1. 28
Ch−¬ng 2 : sö dông symbolic math toolbox
§1. Kh¸i niÖm chung
Symbolic Math Toolboxes kÕt hîp tÝnh to¸n b»ng ch÷ vµo m«i tr−êng MATLAB.C¸c
toolbox nµy bæ sung c¸c tiÖn Ých sè vµ ®å thÞ víi c¸c kiÓu tÝnh to¸n to¸n häc kh¸c nhau.
TiÖn Ých Néi dung
Calculus ®¹o hµm,tÝch ph©n,giíi h¹n,tæng vµ chuçi Taylor
Linear Algebra nghÞch ®¶o,®Þnh thøc,gi¸ trÞ riªng,ph©n tÝch vµ d¹ng chÝnh
t¾c cña ma trËn.
Simplification ph−¬ng ph¸p rót gän c¸c biÓu thøc ®¹i sè
Solution of
Equations
gi¶i b»ng ch÷ vµ b»ng sè c¸c ph−¬ng tr×nh ®¹i sè vµ vi
ph©n
Variable-Precision
Arithmetic
®¸nh gi¸ ®é chÝnh x¸c cña c¸c biÓu thøc ®¹i sè
Transform biÕn ®æi laplace,fourrier vµ z
Special
Mathematical
Function
c¸c hµm to¸n häc ®Æc biÖt cña c¸c øng dông to¸n häc
kinh ®iÓn
§éng lùc tÝnh to¸n n»m d−íi c¸c toolbox lµ nh©n Maple,mét hÖ thèng tÝnh to¸n ®−îc
ph¸t triÓn ®Çu tiªn ë tr−êng ®¹i häc Waterloo,Canada vµ sau ®ã t¹i Eidgenroessiche Technische
Hochschule Zurich,Thuþ sÜ.Maple ®−îc th−¬ng m¹i ho¸ vµ hç trî cña c«ng ty Waterloo Maple.
§2. Khëi ®éng toolbox
1. C¸c ®èi t−îng ch÷:Trong phÇn nµy chóng ta sÏ xem xÐt c¸ch t¹o vµ dïng c¸c ®èi t−îng
ch÷.Chóng ta còng sÏ xem xÐt c¸c biÕn ch÷ mÆc ®Þnh.Symbolic Math Toolbox ®Þnh nghÜa mét
kiÓu d÷ liÖu MATLAB míi gäi lµ ®èi t−îng ch÷ hay sym.Bªn trong,mét ®èi t−îng ch÷ lµ mét
cÊu tróc sè liÖu mµ nã l−u biÓu diÔn chuçi c¸c kÝ tù.Symbolic Math Toolbox dïng c¸c ®èi
t−îng ch÷ ®Ó biÓu diÔn c¸c biÕn ch÷,c¸c biÓu thøc ch÷,c¸c ma trËn ch÷.
2. T¹o c¸c biÕn vµ c¸c biÓu thøc ch÷:LÖnh sym cho phÐp ta x©y dùng c¸c biÕn vµ c¸c biÓu
thøc ch÷.VÝ dô lÖnh:
x = sym('x')
a = sym('alpha')
t¹o ra c¸c biÕn ch÷ lµ x vµ vµ a víi x lµ x vµ a lµ alpha.
Gi¶ sö ta muèn ta muèn dïng biÕn ch÷ ®Ó biÓu diÔn tØ lÖ vµng
2
5
1+
=
ρ .Ta dïng lÖnh:
rho = sym('(1 + sqrt(5))/2')
B©y giê ta cã thÓ thùc hiªn c¸c phÐp to¸n kh¸c nhau víi rho.VÝ dô :
f=rho^2-rho-1
f =
(1/2+1/2*5^(1/2))^2-3/2-1/2*5^(1/2)
Ta rót gän biÓu thøc:
simplify(f)

2. 29
ans =
0
B©y giê gi¶ sö ta muèn gi¶i ph−¬ng tr×nh bËc 2 c
bx
ax
f 2
+
+
= .Ph¸t biÓu:
f = sym('a*x^2 + b*x + c')
g¸n biÓu thøc ch÷ ax2
+bx+c cho biÕn f.Tuy nhiªn trong tr−êng hîp nµy Symbolic Math
Toolbox kh«ng t¹o ra c¸c biÕn t−¬ng øng víi c¸c sè h¹ng a,b,c vµ x trong biÓu thøc.§Ó thùc
hiÖn c¸c phÐp to¸n b»ng ch÷(vÝ dô tÝch ph©n,®¹o hµm,thay thÕ v.v) trªn f ta ph¶i t¹o c¸c biÕn
mét c¸ch râ rµng,nghÜa lµ cÇn viÕt:
a = sym('a')
b = sym('b')
c = sym('c')
x = sym('x')
hay ®¬n gi¶n lµ :
syms a b c x
Nãi chung lµ ta cã thÓ dïng sym hay syms ®Ó t¹o c¸c biÕn ch÷ nh−ng nªn dïng syms ®Ó tiÕt
kiÖm thêi gian.
2. BiÕn ®æi gi÷a sè vµ ch÷:
a. T¹o c¸c biÕn thùc vµ phøc:LÖnh sym cho phÐp ta m« t¶ c¸c thuéc tÝnh to¸n häc cña
c¸c biÕn ch÷ b»ng c¸ch dïng tuú chän real.Ph¸t biÓu:
x = sym('x','real'); y = sym('y','real');
hay hiÖu qu¶ h¬n:
syms x y real
z = x + i*y
t¹o ra biÕn ch÷ x vµ y cã thuéc tÝnh lµ sè thùc.§Æc biÖt:
f = x^2 + y^2
thùc sù lµ sè kh«ng ©m.Nh− vËy z lµ biÕn phøc vµ c¸c lÖnh:
conj(x)
conj(z)
expand(z*conj(z))
cho kÕt qu¶:
return the complex conjugates of the variables
x
x - i*y
x^2 + y^2
LÖnh conj lµ to¸n tö t¹o sè phøc liªn hîp.
§Ó xãa thuéc tÝnh real cña x ta dïng lÖnh:
syms x unreal
hay:
x = sym('x','unreal')
LÖnh clear x kh«ng xo¸ thuéc tÝnh sè real cña x.
b. T¹o c¸c hµm trõu t−îng:NÕu ta muèn t¹o mét hµm trõ t−îng(nghÜa lµ mét hµm
kh«ng x¸c ®Þnh) f(x) cÇn dïng lÖnh:
f = sym('f(x)')
Khi nµy f ho¹t ®éng nh− lµ f(x) vµ cã thÓ xö lÝ b»ng c¸c lÖnh toolbox.VÝ dô ®Ó tÝnh vi ph©n bËc
1 ta viÕt:

3. 30
df = (subs(f,'x','x+h') - f)/'h'
hay
syms x h
df = (subs(f,x,x+h)-f)/h
tr¶ vÒ:
df =
(f(x+h)-f(x))/h
øng dông nµy cña hµm sym sÏ rÊt h÷u Ých trong biÕn ®æi Fourrier,Laplace vµ z.
c. Dïng sym ®Ó truy cËp c¸c hµm cña Maple:Ta cã thÓ truy cËp hµm giai thõa k! cña
Maple khi dïng sym.
kfac = sym('k!')
§Ó tÝnh 6! hay k! ta viÕt:
syms k n
subs(kfac,k,6)
ans =
720
subs(kfac,k,n)
ans =
n!
hay nÕu tÝnh 12! ta còng cã thÓ viÕt:
prod(1:12)
d. VÝ dô t¹o ma trËn ch÷: Mét ma trËn vßng lµ ma trËn mµ hµng sau cã ®−îc b»ng c¸ch
dÞch c¸c phÇn tö cña hµng tr−íc ®i 1 lÇn.Ta t¹o mét ma trËn vßng A b»ng c¸c phÇn tö a,b vµ c:
syms a b c
A = [a b c; b c a; c a b]
kÕt qu¶:
A =
[ a, b, c ]
[ b, c, a ]
[ c, a, b ]
Do A lµ ma trËn vßng tæng mçi hµng vµ cét nh− nhau:
sum(A(1,:))
ans =
a+b+c
sum(A(1,:)) == sum(A(:,2)) % This is a logical test.
ans =
1
B©y giê ta thay A(2,3) b»ng beta vµ b b»ng alpha:
syms alpha beta
A(2,3) = beta;
A = subs(A,b,alpha)
A =
[ a, alpha, c]
[ alpha, c, beta]
[ c, a, alpha]

4. 31
Tú vÝ dô nµy ta th¸y dïng c¸c ®èi t−îng ch÷ còng t−îng tù nh− dïng sè trong MATLAB.
e. BiÕn ch÷ mÆc ®Þnh:Khi dïng c¸c hµm to¸n häc,viÖc chän c¸c biÕn ®éc lËp th−êng rÊt
râ rµng.VÝ dô xem b¶ng sau:
Hµm to¸n häc LÖnh MATLAB
f = xn
f = x^n
g = sin(at+b) g = sin(a*t+b)
h = Jv(z) h = besselj(nu,z)
NÕu ta t×m ®¹o hµm cña c¸c hµm nµy nh−ng kh«ng m« t¶ biÕn ®éc lËp(nghÜa lµ ®¹o hµm theo
biÕn nµo) th× kÕt qu¶ lµ :f’ = nxn-1
, g' = acos(at + b), vµ h' =J v (z)(v/z)-Jv+1(z). Nh− vËy c¸c biÕn
®éc lËp lµ x , t vµ z.MATLAB hiÓu c¸c biÕn ®éc lËp lµ c¸c ch÷ th−êng vµ n»m ë cuèi b¶ng ch÷
c¸i nh− x , y , z.Khi kh«ng th¸y c¸c ch÷ c¸i nµy,MATLAB sÏ t×m ch÷ gÇn nhÊt vµ coi ®ã lµ biÕn
®éc lËp.C¸c biÕn kh¸c nh− n,a,b vµ v ®−îc coi lµ h»ng hay th«ng sè.Tuy nhiªn ta cã thÓ lÊy ®¹o
hµm cña f theo n b»ng c¸ch viÕt râ biÕn ®éc lËp ra.Ta dïng c¸c lÖnh sau ®Ó t¹o ra c¸c hµm:
syms a b n nu t x z
f = x^n;
g = sin(a*t + b);
h = besselj(nu,z);
§Ó ®¹o hµm hµm f ta viÕt:
diff(f);
ans =
x^n*n/x
Trong vÝ dô trªn x lµ biÕn ®éc lËp.NÕu muèn tÝnh ®¹o hµm cña f theo n ta cÇn viÕt:
diff(f,n)
ans =
x^n*log(x)
4. T¹o c¸c hµm to¸n häc b»ng ch÷:
a. Dïng c¸c biÓu thøc ch÷:C¸c lÖnh:
syms x y z
r = sqrt(x^2 + y^2 + z^2)
t = atan(y/x)
f = sin(x*y)/(x*y)
t¹o ra c¸c biÓu thøc ch÷ r , t vµ f.Ta cã thÓ dïng c¸c lÖnh diff,int,subs hay c¸c lÖnh Symbolic
Math Toolbox kh¸c ®Ó xö lÝ c¸c biÓu thøc nh− vËy.
b. T¹o c¸c M-file:M-file cho phÐp ta dïng c¸c hµm tæng qu¸t h¬n.VÝ dô ta muèn t¹o ra
hµm sinc = sin(x)/x ta sÏ viÕt mét M-file cã néi dung nh− sau:
function z = sinc(x)
%SINC The symbolic sinc function
% sin(x)/x. This function
% accepts a sym as the input argument.
if isequal(x,sym(0))
z = 1;
else
z = sin(x)/x;
end

5. 32
Ta cã thÓ më réng c¸c vÝ dô nh− vËy cho c¸c hµm vµ biÕn kh¸c nhau.
§3. TÝnh to¸n
1. §¹o hµm:Ta t¹o biÓu thøc ch÷:
syms a x
f = sin(a*x)
VËy th×:
df = diff(f)
tÝnh ®¹o hµm cña hµm f(x) theo x.kÕt qu¶ lµ:
df =
cos(a*x)*a
§Ó tÝnh ®¹o hµm cña f theo a ta viÕt:
dfa = diff(f,a)
kÕt qu¶:
dfa=
cos(a*x)*x
Hµm to¸n häc LÖnh MATLAB
f = xn
f’ = nxn-1
f = x^n
diff(f) hay diff(f,x)
g = sin(at+b)
g’ = acos(at+b)
g = sin(a*t+b)
diff(g) hay diff(g,t)
h = Jv(z)
h’ = Jv(z)(v/z) - Jv+1(z)
h = besselj(nu,z)
diff(h) hay diff(h,z)
§Ó tÝnh ®¹o hµm bËc 2 cña f theo x vµ a ta viÕt:
diff(f,2)
ans =
- sin(a*x)*a^2
diff(f,x,2)
ans =
- sin(a*x)*x^2
Hµm diff cã thÓ dïng ®èi sè lµ ma trËn.Trong tr−êng hîp nµy ®¹o hµm ®−îc thùc hiÖn trªn tõng
phÇn tö.VÝ dô:
syms a x
A = [cos(a*x),sin(a*x);-sin(a*x),cos(a*x)]
kÕt qu¶:
A =
[ cos(a*x), sin(a*x)]
[-sin(a*x), cos(a*x)]
lÖnh :
dy = diff(A)
cho kÕt qu¶:
dy =
[ -sin(a*x)*a, cos(a*x)*a]

