Bản dịch sách 'group theory' của tác giả w. r. scott (mục 1.1 7.3) (phiên bản 16th oct 2021)

Lý thuyết nhóm W.R.Scott
Nguyễn Đức Thắng∗
dịch
Mục lục
1 Giới thiệu 2
1.1 Dẫn nhập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Định nghĩa và các tính chất đầu tiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3 Nhóm hoán vị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.4 Các ví dụ về nhóm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.5 Các phép toán với tập con . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.6 Nhóm con . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.7 Lớp kề và chỉ số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.8 Tập được sắp bộ phận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2 Các định lý đẳng cấu 15
2.1 Đồng cấu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.2 Nhóm thương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.3 Các định lý đẳng cấu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.4 Nhóm cyclic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.5 Chuỗi hợp thành . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.6 Nhóm giải được . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.7 Nhóm toán tử. Đồng cấu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.8 Nhóm toán tử. Nhóm thương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.9 Nhóm toán tử. Các định lý đẳng cấu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.10 Nhóm toán tử. Chuỗi hợp thành . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.11 Nhóm toán tử. Các ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3 Sự biến đổi và nhóm con 27
3.1 Sự biến đổi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.2 Chuẩn hóa tử, tâm hóa tử, tâm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.3 Lớp liên hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.4 Giao hoán tử . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.5 Phép-dịch-chuyển . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
∗
Lớp 18TTH, Trường Đại học Khoa Học Tự Nhiên - Đại học Quốc Gia TP.HCM, liên hệ email:
nguyenducthang01082000@gmail.com
1

Lý thuyết nhóm W.R.Scott Dịch bởi: Nguyễn Đức Thắng
4 Tổng trực tiếp 36
4.1 Tổng trực tiếp của hai nhóm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
4.2 Tổng và tích trực tiếp của một tập hợp các nhóm . . . . . . . . . . . . . . 38
4.3 Tích trực-tiếp-con . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
4.4 Tổng trực tiếp của các nhóm đơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
4.5 Đại số tự đồng cấu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
4.6 Định lý Remak-Krull-Schmidt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
4.7 Sự tổng quát hóa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
5 Nhóm Abelian 50
5.1 Sự phân tích trực tiếp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
5.2 Nhóm chia được . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
5.3 Nhóm Abelian tự do . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
5.4 Nhóm Abelian hữu hạn sinh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
5.5 Tổng trực tiếp của các nhóm cyclic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
5.6 Không gian vector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
5.7 Nhóm tự đẳng cấu của các nhóm cyclic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
5.8 Hom(A, B) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
6 p-Nhóm và p-nhóm-con 78
6.1 Các định lý Sylow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
6.2 Chuẩn hóa tử của các nhóm con Sylow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
6.3 p-Nhóm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
6.4 Nhóm lũy linh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
6.5 Ứng dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
7 Nhóm siêu giải được 89
7.1 M-nhóm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
7.2 Nhóm siêu giải được . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
7.3 Nhóm con Frattini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
1 Giới thiệu
1.1 Dẫn nhập
Ta sẽ bắt đầu bằng việc ôn tập một số lý thuyết tập hợp trực giác. Trong suốt quyển
sách, đẳng thức sẽ có nghĩa là đồng nhất thức. Một tập hợp được xác định bởi các thành
viên của nó, tức là nếu S và T là các tập hợp, thì S = T iff1
x ∈ S nếu và chỉ nếu x ∈ T.
Ký hiệu {1, 2, 3}, ví dụ, nghĩa là tập hợp mà các thành viên của nó là 1, 2 và 3. Ký hiệu
{x | P} nghĩa là tập hợp các x sao cho P là đúng. Sự lạm dụng của các ký hiệu sau đây
sẽ được sử dụng. Một vài tập hợp xảy ra thường xuyên đủ để xứng đáng cho một ký hiệu
lâu dài. Nằm trong số đó bao gồm tập hợp rỗng ∅, tập hợp N các số tự nhiên, tập hợp P
các số nguyên tố, tập hợp P∞
= {pn
| p ∈ P} lũy thừa các số nguyên tố, tập hợp J các
số nguyên, và tập hợp R các số hữu tỉ. Các ký hiệu lâu dài còn lại sẽ được giới thiệu dần
dần.
Số lượng các phần tử của một tập hợp S sẽ được gọi là cấp của S và được ký hiệu
bởi o (S). Một tập hợp S là một vật đơn iff o (S) = 1, và là một n-vật iff o (S) = n ∈ N.
1
if and only if: nếu và chỉ nếu.
1 GIỚI THIỆU 2

