상호배타적 집합일나 집합의 연산 UNION FIND 경로압축 랭크기반 알고리즘 집합의 구현 실제 예시

1. 코딩테스트 합격자 되기 C++
10장 집합
저자 박경록

2. 목차
- 상호배타적 집합이란?
- 집합의 연산
* union연산과 find 연산
* 경로압축 / 랭크기반 알고리즘으로 개선하기
- 집합의 구현

3. 강의영상

4. 상호배타적 집합
- 교집합이 없는 집합관계(집합은 꼭 2개가 아니라 N개일수도 있음)
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2 3
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5 6
집합 A 집합 B
상호배타적 집합이다.
집합 A의 원소는 {1,2,3}이고 집합 B의 원소는
{4,5,6} 이므로 교집합이 없음
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2 3
2
4 6
집합 A 집합 B
상호배타적 집합이 아니다.
집합 A의 원소는 {1,2,3}이고 집합 B의 원소는
{2,4,6} 이므로 교집합 {2}가 존재함

5. 집합 표현하기
무엇을 고려해야 할까요?
- 특정 집합 원소들이 하나의 집합의 원소라는 것을 알 수 있어야 함
* 집합 A = {1,2,3}일때 각 원소가 집합 A에 속한다는 걸 알아야 함
- 각 집합간 다른집합이라는 것을 알 수 있어야 함
* 집합 A = {1,2,3}, B = {4,5,6} 일때 두 집합이 다른 집합이란걸 알아야 함
- 특정 원소가 어느 집합에 속하는지 알수 있어야 함
* 집합 A = {1,2,3}, B = {4,5,6} 일때 원소 5가 집합 B에 속한다는 걸 확인 가능 해야함
- 두개의 집합을 하나로 합칠수 있어야 함
* 집합 A = {1,2,3}, B = {4,5,6} 일때 이를 합쳐서 {1,2,3,4,5,6}만들수 있어야 함
각 집합의 대표원소를 만들면 해결 된다.

6. 집합 표현하기
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2 3
4
5 6
집합 A 집합 B
각 집합에서 가장 작은 원소를 대
표원소(루트노드)로 한다.
1 2 3 4 5 6
1 1 1 4 4 4
대표원소 : 1 대표원소 : 4
- 대표원소는 현재노드와 부모노드가 같음
- 배열을 활용해서 나타낼 수 있음(현재노드는 인덱스, 부모노드는 값)
- 부모노드가 없다면 -1로 나타낼수 있음
현재노드
부모노드
8
7
-1
8
3

7. 집합의 연산 find
특정 노드의 루트 노드를 확인하는 연산
- 특정 노드로 부터, 루트노드가 나올때 까지 거슬러 올라가면 됨
- union 연산에서도 활용 됨

8. 집합의 연산 find의 최악의 경우
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2
3
4
5
1 2 3 4 5
1 1 2 4
현재노드
부모노드 3
- 루트노드를 찾는데 필요한 경로가 깊어질경우 연산횟수가 증가함 O(N)
- 어떻게 하면 경로의 깊이를 줄일수 있을까??
=> 경로 압축 알고리즘을 활용하자!

9. 집합의 연산 find(경로압축이란?)
1
2
3
4
5
1
2 3 4 5
집합은 하나이고 모든 노드의 루트노드는 1이다.
오른쪽 처럼 바꾸면 경로의 최대 깊이는 1이 됨

10. 집합의 연산 find(경로압축의 과정)
find연산을 하는 노드가 루트노드 일 경우, 루트노드를 반환
find연산을 하는 노드가 루트노드가 아닐 경우, 자신의 부모노드를 find(해당 노드의
부모노드)로 설정
1
2
3
4
5
실제 함수 호출 과정
find(5) , disjoint[5] = disjoint[4] 이후, disjoint[5] 반환
> find(4), disjoint[4] = disjoint[3] 이후, disjoint[4] 반환
> find(3), disjoint[3] = disjoint[2] 이후, disjoint[3] 반환
> find(2), disjoint[2] = disjoint[1] 이후, disjoint[2] 반환
> find(1), 루트노드 이므로 disjoint[1] 반환

11. 집합의 연산 find(경로압축의 실제동작 1)
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2
3
4
5
①
②
③
④
루트노드 확인
1
2
3
4
5
① disjoint[2] = disjoint[1]
1 2 3 4 5
1 1
2
1
4
1
현재노드
부모노드
3
1
② disjoint[3] = disjoint[2]
③ disjoint[4] = disjoint[3]
④ disjoint[5] = disjoint[4]
① ② ③ ④
disjoint

12. 집합의 연산 find(경로압축의 실제동작 1, 결론적으로)
1
2
3
4
5
① disjoint[2] = disjoint[1]
1 2 3 4 5
1 1
2
1
4
1
현재노드
부모노드
3
1
② disjoint[3] = disjoint[2]
③ disjoint[4] = disjoint[3]
④ disjoint[5] = disjoint[4]
① ② ③ ④
disjoint
1
2 3 4 5

13. 집합의 연산 find(경로압축의 실제동작 2)
1
2
4
루트노드 확인
3 5
6
7
①
②
③
1
2
4
3 5
6
7
① disjoint[2] = disjoint[1]
② disjoint[6] = disjoint[2]
③ disjoint[7] = disjoint[6]

