chuyen-de-day-so-cap-so-cong-va-cap-so-nhan-toan-11-canh-dieu.pdf

CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY SỐ – CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN
Page 1
Sưu tầm và biên soạn
BÀI 1: DÃY SỐ
I. KHÁI NIỆM
Mỗi hàm số u :{ }
1,2,3,...,m →  ( *
m∈ ) được gọi là một dãy số hữu hạn.
Do mỗi số nguyên dương ( )
1
k k m
≤ ≤ tương ứng với đúng một số k
u nên ta có thể viết dãy số
đó dưới dạng khai triển: 1 2 3
, , , ..., ,
m
u u u u trong đó 1
u là số hạng đầu, m
u là số hạng cuối của
dãy số đó.
Mỗi hàm số u : *
→
  được gọi là một dãy số vô hạn.
Do mỗi số nguyên dương n tương ứng với đúng một số n
u nên ta có thể viết dãy số đó dưới
dạng khai triển: 1 2 3
, , , ..., ,...
n
u u u u
Dãy số đó còn được viết tắt là ( )
n
u .
Số 1
u gọi là số hạng đầu, 2
u gọi là số hạng thứ 2, … ( )
n
u u n
= là số hạng thứ n (hay số hạng
tổng quát) của dãy số.
Nếu *
,
n
u C n
= ∀ ∈ thì ta nói ( )
n
u là dãy số không đổi.
II. CÁCH XÁC ĐỊNH DÃY SỐ
Thông thường một dãy số có thể được cho bằng các cách sau:
a) Dãy số cho bằng liệt kê các số hạng
b) Diễn đạt bằng lời cách xác định mỗi số hạng của dãy số đó.
c) Dãy số cho bằng công thức của số hạng tổng quát
d) Dãy số cho bằng phương pháp truy hồi
Cách cho một dãy số bằng phương pháp truy hồi, tức là:
Cho số hạng đầu.
Cho hệ thức truy hồi, tức là hệ thức biểu thị số hạng thứ n qua số hạng đứng trước nó.
CHƯƠNG
II
DÃY SỐ
CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN
LÝ THUYẾT.
I

Page 2
III. DÃY SỐ TĂNG, DÃY SỐ GIẢM VÀ DÃY SỐ BỊ CHẶN
Dãy số  
n
u được gọi là dãy số tăng nếu ta có 1
n n
u u
  với mọi *
.
n  
Dãy số  
n
u được gọi là dãy số giảm nếu ta có 1
n n
u u
  với mọi *
.
n  
Chú ý: Không phải mọi dãy số đều tăng hoặc giảm. Chẳng hạn, dãy số  
n
u với  
3
n
n
u   tức là
dãy 3,9, 27,81,...
  không tăng cũng không giảm.
IV. DÃY SỐ BỊ CHẶN
Dãy số  
n
u được gọi là bị chặn trên nếu tồn tại một số M sao cho
*
, .
n
u M n
   
Dãy số  
n
u được gọi là bị chặn dưới nếu tồn tại một số m sao cho
*
, .
n
u m n
   
Dãy số  
n
u được gọi là bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới, tức là tồn tại các số
,
m M sao cho
*
, .
n
m u M n
    
Lưu y: + Dãy tăng sẽ bị chặn dưới bởi 1
u
+ Dãy giảm sẽ bị chặn trên bởi 1
u
DẠNG 1: TÌM SỐ HẠNG CỦA DÃY SỐ
Bài toán 1: Cho dãy số ( )
n
u : ( )
n
u f n
= . Hãy tìm số hạng k
u .
Tự luận: Thay trực tiếp n k
= vào n
u .
MTCT: Dùng chức năng CALC:
Nhập: ( )
f x
Bấm r nhập X k
=
Bấm = → Kết quả
HỆ THỐNG BÀI TẬP.
II
PHƯƠNG PHÁP.
1
BÀI TẬP TỰ LUẬN.
2

Page 3
Câu 1: Cho dãy số ( )
n
u biết 1 1 5 1 5
2 2
5
n n
n
u
 
   
+ −
 
= −
   
   
 
   
 
. Tìm số hạng 6
u .
n
u có số hạng tổng quát
2 1
2
n
n
u
n
+
=
+
. Số
167
84
là số hạng thứ mấy?
n
u cho bởi
1
1 ( )
n n
u a
u f u
+
=


=

. Hãy tìm số hạng k
u .
Tự luận: Tính lần lượt 2 3
; ;...; k
u u u bằng cách thế 1
u vào 2
u , thế 2
u vào 3
u , …, thế 1
k
u − vào
1
k
u + .
MTCT: Cách lập quy trình bấm máy:
- Nhập giá trị của số hạng u1: a =
- Nhập biểu thức của ( )
1
n n
u f u
+ =
- Lặp dấu = lần thứ 1
k − cho ra giá trị của số hạng k
u .
n
u biết
1
1
1
2
1
n
n
n
u
u
u
u
+
=


+

=
 +

u .
n
u được xác định như sau:
1
1
1
2
n n
u
u u
+
=


= +

u .
n
u cho bởi
1 2
2 1
,
. .
n n n
u a u b
u c u d u e
+ +
= =


= + +

u .
; ;...; k
u u u bằng cách thế 1 2
,
u u vào 3
u ; thế 2 3
,
u u vào 4
u ; …; thế
2 1
,
k k
u u
− − vào k
u .
- Nhập C .B .A : A B: B C
c d e
= + + = =
- Bấm r nhập B b
= , ấn =, nhập A a
= ấn =
- Lặp dấu = cho đến khi xuất hiện lần thứ 2
k − giá trị của C thì đó chính là giá trị của số hạng
k
u .
PHƯƠNG PHÁP.
1
2
PHƯƠNG PHÁP.
1

Page 4
n
1 2
2 1
1; 2
2 3 5
n n n
u u
u u u
+ +
= =


= + +

u .
n
u cho bởi
{ }
( )
1
1 ,
n n
u a
u f n u
+
=



=


. Trong đó { }
( )
, n
f n u là kí hiệu của biểu thức 1
n
u +
tính theo n
u và n . Hãy tìm số hạng k
u .
; ;...; k
u u u bằng cách thế { }
1
1,u vào 2
u ; thế { }
2
2,u vào 3
u ; …; thế
{ }
1
1, k
k u −
− vào k
u .
- Sử dụng 3 ô nhớ: A : chứa giá trị của n
B : chứa giá trị của un
C : chứa giá trị của un+1
- Lập công thức tính un+1 thực hiện gán A : = A + 1 và B := C để tính số hạng tiếp theo
của dãy
- Lặp phím dấu = cho đến khi giá trị của C xuất hiện lần thứ 1
k − thì đó là giá trị của số hạng
k
u .
n
( )
1
1
0
1
1
n n
u
n
u u
n
+
=



= +
 +

u .
n
u được xác định bởi: 1
1
1
2
2
n n
u
u u n
+

=


 = +

u .
DẠNG 2: XÉT TÍNH TĂNG, GIẢM CỦA DÃY SỐ
Cách 1: Xét hiệu 1
n n
u u
+ −
2
PHƯƠNG PHÁP.
1
2
PHƯƠNG PHÁP.
1

Page 5
 Nếu *
1 0
n n
u u n
+ − > ∀ ∈ thì ( )
n
u là dãy số tăng.
 Nếu *
1 0
n n
u u n
+ − < ∀ ∈ thì ( )
n
u là dãy số giảm.
Cách 2 : Khi *
0
n
u n
> ∀ ∈ ta xét tỉ số 1
n
n
u
u
+
 Nếu 1
1
n
n
u
u
+
> thì ( )
n
 Nếu 1
1
n
n
u
u
+
< thì ( )
n
Cách 3 : Nếu dãy số ( )
n
u được cho bởi một hệ thức truy hồi thì ta có thể sử dụng phương pháp quy nạp
để chứng minh *
1
n n
u u n
+ > ∀ ∈
* Công thức giải nhanh một số dạng toán về dãy số
Dãy số ( )
n
u có n
u an b
= + tăng khi 0
a > và giảm khi 0
a <
Dãy số ( )
n
u có n
n
u q
=
 Không tăng, không giảm khi 0
q <
 Giảm khi 0 1
q
< <
 Tăng khi 1
q >
Dãy số ( )
n
u có n
an b
u
cn d
+
=
+
với điều kiện *
cn d 0 n
+ > ∀ ∈
 Tăng khi 0
ad bc
− >
 Giảm khi 0
ad bc
− <
Dãy số đan dấu cũng là dãy số không tăng, không giảm
Nếu dãy số ( )
n
u tăng hoặc giảm thì dãy số ( )
.
n
n
q u không tăng, không giảm
Dãy số ( )
n
u có 1
n n
u au b
+
= + tăng nếu
2 1
0
0
a
u u
>


− >

; giảm nếu
2 1
0
0
a
u u
>


− <

và không tăng
không giảm nếu 0
a <
Dãy số ( )
n
u có
1
*
, 0, 0
n
n
n
n
au b
u
cu d
c d u n
+
+

=
 +

 > > ∀ ∈
 
tăng nếu
2 1
0
0
ad bc
u u
− >


− >

và giảm nếu
2 1
0
0
ad bc
u u
− >


− <

Dãy số ( )
n
u có
1
*
, 0, 0
n
n
n
n
au b
u
cu d
c d u n
+
+

=
 +

 > > ∀ ∈
 
không tăng không giảm nếu 0
ad bc
− <

Page 6
Nếu
( )
( )
n
n
u
v
 ↑


↑


thì dãy số ( )
n n
u v
+ ↑ Nếu
( )
( )
n
n
u
v
 ↓


↓


thì dãy số ( )
n n
u v
+ ↓
Nếu
*
*
( ) ; 0
( ) ; 0
n n
n n
u u n
v v n
 ↑ ≥ ∀ ∈


↑ ≥ ∀ ∈




thì dãy số ( )
.
n n
u v ↑ Nếu
*
*
( ) ; 0
( ) ; 0
n n
n n
u u n
v v n
 ↓ ≥ ∀ ∈


↓ ≥ ∀ ∈




thì dãy số ( )
.
n n
u v ↓
Nếu ( )
n
u ↑ và *
0
n
u n
≥ ∀ ∈ thì dãy số ( )
n
u ↑
và dãy số ( ) *
( )m
n
u m
↑ ∀ ∈
Nếu ( )
n
u ↓ và *
0
n
u n
≥ ∀ ∈ thì dãy số ( )
n
u ↓
và dãy số ( ) *
( )m
n
u m
↓ ∀ ∈
Nếu ( )
n
u ↑ và *
0
n
u n
> ∀ ∈ thì dãy số
1
n
u
 
↓
 
 
Nếu ( )
n
u ↓ và *
0
n
u n
1
n
u
 
↑
 
 
Câu 8: Xét tính đơn điệu của dãy số ( )
n
u biết 3 6
n
u n
= + .
n
u biết
5
2
n
n
u
n
+
=
+
.
n
u biết 2
5n
n
u
n
= .
n
u biết
1
1
2
( ) : 3 1
2
4
n n
n
u
u u
u n
−
=


 +
= ∀ ≥


.
DẠNG 3: XÉT TÍNH BỊ CHẶN CỦA DÃY SỐ
Phương pháp 1: Chứng minh trực tiếp bằng các phương pháp chứng minh bất đẳng thức
Cách 1: Dãy số ( )
n
u có ( )
n
u f n
= là hàm số đơn giản.
Ta chứng minh trực tiếp bất đẳng thức *
( ) ,
n
u f n M n
= ≤ ∀ ∈ hoặc *
( ) ,
n
u f n m n
= ≥ ∀ ∈
n
u có 1 2 ... ...
n k n
u v v v v
= + + + + +
Ta làm trội 1
k k k
v a a +
≤ −
Lúc đó ( ) ( ) ( )
1 2 2 3 1
...
n n n
u a a a a a a +
≤ − + − + −
Suy ra *
1 1 ,
n n
u a a M n
+
≤ − ≤ ∀ ∈
n
u có 1 2 3
. ...
n n
u v v v v
= với *
0,
n
v n
> ∀ ∈
Ta làm trội 1
k
k
k
a
v
a
+
≤
2
PHƯƠNG PHÁP.
1

Page 7
Lúc đó 3 1
2
1 2
. ... n
n
n
a a
a
u
a a a
+
≤
Suy ra *
1
1
,
n
n
a
u M n
a
+
≤ ≤ ∀ ∈
Phương pháp 2: Dự đoán và chứng minh bằng phương pháp quy nạp.
Nếu dãy số ( )
n
để chứng minh
Chú ý: Nếu dãy số ( )
n
u giảm thì bị chặn trên, dãy số ( )
n
u tăng thì bị chặn dưới
* Công thức giải nhanh một số dạng toán về dãy số bị chặn
Dãy số ( )
n
u có ( )
1
n
n
u q q
= ≤ bị chặn
Dãy số ( )
n
u có ( )
1
n
n
u q q
= < − không bị chặn
Dãy số ( )
n
u có n
n
u q
= với 1
q > bị chặn dưới
Dãy số ( )
n
u có n
u an b
= + bị chặn dưới nếu 0
a > và bị chặn trên nếu 0
a <
Dãy số ( )
n
u có 2
n
u an bn c
= + + bị chặn dưới nếu 0
a <
Dãy số ( )
n
u có 1
1 1 0
...
m m
n m m
u a n a n a n a
−
−
= + + + + bị chặn dưới nếu 0
m
a > và bị chặn trên nếu
0
m
a <
Dãy số ( )
n
u có ( )
1
1 1 0
...
n m m
n m m
u q a n a n a n a
−
−
= + + + + với 0
m
a ≠ và 1
q < − không bị chặn
Dãy số ( )
n
u có 1
1 1 0
...
m m
n m m
u a n a n a n a
−
−
= + + + + bị chặn dưới với 0
m
a >
Dãy số ( )
n
u có 1
3
1 1 0
...
m m
n m m
u a n a n a n a
−
−
m
a > và bị chặn trên
nếu 0
m
a <
Dãy số ( )
n
u có
( )
( )
n
P n
u
Q n
= trong đó ( )
P n và ( )
Q n là các đa thức, bị chặn nếu bậc của ( )
P n
nhỏ hơn hoặc bằng bậc của ( )
Q n
Dãy số ( )
n
u có
( )
( )
n
P n
u
Q n
= trong đó ( )
P n và ( )
Q n là các đa thức, bị chặn dưới hoặc bị chặn
trên nếu bậc của ( )
P n lớn hơn bậc của ( )
Q n
Câu 12: Xét tính bị chặn của dãy số ( )
n
u biết
1
2 3
n
u
n
−
=
+
.
2

