With 80 steps Galton boards, we can see the binomial distribution approximated to the normal distribution. Youtube ===>>> https://www.youtube.com/watch?v=3w4e1RQTAB8

1. THE GALTON BOARDS
Hideo Hirose, 1/26/2016 copyright

2. copyright HH
中心極限定理とゴルトンボード
Central Limit Theorem and Galton Board

3. copyright HH
ゴルトンボード：
２項確率が正規分布に変わっていく過程を左右1/2の確率で上から下に
落ちて行くボールの落ち方で模擬したものがゴルトンボードである。
写真は100円圴一で材料を仕入れて学生が作った簡易ゴルトンボート
である。ビー玉が分岐できる段数は10になっている。
団子状に固まっており、正規分
布らしくない。平均的には正規
分布に近似できるかもしれない
が、一つ一つの実験結果にばら
つきがあり、必ずしも正規分布
らしくは見えないということを
表している。また、左右いっぱ
いに広がって見えるため、いつ
でも両端まで広がるという誤解
を与える。この広がりに注目し
てみよう。

4. copyright HH
２項分布の正規分布近似：
成功する確率がpで、失敗する確率がq=1-pのとき、n回の試行でk回成功
する確率Pは、 となる。nが大きくなると2項確率は
正規分布の分布関数 に近似でき
る。中心極限定理の一例である。
Xiを値1,0をそれぞれp, q=1-pの確率
でとる確率変数であると仮定し、
Sn=X1+X2+...+Xn
とする。このとき、Snは平均 np、
分散npqの正規分布に近似できる。
標準偏差σは npq である。今、
p=q=1/2 である。
nが10のとき npqは大体1.5なので、Snは95%の確率で2から8までの値を
とることになる。つまり10段なら平均的に2-8まで広がる。
!
P =
n
k
"
#
$
%
&
'pk
(1( p)n(k
F(x) =
1
2!"
exp !
(t !µ)2
2" 2
"
#
$
%
&
'!(
x
) dt

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2項分布の標準偏差：
しかし、ゴルトンボードでnを増やしていくと、実際に広がっていく幅
（左右に標準偏差の約2倍）は、広がる可能性のある幅に比べてかなり
狭くなっていっていることまで理解できる。
2× (n×(1/2)×(1/2))
= n
2 n/n= 2/ n
この幅は、2 n
である。従って、狭まっ
ていく割合は、2/ n
になっている
ことが分かる。
n
n2

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ゴルトンボードの段数を変化させてみる：
nが10, 30, 100で比較してみると違いがよく分かる。
n=10
n=1 n=1 n=1
n=10
n=30
n=10 n=30 n=100
n=100n=30n=10
このことこそが段数を多くしたゴルトンボードを作る意味である。少
なくとも30段くらいにはしないと中心に集まってくる様子を実感でき
ない。
応用：100問を解いて60問以上正解したら合格する試験に、まったく予備
知識のない受験生が挑戦して合格する確率はいくらか。意外に小さい。

7. 8段
17段
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8. 34段
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9. 41段 48段
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10. 50段
80段
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11. !"#$%&'()*!"#$%&'()*!"#$%&'(+)*!"#$+%&'()*!"#$%&'()*!"#$%&'()*!"#$%&'()*!"#$%&'()*!"#$%&'()*
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Central Limit Theorem and Galton Board
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12. copyright HH
応用：100問を解いて60問以上正解したら合格する試験に、まったく予備
知識のない受験生が挑戦して合格する確率はいくらか。意外に小さい。
2-3%

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