1a2 ...an ≥ (a1 + a2 + ... + an )(a1n−1 + a2 −1 + ... + ann−1 ) .
n n n

Miklos Schweitzer Competition
117. [ Gabriel Dospinescu ] Cho x1 , x2 ,..., xn > 0 th a mãn ñi u ki n x1 x2 ...xn = 1 . Ch ng
minh r ng
n

∑ (x − x ) ≥ ∑ x
2 2
i j i −n .
1≤i≤ j≤n i =1

A generazation of Tukervici’s Inequality
1
118. [ Vasile Cirtoaje ] Cho a1 , a2 ,..., an < và a1 + a2 + ... + an = 1, n > 2 . Tìm giá tr
n −1
nh nh t c a bi u th c
n
a1a2 ...an
∑ 1−(n −1) ai
.
i=1

119. [ Vasile Cirtoaje ] Cho a1 , a2 ,..., an ∈ [0,1) th a mãn ñi u ki n

a12 + a2 + ... + an
2 2
3
a= ≥ .
n 3
Ch ng minh r ng
a1 a a na
2
+ 2 2 + ... + n 2 ≥ .
1− a1 1− a2 1− an 1− a 2
120. [ Vasile Cirtoaje, Mircea Lascu ] Cho a, b, c, x, y, z là các s th c dương th a mãn ñi u
ki n

14


(a + b + c)( x + y + z ) = (a 2 + b 2 + c 2 )( x 2 + y 2 + z 2 ) = 4 .
Ch ng minh r ng
1
abcxyz < .
36
121. [ Gabriel Dospinescu ] Cho x1 , x2 ,..., xn > 0, n > 2 th a mãn ñi u ki n x1 x2 ...xn = 1 . Tìm
h ng s kn nh nh t sao cho
1 1 1
+ + ... + ≤ n −1 .
1 + kn x1 1 + kn x2 1 + kn xn
Mathlinks Contest
122. [ Vasile Cirtoaje, Gabriel Dospinescu ] Cho x1 , x2 ,..., xn > 0, n > 2 th a mãn ñi u ki n
x12 + x2 + ... + xn = 1 . Tìm h ng s kn l n nh t sao cho
2 2

(1− x1 )(1− x2 )...(1− xn ) ≥ kn x1 x2 ...xn .

1 1 1 3
+ 3 + 3 ≥ .
a (b + c ) b (c + a ) c (a + b) 2
3

IMO, 1995
ab bc ca
+ 5 + 5 ≤ 1.
a + b + ab b + c + bc c + a 5 + ca
5 5 5

IMO Shortlist, 1996
1 + ab 2 1 + bc 2 1 + ca 2 18
3
+ 3
+ 3
≥ 3 .
c a b a + b3 + c3
Hong Kong, 2000
1 1 1 1
2
+ 2
+ 2
≤ .
(a +1) + b + 1 (b +1) + c + 1 (c +1) + a + 1
2 2 2 2

   
a −1 + 1 b −1 + 1 c −1 + 1  ≤ 1 .
   

 b 
 c 
 a
IMO, 2000
a3 b3 c3 3
+ + ≥ .
(1 + b)(1 + c) (1 + a)(1 + c) (1 + a )(1 + b) 4
IMO Shortlist, 1998

15


ab bc ca 1
+ + ≤ .
1+ c 1+ a 1+ b 4

a 2 + b 2 + c 2 + 2 3abc ≤ 1 .
Poland, 1999
131. Cho a, b, c là các s th c dương th a mãn ñi u ki n a 2 + b 2 + c 2 = 1 . Ch ng minh r ng
1
a +b+c + ≥4 3.
abc
Macedonia, 1999

ab + c + bc + a + ca + b ≥ 1 + ab + bc + ca .
(1 + a)(1 + b)(1 + c) ≥ 8 (1− a )(1− b)(1− c) .
Russia, 1991
134. Cho a, b là các s th c dương th a mãn ñi u ki n a + b = 1 . Ch ng minh r ng
a2 b2 1
+ ≥ .
a +1 b +1 3
Hungary, 1996
135. Cho các s th c x, y . Ch ng minh r ng
2
3( x + y + 1) + 1 ≥ 3 xy .
Columbia, 2001

 1 1 a b
2 (a + b) +  ≥ 3 + 3 .
a b

3
 
 b a
Czech and Slovakia, 2000
137. Cho a, b, c ≥ 1 . Ch ng minh r ng

a −1 + b −1 + c −1 ≤ c (ab + 1) .