6. 33
[ -cos(a*x)*a, -sin(a*x)*a]
Ta cã thÓ vec t¬ theo vec t¬ hµng.ta kh¶o s¸t biÕn ®æi tõ to¹ ®é Euclid(x,y,z) sang t¹o ®é cÇu
(r,λ,ϕ) thùc hiÖn b»ng c¸c c«ng thøc:x = rcosλcosϕ, y = rcosλsinϕ vµ z= rsinλ.§Ó tÝnh ma trËn
Jacobi J cña phÐp biÕn ®æi nµy ta dïng hµm jacobian.§inh nghÜa to¸n häc cña J lµ:
)
,
,
r
(
)
z
,
y
,
x
(
J
ϕ
λ
∂
∂
=
§Ó dÔ viÕt ta dïng kÝ tù l thay cho λ vµ f thay cho ϕ.C¸c lÖnh:
syms r l f
x = r*cos(l)*cos(f);
y = r*cos(l)*sin(f);
z = r*sin(l);
J = jacobian([x; y; z], [r l f])
cho ta kÕt qu¶:
J =
[ cos(l)*cos(f), -r*sin(l)*cos(f), -r*cos(l)*sin(f) ]
[ cos(l)*sin(f), -r*sin(l)*sin(f), r*cos(l)*cos(f)]
[ sin(l), r*cos(l), 0]
vµ lÖnh :
detJ = simple(det(J))
cho:
detJ =
-cos(l)*r^2
Chó ý lµ ®èi sè thø nhÊt cña hµm jacobian ph¶i lµ vec t¬ cét vµ ®èi sè thø hai lµ vec t¬
hµng.H¬n n÷a do ®Þnh thøc cña ma trËn Jacobian lµ biÓu thøc l−îng gi¸c kh¸ phøc t¹p nªn ta
dïng lÖnh simple ®Ó thay thÕ vµ rót gän.
B¶ng sau tæng hîp hµm diff vµ hµm jacobian
To¸n tö to¸n häc LÖnh MATLAB
f = exp(ax + b) syms a b x
f = exp(a*x + b)
dx
df diff(x) hay
diff(f,x)
da
df diff(f,a)
a
d
f
d
2
2 diff(f,a,2)
r = u2
+ v2
t = arctan(v/u)
syms r t u v
r = u^2 + v^2
t = atan(v/u)
)
v
,
u
(
)
t
,
r
(
J
∂
∂
=
J = jacobian([r ; t],[u , v])
2. Giíi h¹n:§¹o hµm cña mét hµm lµ giíi h¹n sau ®©y nÕu nã tån t¹i :

7. 34
h
)
x
(
f
)
h
x
(
f
lim
)
x
(
f
0
h
−
+
=
′
→
Symbolic Math Toolbox cho phÐp giíi h¹n cña mét hµm mét c¸ch trùc tiÕp h¬n.LÖnh:
syms h n x
dc = limit( (cos(x+h) - cos(x))/h,h,0 )
cho kÕt qu¶:
dc =
-sin(x)
vµ :
limit( (1 + x/n)^n,n,inf )
cho:
ans =
exp(x)
minh ho¹ 2 trong sè c¸c giíi h¹n quan träng cña to¸n häc:®¹o hµm(trong tr−êng hîp cosx) vµ
hµm mò.Trong khi nhiÒu giíi h¹n :
)
x
(
f
lim
a
x→
lµ “hai phÝa”(nghÜa lµ kÕt qu¶ nh− nhau cho dï x tiÕn tíi bªn ph¶i hay bªn tr¸i cña a) l¹i cã
nh÷ng hµm giíi h¹n ph¶i vµ tr¸i kh¸c nhau.Do ®ã 3 giíi h¹n:
x
1
lim
,
x
1
lim
,
x
1
lim
0
x
0
x
0
x +
→
−
→
→
cho 3 kÕt qu¶ kh¸c nhau : kh«ng x¸c ®Þnh , -∞ vµ +∞
Trong tr−¬ng hîp kh«ng tån t¹i gíi h¹n Symbolic Math Toolbox tr¶ vÒ kÕt qu¶ NaN.VÝ dô:
limit(1/x,x,0) % Equivalently, limit(1/x)
cho:
ans =
NaN
LÖnh:
limit(1/x,x,0,'left')
cho:
ans =
-inf
LÖnh:
limit(1/x,x,0,'right')
cho:
ans =
inf
Nh− vËy limit(f) t−¬ng ®−¬ng víi limit(f,x,0).B¶ng sau cho c¸c giíi h¹n:
Hµm to¸n häc LÖnh MATLAB
)
x
(
f
lim
0
x→
limit(f)
)
x
(
f
lim
a
x→
limit(f,x,a) hay limit(f,a)
)
x
(
f
lim
a
x −
→
limit(f,x,a,’left’)

8. 35
)
x
(
f
lim
a
x +
→
limit(f,x,a,’right’)
3. TÝch ph©n:
a. C¸c vÊn ®Ò chung:NÕu f lµ mét biÓu thøc ch÷ th× int(f) t×m mét biÓu thøc kh¸c F sao cho
diff(F) = f.Nh− vËy int(f) cho ta tÝch ph©n bÊt ®Þnh cña f.T−¬ng tù nh− ®¹o hµm int(f,v) lÊy tÝch
ph©n theo biÕn ®éc lËp v.Ta cã b¶ng sau:
Hµm to¸n häc LÖnh MATLAB
1
n
x
dx
x
1
n
n
+
=
+
∫
int(x^n) hay
int(x^n,x)
∫
π
=
2
0
1
dx
)
x
2
sin(
int(sin(2*x),0,pi/2) hay
int(sin(2*x),x,0,pi/2)
g = cos(at+b)
∫ +
= )
b
at
sin(
a
1
dt
)
t
(
g
g = cos(a*t + b)
int(g) hay
int(g,t)
)
z
(
J
dz
)
z
(
J 0
1 −
=
∫ int(besselj(1,z) hay
int(besselj((1,z),z)
Khi MATLAB kh«ng t×m ®−îc tÝch ph©n nã viÕt k¹i lÖnh ®· nhËp vµo.
b. TÝch ph©n víi h»ng sè thùc:Mét trong c¸c vÊn ®Ò khi tÝnh tÝch ph©n lµ gi¸ trÞ cña c¸c
th«ng sè.Ta xÐt hµm
2
)
kx
(
e−
.Hµm nµy râ rµng lµ cã gi¸ trÞ d−¬ng víi mäi k vµ x vµ cã d¹ng h×nh
chu«ng.Gi¸ trÞ cña hµm tiÕn ®Õn 0 khi x→±∞ víi mäi sè thùc k.Ta lÊy vÝ dô
2
1
k = vµ vÏ ®å
thÞ cña hµm b»ng c¸c lÖnh:
syms x
k = sym(1/sqrt(2));
f = exp(-(k*x)^2);
ezplot(f)
Tuy nhiªn nh©n Maple kh«ng coi k2
vµ x2
lµ nh÷ng sè d−¬ng mµ chØ lµ c¸c biÕn h×nh
thøc,kh«ng cã thuéc tÝnh to¸n häc.Do vËy khi tÝnh dx
e
2
)
kx
(
∫
∞
∞
−
−
b»ng c¸c lÖnh:
syms x k;
f = exp(-(k*x)^2);
int(f,x,-inf,inf) % Equivalently, inf(f,-inf,inf)
kÕt qu¶ sÏ lµ:
Definite integration: Can't determine if the integral is
convergent.
Need to know the sign of --> k^2
Will now try indefinite integration and then take limits.
Warning: Explicit integral could not be found.
ans =

9. 36
int(exp(-k^2*x^2),x= -inf..inf)
Trong phÇn sau chóng ta sÏ xÐt c¸ch lµm cho MATLAB hiÓu r»ng k lµ sè thùc vµ do ®ã coi k2
lµ
sè d−¬ng.
c. C¸c biÕn thùc theo sym:Chó ý lµ Maple kh«ng thÓ x¸c ®Þnh ®−îc dÊu cña k2
.VËy
chóng ta gi¶i quyÕt khhã kh¨n nµy nh− thÕ nµo ?C©u tr¶ lêi lµ lµm cho k trë thµnh sè thùc b»ng
dïng lÖnh sym.Mét ®Æc ®iÓm cã Ých cña sym gäi lµ tuú chän real cho phÐp ta khai b¸o k lµ biÕn
thùc.Do vËy tÝch ph©n trªn hoµn toµn tÝnh ®−îc trong toolbox nhê c¸c lÖnh:
syms k real % Be sure that x has been declared a sym.
int(f,x,-inf,inf)
kÕt qu¶ lµ:
ans =
signum(k)/k*pi^(1/2)
Chó ý lµ k b©y giê lµ ®èi t−îng ch÷ trong vïng lµm viÖc cña MATLAB vµ lµ biÕn thùc trong
vïng lµm viÖc cña Maple.Khi nhËp lÖnh:
clear k
ta chØ xo¸ ®−îc k trong vïng lµm viÖc cña MATLAB.Muèn lµ cho k kh«ng cßn lµ sè thùc trong
vïng lµm viÖc cña Maple ta ph¶i dïng lÖnh:
syms k unreal.
Ta cã b¶ng sau:
Hµm to¸n häc LÖnh MATLAB
kx
e
)
x
(
f −
= syms k x
f = exp(-k*x)
∫ dx
)
x
(
f int(f) hay int(f,x)
∫ dk
)
k
(
f int(f,k)
∫
1
0
dx
)
x
(
f
int(f,0,1) hay
int(f,x,0,1)
2
)
kx
(
e
)
x
(
g −
= syms k x real
g=exp(-(k*x)^2)
∫
∞
∞
−
dx
)
x
(
g
int(g,-inf,inf) hay
int(g,x,-inf,inf)
4. TÝnh tæng:Ta cã thÓ tÝnh tæng biÓu thøc ch÷ khi chóng tån t¹i b»ng c¸ch dïng lÖnh
symcum.VÝ dô chuçi :
⋅
⋅
⋅
+
+
+ 2
2
3
1
2
1
1
cho tæng lµ π2
/6 cßn chuçi :
1 + x2
+ x3
+. . .
cho tæng lµ 1/(1-x).C¸c tæng ®−îc tÝnh nh− sau:
syms x k
s1 = symsum(1/k^2,1,inf)
s2 = symsum(x^k,k,0,inf)
s1 =

10. 37
1/6*pi^2
s2 =
-1/(x-1)
5. Chuçi Taylor:Cho hµm f(x).Ph¸t biÓu:
T = taylor(f,8)
cho kÕt qu¶:
T =
1/9+2/81*x^2+5/1458*x^4+49/131220*x^6
lµ khai triÓn Taylor cña f(x) l©n cËn x = 0(khai triÓn MacLaurin) cã chøa 8 sè h¹ng kh¸c 0.Ph¸t
biÓu:
syms x
g = exp(x*sin(x))
t = taylor(g,12,2)
t¹o ra khai triÓn Taylor cña f(x) t¹i x = 2 vµ chøa ®Õn 12 sè h¹ng kh¸c 0.Ta vÏ c¸c hµm nµy lÖn
cïng mét ®å thÞ ®Ó th¸y ®−îc kh¶ n¨ng xÊp xØ cña chuçi Taylá víi hµm thùc g:
xd = 1:0.05:3; yd = subs(g,x,xd);
ezplot(t, [1,3]); hold on;
plot(xd, yd, 'r-.')
title('Xap xi Taylor ');
legend('Ham','Taylor')
TiÕp ®ã ta dïng lÖnh:
pretty(T)
®Ó in kÕt qu¶ d−íi d¹ng c¸c biÓu thøc to¸n häc dÔ ®äc.
6. C¸c vÝ dô kh¸c:Ta xÐt hµm:
x
cos
4
5
1
)
x
(
f
+
=
C¸c lÖnh:
syms x
f = 1/(5+4*cos(x))
l−u biÓu thøc ch÷ ®Þnh nghÜa hµm f(x).
1 1.5 2 2.5 3
1
2
3
4
5
6
x
Xap xi Taylor
Ham
Taylor

