Download as PDF, PPTX
Uploaded byKen Ogura
Amortize analysis of Deque with 2 Stack
ならし解析の話。 DequeをStack2つで実装した場合について追加や削除のならし計算量がO(1)であることを示す。 Accounting MethodとPotential Methodを説明。
More Related Content
Similar to Amortize analysis of Deque with 2 Stack
Amortize analysis of Deque with 2 Stack
- 1.
- 2. 目次 ● 有名なことわざの紹介 ● ならし計算量のはなし ● AccountingMethod ● Potential Method
- 3. 目次 ● 有名なことわざの紹介 ● ならし計算量のはなし ● AccountingMethod ● Potential Method
- 4.
- 5. Deque ● 次の操作に対応したデータ構造 – 列の先頭に値を追加 (pushF) – 列の末尾に値を追加 (pushB) – 列の先頭から値を取り出す (popF) – 列の末尾から値を取り出す (popB)
- 6. Deque: 図示 ● ここに空のDequeがあるじゃろ –左が先頭(Front), 右が末尾 (Back)
- 7.
- 8. Deque: 図示 ● pushF(3),pushB(4) 3 4
- 9. Deque: 図示 ● pushF(3),pushB(4), pushF(5) 3 45
- 10. Deque: 図示 ● pushF(3),pushB(4), pushF(5), popB() 3 4 5 4
- 11. Deque: 図示 ● pushF(3),pushB(4), pushF(5), popB() 35
- 12. Deque: 図示 ● pushF(3),pushB(4), pushF(5), popB(), popF() 3 5
- 13. Deque: 図示 ● pushF(3),pushB(4), pushF(5), popB(), popF() 3
- 14. Deque: 図示 ● pushF(3),pushB(4), pushF(5), popB(), popF() pushB(4) 3 4
- 15. Deque: 図示 ● pushF(3),pushB(4), pushF(5), popB(), popF() pushB(4), pushF(3) 3 433
- 16.
- 17. Deque（Stack×2）: 図示 ● 空のDequeの下にStackが2つあるじゃろ –左が先頭(Front), 右が末尾 (Back)
- 18. 432 Deque（Stack×2）: 図示 ● pushF(1),pushF(2), pushF(3), pushF(4) 4321 1
- 19. 432 Deque（Stack×2）: 図示 ● pushF(1),pushF(2), pushF(3), pushF(4) popB() 4 321 1
- 20. 32 Deque（Stack×2）: 図示 ● pushF(1),pushF(2), pushF(3), pushF(4) popB() 4 321 1 ｴｲﾔｯ 4
- 21. 32 Deque（Stack×2）: 図示 ● pushF(1),pushF(2), pushF(3), pushF(4) popB() 4 321 1 4
- 22. 32 Deque（Stack×2）: 図示 ● pushF(1),pushF(2), pushF(3), pushF(4) popB() 321 1
- 23.
- 24.
- 25. 目次 ● 有名なことわざの紹介 ● ならし計算量のはなし ● AccountingMethod ● Potential Method
- 26.
- 27.
- 28. 操作一覧 ● pushBack どうせO(1) ●pushFront どうせO(1) ● popBack ● popFront
- 29. 操作一覧 ● pushBack どうせO(1) ●pushFront どうせO(1) ● popBack だいたいO(1) ● popFront だいたいO(1)
- 30. 半分移すとき時間かかる ● pushBack どうせO(1) ●pushFront どうせO(1) ● popBack だいたいO(1) ときどき O(N) ● popFront だいたいO(1) ときどき O(N)
- 31. 半分移すとき時間かかる ● pushBack どうせO(1) ●pushFront どうせO(1) ● popBack だいたいO(1) ときどき O(N) ● popFront だいたいO(1) ときどき O(N) ● でもO(N)であることは本当に「ときどき」で、ま れにしか起こらない
- 32. 半分移すとき時間かかる ● pushBack どうせO(1) ●pushFront どうせO(1) ● popBack だいたいO(1) ときどき O(N) ● popFront だいたいO(1) ときどき O(N) ● でもO(N)であることは本当に「ときどき」で、ま れにしか起こらない
- 33. 半分移すとき時間かかる ● pushBack どうせO(1) ● pushFront どうせO(1) ● popBackだいたいO(1) ときどき O(N) ● popFront だいたいO(1) ときどき O(N) ● でもO(N)であることは本当に「ときどき」で、まれに しか起こらない ● O(N)っていいたくない
- 34.
- 35.
- 36.
- 37.
- 38.
- 39. Dequeの計算量 ● Dequeの操作のならし計算量は全てO(1) – ほんまか ●ならし計算量がO(1)ということは N 回操作し たときの「実際の計算量」がO(N)であるという こと – 実験してみるとそれっぽい ● これから2つの方法でこれを証明する
- 40. 目次 ● 有名なことわざの紹介 ● ならし計算量のはなし ● AccountingMethod ● Potential Method
- 41. AccountingMethod ● 直訳：会計法（法律っぽい） ● 初めあなたの所持金は0円です ● あなたが操作をするたびに、「ならし計算量」 円だけお金がふってきます ●あなたが操作をするたびに、「実際の計算 量」円払わなければなりません ● あなたはどのタイミングでも所持金が負に なってはいけません
- 42.
- 43.
