buku Pengantar Matematika Ekonomi.pdf

Pengantar Matematika Ekonomi untuk Perguraun Tinggi i
PENGANTAR MATEMATIKA EKONOMI
UNTUK PERGURUAN TINGGI
Sri Retnoningsih, M.Ak
Mohamad Tafrikan, M.Si.
Penerbit PPSM (Perkumpulan Pegiat Sains Madrasah)
Jln. Bukit Beringin Asri III, No. A363, Gondoriyo, Ngaliyan, Semarang
Tel. 0896-7172-0007
Email: ppsm.indonesia@gmail.com

Pengantar Matematika Ekonomi untuk Perguraun Tinggi ii
Pengantar Matematika Ekonomi untuk Perguruan
Tinggi
Penulis :
Sri Retnoningsih, M.Ak
Mohamad Tafrikan, M.Si.
ISBN :
Desain Sampul dan Tata Letak :
Latifa Qorin Nursifa
Penerbit :
Redaksi :
Tel. 0896-7172-0007
Distributor Tunggal :
Tel. 0896-7172-0007
Cetakan pertama,
© Hak cipta dilindungi undang-undang. Dilarang memperbanyak karya
tulis ini dalam bentuk dan dengan cara apapun tanpa ijin tertulis dari
penerbit

Pengantar Matematika Ekonomi untuk Perguraun Tinggi iii
KATA PENGANTAR
Puji syukur selalu penulis ucapkan kehadirat Allah SWT yang
telah memberikan segala nikmatNya kepada penulis. Karena atas
limpahan karuniaNya, penulis dapat menyusun dan menyelesaikan buku
yang berjudul “Pengantar Matematika Ekonomi Untuk Perguruan
Tinggi” dengan baik. Berbagai kekurangan dari segi isi dan tampilan
tentu masih ada.
Buku ini dimulai dengan mengenalkan Teori Himpunan, Deret,
Barisan, Time Value of Money, Fungsi Linear, Fungsi Non-Linear,
Differensial Fungsi Sederhana, Differensial Fungsi, dan Integral. Isi buku
dimulai dari teori, kemudian diikuti contoh-contoh soal, lalu diberikan
latihan soal beserta pembahasannya.
Semoga bermanfaat dan selamat membaca!
Salam Hormat
Sri Retnoningsih
Mohamad Tafrikan

Pengantar Matematika Ekonomi untuk Perguraun Tinggi iv

Pengantar Matematika Ekonomi untuk Perguraun Tinggi v
DAFTAR ISI
HALAMAN JUDUL ...........................................................................................................................i
KATA PENGANTAR......................................................................................................................iii
DAFTAR ISI........................................................................................................................................v
BAB 1 - HIMPUNAN..........................................................................................................1
Pengertian.................................................................................................................................... 1
Penulisan Matematika (Notasi) .......................................................................................... 1
Penyajian Himpunan............................................................................................................... 2
Operasi Himpunan ................................................................................................................... 2
Contoh Soal.................................................................................................................................. 4
Latihan Soal................................................................................................................................. 6
BAB 2 - DERET...................................................................................................................7
Pengertian.................................................................................................................................... 7
Deret Hitung ............................................................................................................................... 7
Deret Ukur................................................................................................................................... 8
Contoh Soal................................................................................................................................10
Latihan Soal...............................................................................................................................11
BAB 3 - BARISAN ........................................................................................................... 15
Pengertian..................................................................................................................................15
Barisan Aritmatika.................................................................................................................15
Barisan Geometri....................................................................................................................16
Latihan Soal...............................................................................................................................17
BAB 4 - TIME VALUE OF MONEY .............................................................................. 21
Konsep Dasar Time Value of Money...............................................................................21
Bunga Sederhana....................................................................................................................21
Potongan Sederhana..............................................................................................................23
Bunga Majemuk.......................................................................................................................23
Pembayaran > 1 Kali ............................................................................................................24

Pengantar Matematika Ekonomi untuk Perguraun Tinggi vi
Nilai Sekarang Dengan Bunga Majemuk .......................................................................26
Contoh Soal................................................................................................................................26
Latihan Soal...............................................................................................................................28
BAB 5 - FUNGSI LINIER................................................................................................ 31
PENERAPAN FUNGSI LINIER.............................................................................................32
Fungsi Permintaan.................................................................................................................32
Fungsi Penawaran..................................................................................................................33
Titik Ekuilibrium Kedua Fungsi........................................................................................34
Fungsi Keseimbangan...........................................................................................................35
PERSAMAN LINEAR...............................................................................................................37
Contoh Soal................................................................................................................................38
Keseimbangan Pasar Dua Macam Produk....................................................................41
Pengaruh Pajak terhadap Kesejahteraan......................................................................44
Pengaruh Subsidi terhadap Kesejahteraan..................................................................45
Contoh Soal................................................................................................................................47
Fungsi Belanja Konsumsi ....................................................................................................51
Fungsi Tabungan.....................................................................................................................52
Fungsi Investasi.......................................................................................................................53
Fungsi Belanja Pemerintah.................................................................................................53
Fungsi Belanja Ekspor Dan Impor...................................................................................54
Pendapatan Nasional.............................................................................................................56
Contoh Soal................................................................................................................................58
BAB 6 - FUNGSI NON-LINIER ..................................................................................... 61
Fungsi Permintaan.................................................................................................................61
Fungsi Kuadrat.........................................................................................................................61
Fungsi Rasional........................................................................................................................62
Fungsi Penawaran..................................................................................................................63
Keseimbangan Pasar.............................................................................................................63
Penerimaan Total (Total Revenue, 𝑇𝑅/𝑅) ....................................................................65
Fungsi Produksi.......................................................................................................................65
Contoh Soal................................................................................................................................66

Pengantar Matematika Ekonomi untuk Perguraun Tinggi vii
Fungsi Biaya..............................................................................................................................70
Fungsi penerimaan ...................................................Error! Bookmark not defined.
Latihan Soal...............................................................................................................................72
BAB 7 - FUNGSI UTILITAS........................................................................................... 81
Utilitas Total..............................................................................................................................81
Utilitas Marjinal.......................................................................................................................82
Hubungan Utilitas Total Dan Utilitas Marjinal............................................................82
Fungsi Produksi.......................................................................................................................83
Model Pertumbuhan Penduduk........................................................................................84
Contoh Soal................................................................................................................................87
BAB 8 - DIFERENSIAL FUNGSI SEDERHANA......................................................... 91
Hakikat Derivatif Dan Diferensial....................................................................................91
Elastisitas...................................................................................................................................94
Biaya Marjinal ..........................................................................................................................95
Penerimaan Marjinal.............................................................................................................95
Utilitas Marjinal.......................................................................................................................95
Produk Marjinal.......................................................................................................................96
Analisis Keuntungan Maksimum......................................................................................96
Contoh Soal................................................................................................................................96
BAB 9 - DIFERENSIAL FUNGSI.................................................................................101
Diferensial Fungsi Majemuk............................................................................................101
Diferensiasi Parsial .............................................................................................................101
Derivatif Dari Derivatif Parsial.......................................................................................102
Nilai Ekstrim : Maksimum Dan Minimum .................................................................103
Optimasi Bersyarat .............................................................................................................104
Permintaan Marginal Dan Elastisitas Permintaan Parsial..................................105
Perusahaan Dengan Dua Macam Produk...................................................................106
Dan Biaya Produksi Gabungan.......................................................................................106
Utilitas Marginal Parsial Dan Keseimbangan Konsumsi .....................................107
Produk Marginal Parsial Dan Keseimbangan Produksi.......................................108
Contoh Soal.............................................................................................................................108

Pengantar Matematika Ekonomi untuk Perguraun Tinggi viii
BAB 10 - INTEGRAL....................................................................................................111
Pengertian...............................................................................................................................111
Integral Tak Tentu...............................................................................................................111
Integral Tentu........................................................................................................................114
Fungsi Biaya...........................................................................................................................115
Fungsi Penerimaan .............................................................................................................115
Fungsi Utilitas .......................................................................................................................116
Fungsi Produksi....................................................................................................................116
Fungsi Konsumsi Dan Tabungan...................................................................................117
Surplus Konsumen..............................................................................................................118
Contoh Soal.............................................................................................................................119
DAFTAR PUSTAKA...................................................................................................................121
PROFIL PENULIS.......................................................................................................................123

Pengantar Matematika Ekonomi untuk Perguraun Tinggi 1
BAB 1
HIMPUNAN
PENGERTIAN
Himpunan adalah kumpulan benda atau objek. Himpunan dilambangkan
dengan huruf kapital misalnya 𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷, … , 𝑍 dan objek-objek dari
himpunan itu ditulis diantara dua kurung kurawal dan dipisahkan
dengan tanda koma.
Contoh:
Kumpulan hewan berkaki empat. (himpunan) diantaranya kambing,
kucing, gajah, dst.
Kelompok wanita cantik. (bukan himpunan) kumpulan wanita cantik,
yang anggota-anggotanya sangat sulit disebutkan, karena “cantik”
memiliki definisi yang sangat luas dan berbeda-beda sesuai selera
individu masingmasing. Jadi kumpulan wanita cantik bukan termasuk
himpunan.
PENULISAN MATEMATIKA (NOTASI)
Notasi dan simbol-simbol baku yang digunakan dalam penulisan
himpunan:
• Himpunan dinyatakan dengan huruf besar, dan menggunakan
simbol {…}
contoh: 𝐴 = {1, 2, 3, … }.
• Anggota himpunan dinyatakan dengan huruf kecil.
contoh: 𝐴 = {𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑥, 𝑦}.
• ∈ = notasi anggota himpunan
contoh: 𝐴 = {1, 2, 3}, maka 1 ∈ 𝐴 (1 anggota himpunan 𝐴).
• ∉ = notasi bukan anggota himpunan
contoh: 𝐴 = {1, 2, 3}, maka 4 ∉ 𝐴 (4 anggota himpunan 𝐴).
• ⊆ = notasi himpunan bagian
contoh: 𝐴 ⊆ 𝐵, artinya himpunan 𝐴 adalah himpunan bagian dari
himpunan 𝐵.
• ⊂ = notasi propersubset

Jika 𝐴 dan 𝐵 adalah himpunan sedemikian rupa sehingga 𝐴 ⊆ 𝐵
tetapi 𝐴 ≠ 𝐵, maka 𝐴 adalah propersubset dari himpunan 𝐵,
notasinya 𝐴 ⊂ 𝐵.
contoh: 𝐴 = {1, 2, 3, 4, 5} dan 𝐵 = {1,2,3}, maka 𝐵 ⊂ 𝐴.
• | … | = banyaknya anggota himpunan, contoh: 𝐴 = {𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑒},
maka |𝐴| = 5.
• 𝑈 = himpunan Universal (Semesta), contoh 𝑈 = {1,2,3,4,5}
• Simbol-simbol baku:
𝑃 = himpunan bilangan bulat positif, contoh 𝑃 = {1, 2, 3, … }
𝑁 = himpunan bilangan natural, contoh 𝑁 = {1,2, … }
𝑍 = bilangan bulat, contoh Z = {… , −2, −1, 0, 1, 2, … }
𝑄 = himpunan bilangan rasional
𝑅 = himpunan bilangan riil
𝐶 = himpunan bilangan kompleks
PENYAJIAN HIMPUNAN
Terdapat dua macam cara untuk menyajikan himpunan, yaitu:
- Cara Daftar
contoh : A = {1, 2, 3, 4, 5}
- Cara Kaidah
- contoh : A = {y] 6 > y > 0}
OPERASI HIMPUNAN
1. Irisan
Notasi: 𝐴 ∩ 𝐵 = { 𝑥| 𝑥 ∈ 𝐴 dan 𝑥 ∈ 𝐵}
Diagram Venn:
Contoh:
[1] Jika 𝐴 = {2, 4, 5, 8, 10} dan 𝐵 = {4, 10, 14, 18}
Maka: 𝐴 ∩ 𝐵 = {4,10}
[2] Jika 𝐴 = {3,5,9} dan 𝐵 = {−2,6}
Maka: 𝐴 ∩ 𝐵 = ∅, artinya 𝐴 // 𝐵

2. Gabungan
Notasi: 𝐴 ∪ 𝐵 = { 𝑥 |𝑥 ∈ 𝐴 atau 𝑥 ∈ 𝐵}
Diagram Venn:
Contoh:
[1] Jika 𝐴 = {2, 5, 8} dan 𝐵 = {7, 5, 22} , maka: 𝐴 ∪ 𝐵 =
{2, 5, 7, 8, 22}
[2] 𝐴 ∪ ∅ = 𝐴
3. Pelengkap (Complement)
Notasi : 𝐴 − 𝐵 = {𝑥|𝑥 ∈ 𝐴 𝑑𝑎𝑛 𝑥 ∉ 𝐵} = 𝐴 ∩ 𝐵𝐶
Diagram Venn:
Contoh:
1) Jika 𝐴 = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10} 𝑑𝑎𝑛 𝐵 = {2,4,6,8,10}
Maka: = {1,3,5,7,9} 𝑑𝑎𝑛 𝐵 − 𝐴 = ∅
4. Selisih
Notasi: 𝐴 − 𝐵 = { 𝑥 | 𝑥 ∈ 𝐴 𝑑𝑎𝑛 𝑥 ∉ 𝐵} = 𝐴 ∩ 𝐵𝐶
Diagram Venn:
Contoh:
[1] Jika 𝐴 = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} dan 𝐵 = {2, 4, 6, 8, 10}
Maka: 𝐴 − 𝐵 = {1, 3, 5, 7, 9} dan 𝐵 − 𝐴 = ∅.
[2] Jika 𝐴 = {0, 2, 4, 6, … } maka 𝐴𝐶
= {1, 3, 5, … }.

CONTOH SOAL
1. Untuk menunjukkan himpunan universal 𝑈 dan himpunan-
himpunan bagian 𝐴 serta 𝐵 jika :
𝑈 : {1,2,3,4,5,6,7, 8}
𝐴 : {2,3,5,7}
𝐵 : {1,3,4,7,8}
a) 𝐴 − 𝐵 = { 2, 5 }
b) 𝐵 − 𝐴 = { 1, 4, 8 }
c) 𝐴 ∩ 𝐵 = { 3, 7 }
d) 𝐴 ∪ 𝐵 = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 }
e) 𝐴 ∩ 𝐵’ =
𝐴 = { 2, 3, 5, 7 }
𝐵’ = { 2, 5, 6 }
𝐴 ∩ 𝐵’ = { 2, 5 }
f) 𝐵 ∩ 𝐴’ =
𝐵 = { 1, 3, 4, 7, 8 }
𝐴’ = { 1, 4, 6, 8 }
= { 1, 4, 8 }
2. Andaikan 𝑈 = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14}
𝐴 = {1, 2, 3, 5, 6}
𝐵 = {3, 4, 6, 7, 13}
𝐶 = {5, 6, 7, 8, 9, 10, 13}
Maka:
a) 𝐴 ∩ 𝐵 = { 3, 6 }
b) 𝐵 ∩ 𝐶 = { 6, 7, 13 }
c) 𝐶 ∩ 𝐴 = { 5, 6 }
d) 𝐴 ∪ 𝐵 = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 13 }
e) 𝐴 ∪ 𝐵 ∪ 𝐶 = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 13 }
f) 𝐴 ∩ 𝐵 ∩ 𝐶 = { 6 }
g) (𝐴 ∪ 𝐵) ∩ 𝐶 =⇒ ( 𝐴 ∪ 𝐵 ) = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 13 }
𝐶 = { 5, 6, 7, 8, 9, 10, 13 }
(𝐴 ∪ 𝐵) ∩ 𝐶 = { 5, 6, 7, 13 }

h) 𝐴’ ∩ 𝐵’ ∩ 𝐶 = 𝐴’ = { 4, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14 }
𝐵’ = { 1, 2, 5, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14 }
𝐶 = { 5, 6, 7, 8, 9, 10, 13 }
𝐴’ ∩ 𝐵’ ∩ 𝐶 = { 8, 9, 10, 13 }
i) 𝐴 ∩ 𝐵 ∩ 𝐶’ = 𝐴 ∩ 𝐵 = { 3, 6 }
𝐶’ = { 1, 2, 3, 4, 11, 12, 14 }
𝐴 ∩ 𝐵 ∩ 𝐶’ = { 3 }
3. Yang menunjukkan himpunan universal 𝑈 serta himpunan-
himpunan bagian 𝐴 dan 𝐵 untuk :
𝑈 = {𝑥 ; 3 < 𝑥 < 14}
𝐴 = {6, 7, 9, 10, 13}
𝐵 = {4, 5, 11}
Maka:
a) 𝐴 − 𝐵 = { 6, 7, 9, 10, 13 }
b) 𝐵 − 𝐴 = { 4, 5, 11 }
c) 𝐴 ∩ 𝐵 = 0
d) 𝐴 ∩ 𝐵’ = { 6, 7, 9, 10, 11, 13 }
e) 𝐴 ∪ 𝐵 = { 4, 5, 6, ,9, 10, 11, 13 }
f) 𝐴 ∪ 𝐵’ = { 6, 7, ,8, 9, 10, 12, 13 }
4. Berdasarkan hukum-hukum matematika dalam pengoperasian
himpunan sebagaimana tercantum pada daftar di muka,
sederhanakanlah pernyataan-pernyataan himpunan berikut :
a) 𝐵 ∪ (𝐵 ∪ 𝐴) = 𝐵 ∪ ( 𝐵 ∪ 𝐴 )
Hukum idempoten = ( 𝐵 ∪ 𝐵 ) = 𝐵
Hukum asosiatif = 𝐵 ∪ ( 𝐵 ∪ 𝐴 ) = ( 𝐵 ∪ 𝐵 ) ∪ 𝐴 = 𝐵 ∪ 𝐴
b) 𝐴 ∪ (𝐴 ∩ 𝐵) = 𝐴 ∪ ( 𝐴 ∩ 𝐴 ) ∩ ( 𝐴 ∪ 𝐵 )
= ∪ ∩ ( 𝐴 ∪ 𝐵 )
= 𝐴 ∪ 𝐵
= 𝐴

LATIHAN
Untuk soal-soal berikut, andaikan himpunan universal 𝑈 =
{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} sedangkan 𝑃 = {2, 4, 6, 8} dan 𝑄 = {0, 5, 9} serta
𝑅 = {3, 7, 9}. Tanpa menggunakan diagram Venn, tentukan:
1. (a) 𝑃
̅ (b) 𝑄
̅ (c) 𝑅
̅
2. (a) 𝑃 ∩ 𝑄 (c) 𝑃 ∩ 𝑅 (e) 𝑄 ∩ 𝑅
(b) 𝑃 ∪ 𝑄 (d) 𝑃 ∪ 𝑅 (f) 𝑄 ∪ 𝑅
3. (a) 𝑃 − 𝑄 (c) 𝑃 ∩ 𝑄
̅ (e) 𝑃 − (𝑄 − 𝑅)
(b) 𝑄 − 𝑃 (d) 𝑃
̅ ∩ 𝑄 (f) (𝑃 − 𝑄) − 𝑅
4. (a) 𝑃 ∪ (𝑄 ∩ 𝑅) (c) (𝑃 ∪ 𝑄) ∩ (𝑃 ∪ 𝑅) (b) 𝑃 ∩ (𝑄 ∪ 𝑅)
(d) (𝑃 ∩ 𝑄) ∪ (𝑃 ∩ 𝑅)
5. (a) 𝑃
̅ ∪ 𝑄
̅ (c) 𝑃
̅ ∩ 𝑄
̅
(b) (𝑃 ∪ 𝑄
̅̅̅̅̅̅̅̅) (d) (𝑃 ∩ 𝑄
̅̅̅̅̅̅̅̅)
6. Apabila 𝑈 adalah sebuah himpunan universal, tentukan mana yang
benar dan yang salah di antara pernyataan-pernyataan di bawah
ini:
(a) 𝐴 ∪ 𝐴̅ = 𝑈 (e) 𝐶 ∪ ∅ = 𝐶 (i) (𝐵
̅)
̅̅̅̅̅ = 𝑈
(b) 𝐴 ∩ 𝐴̅ = 𝐴 (f) 𝐶 ∩ 𝐶 = ∅ (j) (𝐴 − 𝐶) ∪
𝐶 = 𝐴 − 𝐶
(c) 𝐵 ∩ 𝑈 = 𝐵 (g) 𝐷 ∩ ∅ = ∅ (k) 𝐵 ∩
(𝐵 − 𝐷) = 𝐵 ∪ 𝐷
(d) 𝐵 ∪ 𝑈 = 𝑈 (h) 𝐷 ∩ 𝐷 = 𝐷 (l) (𝐴 ∪ 𝐷) −
𝐷 = 𝐴 − 𝐷

BAB 2
DERET
PENGERTIAN
Deret adalah rangkaian bilangan yang tersusun secara teratur dan
memenuhi kaedah-kaedah tertentu. Penggolongan deret :
A. Jumlah Suku Yang Membentuk
1. Deret berhingga
2. Deret tak berhingga
B. Dari Pola Perubahan
1. Deret hitung/Aritmatika
2. Deret ukur/geometri
DERET HITUNG
Deret yang perubahan suku-sukunya berdasarkan penjumlahan
terhadap sebuah bilangan tertentu
• Contoh:
7, 12, 17, 22, 27, 32
pembeda +5
(positif, > 0, disebut deret aritmatika naik)
• 93, 83, 73, 63, 53, 43
pembeda −10
(negatif, < 0 , disebut deret aritmatika turun)
SUKU KE-𝑵 DARI DERET HITUNG
• Rumus:
𝑺𝒏 = 𝒂 + (𝒏 − 𝟏) 𝒃
Dimana:
- 𝑆𝑛 : suku ke-𝑛
- 𝑎 : suku pertama
- 𝑏 : pembeda
- 𝑛 : indeks suku

• Contoh 7,12,17,22,27,32
𝑆10 = 𝑎 + (𝑛 − 1)𝑏
= 7 + (10 − 1) 5 = 7 + 45 = 52
JUMLAH SUKU KE-𝑵 SUKU DERET HITUNG
• Ada beberapa rumus 𝐽𝑛
𝐽𝑛 =
𝑛
2
{ 2𝑎 + (𝑛 − 1) 𝑏)}
𝐽𝑛 =
𝑛
2
(𝑎 + 𝑆𝑛)
𝑱𝒏 = 𝒏𝒂 +
𝒏
𝟐
(𝒏 − 𝟏) 𝒃
Dimana :
- 𝐽𝑛 : Jumlah n suku
- 𝑎 : suku pertama
- 𝑏 : pembeda
- 𝑆𝑛 : suku ke-𝑛
• Contoh: jumlah suku ke-10
𝑱𝒏 =
𝒏
𝟐
(𝒂 + 𝑺𝒏)
𝐽10 =
10
2
(7 + 𝑆10)
= 5 (7 + 52)
= 295
DERET UKUR
Deret ukur adalah yang perubahan suku-sukunya berdasarkan perkalian
terhadap sebuah bilangan tertentu.
Contoh:
5, 10, 20, 40, 80, 160 pengganda: 2
512, 256, 128, 64, 32, 16 pengganda : 0,5

SUKU KE-𝑵 DARI DERET UKUR
Rumus:
𝑺𝒏 = 𝒂𝒓𝒏−𝟏
Dimana:
𝑆𝑛 : Suku ke 𝑛
𝑎 : Suku pertama atau 𝑆1
𝑟 : pengganda/pengali kadang notasinya 𝑝
𝑛 : indeks suku
Contoh:
5,10,20,40,80, 160 (𝑟 = 2)
nilai suku ke-10 dari deret ukur diatas adalah:
𝑆10 = (5)(2)10−1
= (5) (2)9
= (5)(512) = 2560
JUMLAH 𝑵 SUKU DARI DERET UKUR
Terdapat dua rumus:
1. Untuk |𝑟| < 1
𝐽𝑛 =
𝑎(1 − 𝑟𝑛
)
1 − 𝑟
2. Untuk |𝑟| > 1
𝐽𝑛 =
𝑎(𝑟𝑛
− 1)
𝑟 − 1
Contoh:
5,10,20,40,80, 160 (𝑟 = 2)
Jumlah deret ukur sampai dengan suku ke-10 adalah
𝐽10 =
5(210
− 1)
2 − 1
=
5(1023)
1
= 5115

CONTOH SOAL
1. Dari sebuah deret hitung yang suku pertamanya 200 dan pembeda
antara suku-sukunya 25, hitunglah:
a. 𝑆10
Diketahui:
𝑎 = 200
𝑏 = 25
a. 𝑆𝑛 = 𝑎 + (𝑛 − 1) 𝑏
𝑆10 = 200 + (10 − 1) 25
= 200 + (9) 25
= 200 + 225
= 425.
b. 𝐽10
𝐽𝑛 =
𝑛
2
( 𝑎 + 𝑆𝑛 )
𝐽10 =
10
2
(200 + 425 )
= 5 (625)
= 3.125.
2. Apabila suku ke-3 dan suku ke-7 dari sebuah deret ukur masing-
masing adalah 800 dan 204.800, berapa:
(a) 𝑎? (c) 𝑆5?
(b) 𝑝? (d) 𝐽5?
Diketahui:
𝑆3 = 800; 𝑆7 = 204.800
a. 𝑆3 = 800
𝑎𝑝² = 800
𝑎 (42
) = 800
𝑎 =
800
42
𝑎 =
800
16
𝑎 = 50
b.
𝑆7
𝑆3
=
204.800
800

𝑃( 7−3 )
= 256
𝑃4
= 256
𝑃4
= 44
𝑝 = 4
c. 𝑆5 = 𝑆3 ∙ 𝑃²
= 800 ∙ 4²
= 800 ∙ 16
= 1.800
d. 𝐽5 =
𝑎 ( 𝑃𝑛 −1 )
𝑟−1
=
50 ( 45 −1 )
4 −1
=
50 ( 1.024 )
3
=
50 ( 1.023 )
3
=
51.150
3
= 1.705
LATIHAN
1. Dari sebuah deret hitung yang suku pertamanya 200 dan pembeda
antara suku-sukunya 25, hitunglah:
(a) 𝑆5 (b) 𝐽5
2. Hitunglah 𝑆4, 𝑆15 dan 𝐽10 dari suatu deret hitung yang suku
pertamanya 1000 dan pembeda antar-sukunya −50.
3. Jika 𝑎 = 100 dan 𝑆7 = 160, berapa:
(a) 𝑏? (c) 𝑛 untuk 𝑆𝑛 = 250?
(b) 𝑆11? (d) 𝐽16?
4. Jika 𝑆3 dan 𝑆7 dari sebuah deret hitung masing-masing adalah 50
dan 70, berapa:
(a) 𝑆1? (c) 𝐽5?
(b) 𝑆10? (d) 𝐽178?