11. 38
Symbolic Math Toolbox cung cÊp mét bé c¸c lÖnh dÔ dïng ®Ó vÏ ®å thÞ c¸c biÓu ch÷,bao
gåm c¸c ®−êng cong trong mÆt ph¼ng(ezplot),c¸c ®−êng ®¼ng møc(ezcontour vµ ezcontourf) ,
c¸c mÆt cong(ezsurf , ezsurfc , ezmesh vµ ezmeshc),®å thÞ trong to¹ ®é cùc(ezpolar) vµ ®−êng
cong d−íi d¹ng th«ng sè (ezplot vµ ezplot3) va mÆt d−íi d¹ng th«ng sè (ezsurf).Trong phÇn nµy
chóng ta xem c¸ch dïng hµm ezplot vÏ ®å thÞ hµm f(x).§å thÞ cña hµm nh− sau:
Ph¹m vi mÆc ®Þnh khi vÏ ®å thÞ cña hµm lµ [-2π÷2π ].§Ó chØ cô thÓ ph¹m vÞ vÏ ®å thÞ ta dïng
lÖnh:
ezplot(f,[a b])
Lóc nµy ®å thÞ cña hµm ®−îc vÏ trong ®o¹n [a , b]
B©y giê ta t×m ®¹o hµm bËc 2 cña f(x):
f2 = diff(f,2)
f2 =
32/(5+4*cos(x))^3*sin(x)^2+4/(5+4*cos(x))^2*cos(x)
Ta cã thÓ nhËp lÖnh:
f2 = diff(f,x,2).
Ta vÏ ®å thÞ cña f2:
ezplot(f2)
axis([-2*pi 2*pi -5 2])
-6 -4 -2 0 2 4 6
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
x
1/(5+4 cos(x))
-6 -4 -2 0 2 4 6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
x
32/(5+4 cos(x))
3
sin(x)
2
+4/(5+4 cos(x))
2
cos(x)

12. 39
Tõ ®å thÞ ta thÊy r»ng gi¸ trÞ cña f”(x) n»m trong kho¶ng [-4 , 1].Gi¸ trÞ max vµmin cña f”(x)
xuÊt hiÖn t¹i f”’(x)=0.Ph¸t biÓu:
f3 = diff(f2);
cho
32/(5+4*cos(x))^3*sin(x)^2+4/(5+4*cos(x))^2*cos(x)
vµ :
pretty(f3)
cho:
2
3
4
3
))
x
cos(
4
5
(
)
x
sin(
4
))
x
cos(
4
5
(
)
x
cos(
)
x
sin(
96
))
x
cos(
4
5
(
)
x
sin(
384
+
−
+
+
+
Ta rót gän f3 vµ viÕt l¹i d−íi d¹ng dÔ ®äc:
f3 = simple(f3);
pretty(f3)
KÕt qu¶ lµ:
4
2
2
))
x
cos(
4
5
(
)
25
)
x
cos(
80
)
x
cos(
80
)
x
sin(
96
)(
x
sin(
4
+
−
+
+
B©y giê ta t×m c¸c gi¸ trÞ zero cu¶ f3 b»ng lÖnh:
z = solve(f3)
kÕt qu¶ cho ta ma trËn:
z =
[ 0]
[ atan((-255-60*19^(1/2))^(1/2) , 10+3*19^(1/2))]
[ atan(-(-255-60*19^(1/2))^(1/2), 10+3*19^(1/2))]
[ atan((-255+60*19^(1/2))^(1/2)/(10-3*19^(1/2)))+pi]
[ -atan((-255+60*19^(1/2))^(1/2)/(10-3*19^(1/2)))-pi]
Mçi hµng lµ mét nghiÖm cña f”’(x).LÖnh:
format; % Default format of 5 digits
zr = double(z)
converts the zeros to double form.
zr =
0
0
0
2.4483
-2.4483
Nh− vËy ta ®· t×m ®−îc 5
nghiÖm.Tuy nhiªn ®å thÞ
cña f3 cho thÊy ta ch−a t×m
®ñ nghiÖm cña nã.
-6 -4 -2 0 2 4 6
-3
-2
-1
0
1
2
3
x
Zero cua f3

13. 40
ezplot(f3)
hold on;
plot(zr,0*zr,'ro')
plot([-2*pi,2*pi], [0,0],'g-.');
title('Zeros of f3')
§iÒu nµy x¶y ra do f”’(x) chøa sè h¹ng sinx,b»ng 0 t¹i c¸c gi¸ trÞ nguyªn lÇn π nh−ng hµm
solve(sin(x)) l¹i chØ ®−a ra gi¸ trÞ 0 t¹i x = 0.Chóng ta cã thÓ nhËn ®−îc tÊt c¶ c¸c nghiÖm b»ng
c¸ch biÕn ®æi zr = [0 zr(4) pi 2*pi -zr(4)] b»ng c¸ch nh©n 2π vµ cã zr = [zr-2*pi zr zr+2*pi]
B©y giê ta vÏ zr ®· biÕn ®æi lªn ®å thÞ cña f3:
plot(zr,0*zr,'kx')
ylabel('f2');
title('Ve do thi f2 = f''''(x)')
hold on
plot(0,double(f20),'ro')
text(-1,-0.25,'Local minimum')
KÕt qu¶ ®å thÞ nh− sau:
Tõ ®å thÞ ta thÊy r»ng ®iÓm cùc tiÓu x¶y ra t¹i x gÇn ±π.Ta cã thÓ tÝnh chÝnh x¸c lµ diÓm cùc
tiÓu ®óng t¹i ±π b»ng c¸ch dïng c¸c lÖnh theo tr×nh tù sau.Tr−íc hÕt ta thay ±π vµo f”’(x):
simple([subs(f3,x,-pi),subs(f3,x,pi)])
-6 -4 -2 0 2 4 6
-3
-2
-1
0
1
2
3
x
Zero cua f3
§iÓm 0 ®Çu tiªn cña f”’(x) t×m bëi
solve lµ t¹i x = 0.Chóng ta thay thÕ 0
vµo biÕn ch÷ trong f2:
f20 = subs(f2,x,0)
®Ó t×m gi¸ trÞ t−¬ng øng cña
f”(0).KÕt qu¶ lµ:
f20 =
0.0494
Trªn ®å thÞ cña f”(x) gi¸ trÞ nµy chØ
lµ cùc tiÓu ®Þa ph−¬ng.Ta thÓ hiÓn
®iÒu nµy trªn ®å thÞ b»ng c¸c lÖnh:
clf
ezplot(f2)
axis([-2*pi 2*pi -4.25 1.25])
-6 -4 -2 0 2 4 6
-4
-3
-2
-1
0
1
x
Ve do thi f2 = f''(x)
f
2
Local minimum
0
1
Ve do thi f2 = f''(x)

14. 41
KÕt qu¶:
ans =
[ 0, 0]
Nh− vËy x = ±π lµ ®iÓm ®Æc
biÖt cña f”’(x).Ta thÊy r»ng
x = ±π lµ ®iÓm cùc tiÓu
toµn côc cña f2.
m1 = double(subs(f2,x,-pi));
m2 = double(subs(f2,x,pi));
plot(-pi,m1,'go',pi,m2,'go')
text(-1,-4,'Global minima')
Gi¸ trÞ cùc tiÓu ®ã lµ:
[m1 m2]
ans =
-4 -4
C¸c ph©n tÝch trªn cho thÊy lµ ph¹m vi gi¸ trÞ cña f”(x) lµ tõ [ -4 ,1].Ta tiÕp tôc kiÓm tra c¸c
®iÓm 0 kh¸c cho bëi solve.Tr−íc hÕt ta t¸ch nghiÖm thø 4 trong z vµ g¸n nã cho mét biÕn riªng:
s = z(4)
vµ nhËn ®−îc kÕt qu¶:
s =
atan((-255+60*19^(1/2))^(1/2)/(10-3*19^(1/2)))+pi
Thùc hiÖn:
sd = double(s)
®Ó nhËn ®−îc gi¸ trÞ sè cña s
sd =
2.4483
Ta vÏ ®iÓm (s,f2(s) theo f2:
M1 = double(subs(f2,x,s));
plot(sd,M1,'ko')
text(-1,1,'Global maximum')
®Ó thÊy ®−îc lµ s lµ ®iÓm max.Gi¸ trÞ max nµy lµ M1 = 1.0051
B©y giê ta tÝch ph©n f”(x) hai lÇn b»ng lÖnh:
g = int(int(f2))
vµ cã kÕt qu¶:
g =
-8/(tan(1/2*x)^2+9)

15. 42
§©y kh«ng ph¶i lµ hµm f(x) ta xÐt ban ®Çu.Sai kh¸c gi÷a g(x) vµ f(x) lµ:
d = f - g
cho ta:
d =
1/(5+4*cos(x))+8/(9+tan(1/2*x)^2)
pretty(d)
2
)
x
2
/
1
tan(
9
8
)
x
cos(
4
5
1
+
+
+
Ta cã thÓ rót gän d b»ng lÖnh simple(d) hay simplify(d).C¶ hai cho kÕt qu¶:
ans =
1
§iÒu nµy minh ho¹ cho kh¸i niÖm lµ ®¹o hµm hµm f(x) hai lÇn vµ råi tÝch ph©n kÕt qu¶ hai lÇn
ta nhËn ®−îc mét hµm kh¸c víi f(x) bëi mét hµm tuyÕn tÝnh cña x.
Cuèi cïng tÝch ph©n f(x) mét lÇn ta cã:
F = int(f)
F =
2/3*atan(1/3*tan(1/2*x))
bao gåm c¶ hµm arctan.Nh− vËy F(x) lµ nguyªn hµm cña mét hµm liªn tôc nh−ng b¶n th©n l¹i lµ
hµm kh«ng liªn tôc mµ cã ®å thÞ nh− sau:
ezplot(F)
Hµm F(x) gi¸n ®o¹n t¹i ±π.
§4. Rót gän vµ thay sè
1. Rót gän biÓu thøc:Ta xÐt 3 biÓu thøc kh¸c nhau:
syms x
f = x^3-6*x^2+11*x-6
g = (x-1)*(x-2)*(x-3)
-6 -4 -2 0 2 4 6
-1
-0.5
0
0.5
1
x
2/3 atan(1/3 tan(1/2 x))

16. 43
h = x*(x*(x-6)+11)-6
Thùc hiÖn c¸c lÖnh:
pretty(f), pretty(g), pretty(h)
ta nhËn ®−îc:
f = x3
- 6x2
+11x-6
g = (x-1)(x-2)(x-3)
h = x(x(x-6)+11)-6
C¶ 3 biÓu thøc nµy lµ c¸c d¹ng biÓu diÔn to¸n häc kh¸c nhau cña cïng mét hµm to¸n häc-®ã lµ
®a thøc bËc 3 theo x.Mçi mét d¹ng thÝch hîp víi mét d¹ng tÝnh to¸n.D¹ng thø nhÊt f lµ d¹ng
chung nhÊt th−êng ®−îc dïng biÓu diÔn ®a thøc.Nã ®¬n gi¶n lµ mét tæ hîp tuyÕn tÝnh cña c¸c
sè mò cña x.D¹ng thø 2,hµm g,lµ d¹ng ph©n tÝch thµnh thõa sè.Nã biÓu diÔn nghiÖm cña ®a
thøc.Tuy nhiªn kh«ng phai ®a thøc nµo còng cã nghiÖm,nghÜa lµ cã thÓ ph©n tÝch thµnh thõa
sè.D¹ng thø 2 lµ d¹ng Horner cña ®a thøc.Nã rÊt tiÖn dïng ®Ó tÝnh trÞ sè cña ®a thøc t¹i mét gi¸
trÞ nµo ®ã cña x.
Symbolic Math Toolbox cung cÊp mét sè hµm dïng ®Ó biÕn ®æi c¸c biÓu thøc ®¹i sè vµ
l−îng gi¸c thµnh c¸c biÓu thøc ®¬n gi¶n h¬n.Chóng gåm: collect,expand, horner, factor,
simplify, vµ simple.
a.collect:Ph¸t biÓu:
collect(f)
xem f nh− mét ®a thøc gåm c¸c biÕn ch÷ x vµ gép tÊt c¶ c¸c hÖ cïng bËc cña x.§èi sè thø 2 cña
chØ râ biÕn ®Þnh gép nÕu cã nhiÒu iÕn trong biÓu th−c.Sau ®©y lµ mét sè vÝ dô:
f collect(f)
(x-1)(x-2)(x-3) x^3-6*x^2+11*x-6
x*(x*(x-6)+11)-6 x^3-6*x^2+11*x-6
(1+x)*t + x*t 2*x*t+t
b.expand:Ph¸t biÓu:
expand(f)
khai triÓn biÓu thøc.Sau ®©y lµ mét sè vÝ dô:
f expand(f)
a*(x+y) a*x+a*y
(x-1)*(x-2)*(x-3) x^3-6*x^2+11*x-6
x*(x*(x-6)+11)-6 x^3-6*x^2+11*x-6
exp(a+b) exp(a) + exp(b)
cos(x+y) cos(x)*cos(y)-sin(x)*sin(y)
cos(3*acos(x)) 4*x^3-3*x
c.horner:Ph¸t biÓu:
horner(f)
biÕn ®æi mét ®a thøc thµnh d¹ng Horner hay biÓu diÔn lång nhau.VÝ dô:
f horner(f)
x^3-6*x^2+11*x-6 -6+(11+(-6+x)*x)*x
1.1+2.2*x+3.3*x^2 11/10+(11/5+33/10*x)*x

