Ένα μικρό εισαγωγικό φυλλάδιο σε βασικές εφαρμογές του θεωρήματος Bolzano στην απόδειξη ύπαρξης λύσης διαφόρων μορφών εξισώσεων που, ειδάλλως, δε θα ξέραμε αν έχουν ή όχι λύση.

1. Συνέχεια/Θεώρημα Bolzano - Ασκήσεις
5 Οκτωβρίου 2015
1. Στις παρακάτω περιπτώσεις να δείξετε ότι η εξίσωση f(x) = 0 έχει
τουλάχιστον μία λύση στο αντίστοιχο διάστημα.
f(x) = xe
− 1, x ∈ (0, 2)
f(x) = ex
− x2
− 2, x ∈ (0, 1)
f(x) = ηµ2
x − x2016
, x ∈ (0, 1)
f(x) = ηµx − συνx, x ∈ (0, π
2 )
f(x) = ln(x2
+ 1) − 1, x ∈ (0, e)
f(x) = ln x − ex
+ 2, x ∈ (1, e)
f(x) = ηµ2016
x + ηµ2015
x + ηµ2014
x + . . . + ηµ2
x + ηµx − 2015, x ∈ (0, π
2 )
2. Να δείξετε ότι οι παρακάτω εξισώσεις έχουν τουλάχιστον μία λύση στο
διάστημα που αναφέρεται.
ln x = −x3
, x ∈ (1, e)
ln(x2
− 4x + 5) = ex
− 1, x ∈ (0, 2)
ex2
− 4x3
= ln(e + x2
) + 1, x ∈ R
eηµx
= eσυνx
+ 1, x ∈ R
1