Page 8
n
u biết
4 5
1
n
n
u
n
+
=
+
.
n
u biết
3
2
1
n
n
u
n
=
+
.
n
u biết 2 2 2
1 1 1 1
...
2 2 3
n
u
n
= + + + + . Mệnh đề nào sau đây đúng ?
DẠNG 4: TÍNH TỔNG CỦA DÃY SỐ
Dạng 4.1: Tính tổng của dãy số cách đều
Giải sử cần tính tổng: 1 2 ... n
S a a a
= + + + . Trong đó: 1
n n
a a d
−
= +
- Tự luận:
Ta có: ( ) ( ) ( ) ( )
1 2 1 1 1
2 ...
n n n n
S a a a a a a n a a
−
= + + + + + + = +
Từ đó suy ra:
( )
1
n.
2
n
a a
S
+
=
- Trắc nghiệm:
Công thức tính nhanh:
+ Số hạng tổng quát của dãy số cách đều là: ( )
1 1
n
u u n d
= + − với d là khoảng cách giữa 2 số
hạng
+ Số số hạng =: + 1
+ Tổng = •: 2
- Casio
Bước 1: Từ công thức của tổng tìm số hạng tổng quát của tổng và số số hạng.
Bước 2: Sử dụng công cụ tính: ∑ y nhập số hạng tổng quát của dãy số y nhập x chạy từ 1
tới n = số số hạng y =.
Câu 16: Tính 1 3 5 ... 4001
S = + + + + ?
Câu 17: Cho tổng ( ) 2 4 6 ... 2
S n n
= + + + + . Khi đó 30
S bằng?
n
u xác định bởi: 1 150
u = và 1 3
n n
u u −
= − với mọi 2
n ≥ Khi đó tổng 100 số hạng
đầu tiên là:
Dạng 4.2: Tính tổng của dãy số bằng phương pháp khử liên tiếp
PHƯƠNG PHÁP.
1
2

Page 9
Giả sử cần tính tổng: .
- Tự luận:
Bước 1: Ta tìm cách tách: ; ;.
Bước 2: Rút gọn:
- Trắc nghiệm:
+ Một số công thức tách thường sử dụng:
+ Nhận định kết quả của tổng là:
- Casio:
Làm tương tự như dạng 1
Câu 19: Tính tổng sau:
Câu 20: Cho tổng . Khi đó công thức của là:
Câu 21: Cho tổng . Tính
Dạng 4.3: Tính tổng bằng cách chuyển về phương trình có ẩn là tổng cần tính
- Tự luận:
Sơ đồ giải: Từ công thức của tổng S ta chuyển về phương trình chứa ẩn S Giải pt S
- Trắc nghiệm:
Tổng có dạng: với
1 2 ... n
S a a a
= + + +
1 1 2
a b b
= − 2 2 3
a b b
= −
1 2 2 3 1 1 1
b ... n n n
S b b b b b b b
+ +
= − + − + + − = −
1 1
n(n a)
a
n n a
• =
−
+ +
2 1 1
n(n a)(n 2a) ( ) ( )( 2 )
a
n n a n a n a
• = −
+ + + + +
2
2 2 2 2
2 1 1
n (n a) ( )
na a
n n a
+
• =
−
+ +
. ! ( 1)! !
n n n n
• = + −
1 1
n
S b b +
= −
2 2 2 2
...
1.3 3.5 5.7 97.99
S = + + + +
1 1 1 1
...
1.2.3 2.3.4 3.4.5 n(n 1)(n 2)
n
S
= + + + +
+ + n
S
2 2 2 2
3 5 7 2 1
...
(1.2) (2.3) (3.4) [n( 1)]
n
n
S
n
+
= + + + +
+ 10
S
1 2 ... n
S a a a
= + + +
( )
1
1
2
1 1 1 1
1
...
1
n
n
u a
S u u a u a u a S
a
+
−
= + + + + ⇒ =
−
1
a ≠
PHƯƠNG PHÁP.
1
2
PHƯƠNG PHÁP.
1

Page 10
- Casio:
Câu 22: Tính tổng: ?
Câu 23: Tính tổng ?
Câu 24: Tính tổng: . Tính
Dạng 4.4: Tính tổng bằng cách đưa về các tổng đã biết
Giải sử cần tính tổng: .
- Tự luận:
Tìm cách tách: . Trong đó: đã biết công thức tính tổng.
- Trắc nghiệm:
Ta có thể dùng phương pháp thử giá trị n vào các đáp án để loại trừ và chọn ra đáp án đúng.
- Casio:
Câu 25: Tính: . Biết rằng:
Câu 26: Cho: . Tính biết rằng:
.
Câu 27: Cho tổng: với . Biết: . Giá trị của k là:
DẠNG 5: XÁC ĐỊNH CÔNG THỨC SỐ HẠNG TỔNG QUÁT CỦA DÃY SỐ
2 50
1 3 3 ... 3
S = + + + +
100
2 3 100
1 1 1 1
4.5 . ... 1
5 5 5 5
S
 
= + + + + +
 
 
1 1 1 1
1 1 1 ... 1
2 4 8 2n
S
       
= − + − + − + + −
       
       
10
S
1 2 ...
n n
S a a a
= + + +
1 2 3 ...
n
S S S S
= + + + 1 2 3
; ;S ...
S S
1.3 2.5 3.7 ... (2 1)
n
S n n
= + + + + +
2 2 2 2
1 1
( 1) ( 1)(2 1)
1 2 3 ... ; 1 2 3 ...
2 6
n n
i i
n n n n n
i n i n
=
+ + +
=+ + + + = =+ + + + =
∑ ∑
1.2 3.4 5.6 ... (2 1).2
n
S n n
= + + + + − 100
S
2 2 2 2
1 1
( 1)(2 1)
2 2 4 6 ... 2 ( 1); 1 2 3 ...
6
n n
i i
n n n
i n n n i n
=
+ +
= + + + + = + =+ + + + =
∑ ∑
1.4 2.7 3.10 ... .(3 1)
n
S n n
= + + + + + *
n∈ 294
k
S =
2
PHƯƠNG PHÁP.
1
2
PHƯƠNG PHÁP.
1

Page 11
 Nếu có dạng thì biến đổi thành hiệu của hai số hạng, dựa vào đó thu
gọn .
 Nếu dãy số được cho bởi một hệ thức truy hồi, tính vài số hạng đầu của dãy số, từ đó dự
đoán công thức tính theo n, rồi chứng minh công thức này bằng phương pháp quy nạp. Ngoài
ra cũng có thể tính hiệu dựa vào đó để tìm công thức tính theo n.
Câu 28: Cho dãy số có . Đặt . Xác định công thức tính theo n.
Câu 29: Xác định công thức tính số hạng tổng quát theo n của dãy số sau: .
Câu 30: Xác định công thức tính số hạng tổng quát theo n của dãy số sau:
( )
n
u 1 2 ...
n n
u a a a
= + + + k
a
n
u
( )
n
u
n
u
1
n n
u u
+ − ( )
n
u
( )
n
a
( )
1
1
k
a
k k
=
+ 1
n
n k
k
u a
=
= ∑ ( )
n
u
n
u
1
1
3
2
n n
u
u u
+
=


= +

n
u
1
3
1
1
1.
n n
u
n
u u n
+
=

∀ ≥

= +

2

Page 3
n
u biết 1 1 5 1 5
2 2
5
n n
n
u
 
   
+ −
 
= −
   
   
 
   
 
u .
Lời giải
Cách 1: Giải theo tự luận:
Thế trực tiếp:
6 6
6
1 1 5 1 5
8
2 2
5
u
 
   
 
 
 
 
 
  
 
 
 
 
 
 
 
 
   
 
.
Cách 2: Dùng chức năng CALC của máy tính cầm tay:
Nhập: 1 1 5 1 5
2 2
5
x x
 
   
+ −
 
−
   
   
 
   
 
Bấm CALC nhập X 6
=
Máy hiện: 8
n
u có số hạng tổng quát
2 1
2
n
n
u
n
+
=
+
. Số
167
84
là số hạng thứ mấy?
Lời giải
1Giả sử
+
= ⇔ = ⇔ + = +
+
167 2 1 167
84(2 1) 167( 2)
84 2 84
n
n
u n n
n
250
n
⇔ = .
Vậy
167
84
là số hạng thứ 250 của dãy số ( )
n
u .
Cách 2: Sử dụng MTCT:
Nhập:
+
+
2 1
2
x
x
Bấm CALC nhập X 250
=
Máy hiện:
167
84
n
u cho bởi
1
1 ( )
n n
u a
u f u
+
=


=

u .
; ;...; k
u u u bằng cách thế 1
u vào 2
u , thế 2
u vào 3
u , …, thế 1
k
u − vào
1
k
u + .
PHƯƠNG PHÁP.
1

Page 4
- Nhập giá trị của số hạng u1: a =
- Nhập biểu thức của ( )
1
n n
u f u
+ =
- Lặp dấu = lần thứ 1
k − cho ra giá trị của số hạng k
u .
n
u biết
1
1
1
2
1
n
n
n
u
u
u
u
+
=


+

=
 +

u .
Lời giải
1
2
1
2 1 2 3
1 1 1 2
u
u
u
+ +
= = =
+ +
; 2
3
2
3
2
2 7
2
3
1 5
1
2
u
u
u
+
+
= = =
+ +
; 3
4
3
7
2
2 17
5
7
1 12
1
5
u
u
u
+
+
= = =
+ +
;
4
5
4
17
2
2 41
12
17
1 29
1
12
u
u
u
+
+
= = =
+ +
; 5
6
5
41
2
2 99
29
41
1 70
1
29
u
u
u
+
+
= = =
+ +
; 6
7
6
99
2
2 239
70
99
1 169
1
70
u
u
u
+
+
= = =
+ +
7
8
7
239
2
2 577
169
239
1 408
1
169
u
u
u
+
+
= = =
+ +
; 8
9
8
577
2
2 1393
408
577
1 985
1
408
u
u
u
+
+
= = =
+ +
; 9
10
9
1393
2
2 3363
985
1393
1 2378
1
985
u
u
u
+
+
= = =
+ +
Lập quy trình bấm phím tính số hạng của dãy số như sau:
Nhập: 1 = 1
( )
u
Nhập
ANS 2
ANS 1
+
+
Lặp dấu = ta được giá trị số hạng 10
3363
2378
u = .
n
1
1
1
2
n n
u
u u
+
=


= +

u .
Lời giải
Từ giả thiết ta có:
2

Page 5
1
2 1
3 2
50 49
1
2
2
...
2
u
u u
u u
u u
=
= +
= +
= +
Cộng theo vế các đẳng thức trên, ta được:
50 1 2.49 99
u =
+ =
Lập quy trình bấm phím tính số hạng của dãy số như sau:
Nhập: 1 = 1
( )
u
Nhập ANS 2
+
Lặp dấu = ta được giá trị số hạng 50 99
u = .
n
u cho bởi
1 2
2 1
,
. .
n n n
u a u b
u c u d u e
+ +
= =


= + +

u .
; ;...; k
u u u bằng cách thế 1 2
,
u u vào 3
u ; thế 2 3
,
u u vào 4
u ; …; thế
2 1
,
k k
u u
− − vào k
u .
- Nhập C .B .A : A B: B C
c d e
= + + = =
- Bấm r nhập B b
= , ấn =, nhập A a
= ấn =
- Lặp dấu = cho đến khi xuất hiện lần thứ 2
k − giá trị của C thì đó chính là giá trị của số hạng
k
u .
n
1 2
2 1
1; 2
2 3 5
n n n
u u
u u u
+ +
= =


= + +

u .
Lời giải
3 2 1
2 3 5 12
u u u
= + + = 4 3 2
2 3 5 35
u u u
= + + = 5 4 3
2 3 5 111
u u u
= + + =
6 5 4
2 3 5 332
u u u
= + + = 7 6 5
2 3 5 1002
u u u
= + + = 8 7 6
2 3 5 3005
u u u
= + + =
PHƯƠNG PHÁP.
1
2

Page 6
Cách 2: Dùng máy tính cầm tay:
Sử dụng 3 ô nhớ: A : chứa giá trị của n
u
B : chứa giá trị của 1
n
u +
C : chứa giá trị của 2
n
u +
Lập quy trình bấm máy:
Nhập: C 2B 3A+5: A B: B C
=
+ ==
Bấm CALC nhập B 2
= , ấn = , nhập A 1
= ấn =
Lặp dấu = cho đến khi giá trị của C xuất hiện lần thứ 6 thì đó là giá trị của số hạng 8
u bằng
3005.
n
u cho bởi
{ }
( )
1
1 ,
n n
u a
u f n u
+
=



=


. Trong đó { }
( )
, n
f n u là kí hiệu của biểu thức 1
n
u +
tính theo n
u và n . Hãy tìm số hạng k
u .
; ;...; k
u u u bằng cách thế { }
1
1,u vào 2
u ; thế { }
2
2,u vào 3
u ; …; thế
{ }
1
1, k
k u −
− vào k
u .
- Sử dụng 3 ô nhớ: A : chứa giá trị của n
B : chứa giá trị của un
C : chứa giá trị của un+1
- Lập công thức tính un+1 thực hiện gán A : = A + 1 và B := C để tính số hạng tiếp theo
của dãy
- Lặp phím dấu = cho đến khi giá trị của C xuất hiện lần thứ 1
k − thì đó là giá trị của số hạng
k
u .
n
( )
1
1
0
1
1
n n
u
n
u u
n
+
=