5. Untuk 𝑆6 = 24.000 dan 𝑆10 = 18.000, hitunglah:
(a) 𝑏 (c) 𝐽21
(b) 𝑛 untuk 𝑆𝑛 = 0 (d) 𝐽22
6. Untuk 𝑆5 = 70 dan 𝐽7 = 462, hitunglah:
(a) 𝑎 (c) 𝑆12
(b) 𝑏 (d) 𝐽10
7. Berapa 𝑎 dan 𝑏 jika 𝐽3 = 180 dan 𝑆4 = 0?
8. Deret hitung 𝑋 mempunyai nilai 𝑎 = 180 dan 𝑏 = −10. Sedangkan
deret hitung 𝑌 mempunyai nilai 𝑎 = 45 dan 𝑏 = 5. Pada suku
keberapa kedua deret ini mempunyai nilai yang sama?
9. Suku pertama deret hitung 𝑀 adalah 75 dan pembedanya 10,
sementara suku ke-6 deret hitung 𝑁 adalah 145 dan pembedanya
5. Carilah 𝑛 yang memberikan nilai yang sama bagi suku-suku
kedua deret tersebut.
10. Dari sebuah deret ukur yang suku-sukunya 10, 30, 90, 270, …,
hitunglah
(a) 𝑆6 (d) 𝐽6
(b) 𝑆10 (e) 𝐽10
(c) 𝑆15 (f) 𝐽15
11. Pengganda sebuah deret ukur diketahui sebesar 5. Jika 𝑆6 = 6.250,
hitunglah:
(a) 𝑆1 (c) 𝐽5
(b) 𝑆8 (d) 𝐽8
12. Hitunglah:
(a) 𝑆5 (c) 𝑆6
(b) 𝐽5 (d) 𝐽6
dari sebuah deret ukur yang suku awalnya 3 dan 𝑝 = −2.

13. Deret ukur 𝑋 mempunyai nilai 𝑎 = 512 dan 𝑝 = 0,5, sedangkan
deret ukur 𝑌 mempunyai nilai 𝑆3 = 16 dan 𝑝 = 4. Pada suku
keberapa nilai suku-suku dari kedua deret ini sama?
14. Sebuah deret hitung memiliki nilai-nilai 𝑎 = 4.484 dan 𝑏 = 1.234.
sementara itu pada saat yang sama, sebuah deret ukur mempunyai
nilai-nilai 𝑆5 = 486 dan 𝑆10 = 118.098.
(a) Pada suku keberapa suku-suku dari kedua jenis deret ini
sama?
(b) Mana yang lebih besar antara 𝑆5 DH dan 𝑆5 DU dalam kasus
ini?

BAB 3
BARISAN
PENGERTIAN
Baris merupakan susunan bilangan yang dibentuk menurut suatu
urutan tertentu.
BARISAN ARITMATIKA
Barisan aritmatika adalah suatu barisan bilangan yang selisih setiap dua
suku yang berurutan selalu merupakan bilangan tetap (konstan).
Bilangan yang tetap tersebut disebut dengan beda yang dinotasikan
dengan 𝑏.
𝑺𝒏 = 𝒂 + (𝒏 − 𝟏)𝒃
Dimana:
𝑆𝑛 = suku ke-𝑛
𝑎 = suku pertama
𝑏 = Beda yang sama
𝑛 = Banyaknya suku
Contoh
3, 7, 11, 15, 19, …
Pada barisan ini, barisan selanjutnya dapat diperoleh dari suku
sebelumnya yang ditambah dengan bilangan 4. Yang artinya bahwa nilai
beda pada barisan tersebut adalah 4 atau dapat ditulis dengan 𝑏 = 4.
Carilah suku ke 10 dari barisan diatas
Penyelesaian:
Diket : 𝑎 = 3, 𝑏 = 4, 𝑛 = 10
𝑆10 = 3 + (10 − 1)4
= 3 + 36
= 39

BARISAN GEOMETRI
Barisan geometri adalah susunan bilangan yang dibentuk menurut
urutan tertentu, dimana susunan bilangan di antara dua suku yang
berurutan mempunyai rasio yang tetap. Untuk lebih memahami tentang
barisan geometri, kita lihat barisan berikut ini
terlebih dahulu.
𝟑, 𝟏𝟐, 𝟒𝟖, 𝟏𝟗𝟐, … .
Ternyata bilangan pengali dari barisan tersebut adalah 4.
Empat merupakan pengali atau rasio yang biasa disingkat dengan 𝑟.
𝐒𝐧 = 𝐚𝐫𝐧−𝟏
𝒔𝒏 = suku ke-𝑛
𝒂 = suku pertama
𝒓 = Rasio yang tetap
𝒏 = Banyaknya suku
Contoh
Carilah suku ke-8 dari barisan geometri dengan mana suku pertama
adalah 16 dan rasionya adalah 2.
Penyelesaian:
Diket : 𝑎 = 16, 𝑟 = 2 dan 𝑛 = 8
𝑺𝟖 = 𝒂𝒓𝟕
= 𝟏𝟔(𝟐)𝟕
= 2048.
Carilah suku ke-11 dalam suatu barisan geometri dimana suku ke-4
adalah 24 dan suku ke-9 adalah 768.
Penyelesaian:
Diket: 𝑆4=𝑎𝑟3
= 24 dan 𝑆9=𝑎𝑟8
= 768
Jadi,
𝑎𝑟8
𝑎𝑟3
=
768
24
= 𝑟5
= 32 atau 𝑟 = 2
Kenapa
𝑎𝑟8
𝑎𝑟3
selisisihnya 5
𝑟 = 2 karena 25
= 32
𝑎𝑟3
= 24 dan 𝑟 = 2, maka 𝑎 =
24
𝑟3
=
24
23
=
24
8
= 3 (𝑎)
Dengan demikian, 𝑆11 = 𝑎𝑟10
= 3(2)10
= 3072.

LATIHAN
1. Carilah suku ke-27 dari barisan aritmatika :
a. 15, 13, 11, 9, . ..
b. −8, −4,0,4, . ..
2. Suku ke-3 dan suku ke-16 dari barisan aritmatika adalah 13 dan 78.
Tentukanlah suku pertama dan bedanya. Berapakah 𝑆3 dan 𝐷3.
3. Terdapat 60 suku dalam barisan aritmatika yang mana suku
pertama adalah 9 dan suku terakhir adalah 127. Tentukanlah 𝑆31
dan 𝐷10.
4. Jumlah dari tiga bilangan dalam suatu barisan aritmatika adalah 15
dan jumlah kuadratnya adalah 83. Carilah bilangan-bilangan itu?
5. Jumlah dari tiga bilangan dalam suatu barisan aritmatika adalah 33
dan jumlah kuadrat dari dua perbedaan adalah 244. Carilah
bilangan-bilangan itu.
6. Carilah jumlah dari:
a. 40 bilangan bulat positif ganjil yang pertama.
b. 25 bilangan bulat positif genap yang pertama.
c. 60 bilangan positif yang pertama.
7. Susan berlari 2 mil pada hari pertama, kemudian dia meningkatkan
larinya dengan 0,5 mil setiap hari.
a. Berapa mil yang akan dia tempuh/berlari pada hari ke-10?
b. Berapa jauh yang telah dia tempuh/berlari dari permulaan
sampai pada akhir hari ke-15?
8. Nita memulai suatu perkiraan tabungan dengan mendepositokan
Rp200.000,- pada minggu pertama dan pada setiap minggu
berikutnya dia mendepositokan lebih dari Rp50.000,- dibandingkan
dengan minggu sebelumnya. Berapakah uang yang akan dia peroleh
setelah 10 minggu? (tanpa bunga)

9. Seorang penjual disuatu “department store” telah menjual
produknya seharga Rp200.000 pada hari pertama. Pada hari kerja
berikutnya dia menjual lebih dari Rp20.000 dibandingkan dengan
hari sebelumnya. Berapakah jumlah penjualan selama 15 hari?
10. Seorang mahasiswa memulai suatu perkiraan tabungannya dengan
mendepositokan Rp. 100.000,-. Setiap bulan berikutnya dia
mendepositokan Rp. 25.000,-. Berapakah jumlah total tabungannya
pada akhir tahun kedua?
11. Ayah Imelda telal menyimpan uang sebanyak Rp. 4.050.000,- dalam
rekening tabungan di suatu bank umum. Kemudian dia mengambil
uangnya sebanyak Rp. 25.000,- pada minggu pertama; Rp. 30.000,-
pada minggu kedua; Rp. 35.000,- pada minggu ketiga; dan minggu
seterusnya meningkat mengikuti pola sebelumnya hingga uangnya
habis,
a. Berapa banyak uang yang dia ambil dari rekening tabungannya
pada minggu ke-10?
b. Berapa banyak uang dalam rekening taungannya setelah 18
minggu?
c. Berapa minggukah yang harus dia ambil agar rekening
tabungannya habis?
12. Carilah suku ke-10 pada masing-masing barisan berikut ini.
a. 2, 6, 18, 54, …
b. 1,
2
3
,
4
9
,
8
27
, …
c. 1, 4, 16, 64, …
d. 1, 1,05, (105)2
, (1,05)3
, …
e. 1,
1
2
,
1
4
,
1
8
, …
13. Tentukanlah barisan geometri yang suku ke-5-nya adalah 80 dan
suku ke-8-nya adalah 640. Carilah suku pertamanya? Berapa nilai
rasio (𝑟)? Berapa nilai suku ke-3?

14. Tentukanlah barisan geometri yang suku ke-3-nya adalah kuadrat
dari suku pertama dan suku ke-5 adalah 64.
15. Carilah tiga bilangan dalam suatu barisan geometri yang
perkaliannya adalah 27 dan penjumlahannya adalah 13.
16. Carilah tiga bilangan dalam suatu barisan geometri, misalkan bahwa
penjumlahannya adalah 21 dan perkaliannya adalah 216.
17. Carilah jumlah dari enam suku pertama pada setiap barisan berikut
ini.
a. 2, 10, 50, 250, …
b. 3, 9, 27, 81, …
c. 6, 3,
3
2
,
3
4
, …
d. 16, 8, 4, 2, …
18. Carilah 𝑆8 dan 𝐷8 jika diketahui suku pertama dan rasio konstannya
sebagai berikut.
a. 𝑎 = 3; 𝑟 = 2
b. 𝑎 = 2; 𝑟 = 3
c. 𝑎 = 27; 𝑟 =
1
3
d. 𝑎 = 1; 𝑟 =
1
3
19. Keuntungan dari suatu toko bahan makanan telah menunjukkan
kenaikan 5% secara tahunan (pertahun). Asumsi bahwa pasar saat
ini cenderung kontinu, berapa keuntungan per tahun toko tersebut
di tahun ke-3, jika diketahui bahwa keuntungan tahun pertama
Rp150.000,-? Tentukanlah juga jumlah keuntungan total untuk lima
tahun pertama?
20. Pengeluaran dari perusahaan Herman untuk mengawasi polusi
udara adalah Rp125.000,- di tahun 1995. Dengan asumsi bahwa
pengeluaran meningkat 6% per tahun. Berapa pengeluaran tahunan
perusahaan tersebut pada tahun 2000? Berapa total yang
dikeluarkan dari tahun 1995 sampai tahun 2000?

21. Tentukanlah 𝑛 dan 𝑆𝑛 dalam barisan geometri yang suku
pertamanya 3 dan rasio konstan 2, serta suku ke-𝑛 384.
22. Carilah enam suku pertama dari barisan geometri jika diketahui
setiap nilai 𝑎 dan 𝑟 di bawah ini.
a. 𝑎 = 2; 𝑟 =
1
2
b. 𝑎 = 12, 𝑟 =
1
3
c. 𝑎 = 10, 𝑟 =
1
4
d. 𝑎 = 6; 𝑟 = −
1
2
e. 𝑎 = 4; 𝑟 =
1
3
23. Carilah nilai dari deret geometri untuk empat bilangan pertama dari
setiap barisan geometri dengan 𝑎 dan 𝑟 diketahui di bawah ini.
a. 𝑎 = 4; 𝑟 =
1
4
b. 𝑎 = 4; 𝑟 = −
1
4
c. 𝑎 = 8; 𝑟 =
3
2
d. 𝑎 = 10; 𝑟 = −2
e. 𝑎 = 15; 𝑟 =
1
3

BAB 4
TIME VALUE OF MONEY
KONSEP DASAR TIME VALUE OF MONEY
Konsep ini berbicara bahwa nilai uang satu juta yang Anda punya
sekarang tidak sama dengan satu juta pada sepuluh tahun yang lalu atau
sepuluh tahun kemudian. Sebagai contohnya:
Jika sepuluh tahun lalu dengan satu juta, Anda bisa membeli satu
motor Honda produk PT Astra International Tbk (ASII). Maka
sekarang dengan jumlah uang yang sama hanya bisa membeli dua
rodanya saja. Sepuluh tahun kemudian, uang satu juta tadi
mungkin hanya bisa untuk membeli helm motor saja.
Konsep time value of money ini sebenarnya ingin mengatakan bahwa
jika Anda punya uang sebaiknya diinvestasikan, sehingga nilai uang itu
tidak menyusut dimakan waktu. Sebab jika uang itu didiamkan ditaruh
di bawah bantal brankas atau lemari besi maka uang itu tidak bekerja
dan karenanya nilainya semakin lama semakin turun
BUNGA SEDERHANA
Bunga merupakan suatu balas jasa yang dibayarkan bilamana kita
menggunakan uang. Jika kita meminjam uang dari bank maka kita
membayar bunga kepada pihak bank tersebut, Jika kita
menginvestasikan uang berupa tabungan atau deposito di bank maka
bank membayar bunga kepada kita. Jumlah uang yang dipinjamkan atau
diinvestasikan di bank disebut modal awal atau pinjaman pokok
(principal).
Jika ada syarat 𝟐/𝟏𝟎, 𝒏/𝟑𝟎 artinya apa?
Bunga dilihat dari satu pihak merupakan pendapatan tetapi di lain
pihak merupakan biaya. Di pihak yang meminjamkan merupakan
pendapatan, sedang di pihak yang meminjam merupakan biaya.
Misalkan kita berinvestasi 𝑝 rupiah dengan suku bunga tahunan i, maka
pendapatan bunga pada akhir tahun pertama adalah 𝑃𝑖.

Sehingga nilai akumulasi tahun pertama adalah 𝑷 + 𝑷𝒊. Pada
akhir tahun kedua adalah 𝑃 + 𝑃(2𝑖) Pada akhir tahun ketiga adalah 𝑃 +
𝑃(3𝑖). Demikian seterusnya sampai pada akhir tahun ke n nilai
akumulasinya adalah 𝑷 + 𝑷(𝒏𝒊). Jadi pendapatan hanya didapatkan dari
modal awal saja setiap akhir tahun.
Nilai dari pendapatan bunga ini tetap setiap tahunnya. Pendapatan
bunga menurut metode ini dinamakan bunga sederhana dan dapat
dinyatakan dengan rumus berikut:
𝑰 = 𝑷 ∙ 𝒊 ∙ 𝒏
Dengan
𝐼 = Jumlah pendapatan bunga
𝑃 = Pinjaman pokok atau jumlah investasi
𝑖 = tingkat bunga tahunan
𝑛 = jumlah tahun
Nilai dari modal awal pada akhir periode ke-𝑛 (𝐹𝑛) adalah jumlah
dari modal awal P ditambah pendapatan bunga selama periode waktu
ke-n
𝑭𝒏 = 𝑷 + 𝑷𝒊𝒏 atau 𝑭𝒏 = 𝑷(𝟏 + 𝒊𝒏)
Contoh
Hitunglah pendapatan bunga sederhana dan berapa nilai yang
terakumulasi di masa datang dari jumlah uang sebesar Rp 50.00.000
yang diinvestasikan di bank selama empat tahun dengan bunga 12% per
tahun.
Penyelesaian:
Diket : 𝑃 = 50.000.000, 𝑛 = 4, 𝑖 = 12% per tahun
Rumus pendapatan bunga:
𝐼 = 𝑃𝑖𝑛
𝐼 = 50.000.000 (4)(0,12)
= 24.000.000
Nilai yang terakumulasi di masa datang pada tahun ke-4 (𝐹4) :
𝐹
𝑛 = 𝑃 + 𝑃𝑖𝑛
𝐹4 = 50.000.000 + 24.000.000
= 74.000.000

POTONGAN SEDERHANA
Proses yang digunakan untuk memperoleh perhitungan nilai sekarang
dari suatu nilai masa datang tertentu. Bila nilai dari masa datang (𝐹
𝑛),
tingkat bunga (𝑖) dan jumlah tahun (𝑛) telah diketahui, maka rumus
untuk memperoleh nilai sekarang (𝑃)
𝑷 =
𝑭𝒏
(𝟏 + 𝒊𝒏)
atau 𝑷 = 𝑭𝒏 [
𝟏
(𝟏 + 𝒊𝒏)
]
Dimana
𝑃 = Nilai sekarang
𝐹
𝑛 = Nilai masa datang tahun ke-𝑛
𝑖 = tingkat bunga
𝑁 = jumlah tahun
Contoh
Nonal Lisa ingin mengetahui berapa banyak nilai uang yang harus
diinvestasikan di Bank saat ini, jika tingkat bunga di Bank per tahun 15
persen (bukan bunga majemuk) agar supaya pada akhir tahun keempat
nilai uangnya menjadi 𝑅𝑝. 20.000.000.
Penyelesaian:
Diketahui: 𝐹
𝑛 = 𝑅𝑝. 20.000.000; 𝑖 = 0,15 per tahun; 𝑛 = 4.
𝑃 =
𝐹
𝑛
(1 + 𝑖𝑛)
=
20.000.000
(1 + 4(0,15))
= 12.500.000.
BUNGA MAJEMUK
Untuk mengetahui nilai sekarang dengan bunga majemuk dari suatu
nilai masa depan adalah,
𝑷 =
𝑭𝒏
(𝟏 + 𝒊)𝒏
Dimana :
𝑃 = nilai sekarang
𝐹
𝑛 = nilai masa depan tahun ke-n
𝑖 = tingkat bunga per tahun
n = jumlah tahun

Contoh
Jika Bapak James mendepositokan uangnya di Bank sebesar
𝑅𝑝 50.000.000 dengan tingkat bunga yang belaku 12% per tahun
dimajemukkan, berapa nilai total deposito Bapak James pada akhir
tahun keempat? Berapa banyak pula pendapatan bunganya?
Penyelesaian :
Diketahui: 𝑃 = 𝑅𝑝. 50.000.000; 𝑖 = 0.12 per tahun; 𝑛 = 4
𝐹
𝑛 = 𝑃(1 + 𝑖)𝑛
𝐹4 = 50.000.000(1 + 0,12)4
= 50.000.000(1,12)4
= 78.675.968
PEMBAYARAN > 𝟏 KALI
Jika pembayaran bunga lebih dari satu kali dalam setahun melainkan 𝑚
kali, maka nilai masa datangnya adalah
𝑭𝒏 = 𝑷 (𝟏 +
𝒊
𝒎
)
(𝒏)(𝒎)
Dimana
𝐹
𝑛 = Nilai masa datang
𝑃 = Nilai sekarang
𝑖 = bunga per tahun
𝑚 = frekuensi pembayaran per tahun
𝑛 = jumlah tahun
Contoh
Nona arfina ingin menabung uangnya 𝑅𝑝. 50.000.000 di bank dengan
tingkat bunga yang kemudian jika dibunga-majemukkan secara:
a. Semesteran
b. Kuartalan
c. Bulanan
d. Harian
Penyelesaian:
Diket: 𝑃 = 50.000.000, 𝑖 = 12% per tahun, 𝑛 = 4

a) Bunga majemuk secara semesteran
𝐹
𝑛 = 𝑃 [1 +
𝑖
𝑚
]
(𝑛)(𝑚)
𝐹4 = 50.000.000 [1 +
0,12
2
]
(4)(2)
𝐹4 = 50.000.000(1 + 0,06)8
𝐹4 = 50.000.000(1,59385)
= 79.692.403,73 .
b) Bunga majemuk secara kuartalan (𝑚 = 4)
𝐹4 = 50.000.000 [1 +
0,12
4
]
(4)(4)
= 50.000.000 (1 + 0,03)16
= 50.000.000 (1,604706)
= 80.235.321,95 .
c) Bunga majemuk secara bulanan (𝑚 = 12)
𝐹4 = 50.000.000 [1 +
0,1
12
] (4)(12)
= 50.000.000 (1 + 0,01)48
= 50.000.000 (1,612226)
= 80.611.303,88 .
d) Bunga majemuk secara harian (𝑚 = 365)
𝐹4 = 50.000.000 [1 +
0,12
365
]
(4)(365)
= 50.000.000 (1 = 0,000333)1460
= 50.000.000 (1,615947)
= 80.797.346,01 .

NILAI SEKARANG DENGAN BUNGA MAJEMUK
𝑷 =
𝑭𝒏
(𝟏 + 𝒊)𝒏
𝟏
(𝟏 + 𝒊)𝒏
]
Dimana :
𝑃 = nilai sekarang
𝐹
𝑛 = nilai masa datang tahun ke-n
𝑖 = tingkat bunga per tahun
𝑛 = jumlah tahun
Pembayaran Bunga Majemuk pada Nilai Sekarang Dilakukan Beberapa
Kali
𝑷 =
𝑭𝒏
[𝟏 +
𝒊
𝒎
]
(𝒏)(𝒎)
𝟏
(𝟏 +
𝒊
𝒎
)
(𝒏)(𝒎)
]
CONTOH SOAL
1. 𝑃 = 4.500.000, 𝑛 = 3 tahun, i= 10% cari nilai masa depan bunga
sederhana
Jawab : 𝑃 = 4.500.000
𝑛 = 3 th
𝐼 = 10% ( 0, 01 )
𝐹3 = 𝑃 (1 + 𝑖) 𝑛
= 4.500.000 (1 + 0,01) 3
= 4.500.000 (1, 01) 3
= 4.500.000 (3, 03)
= 13.635.000 .
2. 𝐹
𝑛 = 8.850.000, 𝑛 = 18 bulan, 𝑖 = 12% cari nilai sekarang bunga
sederhana
Jawab : 𝐹
𝑛 = 8.850.000
𝑛 = 18 bln
𝐼 = 12% ( 0,12 )
𝑃 =
𝐹𝑛
( 1+𝑖 )

=
8.850.000
( 1 + ( 0,12 )( 1,5 ))
=
8.850.000
( 1 + 0,18 )
=
8.850.000
( 1,18 )
= 7.500.000 .
3. Hitunglah nilai masa depan bunga majemuk, 𝑃 = 50.000.000, 𝑛 =
2𝑡ℎ, 𝑖 = 8%.
Jawab : 𝑃 = 50.000.000
𝑛 = 2 th
𝐼 = 8% (0, 8)
𝐹2 = P (1 + i)𝑛
= 50.000.000 (1 + 0, 8) ²
= 50.000.000 (1, 08) ²
= 50.000.000 (1, 664)
= 58.320.000 .
4. Hitunglah nilai sekarang dengan bunga majemuk, 𝐹
𝑛 =
500.000.000, 𝑛 = 2𝑡ℎ, 𝑖 = 8%
Jawab : 𝐹
𝑛 = 500.000.000
𝑛 = 2 𝑡ℎ
𝐼 = 8% (0, 8)
𝑃 =
𝐹𝑛
(1+𝑖)𝑛
=
500.000.000
(1 + 0, 8)²
=
500.000.000
(1, 08)²
=
500.000.000
(1,1664)
= 428.669.410,15089

LATIHAN
Hitunglah nilai masa depan (𝐹
𝑛) dari masing-masing nilai sekarang (𝑃),
jumlah tahun (𝑛), dan tingkat bunga sederhana (simple interest) pada
soal di bawah ini. Jika:
1. 𝑃 = Rp2.000.000,-; 𝑛 = 2 tahun; 𝑖 = 5 persen per tahun
2. 𝑃 = Rp5.000.000,-; 𝑛 = 18 bulan; 𝑖 = 6 persen per tahun
Hitunglah nilai masa datang (𝐹
𝑛) dan pendapatan bunganya (𝐼) dari
masing-masing nilai sekarang (𝑃), jumlah tahun (𝑛), dan tingkat bunga
sederhana (simple interest) pada soal di bawah ini. Jika:
Hitunglah nilai sekarang/modal awal (𝑃
𝑛) dari masing-masing nilai
masa dating (𝐹), jumlah tahun (𝑛), dan tingkat bunga sederhana (simple
interest) pada soal di bawah ini, jika:
9. 𝐹 = Rp2.200.000,-; 𝑛 = 8 bulan; 𝑖 = 15 persen per tahun
10. 𝐹 = Rp5.375.000,-; 𝑛 = 9 bulan; 𝑖 = 10 persen per tahun
11. 𝐹 = Rp4.450.000,-; 𝑛 = 18 bulan; 𝑖 = 7,5 persen per tahun
12. 𝐹 = Rp25.000.000,-; 𝑛 = 3 tahun; 𝑖 = 6 persen per tahun
Hitunglah nilai masa depan (𝐹
𝑛) dari masing-masing nilai sekarang (𝑃),
jumlah tahun (𝑛), dan tingkat bunga majemuk (compound interest)
pada soal di bawah ini, jika:

Hitunglah nilai sekarang (𝑃
𝑛) dari setiap nilai masa dating (𝐹), jumlah
tahun (𝑛), dan tingkat bunga majemuk (compound interest) pada soal di
bawah ini.

