1. 4/7/2019
Chương 8
8.1
Dãy số và giới hạn
Một dãy số là một hàm số có miền xác định là
tập các số nguyên dương (hoặc không âm).
a1, a2, … là các số hạng của dãy số.
an là số hạng thứ n của dãy số.
Dãy số này được ký hiệu là { an }
Dãy số
Tính đơn điệu và bị chặn của dãy số
Tên gọi Điều kiện Ví dụ
Tăng
nghiêm ngặt
Dãy 1, 2, 3, …
Tăng Dãy 1, 2, 2, 3, 4, 4, …
Giảm
nghiêm ngặt
Dãy
Giảm Dãy
Bị chặn trên
bởi M
M=1. Dãy
Bị chặn
dưới bởi m
m=1. Dãy 1, 2, 3, …
Bị chặn M=1, m=0. Dãy
n n+1
a < a n = 1, 2, …
n n+1
a a n = 1, 2, …
n n+1
a a n = 1, 2, …
n n+1
a a n = 1, 2, …
n
m a n = 1, 2, …
n
a M n = 1, 2, …
n
m a M n = 1, 2, …
1 1
1, , , …
2 3
1, 1, 1 2, 1 2, …
1 1
1, , , …
2 3
1 1
1, , , …
2 3
1 2
3 4
2. 4/7/2019
Giới hạn của dãy số
Giới hạn của dãy {an} có thể xảy ra một trong các
khả năng
(L là số): dãy hội tụ
dãy phân kỳ đến vô cực
không tồn tại
n
n
lim a = -
n
n
lim a =
n
n
lim a
n
n
lim a = L
Tính chất của giới hạn dãy số
n n
n
lim a + b = A + B
n n
n
lim a .b = A.B
n n
n
lim a - b = A -B
( 0)
B
n
n
n
a A
lim =
b B
k
n
n
lim k.b = k.B
0
k
n
n
lim a = A
k
k
'
^
Neu
n
n
n
n
lim a = A
,
lim b = B
Cho trước dãy số {an }.
f là hàm liên tục
Nếu f(n) = an
Thì
n
n
lim a = L
x
lim f x = L
Định lý 8.5.
Giới hạn của dãy được tính qua giới
hạn của hàm số liên tục
Định lý 8.6.
Định lý kẹp cho dãy số
Cho {an}, {bn}, and {cn} là các dãy số
, với mọi n > N
Nếu
Thì
n
n
lim b = L
lim a = lim c = L
n n
n n
a b c
n n n
5 6
7 8
3. 4/7/2019
DẠNG VÔ ĐỊNH CỦA GIỚI HẠN
1
lim lim 1 0
lim 1
1
sin
1
lim sin lim 1
1
lim 1 lim
n
n
n n
n
n
n n
n n
a
n n
a a a
n
n
n
n
n
a n a
e
n n
ln
lim 0 0
lim 0 1
lim 0
!
sin
lim 0
cos
lim 0
a
p
n
p
n
n
n
n
n
n
n
p
n
n
a
a
a
a
n
n
n
n
n
MỘT SỐ GIỚI HẠN CƠ BẢN
:
b ln n !
n n
n
n a n n
>
0
1
1
1
1
lim ln
lim ln
lim
lim 0
lim tan
2
lim tan
2
lim cot 0
lim cot
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
e
e
x
x
x
x
0 1
lim 1 1
1
1
, 0
lim 1, 0
0, 0
n
n
a
x
khi r
r khi r
r
phanky
hoac r
khi a
x khi a
khi a
MỘT SỐ GIỚI HẠN CƠ BẢN
2
2
ln
1. lim
8 1
2. lim
1
3 2
3. lim
5 7
4. lim 2
n
n
n
n
n
n
n
n n
n n
n n
n n n
Ví dụ.
9 10
11 12
4. 4/7/2019
2
6
5. lim 3
6. lim
n
n
n
n
n
1
7. lim
2
n
n
n
n
cos
8. lim
1
9. lim
n
n
n
n
n
n
!