= +
 +

u .
Lời giải
PHƯƠNG PHÁP.
1
2

Page 7
2 1
1 1
( 1)
2 2
u u
= + = 3 2
2
( 1) 1
3
u u
= + = 4 3
3 3
( 1)
4 2
u u
= + = 5 4
4
( 1) 2
5
u u
= + =
6 5
5 5
( 1)
6 2
u u
= + = 7 6
6
( 1) 3
7
u u
= + = 8 7
7 7
( 1)
8 2
u u
= + = 9 8
8
( 1) 4
9
u u
= + =
10 9
9 9
( 1)
10 2
u u
= += 11 10
10
( 1) 5
11
u u
= +
=
Sử dụng 3 ô nhớ: A : chứa giá trị của n
B : chứa giá trị của n
u
C : chứa giá trị của 1
n
u +
Lập quy trình bấm máy:
Nhập: ( )
A
C B 1 : A A 1: B C
A 1
= + = + =
+
Bấm CALC nhập A 1
= , ấn =, nhập B 0
= ấn =
u bằng 5.
n
u được xác định bởi: 1
1
1
2
2
n n
u
u u n
+

=


 = +

u .
Lời giải
Từ giả thiết ta có:
1
2 1
3 2
50 49
1
2
2.2
2.3
...
2.50
u
u u
u u
u u
=
= +
= +
= +
Cộng theo vế các đẳng thức trên, ta được:
50
50
2
1 1
2.(2 3 ... 50) 2. 2548,5
2 2 x
u x
=
= + + + + = + =
∑
Nhập: C B 2A : A A 1: B C
=+ = + =

Page 8
Bấm CALC nhập
1
B
2
= , ấn =, nhập A 1
= ấn =
u bằng
2548,5.
DẠNG 2: XÉT TÍNH TĂNG, GIẢM CỦA DÃY SỐ
Cách 1: Xét hiệu 1
n n
u u
+ −
 Nếu *
1 0
n n
u u n
+ − > ∀ ∈ thì ( )
n
 Nếu *
1 0
n n
u u n
+ − < ∀ ∈ thì ( )
n
Cách 2 : Khi *
0
n
u n
> ∀ ∈ ta xét tỉ số 1
n
n
u
u
+
 Nếu 1
1
n
n
u
u
+
> thì ( )
n
 Nếu 1
1
n
n
u
u
+
< thì ( )
n
Cách 3 : Nếu dãy số ( )
n
để chứng minh *
1
n n
u u n
+ > ∀ ∈
* Công thức giải nhanh một số dạng toán về dãy số
Dãy số ( )
n
u có n
u an b
= + tăng khi 0
a > và giảm khi 0
a <
Dãy số ( )
n
u có n
n
u q
=
 Không tăng, không giảm khi 0
q <
 Giảm khi 0 1
q
< <
 Tăng khi 1
q >
Dãy số ( )
n
u có n
an b
u
cn d
+
=
+
với điều kiện *
cn d 0 n
+ > ∀ ∈
 Tăng khi 0
ad bc
− >
 Giảm khi 0
ad bc
− <
Dãy số đan dấu cũng là dãy số không tăng, không giảm
Nếu dãy số ( )
n
u tăng hoặc giảm thì dãy số ( )
.
n
n
q u không tăng, không giảm
PHƯƠNG PHÁP.
1

Page 9
Dãy số ( )
n
u có 1
n n
u au b
+
= + tăng nếu
2 1
0
0
a
u u
>


− >

; giảm nếu
2 1
0
0
a
u u
>


− <

và không tăng
không giảm nếu 0
a <
Dãy số ( )
n
u có
1
*
, 0, 0
n
n
n
n
au b
u
cu d
c d u n
+
+

=
 +

 > > ∀ ∈
 
tăng nếu
2 1
0
0
ad bc
u u
− >


− >

và giảm nếu
2 1
0
0
ad bc
u u
− >


− <

Dãy số ( )
n
u có
1
*
, 0, 0
n
n
n
n
au b
u
cu d
c d u n
+
+

=
 +

 > > ∀ ∈
 
không tăng không giảm nếu 0
ad bc
− <
Nếu
( )
( )
n
n
u
v
 ↑


↑


thì dãy số ( )
n n
u v
+ ↑ Nếu
( )
( )
n
n
u
v
 ↓


↓


thì dãy số ( )
n n
u v
+ ↓
Nếu
*
*
( ) ; 0
( ) ; 0
n n
n n
u u n
v v n
 ↑ ≥ ∀ ∈


↑ ≥ ∀ ∈




thì dãy số ( )
.
n n
u v ↑ Nếu
*
*
( ) ; 0
( ) ; 0
n n
n n
u u n
v v n
 ↓ ≥ ∀ ∈


↓ ≥ ∀ ∈




thì dãy số ( )
.
n n
u v ↓
Nếu ( )
n
u ↑ và *
0
n
u n
≥ ∀ ∈ thì dãy số ( )
n
u ↑
và dãy số ( ) *
( )m
n
u m
↑ ∀ ∈
Nếu ( )
n
u ↓ và *
0
n
u n
≥ ∀ ∈ thì dãy số ( )
n
u ↓
và dãy số ( ) *
( )m
n
u m
↓ ∀ ∈
Nếu ( )
n
u ↑ và *
0
n
u n
1
n
u
 
↓
 
 
Nếu ( )
n
u ↓ và *
0
n
u n
1
n
u
 
↑
 
 
n
u biết 3 6
n
u n
= + .
Lời giải
Ta có ( )
1
3 6 3 1 6 3 9
n n
u n u n n
+
= + ⇒ = + + = +
Xét hiệu ( ) ( ) *
1 3 9 3 6 3 0
n n
u u n n n
+ − = + − + = > ∀ ∈
Vậy ( )
n
u là dãy số tăng
Giải nhanh: Dãy này có dạng n
u an b
= + ; a 3 0
= > nên dãy số tăng
n
u biết
5
2
n
n
u
n
+
=
+
.
Lời giải
Ta có 1
5 3 3
1 1
2 2 3
n n
n
u u
n n n
+
+
= =
+ ⇒ =
+
+ + +
Xét hiệu
( )( )
*
1
3 3 3
0
3 2 2 3
n n
u u n
n n n n
+
−
−= − = < ∀ ∈
+ + + +

2

Page 10
Vậy ( )
n
u là dãy số giảm
Giải nhanh: Dãy này có dạng n
an b
u
cn d
+
=
+
Mẫu *
2 0
n n
+ > ∀ ∈ và 2 5 3 0
ad bc
− = − =
− < nên ( )
n
u là dãy số giảm
n
u biết 2
5n
n
u
n
= .
Lời giải
Ta có
( )
1
*
1 2
2
5 5
0,
1
n n
n n
u n u
n n
+
+
= > ∀ ∈ ⇒ =
+

Xét tỉ số
( )
1 2 2 2 2
1
2 2 2
5 5 2 1 4 2 1
.
5 2 1 2 1
1
n
n
n
n
u n n n n n n
u n n n n
n
+
+ + + + − −
= = =
+ + + +
+
( ) 2
*
2
2 1 2 1
1 1,
2 1
n n n
n
n n
− + −
= + > ∀ ∈
+ +

Vậy ( )
n
u là dãy số tăng
n
u biết
1
1
2
( ) : 3 1
2
4
n n
n
u
u u
u n
−
=


 +
= ∀ ≥


.
Lời giải
Ta dự đoán dãy số giảm sau đó ta sẽ chứng minh nó giảm
Ta có 1 1
1 1
3 1 1
4 4
n n
n n n
u u
u u u
− −
− −
+ −
− = − =
Do đó, để chứng minh dãy ( )
n
u giảm ta chứng minh 1 1
n
u n
> ∀ ≥ bằng phương pháp quy nạp
toán học. Thật vậy
Với 1
1 2 1
n u
= ⇒ = >
Giả sử 1
3 1 3 1
1 1
4 4
k
k k
u
u u +
+ +
> ⇒= > =
Theo nguyên lí quy nạp ta có 1 1
n
u n
> ∀ ≥
Suy ra 1 1
0 2
n n n n
u u u u n
− −
− < ⇔ < ∀ ≥ hay dãy ( )
n
u giảm
Giải nhanh: Dãy ( )
n
u có dạng 1
n n
u au b
+
= +
Ở đây
3
0
4
a
= > và 2 1
7 1
2 0
4 4
u u
− = − =
− < Suy ra dãy số giảm

Page 11
Tổng quát ta có thể chứng minh dãy số
( )
1
1
1
( ) :
, a,b>0 2
n n
n
u c
u au b
u n
a b
−
= >


 +
= ∀ ≥
 +

giảm tương tự như
trên.
DẠNG 3: XÉT TÍNH BỊ CHẶN CỦA DÃY SỐ
Phương pháp 1: Chứng minh trực tiếp bằng các phương pháp chứng minh bất đẳng thức
n
u có ( )
n
u f n
= là hàm số đơn giản.
Ta chứng minh trực tiếp bất đẳng thức *
( ) ,
n
u f n M n
= ≤ ∀ ∈ hoặc *
( ) ,
n
u f n m n
= ≥ ∀ ∈
n
u có 1 2 ... ...
n k n
u v v v v
= + + + + +
Ta làm trội 1
k k k
v a a +
≤ −
Lúc đó ( ) ( ) ( )
1 2 2 3 1
...
n n n
u a a a a a a +
≤ − + − + −
Suy ra *
1 1 ,
n n
u a a M n
+
≤ − ≤ ∀ ∈
n
u có 1 2 3
. ...
n n
u v v v v
= với *
0,
n
v n
> ∀ ∈
Ta làm trội 1
k
k
k
a
v
a
+
≤
Lúc đó 3 1
2
1 2
. ... n
n
n
a a
a
u
a a a
+
≤
Suy ra *
1
1
,
n
n
a
u M n
a
+
≤ ≤ ∀ ∈
Phương pháp 2: Dự đoán và chứng minh bằng phương pháp quy nạp.
Nếu dãy số ( )
n
để chứng minh
Chú ý: Nếu dãy số ( )
n
u giảm thì bị chặn trên, dãy số ( )
n
u tăng thì bị chặn dưới
* Công thức giải nhanh một số dạng toán về dãy số bị chặn
Dãy số ( )
n
u có ( )
1
n
n
u q q
= ≤ bị chặn
Dãy số ( )
n
u có ( )
1
n
n
u q q
= < − không bị chặn
Dãy số ( )
n
u có n
n
u q
= với 1
q > bị chặn dưới
Dãy số ( )
n
u có n
u an b
= + bị chặn dưới nếu 0
a <
PHƯƠNG PHÁP.
1

Page 12
Dãy số ( )
n
u có 2
n
u an bn c
= + + bị chặn dưới nếu 0
a <
Dãy số ( )
n
u có 1
1 1 0
...
m m
n m m
u a n a n a n a
−
−
m
a > và bị chặn trên nếu
0
m
a <
Dãy số ( )
n
u có ( )
1
1 1 0
...
n m m
n m m
u q a n a n a n a
−
−
= + + + + với 0
m
a ≠ và 1
q < − không bị chặn
Dãy số ( )
n
u có 1
1 1 0
...
m m
n m m
u a n a n a n a
−
−
= + + + + bị chặn dưới với 0
m
a >
Dãy số ( )
n
u có 1
3
1 1 0
...
m m
n m m
u a n a n a n a
−
−
m
a > và bị chặn trên
nếu 0
m
a <
Dãy số ( )
n
u có
( )
( )
n
P n
u
Q n
= trong đó ( )
P n và ( )
Q n là các đa thức, bị chặn nếu bậc của ( )
P n
nhỏ hơn hoặc bằng bậc của ( )
Q n
Dãy số ( )
n
u có
( )
( )
n
P n
u
Q n
= trong đó ( )
P n và ( )
Q n là các đa thức, bị chặn dưới hoặc bị chặn
trên nếu bậc của ( )
P n lớn hơn bậc của ( )
Q n
n
u biết
1
2 3
n
u
n
−
=
+
.
Lời giải
Ta có * * *
1 1 1 1
2 3 5, 0 , 0,
2 3 5 5 2 3
n n n n
n n
−
+ ≥ ∀ ∈ ⇒ < ≤ ∀ ∈ ⇒ − ≤ < ∀ ∈
+ +
  
1
0
5
n
u
⇒ − ≤ <
Suy ra dãy số ( )
n
u bị chặn
Giải nhanh: dãy số ( )
n
u có n
u có bậc của tử thấp hơn bậc của mẫu nên bị chặn
n
u biết
4 5
1
n
n
u
n
+
=
+
.
Lời giải
Ta có *
4 5
0,
1
n
n
u n
n
+
= > ∀ ∈
+

*
4 5 4( 1) 1 1 1 9 9
4 4 ,
1 1 1 2 2 2
n n
n n
u u n
n n n
+ + +
= = = + ≤ + = ⇒ ≤ ∀ ∈
+ + +

2

Page 13
Suy ra *
9
0 ,
2
n
u n
< ≤ ∀ ∈
Vậy dãy số ( )
n
u bị chặn
Giải nhanh: dãy số ( )
n
u có n
u có bậc của tử bằng bậc của mẫu nên bị chặn
n
u biết
3
2
1
n
n
u
n
=
+
.
Lời giải
Ta có
3
*
2
0, ( )
1
n n
n
u n u
n
= > ∀ ∈ ⇒
+
 bị chặn dưới
n
u biết 2 2 2
1 1 1 1
...
2 2 3
n
u
n
Lời giải
Xét
( )
2
1 1 1 1
, 2
1 1
k
k k k k k
< = − ∀ ≥
− −
Suy ra
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 1 3
1 ...
2 2 2 3 3 4 5 6 1 2 2
n
u
n n n
         
< + − + − + − + − + + − = − <
         
−
         
3
0 , *
2
n
u n
⇒ < < ∀ ∈
Vậy ( )
n
u bị chặn
DẠNG 4: TÍNH TỔNG CỦA DÃY SỐ
Dạng 4.1: Tính tổng của dãy số cách đều
Giải sử cần tính tổng: 1 2 ... n
S a a a
= + + + . Trong đó: 1
n n
a a d
−
= +
- Tự luận:
Ta có: ( ) ( ) ( ) ( )
1 2 1 1 1
2 ...
n n n n
S a a a a a a n a a
−
= + + + + + + = +
Từ đó suy ra:
( )
1
n.
2
n
a a
S
+
=
- Trắc nghiệm:
Công thức tính nhanh:
+ Số hạng tổng quát của dãy số cách đều là: ( )
1 1
n
u u n d
= + − với d là khoảng cách giữa 2 số
hạng
+ Số số hạng =: + 1
PHƯƠNG PHÁP.
1