Hong Kong, 1998
138. Cho x, y, z là các s th c dương th a mãn ñi u ki n x + y + z = xyz . Ch ng minh r ng
1 1 1 3
+ + ≤ .
1+ x 2
1+ y 2
1+ z 2 2

Korea, 1998
a b c
+ + ≥1 .
2 2 2
a + 8bc b + 8ca c + 8ab
IMO, 2001

16


140. Cho a, b, c, d là các s th c dương. Ch ng minh r ng
a b c d 2
+ + + ≥ .
b + 2c + 3d c + 2d + 3a d + a + 3b a + 2b + 3c 3
IMO Shortlist, 1993
141. Cho a, b, c, d là các s th c dương th a mãn ñi u ki n ab + bc + cd + da = 1 . Ch ng
minh r ng
a3 b3 c3 d3 1
+ + + ≥ .
b+c +d c +d +a d +a +b a +b+c 3
IMO Shortlist, 1990
a2 b2 c2 bc ca ab
2
+ 2 + 2 ≥1 ≥ 2 + 2 + 2 .
a + 2bc b + 2ca c + 2ab a + 2bc b + 2ca c + 2ab
Romania, 1997
a 3 b3 c3
+ + ≥ a +b +c .
bc ca ab
Canada, 2002
1 1 1 1
3 3
+ 3 3
+ 3 3
≤ .
a + b + abc b + c + abc c + a + abc abc
USA, 1997
145. Cho a, b, c là các s th c dương th a mãn ñi u ki n a2 + b2 + c2 = 3 . Ch ng minh r ng
1 1 1 3
+ + ≥ .
1 + ab 1 + bc 1 + ca 2
Belarus, 1999
a b c a +b b + c
+ + ≥ + +1.
b c a b+c a +b
Belarus, 1998
3
147. Cho a, b, c ≥ − , a + b + c = 1 . Ch ng minh r ng
4
a b c 9
2
+ 2 + 2 ≤ .
a + 1 b + 1 c + 1 10
Poland, 1996
148. Cho x, y, z là các s th c dương th a mãn ñi u ki n xyz = 1 . Ch ng minh r ng
x9 + y 9 y9 + z9 z 9 + x9
+ 6 + 6 ≥2.
x6 + x3 y 3 + y 6 y + y 3 z 3 + z 6 z + z 3 z 3 + x 6
Roamania, 1997
149. Cho x ≥ y ≥ z > 0 . Ch ng minh r ng

17


x2 y y2 z z 2 x
+ + ≥ x2 + y2 + z 2 .
z x y
Vietnam, 1991
150. Cho a ≥ b ≥ c > 0 . Ch ng minh r ng
a 2 − b 2 c 2 − b2 a 2 − c 2
+ + ≥ 3a − 4b + c .
c a b
Ukraine, 1992

(
xyz x + y + z + x 2 + y 2 + z 2 ) ≤ 3+ 3
.
(x 2
+ y + z )( xy + yz + zx )
2 2
9

Hong Kong, 1997
152. Cho a1 , a2 , ..., an > 0 và a1 + a2 + ... + an < 1 . Ch ng minh r ng
a1a2 ...an (1− a1 − a2 − ... − an ) 1
≤ n+1 .
(a1 + a2 + ... + an )(1− a1 )(1− a2 )...(1− an ) n
IMO Shortlist, 1998
153. Cho hai s th c a, b , a ≠ 0 . Ch ng minh r ng
1 b
a 2 + b2 + + ≥ 3.
a2 a
Austria, 2000
154. Cho a1 , a2 , ..., an > 0 . Ch ng minh r ng

a12 a2
2
a2 a2
+ + ... + n−1 + n ≥ a1 + a2 + ... + an .
a2 a3 an a1
China, 1984
155. Cho x, y, z là các s th c dương th a mãn ñi u ki n xyz = 1 . Ch ng minh r ng
x 2 + y 2 + z 2 + x + y + z ≥ 2 ( xy + yz + zx) .
Russia, 2000
156. Cho x, y, z là các s th c dương th a mãn ñi u ki n xyz ≥ xy + yz + zx . Ch ng minh
r ng
xyz ≥ 3( x + y + z ) .
India, 2001
1 1 1
157. Cho x, y, z > 1 và + + = 2 . Ch ng minh r ng
x y z
x + y + z ≥ x −1 + y −1 + z −1 .
IMO, 1992
158. Cho a, b, c là các s th c dương th a mãn ñi u ki n ab +bc +ca =1. Ch ng minh r ng