17. 44
d.factor:NÕu f lµ ®a thøc hÖ sè h÷u tØ,ph¸t biÓu:
factor(f)
biÓu diÔn f nh− lµ tÝch cña c¸c ®a thøc cã bËc thÊp h¬n víi hÖ sè h÷u tû.VÝ dô:
f factor(f)
x^3-6*x^2+11*x-6 (x-1)*(x-2)*(x-3)
x^3–6*x^2+11*x–5 x^3–6*x^2+11*x–5
x^6+1 (x^2+1)*(x^4–x^2+1)
§©y lµ mét vÝ dô kh¸c vÒ ph©n tÝch ®a thøc xn
+1 thµnh thõa sè:
syms x;
n = 1:9;
x = x(ones(size(n)));
p = x.^n + 1;
f = factor(p);
[p; f].'
tr¶ vÒ ma trËn víi c¸c ®a thøc ë cét thø nhÊt vµ c¸c thõa sè ë c«th thø 2:
[ x+1, x+1 ]
[ x^2+1, x^2+1 ]
[ x^3+1, (x+1)*(x^2-x+1) ]
[ x^4+1, x^4+1 ]
[ x^5+1, (x+1)*(x^4-x^3+x^2-x+1)]
[ x^6+1, (x^2+1)*(x^4-x^2+1) ]
[ x^7+1, (x+1)*(1-x+x^2-x^3+x^4-x^5+x^6) ]
[ x^8+1, x^8+1 ]
[ x^9+1, (x+1)*(x^2-x+1)*(x^6-x^3+1) ]
Hµm factor cã thÓ ph©n tÝch c¸c ®èi t−îng ch÷ cã chøa sè nguyªn thµnh thõa sè.VÝ dô:
one = '1'
for n = 1:11
N(n,:) = sym(one(1,ones(1,n)));
end
[N factor(N)]
cho kÕt qu¶:
[ 1, 1 ]
[ 11, (11) ]
[ 111, (3)*(37) ]
[ 1111, (11)*(101) ]
[ 11111, (41)*(271) ]
[ 111111, (3)*(7)*(11)*(13)*(37) ]
[ 1111111, (239)*(4649) ]
[ 11111111, (11)*(73)*(101)*(137) ]
[ 111111111, (3)^2*(37)*(333667) ]
[ 1111111111, (11)*(41)*(271)*(9091)]
[ 11111111111, (513239)*(21649) ]

18. 45
e.simplify:Hµm simplify lµ mét hµm m¹nh,dïng rót gän c¸c biÓu thøc.Sau ®©y lµ mét sè
vÝ dô:
f simplify(f)
x*(x*(x-6)+11)-6 x^3-6*x^2+11*x-6
(1-x^2)/(1-x) x + 1
(1/a^3+6/a^2+12/a+8)^(1/3) ((2*a+1)^3/a^3)^(1/3)
syms x y positive
log(x*y)
log(x) + log(y)
exp(x) * exp(y) exp(x+y)
besselj(2,x) - ...
2*besselj(1,x)/x +
besselj(0,x)
0
gamma(x+1)-x*gamma(x) 0
cos(x)^2 + sin(x)^2 1
f.simple: Hµm simple ®−a ra d¹ng ng¾n nhÊt cã thÓ cã cña mét biÓu thøc.Hµm nµy cã
nhiÒu d¹ng,mçi d¹ng tr¶ vÒ kÕt qu¶ kh¸c nhau.D¹ng:
simple(f)
hiÓn thÞ d¹ng ng¾n nhÊt.VÝ dô:
syms x
simple(cos(x)^2 + sin(x)^2)
ans =
1
Trong mét sè tr−êng hîp,¸p dông simple 2 lÇn ®Ó nhËn ®−îc hiÖu qu¶ rót gän cao h¬n.VÝ dô:
syms a
f = (1/a^3+6/a^2+12/a+8)^(1/3);
simple(simple(f))
cho ta:
1/a+2
Trong khi lÖnh :
syms a
simple(f)
cho ta:
(2*a+1)/a
Hµm simple ®Æc biÖt cã hiÖu qu¶ trªn c¸c biÓu thøc l−îng gi¸c.Sau ®©y lµ mét sè vÝ dô:
f simple(f)
cos(x)^2+sin(x)^2 1
2*cos(x)^2-sin(x)^2 3*cos(x)^2-1
cos(x)^2-sin(x)^2 cos(2*x)
cos(x)+(-sin(x)^2)^(1/2) cos(x)+i*sin(x)
cos(x)+i*sin(x) exp(i*x)
cos(3*acos(x)) 4*x^3-3*x

19. 46
2. Thay sè: Cã hai hµm dïng ®Ó thay trÞ lµ subexpr vµ subs
a. subexpr:LÖnh :
syms a x
s = solve(x^3+a*x+1)
gi¶i ph−¬ng tr×nh : x^3+a*x+1 = 0 theo x.
KÕt qu¶:
[ 1/6*(-
108+12*(12*a^3+81)^(1/2))^(1/3)-2*a/(-108+12*(12*a^3+81)^(1/2))^(1/3)]
[ -1/12*(-108+12*(12*a^3+81)^(1/2))^(1/3)+a/(-
108+12*(12*a^3+81)^(1/2))^(1/3)+1/2*i*3^(1/2)*(1/6*(-
108+12*(12*a^3+81)^(1/2))^(1/3)+2*a/(-108+12*(12*a^3+81)^(1/2))^(1/3))]
[ -1/12*(-108+12*(12*a^3+81)^(1/2))^(1/3)+a/(-108+12*(12*a^3+81)^(1/2))^(1/3)-
1/2*i*3^(1/2)*(1/6*(-108+12*(12*a^3+81)^(1/2))^(1/3)+2*a/(-
108+12*(12*a^3+81)^(1/2))^(1/3))]
Dïng lÖnh pretty ®Ó nhËn ®−îc d¹ng dÔ ®äc h¬n:
[ 1/3 a ]
[ 1/6 %1 - 2 ----- ]
[ 1/3 ]
[ %1 ]
[ ]
[ 1/3 a 1/2 / 1/3 a ]
[- 1/12 %1 + ----- + 1/2 i 3 | 1/6 %1 + 2 ----- | ]
[ 1/3 | 1/3 | ]
[ %1 %1 / ]
[ ]
[ 1/3 a 1/2 / 1/3 a ]
[- 1/12 %1 + ----- - 1/2 i 3 | 1/6 %1 + 2 ----- | ]
[ 1/3 | 1/3 | ]
[ %1 %1 / ]
3 1/2
%1 := -108 + 12 (12 a + 81)
LÖnh pretty thõa kÕ kh¸i niÖm %n(n lµ mét sè nguyªn) tõ Maple ®Ó ®Þnh nghÜ biÓu thøc con gÆp
hiÒu lÇn trong ®èi t−îng ch÷.Hµm subexpr cho phÐp ta l−u c¸c biÓu thøc con nµy còng nh− c¸c
®èi t−îng ch÷ ®−îc viÕt trong biÓu thøc con.C¸c biÓu thøc con ®−îc l−u trong mét ma trËn cét
gäi lµ sigma.
TiÕp tôc vÝ dô cña ta:
r = subexpr(s)
cho ta
sigma =
-108+12*(12*a^3+81)^(1/2)
r =
[ 1/6*sigma^(1/3)-2*a/sigma^(1/3)]
[ -1/12*sigma^(1/3)+a/sigma^(1/3)+1/2*i*3^(1/2)*(1/6*sigma^(1/3)+2*a/sigma^(1/3))]

20. 47
[ -1/12*sigma^(1/3)+a/sigma^(1/3)-1/2*i*3^(1/2)*(1/6*sigma^(1/3)+2*a/sigma^(1/3))]
ta thÊy r»ng subexpr t¹o biÕn signma rg vïng lµm viÖc cña MATLAB.
b.subs:Ta t×m gi¸ trÞ riªng vµ vec t¬ riªng cña ma trËn vßng A:
syms a b c
A = [a b c; b c a; c a b];
[v,E] = eig(A)
v =
[ 1, -(a+(b^2-b*a-c*b-c*a+a^2+c^2)^(1/2)-b)/(a-c), -(a-(b^2-b*a-
c*b-c*a+a^2+c^2)^(1/2)-b)/(a-c)]
[ 1, -(b-c-(b^2-b*a-c*b-c*a+a^2+c^2)^(1/2))/(a-c), -(b-c+(b^2-b*a-
c*b-c*a+a^2+c^2)^(1/2))/(a-c)]
[ 1, 1, 1]
E =
[ b+a+c, 0, 0]
[ 0, (b^2-b*a-c*b-c*a+a^2+c^2)^(1/2), 0]
[ 0, 0, -(b^2-b*a-c*b-c*a+a^2+c^2)^(1/2)]
Gi¶ sö ta muèn thay biÓu thøc kh¸ dµi:
(b^2-b*a-c*b-c*a+a^2+c^2)^(1/2)
trong v vµ E.Tr−íc hÕt ta dïng subexpr:
v = subexpr(v,'S')
cho ta kÕt qu¶:
S =
(b^2-b*a-c*b-c*a+a^2+c^2)^(1/2)
v =
[ -(a+S-b)/(a-c), -(a-S-b)/(a-c), 1]
[ -(b-c-S)/(a-c), -(b-c+S)/(a-c), 1]
[ 1, 1, 1]
Sau ®ã thay S vµo E:
E = subs(E,S,'S')
E =
[ S, 0, 0]
[ 0, -S, 0]
[ 0, 0, b+c+a]
B©y giê gi¶ sö ta muèn tÝnh v khi a = 10.Ta dïng lÖnh sau:
subs(v,a,10)
sÏ thay c¸c biÕn a trong v b»ng sè 10:
[ -(10+S-b)/(10-c), -(10-S-b)/(10-c), 1]
[ -(b-c-S)/(10-c), -(b-c+S)/(10-c), 1]
[ 1, 1, 1]
Chó ý lµ c¸c biÓu thøc cã S kh«ng bÞ ¶nh h−ëng g× c¶,nghÜa lµ biÕn a trong S kh«ng ®−îc thay
b»ng 10.Hµm subs lµ hµm h÷u Ých ®Ó thay thÕ nhiÒu gi¸ trÞ cña nhiÒu biÕn trong mét biÓu
thøc.Ta xem S.Gi¶ sö ngoµi viÖc thay a =10 ta còng muèn thay gi¸ trÞ b = 2 vµ c = 10 vµo biÓu

21. 48
thøc.C¸ch ®¬n gi¶n nhÊt lµ ®Æt gi¸ trÞ a,b,c trong vïng lµm viÖc cña MATLAB.Sau ®ã subs sÏ
tÝnh kÕt qu¶.
a = 10; b = 2; c = 10;
subs(S)
ans =
8
LÖnh subs cã thÓ kÕt hîp víi lÖnh double ®Ó tÝnh trÞ sè cña mét iÓu thøc ch÷.Gi¸ sö ta cã:
syms t
M = (1-t^2)*exp(-1/2*t^2);
P = (1-t^2)*sech(t);
vµ muèn xem trªn ®å thÞ P vµ M
kh¸c nhau nh− thÕ nµo.
Ta dïng c¸c lÖnh:
ezplot(M);
hold on;
ezplot(P)
vµ ®å thÞ nh− h×nh vÏ.Tuy nhiªn
ta vÉn khã h×nh dung ®−îc sù sai
kh¸c gi÷a hai ®®−êng cong.
V× vËy tèt h¬n chóng ta kÕt hîp
subs,double l¹i
T =-6:0.05:6;
MT = double(subs(M,t,T));
PT = double(subs(P,t,T));
plot(T,MT,'b',T,PT,'r-.')
title(' ')
legend('M','P')
xlabel('t');
grid
®Ó t¹o ra ®å thÞ nhiÒu mµu.
-6 -4 -2 0 2 4 6
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
t
(1-t
2
) sech(t)
-6 -4 -2 0 2 4 6
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
t
M
P