Page 14
+ Tổng = •: 2
- Casio
Bước 1: Từ công thức của tổng tìm số hạng tổng quát của tổng và số số hạng.
Bước 2: Sử dụng công cụ tính: ∑ y nhập số hạng tổng quát của dãy số y nhập x chạy từ 1
tới n = số số hạng y =.
Câu 16: Tính 1 3 5 ... 4001
S = + + + + ?
Lời giải
Ta có: 2 (1 4001) (3 3999) (5 3997) ... (4001 1) 4002 2001
S =
+ + + + + + + + = ⋅
⇒
4002.2001
4004001
2
S
= =
+) Giải theo phương pháp trắc nghiệm:
Số số hạng:
4001 1
1 2001
2
n
−
= +
=
Tổng:
(1 4001).2001
4004001
2
S
+
= =
+) Giải theo Casio
Công thức số hạng tổng quát của dãy là: 1 ( 1) 1 ( 1).2 2 1
n
u u n d n n
= + − = + − = −
Số số hạng của dãy là 2001
Nhập máy tính cho ta kết quả: 4004001
+) Những sai lầm thường gặp:
- Tính sai số số hạng của dãy
- Tìm sai công thức số hạng tổng quát của dãy số khi làm với máy tính Casio
Lời bình: Nhận thấy việc tìm số hạng tổng quát của dãy đối với HS trung bình, yếu là tương
đối khó khăn. Vì thế ta nên sử dụng công thức giải nhanh để tìm số số hạng và tổng của dãy
một cách nhanh chóng. Ở bài tập này thì việc vận dụng công thức tính nhanh sẽ nhanh hơn
Casio nhé các em!
Câu 17: Cho tổng ( ) 2 4 6 ... 2
S n n
= + + + + . Khi đó 30
S bằng?
Lời giải
Ta có: 50 2 4 6 60
S = + + +…+
 2 (2 60) (4 58) (6 56) (60 2)
S = + + + + + +…+ +

(2 60).30
( ) 930
2
S n
+
= =
2

Page 15
Số hạng thứ 30: 50 2.30 60
u
= = Số số hạng: 30
n = Tổng:
(2 60).30
930
2
S
+
= =
Công thức số hạng tổng quát của dãy là: 2n
Số số hạng của dãy là: 30
Những sai lầm thường gặp:
- Tìm sai số hạng thứ n .
Lời bình: Trong bài tập này HS cần chú ý tới số hạng tổng quát trong dãy đã cho sẵn. Từ đó sử
dụng để tìm số hạng thứ n hoặc sử dụng trong việc bấm máy tính Casio một cách nhanh chóng
tìm được kết quả.
n
u xác định bởi: 1 150
u = và 1 3
n n
u u −
= − với mọi 2
n ≥ Khi đó tổng 100 số hạng
đầu tiên là:
Lời giải
+) Giải tự luận:
Ta có:
2 1
3 2
100 99
3 150 3 150 1.3 147
3 150 3 3 150 2.3 144
3 150 99.3 147
= − = − = − =
= − = − − = − =
= − = − =
−
u u
u u
u u
 100 150 147 144 147
S= + + +…+ −
 100
2 (150 147) (147 144) (144 141) ( 147 150)
S = − + − + − +…+ − +
 100
(150 147) 100
150
2
S
− ⋅
= =
Số hạng thứ 100: 100 1 ( 1) 150 99.( 3) 147
u u n d
= + − = + − =
−
Số số hạng: 100
n =
Tổng:
(150 147) 100
150
2
S
− ⋅
= =
Công thức số hạng tổng quát của dãy là: 150 3( 1) 3 153
n
u n n
= − − =
− +
Số số hạng của dãy là: 100
n =
- Tìm sai số hạng thứ n của dãy

Page 16
- Tìm sai công thức số hạng tổng quát của dãy số khi làm với máy tính Casio
Lời bình: HS cần ghi nhớ công thức số hạng tổng quát của dãy số cách đều để sử dụng tìm số
hạng thứ n và rút ra công thức số hạng tổng quát của dãy một cách nhanh chóng để xử lý bài
toán.
Dạng 4.2: Tính tổng của dãy số bằng phương pháp khử liên tiếp
- Tự luận:
Bước 1: Ta tìm cách tách: ; ;.
Bước 2: Rút gọn:
- Trắc nghiệm:
+ Một số công thức tách thường sử dụng:
+ Nhận định kết quả của tổng là:
- Casio:
Câu 19: Tính tổng sau:
Lời giải
Ta có:
Do đó:
Nhận thấy:
1 2 ... n
S a a a
= + + +
1 1 2
a b b
= − 2 2 3
a b b
= −
1 2 2 3 1 1 1
b ... n n n
S b b b b b b b
+ +
= − + − + + − = −
1 1
n(n a)
a
n n a
• =
−
+ +
2 1 1
n(n a)(n 2a) ( ) ( )( 2 )
a
n n a n a n a
• = −
+ + + + +
2
2 2 2 2
2 1 1
n (n a) ( )
na a
n n a
+
• =
−
+ +
. ! ( 1)! !
n n n n
• = + −
1 1
n
S b b +
= −
2 2 2 2
...
1.3 3.5 5.7 97.99
S = + + + +
1 1 1 1 1 1
; ;...
1.3 1 3 3.5 3 5
=
− =
−
1 1 1 1 1 1 1 98
... 1
1 3 3 5 97 99 99 99
S = − + − + + − = − =
1 1 1 1 1 1
; ;...
1.3 1 3 3.5 3 5
=
− =
−
PHƯƠNG PHÁP.
1
2

Page 17
Nhận định:
+) Giải bằng Casio
Số hạng tổng quát của dãy là:
Số số hạng của dãy là:
Nhập máy tính cho ta kết quả:
- Tách sai các số hạng
- Tìm sai số hạng tổng quát của dãy số
Lời bình: Học sinh cần chuyển các số hạng của dãy về đúng dạng và tách theo công thức:
. Ở bài tập này việc làm bằng máy tính Casio là khó khăn và phức tạp hơn
vì chưa có sẵn số hạng tổng quát và số số hạng.
Câu 20: Cho tổng . Khi đó công thức của là:
Lời giải
Ta có:
Suy ra:
Vậy:
Nhận thấy:
Nhận định:
1 98
1
99 99
S =− =
2
(2 1)(2 1)
n
u
n n
=
− +
49
n = ( )
2 1 97 49
n n
− = ⇔ =
98
99
S =
1 1
n(n a)
a
n n a
• =
−
+ +
1 1 1 1
...
1.2.3 2.3.4 3.4.5 n(n 1)(n 2)
n
S
= + + + +
+ + n
S
2.1 1 1 2.1 1 1
; ;...
1.2.3 1.2 2.3 2.3.4 2.3 3.4
=
− =
−
1 1 1 1 1 1 1 1 ( 3)
2 ...
1.2 2.3 2.3 3.4 ( 1) ( 1)( 2) 1.2 ( 1)( 2) 2( 1)( 2)
n
n n
S
n n n n n n n n
+
= − + − + + − = − =
+ + + + + + +
( 3)
4( 1)( 2)
n
n n
S
n n
+
=
+ +
2.1 1 1 2.1 1 1
; ;...
1.2.3 1.2 2.3 2.3.4 2.3 3.4
=
− =
−
1 1 1 ( 3)
2 1.2 ( 1)( 2) 4( 1)( 2)
n
n n
S
n n n n
  +
=− =
 
+ + + +
 
2 1 1
n(n a)(n 2a) ( ) ( )( 2 )
a
n n a n a n a
• = −
+ + + + +

Page 18
Câu 21: Cho tổng . Tính
Lời giải
Cách 1:
Ta có:
Suy ra:
Vậy:
Cách 2:
Ta có:
Suy ra:
Nhận thấy:
( ) ( )
2 2
3 1 1 5 1 1
; ;...
1 4 4 9
1.2 2.3
=
− =
−
Nhận định: . Suy ra:
+) Casio
Công thức số hạng tổng quát của dãy là:
Nhập máy tính cho ta kết quả:
.
Dạng 4.3: Tính tổng bằng cách chuyển về phương trình có ẩn là tổng cần tính
2 2 2 2
3 5 7 2 1
...
(1.2) (2.3) (3.4) [n( 1)]
n
n
S
n
+
= + + + +
+ 10
S
( ) ( )
2 2
3 1 1 1 1 1
; ;...
1 4 4 9
1.2 2.3
=
− =
−
( )
2
2 2 2
1 1 1 1 1 1 1 1 ( 2)
...
1 4 4 9 1 ( 1) ( 1)
1
n
n n
S
n n n
n
+
= − + − + + − = − =
+ +
+
10 2
10(10 2) 120
(10 1) 121
S
+
= =
+
( )
10 2
2 2 2
3 5 7 21
...
(1.2) (2.3) (3.4) 10.11
S = + + + +
10 2 2 2
1 1 1 1 1 1 1 1 120
...
1 4 4 9 10 11 1 11 121
S = − + − + + − = − =
2 2
1 1 ( 2)
1 ( 1) ( 1)
n
n n
S
n n
+
=
− =
+ +
10 2
10(10 2) 120
(10 1) 121
S
+
= =
+
( )
2
2 1
1
n
n
u
n n
+
=
+
 
 
10
n =
120
121
2
2 2 2 2
2 1 1
n (n a) ( )
na a
n n a
+
• =
−
+ +

Page 19
- Tự luận:
Sơ đồ giải: Từ công thức của tổng S ta chuyển về phương trình chứa ẩn S Giải pt S
- Trắc nghiệm:
Tổng có dạng: với
- Casio:
Câu 22: Tính tổng: ?
Lời giải
Ta có:
.
Áp dụng công thức tính nhanh với ta có: .
Công thức số hạng tổng quát của dãy là:
Nhập máy tính cho ta kết quả: .
Ta gán: )
Lấy từng kết quả ở 4 đáp án trừ cho A khi nào bằng 0 thì chọn đáp án đó.
+) Những sai lầm thường gặp:
- Tìm sai số hạng tổng quát của dãy số
Lời bình: Khi làm với máy tính Caiso các em cần tìm chính xác số hạng tổng quát của dãy số
việc này quyết định máy có đưa ra được kết quả chính xác hay không. Ở bài tập này nếu các em
thuộc được công thức tính nhanh thì ta có thể giải quyết bài toán hết sức nhanh chóng. Chú ý
1 2 ... n
S a a a
= + + +
( )
1
1
2
1 1 1 1
1
...
1
n
n
u a
S u u a u a u a S
a
+
−
= + + + + ⇒ =
−
1
a ≠
2 50
1 3 3 ... 3
S = + + + +
2 3 51
3 3 3 3 ... 3
S = + + +
( ) ( )
2 3 51 2 50
3 3 3 3 ... 3 1 3 3 ... 3
S S
⇒ − = + + + − + + +
51
51 3 1
2 3 1
2
S S
−
⇒ = − ⇒ =
1 1; 3
u a
= =
51
3 1
2
S
−
=
1
3n
n
u −
=
51
n =
24
1,076846982.10
24
1,076846982.10 A
→
PHƯƠNG PHÁP.
1
2

Page 20
rằng bài toán này có thể hạn chế Casio bằng cách cho 2 đáp án ở “gần nhau” chẳng hạn phương
án B. thì khi làm bằng Casio sẽ có 2 đáp án không phân biệt được là
B và C
Câu 23: Tính tổng ?
Lời giải
Đặt:
Ta có:
Đặt:
Áp dụng công thức tính nhanh với: ta có:
Câu 24: Tính tổng: . Tính
Lời giải
Cách 1:
Ta có:
Đặt:
Ta có:
51
3
2
100
2 3 100
1 1 1 1
4.5 . ... 1
5 5 5 5
S
 
= + + + + +
 
 
2 3 100
1 1 1 1
...
5 5 5 5
M = + + + +
2 99
1 1 1
5 1 ...
5 5 5
M = + + + +
2 99 2 3 100 100
1 1 1 1 1 1 1 1
5 1 ... ... 1
5 5 5 5 5 5 5 5
M M
   
⇒ − = + + + + − + + + + = −
   
   
100
100 100
1 5 1
4 1
5 4.5
M M
−
⇒ =− ⇒ =
100
100 100
100
5 1
4 5 1 5
4.5
S
−
⇒ = ⋅ ⋅ + =
2 3 100
1 1 1 1
...
5 5 5 5
M = + + + +
1
1 1
;
5 5
u a
= =
100
100
100
1 1
1
5 5 5 1
1 4.5
1
5
M
 
 
−
 
 
 
  −
 
= =
−
100
100 100
100
5 1
4 5 1 5
4.5
S
−
⇒ = ⋅ ⋅ + =
1 1 1 1
1 1 1 ... 1
2 4 8 2n
S
       
= − + − + − + + −
       
       
10
S
10 2 3 10 2 3 10
1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 ... 1 10 ...
2 2 2 2 2 2 2 2
S
         
= − + − + − + + − = − + + + +
         
         
2 3 10
1 1 1 1
...
2 2 2 2
M = + + + +
2 9
1 1 1
2 1 ...
2 2 2
M = + + + +

Page 21
Cách 2:
Ta có:
Đặt:
Ta có:
Ta có:
Nhận xét:
Nhập máy tính tổng với số hạng tổng quát: , số số hạng:
ta được kết quả: . Nhập tiếp: 10 – Ans được kết quả:
Ta gán: )
Lấy từng kết quả ở 4 đáp án trừ cho A khi nào bằng 0 thì chọn đáp án đó.
2 9 2 3 10 10
1 1 1 1 1 1 1 1
2 1 ... ... 1
2 2 2 2 2 2 2 2
M M M
   
⇒ − = = + + + + − + + + + = −
   
   
10 10
1 1
10 1 9
2 2
S
⇒ = − + = +
2 3
1 1 1 1
...
2 2 2 2
n n
S n
 
= − + + + +
 
 
2 3
1 1 1 1
...
2 2 2 2n
M = + + + +
2 1
1 1 1
2 1 ...
2 2 2n
M −
= + + + +
2 1 2 3
1 1 1 1 1 1 1 1
2 1 ... ... 1
2 2 2 2 2 2 2 2
n n n
M M M −
   
⇒ − = = + + + + − + + + + = −
   
   
1
1
2
n n
S n
⇒ = − +
10 10 10
1 1
10 1 9
2 2
S
⇒ = − + = +
10 2 3 10
1 1 1 1
10 ...
2 2 2 2
S
 