BAB 5
FUNGSI LINIER
❖ Fungsi linear adalah suatu fungsi yang membentuk grafik garis
lurus.
❖ Fungsi linear disebut fungsi yang pangkat tertinggi variabelnya
sama dengan satu.
❖ Fungsi linear:
𝒇(𝒙) = 𝒂𝒙 + 𝒃, 𝒂 ≠ 𝟎.
❖ Contoh:
𝑓(𝑥) = 𝑥 + 3, 𝑎 = 1, 𝑏 = 3 .
𝑓(𝑥) = −2𝑥 − 1, 𝑎 = −2, 𝑏 = −1 .
𝑓(𝑥) = −𝑥, 𝑎 = −1, 𝑏 = 0
❖ Penjelasan
𝑎 dan 𝑏 adalah konstanta, sementara 𝑥 adalah variabel. Dari contoh
diatas dapat diketahui bahwa nilai 𝑎 berasal dari angka yang dikali
dengan 𝑥, sementara 𝑏 angka yang menemaninya dalam
penjumlahan atau pengurangan.
Contoh
Sebuah taksi menetapkan tarif awal sebesar Rp10.000 dan
diteruskan dengan tarif selanjutnya sebesar Rp5000 per km. Anton
menyewa taksi tersebut dan menempuh perjalanan sejauh 10 km.
Biaya yang perlu Anton keluarkan untuk membayar taksi adalah?
Penyelesaian
Misalkan: Tarif taksi = 𝑓(𝑥); Tarif per km = 𝑥
Maka:
𝑓(𝑥) = 5.000𝑥 + 10.000
𝑓(10) = 10 ∙ 5.000 + 10.000
𝑓(10) = 50.000 + 10.000
𝑓(10) = 60.000
Jadi biaya yang Anton perlu keluarkan untuk membayar taksi adalah
𝑅𝑝60.000.

PENERAPAN FUNGSI LINIER
Adalah suatu fungsi yang sangat sering digunakan oleh para ahli
ekonomi dan bisnis dalam menganalisa dan memecahkan masalah-
masalah ekonomi.
Fungsi Permintaan
Dalam cakupan materi ekonomi, salah satu hukumnya
menyatakan bahwa harga dan jumlah produk pada fungsi
permintaan akan selalu berkebalikan (berbanding terbalik).
Logika dari hukum ini bisa dilihat pada contoh kehidupan nyata.
Sebagai contoh, misalkan kamu adalah pelanggan sebuah produk
(𝑅), pada saat harganya turun secara otomatis pasti ingin membeli
dengan jumlah lebih banyak. Secara tidak langsung kamu akan
meningkatkan jumlah permintaan.
Dari contoh tersebut bisa diketahui bahwa kemiringan kurva
fungsi permintaan akan condong ke kiri atau dengan kata lain
gradiennya bernilai negatif. Rumus perhitungan fungsi permintaan
adalah:
𝑷 − 𝑷𝟏
𝑷𝟐 − 𝑷𝟏
=
𝑸 − 𝑸𝟏
𝑸𝟐 − 𝑸𝟏
Dimana:
𝑃 = Harga Produk 𝑄 = Jumlah Produk
𝑃1 = Harga Awal 𝑄1 = Jumlah Awal
𝑃2 = Harga Terubah 𝑄2 = Jumlah Terubah
Contoh
Saat sebuah produk memiliki sebesar 100.000/unit, maka jumlah
permintaannya sebanyak 20 unit. Namun ketika harganya turun
menjadi 80.000/unit, jumlah permintaannya menjadi 40 unit.
Tentukan fungsi permintaan dari contoh di atas ?
Pembahasan:
𝑃 − 𝑃1
𝑃2 − 𝑃1
=
𝑄 − 𝑄1
𝑄2 − 𝑄1
𝑃 − 100.000
80.000 − 100.000
=
𝑄 − 20
40 − 20

𝑃 − 100.000
−20.000
=
𝑄 − 20
20
20 (𝑃 − 100.000) = −20.000 (𝑄 − 20)
20𝑃 − 2.000.000 = −20.000 𝑄 + 400.000
20𝑃 = −20.000 + 400.000 + 2.000.000
20𝑃 = −20.000 𝑄 + 2.400.000
𝑃 = −1.000 𝑄 + 120.000
Jadi fungsi permintaan dari contoh diatas adalah
𝑃 = −1.000 + 120.000 = 120.000 − 1.000 𝑄
Dari contoh soal tersebut, bisa diketahui bahwa pada fungsi
permintaan, harga (𝑃) akan semakin turun dari nilai awal 80.000
jika jumlah produk (𝑄) terus meningkat.
Fungsi Penawaran
Fungsi penawaran sendiri merupakan kebalikan dari fungsi
permintaan. Dimana hukumnya mempunyai kaidah berbanding
lurus antara harga dengan jumlah produknya atau dengan kata
lain keduanya akan meningkat secara serentak.
Contoh pemikiran logisnya begini, jika kamu adalah seorang
penjual, maka ketika produkmu harganya naik tentu saja kamu
akan meningkatkan ketersediaan produkmu di pasaran.
Harapannya adalah meningkatnya hasil penjualan.Contoh itu bisa
memberi gambaran bahwa kurva fungsi penawaran memiliki
gradien positif atau kurvanya condong ke kanan. Dalam
perhitungannya, rumus fungsi penawaran menggunakan rumus
yang sama dengan fungsi permintaan.
Contoh
Saat produk 𝐸 memiliki harga sebesar 40.000/unit, jumlah
penawarannya sebanyak 100 unit. Namun ketika harga
melambung menjadi 60.000/unit, jumlah permintaannya menjadi
200 unit. Tentukanlah fungsi penawaran dari contoh di atas!
Pembahasan:
𝑃 − 𝑃1
𝑃2 − 𝑃1
=
𝑄 − 𝑄1
𝑄2 − 𝑄1

𝑃 − 40.000
60.000 − 40.000
=
𝑄 − 100
200 − 100
𝑃 − 40.000
20.000
=
𝑄 − 100
100
100(𝑃 − 40.000) = 20.000(𝑄 − 100)
100𝑃 − 4.000.000 = 20.000𝑄 − 2.000.000
100𝑃 = 20.000𝑄 − 2.000.000 − (−4.000.000)
100𝑃 = 20.000𝑄 + 2.000.000
𝑃 = 200𝑄 + 20.000
𝑃 = 20.000 + 200𝑄
Jadi fungsi penawaran dari contoh di atas adalah 𝑃 = 20.000 +
200𝑄.
Berdasarkan contoh soal fungsi di atas, bisa disimpulkan bahwa
jika jumlah produk (𝑄) naik maka harga (𝑃) juga semakin tinggi
atau sebaliknya.
Titik Ekuilibrium Kedua Fungsi
Keterkaitan fungsi permintaan dan fungsi penawaran terletak
pada satu titik pertemuan. Istilah atau nama dari titik pertemuan
kurva kedua fungsi tersebut adalah titik keseimbangan atau
Ekuilibrium. Jika diubah menjadi bahasa inggris kata ekuilibirum
akan menjadi equilibrium. Ekuilibrium terjadi saat kedua fungsi
memiliki hasil yang sama atau 𝑷/𝑸 (𝒑𝒆𝒓𝒎𝒊𝒏𝒕𝒂𝒂𝒏) =
𝑷/𝑸 (𝒑𝒆𝒏𝒂𝒘𝒂𝒓𝒂𝒏).
Perhatikanlah contoh soal berikut ini.
Fungsi permintaan, 𝑃𝑑 = 10.000 − 5𝑄
Fungsi penawaran, 𝑃
𝑠 = 2.000 + 3𝑄
Tentukan Equilibrium dari kedua fungsi di atas.
𝑃𝑑 = 𝑃𝑆
10.000 − 5𝑄 = 2000 + 3𝑄
10.000 − 2.000 = 3𝑄 + 5𝑄
8.000 = 8𝑄
𝑄 = 1.000
Karena 𝑄 = 1.000, maka

𝑃 = 10.000 − 5𝑄
𝑃 = 10.000 − 5(1.000)
𝑃 = 10.000 − 5.000
𝑃 = 5.000
Jadi Equilinrium terjadi ketika 𝑃 sebesar 5.000 sedangkan 𝑄
sebesar 1.000.
Fungsi Keseimbangan
Keseimbangan pasar (market equilibrium) adalah bertemunya
kesepakatan harga antara penjual dan pembeli. Keseimbangan
pasar dapat dihitung dengan 3 cara :
❖ Menggunakan tabel
Untuk mencari keseimbangan harga dan jumlah, diperlukan
tabel yang berisi:
𝑃 = Harga
𝑄𝑑 = Jumlah yang diminta
𝑄𝑠 = Jumlah yang ditawarkan
Berikut contoh kasusnya
𝑃
(per
mangkok
dalam
rupiah)
Qd
(dalam
unit)
𝑄𝑠
(dalam
unit)
Sifat interaksi
10.000 200 120 Kelebihan Permintaan
13.000 180 140 Kelebihan Permintaan
16.000 160 160 Keseimbangan Harga
18.000 140 180 Kelebihan Penawaran
20.000 120 200 Kelebihan Penawaran
Dari tabel tersebut dapat terlihat pada harga, berapa jumlah
harga yang diminta (𝑄𝑑) sama dengan jumlah yang ditawarkan
(𝑄𝑠) sehingga dapat menentukan keseimbangan Harga.

❖ Menggunakan kurva
❖ Menggunakan rumus
Rumus Keseimbangan Pasar
𝑷𝒆𝒓𝒎𝒊𝒏𝒕𝒂𝒂𝒏 (𝑫𝒆𝒎𝒂𝒏𝒅) = 𝑷𝒆𝒏𝒂𝒘𝒂𝒓𝒂𝒏 (𝑺𝒖𝒑𝒑𝒍𝒚)
𝑸𝒅 = 𝑸𝒔 = 𝑸𝑬
𝑷𝒅 = 𝑷𝒔 = 𝑷𝑬
Dimana:
𝑄𝑑 = Jumlah yang diminta
𝑄𝑠 = Jumlah yang ditawarkan
𝑃𝑑 = Harga yang diminta
𝑃
𝑠 = Harga yang ditawarkan
𝐸 = Titik keseimbangan
Contoh
Fungsi permintaan barang menunjukkan 𝑄𝑑 = 40 − 𝑃, dan
fungsi penawaran barang menunjukkan 𝑄𝑠 = 4𝑃 − 50. Berapa
harga dan jumlah keseimbangan pasar?
Penyelesaian:
𝑄𝑑 = 𝑄𝑠
40 − 𝑃 = 4𝑃 − 50
−𝑃 − 4𝑃 = −50 − 40
−5𝑃 = −90

𝑃 = 18
Dengan demikian ditemukan harga (𝑃) keseimbangan pasar
adalah 18.
Selanjutnya untuk mencari jumlah (𝑄), masukkan 𝑃 ke dalam
salah satu fungsi persamaan di atas.
𝑄 = 40 − 𝑃
𝑄 = 40 − 18
𝑄 = 22
Jadi, jumlah (𝑄) keseimbangan pasar sebesar 22.
PERSAMAN LINEAR
Persamaan linier adalah sebuah persamaan aljabar, yang tiap sukunya
mengandung konstanta, atau perkalian konstanta dengan variabel
tunggal.
𝒚 = 𝒎𝒙 + 𝒃.
Dalam hal ini, konstanta 𝑚 menggambarkan kemiringan garis, dan
konstanta 𝑏 adalah perpotongan sumbu 𝑦.
Metode Penyelesaian Persamaan Linier ada 4 macam
1. Metode Substitusi
2. Metode Eliminasi
3. Metode Campuran (eliminasi dan substitusi)
4. Metode grafik

CONTOH SOAL
1. Jika suatu fungsi linier adalah 𝑓(𝑥) = 4𝑥 + 𝑏. Tentukan bentuk
fungsi tersebut jika diketahui 𝑓(6) = 8.
2. Diketahui 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏. Jika 𝑓(4) = 13 dan 𝑓(6) = 19, maka 𝑎
dan 𝑏 adalah
3. Pada saat harga buku 𝑅𝑝. 10.000 per lusin, permintaan akan buku
tersebut sebanyak 10 lusin. Dan ketika harga buku turun menjadi
𝑅𝑝. 8000 per lusin, permintaannya menjadi 16 lusin. Carilah fungsi
permintaannya!
4. Pada saat harga durian 𝑅𝑝. 3000 per buah toko 𝐴 mampu menjual
sebanyak 100 buah. Dan pada saat harga durian 𝑅𝑝. 4000 per buah
toko 𝐴 menjual 200 buah. Buatlah fungsi penawaran dari kasus
tersebu !
5. Apabila diketahui fungsi pemintaan 𝑄𝑑 = 820 − 2𝑃 dan fungsi
penawaran 𝑄 = −380 + 4𝑃. Maka jumlah dan harga
keseimbangan adalah?
Jawab :
1. Jika suatu fungsi linear adalah 𝑓(𝑥) = 4𝑥 + 𝑏. Tentukan bentuk
fungsi tersebut jika diketahui 𝑓(6) = 8.
Pembahasan:
𝑓(𝑥) = 4𝑥 + 𝑏
𝑓(6) = 4 ∙ 6 + 𝑏 = 8
8 = 4 ∙ 6 + 𝑏
𝑏 = 8 − 24
𝑏 = −16
𝑓(𝑥) = 4𝑥 − 16
2. Diketahui 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏. Jika 𝑓(4) = 13 dan 𝑓(6) = 19, maka 𝑎
dan 𝑏 adalah…
Pembahasan:
13 = 4𝑎 + 𝑏
19 = 6𝑎 + 𝑏 _
−6 = −2𝑎
𝑎 = 6/2 = 3
𝑏 = 13 – 4𝑎 = 13 – 4 . 3

𝑏 = 13 – 12 = 1
Jadi 𝑎 = 3 dan 𝑏 = 1.
3. Diketahui 𝑃1 = 10.000
𝑃2 = 8.000
𝑄1 = 10
𝑄2 = 16
Ditanya: Permintaan (𝐹) ….?
Jawab:
𝑃 − 𝑃1
𝑃2 − 𝑃1
=
𝑄 − 𝑄1
𝑄2 − 𝑄1
𝑃 − 1000
8000 − 1000
=
𝑄 − 10
16 − 10
𝑃 − 1000
−2000
=
𝑄 − 10
6
6(𝑃 − 10.000) = −2000 (𝑄 − 10)
6𝑃 − 60.000 = −2000𝑄 + 20.000
6𝑃 = −2000𝑄 + 20.000 + 60.000
6𝑃 = −2000𝑄 + 80.000
𝑃 =
−2000𝑄 + 80.000
6
𝑃 = −333,33 𝑄 + 13.333,33
Jadi fungsi permintaan (𝐹) adalah 𝑃 = 333,33 𝑄 + 13.333,33
4. Diketahui: 𝑃1 = 3000
𝑃2 = 4000
𝑄1 = 100
𝑄2 = 200
Ditanya: Penawaran…?
Jawab:
𝑃 − 3000
3000 − 4000
=
𝑄 − 100
200 − 100
𝑃 − 3000
−1000
=
𝑄 − 100
100
𝑃 − 3000
−1000
=
𝑄 − 100
100
100 (𝑃 − 3000) = −1000(𝑄 − 100)

100𝑃 − 300.000 = −1000𝑄 + 100.000
100𝑃 = −1000𝑄 + 100.000 + 300.000
100𝑃 = −1000𝑄 + 400.000
𝑃 =
−1000𝑄 + 400.000
100
𝑃 = −10𝑄 + 4000
Jadi fungsi penawarannya adalah 𝑃 = −10𝑄 + 4000 .
5. Apabila diketahui fungsi permintaan 𝑄𝑑 = 820 − 2𝑃 dan fungsi
penawaran 𝑄𝑠 = −380 + 4𝑃. Maka jumlah dan harga
keseimbangan adalah ....
Pembahasan:
Diketahui: 𝑄𝑑 = 820 − 2𝑃, dan 𝑄𝑠 = −380 + 4𝑃
𝑄𝑑 = 𝑄𝑠
820 − 2𝑃 = −380 + 4𝑃
− 2𝑃 − 4𝑃 = −380 − 820
−6𝑃 = −1.200
𝑃 =
−1.200
−6
𝑃 = 200
Untuk mendapatkan jumlah keseimbangan 𝑃 = 200 disubtitusikan
ke fungsi permintaan
𝑄 = 820 − 2𝑃
𝑄 = 820 − 2(200)
𝑄 = 820 − 400
𝑄 = 420

Keseimbangan Pasar Dua Macam Produk
Interaksi antara fungsi permintaan dan fungsi penawaran
menyatakan bahwa jumlah yang diminta dan jumlah yang
ditawarkan akan suatu produk hanya dipengaruhi oleh harga
produk itu sendiri, tetapi sekarang kita akan memperluas fungi
permintaan dan fungsi penawaran menjadi fungsi yang
mempunyai dua variable bebas. Kedua variabel bebas yang
mempengaruhi jumlah yang diminta dan jumlah yang ditawarkan
adalah (1) harga produk itu sendiri, dan (2) harga produk lain
yang saling berhubungan.
Misalnya ada dua macam produk X dan Y yang saling
berhubungan, dimana 𝑄𝑑𝑥 adalah jumlah yang diminta untuk
produk X; 𝑄𝑑𝑦 adalah jumlah yang diminta untuk produk Y;
𝑃
𝑥adalahh harga barang X; dan 𝑃
𝑦 adalah harga barang Y, maka
fungsi permintaan untuk kedua produk tersebut dapat ditulis
menjadi,
𝑄𝑑𝑥 = 𝑎0 − 𝑎1𝑃
𝑥 + 𝑎2𝑃
𝑦
𝑄𝑑𝑦 = 𝑏0 + 𝑏1𝑃
𝑥 − 𝑏2𝑃
𝑦
Sedangkan funsi penawaran untuk kedua produk tersebut dapat
ditulis menjadi,
𝑄𝑠𝑥 = −𝑚0 + 𝑚1𝑃
𝑥 + 𝑚2𝑃
𝑦
𝑄𝑠𝑦 = −𝑛0 + 𝑛1𝑃
𝑥 + 𝑛2𝑝𝑦
Dimana:
𝑄𝑑𝑥 = jumlah yang diminta dari produk X
𝑄𝑑𝑦 = jumlah yang diminta dari produk Y
𝑄𝑠𝑥 = jumlah yang ditawarkan dari produk X
𝑄𝑠𝑦 = jumlah yang ditawarkan dari prodak Y
𝑃
𝑥 = harga barang X
𝑃
𝑦 = harga barang Y
𝑎0, 𝑏0, 𝑚0, dan 𝑛0 adalah konstan

Keseimbangan pasar akan terjadi apa bila jumlah yang diminta
dari produk X sama dengan jumlah yang ditawarkan dari produk X
atau (𝑄𝑑𝑥 = 𝑄𝑠𝑥); dan jumlah yang diminta dari produk Y sama
dengan jumlah yang ditawarkan dari produk Y atau ( 𝑄𝑑𝑦 = 𝑄𝑠𝑦).
Harga dan jumlah keseimbangan dapat diperoleh dengan
pemecahan keempat persamaan linier di atas. Tahap pertama
dalam pemecahan ini kita harus menghilangkan variable 𝑄𝑑𝑥 dan
𝑄𝑠𝑥 dengan cara eliminasi pada persamaan. tahap kedua,
menghilangkan variabel 𝑄𝑑𝑦 dan 𝑄𝑠𝑦 dengan cara yang sama, yaitu.
tahap selanjutnya, kita kombinasikan hasil dari tahap pertama dan
tahab kedua untuk memperleh nilai-nilai dari variable 𝑃
𝑥 dan 𝑃
𝑦.
Tahap terakhir, subtitusikan nilai 𝑃
𝑥 dan 𝑃
𝑦 pada fungsi
permintaan produk X dan fungsi permintaan produk Y atau pada
fungsi penawaran produk X dan fungsi penawaran produk Y untuk
memperoleh nilai 𝑄𝑥 dan 𝑄𝑦.
Diketahui fungsi permintaan dan fungsi penawaran dari dua
macam produk yang mempunyai hubungan subtitusi sebagai
berikut.
𝑄𝑑𝑥 = 5 − 2𝑃
𝑥 + 𝑃
𝑦
𝑄𝑑𝑦 = 5 − 2𝑃
𝑥 − 𝑃
𝑦
dan
𝑄𝑠𝑥 = −5 − 4𝑃𝑥 − 𝑃𝑦
𝑄𝑠𝑥 = −4 − 𝑃
𝑥 − 3𝑃
𝑦
Contoh
Carilah harga dan jumlah keseimbangan pasarnya!
Penyelesaian :
Gunakan syarat keseimbangan pasar, kemudian selesaikan
persamaan dengan menggunakan metode eliminasi, sehingga
diperoleh:
𝑄𝑑𝑥 = 𝑄𝑠𝑥

𝑄𝑑𝑥 = 5 − 2𝑃
𝑥 + 𝑃
𝑦
𝑄𝑠𝑥 = −5 + 4𝑃
𝑥 − 𝑃
𝑦 −
0 = 10 − 6𝑃𝑥 + 2𝑃
𝑦
𝑄𝑑𝑦 = 𝑄𝑠𝑦
𝑄𝑑𝑦 = 6 + 𝑃𝑥 − 𝑃𝑦
𝑄𝑑𝑦 = −4 − 𝑃𝑥 + 3𝑃𝑦 −
0 = 10 − 2𝑃𝑥 − 4𝑃
𝑦
Persamaan dikerjakan lagi secara eliminasi, diperoleh:
0 = 10 − 6𝑃𝑥 + 2𝑃
𝑦 (𝑥2) → 0 = 20 − 12𝑃
𝑥 + 4𝑃
𝑦
0 = 10 + 2 𝑃𝑥 − 4𝑃
𝑦 (𝑥1) → 0 = 10 + 2𝑃
𝑥 − 4𝑃
𝑦 +
0 = 30 − 10𝑃
𝑥0 + 0
10𝑃
𝑥 = 30
𝑃
𝑥 = 3
Subtitusikan nilai 𝑃𝑥 = 3 ke dalam persamaan untuk memperoleh
nilai 𝑃
𝑦
2𝑃
𝑦 = 6𝑃
𝑥 − 10
2𝑃
𝑦 = 6(3) − 10
2𝑃
𝑦 = 8
𝑃
𝑦 = 4
Subtitusikan nilai 𝑃𝑥 = 3 dan nilai 𝑃
𝑦 = 4 kedalam persamaan
untuk memperoleh nilai 𝑄𝑥 dan 𝑄𝑦
𝑄𝑥 = 5 − 2(3) + 4 = 3; 𝑄𝑦 = 6 + 3 − 4 = 5
Jadi, nilai 𝑄𝑥 = 3; 𝑄𝑦 = 5; dan 𝑃
𝑦 = 4

Pengaruh Pajak terhadap Kesejahteraan
Penjualan atas suatu produk biasanya dikenakan pajak oleh
pemerintah. Pajak semacam ini biasa disebut dengan pajak
penjualan (sales tax). Salah satu jenis pajak penjualan adalah pajak
per unit produksi yang tetap. Misalkan, jika suatu produk yang
dijual dikenakan pajak 𝑡 per unit, maka akan terjadi perubahan
keseimbangan pasar atas produksi tersebut, baik harga maupun
jumlah keseimbangan. Jadi, jika pemerintah mengenakan pajak 𝑡
per unit pada produksi tertentu akan mengakibatkan harga produk
naik dan jumlah yang diminta /ditawarkan atas barang tersebut
akan berkurang.
Kenaikan harga produk ini dari keseimbangan awal (sebelum
pajak) ke keseimbangan setelah pajak biasanya tidaklah setinggi
pajak 𝑡 per unit yang dikenakan pemerintah.
Untuk menentkan harga dan jumlah keseimbangan suatu produk
sebelum kena pajak dan setelah kena pajak dapat dijelaskan
berikut ini.
Misalkan fungsi pemerintah adalah,
𝑃𝑑 = 𝑓(𝑄)
Fungsi penawaran sebelum dikenakan pajak t per unit adalah,
𝑃
𝑠 = 𝐹(𝑄)
Dan fungsi penawaran setelah dikenakan pajak t per unit adalah,
𝑃𝑠𝑡 = 𝐹(𝑄) + 𝑡
Maka jumlah harga keseimbangan pasar setelah pajak 𝐸𝑡(𝑄𝑡, 𝑃𝑡)
diperoleh dengan cara memecahkan persamaan, yaitu
𝑃𝑑 = 𝑓(𝑄) dan 𝑃
𝑠 = 𝐹(𝑄) + 𝑡
Sedangkan, jumlah dan harga keseimbangan pasar mula-mula
𝐸(𝑄𝑒, 𝑃
𝑒) diperoleh dengan cara memecahkan persamaan yaitu:
𝑃𝑑 = 𝑓(𝑄)𝑑𝑎𝑛𝑃
𝑠 = 𝐹(𝑄)

Pengaruh Subsidi terhadap Kesejahteraan
Subsidi (𝑠) adalah bantuan yang diberikan pemerintah kepada
produsen terhadap produk yang dihasilkan atau yang dipasarkan.
Pemberian subsidi oleh pemerintah akan mempengaruhi
keseimbangan pasar dengan mengakibatkan harga barang menjadi
turun, sehingga jumlah barang yang diminta akan bertambah. Hal
ini dilakukan pemerintah untuk membantu konsumen yang kurang
mampu untuk membeli produk-produk tertentu.
Keterangan:
𝑆𝑢𝑝𝑝𝑙𝑦 1 = Fungsi penawaran sebelum subsidi
𝑆𝑢𝑝𝑝𝑙𝑦 3 = Fungsi penawaran setelah subsidi
𝐸𝑞 1 = Titik keseimbangan sebelum subsidi (𝑄𝑒 , 𝑃
𝑒)
𝐸𝑞 3 = Titik keseimbangan setelah subsidi (𝑄𝑠 , 𝑃
𝑠)
➢ Keseimbangan pasar sebelum dan setelah subsidi
1. Keseimbangan pasar sebelum subsidi adalah 𝑄𝑒 = 𝑃
𝑒
2. Keseimbangan pasar setelah subsidi adalah 𝑄𝑠 = 𝑃
𝑠
➢ Total subsidi yang diberikan pemerintah
𝑺 = (𝒔) ∙ (𝑸𝒔)
𝑠 = Besarnya subsidi
𝑄𝑠 = Jumlah barang setelah subsidi