1 1 1 1
3 + 6b + 3 + 6c + 3 + 6a ≤ .
a b c abc
18


IMO Shortlist, 2004
159. Cho x ≥ 2, y ≥ 2, z ≥ 2 . Ch ng minh r ng

( x3 + y )( y 3 + z )( z 3 + x) ≥ 125 xyz .
Saint Petersburg, 1997

160. Cho a, b, c, d là các s th c dương th a mãn ñi u ki n c 2 + d 2 = (a 2 + b 2 ) . Ch ng
3

minh r ng
a 3 b3
+ ≥ 1.
c d
Singapore, 2000
a b c
+ + ≥1.
b + 2c c + 2a a + 2b
Czech – Slovak Match, 1999
ab bc ca a b c
+ + ≥ + + .
c (c + a) a (a + b) b (b + c) c + a b + a c + b
Moldova, 1999
a +c b+d c +a d +b
+ + + ≥ 4.
a+b b+c c +d d +a
Baltic way, 1995
164. Cho x, y, u , v là các s th c dương. Ch ng minh r ng
xy + xu + uy + uv xy uv
≥ + .
x + y +u +v x+ y u +v
Poland, 1993
 a  b  c   
1 + 1 + 1 +  ≥ 2 1 + a + b + c  .

 b  c  a 

 
 
 



 3
abc  

APMO, 1998
166. Cho x, y, z là các s th c không âm th a mãn ñi u ki n x + y + z =1. Ch ng minh r ng
4
x2 y + y 2 z + z 2 x ≤ .
27
Canada, 1999
167. Cho a, b, c, d , e, f là các s th c dương th a mãn ñi u ki n
1
a + b + c + d + e + f = 1, ace + bdf ≥ .
108
Ch ng minh r ng

19


1
abc + bcd + cde + def + efa + fab ≤ .
36
Poland, 1998
168. Cho a, b, c ∈ [0,1] . Ch ng minh r ng

a 2 + b 2 + c 2 ≤ a 2b + b 2 c + c 2 a + 1 .
Italy, 1993
169. Cho a, b, c ≥ 0, a + b + c ≥ abc . Ch ng minh r ng
a 2 + b 2 + c 2 ≥ abc .
Ireland, 1997
170. Cho a, b, c ≥ 0, a + b + c ≥ abc . Ch ng minh r ng

a 2 + b 2 + c 2 ≥ 3abc .
BMO, 2001
171. Cho x, y, z là các s th c dương th a mãn ñi u ki n x + y + z = xyz . Ch ng minh r ng

xy + yz + zx ≥ 9 ( x + y + z ) .
Belarus, 1996
172. Cho x1 , x2 , x3 , x4 là các s th c dương th a mãn ñi u ki n x1 x2 x3 x4 = 1 . Ch ng minh
r ng

 1 1 1 1 
x13 + x2 + x3 + x4 ≥ max  x1 + x2 + x3 + x4 , + + +  .
3 3 3
 


 x1 x2 x3 x4 


Iran, 1997
173. Cho a, b, c, x, y, z là các s th c dương. Ch ng minh r ng
3
a 3 b3 c 3 (a + b + c )
+ + ≥ .
x y z 3( x + y + z )
Belarus TST, 2000
174. Cho a, b, c, d là các s th c dương th a mãn ñi u ki n
1 1 1 1
4
+ 4
+ 4
+ =1.
1+ a 1+ b 1+ c 1+ d 4
Ch ng minh r ng
abcd ≥ 3 .
Latvia, 2002
175. Cho x, y, z > 1 . Ch ng minh r ng
2 +2 yz 2 + 2 zx 2 +2 xy xy + yz + zx
xx yy zz ≥ ( xyz ) .
Proposed for 1999 USAMO
176. Cho c ≥ b ≥ a ≥ 0 . Ch ng minh r ng
(a + 3b)(b + 4c)(c + 2a) ≥ 60abc .
Turkey, 1999