Một tập hợp S là một tập con của một tập hợp T, được viết là S ⊂ T, iff nếu x ∈ S thì
x ∈ T. Nếu S là một tập hợp và Ti là một tập hợp sao cho với mỗi i ∈ S, thì
∪ {Ti | i ∈ S} = {x | ∃i ∈ S sao cho x ∈ Ti} ,
∩ {Ti | i ∈ S} =

x | nếu i ∈ S, thì x ∈ Ti

.
Nếu S = {1, 2}, thì T1∪T2 thường được sử dụng thay thế cho ∪ {Ti | i ∈ S} và T1∩T2 thay
cho ∩ {Ti | i ∈ S}, mặc dù có những điểm khác nhau về nội dung. Ký hiệu ˙
∪ {Ti | i ∈ S}
sẽ được sử dụng cho ∪ {Ti | i ∈ S} nếu Ti ∩ Tj = ∅ bất cứ khi nào i 6= j và sẽ được gọi là
hội phân biệt của họ {Ti | i ∈ S}. Nếu mỗi phần tử của S là một tập hợp thì ∪ {Ti | i ∈ S}
sẽ thỉnh thoảng được viết đơn giản là ∪S. Ký hiệu ˙
∪S và ∩S có cùng ý nghĩa với nhau.
Nếu S và T là các tập hợp, thì ST sẽ ký hiệu tập hợp

x | x ∈ S và x /
∈ T

.
Hai cặp được sắp (a, b) và (c, d) là bằng nhau iff a = c và b = d. Một quan hệ R là
một tập hợp các cặp được sắp. Nghịch đảo của nó là
R−1
= {(b, a) | (a, b) ∈ R} .
Quan hệ R là đối xứng iff R = R−1
. Miền của R là tập hợp
Dom (R) =

s | ∃b với (a, b) ∈ R

(tức là, miền của R là tập hợp các tọa độ thứ nhất của các phần tử của R). Một dải của
R được cho bởi Rng(R) = Dom (R−1
) (tức là, dải của R là tập hợp các tọa độ thứ hai
của các phần tử của R). Một quan hệ R được gọi là từ A vào trong B iff Dom (R) = A
và Rng (R) ⊂ B, và lên trên B iff B = Rng (R). Nếu S ⊂ Dom(R). thì sự hạn chế của
R tới S là tập hợp
R|S =

(a, b) | (a, b) ∈ R và a ∈ S

.
Nếu S ⊂ Dom(R), thì ta đặt SR = Rng(R|S). Nếu R và R0
là các quan hệ, thì tích là
quan hệ
RR0
=

(a, c) | ∃b sao cho (a, b) ∈ R và (b, c) ∈ R0

.
Một quan hệ là bắc cầu iff RR ⊂ R. Tích của các quan hệ là kết hợp, tức là
1.1.1. Nếu R1, R2 và R3 là các quan hệ, thì R1 (R2R3) = (R1R2) R3.
Chứng minh. Cho (a, d) ∈ R1 (R2R3). Khí đó ∃b sao cho (a, b) ∈ R1 và (b, d) ∈ R2R3.
Do đó ∃c sao cho (b, c) ∈ R2 và (c, d) ∈ R3. Suy ra (a, c) ∈ R1R2 (do tính chất của b).
Nhưng khi đó (a, d) ∈ (R1R2) R3 (do tính chất của c). Suy ra R1 (R2R3) ⊂ (R1R2) R3.
Tương tự, ta chứng minh được (R1R2) R3 ⊂ R1 (R2R3), và ta có đẳng thức. ||
Tích Cartesian của hai tập hợp S và T là tập hợp
S × T =

(a, b) | a ∈ S và b ∈ T

.
Một quan hệ R là trên S iff R ⊂ S × S. Một quan hệ R trên S là phản xạ iff
{(a, a) | a ∈ S} ⊂ R.
Một quan hệ tương đương trên S là một quan hệ phản xạ, đối xứng và bắc cầu. Nếu R
là một quan hệ tương đương trên S, thì một tập con của S là một lớp tương đương đối
với R iff ∃a ∈ S sao cho B = {b | (a, b) ∈ R}. Dẫn tới (Bài tập 1.1.6) rằng S là hội phân
biệt của các lớp tương đương của nó.
1 GIỚI THIỆU 3

Trong khi các khái niệm đi tướng là hữu ích, ký hiệu sẽ được sử dụng thường xuyên
nhất là hàm số. Một hàm số là một quan hệ f sao cho nếu (a, b) ∈ f và (a, c) ∈ f, thì
b = c. Nếu f là một hàm số và (a, b) ∈ f, thì ta sẽ thương viết af = b hoặc f(a) = b (khuôn
mẫu thường dùng). Rõ ráng là hai hàm số f và g là bằng nhau iff Dom(f) = Dom(g).
Một hàm số f là 1-1 iff quan hệ f−1
là một hàm số. Nếu S là một tập hợp, thì hàm đơn
vị trên S là RS = {(s, s) | s ∈ S}. TS sẽ thường được ký hiệu bởi I. Nó là 1-1 từ S lên
trên S, và thỏa mãn sTS = s với mọi s ∈ S.
1.1.2. Tích của các hàm số là một hàm số.
Chứng minh. Cho f và g là các hàm số. Cho (a, d) ∈ fg và (a, e) ∈ fg. Khi đó, tồn tại
b sao cho (a, b) ∈ f và (b, d) ∈ g, và tồn tại c sao cho (a, c) ∈ f và (c, d) ∈ g. Do f là một
hàm số, nên b = c. Dẫn tới, do g là một hàm só, nên d = e. Do đó fg là một hàm số. ||
Một phép toán hai ngôi trên S là một hàm số ◦ từ S × S vào trong S. Chú ý rằng
(a, b)◦ = c sẽ được viết là a ◦ b = c. Một phép toán hai ngôi trên D là giao hoán iff
(i) nếu a ∈ S và b ∈ S, thì a ◦ b = b ◦ a.
Một phép toán hai ngôi ◦ trên S là kết hợp iff
(ii) nếu a ∈ S, b ∈ S và c ∈ S, thì (a ◦ b) ◦ c = a ◦ (b ◦ c).
Nếu ◦ là một phép toán hai ngôi trên S, T ⊂ S, và U ⊂ S, thì T ◦ U được định nghĩa là
tập hợp