10. lim n
n
n
n
11. lim cos
n
n
13 14
15 16
5. 4/7/2019
Định lý 8.7.
BMCT: Định lý bị chặn, đơn điệu và hội
tụ
Nếu dãy {an} là tăng và bị chặn trên thì nó hội
tụ.
Nếu dãy {an} là giảm và bị chặn dưới thì nó hội
tụ.
Chú ý
8.2
Giới thiệu về chuỗi
-
Chuỗi cấp số nhân
Một chuỗi số là một biểu diễn có dạng
an là số hạng thứ n của chuỗi.
Sn = a1+a2+…+an là tổng riêng thứ n của chuỗi
1 2 3 k
k=1
a + a + a + … = a
Nếu {Sn} có giới hạn là
S, thì chuỗi hội tụ và
tổng của nó là S. Viết
Nếu {Sn} không tồn tại
giới hạn hoặc giới hạn
là vô cùng, thì chuỗi phân
kỳ và không có tổng.
k n
n
k=1
a = lim S = S
17 18
19 20
6. 4/7/2019
Tính chất của chuỗi số
n n
a + b = A + B
n
c.a = c.A c
'
^
Neu
n
n
a = A
,
b = B
n n
a -b = A -B
'
^
Neu
n
n n
n
a h.tu
.
` `
, thi a + b p.ky
`
b p.ky
CHUỖI CẤP SỐ NHÂN
k
k=N
a.r
a 0
Phân kỳ nếu
Hội tụ nếu
và tổng của nó là
r 1
<
r 1
N
k
k=N
a.r
a.r
1- r
Chuỗi đơn giản
được
CÁCH TÍNH TỔNG CHUỖI
1. Chuỗi cấp số nhân
2. Chuỗi đơn giản được và các chuỗi khác 8.3 – 8.6
Các tiêu chuẩn hội tụ
21 22
23 24
7. 4/7/2019
Các chuỗi đã biết tính hội tụ/phân kỳ
Cách khảo sát sự hội tụ của chuỗi số không có trong bảng đã biết hội
tụ/phân kỳ
Hội tụ/phân
kỳ?
k
a
0
0
Tính khó
phân kỳ
k
a
n
n
lim a
k
a 0
k
k k
k+1 k
k k
a = -1 b
b 0
a = -1 b
k
a
Dấu bất kỳ
k b
1
a
k lnk
T.chuẩn
tích phân
(slide 29,
30)
ak chứa
giai
thừa/
tích
liên tiếp
các số
T.chuẩn
tỷ số
(slide
35)
ak chứa
lũy
thừa
(không
có giai
thừa)
T.chuẩn
căn
(slide
36)
ak chứa
logarit
và hàm
mũ tiến
ra vô
cùng
T.chuẩn
so sánh 1
(slide 31,
32)
4 tiêu
chuẩn
trước
không
dùng
được
T.chuẩn
so sánh 2
(slide 33,
34)
T.chuẩn
Leiniz
(slide )
ak chứa
lũy
thừa
(không
có giai
thừa)
T.chuẩn
căn tổng
quát
(slide 42)
ak chứa
giai
thừa/
tích
liên tiếp
các số
Tỷ số
tổng quát
(slide 41)
k
a
Xét
(slide
40)
A/ Tiêu chuẩn phân kỳ
Nếu
thì chuỗi số phân kỳ.
n
n
lim a 0
k
a
B/ Các tiêu chuẩn hội tụ
của chuỗi số không âm
1. Tiêu chuẩn tích phân
2. Tiêu chuẩn so sánh trực tiếp (so sánh 1)
3. Tiêu chuẩn so sánh gián tiếp (so sánh 2)
4. Tiêu chuẩn tỷ số
5. Tiêu chuẩn căn
25 26
27 28
8. 4/7/2019
f(x) 0
f là hàm liên tục
Nếu f là hàm giảm
f(n) = an
Thì
và cùng hội tụ hoặc cùng
phân kỳ
0
k
k=n
a
0
x n
0 0
, 1,
n n n
0
n
f x dx
Tiêu chuẩn tích phân Cách dùng tiêu chuẩn tích phân
0
k
k=n
a
Tiêu chuẩn so sánh trực tiếp
(so sánh 1)
Nếu thì hội tụ.