20



x 2 + y 2 + z 2 ≥ 2 ( xy + yz ) .
Macedonia, 2000
178. Cho các s th c a, b, c th a mãn ñi u ki n a 2 + b 2 + c 2 = 1 . Ch ng minh r ng
a2 b2 c2 3
+ + ≥ .
1 + 2bc 1 + 2ca 1 + 2ab 5
Bosnia and Hercegovina, 2002
179. Cho a, b, c là các s th c dương th a mãn ñi u ki n abc ≥ 1 . Ch ng minh r ng
1 1 1
4 4
+ 4 4
+ 4 ≤1.
a+b +c a +b+c a + b4 + c
Korea, 1999
180. Cho a > b > c > 0, x > y > z > 0 . Ch ng minh r ng
a 2 x2 b2 y 2 c2 z 2 3
+ + ≥ .
(by + cz )(bz + cy ) (cz + ax)(cx + az ) (ax + by )(ay + bx) 4
Korea, 2000
181. Cho a, b, c là các s th c không âm th a mãn ñi u ki n a + b + c = 3 . Ch ng minh
r ng
a b c 3
+ + ≥ .
b2 +1 c 2 +1 a 2 + 1 2
Mediterranean, 2003
a b c
+ + ≤1.
2a + b 2b + c 2c + a
Moldova, 2002
183. Cho α, β , x1 , x2 ,..., xn > 0, x1 + x2 + ... + xn = 1 . Ch ng minh r ng
3
x13 3
x2 xn 1
+ + ... + ≥ .
α x1 + β x2 α x2 + β x3 α xn + β x1 n (α + β )
Moldova TST, 2002
184. Cho a là m t s th c dương, x1 , x2 ,..., xn > 0, x1 + x2 + ... + xn = 1 . Ch ng minh r ng

a x1−x2 a x2 −x3 a xn −x1 n2
+ + ... + ≥ .
x1 + x2 x2 + x3 xn + x1 2
Serbia, 1998
185. Cho x, y ∈ [ 0,1] . Ch ng minh r ng
1 1 2
+ ≤ .
1+ x 2
1+ y 2
1 + xy
Russia, 2000

21


1 1 1
186. Cho x, y , z > 0, xyz = 1, + + > x + y + z, k ∈ N * . Ch ng minh r ng
x y z
1 1 1
k
+ k + k > xk + y k + z k .
x y z
Russia, 1999
187. Cho xn ≥ xn−1 ≥ xn−2 ≥ ... ≥ x1 > 0, n ≥ 3 . Ch ng minh r ng
xn x1 x1 x2 x x
+ + ... + n−1 n ≥ x1 + x2 + ... + xn .
x2 x3 x1
Saint Petersburg, 2000
188. Cho x1 ,..., x6 ∈ [ 0,1] . Ch ng minh r ng
3
x13 x23
x6 3
5 5 5
+ 5 5 5
+ ... + 5 5 5
≤ .
x2 + x3 + ... + x6 + 5 x3 + x4 + ... + x1 + 5 x1 + x2 + ... + x5 + 5 5
Ukraine, 1999
189. Cho a1 , a2 ,..., an > 0 . Ch ng minh r ng

(a13 +1)(a23 +1)...(an3 +1) ≥ (a12 a2 +1)(a22 a3 +1)...(an2a1 +1) .
Czech – Slovak – Polish Match 2001

a. 3 1 + b − c + b. 3 1 + c − a + c. 3 1 + a − b ≤ 1 .
Japan, 2005

 a b c 2
  
 + +  ≥ (a + b + c ) 1 + 1 + 1  .
  
b c a
  a b c
 
Iran, 2005
1 1 1 1 a+b+c +d
3
+ 3+ 3+ 3≥ .
a b c d abcd
Austria, 2005
193. Cho a, b, c ∈ [0,1] . Ch ng minh r ng
a b c
+ + ≤2.
bc + 1 ca + 1 ab + 1
Poland, 2005
1
a b +b c +c a ≤ .
3
Bosnia and Hercegovina, 2005

22


 b c a  1+ a 1+ b 1+ c
2 + +  ≥
 
 + + .

 a b c  1 − a 1− b 1− c
Germany, 2005
2
a2 b2 c 2 4 ( a − b)
+ + ≥ a +b+c + .
b c a a +b+c
Balkan, 2005
a2 b2 c2 4
+ + ≥ .
(a 3
+ 1)(b +1)
3
(b 3
+ 1)(c + 1)
3
(c +1)(a +1) 3
3 3