➢ Subsidi yang dinikmati oleh konsumen
𝑺𝒄 = (𝑷𝒆 − 𝑷𝒔 ) ∙ 𝑸𝒔
𝑃
𝑒 = Harga keseimbangan sebelum subsidi
𝑃
𝑠 = Harga keseimbangan setelah Subsidi
𝑄𝑠 = Jumlah barang setelah subsidi
➢ Subsidi yang diterima oleh produsen
𝑺𝒑 = 𝑺 − 𝑺𝒄
𝑆 = Besarnya subsidi
𝑆𝑐 = Subsidi yang dinikmati oleh konsumen
▪ Dipasar, terkadang permintaan suatu barang itu dipengaruhi oleh
permintaan barang lain.
▪ Terjadi pada dua macam produk atau lebih yang berhubungan
1. substitusi (produk pengganti)
2. komplementer (produk pelengkap)
▪ Secara matematis fungsi permintaan dan fungsi penawaran produk
yang berinteraksi mempunyai dua variabel bebas
1. harga produk itu sendiri, dan
2. harga produk lain yang saling berhubungan
▪ Notasi fungsi permintaan menjadi : fungsi penawarannya :
𝑄𝑑𝑋 = 𝑎0 − 𝑎1𝑃𝑥 + 𝑎2𝑃𝑌 , 𝑄𝑠𝑋 = −𝑚0 + 𝑚1𝑃𝑋 + 𝑚2𝑃𝑌
𝑄𝑑𝑌 = 𝑏0 + 𝑏1𝑃𝑋 − 𝑏2𝑃𝑌 , 𝑄𝑠𝑌 = −𝑛0 + 𝑛1𝑃𝑋 + 𝑛2𝑃𝑌
dimana
𝑄𝑑𝑋 = Jumlah yang diminta dari produk 𝑋
𝑄𝑑𝑌 = Jumlah yang diminta dari produk 𝑌
𝑄𝑠𝑋 = Jumlah yang ditawarkan dari produk 𝑋
𝑄𝑠𝑌 = Jumlah yang ditawarkan dari produk 𝑌
𝑃𝑋 = Harga produk 𝑋
𝑃𝑌 = Harga produk 𝑌
𝑎0 , 𝑏0 , 𝑚0 , & 𝑛0 adalah Konstanta
▪ Syarat keseimbangan pasar dicapai
𝑸𝒔𝑿 = 𝑸𝒅𝑿 dan 𝑸𝒔𝒀 = 𝑸𝒅𝒀

CONTOH SOAL
1. Diketahui Fungsi Permintaan dan Fungsi Penawaran dua macam
produk yang mempunyai hubungan substitusi sebagai berikut :
𝑄𝑑𝑥 = 10 – 4𝑃𝑥 + 2𝑃
𝑦,
𝑄𝑠𝑥 = −6 + 6𝑃
𝑥
𝑄𝑑𝑦 = 9 – 3𝑃
𝑦 + 4𝑃𝑥
𝑄𝑠𝑦 = −3 + 7𝑃𝑦
Carilah harga dan jumlah keseimbangan Pasar!
2. Jika fungsi permintaan akan beras dan fungsi penawaran akan
beras yang diberikan sebagai berikut : 𝑃𝑑 = 12 − 𝑄 dan 𝑃
𝑠 = 2 + 𝑄
sedangkan pemerintah mengenakan pajak sebesar 4 setiap unit
beras yang diproduksi. Tentukan:
a) Nilai keseimbangan pasar sebelum pajak dan setelah pajak.
b) Total pajak yang dibayar oleh pemerintah.
c) Besarnya pajak yang ditanggung oleh produsen dan konsumen.
3. Jika diketahui Fungsi suatu permintaan barang adalah 𝑃𝑑 = 12 −
2𝑄. Dan fungsi penawaran suatu barang adalah 𝑃
𝑠 = −4 + 2𝑄.
Subsidi yang diberikan pemerintah adalah 𝑅𝑝 2 per unit,
tentukanlah
a) Jumlah dan harga barang keseimbangan pasar sebelum dan
setelah subsidi
b) Subsidi yang diberikan pemerintah
c) Bagian dari subsidi konsumen dan produsen
Jawab :
1. 𝑄𝑑𝑥 = 10 – 4𝑃
𝑥2𝑃
𝑦
𝑄𝑠𝑥 = −6 + 6𝑃
𝑥
𝑄𝑑𝑦 = 9 – 3𝑃
𝑦 + 4𝑃𝑥
𝑄𝑠 𝑦 = −3 + 7𝑃
𝑦
𝑄𝑑𝑥 = 𝑄𝑠 𝑥
10 – 4𝑃
𝑥 + 2𝑃
𝑦 = −6 + 6𝑃
𝑥
−4𝑃
𝑥 – 6𝑃𝑥 + 2𝑃
𝑦 = −6 − 10
−10𝑃𝑥 + 2𝑃
𝑦 = −16 … (1)

𝑄𝑑𝑦 = 𝑄𝑠𝑦
9 − 3𝑃
𝑦 + 4𝑃𝑥 = −3 + 7𝑃
𝑦
4𝑃
𝑥 − 3𝑃
𝑦 − 7𝑃
𝑦 = −3 − 9
4 𝑃𝑥 − 10 𝑃𝑦 = −12 ... (2)
Eliminasi
−10𝑃
𝑥 + 2𝑃𝑦 = −16 … . (× 5)
4 𝑃
𝑥 − 10 𝑃𝑦 = −12 … . . (× 1)
−50𝑃
𝑥 + 10𝑃𝑦 = −80
4𝑃
𝑥 − 10𝑃𝑦 = −12 +
−46𝑃
𝑥 = −92
𝑃𝑥 = 2
Substitusi
4 𝑃𝑥 − 10 𝑃𝑦 = −12
4 (2) – 10𝑃𝑦 = −12
8 − 10𝑃
𝑦 = −12 − 10𝑃
𝑦 = −12 − 8
𝑃
𝑦 = 2
𝑄𝑑𝑥 = 10 – 4𝑃
𝑥 + 2𝑃
𝑦
= 10 – 4(2) + 2(2)
= 6
𝑄𝑑𝑦 = 9 – 3𝑃
𝑦 + 4𝑃
𝑥
= 9 – 3(2) + 4(2)
= 11
Jadi harga dan jumlah barang dalam keseimbangan pasar dua
macam produk :
𝑄𝑥 (jumlah barang pada produk 𝑋) = 2, 𝑄𝑦 (jumlah barang pada
produk 𝑌) = 2; 𝑃
𝑥 ( harga barang pada produk 𝑋) = 6, 𝑃
𝑦 ( harga
barang pada produk 𝑌) = 11.
2. Dari soal yang telah dijelaskan dan diketahui
𝑃𝑑 = 12 − 𝑄
𝑃
𝑠 = 2 + 𝑄
𝑡 = 4

a. Nilai keseimbangan sebelum pajak adalah
𝑃𝑑 = 𝑃𝑠
12 − 𝑄 = 2 + 𝑄
− 2𝑄 = −10
𝑄 = 5
Maka
𝑃𝑑 = 12 − 𝑄
= 12 − 5
= 7
Jadi nilai keseimbangan pasar sebelum pajak adalah 𝑃 = 7 dan
𝑄 = 5.
Nilai keseimbangan pasar setelah pajak adalah
𝑃𝑑 = 12 − 𝑄
𝑃
𝑠 = 2 + 𝑄
𝑃𝑠𝑡 = 2 + 𝑄 + 𝑡
𝑃𝑠𝑡 = 2 + 𝑄 + 4
= 6 + 𝑄
Rumus keseimbangan pasar setelah dikenakan pajak adalah
𝑃𝑑 = 𝑃𝑠𝑡
12 − 𝑄 = 6 + 𝑄𝑡
−2 𝑄 = 6 − 12
𝑄 = 3
Maka
𝑃𝑑 = 12 − 𝑄
= 12 − 3
= 9
Jadi nilai keseimbangan pasar setelah pajak adalah 𝑃, 𝑄 adalah
9 dan 3.
b. Total pajak yang dibayar oleh pemerintah
𝑇 = 𝑡 × 𝑄𝑡
= 4 × 3
= 12

c. Besarnya pajak yang diterima oleh konsumen
𝑇𝑐 = (𝑃𝑡 − 𝑃
𝑒) × 𝑄𝑡
= (9 − 7) × 3
= 6
Besarnya pajak yang diterima oleh konsumen
𝑇𝑝 = 𝑇 − 𝑇𝑐
= 12 − 6
= 6
3. Jumlah dan harga barang keseimbangan pasar sebelum dan setelah
subsidi
a. Titik keseimbangan sebelum subsidi
𝑃𝑑 = 𝑃𝑠
12 – 2𝑄 = −4 + 2𝑄
12 + 4 = 2𝑄 + 2𝑄
16 = 4𝑄
𝑄 = 4
𝑃 = 12 − 2𝑄
𝑃 = 12 − 2 ∙ 4
𝑃 = 4
( 𝑄𝑒, 𝑃𝑒 ) = ( 4 , 4 )
Titik keseimbangan setelah subsidi
𝑃
𝑠𝑠 = −4 + 2𝑄 − 2
𝑃
𝑠𝑠 = 2𝑄 − 6
𝑃𝑑 = 𝑃𝑠𝑠
12 – 2𝑄 = 2𝑄 − 6
12 + 6 = 2𝑄 + 2𝑄
18 = 4𝑄
𝑄 = 4,5
𝑃 = 12 − 2𝑄
𝑃 = 12 − 2 ∙ 4,5
𝑃 = 3
( 𝑄𝑠 , 𝑃𝑠 ) = ( 4,5, ( 3) )

b. Subsidi pemerintah
𝑆 = 𝑠 ∙ 𝑄𝑠
𝑆 = 2 ∙ 4,5
𝑆 = 9
c. Subsidi konsumen
𝑆𝑐 = ( 𝑃𝑒 – 𝑃𝑠 ) ∙ 𝑄𝑠
𝑆𝑐 = ( 4 – 3 ) ∙ 4,5
𝑆𝑐 = 1 ∙ 4,5
𝑆𝑐 = 4,5
Subsidi produsen
𝑆𝑝 = 𝑆 – 𝑆𝑐
𝑆𝑝 = 2 – 4,5
𝑆𝑝 = − 2,5
Fungsi Belanja Konsumsi
Fungsi Konsumsi adalah hubungan jumlah konsumsi dan
pendapatan. Fungsi konsumsi memiliki beberapa sifat khusus
menurut asumsi Keynes, yaitu:
1. Terdapat sejumlah konsumsi mutlak (absolut) tertentu untuk
mempertahankan hidup walaupun tidak mempunyai
pendapatan uang
2. Konsumsi berhubungan dengan pendapatan yang dapat
dibelanjakan (disposible income), yaitu 𝐶 = 𝑓(𝑌𝑑)
3. Jika pendapatan yang dibelanjakan meningkat , maka konsumsi
juga akan meningkat walaupun jumlah yang lebih sedikit
4. Proporsi kenaikan pendapatan yang siap dikerjakan untuk
konsumen adalah konstan
Berdasarkan asumsi tersebut, maka fungsi konsumsi dapat
ditulis kedalam bentuk persamaan:
𝑪 = 𝒂 + 𝒃 𝒀𝒅

Keterangan :
𝐶 : konsumsi
𝑌𝑑 : pendapatan yang dibelanjakan
𝑎 : konsumsi dasar tertentu yang tidak tergantung pada
pendapatan
𝑏 : kecenderungan konsumsi marginal (MPC)
Fungsi Tabungan
Rumus:
𝑺 = −𝒂 + (𝟏 − 𝒃)𝒀𝒅
Keterangan :
𝑆 : tabungan
𝑎 : disebut negatif jika pendapatan sama dengan nol
(1 − 𝑏) : kecerundungan menabung marginal
𝑌𝑑 : pendapatan yang dapat dibelanjakan

Fungsi Investasi
Permintaan akan investasi merupakan fungsi dari tingkat bunga.
Rumus:
𝑰 = 𝒇(𝒊)
𝑰 = 𝑰𝒐 − 𝒑𝒊
Keterangan :
𝐼 : Investasi
𝐼𝑜 : investasi otonom
𝑃 : proporsi investasi
𝑖 : tingkat bunga
Hukum Investasi
Permintaan akan investasi berbanding terbalik dengan tingkat
bunga. Tinggi bunga mencerminkan mahalnya kredit
Tingkat bunga tinggi Gairah berinvestasi berkurang
Tingkat bunga rendah Gairah berinvestasi meningkat
Fungsi Belanja Pemerintah
Fungsi belanja pemerintah menunjukkan hubungan antara jumlah
belanja pemerintah dengan kebijakan yang diputuskan oleh pemerintah.
Belanja pemerintah ini tidak berhubungan dengan tingkat pendapatan
riil dalam perekonomian. Oleh karena itu, variable pemerintah ini
adalah fungsi konstanta, memiliki rumus,
𝐺 = 𝑓 (𝑌, kebijakan)
𝐺 = jumlah belanja pemerintah
𝑌 = pendapatan riil dalam perekonomian
Kebijakan = keputusan yang dibuat oleh pemerintah dan disetujui
oleh legislatif

Fungsi Belanja Ekspor Dan Impor
• Fungsi Belanja Ekspor
Fungsi Belanja Ekspor menunjukan hubungan antara jumlah ekspor
oleh eksportir (pengekspor) dengan tingkat pendapatan riil atau
PDB Luar Negeri (foreign GDP or real income) dan tingkat
pertukaran mata uang (currency exchange rate) dalam
perekonomian pada suatu periode waktuter tentu.
Bentuk Fungsional :
𝑿 = 𝒇 (𝒀 ∗, 𝑹)
Keterangan :
𝑋 = Jumlah belanja ekspor
𝑌 ∗ = Tingkat pendapatan riil Luar Negeri
𝑅 = Tingkat pertukaran mata uang
❖ Hubungan belanja ekspor (𝑋) dengan pendapatan riil Luar
Negeri (𝑌 ∗) : Makin tinggi pendapatan riil Luar Negeri, maka
semakin tinggi belanja ekspor (hubungan positif).
❖ Hubungan belanja ekspor (𝑋) dengan tingkat pertukaran mata
uang (𝑅) : Makin tinggi tingkat pertukaran mata uang , jumlah
ekspor akan berkurang (hubungan negatif).
❖ Asumsi : Variabel tingkat pertukaran uang (𝑅) dianggap lebih
dominan mempengaruhi belanja ekspor dan variable bebas
pendapatan real dianggap konstan.
❖ Fungsi belanja ekspor terhadap tingkat pertukaran mata uang
(bentuk umum fungsi ekspor):
𝑿 = 𝑿𝟎 − 𝑿𝟏 𝑹
Keterangan :
𝑋 : Belanja Ekspor
𝑋₀ : Faktor lain yang mempengaruhi belanja ekspor
𝑋₁ : Koefisien yang sesuai dengan tingkat pertukaraan mata uang
❖ Fungsi belanja ekspor terhadap pendapatan riil domestik PDB:
𝑿 = 𝑿𝟎
𝑋 = Belanja Ekspor
𝑋₀ = Belanja ekspor otonom (autonom)

Tingkat belanja ekspor = variable eksogen sehingga tidak ada
hubunganya dengan pendapatan riil domestik.
• Fungsi Belanja Impor
Fungsi Belanja Impor menunjukan hubungan antara jumlah belanja
impor oleh importir dengan tingkat pendapatan domestik dan
tingkat pertukaran mata uang (currency exchange rate) dalam
perekonomian pada suatu periode waktu.
Bentuk Fungsional :
𝑴 = 𝒇(𝒀, 𝑹)
Keterangan :
𝑀 = Jumlah belanja impor
𝑌 = Tingkat pendapatan riil domestic
𝑅 = Tingkat pertukaran mata uang
❖ Hubungan belanja impor dengan pendapatan riil domestik:
Makin tinggi pendatan riil domestic, makin tinggi tingkat belanja
impor (hubungan positif).
❖ Hubungan belanja impor dengan tingat pertukaran mata uang:
Makin tinggi tingkat mata uang maka jumlah impor akan
meningkat (hubungan positif).
❖ Asumsi :
variable pendapatan riil domestic lebih dominan mempengaruhi
jumlah belanja impor, sedangkan variable tingkat pertukaran
mata uang dianggap konstan
❖ Fungsi belanja impor terhadap pendapatan riil domestik :
𝑴 = 𝑴𝟎 + 𝒎𝒀
Keterangan :
𝑀 = Belanja impor
𝑀₀= Faktor-faktor lain yang mempengaruhi belanja impor
𝑚₁ = Kecenderungan marginal untuk mengimpor.

Pendapatan Nasional
Pendapatan nasional adalah jumlah pendapatan dari seluruh rumah
tangga keluarga atau RTK di suatu negara dalam periode tertentu yang
biasanya satu tahun.
Cara menghitung pendapatan nasional ada 3 metode yaitu :
● Pendekatan Pengeluaran
Perhitungan dengan menggunakan pendekatan pengeluaran
dilakukan dengan cara menjumlahkan seluruh pengeluaran
berbagai sektor ekonomi, yaitu rumah tangga, pemerintah,
perusahaan, dan masyarakat luar negeri suatu negara pada
periode tertentu.
𝒀 = 𝑪 + 𝑰 + 𝑮 + (𝑿 − 𝑴)
Keterangan:
𝑌 = pendapatan nasional
𝐶 = konsumsi rumah tangga
𝐼 = investasi
𝐺 = pengeluaran pemerintah
𝑋 = ekspor
𝑀 = impor
● Pendekatan Produksi
Perhitungan pendekatan produksi, hanya mencakup perhitungan
nilai tambah pada setiap sektor (lahan) produksi
Dengan pendekatan ini, pendapatan nasional dihitung dengan cara
menjumlahkan nilai tambah (value added) dari seluruh sektor
produksi selama satu periode tertentu (biasanya dalam satu
tahun).
Nilai tambah yang dimaksud di sini adalah selisih antara nilai
produksi (nilai output) dengan nilai biaya antara (nilai input),
yang terdiri atas bahan yang terlibat dalam proses produksi
termasuk bahan baku dan bahan penolong.
𝒀 = {(𝑷𝟏 × 𝑸𝟏) + (𝑷𝟐 × 𝑸𝟐) + ⋯ + (𝑷𝒏 × 𝑸𝒏}
Keterangan:

𝑃1 = harga barang ke-1
𝑃2 = harga barang ke-2
𝑃
𝑛 = harga barang ke-n
𝑄1 = jenis barang ke-1
𝑄2 = jenis barang ke-2
𝑄𝑛 = jenis barang ke-n
● Pendekatan Pendapatan
Pendekatan pendapatan (income a product) adalah jenis
pendekatan pendapatan nasional yang diperoleh dengan cara
menjumlahkan pendapatan dari berbagai faktor produksi yang
memberikan sumbangan terhadap proses produksi.
Metode pendekatan pendapatan merupakan pendapatan hasil dari
penjumlahan seluruh penerimaan yang diterima oleh pemilik
faktor produksi dalam suatu negara selama satu periode atau satu
tahun.
𝒀 = 𝒓 + 𝒘 + 𝒊 + 𝒑
Keterangan:
𝑟 = pendapatan upah atau gaji
𝑤 = pendapatan sewa
𝑖 = pendapatan bunga
𝑝 = pendapatan laba usaha

CONTOH SOAL
1. Fungsi konsumsi masyarakat adalah 𝐶 = 120 𝑀 + 0,6𝑌. Jika
pendapatan nasional sebesar 𝑅𝑝. 6.000 𝑀, Berapakah jumlah
tabungan masyarakat?
Data luar sebagai berikut :
• Pengeluaran konsumsi : 𝑅𝑝 20.000.000.000,00
• Menyewa tanah : 𝑅𝑝 10.000.000.000,00
• Pengeluaran pengusaha : 𝑅𝑝 14.000.000.000,00
• Ekspor : 𝑅𝑝 16.000.000.000,00
• Impor : 𝑅𝑝 6.000.000.000,00
• Keuntungan : 𝑅𝑝 10.000.000.000,00
2. Berapa besar pendapatan nasional jika dihitung dengan
pendekatan pengeluaran?
3. Bentuklah persamaan impor suatu negara bila diketahui impor
otonomnya 25 dan MPI nya 0,05. Berapa nilai impor jika
pendapatan nasionalnya 600?
Jawab :
1. 𝐶 = 120 𝑀 + 0,6 𝑌
𝑌𝑑 = 𝑅𝑝 6.000 𝑀
Ditanya : 𝑆 = … ?
Dijawab: 𝑆 = −𝑎 + ( 1 − 𝑏 ) 𝑌𝑑
= −120 + ( 1 − 0,6 ) 6.000
= −120 + 2.400
= 2.280
2. Data luar sebagai berikut :
Pengeluaran konsumsi : 𝑅𝑝 20.000.000.000,00
Menyewa tanah : 𝑅𝑝 10.000.000.000,00
Pengeluaran pengusaha : 𝑅𝑝 14.000.000.000,00
Ekspor : 𝑅𝑝 16.000.000.000,00
Impor : 𝑅𝑝 6.000.000.000,00
Keuntungan : 𝑅𝑝 10.000.000.000,00
Ditanya: 𝑌 = ⋯ ?
Dijawab: 𝑌 = 𝐶 + 𝐼 + 𝐺 + ( 𝑋 – 𝑀 )
= 20 + 10 + 14 + ( 16 – 6 )

= 44 + 10
= 54
= 𝑅𝑝 54.000.000.000
3. 𝑀0 = 25
𝑚 = 0,05
𝑌 = 600
Persamaan impor :
𝑀 = 𝑀𝑜 + 𝑚𝑌
𝑀 = 25 + 0,05 𝑌
𝑀 = 25 + 0,05𝑌 → 𝑀 = 25 + 0,05 ( 600 )
= 25 + 30
= 55

BAB 6
FUNGSI NON-LINIER
Selain berbentuk fungsi linier, permintaan dan penawaran dapat pula
berbentuk fungsi non linier. Fungsi permintaan dan fungsi penawaran
yang kuadratik.
1. Potongan Lingkaran
2. Potongan Elips
3. Potongan Hiperbola
4. Potongan Parabola
❖ Fungsi Permintaan
Fungsi permintaan yang telah disajikan sebelumnya adalaah fungsi
permintaan linier. Namun, dalam seksi ini akan dibahas fungsi
permintaan yang nonlinier, berupa fungsi kuadrat dan fungsi
rasional.
❖ Fungsi Kuadrat
Bentuk umum fungsi persamaan kuadrat 𝑃 = 𝑓(𝑄) adalah sebagai
berikut.
𝑷 = 𝒄 + 𝒃𝑸 − 𝒂𝑸𝟐
Dimana:
𝑃 = harga produk
𝑄 = jumlah produk yang diminta
𝑎, 𝑏, dan 𝑐 adalah konstanta, 𝑎 < 0 atau bernilai negatif
Oleh karena parameter a < 0 atau bernilai negatif, maka parabola
akan terbuka ke bawah. Gambar parabola yang tebuka ke bawah ini
menunjukkan kurva permintaan

Sebaliknya, bentuk umum fungsi permintaan kuadrat 𝑄 =
𝑓(𝑃) adalah sebagai berikut.
𝑸 = 𝒄 + 𝒃𝑷 − 𝒂𝑷𝟐
Oleh karena parameter a<0 atau bernilai negatif, maka parabola
akan terbuka kiri. Gambar parabola yang terbuka ke kiri ini jugaa
menunjukkan kurva permintaan.
Dengan demikian, fungsi permintaan kuadrat, baik yag berbentuk
𝑷 = 𝒇(𝑸) ataupun 𝑸 = 𝒇(𝑷), grafiknya hanya diambil dari sebagian
parabola yang terletak di kuadran I.
❖ Fungsi Rasional
Fungsi permintaan yang berbentuk fungsi rasional, memiliki dua
macam bentuk yang umum digunakan dalam penerapan ekonomi.
Pertama, berbentuk,
𝑷 =
𝒄
𝑸
atau 𝑷. 𝑸 = 𝒄
Dimana:
𝑃 = Harga Produk
𝑄 = Jumlah produk yang diminta
𝑐 = Konstanta positif
Bentuk umum fungsi permintaan pada persamaan ini
Selanjutnya, bentuk umum yang kedua dari fungsi permintaan yang
berbentuk fungsi rasional adalah,
(𝑸 – 𝒉)(𝑷 – 𝒌) = 𝒄
Dimana:
𝑄 = Jumlah produk yang diminta
𝑃 = Harga Produk
𝑐 = Konstanta positif
ℎ = sumbu asimtot vertikal
𝑘 = sumbu asimtot horizontal

❖ Fungsi Penawaran
Bentuk umum fungsi penawaran kuadrat 𝑃 = 𝑓(𝑄) adalah sebagai
berikut.
𝑷 = 𝒂𝑸𝟐
+ 𝒃𝑸 + 𝒄
Dimana:
P = Harga Produk
Q = Jumlah produk yang ditawarkan
a,b, dan c adalah konstanta, dengan a bernilai positif (a > 0)
Oleh karena parameter a > 0 atau bernilai positif pada persamaan,
maka parabola akan terbuka ke atas. Gambar dari parabola yang
terbuka ke atas ini menunjukkan kurva penawaran. Jika fungsi
penawaran kuadrat berbentuk Q = f(P), maka bentuk umumnya
adalah:
𝑸 = 𝒂𝑷𝟐
+ 𝒃𝑷 + 𝒄
Dimana:
P = Harga Produk
Q = Jumlah produk yang ditawarkan
a,b, dan c adalah konstanta, dengan a bernilai positif (a > 0)
Oleh karena parameter a > 0 atau bernilai positif pada persamaan
(8.6), maka parabola akan terbuka ke kanan. Gambar parabola yang
terbuka ke kanan ini menunjukkan kurva penawaran.
❖ Keseimbangan Pasar
Jumlah dan harga keseimbangan pasar dapat diperoleh secara
geometri dengan menggambarkan kurva permintaan dan kurva
penawaran secara bersama-sama dalam satu diagram. Di samping
itu juga, keseimbangan pasar dapat diperoleh secara aljabar dengan
memecahkan fungsi permintaan dan fungsi penawaran melalui
metode eliminasi atau metode subtitusi. Dalam seksi ini, kita akan
mencari nilai keseimbangan pasar, dimana fungsi permintaan atau
fungsi penawaran berbentuk non-linier atau linier. Kombinasi
perpotongan fungsi permintaa dan penawaran ini atau nilai
keseimbangan pasar memiliki delapan gambar keseimbangan pasar.