14. 집합의 연산 find(경로압축의 실제동작 2)
1
2
4
3 5
6
7
① disjoint[2] = disjoint[1]
② disjoint[6] = disjoint[2]
③ disjoint[7] = disjoint[6]
1
2
4
3 5 6 7
경로 압축을 했다고, 루트노드를 제외한 모든 노드의 깊이가 1이 되는건 아님.
find 연산을 할 때, 루트노드를 찾는 과정에서 거쳐간 노드들의 경로가 압축 됨
경로압축을 적용하면 find연산의 시간복잡도는 O(1)에 가까워짐

15. 집합의 연산(union)
두 개의 집합을 하나의 집합으로 합치는 연산
find 연산을 통해 각 집합의 대표원소를 구하고, 루트노드를 하나로 통일
=> 여러가지 방법이 있지만 작은 루트노드쪽으로 합치는 방법도 있음
1
2 3
4
5 6
집합 A 집합 B
1
2 3 4
5 6
집합 A 집합 B
1 < 4

16. 집합의 연산(union, 세부과정)
1
2 3
4
5 6
집합 A 집합 B
8
1
1
현재노드
부모노드
2
1
3
1
4
4
1
5
4
6
4
7
-1
8
3
1
union(6,8) 수행
=>find(6), find(8)을 통해 루트노드를 확인
=> find(8) = 1, find(6) = 4 이므로 find(8) < find(6)
=> 이 두 집합의 대표원소를 find(8)로 통일
이 과정에서 구현에 따라 경로압축이 적용될 수 있음!
find(8)수행시 경로압축이 되면서 수정 됨

17. 집합의 연산(union, 효율성에 대한 고민)
union 연산이후 깊이를 최소화 할 수 있을까?
=> 집합에 랭크를 도입하자(특정노드 기준 최대 깊이)
=> 랭크가 더 큰쪽으로 합쳐서, 랭크의 증가를 최소화 하자(랭크 기반 알고리즘)

18. 집합의 연산(union, 랭크기반 알고리즘)
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2
4
3 5
6
7 0
0 1
0
2
0
3
랭크 개념에 대해 알아보자!
=> 현재 노드 기준 트리 최대 깊이
=> 노드{1}의 경우 2->1->0이 최대 깊이이므로 랭크는 3
=> 노드 {3},{4}{5},{7}은 자신을 제외하고는 더이상 내려갈 곳이 없으므로 랭크 0
=> 노드{2}의 경우 6->7이 최대 깊이 이므로 랭크는 2
=> 루트노드의 랭크가 가장 높다 랭크기반 알고리즘은 루트노드의 랭크 기준
=> 루트노드의 랭크를 낮게 유지하는 방향으로 합치는 것이 전략

19. 집합의 연산(union, 랭크기반 알고리즘)
어떻게 합쳐야 하나?
=> 랭크가 더 높은쪽으로 합쳐야 함
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4
3
5
6 7
2 1
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4
3 5
6 7
1
2
4
3
5
6 7
랭크가 더 높은 쪽으로 합친 경우
랭크가 더 낮은 쪽으로 합친 경우

20. 집합의 구현
- 노드의 최대값이 크지 않은경우 => 배열로 구현
- 노드의 최대값이 큰 경우 => unordered_map으로 구현
- 대부분의 코테 문제는 경로압축,랭크기반 까지 구현할 필요는 없습니다.
union &find
array / fast
union &find
array
union &find
unordered_
map

21. 언제 집합알고리즘을 쓸까요?
이미지 세그멘테이션
- 각 이미지를 의미있는 부분으로 분할
- 아래 이미지를 보면 이미지에서 각 객체마다 분할해서 다른색을 칠하고 있음

22. 언제 집합알고리즘을 쓸까요?
네트워크 연결성 확인
- 대규모 네트워크에서 두 컴퓨터가 서로 연결되어있는지 확인
B
C
D
E
A
F
G H

23. 알고리즘 문제 예시
네트워크 연결성 확인
주어진 노드와 연결된 간선으로 이루어진 네트워크에서 두 노드가 서로 연결되어 있는지 확
인하는 문제. 노드의 개수, 간선 목록, 그리고 쿼리 목록이 주어집니다.
입력값
5 ← 노드의 최대값
3 ← 간선의 개수
0 1
1 2
3 4
2 ← 쿼리의 개수
0 2
0 3
0
1 2
3
4
출력값
1 ← 연결됨(0,2)
0 ← 연결되지 않음(0,3)
0,2 연결됨
0,3 연결되지 않음

24. 커뮤니티 소개(오픈카톡방) cont’d
- 저자 직접 운영
- 대략 400명 정도 인원이 자유롭게 소통
- 개인적인 주제 및 코딩 관련 소통 가능

25. 커뮤니티 소개(오픈카톡방)

26. 커뮤니티 소개(깃허브) cont’d
- 책 문제의 정답코드
- 코딩테스트 준비를 위해 필요한 자료구조 및 알고리즘
- C++ 기본 문법
- STL의 성능 비교

27. 커뮤니티 소개(깃허브)

28. 커뮤니티 소개(디스코드) cont’d
- 모각코 진행
- 공식 스터디 / 개인 스터디 모집 공고 및 진행
- 책 관련 문의 / 답변

29. 커뮤니티 소개(디스코드)