APMO, 2005
a b c
2
+ 2 + 2 ≤1 .
a +2 b +2 c +2
Baltic way, 2005
199. Cho x, y, z là các s th c dương th a mãn ñi u ki n xyz ≥ 1 . Ch ng minh r ng
x5 − x 2 y5 − y 2 z5 − z 2
+ 5 + 5 ≥0.
x5 + y 2 + z 2 y + z 2 + x 2 z + x 2 + y 3
IMO, 2005
 2     
a + b + 3 b 2 + a + 3  ≥ 2a + 1 2b + 1 
     

 
4  4   
2  2

Belarusian, 2005
1 1 1
201. Cho a, b, c là các s th c dương th a mãn ñi u ki n + + = 1 . Ch ng minh r ng
a b c
(a −1)(b −1)(c −1) ≥ 8
Croatia, 2005
202. Cho x là s th c dương. Ch ng minh r ng
(2 x)
n
n +1
1+ x ≥ n−1
.
(1 + x)
Russia, 2005
203. Cho a, b, c là các s th c dương th a mãn ñi u ki n abc ≥ 1 . Ch ng minh r ng
1 1 1
+ + ≤ 1.
1+ a + b 1+ b + c 1+ c + a
Romania, 2005

23


a a a 3
+ + ≥ .
(a +1)(b +1) (b +1)(c +1) (c +1)(a + 1) 4
Czech and Slovak, 2005
1
205. Cho a, b, c là các s th c không âm th a mãn ñi u ki n ab + bc + ca = . Ch ng minh
3
r ng
1 1 1
2
+ 2 + 2 ≤3.
a − bc + 1 b − ca + 1 c − ab + 1
China, 2005

2
ab (1− c ) + bc (1− a ) + ca (1− b) ≤ .
3
Republic of Srpska, 2005

a b c 3
+ + ≥ (a + b + c) .
b+c c+a a +b 2
Serbia and Montenegro, 2005
208. Cho a, b, c là các s th c dương th a mãn ñi u ki n a 4 + b 4 + c 4 = 3 . Ch ng minh
r ng
1 1 1
+ + ≤1 .
4 − ab 4 − bc 4 − ca
Moldova, 2005
209. Cho a, b, c là các s th c dương th a mãn ñi u ki n ab +bc +ca =1. Ch ng minh r ng
3
1 3
3. 3 + 6 (a + b + c) ≤ .
abc abc
Slovenia TST, 2005
210. Cho a, b, c là các s th c dương th a mãn ñi u ki n a, b, c ≥ 1 . Ch ng minh r ng
1 1 1
(2 + abc) + +  ≥ 9 .
a b c
 
 
211. [ Huỳnh T n Châu ] Cho x, y, z là các s th c dương th a mãn ñi u ki n

xy xy + yz yz + zx zx = 1 .
Ch ng minh r ng
x6 y6 z6 1
3 3
+ 3 3
+ 3 3
≥ .
x +y y +z z +x 2
212. [ ð ng Thanh H i ] Cho x là m t s th c b t kì. Ch ng minh r ng
3 3
sin x + sin 2 x + sin 3 x < .
2
213. [ Ngô Văn Thái ] Cho x1 , x2 ,..., xn > 0, n > 2 . Ch ng minh r ng

24


x12 + x2 x3 2
x2 + x3 x4 2
xn−1 + xn x1 2
xn + x1 x2
+ + ... + + ≥n.
x1 ( x2 + x3 ) x2 ( x3 + x4 ) xn−1 ( xn + x1 ) xn ( x1 + x2 )

214. [ Nguy n Duy Liên ] Cho a, b, c là các s th c dương th a mãn ñi u ki n a, b, c ∈ [1, 2] .
Ch ng minh r ng
1 1 1
(a + b + c) + +  ≤ 10 .

 

a b c
215. [ Lê Thanh H i ] Cho a, b, c d là các s th c dương. Ch ng minh r ng
a2 b2 c 2 d 2 a + b + c + d
+ + + ≥ .
b2 c2 d 2 a2 4
abcd
216. Cho x ∈ [0, 2] . Ch ng minh r ng

4 x − x3 + x + x3 ≤ 3 4 3 .
217. Cho x là m t s th c b t kì. Ch ng minh r ng

2 sin x + 15 −10 2 cos x ≤ 6 .
218. [ Tr n Văn H nh ] Cho x, y, z là các s th c dương th a mãn ñi u ki n x2 + y2 + z2 =1,
n ≥ 1 . Ch ng minh r ng

x y z (2n + 1) 2 n 2n +1
+ + ≥ .
1 − x 2 n 1 − y 2 n 1− z 2 n 2n
219. [ Ki u Phương Chi ] Cho a, b, c là các s th c dương th a mãn ñi u ki n abc = 1 .
Ch ng minh r ng
1 1 1 1
2 2
+ 2 2
+ 2 2
≤ .
a + 2b + 3 b + 2c + 3 c + 2a + 3 2
220. [ Vũ ð c C nh ] Cho x, y là các s th c dương th a mãn ñi u ki n x 2 + y 2 = 1 . Ch ng
minh r ng
 1
  1

(1 + x)1 + 
+ (1 + y )1 +  ≥ 4 + 3 2 .
 