Nếu thì phân kỳ.
,
k
k
0 b k
a N
k
b h.tu
.
k
a
,
k
k
0 a k
c N
k
`
c p.ky k
a
(Lớn hội tụ thì nhỏ hội tụ
Nhỏ phân kỳ thì lớn phân kỳ)
:
1 ln n n
n
n a
>
:
1 ln n , 0
ln n 0
1
n
n
b p
n
n a a
b p
b p c
c
c
Một số bất đẳng thức thường dùng trong
tiêu chuẩn so sánh trực tiếp (so sánh 1)
29 30
31 32
9. 4/7/2019
Tiêu chuẩn so sánh giới hạn
(tiêu chuẩn so sánh 2)
Cho , và
k
k
b
a 0, 0 k N
k
k
k
a
l m
b
i = L
k
a htu.
.
:
`
L L
0 va
:
L =
:
L = 0
k
b htu.
.
k
`
b pky. k
`
a pky.
k
b htu.
. k
a htu.
.
k
`
b pky. k
`
a pky.
p p
p 1 0 p
n n
a n +…+ a n + a a n
n +lnn n
a + n a a > 1
1
1
k k
k k
k p
2
p
p
sin
sin
tan
tan
1- cos
2
e -1
ln 1+
a + … + a a
t
t t
t t
t t
t t
t
t
t
t t
t t t
n 0
t
Tổng có số hạng ∞:
giữ lại số hạng lớn
nhất
Tổng mọi số hạng
đều →0: giữ lại số
hạng bé nhất
n n
lnn n a n! n
a 1
Tiêu chuẩn tỷ số
Cho , và
k
a 0 k N
k+1
k
k
lim
a
a
= L
k
a htu
.
Nếu , thì
<
L 1
L = 1
Nếu , thì tiêu chuẩn này không
dùng được
k
`
a pky
Nếu , hoặc , thì
L
>
L 1
Tiêu chuẩn căn
Cho , và
k
a 0 k N
k
k
k
a
lim = L
L = 1
k
a htu
.
Nếu , thì
<
L 1
Nếu , thì tiêu chuẩn này không
dùng được
k
`
a pky
Nếu , hoặc , thì
L
>
L 1
33 34
35 36
10. 4/7/2019
C. Tiêu chuẩn chuỗi đan dấu
(Tiêu chuẩn Leibniz)
Cho . Các chuỗi đan dấu
k
k=1
k
-1 .b
k+1
k=1
k
-1 .b
và
hội tụ nếu
>
k
b 0
k
b
k
k
lim b = 0
là dãy giảm,
Ước lượng sai số của chuỗi đan dấu
Giả sử chuỗi đan dấu
k
k
k=1
-1 .b
k+1
k
k=1
-1 .b
hoặc
Thỏa mãn điều kiện của tiêu chuẩn
Leibniz; tức là, và
giảm. Nếu chuỗi có tổng là S, thì
k
b
k
k
lim b = 0
n 1
n +
-S
S b
D/ Tiêu chuẩn hội tụ
cho chuỗi số bất kỳ
1. Tiêu chuẩn hội tụ tuyệt đối
2. Tiêu chuẩn tỷ số tổng quát
3. Tiêu chuẩn căn tổng quát
Tiêu chuẩn hội tụ tuyệt đối
k
a htu
. k
a htu
.
Định nghĩa của hội tụ tuyệt đối và hội
tụ có điều kiện
1. là hội tụ tuyệt đối nếu
hội tụ.
2. là hội tụ có điều kiện nếu
hội tụ nhưng phân kỳ.
k
a k
a
k
a k
a
k
a
37 38
39 40
11. 4/7/2019
Tiêu chuẩn tỷ số tổng quát
Cho , và
k
a 0 k N
k+1
k
k
lim
a
a
= L
Nếu , thì tiêu chuẩn này không
dùng được
L = 1
k
a htu
.