Contoh
Carilah secara aljabar dan geometri harga dan jumlah keseimbangan
dari fungsi permintaan dan penawaran berikut ini!
𝑃𝑑 = 50 − 5𝑄
𝑃𝑠 = 𝑄2
+ 𝑄 + 10
(𝑑 = 𝑑𝑒𝑚𝑎𝑛𝑑; 𝑑𝑎𝑛 𝑠 = 𝑠𝑢𝑝𝑝𝑙𝑦)
Penyelesaian:
Mencari keseimbangan pasar secara aljabar.
Syarat keseimbangan pasar adalah 𝑃𝑑 = 𝑃
𝑠
50 − 5𝑄 = 𝑄2
+ 𝑄 + 10
0 = 𝑄2
+ 𝑄 + 10 + 5𝑄 − 50
0 = 𝑄2
+ 6𝑄 − 40 atau bisa dituliskan menjadi 𝑄2
+ 6𝑄 − 4 = 0
0 = 𝑄2
+ 6𝑄 − 40 adalah bentuk persamaan kuadrat, dimana nilai
koefisien 𝑎 = 1; 𝑏 = 6; 𝑑𝑎𝑛 𝑐 = −40. Untuk memperoleh nilai-nilai
Q₁ dan Q₂ gunakan rumus kuadrat.
Hasilnya adalah.
𝑄1,2 =
−6 ± √62 − {(4)(1)(−40)}
(2)(1)
=
−6 ± √36 − (−160)
2
=
−6 ± √196
2
𝑄1 =
6 + 14
2
= 4
𝑄1 =
−6 + 14
2
= 4
𝑄1 =
−6−14
2
= −10 (tidak memenuhi karena bernilai negaif)
Substitusikan nilai Q=4 yang memenuhi ke dalam persamaan
permintaan (bisa juga ke dalam persamaan penawaran): 𝑃𝑑 = 50 −
5(4) = 50 − 20 = 30
Jadi, jumlah dan harga keseimbangan pasar terjadi di titik R(4,30)

❖ Penerimaan Total (Total Revenue, 𝑻𝑹/𝑹)
Penerimaan total adalah penerimaan kita dari penjualan
barang/jasa.
𝑻𝑹 = 𝑷 × 𝑸
Keterangan:
R = Penerimaan total
𝑃 = Harga Jual
𝑄 = Barang
❖ Fungsi Produksi
Produksi adalah proses penggabungan atau pengombinasian faktor
produksi (input) yang mengubahnya menjadi barang atau jasa
(output = product). Hubungan antara jumlah output yang
dihasilkan dan kombinasi jumlah input yang digunakan disebut
sebagai fungsi produksi atau fungsi produk total. Secaara umum,
fungsi produksi dapat ditulis dalam bentuk matematis menjadi,
𝑸 = 𝒇(𝑳, 𝑲, 𝑻, 𝑾)
Dimana:
Q = jumlah barang dan jasa (output)
L = tenaga kerja
K = modal
T = tanah
W = Wirausaha
Persamaan menunjukkan fungsi produksi dengan empat input atau
empat variabel bebas. Tetapi, dalam subbab ini kita akan membahas
fungsi produksi dengan satu input variabel, yaitu tenaga kerja. Oleh
karena itu, bentuknya dapat ditulis kembali menjadi,
𝑸 = 𝒇(𝑳)
Dimana:
Q = jumlah barang dan jasa (input)
L = tenaga kerja

Fungsi produk total dari tenaga kerja ini akan diperoleh produk
marginal dari tenaga kerja (marginal product product of labor)
dan produk rata-rata dari tenaga kerja (average product of labor).
Product marginal dari tenaga kerja adalah ketambahan produk
total sebagai akibat adanya tambahan satu unit tenaga kerja, atau
secara matematis rumusnya dapat ditulis menjadi,
𝑀𝑃1 =
∆𝑇𝑃
∆𝐿
=
∆𝑄
∆𝐿
Produk rata-rata daritenaga kerja adalah produk total dibagi
dengan jumlah tenaga kerja yang digunakkan, atau secara
matematis rumusnya dapat ditulis menjadi,
𝐴𝑃1 =
𝑇𝑃
𝐿
=
𝑄
𝐿
Fungsi produ total, produk marginal dan produk rata-rata dari
tenaga kerja dengan asusmsi bahwa input lainnya tetap (fixed).
CONTOH SOAL
1. Fungsi permintaan 𝑄𝑑 = 12 − 𝑝2
dan fungsi Penawaran 𝑄𝑠 = −4 +
3𝑝2
dan dikenakan pajak sebesar 2/unit. Berapakah
a) Jumlah Keseimbangan pasar
b) Persamaan penawaran sesudah pengenaan pajak
c) Beban pajak yang menjadi tanggungan konsumen dan
produsen
d) Jumlah beban pajak yang diterima oleh pemerintah
e) Jumlah yang diterima masing-masing
Jawab:
a. 𝑄𝑑 = 12 – 𝑝²
𝑄1 = − 4 + 3𝑃²
Pajak = 2 / unit
𝑄𝑑 = 𝑄𝑠
12 – 𝑝² = − 4 + 3𝑃²

−𝑃2
− 3𝑃2
= − 4 − 12
− 4 𝑃² = −16
𝑃² =
−16
−4
𝑃² = 4
𝑃 = 2.
b. 𝑄𝑠1 = − 4 + 3 (𝑃 – 2 )2
→ 𝑃2
− 4𝑃 + 4
= 4 + 3𝑃² − 12𝑃 + 12
= 3𝑃² − 12𝑃 + 8 + 0.
c. 𝑄𝑑 = 𝑄𝑠
12 − 𝑝² = 3𝑃² − 12𝑃 + 8
4𝑃² − 12𝑃 + 8 – 8 → 3𝑃² + 𝑃² − 12𝑃 + 8 – 12
4𝑃² − 12𝑃 + 8 − 12 ←
4𝑃² − 12𝑃 – 4 = 0.
d. 4𝑃² − 12𝑃 – 4 = 0. Dengan rumus ABC
𝑥 =
−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
=
−(12) ± √−(12)2 − 4.4. ( −4 )
2.4
=
−12 ± √−144 − 64
8
=
−12 ± √−208
8
𝑃1 =
12 + 14,42
8
= 3,3
𝑃2 =
12 − 14,42
8
= 0,3.
e. 𝑄𝑑 = 22 − 𝑃²
= 22 – ( 3, 3 )² = 1, 11
𝑡𝑘 = 𝑃𝑒 – 𝑃𝑒 = 3,3 – 2 = 1,2
𝑡𝑝 = 𝑡 – 𝑡𝑘 = 2 – 1,2 = 0,8
𝑇 = 𝑄𝑒 𝑥 𝑇 = 1,11 𝑥 2 = 2, 22

2. Seorang produsen batu bata membuat batu bata dengan biaya
variabel 𝑅𝑝. 7500 per unit,tentukan:
a) fungsi biaya variabel.
b) besarnya biaya variabel jika 𝑄 = 5.
c) 𝐹𝐶 = 1.000.000
𝑉𝐶 = 𝑅𝑝 500
Fungsi biaya variabel 𝑉𝐶 = 500𝑄 ….(1)
Fungsi Biaya Total 𝐶 = 𝐹𝐶 + 𝑉𝐶
= 1.000.000 + 500𝑄….(2)
d) Break even point terjadi pada saat 𝑇𝑅 = 𝑇𝐶
1.000 𝑄 = 1.000.000 + 500𝑄
1.000 𝑄 – 500𝑄 = 1.000.000
500𝑄 = 1.000.000
𝑄 = 2.000 Unit
Pabrik sepatu mengalami BEP pada saat 𝑄 = 2.000
Pada biaya total 𝐶 = 1.000.000 + 500 ( 2.000 )
= 2.000.000
3. Fungsi permintaan yang dihadapi oleh seorang produsen
monopolis ditunjukkan oleh 𝑃 = 900 – 1,5𝑄 .
a) Tentukan persamaan penerimaan totalnya!
b) Berapa besarnya penerimaan total jika terjual barang-barang
sebanyak 200 unit?
c) Hitunglah penerimaan marjinal dan penjualan sebanyak 200
unit menjadi 250 unit.
d) Tentukan tingkat penjualan yang menghasilkan penerimaan
total maksimum!
Jawab : Diketahui:
𝑃 = 900 – 1,5𝑄
𝑄 = 200
𝑄 = 250
𝐷2 = 𝑅𝑚𝑎𝑥 ?
𝐷3 =

a. 𝑅 = 𝑄 𝑥 𝑃
𝑅 = 𝑄 ( 900 – 1,5 𝑄 )
𝑅 = 900𝑄 – 1,5𝑄²
b. 𝑄 = 200
𝑅 = 900 (200 ) – 1,5 ( 200 ) ²
𝑅 = 180.000 – 1,5 ( 40.000 )
𝑅 = 180.000 – 60.000
𝑅 = 120.000
c. 𝑄 = 250
𝑅 = 900 (250 ) – 1,5 ( 250 ) ²
𝑅 = 225.000 – 1,5 ( 62.500 )
𝑅 = 225.000 – 93.750
𝑅 = 131.250
𝑀𝑅 =
Δ𝑅
Δ𝑄
=
131.250 − 120.000
250 − 200
=
11.250
50
= 225.
d. 𝑅 = 900𝑄 – 1,5𝑄²
𝑅𝑚𝑎𝑥 =
−𝐵
23𝐴
=
−900
2 ( 1,5 )
=
−900
2( −1,5 )
=
−900
−2
= 300
Besar R maksimum = − 1,5 (300)² + 900 (300)
= − 135.000 + 270.000
= 135.000

❖ Fungsi Biaya
Fungsi biaya merupakan hubungan antara biaya dengan jumlah
produksi yang di hasilkan. Besarnya biaya total ini merupakan hasil
kali antara banyaknya barang yang diproduksi dengan biaya rata-
rata per unit, yang dapat dinyatakan sebagai:
𝑪 = 𝒇(𝑸)
= 𝑸
dimana:
𝐶 = biaya total (total cost)
𝑄 = kuantitas barang yang diproduksi/jumlah produksi
Dalam membicarakan biaya terdapat beberapa macam biaya, yaitu:
Biaya Tetap (Fixed Cost = 𝑭𝑪)
Biaya tetap adalah biaya yang senantiasa tetap besarnya, tidak
tergantung dari banyak sedikitnya barang yang diproduksi, seperti
antara lain: gaji pegawai, sewa, bunga uang, penyusutan.
𝑭𝑪 = 𝒌
Biaya Variabel (Variable Cost)
Biaya variabel adalah biaya yang besarnya dapat berubah-ubah
tergantung dari banyak sedikitnya barang yang diproduksi, seperti
antara lain: upah tenaga kerja, bahan baku, biayaadvertensi. Jadi,
biaya variabel inilah yang sebenarnya merupakan fungsi dari
banyaknya barang yang diproduksi, yang dapat dinyatakan sebagai
berikut:
𝑽𝑪 = 𝒇(𝑸)
= 𝒗. 𝑸
dimana:
𝑣 = biaya variabel per unit barang yang diproduksi.
𝑄 = kuantitas barang

Biaya Total (Total Cost = 𝑻𝒄 = 𝑪)
Biaya total merupakan penjumlahan antara biaya tetap dengan
biaya variabel.
𝑻𝑪 = 𝑭𝑪 + 𝑽𝑪
dimana:
𝑇𝐶 = biaya total
𝑉𝐶 = biaya variabel
𝐹𝐶 =biaya tetap
Biaya Tetap Rata-rata (Average Fixed Cost = 𝑨𝑭𝑪)
Biaya tetap rata-rata atau biaya per unit (AC) adalah biaya tetap
yang dibebankan kepada satu unit output.
𝑨𝑭𝑪 = 𝑻𝑭𝑪/𝑸
dimana:
𝐴𝐶 = Biaya tetap rata-rata
𝑇𝐶 = Biaya tetap
𝑄 = Jumlah unit barang yang diproduksi
Biaya Variabel Rata-rata (Average Variable Cost = 𝑨𝑽𝑪)
Biaya variabel rata-rata yaitu biaya yang dibebankan kepada setiap
unit output.
𝑨𝑽𝑪 = 𝑻𝑽𝑪/𝑸
Biaya Total Rata-Rata (Average Total Cost = 𝑨𝑪)
Biaya total rata-rata yaitu biaya produksi yang diperhitungkan
untuk setiap unit output.
𝑨𝑪 = 𝑻𝑪/𝑸
= 𝑇𝐹𝐶 + 𝑇𝑉𝐶/𝑄
= 𝑇𝐹𝐶/𝑄 + 𝑇𝑉𝐶/𝑄
𝑨𝑪 = 𝑨𝑭𝑪 + 𝑨𝑽𝑪

Biaya Marginal
Biaya marginal per unit output (MC) adalah perubahan biaya total
yang berkaitan dengan perubahan satu unit dari input.
Rumus:
1. 𝑪 = 𝑨𝑪 × 𝑸 atau 𝑪 = 𝑭𝑪 + 𝑽𝑪
2. 𝑭𝑪 = 𝑨𝑭𝑪 × 𝑸
3. 𝑽𝑪 = 𝑨𝑽𝑪 × 𝑸
LATIHAN
Misalkan masing-masing pasangan fungsi permintaan linier dan fungsi
penawaran kuadratik dari suatu produk tertentu telah diketahui seperti
berikut ini.
1. 𝑄𝑑 = 24 − 4𝑃 dan 𝑄𝑠 = 2𝑃2
− 2𝑃
2. 𝑄𝑑 = 80 − 12𝑃 dan 𝑄𝑠 = 4𝑃2
− 8𝑃
3. 𝑄𝑑 = 169 − 10𝑃 dan 𝑄𝑠 = 𝑃2
− 4𝑃
4. 𝑄𝑑 = 180 − 15𝑃 dan 𝑄𝑠 = 2𝑃2
− 6𝑃
5. 𝑄𝑑 = 350 − 25𝑃 dan 𝑄𝑠 = 5𝑃2
− 10𝑃
6. 𝑃𝑑 = 23 − 𝑄 dan 𝑃𝑠 = 5 + 2𝑄 + 𝑄2
7. 𝑃𝑑 = 65 − 𝑄 dan 𝑃𝑠 = 5 + 3𝑄 + 𝑄2
8. 𝑃𝑑 = 60 − 3𝑄 dan 𝑃
𝑠 = 4 + 3𝑄 + 2𝑄2
9. 𝑃𝑑 = 96 − 3𝑄 dan 𝑃
𝑠 = 6 + 5𝑄 + 2𝑄2
10. 𝑃𝑑 = 64 − 4𝑄 dan 𝑃
𝑠 = 10 + 5𝑄 + 3𝑄2
11. 𝑃𝑑 = 120 − 3𝑄 dan 𝑃
𝑠 = 5 + 5𝑄 + 𝑄2
12. 𝑃𝑑 = 60 − 3𝑄 dan 𝑃
𝑠 = 15 + 𝑄 + 𝑄2
13. 𝑃𝑑 = 120 − 4𝑄 dan 𝑃
𝑠 = 8 + 2𝑄 + 𝑄2
14. 𝑃𝑑 = 42 − 𝑄 dan 𝑃𝑠 = 10 + 3𝑄 + 𝑄2
15. 𝑃𝑑 = 35 − 5𝑄 dan 𝑃
𝑠 = 8 + 𝑄 + 𝑄2
(a) Carilah harga dan jumlah jumlah keseimbangan pasar
secara aljabar!
(b) Gambarkanlah keseimbangan pasar tersebut ke dalam
satu diagram!
Misalkan masing-masing pasangan fungsi permintaankuadratik dan
fungsi penawaran linier dari suatu produk tertentu telah diketahui
seperti berikut ini.

16. 𝑄𝑑 = 25 − 𝑃2
dan 𝑄𝑠 = 3𝑃 − 3
17. 𝑄𝑑 = 36 − 𝑃2
dan 𝑄𝑠 = 8𝑃 − 12
18. 𝑄𝑑 = 49 − 𝑃2
dan 𝑄𝑠 = 12𝑃 − 36
19. 𝑄𝑑 = 64 − 𝑃2
dan 𝑄𝑠 = 8𝑃 − 20
20. 𝑄𝑑 = 100 − 𝑃2
dan 𝑄𝑠 = 6𝑃 − 12
21. 𝑄𝑑 = 32 − 0,5𝑃2
dan 𝑄𝑠 = 4𝑃 − 10
22. 𝑄𝑑 = 56 − 𝑃 − 𝑃2
dan 𝑄𝑠 = 8𝑃 − 14
23. 𝑃𝑑 = 9 − 𝑄2
dan 𝑃
𝑠 = 2𝑄 + 1
24. 𝑃𝑑 = 25 − 𝑄2
dan 𝑃
𝑠 = 2𝑄 + 10
25. 𝑃𝑑 = 36 − 𝑄2
dan 𝑃
𝑠 = 3𝑄 + 18
26. 𝑃𝑑 = 49 − 𝑄2
dan 𝑃
𝑠 = 4𝑄 + 4
27. 𝑃𝑑 = 64 − 𝑄2
dan 𝑃
𝑠 = 𝑄 + 22
28. 𝑃𝑑 = 81 − 𝑄2
dan 𝑃
𝑠 = 2𝑄 + 46
29. 𝑃𝑑 = 100 − 𝑄2
dan 𝑃𝑠 = 4𝑄 + 4
30. 𝑃𝑑 = 50 − 2𝑄2
dan 𝑃𝑠 = 2𝑄 + 10
31. 𝑃𝑑 = 50 − 0,5𝑄2
dan 𝑃𝑠 = 𝑄 + 10
32. 𝑃𝑑 = 32 − 0,5𝑄2
dan 𝑃𝑠 = 2𝑄 + 2
33. 𝑃𝑑 = 200 − 0,5𝑄2
dan 𝑃𝑠 = 3𝑄 + 120
34. 𝑃𝑑 = 200 − 2𝑄2
dan 𝑃𝑠 = 2𝑄 + 401
35. 𝑃𝑑 = 300 − 3𝑄2
dan 𝑃𝑠 = 3𝑄 + 30
(1) Carilah harga dan jumlah jumlah keseimbangan pasar
secara aljabar!
(2) Gambarkanlah keseimbangan pasar terssebut ke dalam
satu diagram!
Misalkan masing-masing pasangan fungsi permintaan kuadratik dan
fungsi penawaran kuadratik dari suatu produk tertentu telah diketahui
36. 𝑄𝑑 = 84 − 𝑃2
dan 𝑄𝑠 = 𝑃 + 4𝑃2
37. 𝑄𝑑 = 64 − 8𝑃 − 2𝑃2
dan 𝑄𝑠 = 10𝑃 + 5𝑃2
38. 𝑄𝑑 = 64 − 𝑃2
dan 𝑄𝑠 = 𝑃2
+ 4𝑃 − 32
39. 𝑄𝑑 = 128 − 𝑃2
dan 𝑄𝑠 = 𝑃2
+ 4𝑃 − 32
40. 𝑄𝑑 = 30 − 𝑃 − 𝑃2
dan 𝑄𝑠 = 4𝑃 + 4𝑃2
41. 𝑃𝑑 = 60 − 3𝑄2
dan 𝑃𝑠 = 𝑄2
+ 4𝑄 + 12
42. 𝑃𝑑 = 45 − 3𝑄2
+ 2𝑄 + 3
43. 𝑃𝑑 = 9 − 2𝑄2
dan 𝑃
𝑠 = 𝑄2
+ 5𝑄 + 1

44. 𝑃𝑑 = 50 − 2𝑄2
+ 3𝑄 + 14
45. 𝑃𝑑 = 25 − 𝑄2
dan 𝑃
𝑠 = 𝑄2
+ 2𝑄 + 1
46. 𝑃𝑑 = 200 − 2𝑄2
dan 𝑃𝑠 = 2𝑄2
+ 4𝑄 + 32
47. 𝑃𝑑 = 50 − 0,5𝑄2
dan 𝑃𝑠 = 1,5𝑄2
+ 4𝑄 + 2
48. 𝑃𝑑 = 400 − 𝑄2
+ 6𝑄 + 40
49. 𝑃𝑑 = 225 − 𝑄2
dan 𝑃𝑠 = 2𝑄2
+ 6𝑄 + 81
50. 𝑃𝑑 = 72 − 0,5𝑄2
+ 3𝑄 + 36
51. 𝑃𝑑 = 144 − 𝑄2
+ 8𝑄 + 48
52. 𝑃𝑑 = 98 − 0,5𝑄2
+ 3𝑄 + 26
53. 𝑃𝑑 = 128 − 0,5𝑄2
+ 6𝑄 + 38
54. 𝑃𝑑 = 162 − 0,5𝑄2
+ 2𝑄 + 18
55. 𝑃𝑑 = 100 − 0,25𝑄2
dan 𝑃
𝑠 = 0,25𝑄2
+ 2𝑄 + 30
56. 𝑃𝑑 = 36 − 0,25𝑄2
+ 2𝑄 + 12
57. 𝑃𝑑 = 49 − 0,25𝑄2
+ 4𝑄 + 17
58. 𝑃𝑑 = 64 − 0,25𝑄2
+ 0,5𝑄 + 9
59. 𝑃𝑑 = 81 − 0,25𝑄2
+ 2𝑄 + 11
60. 𝑃𝑑 = 200 − 0,5𝑄2
+ 6𝑄 + 56
secara aljabar!
satu diagram!
Misalkan masing-masing pasangan fungsi permintaan hiperbolik dan
fungsi penawaran linier dari suatu produk tertentu telah diketahui
61. 𝑃𝑄 = 30 dan 𝑄𝑠 = 3𝑃 − 9
62. 𝑃𝑄 = 15 dan 𝑄𝑠 = 𝑄 + 2
63. 𝑃𝑄 = 28 dan 𝑄𝑠 = 𝑄 + 3
64. 𝑃𝑄 = 32 dan 𝑄𝑠 = 𝑄 + 4
65. 𝑃𝑄 = 72 dan 𝑄𝑠 = 𝑄 + 6
66. 𝑃𝑄 = 192 dan 𝑄𝑠 = 2𝑄 + 8
67. 𝑃𝑄 = 162 dan 𝑄𝑠 = 3𝑄 + 9
68. 𝑃𝑄 = 160 dan 𝑄𝑠 = 2𝑄 + 4
69. 𝑃𝑄 = 105 dan 𝑄𝑠 = 3𝑄 + 6
70. 𝑃𝑄 = 96 dan 𝑄𝑠 = 4𝑄 + 8
71. 𝑃𝑄 = 600 dan 𝑄𝑠 = 2𝑄 + 10

72. (𝑄 + 16)(𝑃 + 12) = 480 dan 𝑃
𝑠 = 2𝑄 + 4
73. (𝑄 + 10)(𝑃 + 20) = 300 dan 𝑃
𝑠 = 2𝑃 − 8
74. (𝑄 + 6)(𝑃 + 12) = 120 dan 𝑃𝑠 = 2𝑃 − 4
75. (𝑄 + 12)(𝑃 + 6) = 169 dan 𝑃𝑠 = 𝑄 + 6
76. (𝑄 + 5)(𝑃 + 6) = 80 dan 𝑃
𝑠 = 3𝑃 − 9
77. (𝑄 + 10)(𝑃 + 5) = 225 dan 𝑃𝑠 = 𝑄 + 5
78. (𝑄 + 4)(𝑃 + 5) = 220 dan 𝑃
𝑠 = 𝑄 + 8
79. (𝑄 + 3)(𝑃 + 2) = 120 dan 𝑃
𝑠 = 𝑄 + 3
80. (𝑄 + 8)(𝑃 + 6) = 252 dan 𝑃
𝑠 = 𝑄 + 6
secara aljabar!
satu diagram!
Misalkan masing-masing fungsi permintaan (𝑃𝑑) dari satu produk
tertentu telah diketahui seperti berikut ini.
81. 𝑃𝑑 = 100 − 𝑄
82. 𝑃𝑑 = 150 − 3𝑄
83. 𝑃𝑑 = 300 − 3𝑄
84. 𝑃𝑑 = 500 − 𝑄
85. 𝑃𝑑 = 600 − 2𝑄
86. 𝑃𝑑 = 1000 − 2𝑄
87. 𝑃𝑑 = 3000 − 3𝑄
88. 𝑃𝑑 = 4000 − 5𝑄
89. 𝑃𝑑 = 8000 − 4𝑄
90. 𝑃𝑑 = 9000 − 3𝑄
(a) Hitunglah jumlah produk yang harus dijual agar
penerimaan total dari hasil penjualannya mencapai
maksimum!
(b) Berapa besar nilai penerimaan total maksimum tersebut?
(c) Gambarkanlah kurva permintaan dan kurva penerimaan
total dalam satu diagram!
Misalkan masing-masing fungsi penerimaan total (𝑇𝑅) dari produk
tertentu telah diketahui seperti berikut ini.
91. 𝑇𝑅 = 225𝑄 − 1,5𝑄2

92. 𝑇𝑅 = 300𝑄 − 𝑄2
93. 𝑇𝑅 = 100𝑄 − 𝑄2
94. 𝑇𝑅 = 60𝑄 − 2𝑄2
95. 𝑇𝑅 = 120𝑄 − 1,5𝑄2
96. 𝑇𝑅 = 40𝑄 − 0,05𝑄2
97. 𝑇𝑅 = 10000𝑄 − 4𝑄2
98. 𝑇𝑅 = 12000𝑄 − 3𝑄2
99. 𝑇𝑅 = 15000𝑄 − 5𝑄2
100. 𝑇𝑅 = 30000 − 3𝑄2
(a) Hitunglah jumlah produk yang harus dijual agar
penerimaan total dari hasil penjualannya mencapai
maksimum!
(b) Berapa besar nilai penerimaan total maksimum tersebut?
(c) Gambarkanlah kurva penerimaan total dalan satu
diagram!
101. Tabel berikut ini menunjukkan data mengenai fungsi produksi
dengan satu input variabel, yaitu tenaga kerja (𝐿).
𝐿 𝑇𝑃 = 𝑄 𝑀𝑃𝐿 𝐴𝑃𝐿
0 0
1 40
2 100
3 170
4 220
5 250
6 260
7 250
8 200
(a) Dari informasi di dalam table di atas, hitunglah produk
marginal (𝑀𝑃𝐿) dan produk rata-rata dari tenaga kerja!
(b) Gambarkanlah kurva produk total (𝑇𝑃), produk marginal
(𝑀𝑃), dan produk rata-rata dalam satu diagram!