= − + + + +
 
 
10
2 3 10 10
1 1
1
2 2
1 1 1 1 1
... 1
1
2 2 2 2 2
1
2
 
 
−
 
 
 
 
 
+ + + + = = −
−
10 10
1 1
10 1 9
2 2
S
⇒ = − + = +
2 3
1 1 1 1
...
2 2 2 2
n n
S n
 
= − + + + +
 
 
2 3
1 1 1 1
...
2 2 2 2n
+ + + +
1
2
n n
u = 10
n
u =
1023
1024
9217
1024
9217
1024
A
→

Page 22
Dạng 4.4: Tính tổng bằng cách đưa về các tổng đã biết
Giải sử cần tính tổng: .
- Tự luận:
Tìm cách tách: . Trong đó: đã biết công thức tính tổng.
- Trắc nghiệm:
Ta có thể dùng phương pháp thử giá trị n vào các đáp án để loại trừ và chọn ra đáp án đúng.
- Casio:
Câu 25: Tính: . Biết rằng:
Lời giải
Câu 26: Cho: . Tính biết rằng:
.
Lời giải
Ta có:
Câu 27: Cho tổng: với . Biết: . Giá trị của k là:
Lời giải
Ta có:
DẠNG 5: XÁC ĐỊNH CÔNG THỨC SỐ HẠNG TỔNG QUÁT CỦA DÃY SỐ
1 2 ...
n n
S a a a
= + + +
1 2 3 ...
n
S S S S
= + + + 1 2 3
; ;S ...
S S
1.3 2.5 3.7 ... (2 1)
n
S n n
= + + + + +
2 2 2 2
1 1
( 1) ( 1)(2 1)
1 2 3 ... ; 1 2 3 ...
2 6
n n
i i
n n n n n
i n i n
=
+ + +
=+ + + + = =+ + + + =
∑ ∑
2 2
1 1 1 1
2 ( 1)(2n 1) ( 1) ( 1)(4 5)
(2 1) (2i ) 2
6 2 6
n n n n
i i i i
n n n n n n n
S i i i i i
= = = =
+ + + + +
= += +
= + = + =
∑ ∑ ∑ ∑
1.2 3.4 5.6 ... (2 1).2
n
S n n
= + + + + − 100
S
2 2 2 2
1 1
( 1)(2 1)
2 2 4 6 ... 2 ( 1); 1 2 3 ...
6
n n
i i
n n n
i n n n i n
=
+ +
= + + + + = + =+ + + + =
∑ ∑
2 2
1 1 1 1
4 ( 1)(2n 1) ( 1)(4 1)
2 (2 1) (4i 2 ) 4 2 ( 1)
6 3
n n n n
n
i i i i
n n n n n
S i i i i i n n
= = = =
+ + + −
= −= − = − = − +=
∑ ∑ ∑ ∑
100
100.(100 1)(4.100 1)
1343300
3
S
+ −
⇒
= =
1.4 2.7 3.10 ... .(3 1)
n
S n n
= + + + + + *
n∈ 294
k
S =
2 2 2
1 1 1 1
3 ( 1)(2n 1) ( 1)
(3 1) (3i ) 3 ( 1)
6 2
n n n n
n
i i i i
n n n n
S i i i i i n n
= = = =
+ + +
= + = + = + = + = +
∑ ∑ ∑ ∑
2 3 2 2
( 1) 294 2 294 ( 6)( 8 49) 0 6
k
S k k k k k k k k k
⇒ = + = ⇔ + + = ⇔ − + + = ⇔ =
PHƯƠNG PHÁP.
1
2

Page 23
 Nếu có dạng thì biến đổi thành hiệu của hai số hạng, dựa vào đó thu
gọn .
 Nếu dãy số được cho bởi một hệ thức truy hồi, tính vài số hạng đầu của dãy số, từ đó dự
đoán công thức tính theo n, rồi chứng minh công thức này bằng phương pháp quy nạp. Ngoài
ra cũng có thể tính hiệu dựa vào đó để tìm công thức tính theo n.
Câu 28: Cho dãy số có . Đặt . Xác định công thức tính theo n.
Lời giải
Ta có , do đó:
.
Câu 29: Xác định công thức tính số hạng tổng quát theo n của dãy số sau: .
Lời giải
Ta có:
Từ các số hạng đầu trên, ta dự đoán số hạng tổng quát có dạng:
Ta dùng phương pháp chứng minh quy nạp để chứng minh công thức đúng.
Với . Vậy đúng với
Giả sử đúng với Có nghĩa ta có:
Ta cần chứng minh đúng với Có nghĩa là ta phải chứng minh:
( )
n
u 1 2 ...
n n
u a a a
= + + + k
a
n
u
( )
n
u
n
u
1
n n
u u
+ − ( )
n
u
( )
n
a
( )
1
1
k
a
k k
=
+ 1
n
n k
k
u a
=
= ∑ ( )
n
u
( )
1 1 1
1 1
k
a
k k k k
= = −
+ +
1
1 1 1 1 1 1 1 1
1 ... 1
2 2 3 1 1 1
n
n k
k
u a
n n n n n
=
       
= = − + − + + − + − =−
       
− + +
       
∑
n
u
1
1
3
2
n n
u
u u
+
=


= +

2 1 2 3 2 5.
u u
= + = + =
3 2 2 5 2 7.
u u
= + = + =
4 3 2 7 2 9.
u u
= + = + =
5 4 2 9 2 11.
u u
= + = + =
n
u
( )
2 1 1
n
u n n
= + ∀ ≥ ∗
( )
∗
1
1; 2.1 1 3
n u
= = + = ( )
∗ 1.
n =
( )
∗ .
n k
= ( )
2 1 2
k
u k
= +
( )
∗ 1.
n k
= +
( )
1 2 1 1 2 3.
k
u k k
+ = + + = +
PHƯƠNG PHÁP.
1
2

Page 24
Thật vậy từ hệ thức xác định dãy số và theo ta có:
Vậy đúng khi Kết luận đúng với mọi số nguyên dương n .
Câu 30: Xác định công thức tính số hạng tổng quát theo n của dãy số sau:
Lời giải
Ta có:
Từ đó suy ra:
Cộng từng vế n đẳng thức trên:
Bằng phương pháp quy nạp ta chứng minh được:
Vậy
 Mở rộng phương pháp:
 Nếu dãy số ( )
n
u được cho dưới dạng liệt kê thì ta có thể thử giá trị n vào từng đáp án.
 Nếu dãy số ( )
n
u được cho bởi một hệ thức truy hồi tính vài số hạng đầu của dãy số sau đó ta có
thể thử giá trị n vào từng đáp án.
( )
2
1 2 2 1 2 2 3.
k k
u u k k
+ = + = + + = +
( )
∗ 1.
n k
= + ( )
∗
n
u
1
3
1
1
1.
n n
u
n
u u n
+
=

∀ ≥

= +

3 3
1 1 .
n n n n
u u n u u n
+ +
= + ⇒ − =
1 1
u =
3
2 1 1
u u
− =
3
3 2 2
u u
− =
3
4 3 3
u u
− =
..............
( )
3
1 2 2
n n
u u n
− −
− = −
( )
3
1 1
n n
u u n
−
− = −
( ) ( )
3 3
3 3 3
1 2 1 3 2 1 2 1
... 1 1 2 3 ... 2 1
n n n n
u u u u u u u u u n n
− − −
+ − + − + + − + − = + + + + + − + −
( ) ( )
3 3
3 3 3
1 1 2 3 ... 2 1 .
n
u n n
⇔ = + + + + + − + −
( )
( )
2 2
3
3 3 3 1 .
1 2 3 ... 1
4
n n
n
−
+ + + + − =
( )
2
2
1
1
4
n
n n
u
−
= +

CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY SỐ - CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN
Page 12
BÀI 1: DÃY SỐ
DẠNG 1. BIỂU DIỄN DÃY SỐ, TÌM CÔNG THỨC TỔNG QUÁT
Câu 1: Cho dãy số có các số hạng đầu là: 9; 99; 999; 9999,… Số hạng tổng quát của dãy số này là:
A.
1
n
n
u
n
=
+
B. 10 1
n
n
u
= − . C. 9n
n
u = D. 9
n
u n
=
Câu 2: Cho dãy số
1 3 2 5
, , , ,...
2 5 3 7
. Công thức tổng quát n
u nào là của dãy số đã cho?
A. *
1
n
n
u n
n
= ∀ ∈
+
 . B. *
2
n n
n
u n
= ∀ ∈ . C. *
1
3
n
n
u n
n
+
= ∀ ∈
+
 . D. *
2
2 1
n
n
u n
n
= ∀ ∈
+
 .
Câu 3: Cho dãy số có các số hạng đầu là:5;10;15;20;25;... Số hạng tổng quát của dãy số này là:
A. 5( 1)
n
u n
= − . B. 5
n
u n
= . C. 5
n
u n
= + . D. 5. 1
n
u n
= + .
Câu 4: Cho dãy số có các số hạng đầu là:8,15,22,29,36,....Số hạng tổng quát của dãy số này là:
A. 7 7
n
u n
= + . B. 7.
n
u n
= .
C. 7. 1
n
u n
= + . D. n
u : Không viết được dưới dạng công thức.
Câu 5: Cho dãy số có các số hạng đầu là: ;...
5
4
;
4
3
;
3
2
;
2
1
;
0 .Số hạng tổng quát của dãy số này là:
A.
1
n
n
u
n
+
= . B.
1
n
n
u
n
=
+
. C.
1
n
n
u
n
−
= . D.
2
1
n
n n
u
n
−
=
+
.
Câu 6: Cho dãy số có các số hạng đầu là: 1;1; 1;1; 1;...
− − − .Số hạng tổng quát của dãy số này có dạng
A. 1
=
n
u . B. 1
−
=
n
u . C. n
n
u )
1
(−
= . D. ( )
1
1
n
n
u
+
= − .
n
u xác định bởi ( )
1
1
1
1
3
n n
u
n
u u
+
=

≥

=

. Tìm công thức số hạng tổng quát của dãy số
trên.
A. 3
= n
n
u . B. 1
3 −
= n
n
u . C. 1
3 2
+
= −
n
n
u . D. 3 2
= −
n
n
u .
Câu 8: Cho dãy số có các số hạng đầu là:0.1;0.01;0.001;0.0001... . Số hạng tổng quát của dãy số này có
dạng?
A. = 



0
0.00...01
n
n sè
u . B.
−
= 



1 0
0.00...01
n
n sè
u . C. 1
1
10
n n
u −
= . D. 1
1
10
n n
u +
= .
CHƯƠNG
II
DÃY SỐ
HỆ THỐNG BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM.
III

Page 13
n
u xác định bởi: ( )
1
1
1
1
2
n n
u
n
u u
+
=

≥

= +

. Xác định công thức của số hạng tổng quát.
A. 2 1
n
u n
= − . B. 3 2
n
u n
= − . C. 4 3
n
u n
= − . D. 8 7
n
u n
= − .
Câu 10: Cho dãy số có các số hạng đầu là: 2 3 4 5
1 1 1 1 1
; ; ; ; ;...
3 3 3 3 3
Số hạng tổng quát của dãy số này là?
A. 1
1 1
.
3 3
n n
u +
= . B. 1
1
3
n n
u +
= . C.
1
3
n n
u = . D. 1
1
3
n n
u −
= .
n
u với
1
1
5
n n
u
u u n
+
=


= +

.Số hạng tổng quát n
u của dãy số là số hạng nào dưới đây?
A.
( )
1
2
n
n n
u
−
= . B.
( )
1
5
2
n
n n
u
−
= + . C.
( )
1
5
2
n
n n
u
+
= + . D.
( )( )
1 2
5
2
n
n n
u
+ +
= + .
Câu 12: Cho dãy số với . Công thức số hạng tổng quát của dãy số này là:
A. . B. . C. . D. .
Câu 13: Cho dãy số có các số hạng đầu là: 2;0;2;4;6;...
− .Số hạng tổng quát của dãy số này có dạng?
A. n
un 2
−
= . B. ( ) n
un +
−
= 2 . C. ( ) )
1
(
2 +
−
= n
un . D. ( ) ( )
2 2 1
n
u n
= − + − .
Câu 14: Cho dãy số có các số hạng đầu là: ;
3
1
;
3
1
;
3
1
;
3
1
;
3
1
5
4
3
2
….Số hạng tổng quát của dãy số này là?
A. 1
3
1
3
1
+
= n
n
u . B. 1
3
1
+
= n
n
u . C. n
n
u
3
1
= . D. 1
3
1
−
= n
n
u .
n
u với
( )
1
2
1
1
1
n
n n
u
u u
+
=



= + −


. Số hạng tổng quát n
u của dãy số là số hạng nào dưới
đây?
A. 1
n
u n
= + . B. 1
n
u n
= − . C. ( )
2
1 1
n
n
u = + − . D. n
u n
= .
n
u với
( )
1
2 1
1
1
1
n
n n
u
u u
+
+
=



= + −


đây?
A. 2
n
u n
= − . B. n
u không xác định. C. 1
n
u n
= − . D. n
u n
= − với mọi n .
n
u với
1
2
1
1
n n
u
u u n
+
=


= +

u của dãy số là số hạng nào dưới đây?
A.
( )( )
1 2 1
1
6
n
n n n
u
+ +
= + . B.
( )( )
1 2 2
1
6
n
n n n
u
− +
= + .
C.
( )( )
1 2 1
1
6
n
n n n
u
− −
= + . D.
( )( )
1 2 2
1
6
n
n n n
u
+ −
= + .
( )
n
u 1
1
1
2
2
+

=


 = −
 n n
u
u u
( )
1
2 1
2
= + −
n
u n ( )
1
2 1
2
= − −
n
u n
1
2
2
= −
n
u n
1
2
2
= +
n
u n

Page 14
n
u với
1
1
2
2 1
n n
u
u u n
+
=


− = −
 . Số hạng tổng quát n
đây?
A. ( )
2
2 1
n
u n
= + − . B. 2
2
n
u n
= + . C. ( )
2
2 1
n
u n
= + + . D. ( )
2
2 1
n
u n
= − − .
n
u với
1
1
2
1
2
n
n
u
u
u
+
= −