Nếu , thì
<
L 1
k
`
a pky
Nếu , hoặc , thì
L
>
L 1
Tiêu chuẩn căn tổng quát
Giả sử
k
k
k
a
lim = L
Nếu , thì tiêu chuẩn này không
dùng được
L = 1
k
a htu
.
Nếu , thì
k
`
a pky
Nếu , hoặc , thì
L
>
L 1
<
L 1
8.7
Chuỗi lũy thừa
Chuỗi có dạng
được gọi là chuỗi lũy thừa theo (x-c).
a0, a1, a2,… là các hệ số của chuỗi lũy thừa.
Nếu c = 0, thì chuỗi lũy thừa có dạng
k 2
k 0 1 2
k=0
a x - c a a x - c a x - c
k 2
k 0 1 2
k=0
a x a a x a x
41 42
43 44
12. 4/7/2019
Sự hội tụ của chuỗi lũy thừa
Với có 3 khả năng:
(i) Chuỗi hội tụ chỉ duy nhất tại x = c.
(ii)Chuỗi hội tụ tại mọi x.
(iii)Có số R > 0 sao cho choỗi hội tụ nếu
và phân kỳ nếu .
R gọi là bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa.
k
k
k=0
a x - c
x - c R >
x - c R
R 0
R
Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa là tìm tất
cả các giá trị của x để chuỗi hội tụ.
c c+R
c-R
Hội tụ Phân kỳ
Phân kỳ
Các đầu mút chưa biết chắc hội tụ/phân kỳ
Cách tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa
(*)
1. Đặt
2. Tính hoặc
3. Chuỗi (*) hội tụ khi L<1 và phân kỳ khi L>1
4. Tìm x để L=1, thay x này lại vào chuỗi (*) và xét sự
hội tụ của chuỗi này bằng các tiêu chuẩn hội tụ của
chuỗi số (mục 8.3-8.6).
5. Kết luận: Miền hội tụ là tất cả các giá trị của x ở
bước 3 và 4 làm cho (*) hội tụ.
k
k
k=0
a x - c
k 1
k
k
+
u
l
L = m
u
i
k
k
k
m
L li u
=
k
k k
u a x - c
Đạo hàm và tích phân từng số
hạng của chuỗi lũy thừa
Nếu có bán kính hội tụ R>0, thì nó
xác định hàm
Với , ta có
và
k
k
k=0
a x - c
,
k
k
k=0
f x a x - c x c - R, c + R
x c - R, c + R
k-1
k
k=1
f x k.a x - c
C
k+1
k
k=0
a
f x dx x - c
k +1
45 46
47 48
13. 4/7/2019
8.8
Chuỗi Taylor và
chuỗi Maclaurin
Đa thức Taylor và Maclaurin
Giá trị
đúng
Giá trị ước
lượng cho f(x)
Phần dư
Đa thức Taylor bâc n của hàm f tại x=c là
Nếu c=0, thì
được gọi là đa thức Maclaurin bậc n của hàm f.
n
n
n
f c
P x = f c f c . x - c x - c
n!
n
n
n
f 0
P x = f 0 f 0 .x x
n!
Sai số
Định lý Taylor
Nếu f khả vi đến cấp n+1 trong khoảng I chứa
c, thì, với mỗi x thuộc I, có số z giữa x và c
sao cho
Với
n n
f x = P x + R x
n+1
n+1
n
f z
R x = x - c
n +1 !
n
n
n
f c
P x = f c f c . x - c x - c
n!
Định nghĩa chuỗi Taylor và chuỗi Maclaurin
Chuỗi Taylor của f(x) tại c là
Nếu c = 0, thì chuỗi này gọi là chuỗi
Maclaurin của hàm f(x)
n n
n n
n=0
f c f c
x - c = f c f c . x - c x - c +
n! n!
n n
n n
n=0
f 0 f 0
x = f 0 f 0 .x x +
n! n!
49 50
51 52
14. 4/7/2019
Nếu với mọi x thuộc khoảng I, thì
chuỗi Taylor của f(x) hội tụ và bằng f(x).