(c) Pada range berapa fungsi produksi ini mempunyai hasil
marginal yang menurun (diminishing marginal return)?
(d) Pada tenaga kerja berapa produk total (𝑇𝑃), produk
marginal (𝑀𝑃), dan produk rata-rata (𝐴𝑃) maksimum?
102. Misalkan telah diketahui fungsi produksi dengan satu macam
input variabel, yaitu tenaga kerja adalah 𝑄 = 99𝐿 + 12𝐿2
− 𝐿3
.
(a) Carilah fungsi produksi rata-rata dari tenaga kerja (𝐴𝑃1)
dan fungsi produksi marginal dari tenaga kerja (𝑀𝑃1)!
Setelah itu, buatlah dalam sebuah tabel yang berisikan
kolom 𝐿, 𝑄 atau 𝑇𝑃, 𝑀𝑃 dan 𝐴𝑃! (Ingat Interval 𝐿 adalah
0 − 12.
(b) Gambarkanlah kurva produksi total, kurva produksi
marginal, dan kurva produksi rata-rata dalam sebuah
diagram!
(c) Berapakah jumlah tenaga kerja yang digunakan agar
produksi total maksimum?
(d) Berapakah jumlah tenaga kerja yang digunakan agar
produksi marginal maksimum?
(e) Berapakah jumlah tenaga kerja yang digunakan agar
produksi rata-rata maksimum?
103. Misalkan telah diketahui fungsi produksi total dengan satu
macam input variabel dari suatu perusahaan, yaitu 𝑄 = 84𝐿 +
18𝐿2
− 𝐿3
, isilah nilai-nilai 𝑄, 𝑀𝑃, dan 𝐴𝑃 pada tabel berikut
ini.
𝐿 𝑄 𝑀𝑃 𝐴𝑃
0
1
2
3
4
5
6
7

8
9
10
Setelah itu, hitunglah berapa banyak output (𝑄) yang harus
perusahaan hasilkan agar:
(a) 𝑀𝑃 maksimum?
(b) 𝐴𝑃 maksimum?
104. Misalkan sebuah perusahaan ingin memproduksi roti dengan
menggunakan tenaga kerja sebagai input variabel dan input
lainnya berupa mesin dan bangunan pabrik adalah tetap. Hasil
produksi roti dan penggunaan tenaga kerja (𝑇𝐾) adalah
sebagai berikut:
𝑇𝐾 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
𝑅𝑜𝑡𝑖 0 25 55 150 225 295 335 350 365 355
(a) Hitunglah produk marginal (𝑀𝑃) dan produk rata-rata
(𝐴𝑃) dari tenaga kerja!
(b) Pada unit tenaga kerja berapa hasil marginal yang menaik?
(c) Pada unit tenaga kerja berapa hasil marginal yang
menurun?
(d) Gambarkanlah kurva produksi total, marginal, dan rata-
rata dalam satu diagram!
105. Misalkan sebuah perusahaan mebel ingin memproduksi meja
dengan menggunakan tenaga kerja sebagai input variabel dan
input lainnya berupa mesin dan bangunan pabrik adalah tetap.
Hasil produksi meja tersebut adalah sebagai berikut:
𝑇𝐾 0 1 2 3 4 5 6 7
𝑀𝑒𝑗𝑎 0 10 18 25 28 30 29 27
(a) Tentukan pada unit tenaga kerja berapa hasil marginal
berkurang!
(b) Pada unit tenaga kerja berapa produksi total mencapai
maksimum?

(c) Gambarkan kurva produksi total secara terpisah dengan
kurva produksi marginal dan rata-rata, kemudian
tentukanlah tahap-tahp produksi!
106. Misalkan sebuah perusahaan mempunyai fungsi produksi
jangka pendek berikut ini: 𝑄 = 63𝐿 + 6𝐿2
− 𝐿3
, di mana 𝑄 =
jumlah output per bulan; 𝐿 = jumlah pekerja.
(a) Gambarkanlah ketiga tahap produksi dari perusahaan
tersebut!
(b) Pada tahap produksi I berapa unit pekerja yang
digunakan? Juga pada tahap produksi II dan III berapa unit
pekerja yang digunakan?
(c) Berapa unit pekerja yang harus digunakan agar mencapai
output maksimum?
(d) Berapa jumlah output yang maksimum?
Misalkan masing-masing persamaan kurva transformasi produksi dari
produk tertentu telah diketahui seperti berikut ini.
107. 𝑌 = 40 − 3𝑋 − 𝑋2
(parabola)
108. 𝑋 = 120 − 2𝑌 − 𝑌2
(parabola)
109. 𝑋2
+ 𝑌2
− 64 = 0 (Lingkaran)
110. 𝑋2
+ 𝑌2
− 144 = 0 (Lingkaran)
111.
𝑋2
100
+
𝑌2
81
= 1 (Elips)
112.
𝑋2
64
+
𝑌2
121
= 1 (Elips)
(a) Berapa jumlah produk 𝑋 dan 𝑌 yang dapat dihasilkan
paling banyak dari masing-masing persamaan kurva
transformasi produksi ini?
(b) Gambarkanlah masing-masing kurva transformasi
produksi ini dalam satu diagram!

BAB 7
FUNGSI UTILITAS
Dalam ekonomi, utilitas adalah jumlah dari kesenangan atau
kepuasan relatif (gratifikasi) yang dicapai. Fungsi Utilitas menjelaskan
besarnya utilitas (kepuasan, kegunaan) yang diperoleh seseorang dari
mengkonsumsi suatu barang atau jasa. semakin banyak jumlah suatu
barang yang dikonsumsi, maka semakin besar utilitas yang diperoleh.
kemudian mencapai puncaknya (titik jenuh) pada jumlah konsumsi
tertentu, berkurang atau negative bila jumlah barang yang dikonsumsi
terus-menerus ditambah.
Pendekatan Fungsi Utilitas
1. Fungsi Utilitas Kardinal
Menjelaskan berapa banyak suatu barang yang lebih disukai dari
pada barang lain
2. Fungsi Utilitas Ordinal
Fungsi yang menggambarkan utilitas dari yang paling disukai
menuju yang tidak disukai
UTILITAS TOTAL
Utiitas total adalah fungsi dari jumlah barang yang dikonsumsi.
Lambang : 𝑈
Bentuk : Fungsi Kuadrat Parabolik dengan kurva berbentuk
parabola terbuka kebawah
Rumus :
𝑼 = 𝒇(𝑸)
Keterangan:
𝑈 = Utilitas total
𝑄 = Jumlah Barang

UTILITAS MARJINAL
Utilitas marjinal adalah utilitas tambahan yang diperoleh dari
setiap tambahan satu unit barang yang dikonsumsi. Lambang : 𝑀𝑈
Rumus :
𝑴𝑼 = 𝑼’ = 𝒇’(𝑸) =
∆𝑼
∆𝑸
Keterangan:
𝑈 = utilitas total
𝑈’ = turunan
HUBUNGAN UTILITAS TOTAL DAN UTILITAS MARJINAL
Utilitas total merupakan integrasi dari utilitas marjinal
Rumus :
𝑼 = ∫ 𝑴𝑼 𝒅 𝑸 = ∫ 𝒇’ (𝑸) 𝒅 𝑸
Grafik Utilitas Total dan Utilitas Marjinal
Utilitas Total
𝑈 = 𝑓(𝑄)
Utilitas Marjinal
𝑀𝑈 = 𝑓’ =
∆𝑈
∆𝑄

FUNGSI PRODUKSI
Fungsi Produksi merupakan suatu fungsi atau persamaan yang
menyatakan hubungan antara tingkat output dengan tingkat
penggunaan input – input.
Rumus Fungsi Produksi
𝑸 = 𝒇 (𝑪, 𝑳, 𝑹, 𝑻)
𝑄 : Jumlah Barang
𝐹 : simbol persamaan fungsional
𝐶 : Modal
𝐿 : Tenaga Kerja
𝑅 : Sumber Daya Alam
𝑇 : Teknologi dan kewirausahaan
Dalam fungsi produksi kita juga harus mengetahui dan menguasai
tentang 𝑇𝑃 (Total Product), 𝑀𝑃 (Marginal Product), dan 𝐴𝑃 (Average
Product)
Teori Product (TP)
Produk total (𝑇𝑃) adalah jumlah produk yang dihasilkan dengan
menggunakan seluruh input faktor produksi tenaga kerja (𝐿).
Rumus :
𝑸 = 𝒇 (𝑳)
Keterangan:
𝑄 : Jumlah Barang
𝐿 : Tenaga Kerja
Marginal Product (MP)
Produk marjinal (𝑀𝑃) merupakan perbandingan antara
perubahan produk total dengan perubahan jumlah tenaga kerja
Rumus :
𝑴𝑷 =
∆ 𝑻𝑷
∆ 𝑳
=
𝑻𝑷𝟐 − 𝑻𝑷𝟏
𝑳𝟐 − 𝑳𝟏
Keterangan:
𝑀𝑃 : Produk Marjinal
∆TP : Perubahan / tambahan produk total
∆L : Perubahan / tambahan tenaga kerja

Average Product
Produk rata rata (𝐴𝑃) adalah rata – rata produk yang dihasilkan
oleh setiap input tenaga kerja. Produk rata – rata merupakan hasil
bagi antara total produk dengan jumlah tenaga kerja
Rumus :
𝑨𝑷 =
𝑻𝑷
𝑳
Keterangan:
𝐴𝑃 : Produk rata – rata
𝑇𝑃 : Total Produk
𝐿 : Tenaga Kerja
MODEL PERTUMBUHAN PENDUDUK
Pertumbuhan penduduk adalah perubahan populasi sewaktu-waktu,
dan dapat dihitung sebagai perubahan dalam jumlah individu dalam
sebuah populasi menggunakan per waktu unit untuk pengukuran.
Penerapan Deret Ukur yang paling sering digunakan dalam
perekonomian adalah dalam hal penaksiran jumlah penduduk.
Sebagaimana pernah dinyatakan oleh Malthus, penduduk dunia tumbuh
mengikuti pola deret ukur.
Rumus Model Pertumbuhan Penduduk:
𝑷𝒕 = 𝑷𝟏 ∙ 𝑹𝒕 –𝟏
Dengan 𝑹 = 𝟏 + 𝒓
Keterangan :
𝑃1 = jumlah pada tahun pertama (basis)
𝑃𝑡 = jumlah pada tahun ke-t
𝑟 = Presentase pertumbuhan per tahun
𝑡 = Indeks waktu (tahun)

Kurva Gompertz
Fungsi ini menggambarkan perkembangan yang lambat waktu
mulai tumbuh, dan waktu mendekati asimtot batas pertumbuhan.
Fungsi ini dinyatakan sebagai berikut :
Rumus : 𝑵 = 𝑪 ∙ 𝒂𝑹𝒕
Keterangan :
𝑁 = Jumlah penduduk pada tahun ke-t
𝐶 = Tingkat pertumbuhan dewasa (asimtut tertinggi)
𝑎 = Proporsi pertumbuhan awal
𝑅 = Tingkat pertumbuhan ( dengan 0 < 𝑅 < 1 )
𝑡 = Indeks waktu
Sifat utama dari fungsi Gompertz digambarkan dengan dua jenis
kurva di bawah ini.
Tipe I : 0 < 𝑎 <
1
𝑒
Tipe II :
1
𝑒
< 𝑎 < 1
Kurva I, untuk nilai 𝑡 kecil yang positif kurva cembung terhadap
sumbu 𝑡 (berakselerasi positif) dan untuk nilai 𝑡 besar yang positif,
kurva cekung terhadap sumbu t (berakselerasi negatif).
Sedangkan kurva II, untuk semua nilai 𝑡 positif, kurva cekung
terhadap sumbu 𝑡 (berakselerasi negatif).
Teoritisi organisasi menemukan dan menggunakan Kurva Gompertz
ini untuk menggambarkan pertumbuhan organisasi. Kurva ini juga
dapat dipergunakan untuk fungsi ekonomi dan bisnis, seperti fungsi
pendapatan total dan produksi.

Kurva Belajar
Metode ini lebih banyak digunakan ke dalam penerapan ekonomi
untuk menggambarkan perilaku produksi dan biaya dalam
hubungannya dengan variabel waktu
1. Bentuk dasar
𝒀 = 𝒎 − 𝒔𝒆−𝒌𝒙
Keterangan:
𝑚 = batas jenuh 𝑦 atau 𝑦 tertinggi yang dapat tercapai
𝑘, 𝑚, 𝑠 > 0.
𝑒 = 2,7182818284 .
2. Perilaku produksi
𝑷 = 𝑷𝒎 − 𝑷𝒔 ∙ 𝒆−𝒓∙𝒕
Keterangan:
𝑃 = Produksi per satuan waktu setelah 𝑡 satuan waktu
𝑃
𝑚 = Kapasitas produksi maksimum per satuan waktu
𝑃
𝑠 = Sisa kapasitas produksi pada permulaan kegiatan
produksi (pada 𝑡 = 0)
𝑡 = Indeks waktu
𝑟 = Tingkat pertumbuhan produksi
𝑒 = 2,7182818284 .
3. Perilaku biaya
𝑪 = 𝑪𝒎 − 𝑪𝒔 ∙ 𝒆−𝒓∙𝒕
Keterangan:
𝐶 = Biaya total per satuan waktu
𝐶𝑚 = Biaya maksimum yang diperkenankan (anggaran yang
disediakan) per
satuan waktu
𝐶𝑠 = Sisa anggaran pada permulaan periode (pada 𝑡 = 0)
𝑡 = Indeks waktu
𝑟 = Presentase kenaikan biaya per satuan waktu
𝑒 = 2,7182818284 .

CONTOH SOAL
1. Carilah persamaan utilitas total dari seorang konsumen jika
utilitas marginalnya 𝑀𝑈 = 90 − 10𝑄
2. Diketahui dari sebuah data adalah sebagai berikut :
Tenaga Kerja
(L)
Total Product
(TP)
1 5
2 20
3 45
4 80
5 105
6 120
7 120
8 110
Ditanya : Carilah hasil dari Marginal Product dan Average Product!
3. Penduduk suatu kota berjumlah 2 juta jiwa pada tahun 1990,
tingkat per tumbuhannya konstans 5 % per tahun sampai pada
tahun 1996. Jika setelah 1996 pertumbuhannya menurun 1,5 %
dari pertumbuhan sebelumnya berapa jumlahnya 11 tahun
kemudian setelah tahun 1996.
4. PT Chup-Chup adalah perusahaan penghasil permen lollipop.
Manajer perusahaan mempunyai data bahwa produksi awal
permen lollipop berjumlah 3.534 bungkus. Tingkat rata-rata
pertumbuhan produksi permen lollipop per tahunnya sebesar
35%. Perusahaan membatasi produksinya maksimal 5.444
bungkus. Hitunglah berapa jumlah produksi permen lollipop yang
dihasilkan PT Chup-Chup pada tahun kelima?
5. Kapasitas produksi maksimum pabrik mentega PT Lezat adalah
4000 kaleng per bulan. Pada permulaan operasinya, pabrik
tersebut hanya mampu memanfaatkan 75% dari kapasitas yang
tersedia. Akan tetapi manajer produksi yakin bahwa produksi
dapat ditingkatkan 5% setiap bulan. Berapa kaleng mentega yang
dihasilkan pada saat produksi perdananya? Berapa kaleng
mentega produksinya per bulan setelah pabrik beroperasi selama
10 bulan?

Jawab :
1. Diketahui 𝑀𝑈 = 90 – 10𝑄
Utilitas total : 𝑈 = ∫ 𝑀𝑈 𝑑𝑄
= ∫ (90 – 10𝑄) 𝑑𝑄
= 90𝑄 – 5 𝑄
2. Dijawab:
Tenaga
Kerja
Total Product
Marginal
Product
Average
Product
(𝑳) (𝑻𝑷) (𝑴𝑷) (𝑨𝑷)
1 5 5 5
2 20 15 10
3 45 25 15
4 80 35 20
5 105 25 21
6 120 15 20
7 120 0 17,14
8 110 -10 13,75
3. Dijawab:
𝑃𝑡 = 𝑃1 ∙ 𝑅𝑡 –1
𝑃𝑡 = 𝑃1 ∙ 𝑅𝑡 –1
𝑃1 = 2.00.000 = 2.000.000 ∙ (1,05)6−1
𝑟 = 5% = 0.05 = 2.000.000 ∙ (1,05)5
𝑅 = 1 + 0,05 = 1,05 = 2.000.000 ∙ (1,276282)
𝑡 = 6 = 2.552.564 Jiwa
(Tahun 1996)
𝑃𝑡 = 𝑃1 ∙ 𝑅𝑡 –1
𝑃𝑡 = 𝑃1 ∙ 𝑅𝑡 –1
𝑃1 = 2.552.564 = 2.552.564 ∙ (1,035)11−1
𝑟 = 5% − 1,05% = 3,5% = 2.552.564 ∙ (1,035)10
𝑟 = 0,035 = 2.552.564 . (1,410599)
𝑅 = 1 + 0,035 = 1,035 = 3.600.644 Jiwa
𝑡 = 11 (Tahun Setelah 1996)

4. 𝐶 = 5.444
𝑋 = 3.534
𝑎 =
𝑥
𝑐
=
3.534
5.444
= 0,649
𝑟 = 35% = 0,35
𝑡 = 5
Ditanya : 𝑁 untuk tahun kelima atau 𝑁5?
Jawab :
𝑁 = 𝐶 ∙ 𝑎𝑅𝑡
𝑁 = 5.444 × 0,6490,355
𝑁 = 5.444 × 0,6490,0052521875
𝑁 = 5.444 × 0,9977319367934
𝑁 = 5.431,6526639036
5. 𝑃
𝑚 = 4000
𝑃
𝑠 = 25% × 𝑃
𝑚
= 0,25 𝑥 4000
= 1000
𝑟 = 5%
𝑡 = 10
𝑒 = 2,7182818284
Produksi perdananya
= 75 % × 4000 = 3000
Produksi setelah 10 bulan
𝑃 = 𝑃
𝑚 − 𝑃
𝑠 ∙ 𝑒−0,05𝑡
= 4000 − 1000 ∙ 𝑒−0,05.10
= 3000 ∙ 𝑒−0,5
= 3000 ∙ 0,6065
= 3393,5

BAB 8
DIFERENSIAL FUNGSI SEDERHANA
HAKIKAT DERIVATIF DAN DIFERENSIAL
∆𝒚
∆𝒙
⇉ lereng dari kurva 𝒚 = 𝒇(𝑿)
𝐥𝐢𝐦
∆𝒚
∆𝒙
=
𝒅𝒚
𝒅𝒙
𝑑𝑦
𝑑𝑥
terdiri dari 2 suku, 𝑑𝑦 dinamakan diferensial 𝑦, 𝑑𝑥 merupakan
diferensial dari 𝑥.
Diferensial dari 𝑥 : 𝑑𝑥 = ∆𝑥
Diferensial dari 𝑦 : 𝑑𝑦 = (
𝑑𝑦
𝑑𝑥
) ∆𝑥
•
𝒅𝒚
𝒅𝒙
lereng taksiran (approximated slope) dari kurva 𝑦 = 𝑓(𝑥)
pada kedudukan 𝑥 tertentu
•
𝚫𝒚
𝚫𝒙
lereng sesungguhnya (the true slope)
• Lereng taksiran ini dapat lebih besar (over estimated), atau lebih
kecil (under estimated), atau sama dengan lereng sesungguhnya
(tergantung pada jenis fungsinya dan besar kecilnnya perubahan
pada variabel bebas)
1. Diferensial konstanta
Jika 𝑦 = 𝑘, dimana k adalah konstanta maka
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 0
Contoh : 𝑦 = 5 →
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 0
2. Diferensial fungsi pangkat
Jika 𝑦 = 𝑥𝑛
, dimana 𝑛 adalah konstanta, maka
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝑛𝑥𝑛
− 1
Contoh : 𝑦 = 𝑥3 𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 3𝑥3−1
= 3𝑥2
3. Diferensial perkalian konstanta dengan fungsi
Jika 𝑦 = 𝑘𝑣, dimana v = ℎ(𝑥), →
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝑘
𝑑𝑣
𝑑𝑥

Contoh 𝑦 = 5𝑥3
→
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 5(3𝑥2) = 15𝑥2
4. Diferensial pembagian konstanta dengan fungsi
Jika 𝑦 =
𝑘
𝑣
, dimana 𝑣 = ℎ(𝑥), maka
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
𝑘𝑑𝑣
𝑑𝑥
𝑣2
Contoh : 𝑦 =
5
𝑥3
,
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
5(3𝑥2)
(𝑥3)2
=
15𝑥2
𝑥6
5. Diferensiasi penjumlahan (pengurangan) fungsi
Jika 𝑦 = 𝑢 ± 𝑣, dimana 𝑢 = 𝑔(𝑥) dan 𝑣 = ℎ(𝑥),
Maka 𝑦′
=
𝑑𝑢
𝑑𝑥
±
𝑑𝑣
𝑑𝑥
Contoh : 𝑦 = 4𝑥2
+ 𝑥3
misalkan 𝑢 = 4𝑥2
→
𝑑𝑢
𝑑𝑥
= 8𝑥
𝑣 = 𝑥3
→
𝑑𝑣
𝑑𝑥
= 3𝑥2
𝑦′
= 8𝑥 + 3𝑥2
𝑦′
=
𝑑𝑢
𝑑𝑥
±
𝑑𝑣
𝑑𝑥
6. Diferensiasi perkalian fungsi
Jika 𝑦 = 𝑢𝑣, dimana 𝑢 = 𝑔(𝑥) dan 𝑣 = ℎ(𝑥),
maka 𝑦′
= 𝑑𝑦 = 𝑢 𝑑𝑣 ± 𝑣 𝑑𝑢 = 𝑢. 𝑣′
+ 𝑣. 𝑢′
Contoh : 𝑦 = (4𝑥2)(𝑥3)
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝑢
𝑑𝑣
𝑑𝑥
− 𝑢
𝑑𝑢
𝑑𝑥
= (4𝑥2)(3𝑥2) + (𝑥3)(8𝑥) = 12𝑥4
+ 8𝑥4
= 20𝑥4
7. Diferensiasi pembagian fungsi
Jika 𝑦 =
𝑢
𝑣
dimana 𝑢 = 𝑔(𝑥) dan 𝑣 = ℎ(𝑥)
Maka,
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= −𝑣
𝑑𝑢
𝑑𝑥
𝑣2
−𝑢𝑑𝑣
𝑑𝑥
𝑣2
Contoh :
𝑦 =
4𝑥2
𝑥3

𝑑𝑦
𝑑𝑥
= −𝑣
𝑑𝑢
𝑑𝑥
𝑣2
−𝑢𝑑𝑣
𝑑𝑥
𝑣2
=
(𝑥3)(8𝑥) − (4𝑥2
)(3𝑥2
)
(𝑥3)2
8𝑥4
− 12𝑥4
𝑥6
=
−4
𝑥2
= −4𝑥−2
8. Diferensiasi fungsi komposit
Jika 𝑦 = 𝑓(𝑢) sedangkan 𝑢 = 𝑔(𝑥) dengan berbentuk lain 𝑦 =
𝑓(𝑔(𝑥))
Maka :
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
𝑑𝑦
𝑑𝑢
.
𝑑𝑢
𝑑𝑥
Contoh: 𝑦 = (4𝑥3
+ 5)3
⟹ misal 𝑢 = 4𝑥3
+ 5 ⟹ 𝑦 = 𝑢2
𝑑𝑢
𝑑𝑥
= 12𝑥2
, 𝑑𝑦 = 𝑑𝑢 = 2𝑢
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
𝑑𝑦
𝑑𝑢
∙
𝑑𝑢
𝑑𝑥
= 2𝑢(12𝑥2) = 2(4𝑥3
+ 5)(12𝑥2) = 96𝑥5
+ 120𝑥2
9. Diferensiasi fungsi berpangkat
Jika 𝑦 = 𝑢𝑛
, dimana 𝑢 = 𝑔(𝑥) dan 𝑛 = konstanta, maka
𝑦′
=
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝑛 ∙ 𝑢𝑛−1
∙
𝑑𝑢
𝑑𝑥
Contoh : 𝑦 = (4𝑥3
+ 5)2
misalkan 𝑢 = 4𝑥3
+ 5 →
𝑑𝑢
𝑑𝑥
= 12𝑥2
𝑦′
=
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝑛 ∙ 𝑢𝑛−1
∙
𝑑𝑢
𝑑𝑥
𝑦 = 2 (4𝑥3
+ 5)(12𝑥2) = 96𝑥5
+ 120𝑥2
FUNGSI 𝒚 = 𝒇(𝒙) Kegunaan Kondisi/Syarat
1. Turunan I
𝑦′
= 𝑓′(𝑥)
1. Mengetahui letak titik
ekstrim
2. Mengetahui apakah suatu
fungsi menaik atau
menurun pada titik
tertentu: Fungsi menaik
(slope kurva positif),
Fungsi menurun (slope
𝑦′
=
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝑓′(𝑥) = 0
𝑦′
=
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝑓′(𝑥) > 0
𝑦′
=
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝑓′(𝑥) < 0

kurva negatif)
2. Turunan II
𝑦′′
= 𝑓′′(𝑥)
1. Mengetahui jenis titik
esktrim: Titik Ekstrim
maksimum (𝑥, 𝑦), Titik
Ekstrim minimum (𝑥, 𝑦)
2. Mencari titik belok
fungsi
Pada 𝑦′
= 0
𝑦′′
=
𝑑2𝑦
𝑑𝑥2
= 𝑓′′(𝑥) < 0
𝑦′′
=
𝑑2𝑦
𝑑𝑥2
= 𝑓′′(𝑥) > 0
𝑦′′
= 0
ELASTISITAS
Elastisitas dari suatu fungsi 𝑦 = 𝑓(𝑥) berkenan dengan 𝑥 dapat
didefinisikan sebagai
𝑬 = 𝐥𝐢𝐦 (
∆𝒚
𝒚
∆𝒙
𝒙
) =
𝒅𝒚
𝒅𝒙
,
𝒙
𝒚
Ini berarti bahwa elastistas 𝑦 = 𝑓(𝑥) merupakan limit dari rasio antara
perubahan relatif dalam 𝑦 terhadap perubahan relatif dalam 𝑥, untuk
perubahan 𝑥 yang sangat kecil atau mendekati nol.
A. Elastisitas Permintaan
Elastisitas permintaan (istilahnya yang lengkap : elastisitas harga
permintaan, price elasticity of demand) ialah suatu koefisien yang
menjelaskan besarnya perubahan jumlah barang yang diminta
akibat adanya perubahan harga. Jika fungsi permintaan dinyatakan
dengan 𝑄 𝑓 (𝑃)
𝐸𝑑 =
Persentase perubahan jumlah barang yang diminta
Persentase perubahan harga
Untuk memudahkan perbandingan di atas dapat dijabarkan sebagai
berikut.
𝑬𝒅 =
∆𝑸
𝑸
∆𝑷
𝑷
=
∆𝑸
𝑸
∶
∆𝑷
𝑷
=
∆𝑸
∆𝑷
∙
𝑷
𝑸

B. Elastisitas Penawaran
Elastisitas penwaran (istilahnya yang lengkap : elastisitas harga
penawaran, price elasticity of supply) ialah suatu koefisien yang
yang menjelaskan besarnya perubahan jumlah barang yang
ditawarkan berkenaan adanya perubahan harga.
𝑬𝒔 =
%𝒅𝑸𝒔
%𝒅𝑷
=
𝑬𝑸𝒔
𝑬𝑷
= 𝐥𝐢𝐦
∆𝑸𝒔
𝑸𝒔
∆𝑷
𝑷
=
𝒅𝑸𝒔
𝒅𝑷
∙
𝑷
𝑸𝒔
BIAYA MARJINAL
Biaya marjinal (Marginal Cost, MC) ialah biaya tambahan yang
dikeluarkan untuk menghasilkan satu unit tambahan produk. Secara
matematika, fungsi biaya marjinal merupakan derivatif pertama dari
fungsi biaya total.
Jika fungsi biaya total dinyatakan dengan 𝐶 = 𝑓(𝑄) di mana 𝐶 adalah
biaya total dan 𝑄 melambangkah jumlah produk, maka biaya
marjinalnya.
𝑴𝑪 = 𝑪′
=
𝒅𝑪
𝒅𝑸
PENERIMAAN MARJINAL
Penerimaan marjinal (Marginal Revenue, MR) ialah penerimaan
tambahan yang diperoleh berkenaan bertambahnya satu unit keluaran
yang diproduksi atau terjual.
Di mana 𝑄 = harga per unit, 𝑞 = quantitas output, 𝑅 = penerimaan total
dan 𝑀𝑅 = penerimaan marginal
𝑴𝑹 = 𝑹′
=
𝒅𝑹
𝒅𝑸
UTILITAS MARJINAL
Utilitas marjinal (Marginal Utility, MU) ialah utilitas tambahan yang
diperoleh konsumen berkenan satu unit tambahan barang yang
dikonsumsinya. Jika fungsi utilitas total dinyatakan dengan 𝑈 = 𝑓(𝑄) di
mana 𝑈 melambangkan utilitas total dan 𝑄 adalah barang yang
dikonsumi, maka 𝑀𝑈 utilitas marjinalnya.