=− −


. Công thức số hạng tổng quát của dãy số này là:
A.
1
n
n
u
n
−
= − . B.
1
n
n
u
n
+
= . C.
1
n
n
u
n
+
= − . D.
1
n
n
u
n
= −
+
.
n
u với 1
1
1
2
2
n n
u
u u
+

=


 = −

A. ( )
1
2 1
2
n
u n
= + − . B. ( )
1
2 1
2
n
u n
= − − . C.
1
2
2
n
u n
= − . D.
1
2
2
n
u n
= + .
n
u với
1
1
1
2
n
n
u
u
u +
= −



=


A. ( )
1
1 .
2
n
n
u
 
= −  
 
. B. ( )
1
1
1 .
2
n
n
u
+
 
= −  
 
. C.
1
1
2
n
n
u
−
 
=  
 
. D. ( )
1
1
1 .
2
n
n
u
−
 
= −  
 
.
n
u với
1
1
2
2
n n
u
u u
+
=


=

. Công thức số hạng tổng quát của dãy số này:
A. 1
n
n
u n −
= . B. 2n
n
u = . C. 1
2n
n
u +
= . D. 2
n
u = .
n
u với 1
1
1
2
2
n n
u
u u
+

=


 =

. Công thức số hạng tổng quát của dãy số này:
A. 1
2n
n
u −
= − . B. 1
1
2
n n
u −
−
= . C.
1
2
n n
u
−
= . D. 2
2n
n
u −
= .
n
u xác định bởi
1
*
1
2
1
2 ,
n
n
u
u n
u
+
 = −


=− − ∀ ∈



.
Tìm công thức số hạng tổng quát của dãy số.
A.
3 1
−
= −
n
n
u
n
. B.
1
= −
+
n
n
u
n
. C.
1
+
=
n
n
u
n
. D.
1
+
= −
n
n
u
n
.
n
u với
( )
1
2
1
1
1
+
=



= + −


n
n n
u
u u
.Công thức tổng quát n
u nào dưới đây là của dãy số đã
cho?
A. =
n
u n . B. 1
= −
n
u n . C. ( )
2
1 1
= + −
n
n
u . D. 1
= +
n
u n .
Câu 26: Gọi
( )( )
1 1 1 1
....
1.3 3.5 5.7 2 1 2 1
n
S
n n
= + + + +
− +
với mọi *
n   . Ta có:

Page 15
A.
1
2 1
n
n
S
n
−
=
−
. B.
2
2 1
n
n
S
n
=
+
. C.
2 1
n
n
S
n
=
+
. D.
1
2 3
n
n
S
n
+
=
+
.
n
1
1
1
2 1, 1
n n
u
u u n n
+
=


= + + ≥

. Giá trị của n để 2017 2018 0
n
u n
− + + =
là
A. Không có n . B. 1009. C. 2018 . D. 2017 .
Câu 28: Cho hai cấp số cộng  :1;6;11;...
n
u và  : 4;7;10;...
n
v Mỗi cấp số có 2018 số. Hỏi có bao nhiêu
số có mặt trong cả hai dãy số trên.
A. 403. B. 401. C. 402 . D. 504.
n
u thỏa
1
2
1
3
2 3, , 2
n n
u
u u n n n n
−
=


= + − − ∀ ∈ ≥
 
. Tính tổng 20 1 2 20
...
S u u u
= + + +
A. 2022 . B. 8385080. C. 2021. D. 8385087.
DẠNG 2. TÌM HẠNG TỬ TRONG DÃY SỐ
Câu 30: Cho dãy số  ,
n
u biết
2
2
2 1
.
3
n
n
u
n



Tìm số hạng 5.
u
A. 5
1
.
4
u = B. 5
17
.
12
u = C. 5
7
.
4
u = D. 5
71
.
39
u =
n
u biết  
n
n
u n
1 .2 .
  Mệnh đề nào sau đây sai?
A. 1 2.
u  B. 2 4.
u  C. 3 6.
u  D. 4 8.
u 
n
u biết  
2
1 . .
n
n
n
u
n
  Tìm số hạng 3.
u
A. 3
8
.
3
u  B. 3 2.
u  C. 3 2.
u  D. 3
8
.
3
u 
n
u biết
2
n n
n
u = . Chọn đáp án đúng.
A. 4
1
.
4
u = B. 5
1
.
16
u = C. 5
1
.
32
u = D. 3
1
.
8
u =
n
u biết ( 1) sin( )
2
n
n
n
u n
π
= − . Số hạng thứ 9 của dãy số đó là:
A. 0. B. 9. C. −1. D. −9.
n
u biết
1
1
n
u
n
=
+
. Ba số hạng đầu tiên của dãy số đó lần lượt là những số nào
dưới đây?
A.
1 1 1
; ; .
2 3 4
B.
1 1
1; ; .
2 3
C.
1 1 1
; ; .
2 4 6
D.
1 1
1; ; .
3 5
n
u biết
2 1
2
n
n
u
n
+
=
+
. Viết năm số hạng đầu của dãy số.

Page 16
A. 1 2 3 4 5
3 7 3 11
1, , , ,
4 5 2 7
u u u u u
= = = = = . B. 1 2 3 4 5
5 7 3 11
1, , , ,
4 5 2 7
u u u u u
= = = = = .
C. 1 2 3 4 5
5 8 3 11
1, , , ,
4 5 2 7
u u u u u
= = = = = D. 1 2 3 4 5
5 7 7 11
1, , , ,
4 5 2 3
u u u u u
= = = = = .
n
u biết
3 1
n n
n
u =
−
. Ba số hạng đầu tiên của dãy số đó là
A.
1 1 1
; ; .
2 4 8
B.
1 1 3
; ; .
2 4 26
C.
1 1 1
; ; .
2 4 16
D.
1 2 3
; ; .
2 3 4
n
u biết
1
2 1
n
n
u
n



. Số
8
15
là số hạng thứ mấy của dãy số?
A. 8. B. 6. C. 5. D. 7.
n
u biết
2 5
.
5 4
n
n
u
n



Số
7
12
A. 6. B. 8. C. 9. D. 10.
n
u biết 2
1
.
1
n
n
u
n



Số
2
13
A. Thứ 3. B. Thứ tư. C. Thứ năm. D. Thứ 6.
n
u biết 3 2
8 5 7.
n
u n n n
    Số 33
 là số hạng thứ mấy của dãy số?
A. 5. B. 6. C. 8. D. 9.
Câu 42: Cho dãy số  
n
u với
2
3 7
1
n
n n
u
n
+ +
=
+
. Hỏi dãy số trên có bao nhiêu số hạng nhận giá trị nguyên.
A. 2. B. 4. C. 1. D. Không có.
n
u với 2 .
n
n
u = Tìm số hạng 1.
n
u +
A. 1 2 .2.
n
n
u   B. 1 2 1.
n
n
u    C.  
1 2 1 .
n
u n
   D. 1 2 2.
n
n
u   
n
u với 3 .
n
n
u = Tìm số hạng 2 1.
n
u 
A. 2
2 1 3 .3 1.
n
n
u    B. 1
2 1 3 .3 .
n n
n
u 
  C. 2
2 1 3 1.
n
n
u    D.  
2 1
2 1 3 .
n
n
u

 
n
u với 3 .
n
n
u = Số hạng 1
n
u + bằng:
A. 3 1
n
+ . B. 3 3
n
+ . C. 3 .3
n
. D. 3( 1)
n + .
n
u với 3 .
n
n
u = Số hạng 2n
u bằng:
A. 3 3
n
+ . B. 9n
. C. 3 .3
n
. D. 2
4 n
.
n
u với 1
5 .
n
n
u +
= Tìm số hạng 1
n
u − .
A. 1
1 5n
n
u −
− = . B. 1 5n
n
u − = . C. 1
1 5.5n
n
u +
− = . D. 1
1 5.5n
n
u −
− = .
n
u với
2 3
1
.
1
n
n
n
u
n
+
−
 
=  
+
 
Tìm số hạng 1
n
u + .

Page 17
A.
 
2 1 3
1
1
.
1
n
n
n
u
n
 

 
 

 
 

 

B.
 
2 1 3
1
1
.
1
n
n
n
u
n
 

 
 

 
 

 

C.
2 3
1 .
2
n
n
n
u
n


 


 
 

 

D.
2 5
1 .
2
n
n
n
u
n


 


 
 

 

n
 
1
1
2
.
1
1
3
n n
u
u u

 




  



Tìm số hạng 4.
u
A. 4
5
.
9
u  B. 4 1.
u  C. 4
2
.
3
u  D. 4
14
.
27
u 
n
1
1
3
.
2
2
n
n
u
u
u 
 




  



Mệnh đề nào sau đây sai?
A. 2
5
.
2
u  B. 3
15
.
4
u  C. 4
31
.
8
u  D. 5
63
.
16
u 
n
u xác định bởi 1
1
7
2 3
n n
u
u u
+
 =

= +

khi đó 5
u bằng:
A. 317. B. 157. C. 77. D. 112.
n
1
1
3
n n
u
u u
+
 = −

= +

A. 1;2;5.
− B. 1;4;7. C. 4;7;10 D. 1;3;7.
−
n
+
=


= +

1
1
3
5
n n
u
u u
A. −3;6;9. B. − −
3; 2; 7. C. 3;8;13 . D. 3;5;7.
n
−
= −

≥

= +

1
2
1
2
( 2)
2
n n
u
n
u u n
. Số hạng thứ tư của dãy số đó bằng
A. 0. B. 93. C. 9. D. 34.
n
u , biết
2 1
n n
n
u =
−
. Ba số hạng đầu tiên của dãy số là
A.
1 2 3
; ;
2 3 4
. B.
1 1
1; ;
2 16
C.
1 1
1; ;
4 8
D.
2 3
1; ;
3 7
.
n
1
1
1
2
1
, 2
2 


 





   

 


n
n
u
u n
u
. Khi đó 3
u có giá trị bằng
A.
3
4
. B.
4
3
. C.
2
3
. D.
3
2
.
n
u với 2 3
n
u n
= + . Tìm số hạng thứ 6 của dãy số.
A. 17 . B. 5. C. 15. D. 7 .

Page 18
n
u , biết 2.3n
n
u = . Giá trị của 20
u bằng
A. 19
2.3 .. B. 20
2.3 .. C. 20
3 .. D. 21
2.3 .
n
u , biết công thức số hạng tổng quát 2 3
n
u n
= − . Số hạng thứ 10 của dãy số bằng:
A. 17 B. 20 C. 10 D. 7
n
u có công thức số hạng tổng quát 8 3
n
u n
= − . Tính 4
.
u
A. 2 . B. 7
− . C. 5
− . D. 4
− .
n
1
2 3
n
n
u
n n
−
=
+ +
. Giá trị 21
u là
A.
11
243
. B.
10
243
. C.
21
443
. D.
19
443
.
n
u có
2
2
1
1
n
n
u
n
−
=
+
. Tính 2
u .
A. 2
1
5
u = . B. 2
2
5
u = . C. 2
3
5
u = . D. 2
4
5
u = .
n
u được xác định bởi
1
1
2
3 1, 2
n n
u
u u n
−
= −


= − ∀ ≥

u .
A. 4 76
u = − . B. 4 77
u = − .
C. 4 66
u = − . D. 4 67
u = − .
n
u , biết ( )
( )
3
2
n
n n
u
−
= . Ba số hạng đầu tiên của dãy số là
A.
1 3
;1;
2 2
. B.
1
1; ;0
2
− − . C. 1; 1;0
− − . D.
1 3
;1;
2 2
.
n
u với 2 3
n
u n
= − . Số hạng thứ 5 của dãy số là
A. 5. B. 4 . C. 13. D. 7 .
n
u thỏa mãn
2 1
n
n
u
n
+
= . Tìm số hạng thứ 10 của dãy số đã cho.
A. 2,1. B. 2,2 . C. 2,0 . D. 2,4 .
n
u có số hạng tổng quát 2
1
1
n
n
u
n
= −
+
. Số hạng đầu tiên của dãy là:
A. 2 . B.
3
5
. C. 0 . D.
1
2
.
n
u có 2
1
n
u n n
=
− + + . Số 19
− là số hạng thứ mấy của dãy?
A. 5. B. 7 . C. 6 . D. 4 .
n
u với 3n
n
u = . Khi đó số hạng 2 1
n
u − bằng
A. 1
3 .3
n n−
. B. 2 1
3 1
n−
− . C. 2
3 1
n
− . D. 2
3 .3 1
n
− .
n
u xác định bởi    
1 cos
n
n
u nπ
  . Giá trị 99
u bằng

Page 19
A. 99. B. 1
 . C. 1. D. 99
 .
n
u với 2 1
n
u n
= + số hạng thứ 2019 của dãy là
A. 4039 . B. 4390 . C. 4930 . D. 4093.
n
u với 1 2 .
n
n
u = + Khi đó số hạng 2018
u bằng
A. 2018
2 . B. 2017
2017 2
+ . C. 2018
1 2
+ . D. 2018
2018 2
+ .
n
u với
2
,n 1.
3 1
n
n
u
n
−
= ≥
+
Tìm khẳng định sai.
A. 3
1
.
10
u = B. 10
8
.
31
u = C. 21
19
.
64
u = D. 50
47
.
150
u =
2
2 1
1
n
n n
u
n
+ −
=
+
. Tính 11
u .
A. 11
182
12
u = . B. 11
1142
12
u = . C. 11
1422
12
u = . D. 11
71
6
u = .
n
u có số hạng tổng quát là 2
2 1
1
n
n
u
n
+
=
+
. Khi đó
39
362
là số hạng thứ mấy của dãy
số?
A. 20 . B. 19. C. 22 . D. 21.
Câu 76: Cho dãy số ( ) 1
1
5
:
n
n n
u
u
u u n
+
=


= +

. Số 20 là số hạng thứ mấy trong dãy?
A. 5. B. 6 . C. 9. D. 10.
n
u thỏa mãn
1
2 1
n
n
u
n
−
+
= . Tìm số hạng thứ 10 của dãy số đã cho.
A. 51,2 . B. 51,3. C. 51,1. D. 102,3.
1
1
4
n n
u
u u n
+
=