- 44. AccountingMethod ● 以下のように設定するとうまくいく – 操作をすると5 円ふってくる ● これでうまくいくことをこれから証明
- 45. AccountingMethod:5円の証明 ● pushBack,pushFront – 実際の計算量は 1 –よって1円払わないといけない ● popBack,popFrontのｴｲﾔｯしないやつ – 実際の計算量は 1 – 1円払わないといけない ● どちらの場合も差し引いて4円貯金が増える
- 46. AccountingMethod:5円の証明 ● popBack,popFrontのｴｲﾔｯするとき – もう片方のStackの中身(N個とする)をいっ たん全部出して、半分ずつ入れ分ける –実際の計算量は 2N – 差し引いて2N-5円貯金が減る ● このとき借金しなければよい
- 47. AccountingMethod:5円の証明 ● 実は以下の命題が成り立つ – 左側のStackにL個、右側のStackにR個の 要素が入ってる時、4×max(L,R)円以上の 貯金がある – 帰納法で証明可能
- 48.
- 49.
- 50. AccountingMethod:4*max(L,R)の証明 ● 命題：貯金が4×max(L,R)円以上 ● はじめの状態(空の状態)では成立 ● 成立している状態からどの操作をしても命題が成立 し続けることを示せば良い – pushとｴｲﾔｯしないpopは 貯金が4円増えるので成 立し続ける –ｴｲﾔｯするとき、もともと貯金が4N円以上あるので 操作後は2N円以上が保証される
- 51. AccountingMethod:4*max(L,R)の証明 ● 命題：貯金が4×max(L,R)円以上 ● はじめの状態(空の状態)では成立 ● 成立している状態からどの操作をしても命題が成立 し続けることを示せば良い – pushとｴｲﾔｯしないpopは 貯金が4円増えるので成 立し続ける –ｴｲﾔｯするとき、もともと貯金が4N円以上あるので 操作後は2N円以上が保証される – ｴｲﾔｯ後は4×max(L,R)は2Nになる
- 52. AccountingMethod:4*max(L,R)の証明 ● 命題：貯金が4×max(L,R)円以上 ● はじめの状態(空の状態)では成立 ● 成立している状態からどの操作をしても命題が成立 し続けることを示せば良い – pushとｴｲﾔｯしないpopは 貯金が4円増えるので成 立し続ける –ｴｲﾔｯするとき、もともと貯金が4N円以上あるので 操作後は2N円以上が保証される – ｴｲﾔｯ後は4×max(L,R)は2Nになる 成立し続ける
- 53. AccountingMethod:4*max(L,R)の証明 ● 命題：貯金が4×max(L,R)円以上 ● はじめの状態(空の状態)では成立 ● 成立している状態からどの操作をしても命題が成立 し続けることを示せば良い – pushとｴｲﾔｯしないpopは 貯金が4円増えるので成 立し続ける –ｴｲﾔｯするとき、もともと貯金が4N円以上あるので 操作後は2N円以上が保証される – ｴｲﾔｯ後は4×max(L,R)は2Nになる 成立し続ける (Q.E.D.)
- 54.
- 55. AccountingMethod ● ならしO(1)を求めるのに向いてる – ふってくる値段を貯金がなくならないように充 分大きくするだけ ● ふってくる値段は操作毎に変えても良い – popは4円 –pushは1円とかでも大丈夫 ● 今回のようにデータ構造の状態に対して貯金の 下限を示したりして使う
- 56.
- 57. 目次 ● 有名なことわざの紹介 ● ならし計算量のはなし ● AccountingMethod ● Potential Method
- 58.
- 59.
- 60.
- 61.
- 62.
- 63. PotentialMethod:なんでそんなことするの ● 計算量の総和を考えてみる ● 実計算量 – X1+ X2 + X3 + … + XN ● 均計算量 – (X1 + P2 – P1) + (X2 + P3 – P2) + … (ry ↓ – X1 + X2 + X3 + … + XN + (PN – P1)
- 64. PotentialMethod:なんでそんなことするの ● 計算量の総和を考えてみる ● 実計算量 – X1+ X2 + X3 + … + XN ● 均計算量 – (X1 + P2 – P1) + (X2 + P3 – P2) + … (ry ↓ – X1 + X2 + X3 + … + XN + (PN – P1)
- 65. PotentialMethod:なんでそんなことするの ● 「実計算量の総和」と「均計算量の総和」の差 が PN –P1 – 終状態と始状態のPotentialの差 – これが「均計算量の総和」以下のオーダー なら、実計算量と均計算量のオーダーが一 致する – 均計算量の定義と合致
- 66.
- 67.
- 68. PotentialMethod:4*max(L,R)の証明 ● 各操作の均計算量 – push ●ポテンシャルはたかだか4増える ● 実計算量は1 ● よってならし計算量は5
- 69. PotentialMethod:4*max(L,R)の証明 ● 各操作の均計算量 – pop(ｴｲﾔｯなし） ●ポテンシャルは増えない ● 実計算量は1 ● よってならし計算量は1以下
- 70. PotentialMethod:4*max(L,R)の証明 ● 各操作の均計算量 – pop(ｴｲﾔｯあり） ●ポテンシャルは4*(N/2)減る ● 実計算量は2N ● よってならし計算量は0
- 71. PotentialMethod:4*max(L,R)の証明 ● PN-P1 – N回操作した後の均計算量の総和はO(N) –PN-P1の最大値は4N=O(N) ● ずっと同じ方からpushしたとき – よっしゃ
- 72.
- 73.
- 74.
- 75. PotentialMethod ● ならしO(1)以外を求めるのにも有用 – フィボナッチヒープのO(logN) – スプレー木のO(logN) –UnionFind木のO(α(n)) (アッカーマン関数の 逆関数) ● 4*max(L,R)はAccountingMethodにもでてきた値 – AccountingもPotentialも歩み寄り方が違うだ けで、やりたい証明は同じ
- 76.
- 77. 目次 ● 有名なことわざの紹介 ● ならし計算量のはなし ● AccountingMethod ● Potential Method ● おしまい