Định lý về sự tồn tại cho biểu diễn
thành chuỗi lũy thừa
n
n
lim R 0
n
n
n=0
f c
f x x - c
n!
Định lý về tính duy nhất cho biểu diễn
thành chuỗi lũy thừa
Giả sử f khả vi vô hạn lần và có biểu diễn
thành chuỗi lũy thừa
với –R < x-c < R. Khi đó có duy nhất một biểu
diễn như vậy, với an thỏa mãn
n
n
n=0
f x a x - c
n
n
f c
a
n!
Cách khai triển hàm f(x) thành chuỗi
Taylor/ Maclaurin
Khai triển Kết quả cần đạt
được
Các bước làm
Maclaurin
1. Dùng bảng “Kỹ thuật
khai triển Maclaurin
của một số hàm”.
2. Đổi lại về biến x.
Taylor tại c
1. Đặt t = x-c
2. Làm lần lượt các
bước khai triển
Maclaurin cho hàm
theo t
3. Thay lại t = x-c
m
f x ....x
m
f x .... x - c
53 54
55
15. 1
Khai triển Maclaurin của một số hàm sơ cấp
Hàm Khoảng hội tụ
2 3
0
1
1 1 1
1
k n
k n
k
u u u u u
u
1 1
u
2 3
0
1
1
1
k n
k
u u u u u
u
1 1
u
2 3
0
1
! 2 3! !
k n
u
k
u u u u
e u
k n
u
2 3
1 1
1
ln 1 1 1
2 3
k n
k n
k
u u u u
u u
k n
1 1
u
2 1 3 5 2 1
0
sin 1 1
3! 5!
2 1 ! 2 1 !
k n
k n
k
u u u u
u u
k n
u
2 2 4 2
0
cos 1 1 1
2! 4!
2 ! 2 !
k n
k n
k
u u u u
u
k n
u
2 1 3 5 2 1
0
arctan 1 1
2 1 3 5 2 1
k n
k n
k
u u u u
u u
k n
1 1
u
5 7
2 1 2 1
3
2 2
0
1.3. 1.3.5.
2 ! 2 !
arcsin
2.3 2.4.5 2.4.6.7
2 . ! 2 1 2 . ! 2 1
k n
k n
k
u u
k u n u
u
u u
k k n n
1 1
u
2 3 4
1 1 2 1 2 3
1 1
2! 3! 4!
p p p u p p p u p p p p u
u pu
(Chuỗi nhị thức)
1 1
u
Nếu 1 0
p
thì chuỗi hội tụ
thêm tại 1
u .
Nếu 0
p thì hội
tụ thêm tại 1
u .
Nếu p là số nguyên
không âm thì hội tụ
tại mọi u.
16. 2
Kỹ thuật khai triển Maclaurin của một số hàm (nhớ thay u lại theo x)
Hàm Kỹ thuật chuyển Đổi biến Maclaurin tương ứng
p
ax b
f x e
.
p p
ax b b ax
f x e e e
p
u ax
0 !
.
k
b
k
b u u
e
k
f x e e
ln p
f x ax b
ln . 1
ln ln 1
p
p
a
f x b x
b
a
b x
b
p
a
u x
b
1
1
ln ln 1
ln 1
k
k
k
f x b u
u
b
k
1
p
f x
ax b
1 1
1
p
f x
b a
x
b
p
a
u x
b
0
1 1 1
1
1
k
k
k
f x u
b u b
sin p
f x ax
p
u ax
2 1
0
1
2 1 !
sin
k
k
k
u
k
u
f x
cos p
f x ax
p
u ax
2
0
1
2 !
cos
k
k
k
u
k
u
f x
p
m
f x ax b
1
p
p m
a
f x b x
b
m
a
u x
b
2
1
1
2!
1 p
p
p p p u
b pu
f x b u
Kỹ thuật khai triển Taylor tại x c
:
Đặt t x c
, sau đó dùng khai triển Maclaurin cho hàm theo t.