= +

. Tìm số hạng thứ 5của dãy số.
A. 16. B. 12. C. 15. D. 14.
n
u , biết .
1
n
n
u
n
−
=
+
Năm số hạng đầu tiên của dãy số đó lần lượt là những số nào
dưới đây?
A.
1 2 3 4 5
; ; ; ; .
2 3 4 5 6
− − − − − B.
2 3 4 5 6
; ; ; ; .
3 4 5 6 7
− − − − −
C.
1 2 3 4 5
; ; ; ; .
2 3 4 5 6
D.
2 3 4 5 6
; ; ; ; .
3 4 5 6 7
n
u , biết
3 1
n n
n
u =
−
. Ba số hạng đầu tiên của dãy số đó lần lượt là những số nào
dưới đây?
A.
1 1 1
; ; .
2 4 8
B.
1 1 3
; ; .
2 4 26
C.
1 1 1
; ; .
2 4 16
D.
1 2 3
; ; .
2 3 4

Page 20
n
u , biết
1
1
1
3
n n
u
u u
+
= −


= +

với 0
n ≥ . Ba số hạng đầu tiên của dãy số đó là lần lượt là
những số nào dưới đây?
A. 1;2;5.
− B. 1;4;7. C. 4;7;10. D. 1;3;7.
−
Câu 82: Cho dãy số ( ),
n
u biết
1
2 1
n
n
u
n
+
=
+
. Số
8
15
A. 8. B. 6. C. 5. D. 7.
n
u biết
2 5
.
5 4
n
n
u
n
+
=
−
Số
7
12
A. 8. B. 6. C. 9. D. 10.
n
u biết 2 .
n
n
u = Tìm số hạng 1.
n
u +
A. 1 2 .2.
n
n
u + = B. 1 2 1.
n
n
u +
= + C. ( )
1 2 1 .
n
u n
+
= + D. 1 2 2.
n
n
u +
= +
n
u , biết 3 .
n
n
u = Tìm số hạng 2 1.
n
u −
A. 2
2 1 3 .3 1.
n
n
u −
= − B. 1
2 1 3 .3 .
n n
n
u −
− = C. 2
2 1 3 1.
n
n
u −
= − D. ( )
2 1
2 1 3 .
n
n
u
−
− =
n
u với 1
5 .
n
n
u +
= Tìm số hạng 1.
n
u −
A. 1
1 5 .
n
n
u −
− = B. 1 5 .
n
n
u − = C. 1
1 5.5 .
n
n
u +
− = D. 1
1 5.5 .
n
n
u −
− =
n
u bởi công thức truy hồi sau 1
1
0
; 1
n n
u
u u n n
+
=


= + ≥

; 218
u nhận giá trị nào sau đây?
A. 23653. B. 46872 . C. 23871. D. 23436 .
DẠNG 3. DÃY SỐ TĂNG, DÃY SỐ GIẢM
Câu 88: Cho các dãy số sau. Dãy số nào không là dãy số tăng?
A. 1;1;1;1;.... B. 1;3;5;7;.... C. 2;4;6;8;.... D.
1 3
;1; ;2;...
2 2
n
u biết 5 2
n
u n
= + . Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. Dãy số tăng B. Dãy số giảm
C. Dãy số không tăng, không giảm D. Dãy số vừa tăng vừa giảm
n
u biết
1
3 2
n
u
n
=
+
. Mệnh đề nào sau đây đúng?
n
u biết
10
3
n n
u = . Mệnh đề nào sau đây đúng?
n
u biết 2
2 3 1
n
u n n
= + + . Mệnh đề nào sau đây đúng?

Page 21
n
u biết ( ) ( )
2
1 1
n
n
u n
=
− + . Mệnh đề nào sau đây đúng?
C. Dãy số không tăng, không giảm D. Dãy số là dãy hữu hạn
n
u biết 2
400
n
u n n
= − . Mệnh đề nào sau đây đúng?
C. Dãy số không tăng, không giảm D. Mọi số hạng đều âm
Câu 95: Trong các dãy số ( )
n
u cho bởi số hạng tổng quát n
u sau, dãy số nào tăng?
A.
1
.
3
n n
u = B.
1
.
2 1
n
u
n
=
+
C.
1
.
3 2
n
n
u
n
+
=
+
D.
4 2
.
3
n
n
u
n
−
=
+
n
u sau, dãy số nào giảm?
A.
4
.
3
n
n
u
 
=  
 
B. ( ) ( )
1 5 1 .
n n
n
u =
− − C. 3 .
n
n
u = − D. 4.
n
u n
= +
n
u sau, dãy số nào không tăng, không giảm?
A.
1
.
n
u n
n
= + B. 5 3 .
n
n
u n
= + C. 3 .
n
n
u = − D. ( ) 2
3 . 1
n
n
u n
=
− +
n
u biết 5 4
n n
n
u= − . Mệnh đề nào sau đây đúng?
C. Dãy số không tăng, không giảm D. Dãy số có số hạng thứ 100 bé hơn 1
n
u biết
2
3 1
n
an
u
n
+
=
+
. Tìm tất cả các giá trị của a để dãy số tăng.
A. 6
a = B. 6
a > C. 6
a < D. 6
a ≥
n
u biết 2n
n
u an
= − . Tìm tất cả các giá trị của a để dãy số tăng.
A. 2
a = B. 2
a > C. 2
a < D. 2
a ≥
n
u biết
3n
n
u
an
= . Tìm tất cả các giá trị của a để dãy số tăng.
A. 0
a
∀ < B. Không tồn tại a C. *
a
∀ ∈ D. 0
a >
n
u biết 3 2 3 1
n
u n n
= + − + . Mệnh đề nào sau đây đúng?
n
u biết 2
1
n
u n n
=− + . Mệnh đề nào sau đây đúng?
C. Dãy số không tăng, không giảm D. Các số hạng đều dương
n
u biết
2
2 1
2
n
n n
u
n
− −
=
+

Page 22
C. Dãy số không tăng, không giảm D. Có số hạng âm
n
u sau, dãy số nào tăng?
A.
sin
.
n
n
u
n
= B.
2
1
.
2 1
n
n
u
n
+
=
+
C. 2
3
.
n
n
u
n
= D. 3 2
4 3 1.
n
u n n
= − +
n
u biết
1
1
1
1 5
3 3
n n
u
u u −
=



= +


n
u biết
1
2
1
1
3,
n n
u
u u n ∗
+
=



= + ∀ ∈

 
n
u biết
1
1
3
3
3
n
n
n
u
u
u
u
+
=



=
 +

C. Dãy số không tăng, không giảm D. Có 10 2
u =
n
u biết
1 1 1
...
1 2
n
u
n n n n
= + + +
+ + +
C. Dãy số không tăng, không giảm D. Có hữu hạn số hạng
n
u biết
1
*
1
1
1
n n
u
u au n
+
=


= + ∀ ∈
 
. Tìm tất cả các giá trị của a để ( )
n
u tăng?
A. 0.
a < B. 0.
a ≤ C. 0.
a > D. 1.
a >
Câu 111: Trong các dãy số dưới đây, dãy số nào là dãy giảm?
A. 2
n
u n
= . B.
1
3
n
u
n
= − . C. 3
n
u n
= . D. 3
2
n
u n
= − .
Câu 112: Trong các dãy số sau, dãy số nào là dãy số giảm?
A. 2
3
n
u
n
= . B.
3
1
n
n
u
n
−
=
+
. C.
2
n
n
u = . D.
( )
1
3
n
n n
u
−
= .
Câu 113: Dãy số nào sau đây là dãy số giảm?
A. *
5 3
,
2 3
n
n
u n
n
−
= ∈
+
 . B. *
5
,
4 1
n
n
u n
n
−
= ∈
+
 .
C. 2 *
2 3,
n
u n n
= + ∈ . D. ( ) *
cos 2 1 ,
n
u n n
= + ∈ .
n
u sau, dãy số nào là dãy số giảm?

Page 23
A.
1
2
n n
u = . B.
3 1
1
n
n
u
n
−
=
+
. C. 2
n
u n
= . D. 2
n
u n
= + .
n
u sau, dãy số nào là dãy số tăng?
A.
1
2
n n
u = . B.
3 1
1
n
n
u
n
−
=
+
. C. 2
1
n
u n
= − . D.
1
2
n
u
n
=
+
.
Câu 116: Trong các dãy số sau, dãy số nào là dãy số giảm
A.
3
1
n
n
u
n
−
=
+
. B.
2
n
n
u = . C. 2
2
n
u
n
= . D.
( )
1
3
n
n n
u
−
= .
Câu 117: Dãy số nào sau đây là dãy số giảm?
A. ( )
5 3
, *
2 3
n
n
u n
n
−
= ∈
+
 . B. ( )
5
, *
4 1
n
n
u n
n
−
= ∈
+
 .
C. ( )
3
2 3, *
n
u n n
= + ∈ . D. ( ) ( )
cos 2 1 , *
n
u n n
= + ∈ .
n
A.
1
.
2
n n
u = B.
1
.
n
u
n
= C.
5
.
3 1
n
n
u
n
+
=
+
D.
2 1
.
1
n
n
u
n
−
=
+
n
A.
2
.
3
n n
u = B.
3
.
n
u
n
= C. 2 .
n
n
u = D. ( )
2 .
n
n
u = −
Câu 120: Trong các dãy số sau, dãy số nào là dãy số giảm?
A.
2 1
1
n
n
u
n
+
=
−
. B. 3
1
n
u n
= − . C. 2
n
u n
= . D. 2
n
u n
= .
DẠNG 4. DÃY SỐ BỊ CHẶN TRÊN, BỊ CHẶN DƯỚI, BỊ CHẶN
Câu 121: Xét tính bị chặn của các dãy số sau: ( 1)
= − n
n
u
A. Bị chặn. B. Không bị chặn. C. Bị chặn trên. D. Bị chặn dưới.
Câu 122: Xét tính bị chặn của các dãy số sau: 3 1
= −
n
u n
A. Bị chặn. B. Bị chặn trên. C. Bị chặn dưới. D. Không bị chặn dưới.
Câu 123: Trong các dãy số  
n
u cho bởi số hạng tổng quát  
n
u sau, dãy số nào bị chặn?
A. 2
.
n
u n
= B. 2 .
n
n
u = C.
1
.
n
u
n
= D. 1.
n
u n
= +
n
A.
1
.
2
n n
u = B. 3 .
n
n
u = C. 1.
n
u n
= + D. 2
1.
n
u n
= +
Câu 125: Xét tính bị chặn của các dãy số sau:
2 1
2
+
=
+
n
n
u
n

Page 24
Câu 126: Xét tính tăng, giảm và bị chặn của dãy số ( )
n
u , biết:
2 13
3 2
−
=
−
n
n
u
n
A. Dãy số tăng, bị chặn.
B. Dãy số giảm, bị chặn.
C. Dãy số không tăng không giảm, không bị chặn.
D. Cả A, B, C đều sai.
2
1
1
+
=
+
n
n
u
n
Câu 128: Xét tính bị chặn của các dãy số sau: 2
4 3
= − −
n
u n n
n
A.
1
.
n
u n
n
= + B. 1
n
u n
= + . C. 2
2 1
n
n
u
n
=
+
. D. 2
1
n
u n n
= + + .
n
A. sin3
n
u n n
= − B.
2
1
n
n
u
n
+
= . C.
( )
1
1
n
u
n n
=
+
. D. ( )
.sin 3 1
n
u n n
= − .
n
u cho dưới đây dãy số nào là dãy số bị chặn ?
A.
3
2
.
1
n
n
u
n
=
+
B. 2
2017.
n
u n
= + C. ( 1) ( 2).
n
n
u n
=
− + D. 2
.
1
n
n
u
n
=
+
Câu 132: Xét tính tăng giảm và bị chặn của dãy số sau:
1
( ):
2
+
=
+
n n
n
u u
n
A. Tăng, bị chặn. B. Giảm, bị chặn. C. Tăng, chặn dưới. D. Giảm, chặn trên.
n
u , biết: 3
( ): 2 1
= + +
n n
u u n n
A. Tăng, bị chặn. B. Giảm, bị chặn. C. Tăng, chặn dưới. D. Giảm, chặn trên.
3 1
( ):
3 1
n n
n
u u
n
−
=
+
. Dãy số  
n
u bị chặn trên bởi số nào dưới đây?
A.
1
3
. B. 1. C.
1
2
. D. 0.
n
u , biết cos sin .
 
n
u n n Dãy số  
n
u bị chặn trên bởi số nào dưới đây?
A. 0. B. 1. C. 2 . D. Không bị chặn trên.
n
u , biết cos sin .
 
n
u n n Dãy số  
n
u bị chặn dưới bởi số nào dưới đây?
A. 0. B. 1
− . C. 2
− . D. Không bị chặn dưới.
( )( )
1 1 1
...
1.3 3.5 2 1 2 1
= + + +
− +
n
u
n n

Page 25
1 1 1
...
1.3 2.4 .( 2)
= + + +
+
n
u
n n
n
u , biết: 2 2 2
1 1 1
1 ...
2 3
= + + + +
n
u
n
.
A. Dãy số tăng, bị chặn. B. Dãy số tăng, bị chặn dưới.
C. Dãy số giảm, bị chặn trên. D. Cả A, B, C đều sai.
1
1
1
1
2
, ( 2)
1
−
−
=


+

= ≥
 +

n
n
n
u
u
u n
u
Câu 141: Xét tính tăng giảm và bị chặn của dãy số sau:
1
1
2
( ) : 1
, 2
2
+
=


 +
= ∀ ≥


n n
n
u
u u
u n
A. Tăng, bị chặn. B. Giảm, bị chặn.
C. Tăng, chặn dưới, không bị chặn trên. D. Giảm, chặn trên, không bị chặn dưới.
Câu 142: Cho dãy ( )
n
u với
2018
.
2018 1
n
n
u
n
+
=
+
Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau.
A. Dãy ( )
n
u bị chặn dưới nhưng không bị chặn trên
B. Dãy ( )
n
u bị chặn.
C. Dãy ( )
n
u không bị chặn trên, không bị chặn dưới.
D. Dãy ( )
n
u bị chặn trên nhưng không bị chặn dưới
n
u có số hạng tổng quát n
u dưới đây, dãy số nào là dãy bị chặn?
A. 2
2
n
u n
= + . B.
2 1
n
n
u
n
=
+
. C. 3 1
n
n
u= − . D.
2
n
u n
n
= + .
n
u với 1
2 5 n
n
u −
= + . Kết luận nào sau đây là đúng?
A. Dãy số không đơn điệu. B. Dãy số giảm và không bị chặn.
C. Dãy số tăng. D. Dãy số giảm và bị chặn.
Câu 145: Trong các dãy số sau, dãy nào là dãy số bị chặn?
A.
2 1
1
n
n
u
n
+
=
+
. B. ( )
2 sin
n
u n n
= + . C. 2
n
u n
= . D. 3
1
n
u n
= − .
Câu 146: Chọn kết luận sai:
A. Dãy số  
2 1
n tăng và bị chặn trên. B. Dãy số
1
1
n
 