𝑴𝑼 = 𝑼′
=
𝒅𝑼
𝒅𝑸
PRODUK MARJINAL
Produk marjinal (Marginal Product, MP) ialah produk tambahan yang
dihasilkan dari satu unit tambahan faktor produksi yang digunakan.
Secara matematika, fungsi produk marjinal merupakan derivatif
pertama dari fungsi produk total. Jika fungsi produksi total dinyatakan
dengan 𝑃 = 𝑓(𝑋) di mana 𝑃 melambangkan jumlah produk total dan 𝑋
adalah jumlah masukan, maka 𝑀𝑃 produk marjinal.
𝑴𝑷 = 𝑷′
=
𝒅𝒑
𝒅𝒙
ANALISIS KEUNTUNGAN MAKSIMUM
Tingkat produksi yang memberikan keuntungan maksimum, atau
menimbulkan kerugian maksimum, dapat disidik dengan pendekatan
diferensial. Karena baik penerimaan total (𝑅) maupun biaya total (𝐶)
sama–sama merupakan fungsi dari jumlah keluaran yang
dihasilkan/terjual (𝑄), maka dari sini dapat dibentuk suatu fungsi baru
yaitu fungsi keuntungan (𝜋).
Fungsi Keuntungan/Laba : 𝑱𝑰 = 𝑻𝑹 − 𝑻𝑪 = 𝒇(𝑸)
𝐽𝐼 optimum bila 𝐽𝐼′
= 0 atau 𝑀𝑅 = 𝑀𝐶
- Jika 𝐽𝐼′′
< 0 → 𝐽𝐼 Max (keuntungan maksimum)
- Jika 𝐽𝐼′′
> 0 → 𝐽𝐼 Min (keuntungan minimum)
CONTOH SOAL
1. A . 𝑦 = 𝑥6
, maka
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= … … … …
B. 𝑦 =
2
2𝑥4,
maka
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= … … … ….
C. 𝑦 = (6𝑥2)(5𝑥3), maka
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= … … … …
D. 𝑦 = (4𝑥3
+ 5)2
, maka
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= … … … … ..
2. Diketahui 𝑇𝑅 = 200𝑄 + 10, tentukanlah nilai maksimum atau
minimum dari fungsi tersebut!

3. Fungsi permintaaan suatu barang akan ditunjukan oleh persamaan
25 − 3. Tentukan elastisitas permintaanya pada tingkat harga 𝑃 =
5!
4. Bila fungsi biaya rata rata ditunjukkan oleh persamaan 𝐴𝐶 = 25 −
8𝑄 + 𝑄2
. Tentukan Biaya marjinalnya (𝑀𝐶)!
5. Suatu perusahaan monopoli menghadapi permintaan terhadap
barang yang dihasilkan ditunjukkan oleh persamaan 𝑃 = 20 −
1
2
𝑄.
Tentukan persamaan penerimaan marjinal (𝑀𝑅)!
6. Diketahui: Agustus 2014 = tenaga kerja 179.955 orang, total
produksi 86.605.054 unit. Ditanya : Produksi rata rata bulan
Agustus ?
Jawab :
1. a. 𝑦 = 𝑥6
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝑛𝑥𝑛−1
= 6𝑥5
b. 𝑦 =
2
2𝑥4
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= −
2(8𝑥²)
(2𝑥4)²
= −
16𝑥²
4𝑥8
c. 𝑦 = (6𝑥2)(5𝑥3)
𝑢 = 6𝑥2
→
𝑑𝑢
𝑑𝑥
= 12𝑥
𝑣 = 5𝑥3
→
𝑑𝑣
𝑑𝑥
= 15𝑥2
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝑢 ∙
𝑑𝑣
𝑑𝑥
+ 𝑣 ∙
𝑑𝑢
𝑑𝑥
= (6𝑥2)(15𝑥2) + (5𝑥3)(12𝑥)
= 90𝑥4
+ 60𝑥4
= 150𝑥4

d. 𝑦 = (4𝑥3
+ 5)2
misal 𝑢 = 4𝑥3
+ 5
𝑑𝑢
𝑑𝑥
= 12𝑥2
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝑛 ∙ 𝑢𝑛−1
∙
𝑑𝑢
𝑑𝑥
= 2(4𝑥3
+ 5)(12𝑥2)
= 96𝑥5
+ 120𝑥2
2. 𝐷3 = 𝑇𝑅′
= 0
200 − 20𝑄 = 0
20𝑄 = 200
Jadi 𝑄 = 10
𝑇𝑅′
= −10 (𝑇𝑅′
< 0) merupakan titik balik maksimum
Nilai maksimum 𝑇𝑅 = 200𝑄 − 10
= 200(10) − 10
= 1990
3. 𝐸𝑑 = 𝑄𝑑
𝐸𝑑 = −6𝑝′
𝐸𝑑 = −6(5)
𝐸𝑑 = −30
4. 𝐴𝐶 =
𝑇𝐶
𝑄
𝑇𝐶 = 𝑄 ∙ 𝐴𝐶
= 𝑄(25 − 8𝑄 + 𝑄2)
= 25𝑄 − 8𝑄2
+ 𝑄3
𝑀𝐶 =
𝑑𝑇𝐶
𝑑𝑄
=
𝑑(25𝑄 − 8𝑄2
+ 𝑄3)
𝑑𝑄
=
25 − 16𝑄 + 3𝑄2
1
= 25 − 16𝑄 + 3𝑄2

5. 𝑀𝑅 =
𝜕𝑇𝑅
𝜕𝑄
𝑇𝑅 = 𝑃 ∙ 𝑄
𝑃 = 20 −
1
2
𝑄
𝑇𝑅 = (20 −
1
2
𝑄) 𝑄
𝑇𝑅 = 20𝑄 −
1
2
𝑄2
𝑀𝑅 =
𝜕𝑇𝑅
𝜕𝑄
= 20 − 𝑄
6. 𝐴𝑃 =
𝑇𝑃
𝐿
=
86.605.054
179.995
= 481 unit

BAB 9
DIFERENSIAL FUNGSI
DIFERENSIAL FUNGSI MAJEMUK
• Diferensiasi untuk fungsi-fungsi yang mengandung lebih dari satu
macam variabel bebas.
• Diferensiasi parsial (diferensiasi secara bagian demi bagian)
• Pada umumnya variabel ekonomi berhubungan fungsional tidak
hanya satu macam variabel, tetapi beberapa macam variabel
DIFERENSIASI PARSIAL
Diferensial parsial suatu fungsi yang hanya mengandung satu variabel
bebas yang hanya memiliki satu macam turunan. Apabila 𝑦 = 𝑓(𝑥) maka
turunannya hanyalah turunan 𝑦 terhadap 𝑥, dengan kata lain 𝑦′
=
𝑑𝑦
𝑑𝑥
Jika sebuah fungsi mempunyai 𝑛 macam variabel bebas maka akan
memiliki 𝑛 macam turunan. Jika 𝑦 = 𝑓(𝑥, 𝑧) maka akan terdapat dua
macam turunan yaitu turunan terhadap 𝑥 atau turunan 𝑦 terhadap 𝑧.
1. 𝑦 = 𝑓(𝑥, 𝑧)
𝑦′
{
𝑎) 𝑓𝑥(𝑥, 𝑧) =
𝜕𝑦
𝜕𝑥
𝑏) 𝑓
𝑧(𝑥, 𝑧) =
𝜕𝑦
𝜕𝑧
𝑑𝑦 =
𝜕𝑦
𝜕𝑥
𝑑𝑥 +
𝜕𝑦
𝜕𝑧
𝑑𝑧
2. 𝑝 = 𝑓(𝑞, 𝑟, 𝑠)
𝑝′
{
𝑎) 𝑓
𝑞(𝑞, 𝑟, 𝑠) =
𝜕𝑝
𝜕𝑞
𝑏) 𝑓
𝑟(𝑞, 𝑟, 𝑠) =
𝜕𝑝
𝜕𝑟
𝑐) 𝑓
𝑠(𝑞, 𝑟, 𝑠) =
𝜕𝑝
𝜕𝑠
𝑑𝑝 =
𝜕𝑝
𝜕𝑞
𝑑𝑞 +
𝜕𝑝
𝜕𝑟
𝑑𝑟 +
𝜕𝑝
𝜕𝑠
𝑑𝑠

DERIVATIF DARI DERIVATIF PARSIAL
Apabila suatu turunan parsial berbentuk suatu fungsi yang tinggal
mengandung satu macam variabel bebas, maka turunana berikutnya
hanya ada satu macam. Namun, bila suatu turunan parsial berbentuk
suatu fungsi yang masih mengandung beberapa macam variabel bebas,
maka turunan berikutnya masih dapat dipecah-pecah menjadi beberapa
turunan parsial lagi.
Contoh:
𝑦 = 𝑥3
+ 5𝑧2
− 4𝑥2
𝑧 − 6𝑥𝑧2
+ 8𝑧 − 7
(1)
𝜕𝑦
𝜕𝑥
= 3𝑥2
− 8𝑥𝑧 − 6𝑧2
(2)
𝜕𝑦
𝜕𝑧
= 10𝑧 − 4𝑥2
− 12𝑥𝑧 + 8
Baik
𝜕𝑦
𝜕𝑥
maupun
𝜕𝑦
𝜕𝑧
masih dapat diturunkan secara persial lagi baik
terhadap 𝑥 maupun 𝑧
(1a)
𝜕𝑦
𝜕𝑥
terhadap 𝑥 :
𝜕2𝑦
𝜕𝑥2
= 6𝑥 − 8𝑧
(1b)
𝜕𝑦
𝜕𝑥
terhadap 𝑧 :
𝜕2𝑦
𝜕𝑥𝜕𝑧
= −8𝑥 − 12𝑧
(2a)
𝜕𝑦
𝜕𝑥
terhadap 𝑥 :
𝜕2𝑦
𝜕𝑧𝜕𝑥
= −8𝑥 − 12𝑧
(2b)
𝜕𝑦
𝜕𝑥
terhadap 𝑧 :
𝜕2𝑦
𝜕𝑥2
= 10 − 12𝑥
Ternyata turunan parsial kedua (1a), (1b), (2a), (2b) masih dapat
diturunkan secara parsial lagi baik terhadap 𝑥 maupun terhadap 𝑧.
(1a.1)
𝜕2𝑦
𝜕𝑥2
terhadap 𝑥 :
𝜕3𝑦
𝜕𝑥3
= 6
(1a.2)
𝜕2𝑦
𝜕𝑥2 terhadap 𝑧 :
𝜕3𝑦
𝜕𝑥2𝜕𝑧
= −8
(1b.1)
𝜕2𝑦
𝜕𝑧𝜕𝑥
terhadap 𝑥 :
𝜕3𝑦
𝜕𝑥2𝜕𝑧
= −8
(1b.2)
𝜕2𝑦
𝜕𝑧𝜕𝑥
terhadap 𝑧 :
𝜕3𝑦
𝜕𝑥2𝜕𝑧
= −12
(2a.1)
𝜕2𝑦
𝜕𝑧𝜕𝑥
terhadap 𝑥 :
𝜕3𝑦
𝜕𝑥2𝜕𝑧
= −8
(2a.2)
𝜕2𝑦
𝜕𝑧𝜕𝑥
terhadap 𝑧 :
𝜕3𝑦
𝜕𝑥2𝜕𝑧
= −12
(2b.1)
𝜕2𝑦
𝜕𝑧2
terhadap 𝑥 :
𝜕3𝑦
𝜕𝑥2𝜕𝑧
= −12
(2b.2)
𝜕2𝑦
𝜕𝑧2
terhadap 𝑧 :
𝜕3𝑦
𝜕𝑥3
= 0

NILAI EKSTRIM : MAKSIMUM DAN MINIMUM
Nilai-nilai ekstrim (optimum) dari sebuah fungsi yang mengandung
lebih dari satu variabel bebas dapat dicari dengan pengujian sampai
derivatif keduanya:
Untuk 𝑦 = 𝑓(𝑥, 𝑧),
Maka 𝑦 akan mencapai titik ekstrimnya jika :
𝜕𝑦
𝜕𝑥
= 0 dan
𝜕𝑦
𝜕𝑧
= 0
Guna untuk mengetahui apakah titik ekstrim itu berupa titik maksimum
ataukah titik minimum, dibutuhkan syarat yang mencukupkan, yaitu:
Maksimum jika
𝜕2𝑦
𝜕𝑥2
< 0 dan
𝜕2𝑦
𝜕𝑧2
< 0
Minimum jika
𝜕2𝑦
𝜕𝑥2
> 0 dan
𝜕2𝑦
𝜕𝑥2
> 0
Contoh
Selidiki apakah titik ekstrim dari fungsi berikut ini merupakan titik
maksimum ataukah titik minimum.
Penyelesaian:
𝑦 = −𝑥2
+ 12𝑥 − 𝑧2
+ 10𝑧 − 45
Jawab:
𝜕𝑦
𝜕𝑥
= −2𝑥 + 12
⇒ −2𝑥 + 12 = 0, 𝑥 = 6
⇒
𝜕𝑦
𝜕𝑧
= −2𝑧 + 10
⇒ −2𝑧 + 10 = 0, 𝑧 = 5
⇒ 𝑦 = −(6)2
+ 12(6) − (5)2
+ 10(5) − 45 = 16
⇒
𝜕2𝑦
𝜕𝑥2
= −2 < 0
⇒
𝜕2𝑦
𝜕𝑧2 = −2 < 0
Karena
𝜕2𝑦
𝜕𝑥2
dan
𝜕2𝑦
𝜕𝑧2
< 0, maka titik ekstrimnya adalah titik maksimum
dengan 𝑦𝑚𝑎𝑘𝑠 = 16.

OPTIMASI BERSYARAT
Dalam kenyataan sering kali kita harus mengekstrimkan atau
mengoptimumkan suatu fungsi, yakni mencari nilai maksimum dan nilai
minimumnya, tetapi terkekang oleh suatu fungsi lain yang harus
dipenuhi.
Kasus optimasi bersyarat semacam ini banyak dijumpai dalam bidang
ekonomi yaitu:
1. Pengganda Lagrange
2. Kondisi Kuhn-Tucker
a. Pengganda Lagrange
Dengan cara membentuk sebuah fungsi baru, disebut fungsi
Lagrange, yang merupakan penjumlahan dari fungsi yang hendak
dioptimumkan ditambah hasil kali Pengganda Lagrange dengan
fungsi kendalanya
Misalkan hendak dioptimumkan 𝑧 = 𝑔(𝑥, 𝑦)
Dengan syarat harus terpenuhi 𝑢 = 𝑔(𝑥, 𝑦) Maka fungsi
Lagrangenya:
𝐹(𝑥, 𝑦, 𝜆) = 𝑓(𝑥, 𝑦) + 𝜆𝑔(𝑥, 𝑦)
Nilai ekstrim 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝜆) dapat dicari dengan merumuskan masing-
masing derivatif- parsial pertamanya sama dengan nol
𝐹
𝑥(𝑥, 𝑦, 𝜆) = 𝑓
𝑥 + 𝜆𝑔𝑥 = 0
𝐹
𝑦(𝑥, 𝑦, 𝜆) = 𝑓𝑦 + 𝜆𝑔𝑦 = 0
b. Kondisi Kuhn-Tucker
Dalam metode Khun-Tucker kita mengoptimumkan sebuah fungsi
terhadap kendala yang berbentuk pertidaksamaan. Bentuk
persamaannya biasanya berupa:
Maksimumkan fungsi tujuan 𝑓(𝑥, 𝑦) terhadap kendala 𝑔(𝑥, 𝑦) < 0
atau
Minimumkan fungsi tujuan 𝑓(𝑥, 𝑦) terhadap kendala 𝑔(𝑥, 𝑦) > 0
Prosedur penyelesaiannya dapat ditempuh melalui dua cara, yakni
melalui metode lagrange yang dimodifikasikan kemudian diuji
dengan kondisi (persyaratan) Kuhn-Tucker, Prosedur metode kuhn-
tucker secara langsung dilakukan sebagai berikut:

1. Rumuskan permasalahannya, misalnya maksimumkan 𝑓(𝑥, 𝑦)
terhadap 𝑔(𝑥, 𝑦) < 0 atau minimumkan 𝑓(𝑥, 𝑦) terhadap
𝑔(𝑥, 𝑦) > 0
2. Tetapkan kondisi Kuhn-Tucker
a.
𝜕𝑓(𝑥,𝑦)
𝜕𝑥
− 𝜆
𝜕𝑔(𝑥,𝑦)
𝜕𝑥
= 0
b.
𝜕𝑓(𝑥,𝑦)
𝜕𝑦
− 𝜆
𝜕𝑔(𝑥,𝑦)
𝜕𝑦
= 0
c. 𝜆 𝜕 𝑔 (𝑥, 𝑦) = 0, dimana 𝑔(𝑥, 𝑦) ≤ 0 atau 𝑔(𝑥, 𝑦) ≥ 0
3. Nilai-nilai 𝑥 dan 𝑦 yang memenuhi ketiga kondisi ini merupakan
nilai-nilai yang mengoptimumkan fungsi tujuan 𝑓(𝑥, 𝑦).
PERMINTAAN MARGINAL DAN ELASTISITAS PERMINTAAN
PARSIAL
Apabila dua macam barang mempunyai hubungan dalam
penggunaannya,maka permintaan akan masing-masing barang akan
fungsional terhadap harga masing-masing barang tersebut, maka:
𝑄𝑑𝑎 = 𝑓(𝑃𝑎, 𝑃𝑏) dibaca : permintaan akan barang A dipengaruhi oleh
harga barang A dan harga barang B dan
𝑄𝑑𝑏 = 𝑓 (𝑃𝑎, 𝑃𝑏) dibaca : permintaan akan barang B dipengaruhi oleh
harga barang B dan harga barang A.
Contoh
Fungsi permintaan akan barang a dan barang b masing-masing
ditunjukkan oleh persamaan 𝑄𝑑𝑎 ∙ 𝑃
𝑎
2
∙ 𝑃𝑏
3
− 1 = 0 dan 𝑄𝑑𝑏 ∙ 𝑃
𝑎
3
∙ 𝑃𝑏 −
1 = 0. Berapa elastisitas masing-masing barang dan apa hubungan
kedua barang tersebut?
Penyelesaian:
𝑄𝑑𝑎 =
1
𝑃𝑎
2∙𝑃𝑏
3 = 𝑃
𝑎
−2
∙ 𝑃𝑏
−3
𝑄𝑑𝑏 =
1
𝑃𝑎
3∙𝑃𝑏
= 𝑃
𝑎
−3
∙ 𝑃𝑏
−1
𝑑𝑄𝑑𝑎
𝑑𝑃𝑎
= −2𝑃
𝑎
−3
∙ 𝑃𝑏
−3 𝑑𝑄𝑑𝑏
𝑑𝑃𝑏
= −𝑃
𝑎
−3
∙ 𝑃𝑏
−2
𝑑𝑄𝑑𝑎
𝑑𝑃𝑏
= −3𝑃
𝑎
−2
∙ 𝑃𝑏
−4 𝑑𝑄𝑑𝑏
𝑑𝑃𝑎
= −3𝑃𝑎
−4
∙ 𝑃𝑏
−1
Maka
𝜂𝑑𝑎 =
𝑑𝑄𝑑𝑎
𝑑𝑃𝑎
∙
𝑃𝑎
𝑄𝑑𝑎
=
−2𝑃𝑎
−3∙𝑃𝑏
−3
∙𝑃𝑎
𝑃𝑎
−2∙𝑃𝑏
−3 = −2

𝜂𝑑𝑎𝑏 =
𝑑𝑄𝑑𝑎
𝑑𝑃𝑏
∙
𝑃𝑏
𝑄𝑑𝑎
=
−3𝑃𝑎
−2∙𝑃𝑏
−4
∙𝑃𝑏
𝑃𝑎
−2∙𝑃𝑏
−3 = −3
𝜂𝑑𝑏 =
𝑑𝑄𝑑𝑏
𝑑𝑃𝑏
∙
𝑃𝑏
𝑄𝑑𝑏
=
−𝑃𝑎
−3∙𝑃𝑏
−2
∙𝑃𝑏
𝑃𝑎
−3∙𝑃𝑏
−1 = −1
𝜂𝑑𝑏𝑎 =
𝑑𝑄𝑑𝑏
𝑑𝑃𝑎
∙
𝑃𝑎
𝑄𝑑𝑏
=
−3𝑃𝑎
−4∙𝑃𝑏
−1
∙𝑃𝑎
𝑃𝑎
−3∙𝑃𝑏
−1 = −3
PERUSAHAAN DENGAN DUA MACAM PRODUK
DAN BIAYA PRODUKSI GABUNGAN
Apabila sebuah perusahaan menghasilkan dua macam output, dan biaya
yang dikeluarkan untuk menghasilkan kedua macam produk tersebut
merupakan biaya produksi gabungan, maka perhitungan keuntungan
maksimum dapat dilakukan dengan pendekatan diferensiasi parsial.
Contoh
Biaya total yang dikeluarkan suatu perusahaan untuk menghasilkan dua
macam barang yaitu A dan B adalah 𝐶 = 𝑄𝑎
2
+ 3𝑄𝑏
2
+ 𝑄𝑎 ∙ 𝑄𝑏. Harga jual
masing-masing produk adalah 𝑃
𝑎 = 7 dan 𝑃𝑏 = 20, Hitunglah berapa
unit masing masing barang harus dihasilkan agar keuntungan
maksimum
Penyelesaian:
𝑅𝑎 = 𝑄𝑎 ∙ 𝑃
𝑎 = 7 𝑄𝑎
𝑅𝑏 = 𝑄𝑏 ∙ 𝑃𝑏 = 20 𝑄𝑏
} 𝑅 = 𝑅𝑎 + 𝑅𝑏 = 7 𝑄𝑎 + 20 𝑄𝑏
𝜋 = 𝑅 − 𝐶 = 7 𝑄𝑎 + 20 𝑄𝑏 − (𝑄𝑎
2
+ 3 𝑄𝑏
2
+ 𝑄𝑎 ∙ 𝑄𝑏)
𝜋 = 7 𝑄𝑎 + 20 𝑄𝑏 − 𝑄𝑎
2
− 3 𝑄𝑏
2
− 𝑄𝑎 ∙ 𝑄𝑏
Agar 𝜋 maks mak 𝜋′
= 0
𝜋𝑎
′
= 7 − 2 𝑄𝑎 − 𝑄𝑏 = 0 …………………….(1)
𝜋𝑏
′
= 20 − 6 𝑄𝑏 − 𝑄𝑎 = 0 …………………..(2)
Dari persamaan satu dan dua maka diperoleh:
7 − 2 𝑄𝑎 − 𝑄𝑏 = 0 × 1 7 − 2 𝑄𝑎 − 𝑄𝑏 = 0
20 − 6 𝑄𝑏 − 𝑄𝑎 = 0 × 2 40 − 12 𝑄𝑏 − 2 𝑄𝑎 = 0
−33 + 11 𝑄𝑏 = 0
𝑄𝑏 = 3
_