22. 49
§5. D¹i sè tuyÕn tÝnh
1. C¸c to¸n tö ®¹i sè c¬ b¶n:C¸c to¸n tö ®¹i sè c¬ b¶n trong c¸c ®èi t−îng ch÷ còng lµ c¸c
to¸n tö trong c¸c ®èi t−îng sè cña MATLAB.®iÒu nµy ®−îc minh ho¹ trong vÝ dô sau.BiÕn ®æi
Givens t¹o ra mét mÆt ph¼ng quay mét gãc t.C¸c ph¸t biÓu:
syms t;
G = [cos(t) sin(t); -sin(t) cos(t)]
t¹o ra ma trËn biÕn ®æi:
G =
[ cos(t), sin(t) ]
[ -sin(t), cos(t) ]
Dïng biÕn ®æi Givens 2 lÇn ®¬n gi¶n lµ quay mét gãc gÊp ®«i.Ma trËn t−¬ng øng cã thÓ tÝnh
b»ng c¸ch nh©n G víi chÝnh nã hay n©ng G lªn luü thõa 2.C¶ hai c¸h t¹o ra cïng mét kÕt qu¶:
A = G*G
hay
A = G^2
cho ta:
A =
[cos(t)^2-sin(t)^2, 2*cos(t)*sin(t)]
[ -2*cos(t)*sin(t), cos(t)^2-sin(t)^2]
Hµm simple
A = simple(A)
t¹o ra kÕt qu¶:
A =
[ cos(2*t), sin(2*t)]
[-sin(2*t), cos(2*t)]
Mét phÐp quay Givens lµ ma trËn trùc giao nªn chuyÓn vÞ cña nã chÝnh lµ nghÞc ®¶o cña nã.
ThËt vËy:
I = G.' *G
t¹o ra ma trËn I:
I =
[cos(t)^2+sin(t)^2, 0]
[ 0, cos(t)^2+sin(t)^2]
vµ:
I = simple(I)
I =
[1, 0]
[0, 1]
2. C¸c to¸n tö ®¹i sè tuyÕn tÝnh:Ta xÐt c¸c to¸n tö ®¹i sè tuyÕn tÝnh c¬ b¶n.LÖnh:
H = hilb(3)
t¹o ra ma trËn Hilbert 3 × 3.Víi format short,MATLAB in ra:
H =
1.0000 0.5000 0.3333
0.5000 0.3333 0.2500
0.3333 0.2500 0.2000

23. 50
C¸c phÇn tö ®−îc tÝnh to¸n cña H lµ sè dÊu chÊm ®éng mµ nã lµ tØ sè cña c¸c sè nguyªn nhá
nhÊt.ThËt vËy.H lµ ma trËn MATLAB líp double.BiÕn ®æi H thµnh ma trËn ch÷:
H = sym(H)
cho kÕt qu¶:
H=
[ 1, 1/2, 1/3]
[1/2, 1/3, 1/4]
[1/3, 1/4, 1/5]
§iÒu nµy cho phÐp c¸c to¸n tö kÝ hiÖu sym(hilb(3)) trªn H t¹o ra kÕt qu¶ t−¬ng øng víi ma trËn
Hilbert cã ®é chÝnh x¸c v« cïng,chø kh«ng ph¶i víi ®é chÝnh x¸c cña sè thùc dÊu chÊm
®éng.Do ®ã:
inv(H)
t¹o ra ma trËn:
[ 9, -36, 30]
[-36, 192, -180]
[ 30, -180, 180]
vµ
det(H)
cho kÕt qu¶:
1/2160
Chóng ta cã thÓ dïng dÊu ®Ó giaie hÖ ph−¬ng tr×nh tuyÕn tÝnh.LÖnh:
b = [1 1 1]'
x = Hb % Solve Hx = b
t¹o ra nghiÖm:
x =
[ 3]
[ -24]
[ 30]
TÊt c¶ kÕt qu¶ nµy,nghÞch ®¶o,®Þnh thøc vµ nghiÖm cña hÖ ph−¬ng tr×nh tuyÕn tÝnh lµ kÕt qu¶
chÝnh x¸c t−¬ng øng víi ®é chÝnh x¸c v« cïng,h÷u tØ cña ma trËn Hilbert.MÆt kh¸c dïng
digits(16) lÖnh:
V = vpa(hilb(3))%vpa lµ kÕt qu¶ tÝnh chÝnh x¸c theo Maple
cho kÕt qu¶:
[ 1. , .5000000000000000, .3333333333333333]
[.5000000000000000, .3333333333333333, .2500000000000000]
[.3333333333333333, .2500000000000000, .2000000000000000]
KÕt qu¶ ®−îc lµm trßn tíi 16 ch÷ sè.Khi nghich ®¶o ma trËn sai sè t¨ng lªn.Do vËy:
inv(V)
cho ta:
[ 9.000000000000082, -36.00000000000039, 30.00000000000035]
[-36.00000000000039, 192.0000000000021, -180.0000000000019 ]
[ 30.00000000000035, -180.0000000000019, 180.0000000000019]
vµ:
det(V)
cho:
.462962962962958e-3

24. 51
vµ
Vb
which is
[ 3.000000000000041]
[-24.00000000000021]
[ 30.00000000000019]
V× ma trËn H kh«ng suy biÕn nªn kh«ng gian null cña H
null(H)
ans =
[ empty sym ]
vµ kh«ng gian cét cña H:
colspace(H)
ans =
[ 0, 0, 1]
[ 1, 0, 0]
[ 0, 1, 0]
t¹o ra ma trËn rçng vµ ho¸n vÞ cña ma trËn ®¬n vÞ.
Ta t×m gi¸ trÞ s cña H(1,1) ®Ó lµm cho H suy biÕn.LÖnh:
syms s
H(1,1) = s
Z = det(H)
sol = solve(Z)
t¹o ra c¸c kÕt qu¶:
H =
[ s, 1/2, 1/3]
[1/2, 1/3, 1/4]
[1/3, 1/4, 1/5]
Z =
1/240*s-1/270
sol =
8/9
VËy:
H = subs(H,s,sol)
thay thÕ gi¸ trÞ sol ®· tÝnh vµo H:
H =
[8/9, 1/2, 1/3]
[1/2, 1/3, 1/4]
[1/3, 1/4, 1/5]
B©y giê lÖnh:
det(H)
cho:
ans =
0
vµ:
inv(H)
t¹o ra th«ng b¸o lçi:

25. 52
??? error using ==> inv
Error, (in inverse) singular matrix
v× H lµ ma trËn suy biÕn.Víi ma trËn nµy , Z = null(H) vµ C = colspace(H) lµ kh«ng tÇm
th−êng:
Z =
[ 1]
[-4]
[10/3]
C =
[ 0, 1]
[ 1, 0]
[6/5, -3/10]
3. C¸c gi¸ trÞ riªng:C¸c gi¸ trÞ riªng vµ vÐc t¬ riªng b»ng ch÷ cña ma trËn vu«ng A ®−îc tÝnh
b»ng lÖnh:
E = eig(A)
[V,E] = eig(A)
NÕu dïng ®é chÝnh x¸c cã thÓ biÕn ®æi:
E = eig(vpa(A))
[V,E] = eig(vpa(A))
Gi¸ trÞ riªng cña ma trËn A lµ nghiÖm cña ®a thøc ®Æc tÝnh cña A,det(A x*I),®−îc tÝnh b»ng:
poly(A)
Ta xÐt ma trËn H ë vÝ dô tr−íc:
H =
[8/9, 1/2, 1/3]
[1/2, 1/3, 1/4]
[1/3, 1/4, 1/5]
Ma trËn nµy suy biÕn nªn mét trong c¸c gi¸ trÞ riªng ph¶i b»ng 0.Ph¸t biÓu:
[T,E] = eig(H)
t¹o ra ma trËn T vµ E.C¸c cét cña T lµ c¸c vec t¬ riªng cña H.
T =
[ 1, 28/153+2/153*12589^(1/2), 28/153-2/153*12589^(12)]
[ -4, 1 , 1]
[ 10/3, 92/255-1/255*12589^(1/2) , 292/255+1/255*12589^(12)]
T−¬ng tù,c¸c phÇn tö trªn ®−êng chÐo cña E lµ gi¸ trÞ riÖng cña H
E =
[0, 0, 0]
[0, 45+1/180*12589^(1/2), 0]
[0, 0, 32/45-1/180*12589^(1/2)]
§Ó dÔ thÊy cÊu tróc cña ma trËn T vµ E ta tÝnh cô thÓ trÞ cña nã:
Td = double(T)
Ed = double(E)
KÕt qu¶ lµ:
Td =
1.0000 1.6497 -1.2837
-4.0000 1.0000 1.0000

26. 53
3.3333 0.7051 1.5851
Ed =
0 0 0
0 1.3344 0
0 0 0.0878
Gi¸ trÞ riªng ®Çu tiªn lµ 0.Vec t¬ riªng t−¬ng øng(cét ®Çu tiªn cña Td) lµ c¬ së cña kh«ng gian
null t×m ®−îc trong phÇn tr−íc.Hai gi¸ trÞ riªng kh¸c lµ kÕt qu¶ cña viÖc ¸p dông c«ng thøc cÇu
ph−¬ng ®èi víi biÓu thøc
x^2-64/45*x+253/2160
mµ kÕt qu¶ chøa trong factor(poly(H)).
syms x
g = simple(factor(poly(H))/x);
solve(g)
D¹ng gÇn víi biÓu thøc cña gi¸ trÞ riªng chÝ cã thÓ cã khi ®a thøc ®Æc tÝnh cã thÓ biÓu diÔn b»ng
tÝch cña d© thøc h÷u tØ bËc 4 hay nhá h¬n.Ma trËn Rosser lµ ma trËn thö minh ho¹ cho yªu cÇu
nµy.Ph¸t biÓu:
R = sym(gallery('rosser'))
t¹o ra:
R =
[ 611, 196, -192, 407, -8, -52, -49, 29]
[ 196, 899, 113, -192, -71, -43, -8, -44]
[ -192, 113, 899, 196, 61, 49, 8, 52]
[ 407, -192, 196, 611, 8, 44, 59, -23]
[ -8, -71, 61, 8, 411, -599, 208, 208]
[ -52, -43, 49, 44, -599, 411, 208, 208]
[ -49, -8, 8, 59, 208, 208, 99, -911]
[ 29, -44, 52, -23, 208, 208, -911, 99]
LÖnh:
p = poly(R);
pretty(factor(p))
t¹o ra:
[x (x - 1020) (x2
- 1020 x + 100)(x2
- 1040500) (x - 1000)2
]
§a thøc ®Æc tÝnh (bËc 8) ®−îc ph©n tÝch thµnh tÝch cña 2 sè h¹ng tuyÕn tÝnh vµ 3 sè h¹ng b×nh
ph−¬ng.Chóng ta cã thÓ thÊy ngay r»ng 4 gi¸ trÞ riªng lµ 0,1020,vµ gi¸ trÞ riªng kÐp 1000.Bèn
gi¸ trÞ riªng kh¸c nhËn ®−îc tõ c¸c biÓu thøc bËc 2 cßn l¹i.Dïng lÖnh:
eig(R)
ta t×m ®−îc tÊt c¶ c¸c c¸c gi¸ trÞ riªng:
[ 0]
[ 1020]
[ 510+100*26^(1/2)]
[ 510-100*26^(1/2) ]
[ 10*10405^(1/2)]
[ -10*10405^(1/2)]
[ 1000]
[ 1000]

27. 54
Ma trËn Rosser kh«ng ph¶i lµ vÝ dô ®iÓn h×nh.RÊt hiÕm ma trËn bËc 8 cã thÓ ph©n tÝch thµnh c¸c
thõa sè ®¬n gi¶n.Ta thay ®æi phÇn tö ë gãc tõ 29 thnµh 30 b»ng lÖnh:
S = R;
S(1,8) = 30;
S(8,1) = 30;
vµ råi dïng tiÕp lÖnh:
p = poly(S)
ta cã:
p =
40250968213600000+51264008540948000*x-
1082699388411166000*x^2+4287832912719760*x^-3-
5327831918568*x^4+82706090*x^5+5079941*x^6-
4040*x^7+x^8
vµ nÕu factor(p) ta ®−îc chÝnh nã,nghÜa lµ ®a thøc ®Æc tÝnh kh«ng thÓ ph©n tÝch thµnh c¸c thõa
sè lµ ®a thøc h÷u tØ.Víi ma trËn Rosser ®· biÕn ®æi:
F = eig(S)
cho ta:
F =
[ -1020.0532142558915165931894252600]
[ -.17053529728768998575200874607757]
[ .21803980548301606860857564424981]
[ 999.94691786044276755320289228602]
[ 1000.1206982933841335712817075454]
[ 1019.5243552632016358324933278291]
[ 1019.9935501291629257348091808173]
[ 1020.4201882015047278185457498840]
Chó ý lµ c¸c gi¸ trÞ nµy gÇn víi c¸c gi¸ trÞ cña ma trËn Rosser ban ®Çu.H¬n n÷a,gi¸ trÞ sè cña F
lµ kÕt qu¶ cña phÐp tÝnh dÊu chÊm ®éng cña Maple.
Ta còng cã thÓ tÝnh c¸c gi¸ trÞ riªng cña ma trËn ch÷,nh−ng nghiÖm d¹ng gÇn nhau lµ rÊt
hiÕm.BiÕn ®æi Givens ®−îc t¹o ra nh− lµ luü thõa cña ma trËn ban ®Çu. C¸c lÖnh Symbolic Math
Toolbox:
syms t
A = sym([0 1; 1 0]);
G = expm(t*A)
cho:
[ cos(t), sin(t)]
[ -sin(t), cos(t)]
TiÕp theo lÖnh:
g = eig(G)
t¹o ra:
g =
[ cos(t)+(cos(t)^2-1)^(1/2)]
[ cos(t)-(cos(t)^2-1)^(1/2)]
Ta cã thÓ dïng lÖnh simple ®Ó rót gän d¹ng nµy cña g.Thay v× lÆp l¹i simple:
for j = 1:4
[g,how] = simple(g)