 
 

 

giảm và bị chặn dưới.
C. Dãy số
1
n
 

 
 

 
tăng và bị chặn trên. D. Dãy số
1
3.2n
 

 
 

 
giảm và bị chặn dưới.
n
u biết 2 2 2
1 1 1 1
...
2 2 3
n
u
n

Page 26
A. Dãy số bị chặn dưới. B. Dãy số bị chặn trên.
C. Dãy số bị chặn. D. Không bị chặn.
n
u xác định bởi *
1
3
1
1
,
n n
u
u u n n
+
=


= +
 ∈
∀ 
. Tìm số nguyên dương n nhỏ nhất sao
cho 2039190
1
n
u ≥
− .
A. 2017
n = . B. 2019
n = . C. 2020
n = . D. 2018
n = .
n
u thỏa mãn 2
1 1
log log 6 0
u u
+ − = và 1 5
n n
u u
+
= + , với mọi 1,
n n N
≥ ∈ . Giá trị
lớn nhất của n để 500
n
u < bằng:
A. 80. B. 100. C. 99. D. 82.
n
u thỏa mãn: 1 5
u = và 1
4
3
3
n n
u u
+
= + với 1.
n
∀ ≥ Giá trị nhỏ nhất của n để
100
1 2 ... 5
n n
S u u u
= + + + > bằng?
A. 142. B. 146. C. 141. D. 145.
n
1 2
1 1
2, 3
3 2
n n n
u u
u u u
+ −
= =


= −

2,
n n N
≥ ∈ .Khi đó 1 .... n
u u
+ + bằng?
A. 2 1
n
− . B. 2n
. C. 2 2
n
n
+ . D. 2 1
n
n
+ − .
Câu 152: Cho dãy số { }
n
3 3 2 3 2 3 2
4 4 4 4
1
2 3 3 1
n
u
n n n n n n n n n
=
+ + + + + + + + +
, 1
n ≥ .
Tính tổng 4
1 2 2018 1
...
S u u u −
= + + + .
A. 2016 . B. 2017 . C. 2018 . D. 2019 .
n
u được xác định bởi 1
2
3
u = và
( )
1
2 2 1 1
n
n
n
u
u
n u
+ =
+ +
, ( )
*
n∈ . Tính tổng 2018
số hạng đầu tiên của dãy số đó?
A.
4036
4035
. B.
4035
4034
. C.
4038
4037
. D.
4036
4037
.
n
u thỏa mãn 1 6
n n
u u −
= + , 2
n
∀ ≥ và 2 5 9
2
log log 8 11
u u
+ + = . Đặt
1 2 ...
n n
S u u u
= + + + . Tìm số tự nhiên n nhỏ nhất thỏa mãn 20172018
n
S ≥ .
A. 2587 . B. 2590 . C. 2593. D. 2584 .
n
u thỏa mãn 18 18 1 1
4 4
e 5 e e e
u u u u
+ − = và 1 3
n n
u u
+
= + với mọi 1
n ≥ . Giá trị lớn
nhất của n để 3
log ln 2018
n
u < bằng
A. 1419. B. 1418. C. 1420. D. 1417 .
Câu 156: Tổng: 2 4 6 2018
A= + + +…+ có giá trị là:
A. 2018001. B. 1209900 . C. 1010101. D. 1019090 .
Câu 157: Tổng: 1 4 7 3031
B= + + +…+ bằng:
A. 1532676 . B. 1435000 . C. 1351110 . D. 1322300 .
Câu 158: Giá trị của tổng: 13 9 5 387
C = − − − +…+ bằng:

Page 27
A. 23455. B. 18887 . C. 36778. D. 43234 .
Câu 159: Giá trị của tổng:
1 101 201 1001
100 100 100 100
S
= + + +…+ bằng:
A.
5514
100
. B.
5501
100
. C.
5511
100
. D.
5515
100
.
Câu 160: Cho tổng:
*
1 3 5 2 1, .
n
S n n
= + + +…+ + ∀ ∈ Tìm 100
S ?
A. 10201. B. 10000 . C. 10200 . D. 10202 .
Câu 161: Cho tổng: 2 4 6 2
n
S n
= + + +…+ với *
n∈ . Khi đó công thức của n
S là?
A. ( 2)
n n + . B.
( 1)
2
n n +
. C. ( 1)
n n + . D. 2
n .
Câu 162: Tìm x biết: ( 3) ( 7) ( 11) ( 79) 860
x x x x
+ + + + + +…+ + =
A. 2
x = . B. 1
x = . C. 4
x = . D. 3
x = .
Câu 163: Tìm x biết: ( ) ( ) ( ) ( )
2 3 2 7 2 11 ... 2 79 1720
x x x x
+ + + + + + + + =
A. 35
x = . B.
45
2
x = . C. 10
x = . D. 15
x = .
Câu 164: Tính giá trị biểu thức:
1 2 3 2018
1 3 5 1009
A
+ + +…+
=
+ + +…+
A.
2030071
255025
. B.
2037171
200025
. C.
2037111
255000
. D.
2037171
255025
.
Câu 165: Cho tổng: 1 5 9 4 3
n
S n
= + + +…+ − với *
n∈ . Khi đó: 2 2
10 15
S S
+ bằng:
A. 225325. B. 255325. C. 225355. D. 225525.
Câu 166: Tính tổng sau: .
A. B. C. D.
Câu 167: Tổng: bằng:
A. B. C. D.
Câu 168: Giá trị của tổng: là:
A. B. C. D.
Câu 169: Tổng
100 100 100 100
...
10.15.20 15.20.25 20.25.30 110.115.120
S
= + + + + có giá trị bằng:
A. B. C. D.
Câu 170: Giá trị của tổng:
12 20 28 84
...
4.16 16.36 36.64 400.484
S
= + + + + là:
3 3 3 3
...
1.4 4.7 7.10 91.94
S = + + + +
93
94
94
95
94
93
1
1 1 1 1
...
2.4 4.6 6.8 100.102
S= + + + +
53
102
25
102
1
2
1
4
4 4 4 4
...
1.3.5 3.5.7 5.7.9 91.93.95
S
= + + + +
2941
8835
2942
8835
2944
8835
1
3
93
1380
91
13800
9
138
91
1380

Page 28
A. B. C. D.
( )
1 1 1 1
...
1.2 2.3 3.4 1
S
n n
= + + + +
+
với . Lựa chọn đáp án đúng.
A. B. C. D.
( )( )
1 1 1 1
...
1.2.3 2.3.4 3.4.5 1 2
n
S
n n n
= + + + +
+ +
. Khi đó: 30
S bằng:
A. B.
495
992
C. D.
Câu 173: Tìm x biết:
2 2 2 2 1430
...
1.3 3.5 5.7 51.53 53
x x x x
       
+ + + + + + + + =
       
       
A. B. C. D.
Câu 174: Tìm x biết:
2 2 2 2 9125
...
1.2.3 2.3.4 3.4.5 20.21.22 231
x x x x
       
− + − + − + + − =
       
       
A. B. C. D.
Câu 175: Tính:
2 3 10
1 1 1 1
...
5 5 5 5
M = + + + +
A. B. C. D.
Câu 176: Cho
5 5 5 5
...
1024 512 256 2
M
= + + + + . Khi đó M bằng:
A. B. C. D.
Câu 177: Cho
5 5 5
5 ...
3 9 729
M = + + + + . Khi đó 729M bằng:
A. B. C. D.
Câu 178: Cho tổng: 2
1 2 2 ... 2n
n
S = + + + + . Chọn mệnh đề đúng:
A. 10 2047
S = B. 10 2048
S = C. 10 1024
S = D. 10 1023
S =
Câu 179: Tính tổng: 1.2 3.4 5.6 ... 11.12
S = + + + +
A. B. C. D.
Câu 180: Tổng: 2.3 4.5 6.7 ... 20.21
S = + + + + có giá trị bằng:
A. B. C. D.
Câu 181: Giá trị của tổng: là:
A. B. C. D.
Câu 182: Tính tổng: ( ) ( )
1.5 3.7 5.9 ... 2 1 . 2 3
n
S n n
= + + + + − + khi
A. B. C. D.
31
121
30
121
32
121
33
121
*
n∈
3
1
.
12
S = 2
1
.
6
S = 2
2
.
3
S = 3
1
.
4
S =
31
121
496
1987
31
121
1
x = 2
x = 3
x = 4
x =
1
x = 2
x = 3
x = 4
x =
10
1 1
1
4 5
 
 
−
 
 
 
 
 
11
1 1
1
4 5
 
 
−
 
 
 
 
 
10
1
1
5
 
− 
 
10
1 1
1
5 5
 
 
−
 
 
 
 
 
1023
1024
5111
1024
1024
1023
5115
1024
5465
729
5460 5465
5460
729
322 321 320 319
1550 1655 1650 1450
1.2 2.5 3.8 ... 20.59
S = + + + +
8450 8300 8850 8400
15
n =
5450 5400 5395 5650

Page 29
Câu 183: Giá trị của tổng: ( )
1.4 3.8 5.12 ... 2 1 .4
n
S n n
= + + + + − khi 10
n = là:
A. B. C. D.
Câu 184: Cho tổng ( )
1.2 3.4 5.6 ... 2 1 2
= + + + + −
n
S n n. Tính giá trị của 50
S
A. B. C. D.
Câu 185: Tìm x biết: ( ) ( ) ( ) ( )
1.2 2.5 3.8 ... 10.29 1200
x x x x
+ + + + + + + + =
A. B. C. D.
1650 2860 2650 1950
169150 155000 165050 165000
7
x = 8
x = 9
x = 10
x =

Page 1
BÀI 2: DÃY SỐ
DẠNG 1. BIỂU DIỄN DÃY SỐ, TÌM CÔNG THỨC TỔNG QUÁT
Câu 1: Cho dãy số có các số hạng đầu là:9; 99; 999; 9999,… Số hạng tổng quát của dãy số này là:
A.
1
n
n
u
n
=
+
B. 10 1
n
n
u
= − . C. 9n
n
u = D. 9
n
u n
=
Lời giải
Nhận xét: 1
1 10 1
u
= − ; 2
2 10 1
u
= − ; 3
3 10 1
u
= − ; 4
4 10 1
u
= − .
1 3 2 5
, , , ,...
2 5 3 7
. Công thức tổng quát n
u nào là của dãy số đã cho?
A. *
1
n
n
u n
n
= ∀ ∈
+
 . B. *
2
n n
n
u n
= ∀ ∈ . C. *
1
3
n
n
u n
n
+
= ∀ ∈
+
 . D. *
2
2 1
n
n
u n
n
= ∀ ∈
+
 .
Lời giải
Viết lại dãy số:
2 3 4 5
, , , ,...
4 5 6 7
1
3
n
n
u n
n
∗
+
⇒ = ∀ ∈
+
 .
Câu 3: Cho dãy số có các số hạng đầu là:5;10;15;20;25;... Số hạng tổng quát của dãy số này là:
A. 5( 1)
n
u n
= − . B. 5
n
u n
= . C. 5
n
u n
= + . D. 5. 1
n
u n
= + .
Lời giải
Ta có:
5 5.1
=
10 5.2
=
15 5.3
=
20 5.4
=
25 5.5
=
Suy ra số hạng tổng quát 5
n
u n
= .
CHƯƠNG
II
DÃY SỐ
HỆ THỐNG BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM.
III

Page 2
Câu 4: Cho dãy số có các số hạng đầu là:8,15,22,29,36,....Số hạng tổng quát của dãy số này là:
A. 7 7
n
u n
= + . B. 7.
n
u n
= .
C. 7. 1
n
u n
= + . D. n
u : Không viết được dưới dạng công thức.
Lời giải
Ta có:
8 7.1 1
= +
15 7.2 1
= +
22 7.3 1
= +
29 7.4 1
= +
36 7.5 1
= +
Suy ra số hạng tổng quát 7 1
n
u n
= + .
Câu 5: Cho dãy số có các số hạng đầu là: ;...
5
4
;
4
3
;
3
2
;
2
1
;
0 .Số hạng tổng quát của dãy số này là:
A.
1
n
n
u
n
+
= . B.
1
n
n
u
n
=
+
. C.
1
n
n
u
n
−
= . D.
2
1
n
n n
u
n
−
=
+
.
Lời giải
Ta có:
0
0
0 1
=
+
1 1
2 1 1
=
+
2 2
3 2 1
=
+
3 3
4 3 1
=
+
4 4
5 4 1
=
+
Suy ra
1
n
n
u
n
=
+
.
Câu 6: Cho dãy số có các số hạng đầu là: 1;1; 1;1; 1;...
− − − .Số hạng tổng quát của dãy số này có dạng
A. 1
=
n
u . B. 1
−
=
n
u . C. n
n
u )
1
(−
= . D. ( )
1
1
n
n
u
+
= − .
Lời giải
Ta có:
Các số hạng đầu của dãy là ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 2 3 4 5
1 ; 1 ; 1 ; 1 ; 1 ;... 1
n
n
u
− − − − − ⇒ =
− .

chuyen-de-day-so-cap-so-cong-va-cap-so-nhan-toan-11-canh-dieu.pdf

chuyen-de-day-so-cap-so-cong-va-cap-so-nhan-toan-11-canh-dieu.pdf

Recommended

Recommended

More Related Content

What's hot

What's hot (20)

Similar to chuyen-de-day-so-cap-so-cong-va-cap-so-nhan-toan-11-canh-dieu.pdf

Similar to chuyen-de-day-so-cap-so-cong-va-cap-so-nhan-toan-11-canh-dieu.pdf (20)

Recently uploaded

Recently uploaded (20)

chuyen-de-day-so-cap-so-cong-va-cap-so-nhan-toan-11-canh-dieu.pdf