7 − 2 𝑄𝑎 − 𝑄𝑏 = 0
7 − 2 𝑄𝑎 − 3 = 0 maka 𝑄𝑎 = 2
Dengan demikian 𝜋maks = 7 𝑄𝑎 + 20 𝑄𝑏 − 𝑄𝑎
2
− 3 𝑄𝑏
2
− 𝑄𝑎 ∙ 𝑄𝑏
= 7 ∙ 2 + 20 ∙ 3 − 22
− 3 ∙ 22
− 2 ∙ 3 = 37
UTILITAS MARGINAL PARSIAL DAN KESEIMBANGAN
KONSUMSI
Dalam kenyataan sehari-hari, seorang konsumen tidak hanya
mengkonsumsi satu macam barang tetapi beberapa macam. Jika
kepuasan konsumen dilambangkan dengan 𝑈 dan barang-barang yang
dikonsumsinya dilambangkan dengan 𝑞𝑖 (𝑖 = 2, … . . , 𝑛) maka fungsi
utilitas dinotasikan dengan 𝑈 = 𝑓(𝑞1, 𝑞2, 𝑞3, … , 𝑞𝑛)
Maka fungsi utilitasnya adalah 𝑈 = 𝑓(𝑥, 𝑦)
Derivatif pertama dari 𝑈 merupakan utilitas marginal parsialnya.
𝑀𝑈𝑥 =
𝜕𝑈
𝜕𝑥
adalah utilitas marginal berkenan dengan barang 𝑋
𝑀𝑈𝑦 =
𝜕𝑈
𝜕𝑦
adalah utilitas marginal berkenan dengan 𝑌
Contoh
Kepuasan seorang konsumen untuk mengkonsumsi barang 𝑋 dan 𝑌
dicerminkan dengan fungsi utilitas 𝑈 = 𝑋2
𝑌3
. Jumlah pendapatan
konsumen Rp. 1.000, harga 𝑋 dan 𝑌 masing masing perunit adalah Rp.
25 dan Rp. 50
a. Bentuklah fungsi utilitas marginal untuk masing-masing barang!
b. Berapa utilitas marginal tersebut jika konsumen mengkonsumsi 14
unit 𝑋 dan 13 unit 𝑌?
c. Jelaskan apakah dengan mengkonsumsi 14 unit X dan 13 unit Y
kepuasan konsumen optimum atau tidak?
Penyelesaian:
a. 𝑈 = 𝑋2
𝑌3
𝑀𝑈𝑥 = 𝑈𝑥 =
𝑑𝑈
𝑑𝑋
= 2𝑥𝑦3
𝑀𝑈𝑦 = 𝑈𝑦 =
𝑑𝑈
𝑑𝑌
= 3𝑥2
𝑦2
.
b. Jika 𝑥 = 14 dan 𝑦 = 13

𝑀𝑈𝑥 = 2(14)(133) = 61.516
𝑀𝑈𝑦 = 3(142)(132) = 99.372 .
c.
𝑀𝑈𝑥
𝑃𝑥
=
61.516
25
= 2.460,64
𝑀𝑈𝑦
𝑃𝑦
=
99.372
50
= 1.987,44
𝑀𝑈𝑥
𝑃𝑥
≠
𝑀𝑈𝑦
𝑃𝑦
.
Berarti kombinasi konsumsi 14𝑥 dan 13𝑦 tidak memberikan
kepuasan maksimum, tidak terjadi keseimbangan konsumsi.
PRODUK MARGINAL PARSIAL DAN KESEIMBANGAN
PRODUKSI
Jika jumlah keluaran yang dihasilkan dilambangkan dengan 𝑃 dan
masukan yang digunakan dilambangkan dengan 𝑋𝐼 (𝐼 = 1, 2, … , 𝑛), maka
fungsi produksinya dapat ditulis dengan notasi 𝑃 = 𝑓(𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, … , 𝑥𝑛).
Jika untuk memproduksi suatu barang dianggap hanya dua macam
masukan variabel (katakanlah 𝐾 dan 𝐿), maka fungsi produksinya
secara pasti dapat dinyatakan dengan 𝑃 = 𝑓(𝑘, 𝑙).
Tingkat kombinasi produksi yang optimum dapat dicari dengan
metode lagrange. Dengan fungsi produksi 𝑃 = 𝑓 (𝑘, 𝑙) dimaksimumkan
terhadap fungsi isocost 𝑀 = 𝑘𝑃𝑘 + 𝐼𝑃1.
Tahapan penyelesaian:
Fungsi tujuan yang dioptimalkan; fungus produksi : 𝑃 = 𝑓(𝑘, 𝑙)
Fungsi kendala/syarat ; Fungsi Isocost : 𝑀 = 𝑘𝑃𝑘 + 𝐼𝑃1 menjadi 𝑘𝑃𝑘 +
𝐼𝑃1 − 𝑀 = 0
Fungsi baru : Fungsi Lagrange : 𝐹(𝐾, 𝐼, 𝜆) = 𝑓(𝑘, 𝑙) + 𝜆(𝑘𝑃𝑘 + 𝐼𝑃1 − 𝑀)
= 𝑓(𝑘, 𝑙) + 𝑘𝑃𝑘𝜆 + 𝐼𝑃1𝜆 − 𝑀𝜆 .
CONTOH SOAL
1. Carilah turunan parsial terhadap 𝑢 dan 𝑣 dari fungsi 𝑦 = 𝑓(𝑢, 𝑣) =
(𝑢 + 4)(3𝑢 + 2𝑣)!
2. Carilah titik ekstrim dari fungsi : 𝑝 = 3𝑞2
− 18𝑞 + 𝑟2
− 8𝑟 + 50,
Selidikilah apakah titik ekstrim dari fungsi tersebut merupakan titik
maksimum atau minimum?

3. Tentukan nilai ekstrim 𝑧 dari fungsi 𝑧 = 2𝑥 + 2𝑦 dengan syarat 𝑥2
+
𝑦2
= 8!
4. Diketahui fungsi utilitas barang 𝐾 dan 𝑇 adalah 𝑈 = 𝑘4
𝑡7
. Tentukan
marginal utilitasnya.
Jawab :
1. Turunan terhadap 𝑢
𝜕𝑦
𝜕𝑢
= 3(𝑢 + 4) + 1(3𝑢 + 2𝑣) = 6𝑢 + 2𝑣 + 12
Turunan terhadap 𝑣
𝜕𝑦
𝜕𝑣
= 2(𝑢 + 4) + 0(3𝑢 + 2𝑣) = 2(𝑢 + 4)
2. 𝑝 = 3𝑞2
− 18𝑞 + 𝑟2
− 8𝑟 + 50
𝜕𝑝
𝜕𝑞
= 6𝑞 − 18
6𝑞 − 18 = 0
6𝑞 = 18
𝑞 =
18
6
𝑞 = 3
𝜕𝑝
𝜕𝑟
= 2𝑟 − 8
2𝑟 − 8 = 0
2𝑟 = 8
𝑟 =
8
2
𝑟 = 4
𝑝 = 3(3)2
− (18 ∙ 3) + 42
− 8 ∙ 4 + 50
= 3 ∙ 9 − 54 + 16 − 32 + 50
= 27 − 54 + 16 − 32 + 50
= 7
𝜕²𝑝
𝜕𝑞2
= 6 > 0 (minimum)
𝜕²𝑝
𝜕𝑟2
= 2 > 0 (minimum)
Jadi titik ekstrimnya adalah titik minimum dengan 𝑃maks = 7.

3. 𝐹 = 2𝑥 + 2𝑦 + 𝜆(𝑥2
+ 𝑦2
− 8)
= 2𝑥 + 2𝑦 + 𝜆𝑥2
+ 𝜆𝑦2
− 𝜆8
Agar 𝐹 ekstrim, 𝐹′
= 0
𝐹
𝑥 = 2 + 2𝜆𝑥 = 0, diperoleh 𝜆 = −
1
𝑥
(1)
𝐹
𝑦 = 2 + 2𝜆𝑦 = 0, diperoleh 𝜆 = −
1
𝑦
(2)
Berdasarkan (1) dan (2) : −
1
𝑥
= −
1
𝑦
, atau 𝑥 = 𝑦
Menurut fungsi kendala : 𝑥2
+ 𝑦2
= 8
𝑦2
+ 𝑦2
= 8
2𝑦2
= 8
𝑦2
= 4
𝑦 = ±2
Karena 𝑦 = ±2 dan 𝑥 = ±2
Maka 𝑧 = 2𝑥 + 2𝑦 = ±8
Jadi nilai ekstrim 𝑧 = ±8.
Penyidikan nilai ekstrimnya:
Untuk 𝑥 = 2 dan 𝑦 = 2, 𝜆 = −
1
2
𝐹
𝑥𝑥 = 2𝜆 = −1 < 0
𝐹
𝑦𝑦 = 2𝜆 = −1 < 0
Karena 𝐹
𝑥𝑥 dan 𝐹
𝑦𝑦 < 0, nilai ekstrimnya adalah nilai maksimum
dengan 𝑍maks = 8.
Penyidikan nilai ekstrimnya:
Untuk 𝑥 = −2 dan 𝑦 = −2, 𝜆 = −
1
2
𝐹
𝑥𝑥 = 2𝜆 = 1 > 0
𝐹
𝑦𝑦 = 2𝜆 = 1 > 0
Karena 𝐹
𝑥𝑥 dan 𝐹
𝑦𝑦 > 0, nilai ekstrimnya adalah nilai maksimum
dengan 𝑍min = −8.
4. Fungsi utilitas : 𝑈 = 𝑘4
𝑡7
Fungsi marjinal utilitas : 𝑀𝑈( 𝐾.𝑇 ) = 𝑈′
=
𝜕𝑈
𝜕(𝐾∙𝑇)
Maka, 𝑀𝑈𝐾 = 𝑈′
=
𝜕𝑈
𝜕𝐾
= 4𝑘3
𝑡7
dan 𝑀𝑈𝑇 = 𝑈′
=
𝜕𝑈
𝜕𝑇
= 7𝑘4
𝑡6
.

BAB 10
INTEGRAL
PENGERTIAN
Integral adalah sebuah konsep penjumlahan secara berkesinambungan
dalam matematika, dan bersama dengan inversnya, diferensiasi, adalah
satu dari dua operasi utama dalam kalkulus. Integral dikembangkan
menyusul dikembangkannya masalah dalam diferensiasi di mana
matematikawan harus berpikir bagaimana menyelesaikan masalah yang
berkebalikan dengan solusi diferensiasi.
INTEGRAL TAK TENTU
Integral tak tentu adalah kebalikan dari diferensial, yakni suatu konsep
yang behubungan dengan proses penemuan suatu fungsi asal apabila
turunan atau derivatif dari fungsinya diketahui.
Mengintegralkan suatu fungsi turunan 𝑓(𝑥) berarti adalah mencari
integral atau turunan antinya, yaitu 𝐹(𝑥).
Bentuk umum integral dari 𝑓(𝑥) adalah:
∫ 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙 = 𝑭(𝒙) + 𝒌
Dimana:
∫ = integral
𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = diferensial dari 𝐹(𝑥)
𝑓(𝑥) = integral
𝑑𝑥 = diferensial
𝐹(𝑥) + 𝑘 = fungsi asli atau fungsi asal
𝐹(𝑥) = integral partikular
𝑘 = konstanta

Kaidah-kaidah Integral Tak Tentu
❖ Formula Pangkat
∫ 𝒙𝒏
𝒅𝒙 =
𝒙𝒏+𝟏
𝒏 + 𝟏
+ 𝒌
Contoh:
Diketahui 𝑓(𝑥) = 𝑥4
, carilah fungsi asalnya
Jawaban: ∫ 𝑥4
𝑑𝑥 =
𝑥4+1
4+1
+ 𝑘
=
𝑥5
5
+ 𝑘
❖ Formula Logaritmis
∫
𝟏
𝒙
𝒅𝒙 = 𝐥𝐧 𝒙 + 𝒌
Contoh:
Diketahui ∫
13
𝑥
𝑑𝑥, carilah fungsi asalnya!
Jawaban:
∫
1
𝑥
𝑑𝑥 = ln 𝑥 + 𝑘
∫
13
𝑥
𝑑𝑥 = 13 ln 𝑥 + 𝑘
❖ Formula Eksponensial
∫ 𝒆𝒙
𝒅𝒙 = 𝒆𝒙
+ 𝒌 ∫ 𝒆𝒙
𝒅𝒖 = 𝒆𝒖
+ 𝒌 dimana 𝒖 = 𝒇(𝒙)
Contoh:
∫ 𝑒𝑥+5
𝑑𝑥
Jawaban:
∫ 𝑒𝑥+5
𝑑𝑥 = 𝑒𝑥+5
𝑑(𝑥 + 5) = 𝑒𝑥+5
+ 𝑘
❖ Formula Penjumlahan
∫ 𝒇(𝒙) + 𝒈(𝒙) 𝒅𝒙 = ∫ 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙 + ∫ 𝒈(𝒙) 𝒅𝒙
= 𝑭(𝒙) + 𝑮(𝒙) + 𝒌
Contoh:
Diketahui ∫(𝑥5
+ 3𝑥3) carilah fungsi awalnay!

Jawaban:
∫(𝑥5
+ 3𝑥3
) =
𝑥5+1
5 + 1
+
3𝑥3+1
3 + 1
+ 𝑘
=
𝑥6
6
+
3𝑥4
4
+
❖ Formula Pengurangan
∫ 𝒇(𝒙) − 𝒈(𝒙) 𝒅𝒙 = ∫ 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙 − ∫ 𝒈(𝒙) 𝒅𝒙
= 𝑭(𝒙) − 𝑮(𝒙) + 𝒌
Contoh:
Diketahui ∫(𝑥4
− 3𝑥2) carilah fungsi awalnya!
Jawaban:
∫(𝑥4
− 3𝑥2) =
𝑥4+1
4 + 1
−
3𝑥2+1
2 + 1
+ 𝑘
=
𝑥5
5
−
3𝑥3
3
+ 𝑘 =
𝑥5
5
− 𝑥3
+ 𝑘
❖ Formula Perkalian
∫ 𝒏𝒇(𝒙) 𝒅𝒙 = 𝒏 ∫ 𝒇(𝒙) + 𝒌
Contoh:
∫ 5𝑥3
𝑑𝑥
Jawaban:
∫ 5𝑥3
𝑑𝑥 = 5 ∫
1
3 + 1
𝑥3+1
+ 𝑘 = ∫ 5 ∙
1
4
𝑥4
+ 𝑘 =
5
4
𝑥4
+ 𝑘
❖ Formula Pangkat
∫ 𝒙𝒏
𝒅𝒙 =
𝒙𝒏+𝟏
𝒏 + 𝟏
+ 𝒌
❖ Formula Logaritmis
∫
𝟏
𝒙
𝒅𝒙 = 𝐥𝐧 𝒙 + 𝒌

❖ Formula Substitusi
∫ 𝒇(𝒖)
𝒅𝒖
𝒅𝒙
𝒅𝒙 = 𝒇(𝒖)𝒅𝒖 = 𝑭(𝒖) + 𝒌
𝑼 = 𝒈(𝒙) ∫ 𝒅𝒖 = 𝐬𝐮𝐛𝐬𝐭𝐢𝐭𝐮𝐬𝐢 ∫ 𝒅𝒙
INTEGRAL TENTU
Integral tentu ialah operasi integral yang termasuk dalam limit dari
sebuah luas atau jumlah kawasan tertentu.
Integral yang udah ditentukan nilai awal dan akhirnya, ada rentang 𝑎 −
𝑏. Nah, 𝑎 − 𝑏 merupakan batas atas dan bawah.
Rumus Integral Tentu:
∫ 𝒇(𝒙)
𝒃
𝒂
𝒅𝒙 = 𝑭(𝒃) − 𝑭(𝒂)
Keterangan:
𝑓(𝑥) = fungsi yang nantinya akan kita integralkan
𝑑(𝑥) = variabel integral
𝑎 = batas bawah pada variabel integral
𝑏 = batas atas pada variabel integral
𝐹(𝑎) = nilai integral pada batas bawah
𝐹(𝑏) = nilai integral pada batas atas
Sifat-Sifat Integral Tertentu
1. ∫ 𝑓(𝑥)
𝑏
𝑎
𝑑𝑥 = − ∫ 𝑓(𝑥)
𝑎
𝑏
𝑑𝑥
2. ∫ 𝑓(𝑥)
𝑏
𝑎
𝑑𝑥 + ∫ 𝑓(𝑥)
𝑐
𝑏
𝑑𝑥 = ∫ 𝑓(𝑥)
𝑐
𝑎
𝑑𝑥
3. ∫ 𝑓(𝑥)
𝑎
𝑎
𝑑𝑥 = 0
4. ∫ 𝑘
𝑏
𝑎
𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = 𝑘 ∫ 𝑓(𝑥)
𝑏
𝑎
𝑑𝑥
5. ∫ {𝑓(𝑥)
𝑏
𝑎
± 𝑔(𝑥)} 𝑑𝑥 = ∫ 𝑓(𝑥)
𝑏
𝑎
𝑑𝑥 ± ∫ 𝑔(𝑥)
𝑏
𝑎
𝑑𝑥
6. ∫ 𝑓(𝑥)
𝑏
𝑎
𝑑𝑥 = ∫ 𝑓(𝑡)
𝑏
𝑎
𝑑𝑡

FUNGSI BIAYA
Fungsi biaya merupakan hubungan antara biaya dengan jumlah
produksi yang dihasilkan. Fungsi biaya dapat digambarkan ke dalam
kurva dan kurva biaya menggambarkan titik-titik kemungkinan
besarnya biaya di berbagai tingkat produksi. Dalam membicarakan
biaya ada beberapa macam biaya yaitu:
a. Biaya Total (Total Cost = 𝑇𝐶 = 𝐶)
b. Biaya Variabel (Variabel Cost = 𝑉𝐶)
c. Biaya Tetap (Fixed Cost = 𝐹𝐶)
d. Biaya Total Rata-rata (Average Total Cost = 𝐴𝐶)
e. Biaya Variabel Rata-rata (Average Variabel Cost = 𝐴𝑉𝐶)
f. Biaya Tetap Rata-rata (Average Fixed Cost = 𝐴𝐹𝐶)
g. Biaya Marginal
Rumus:
1. 𝐶 = 𝐴𝐶 × 𝑄 atau 𝐶 = 𝐹𝐶 + 𝑉𝐶
2. 𝐹𝐶 = 𝐴𝐹𝐶 × 𝑄
3. 𝑉𝐶 = 𝐴𝑉𝐶 × 𝑄
Biaya Total → 𝐶 = 𝑓(𝑄)
Biaya Marginal : 𝑀𝐶 ≈ 𝐶′′
≈ +𝑓′(𝑄)
Biaya total tak lain adalah integral dari biaya marginal
𝑪 = ∫ 𝑴𝑪 𝒅𝑸 = ∫ 𝒇′(𝑸) 𝒅𝑸
FUNGSI PENERIMAAN
Fungsi penerimaan disebut juga fungsi pendapatan atau fungsi hasil
penjualan, dilambangkan dengan 𝑅 (Revenue) atau 𝑇𝑅 (Total Revenue).
Fungsi penerimaan merupakan fungsi dari output : 𝑅 = 𝑓(𝑄) dengan
𝑄 = jumlah produk yang laku terjual.
Fungsi penerimaan merupakan hasil kali antara harga jual per unit
dengan jumlah barang yang diproduksi dan laku dijual. Jika 𝑃 adalah
harga jual per unit, maka:
𝑹 = 𝑷 × 𝑸

Dengan: 𝑃 = Harga jual per unit
𝑄 = Jumlah produk yang dijual
𝑅 = Total penerimaan
Fungsi Utilitas
Fungsi utilitas adalah mengukur tingkat kepuasan atau manfaat yang
dirasakan oleh konsumen melalui pengalamannya akan suatu barang
atau jasa yang digunakan.
Rumus :
Penerimaan Total : 𝑹 = 𝑭(𝑸)
Penerimaan Marjinal : 𝑀𝑅 = 𝑅′
≈ 𝑓′(𝑄)
Penerimaan Total Tak lain adalah integral dari penerimaan marjinal
𝐶 = ∫ 𝑀𝑅 𝑑𝑄 = ∫ 𝑓′(𝑄) 𝑑𝑄
FUNGSI PRODUKSI
Fungsi produksi adalah fungsi yang menentukan output dari perusahaan
untuk semua kombinasi masukan.
Empat Fungsi terpenting dalam fungsi produksi dan operasi adalah :
1. proses pengolahan, merupakan metode atau teknik yang digunakan
untuk pengolahan masukan input
2. Jasa-jasa penunjang, merupakan sarana yang berupa
pengorganisasian yang perlu untuk penentapan teknik dan metode
yang akan dijalakan, sehingga proses pengolahan dapat dilaksanakan
secara efektif dan efesien.

3. Perencanaan, merupakan penetapan keterkaitan dan
pengorganisasian dari kegiatan prduksi dan operasi yang akan
dilakukan dalam suatu dasar waktu atau periode tertentu.
4. Pengendalian atau perawatan, merupakan fungsi untuk menjamin
terlaksananya kegiatan sesuai dengan yang direncanakan, sehingga
maksud dan tujuan untuk penggunaan dan pengelohan masukan
(input) pada kenyataanya dapat dilaksanakan.
FUNGSI KONSUMSI DAN TABUNGAN
Fungsi konsumsi adalah hubungan jumlah konsumsi dan penghasilan.
Dan Fungsi tabungan adalah hubungan jumlah tabungan dan
penghasilan.
Rumus fungsi konsumsi dan tabungan adalah sebagai berikut:
𝒀 = 𝑪 + 𝑺
dimana:
𝑌 disebut sebagai pendapatan
𝐶 disebut sebagai konsumsi
𝑆 disebut sebagai tabungan
Empat asumsi menurut Keynes tersebut :
1. Terdapat sejumlah konsumsi mutlak (absolut) tertentu untuk
mempertahankan hidup walaupun tidak mempunyai pendapatan
uang
2. Konsumsi berhubungan dengan pendapatan yang dapat dibelanjakan
(disposable income), yaitu 𝐶 = 𝑓(𝑌𝑑)
3. Jika pendapatan yang siap dibelanjakan meningkat, maka konsumsi
juga akan meningkat walupun dalam jumlah yang lebih sedikit
4. Proporsi kenaikan pendapatan yang siap dibelanjakan untuk
konsumsi marginal (marginal propensity to consume – 𝑀𝑃𝐶)
Rumus Fungsi Konsumsi:
𝑪 = 𝒂 + 𝒃 + 𝒀𝒅
Keterangan :
𝐶 disebut sebagai konsumsi
𝑌𝑑 disebut sebagai pendapatan yang dapat dibelanjakan

𝑎 disebut sebagai konsumsi dasar tertentu yang tidak tergantung pada
pendapatan
𝑏 disebut kecenderungan konsumsi marginal
Rumus Fungsi Tabungan:
𝒀 = 𝑪 + 𝑺
𝒀 = (𝒂 + 𝒃 + 𝒀𝒅)
𝑺 = 𝒀 − (𝒂 + 𝒃 𝒀𝒅)
𝑺 = −𝒂 + (𝟏 − 𝒃) 𝒀𝒅
Keterangan :
𝑆 = tabungan
𝑎 = tabungan negative bila pendapatan sama dengan nol
(1 − 𝑏) = kecenderungan menabung marginal (MPS)
𝑌𝑑 = pendapatan yang dapat di belanjakan
SURPLUS KONSUMEN
Surplus konsumen adalah selisih antara jumlah maksimum yang rela
dibayar oleh seorang konsumen atas suatu produk dengan jumlah yang
sebenarnya dibayar oleh konsumen ketika membeli suatu produk di
pasar.
Bedasarkan gambar diatas rumus :
𝑪𝑺 = %𝑷𝑨 𝑬 𝑸𝒆 − %𝑷𝒆 𝑬 𝑸𝒆 = 𝑷𝒂𝑷𝒆𝑬
Dimana : 𝐶𝑆 = Surplus Konsumen
𝑃𝐴 = Harga
𝐸 = Keseimbangan pasar
𝑄𝑒 = Jumlah keseimbangan
𝑃
𝑒 = Harga keseimbangan

Rumus permintaan adalah :
𝑷𝒅 = 𝒂 − 𝒃𝑸
Dimana : 𝑃𝑑 = Harga barang per unit
𝑎 = Angka konstanta
𝑏 = Gradien
𝑄 = Jumlah barang yang diminta
CONTOH SOAL
1. Tentukan nilai integral dari ∫(𝑥 + 2)2
𝑑𝑥!
2. Tentukan hasil integral dari fungsi berikut: ∫ 4𝑥 𝑑𝑥
4
1
!
Jawab :
1. ∫( 𝑥 + 2 )2
𝑑𝑥 = ∫( 𝑥2
+ 4𝑥 + 4 )𝑑𝑥
= ∫ 𝑥2
𝑑𝑥 + ∫ 4𝑥 𝑑𝑥 + ∫ 4 𝑑𝑥
=
1
3
𝑥3
+ 2𝑥2
+ 4𝑥 + 𝑐
2. ∫ 4𝑥 𝑑𝑥
4
1
= 2𝑥²]1
4
= 2(4)2
− 2(1)2
= 32 − 2
= 30

DAFTAR PUSTAKA
Alhabeeb, M.J (2012), Mathematical Finance, John Wiley & Sons, Inc.,
New Jersey U.S.A
Dumairy, Matematika (2010) Terapan untuk Bisnis dan Ekonomi edisi
ketiga.
Farnham, G. Paul (2010), Economics for Managers, Second Edition,
Pearson Education, Inc., Singapore
Frank H. Robert (2010), Microeconomics and Behavior, Eight Edition,
New York, McGraw Hill, U.S.A
Kalangi, Josep Bintang (2018), Matematika Ekonomi dan Bisnis, Buku 1,
Salemba Empat

PROFIL PENULIS
Sri Retnoningsih, M.Ak atau biasa dipanggil
Retno terlahir di Pati pada tahun 1991. Penulis
telah menempuh pendidikan sarjana (S1)
akuntansi di Universitas Wahid Hasyim dan
magister (S2) akuntansi di Universitas
Diponegoro. Saat ini sedang mengajar pada
program studi akuntansi, Fakultas Ekonomi
dan Bisnis, Universitas Wahid Hasyim,
Semarang.
Penulis memiliki konsentrasi keilmuan akuntansi di bidang keuangan.
Disaat berada dibangku perkuliahan memilih akuntansi keuangan.
Penelitian yang dilakukan sejak 2019 sampai sekarang berkaitan
dengan ilmu keuangan.
Email Penulis: sri_retnoningsih@unwahas.ac.id
Mohammad Tafrikan, lahir di Demak, Jawa
Tengah pada 17 April 1989. Penulis telah
menyelesaikan pendidikan sarjana dan magister
di ITS Surabaya Penulis aktif dalam bidang
olimpiade tingkat nasional. Penulis juga ketua
PPSM(Perkumpulan Penggiat Sains Madrasah,
Indonesia. Penulis menekuni bidang
matematika terapan terutama terkait
Pemodelan Matematika pada Aliran Fluida. Penulis merupakan dosen di
program studi Matematika Fakultas Sains dan Teknologi UIN Walisongo
Semarang. Jika pembaca ingin memberikan saran, kritik, dan diskusi
dengan beliau dapat menghubungi tafrikan@walisongo.ac.id.

buku Pengantar Matematika Ekonomi.pdf

More Related Content

What's hot

buku Pengantar Matematika Ekonomi.pdf