 

 
 y x
221. [ Ngô Văn Thái ] Cho a, b, c ∈ (0,1] . Ch ng minh r ng
1 1
≥ + (1− a )(1− b)(1− c) .
a +b +c 3
222. [ Nguy n Văn Thông ] Cho x, y, z là các s th c dương th a mãn ñi u ki n
3x 4y 2z
+ + = 2.
x +1 y +1 z + 1
Ch ng minh r ng
1
x3 y 4 z 2 ≤ .
89
223. [ Nguy n Bá Nam ] Cho a, b, c là các s th c dương. Ch ng minh r ng
1 1 1 3 b + c c + a a + b
(a3 + b3 + c3 ) a3 + b3 + c3  ≥ 2 





 

 a
+
b
+
c 
.



25


224. Cho x là m t s th c b t kì. Ch ng minh r ng

(16 cos4 x + 3)
4
+ 768 ≥ 2048cos x .

225. [ Lê Qu c Hán ] Cho x là m t s th c b t kì. Ch ng minh r ng
8
1 (1 + x ) +16 x
4
≤ ≤ 17 .
(1+ x2 )
4
8

226. [ Nguy n Lê Dũng ] Cho a, b, c là các s th c dương. Ch ng minh r ng
a2 + b2 b2 + c2 c2 + a2 a2 + b2 + c2
+ + ≤3 .
a +b b+c c+a a +b+c
227. [ Tr n Xuân ðáng ] Cho a, b, c là các s th c dương, n ≥ 2 . Ch ng minh r ng

a b c n n
n +n +n > n −1 .
b+c c+a a + b n −1
228. [ Tr nh B ng Giang ] Cho x, y, z là các s th c không âm th a ñi u ki n x + y + z = 1 ,
n ≥ 2 . Ch ng minh r ng
nn
xn y + y n z + z n x ≤ n +1
.
(n + 1)
229. [ Nguy n Văn Ng c ] Cho x, y, z là các s th c dương. Ch ng minh r ng
4 4 4
16 xyz ( x + y + z ) ≤ 3 3 ( x + y ) ( y + z ) ( z + x ) .

π π
230. [ Nguy n Bá ðang ] Cho x, y , z ∈  ,  . Ch ng minh r ng
 6 2 

sin x − sin y sin y − sin z sin z − sin x  2
1 
+ + ≤ 1−
  .
sin z sin x sin y 
 2

231. [ Thái Nh t Phư ng ] Cho x, y, z là các s th c dương th a mãn ñi u ki n xyz = 1 .
Ch ng minh r ng
x2 y2 z2
+ + ≥ 3.
x + y + y 3 z y + z + z 3 x z + x + x3 y
232. [ Thái Nh t Phư ng ] Cho x, y, z là các s th c dương th a mãn ñi u ki n xyz = 1 .
Ch ng minh r ng
x2 y 2 y2 z2 z 2 x2
+ 2 2 + 2 2 ≤1 .
x 2 y 2 + x7 + y 7 y z + y 7 + z 7 z x + z 7 + x7
233. [ Trương Ng c ð c ] Cho a, b, c là các s th c dương th a mãn ñi u ki n a +b +c =1.
Ch ng minh r ng
a b abc 3 3
+ + ≤ 1+ .
a + bc b + ca c + ab 4
234. [ Nguy n Minh Phương ] Cho x, y, z là các s th c dương th a mãn ñi u ki n
x + y + z = 2007 . Ch ng minh r ng
x 20 y 20 z 20
11
+ 11 + 11 ≥ 3.6699 .
y z x
26

500 bdt

Recommended

Recommended

More Related Content

What's hot

What's hot (17)

Similar to 500 bdt

Similar to 500 bdt (20)

More from Thế Giới Tinh Hoa

More from Thế Giới Tinh Hoa (20)

500 bdt