28. 55
end
t¹o ra kÕt qu¶ tèt nhÊt:
g =
[ cos(t)+(-sin(t)^2)^(1/2)]
[ cos(t)-(-sin(t)^2)^(1/2)]
how =
simplify
g =
[ cos(t)+i*sin(t)]
[ cos(t)-i*sin(t)]
how =
radsimp
g =
[ exp(i*t)]
[ 1/exp(i*t)]
how =
convert(exp)
g =
[ exp(i*t)]
[ exp(-i*t)]
how =
combine
Ta thÊy r»ng øng dông ®Çu tiªn cña simple dïng simplify ®Ó t¹o ta tæng cña c¸c sè h¹ng sin vµ
cosin.TiÕp ®ã simple gäi radsim ®Ó t¹o ra cos(t) + i*sin(t) ®èi víi vec t¬ riªng ®Çu tiªn.LÇn thø
3,simple dïng convert(exp) ®Ó thay ®æi sin vµ cosin thµnh sè mò phøc.LÇn cuèi simple dïng
combine ®Ó cã kÕt qu¶ cuèi cïng.
4. D¹ng Jordan chÝnh t¾c:D¹ng Jordan chÝnh t¾c xuÊt ph¸t tõ ý t−ëng ®−êng chÐo ho¸ ma trËn
b»ng biÕn ®æi ®ång d¹ng.Víi mét ma trËn ®· cho A,t×m mét ma trËn kh«ng suy biÕn V,sao cho
inv(V)*A*V hay ng¾n gän J = VA*V lµ gÇn víi víi ®−êng chÐo.§èi víi phÇn lín c¸c ma trËn
d¹ng Jordan chÝnh t¾c lµ ma trËn ®−êng chÐo cña c¸c gi¸ trÞ riªng vµ c¸c cét cña ma trËn biÕn
®æi lµ c¸c vec t¬ riªng.Mét vµi ma trËn kh«ng ®èi xøng kh«ng thÓ ®−êng chÐo ho¸.D¹ng Jordan
cã c¸c gi¸ trÞ riªng trªn ®−êng chÐo nh−ng mét sè phÇn tö phÝa trªn lµ 1 thay v× 0.Ph¸t biÓu:
J = jordan(A)
tÝnh ma trËn chÝnh t¾c Jordan cña ma trËn A.Ph¸t biÓu:
[V,J] = jordan(A)
còng tÝnh biÕn ®æi ®ång d¹ng.C¸c cét cña ma trËn V lµ c¸c vec t¬ riªng tæng qu¸t ho¸ cña A.
VÝ dô:
A = sym([12,32,66,116; 25, 76, 164, 294;
21,66,143,256; 6, 19, 41, 73])
A =
[ 12, 32, 66, 116]
[ -25,-76, -164, -294]
[ 21, 66, 143, 256]

29. 56
[ -6, -19, -41, -73]
vµ:
[V,J] = jordan(A)
t¹o ra:
V =
[ 4, -2, 4, 3]
[ -6, 8, -11, -8]
[ 4, -7, 10, 7]
[ -1, 2, -3, -2]
J =
[ 1, 1, 0, 0]
[ 0, 1, 0, 0]
[ 0, 0, 2, 1]
[ 0, 0, 0, 2]
Nh− vËy A cã hai gi¸ trÞ riªng lµ 1,víi khèi Jordan ®¬n vµ hai gi¸ trÞ riªng lµ 2 còng víi khèi
Jordan ®¬n.Ma trËn chØ cã 2 vec t¬ riªng V(:,1) vµ V(:,3).Chóng tho¶ m·n:
A*V(:,1) = 1*V(:,1)
A*V(:,3) = 2*V(:,3)
Hai cét kh¸c cña V lµ c¸c vec t¬ riªng tæng qu¸t ho¸ cÊp 2.Chóng tho¶ m·n:
A*V(:,2) = 1*V(:,2) + V(:,1)
A*V(:,4) = 2*V(:,4) + V(:,3)
VÒ kh¸i niÖm to¸n häc,víi vj=v(:,j),cét cña V vµ c¸c gi¸ trÞ riªng tho¶ m·n quan hÖ:
(A-λ2I)v4 = v3
(A- λ1I)v2 = v1
5. Ph©n tÝch gi¸ trÞ k× dÞ:NÕu A lµ ma trËn kÝ tù hay dÊu chÊm ®éng th× :
S = svd(A)
tÝnh c¸c gi¸ trÞ k× dÞ cña A víi ®é chÝnh x¸c x¸c ®Þnh bëi lùa chän sè ch÷ sè hiÖnh hµnh.Vµ:
[U,S,V] = svd(A);
t¹o ra 2 ma trËn trùc giao U vµ V vµ mét ma trËn ®−êng chÐo S sao cho:
A = U*S*V';
Ta xem ma trËn n × n víi c¸c phÇn tö ®−îc x¸c ®Þnh b»ng:
A(i,j) = 1/(i-j+1/2)
Cã nhiÒu c¸ch t¹o ra ma trËn A.Chóng ®−îc m« t¶ sau.Víi n = 5 ta cã:
A =
[ 2, -2, -2/3, -2/5, -2/7]
[ 2/3, 2, -2, -2/3, -2/5]
[ 2/5, 2/3, 2, -2, -2/3]
[ 2/7, 2/5, 2/3, 2, -2]
[ 2/9, 2/7, 2/5, 2/3, 2]
Cã nhiÒu gi¸ trÞ k× dÞ cña ma trËn nµy gÇn víi π.Khi n = 16,ma trËn tÝnh svd(A) víi dÊu chÊm
®éng cho kÕt qu¶
3.14159265358979
3.14159265358979
3.14159265358979
3.14159265358979
3.14159265358976

30. 57
3.14159265358767
3.14159265349961
3.14159265052655
3.14159256925492
3.14159075458606
3.14155754359918
3.14106044663470
3.13504054399745
3.07790297231120
2.69162158686066
1.20968137605669
Bèn gi¸ trÞ k× dÞ ®Çu tiªn xuÊt hiÖn b»ng π víi ®é chÝnh x¸c cao.C¸ch th−êng thÊy ®Ó t¹o ma
trËn A lµ:
for i=1:n
for j=1:n
A(i,j) = sym(1/(i-j+1/2));
end
end
Tuy nhiªn m« h×nh tÝnh to¸n dùa trªn ma trËn cña MATLAB cho phÐp mét c¸ch kh¸c,hiÖu qu¶
h¬n gäi lµ “mÑo cña Tony” ®Ó t¹o A lµ:
m = ones(n,1);
i=(1:n)';
j=1:n;
A = sym(1./(i(:,m)-j(m,:)+1/2));
C¸ch hiÖu qu¶ nhÊt ®Ó t¹o ma trËn nµy lµ ph¸t biÓu thuÇn tuý sè:
[J,I] = meshgrid(1:n);
A = sym(1./(I - J+1/2));
Do c¸c phÇn tö cña ma trËn A lµ tØ sè cña hai sè nguyªn nhá nhÊt,vpa(A) t¹o ra mét biÓu diÔn
cã ®é chÝnh x¸c thay ®æi.Do vËy:
S = svd(vpa(A))
tÝnh to¸n c¸c gi¸ trÞ k× dÞ víi ®é chÝnh x¸c rÊt cao.Víi n = 16 vµ digits(3) ta cã kÕt qu¶:
S =
[ 1.20968137605668985332455685357 ]
[ 2.69162158686066606774782763594 ]
[ 3.07790297231119748658424727354 ]
[ 3.13504054399744654843898901261 ]
[ 3.14106044663470063805218371924 ]
[ 3.14155754359918083691050658260 ]
[ 3.14159075458605848728982577119 ]
[ 3.14159256925492306470284863102 ]
[ 3.14159265052654880815569479613 ]
[ 3.14159265349961053143856838564 ]
[ 3.14159265358767361712392612384 ]
[ 3.14159265358975439206849907220 ]
[ 3.14159265358979270342635559051 ]
[ 3.14159265358979323325290142781 ]

31. 58
[ 3.14159265358979323843066846712 ]
[ 3.14159265358979323846255035974 ]
Cã hai c¸ch ®Ó so s¸nh S víi π.Trong vec t¬ bªn d−íi,phÇn tö ®Çu tiªn ®−îc tÝnh b»ng c¸ch thay
thÕ víi phÐp to¸n cã ®é chÝnh x¸c biÕn ®æi vµ råi biÕn ®æi thanhd double.PhÇn tö thø hai ®−îc
tÝnh víi dÊu chÊm ®éng.
[double(pi*ones(16,1)-S) pi-double(S)]
ans =
-0.00000000000000 -0.00000000000000
-0.00000000000000 -0.00000000000000
-0.00000000000000 -0.00000000000000
0 0
0.00000000000004 0.00000000000004
0.00000000000212 0.00000000000212
0.00000000009018 0.00000000009018
0.00000000306324 0.00000000306324
0.00000008433487 0.00000008433487
0.00000189900373 0.00000189900373
0.00003510999061 0.00003510999061
0.00053220695509 0.00053220695509
0.00655210959235 0.00655210959235
0.06368968127860 0.06368968127860
0.44997106672913 0.44997106672913
1.93191127753310 1.93191127753310
§6. Gi¶i ph−¬ng tr×nh
1. Gi¶i c¸c ph−¬ng tr×nh ®¹i sè:NÕu S lµ biÓu thøc ch÷ th×:
solve(S)
t×m gi¸ trÞ cña biÕn kÝ tù trong S ®Ó lf 0.VÝ dô:
syms a b c x
S = a*x^2 + b*x + c;
solve(S)
cho ta:
ans =
[ 1/2/a*(-b+(b^2-4*a*c)^(1/2))]
[ 1/2/a*(-b-(b^2-4*a*c)^(1/2))]
§©y lµ vec t¬ ch÷ mµ c¸c phÇn tö cña nã lµ 2 nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh.
NÕu ta muèn t×m nghiÖm víi mét biÕn ®−îc m« t¶,ta ph¶i chØ râ biÕn nh− mét th«ng sè
phô.VÝ dô nÕu ta muèn gi¶i S theo b th× ph¶i viÕt:
b = solve(S,b)
vµ nhËn ®−îc kÕt qu¶:
b =
-(a*x^2+c)/x
Chó ý r»ng vÝ dô nµy gi¶ thiÕt ph−¬ng tr×nh cã d¹ng f(x) = 0.NÕu ta muèn g¶i ph−¬ng tr×nh cã
d¹ng f(x) = q(x) ta ph¶i sö dông chuçi.§Æc biÖt lÖnh:

32. 59
s = solve('cos(2*x)+sin(x)=1')
cho 4 nghiÖm:
s =
[ 0]
[ pi]
[ 1/6*pi]
[ 5/6*pi]
Ph−¬ng tr×nh x^3-2*x^2 =x-1 gióp ta hiÓu c¸ch gi¶i ph−¬ng tr×nh .§¸nh vµo lÖnh:
s = solve('x^3 2*x^2 = x 1')
s =
[ 1/6*(28+84*i*3^(1/2))^(1/3)+14/3/(28+84*i*3^(1/2))^(1/3)+2/3]
[ -1/12*(28+84*i*3^(1/2))^(1/3)-7/3/(28+84*i*3^(1/2))^(1/3)
+2/3+1/2*i*3^(1/2)*(1/6*(28+84*i*3^(1/2))^(1/3)
-14/3/(28+84*i*3^(1/2))^(1/3))]
[-1/12*(28+84*i*3^(1/2))^(1/3)-7/3/(28+84*i*3^(1/2))^(1/3)
+2/3-1/2*i*3^(1/2)*(1/6*(28+84*i*3^(1/2))^(1/3)
-14/3/(28+84*i*3^(1/2))^(1/3))]
Ta tÝnh gi¸ trÞ sè cña nghiÖm:
double(s)
ans =
2.24697960371747 + 0.00000000000000i
-0.80193773580484 + 0.00000000000000i
0.55495813208737 - 0.00000000000000i
Nã cho thÊy tÊt c¶ c¸c nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh lµ sè thùc.§iÒu nµy kh«ng ®óng.Dïng lÖnh
vpa:
vpa(s, 10)
t¹o ra:
ans =
[ 2.246979604+.1e-9*i]
[ -.8019377357+.3e-9*i]
[ .5549581323-.5e-9*i]
§iÒu nµy nghÜa lµ phÇn ¶o cña s rÊt nhá nh−ng kh¸c 0.Ta xem mét vÝ dô kh¸c:
syms x
s = solve(tan(x)+sin(x) 2);
KÕt qu¶ lµ mét vec t¬ 4×1.Nh− trªn,ta dïng lÖnh double:
X = double(s)
X =
0.88628729156094
-1.89793604072796
2.07662070137841
2.07662070137841
2. HÖ ph−¬ng tr×nh ®¹i sè:B©y giê ta xÐt hÖ ph−¬ng tr×nh.Gi¶ sö ta cã hÖ ph−¬ng tr×nh :
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
α
=
−
=
2
y
x
0
y
x 2
2
vµ ta cÇn t×m x vµ y.Tr−íc hÕt ta t¹o ra c¸c ®èi t−îng cÇn thiÕt:

33. 60
syms x y alpha
Cã nhiÒu c¸ch ®Ó biÓu diÔn nghiÖm.Mét trong c¸c c¸ch ®ã lµ viÕt:
[x,y] = solve(x^2*y^2, x (y/2) alpha)
vµ cã ®−îc kÕt qu¶:
x =
[ 0]
[ 0]
[ alpha]
[ alpha]
y =
[ -2*alpha]
[ -2*alpha]
[ 0]
[ 0]
Sau ®ã viÕt vec t¬ nghiÖm:
v = [x, y]
cho ta:
v =
[ 0, -2*alpha]
[ 0, -2*alpha]
[ alpha, 0]
[ alpha, 0]
Ta xÐt tiÕp ph−¬ng tr×nh :
eqs1 = 'x^2*y^2=1, x 1/2*y alpha'
[x,y] = solve(eqs1)
t¹o ra c¸c nghiÖm:
x =
[ 1/2*alpha+1/2*(alpha^2+2)^(1/2)]
[ 1/2*alpha-1/2*(alpha^2+2)^(1/2)]
[ 1/2*alpha+1/2*(alpha^2-2)^(1/2)]
[ 1/2*alpha-1/2*(alpha^2-2)^(1/2)]
y =
[ -alpha+(alpha^2+2)^(1/2)]
[ -alpha-(alpha^2+2)^(1/2)]
[ -alpha+(alpha^2-2)^(1/2)]
[ -alpha-(alpha^2-2)^(1/2)]
C¸ch g¸n c¸c nghiÖm nh− trªn chi thÝch hîp víi hÖ cã Ýt ph−¬ng tr×nh.Víi hÖ cã nhiÒu ph−¬ng
tr×nh,solve t¹o ra mét cÊu tróc mµ c¸c tr−êng cña nã lµ c¸c nghiÖm.Ta kh¶o s¸t hÖ ph−¬ng tr×nh:
u^2 - v^2 = a^2
u + v = 1
a^ - 2*a = 3
LÖnh:
S = solve('u^2 v^2 = a^2','u + v = 1','a^2 2*a = 3')
Cho kÕt qu¶:

34. 61
S =
a: [2x1 sym]
u: [2x1 sym]
v: [2x1 sym]
C¸c nghiÖm lµ c¸c tr−êng cña S.§ã lµ:
S.a
T¹o ra:
ans =
[ -1]
[ 3]
T−¬ng tù ta t×m ®−îc nghiÖm u vµ v.CÊu tróc S b©y giê cã thÓ ®−îc xö lÝ b»ng tr−¬ng vµ chØ sè
®Ó truy cËp ®Õn c¸c phÇn riªng biÖt cña nghiÖm.VÝ dô nÕu ta muèn kiÓm tra nghiÖm thø 2,ta cã
thÓ dïng ph¸t biÓu sau:
s2 = [S.a(2), S.u(2), S.v(2)]
®Ó trÝch thµnh phÇn tø 2 cña mçi tr−êng.
s2 =
[ 3, 5, -4]
Ph¸t biÓu:
M = [S.a, S.u, S.v]
T¹o ra ma trËn nghiÖm M:
M =
[ -1, 1, 0]
[ 3, 5, -4]
mµ mçi hµng lµ mét nghiÖm cña hÖ.
NÕu hÖ ph−¬ng tr×nh lµ tuyÕn tÝnh ta cã thÓ dïng ma trËn ®Ó gi¶i hÖ.VÝ dô:
clear u v x y
syms u v x y
S = solve(x+2*y u, 4*x+5*y v);
sol = [S.x;S.y]
vµ:
A = [1 2; 4 5];
b = [u; v];
z = Ab
cho:
sol =
[ -5/3*u+2/3*v]
[ 4/3*u-1/3*v]
z =
[-5/3*u+2/3*v]
[ 4/3*u-1/3*v]
Nh− vËy ta cã cïng mét nghiÖm cho dï ph−¬ng ph¸p gi¶i kh¸c nhau.
3. Gi¶i ph−¬ng tr×nh vi ph©n:Hµm dsolve tÝnh nghiÖm b»ng ch÷ cña ph−¬ng tr×nh vi ph©n
th−êng.C¸c ph−¬ng tr×nh ®−îc m« t¶ b»ng c¸c biÓu thøc ch÷ chøa c¸c ch÷ c¸i D ®Î chØ c¸c ®¹o
hµm.KÝ hiÖu D2,D3,. . ,Dn t−¬ng øng víi ®¹o hµm cÊp 1,cÊp 2,..,cÊp n.Nh− vËy D2y trong

35. 62
Symbolic Math Toolbox lµ 2
2
dx
y
d
. BiÕn phô thuéc lµ biÕn ®−îc xö lÝ bëi D vµ biÕn ®éc lËp mÆc
®Þnh lµ t.Nh− vËy tªn c¸c biÕn kÝ tù kh«ng ®−îc cã D.Cã thÓ dïng biÕn ®äc lËp kh¸c b»ng c¸ch
chØ ra nã nh− lµ th«ng sè cuèi cïng trong lÖnh dsolve.§iÒu kiÖn ®Çu cã thÓ m« t¶ nh− lµ mét
ph−¬ng tr×nh phô.NÕu ®iÒu kiÖn ®Çu kh«ng cã,nghiÖm sÏ chøa c¸c h»ng sè tÝch ph©n C1,C2
v.v.Có ph¸p cña dsolve ®−îc m« t¶ trong b¶ng sau:
Có ph¸p Ph¹m vi
y = dsolve(‘Dyt = y0*y’) Mét ph−¬ng tr×nh ,mét nghiÖm
[u,v] = dsolve('Du = v', 'Dv = u') Hai ph−¬ng tr×nh,hai nghiÖm
S = dsolve('Df=g','Dg=h','Dh=–f')
S.f, S.g, S.h
Ba ph−¬ng tr×nh,ra lµ cÊu tróc
NghiÖm
1. VÝ dô 1:Ta dïng lÖnh:
dsolve('Dy=1+y^2')
vµ cã kÕt qu¶:
ans =
tan(t-C1)
§Ó m« ta ®iÒu kiÖn ®Çu,ta dïng:
y = dsolve('Dy=1+y^2','y(0)=1')
vµ cã:
y =
tan(t+1/4*pi)
Chó ý lµ y ë trong vïng lµm viÖc cña MATLAB nh−ng biÕn ®éc lËp t th× kh«ng.Nh− vËy lÖnh
diff(y,t) g©y ra lçi.§Ó ®Æt t vµo vïng lµm viÖc cña MATLAB ph¶i dïng syms t
2. VÝ dô 2:C¸c ph−¬ng tr×nh phi tuyÕn cã thÓ cã nhiÒu nghiÖm,thËm chÝ ngay c¶ khi ®· cho ®iÒu
kiÖn ®Çu.
x = dsolve('(Dx)^2+x^2=1','x(0)=0')
cho kÕt qu¶:
x =
[-sin(t)]
[ sin(t)]
3. VÝ dô 3:§©y lµ mét ph−¬ng tr×nh bËc 2 víi 2 ®iÒu kiÖn ®Çu.lÖnh:
y = simplify(dsolve('D2y=cos(2*x) y','y(0)=1','Dy(0)=0', 'x'))
t¹o ra:
y =
-2/3*cos(x)^2+1/3+4/3*cos(x)
§Ó gi¶i ph−¬ng tr×nh :
π
=
′
′
=
′
=
=
)
0
(
u
,
1
)
0
(
u
,
1
)
0
(
u
u
dx
u
d
3
3
ta dïng c¸c lÖnh sau:
u = dsolve('D3u=u','u(0)=1','Du(0)= 1','D2u(0) = pi','x')
4. HÖ ph−¬ng tr×nh vi ph©n:Hµm dsolve cã thÓ xö lÝ hÖ ph−¬ng tr×nh vi ph©n.cã hay kh«ng cã
®iÒu kiÖn ®Çu.VÝ dô ta cã hÖ ph−¬ng tr×nh:

36. 63
y’=3f + 4g
g’ = -4f + 3g
§Ó gi¶i hÖ ta dïng lÖnh:
S = dsolve('Df = 3*f+4*g', 'Dg = 4*f+3*g')
NghiÖm ®−îc tÝnh vµ tr¶ vÒ d−íi d¹ng cÊu tróc S:
S =
f: [1x1 sym]
g: [1x1 sym]
Ta cã thÓ x¸c ®Þnh gi¸ trÞ cña f vµ g b»ng lÖnh:
f = S.f
f =
exp(3*t)*(cos(4*t)*C1+sin(4*t)*C2)
g = S.g
g =
-exp(3*t)*(sin(4*t)*C1-cos(4*t)*C2)
NÕu ta cho c¶ ®iÒu kiÖn ®Çu th× viÕt:
[f,g] = dsolve('Df=3*f+4*g, Dg = 4*f+3*g', 'f(0) = 0, g(0) = 1')
f =
exp(3*t)*sin(4*t)
g =
exp(3*t)*cos(4*t)
B¶ng sau m« t¶ mét vµi vÝ dô vµ có ph¸p cña Symbolic Math Toolbox.

37. 64
Ph−¬ng tr×nh vi ph©n LÖnh MATLAB
1
)
0
(
y
e
)
t
(
y
4
dt
dy t
=
=
+ − y = dsolve('Dy+4*y = exp(-t)','y(0) = 1')
0
)
(
y
,
0
)
0
(
y
e
)
x
(
y
4
dx
y
d x
2
2
2
=
π
=
=
+ −
y = dsolve('D2y+4*y = exp(-2*x)', 'y(0)=0', 'y(pi) =
0', 'x')
)
3
2
(
K
1
)
3
(
y
,
0
)
0
(
y
)
x
(
xy
dx
y
d
3
1
2
2
π
=
=
=
(ph−¬ng tr×nh Airy)
y = dsolve('D2y = x*y','y(0) = 0',
'y(3) = besselk(1/3, 2*sqrt(3))/pi',
'x')
§7. BiÕn ®æi tÝch ph©n
1. BiÕn ®æi Fourier vµ Fourier ng−îc:
a. BiÕn ®æi Fourier:BiÕn ®æi Fourier dïng ®ª biÕn dæi ph−¬ng tr×nh vi ph©n thµnh
ph−¬ng tr×nh ®¹i sè.Có ph¸p:
F = fourier(f)
F = fourier(f,v)
F = fourier(f,v,u)
F = fourier(f) lµ d¹ng biÕn ®æi Fourier cña biÕn kÝ tù v« h−íng f víi biÕn ®éc lËp mÆc
®Þnh lµ x.KÕt qu¶ tr¶ vÒ mÆc ®Þnh lµ hµm theo w.BiÕn ®æi Fourier thùc hiÖn trªn hµm cña x vµ
tr¶ vÒ hµm cña w:
f = f(x) ⇒ F = F(w)
NÕu f = f(t) th× biÕn ®æi tr¶ vÒ F = F(t).Hµm F(w) ®−îc ®Þnh nghÜa:
∫
∞
∞
−
−
= dx
e
)
x
(
f
)
w
(
F iwx
F = fourier(f,v) lµm cho F lµ hµm cña v thay v× cña w.Trong ®ã:
∫
∞
∞
−
−
= dx
e
)
x
(
f
)
v
(
F ivx
F = fourier(f,v,u) lµm cho f lµ hµm cña u vµ F lµ hµm cña v thay cho biÕn mÆc ®Þnh x vµ
w:
∫
∞
∞
−
−
= du
e
)
u
(
f
)
v
(
F ivu
Ta cã thÓ xem c¸c biÕn ®æi Fourier trong b¶ng sau:

38. 65
BiÕn ®æi Fourier LÖnh MATLAB
2
x
e
)
x
(
f −
=
∫
∞
∞
−
−
−
π
=
= 4
/
w
iwx 2
e
dx
e
)
x
(
f
)
w
](
f
[
F
f = exp(-x^2)
fourier(f) cho:
pi^(1/2)*exp(-1/4*w^2)
w
e
)
w
(
g
−
=
∫
∞
∞
−
−
+
=
= 2
iwt
t
1
2
dt
e
)
w
(
g
)
t
](
g
[
F
g = exp(-abs(w))
fourier(g) cho
2/(1+t^2)
|
x
|
xe
)
x
(
f −
=
∫
∞
∞
−
−
+
−
=
= u
2
2
ixu
)
u
1
(
i
4
dx
e
)
x
(
f
)
u
](
f
[
F
f = x*exp(-abs(x))
f = x*exp(-abs(x)) cho
-4*i/(1+u^2)^2*u
b. BiÕn ®æi Fourier ng−îc:Khi biÕt hµm ¶nh Fourier dïng biÕn ®æi Fourier ng−îc ta t×m
®−îc hµm gèc.Có ph¸p:
f = ifourier(F)
f = ifourier(F,u)
f = ifourier(F,v,u)
f = ifourier(F) lµ biÕn ®æi Fourier ng−îc cña mét ®èi t−îng kÝ tù v« h−íng F víi biÕn
mÆc ®Þnh lµ w.KÕt qu¶ lµ hµm cña x:
F = F(w) ⇒ f = f(x)
NÕu F = F(x) , ifourier tr¶ l¹i hµm cña t f = f(t).Trong ®ã:
∫
∞
∞
−
π
= dw
e
)
w
(
F
2
1
)
x
(
f iwx
f = ifourier(F,u) lµm cho f thµnh hµm cña u thay vÝ cña biÕn mÆc ®Þnh x.Trong ®ã:
∫
∞
∞
−
π
= dw
e
)
w
(
F
2
1
)
u
(
f iwu
f = ifourier(F,v,u) coi F lµ hµm cña v vµ f lµ hµm cña u thay cho accs biÕn mÆc ®Þnh w vµ
x.
∫
∞
∞
−
π
= dv
e
)
u
(
F
2
1
)
u
(
f ivu
BiÕn ®æi Fourier ng−îc LÖnh MATLAB
2
2
a
4
w
e
)
w
(
f =
2
)
ax
(
iwx
1
e
a
dw
e
)
w
(
f
)
x
](
f
[
F −
∞
∞
−
−
∫ π
=
=
|
x
|
e
)
x
(
g −
=
syms a real
f = exp(-w^2/(4*a^2))
F = ifourier(f)
F = simple(F) cho
ha*exp(-x^2*a^2)/pi^(1/2)
g = exp(-abs(x))

39. 66
|
x
|
e
)
x
(
g −
=
∫
∞
∞
−
−
+
π
=
= 2
itx
1
t
1
dx
e
)
x
(
g
)
t
](
g
[
F
ifourier(g) cho
1/(1+t^2)/pi
1
e
2
)
w
(
f |
w
|
−
= −
)
t
1
(
)
t
1
)(
t
(
2
dw
e
)
w
(
f
)
t
](
f
[
F
2
iwt
1
+
π
−
πδ
−
=
= ∫
∞
∞
−
−
f = 2*exp(-abs(w)) - 1
simple(ifourier(f,t)) cho
(2-pi*Dirac(t)-pi*Dirac(t)*t^2)/
(pi+pi*t^2)
2. BiÕn ®æi Laplace vµ Laplace ng−îc:
a. BiÕn ®æi Laplace:BiÕn ®æi Laplace dïng biÕn ®æi ph−¬ng tr×nh vi ph©n thµnh ph−¬ng
tr×nh ®¹i sè.Có ph¸p:
laplace(F)
laplace(F,t)
laplace(F,w,z)
L = laplace(F) lµ biÕn ®æi Laplace cña hµm kÝ tù v« h−íng F víi biÕn ®éc lËp t.MÆc ®Þnh
tr¶ l¹i lµ hµm cña s.BiÕn ®æi Laplace ®−îc ¸p dông cho hµm cña t vµ tr¶ l¹i hµm cña s.
F = F(t) ⇒ L = L(s)
NÕu F = F(s) Laplace tr¶ l¹i hµm cña t.Trong ®ã:
∫
∞
−
=
0
st
dt
e
)
t
(
F
)
s
(
L
L = laplace(F,t) lµm cho L thµnh hµm cña t thay cho biÕn mÆc ®Þnh s.
∫
∞
−
=
0
tx
dx
e
)
x
(
F
)
t
(
L
L = laplace(F,w,z) lµm cho L thµnh hµm cña z vµ F lµ hµm cña t thay cho c¸c biÕn mÆc ®Þnh s
vµ t.
∫
∞
−
=
0
zw
dw
e
)
w
(
F
)
z
(
L
BiÕn ®æi Laplace LÖnh MATLAB
4
t
)
t
(
f =
∫
∞
−
=
=
0
5
st
s
24
dt
e
)
t
(
F
]
f
[
L
f = t^4
laplace(f) cho
24/s^5
s
1
)
s
(
g =
∫
∞
− π
=
=
0
st
s
ds
e
)
s
(
g
)
t
](
g
[
L
g = 1/sqrt(s)
laplace(g) cho
1/(s^(1/2))*pi^(1/2)
at
e
)
t
(
f −
= f = exp(-a*t)
laplace(f) cho

40. 67
∫
∞
−
+
=
=
0
tx
a
x
1
dt
e
)
t
(
f
)
x
](
f
[
L
1/(x+a)
b. BiÕn ®æi Laplace ng−îc:Khi cã ¶nh cña hµm,ta cã thÓ t×m l¹i hµm gèc b»ng biÕn ®æi
Laplace ng−îc.Có ph¸p:
F = ilaplace(L)
F = ilaplace(L,y)
F = ilaplace(L,y,x)
F = ilaplace(L) lµ biÕn ®æi Laplace ng−îc cña mét ®èi t−îng kÝ tù v« h−íng L víi biÕn mÆc ®Þnh
lµ s.Tr¶ vÒ mÆc ®Þnh lµ hµm cña t.
L = L(s) ⇒ F = F(t)
NÕu L = L(t), ilaplace tr¶ vÒ hµm cña x.
∫
∞
+
∞
−
=
i
c
i
c
st
ds
e
)
s
(
L
)
t
(
F
F = ilaplace(L,y) lµm cho F lµ hµm cña y thay cho biÕn mÆc ®Þnh t.
∫
∞
+
∞
−
=
i
c
i
c
sy
ds
e
)
y
(
L
)
y
(
F
F = ilaplace(L,y,x) coi F lµ hµm cña x vµ L lµ hµm cña y thay cho biÕn mÆc ®Þnh t vµ s.
∫
∞
+
∞
−
=
i
c
i
c
xy
dy
e
)
y
(
L
)
x
(
F
BiÕn ®æi Laplace ng−îc LÖnh MATLAB
2
s
1
)
s
(
f =
∫
∞
+
∞
−
−
=
π
=
i
c
i
c
st
1
t
ds
e
)
s
(
f
i
2
1
]
f
[
L
f = 1/s^2
ilaplace(f) cho
t
a
t
1
)
t
(
g
−
=
∫
∞
+
∞
−
−
=
π
=
i
c
i
c
ax
xt
1
xe
dt
e
)
t
(
g
i
2
1
]
g
[
L
g = 1/(t-a)
ilaplace(g) cho
x*exp(a*x)
2
2
a
u
1
)
u
(
f
−
=
ax
i
c
i
c
ax
xu
1
ae
2
1
ae
2
1
du
e
)
u
(
g
i
2
1
]
f
[
L −
∞
+
∞
−
−
∫ −
=
π
=
f = 1/(u^2-a^2)
ilaplace(f) cho
1/(2*a*exp(a*x))-1/(2*a*exp(-a*x))
3. BiÕn ®æi z vµ z ng−îc:
a. BiÕn ®æi z:Thùc hiÖn phÐp biÕn ®æi z trªn hÖ thèng rêi r¹c ®Ó ®−a ph−¬ng tr×nh vi ph©n
vÒ ph−¬ng tr×nh ®¹i sè.Có ph¸p:
F = ztrans(f)

41. 68
F = ztrans(f,w)
F = ztrans(f,k,w)
F = ztrans(f) lµ phÐp biÕn ®æi z cña kÝ hiÖu v« h−íng f víi biÕn ®éc lËp mÆc ®Þnh n.MÆc ®Þnh tr¶
vÒ hµm cña z.BiÕn ®æi z ®−îc ®Þnh nghÜa:
∑
∞
=
0
n
z
)
n
(
f
)
z
(
F
Trong ®ã n lµ biÕn kÝ hiÖu cña f.NÕu f = f(z) th× ztrans tr¶ vÒ hµm cña w F = F(w).
F = ztrans(f,w) lµm cho f thµnh hµm cña w thay cho biÕn mÆc ®Þnh z.
∑
∞
=
0
n
w
)
n
(
f
)
w
(
F
F = ztrans(f,k,w) coi f lµ hµm cña k
∑
∞
=
0
n
k
)
k
(
f
)
w
(
F
BiÕn ®æi z LÖnh MATLAB
4
n
)
n
(
f =
5
2
3
0
n
n
)
1
z
(
)
1
z
11
z
11
z
(
z
z
)
n
(
f
]
f
[
Z
−
+
+
+
=
= ∑
∞
=
−
f = n^4
ztrans(f) cho
z*(z^3+11*z^2+11*z+1)/(z-1)^5
z
a
)
z
(
g =
w
a
w
w
)
z
(
g
]
g
[
Z
0
z
z
−
−
=
= ∑
∞
=
−
g = a^z
ztrans(g) cho
-w/(a-w)
an
sin
)
n
(
f =
2
0
n
n
w
a
cos
w
2
1
a
sin
w
w
)
n
(
f
]
f
[
Z
+
−
=
= ∑
∞
=
−
f = sin(a*n)
ztrans(f)
w*sin(a)/(1-2*w*cos(a)+w^2)
b. BiÕn ®æi z ng−îc:Khi cã ¶nh cña biÕn ®æi z ta cã thÓ t×m l¹i gèc cña nã nhê biÕn ®æi z
ng−îc.Có ph¸p:
f = iztrans(F)
f = iztrans(F,k)
f = iztrans(F,w,k)
f = iztrans(F) lµ biÕn ®æi z ng−îc cña ®èi t−îng kÝ hiÖu F víi biÕn ®éc lËp z.MÆc ®Þnh tr¶ vÒ
hµm cña n:
∫
=
−
=
π
=
R
|
z
|
1
n
,....
2
,
1
n
dz
z
)
z
(
F
i
2
1
)
n
(
f
Trong ®ã R lµ sè d−¬ng ®−îc chän sao cho hµm F(z) lµ gi¶i tÝch trªn vµ ngoµi vßng trßn | z | =
R.NÕu F = F(n) iztrans tr¶ vÒ hµm cña k: f = f(k).
f = iztrans(F,k) coi f lµ hµm cña k thay cho biÕn mÆc ®Þnh n. Trong ®ã k lµ ®èi t−îng kÝ hiÖu v«
h−íng.
f = iztrans(F,w,k) coi F lµ hµm cña w thay v× cña biÕn mÆc ®Þnh.
BiÕn ®æi z ng−îc LÖnh MATLAB

42. 69
2
)
2
z
(
z
2
)
z
(
f
−
=
∫
=
−
−
=
π
=
R
|
z
|
n
1
n
1
2
n
dz
z
)
s
(
f
i
2
1
]
f
[
Z
f = 2*z/(z-2)^2
iztrans(f) cho
n*2^n
1
n
2
n
)
1
n
(
n
)
n
(
g 2
+
+
+
=
k
R
|
z
|
1
k
1
1
dn
n
)
n
(
g
i
2
1
]
f
[
Z −
=
π
= ∫
=
−
−
g = n*(n-1)/(n^2+2*n+1)
iztrans(g) cho
(-1)^k
a
z
z
)
z
(
f
−
=
∫
=
−
−
=
π
=
R
|
z
|
k
1
k
1
a
dz
z
)
z
(
f
i
2
1
]
f
[
Z
f = z/(z-a)
iztrans(f) cho
a^k
z
2
z
2
z
e
xe
2
x
)
e
x
(
x
)
z
,
x
(
f
+
−
−
=
∫
=
−
−
=
π
=
R
|
x
|
kz
1
k
1
e
dx
z
)
z
,
x
(
f
i
2
1
]
f
[
Z
f = x*(x-exp(z))/(x^2-2*x*exp(z) + exp(2*z))
iztrans(f) cho
exp(z)^k