x ◦ y | x ∈ T và y ∈ U

.
Giờ ta sẽ chứng minh tính kết hợp sẽ dẫn tới tính kết hợp tổng quát. Để đạt được
mục đích này, cho ◦ là một phép toán hai ngôi trên một tập hợp S. Cho f1 là hàm số với
miền S sao cho f1 (a1) = {a1} với mọi a1 ∈ S. Quy nạp cho n ∈ N, định nghĩa fn là hàm
số mà miền của nó là tập hợp các n-hữu-hạn-có-thứ-tự (a1, ..., an) với ai ∈ S, thỏa mãn
fn (a1, ..., an) = ∪ {fr (a1, ..., ar) ◦ fn−r (ar+1, ..., an) | 0 r n} .
Hiển nhiên quy giả thiết rằng fn (a1, ..., an) là không rỗng. Hơn nữa, phép toán ◦ là kết
hợp iff f3 (a1, a2, a3) là một vật đơn với mọi a1 ∈ S, a2 ∈ S và a3 ∈ S.
1.1.3. (Luật kết hợp tổng quát.) Nếu ◦ là một phép toán hai ngôi kết hợp trên S và
a1 ∈ S, . . . , an ∈ S, thì fn (a1, ..., an) là một vật đơn với mọi n ∈ N.
Chứng minh. Hiển nhiên với n = 1 và n = 2. Giờ sử dụng quy nạp, và cho n 2. Cho
z ∈ fn (a1, ..., an) và z0
∈ fn (a1, ..., an). Khi đó ∃x, y, x0
, y0
và các số tự nhiên r và t sao
cho
z = x ◦ y, z0
= x0
◦ y0
,
x ∈ fr (a1, ..., ar) , y ∈ fn−r (ar+1, ..., an) ,
x0
∈ ft (a1, ..., at) , y0
∈ fn−t (at+1, ..., an) .
Nếu r = t, thì bởi giả thuyết quy nạp, x = x0
và y = y0
. Vậy z = x ◦ y = x0
◦ y0
= z0
. Nếu
r t, thì bởi giả thuyết quy nạp, ft−r (ar+1, ..., at) là một vật đơn {v}. Do đó, một lần
nữa bởi giả thuyết quy nạp, x0
= x ◦ v vvaf y = v ◦ y0
. Dẫn tới, bởi tính kết hợp,
z = x ◦ y = x ◦ (v ◦ y0
) = (x ◦ v) ◦ y0
= x0
◦ y0
= z0
.
Vậy, bởi quy nạp, fn (a1, ..., an) là một vật đơn. ||
Phần tử duy nhất của fn (a1, ..., an) được ký hiệu là a1 ◦ ... ◦ an hoặc π {ai|1 ≤ i n}.
Rõ ràng rằng Định lý 1.1.3 phát biểu rằng tất cả các sự lồng vào của các dấu ngoặc đơn
(nếu khả thi) đều trở thành tích fn (a1, ..., an), nghĩa là kết quả tính được đều cho một
kết quả giống nhau (xem Bài tập 1.1.19).
Bằng cách tương tự, ta có thể chứng tỏ rằng nếu ◦ là một phép toán hai ngôi kết hợp
và giao hoán trên S, thì tích của mọi n phần tử của S là được định nghĩa và độc lập với
cấp của các nhân tử và vị trí của các sự lồng nhau. Chứng minh của phát biểu này sẽ
được cho qua.
1 GIỚI THIỆU 4

1.2 Định nghĩa và các tính chất đầu tiên
Một nhóm là một cặp được sắp (G, ◦) sao cho G là một tập hợp, ◦ là một phép toán hai
ngôi trên G, và ∃e ∈ G sao cho
(i) nếu a ∈ G, thì a ◦ e = a,
(ii) nếu a ∈ G, thì ∃a−1
∈ G sao cho a ◦ a−1
= e.
Khi không có sự hiểu lầm nào, nhóm (G, ◦) sẽ được ký hiệu bởi G, và phần tử a◦b bởi
ab (xem Bài tập 1.2.11 và 1.2.16). Thỉnh thoảng phép toán ◦ sẽ được ký hiệu bởi + và
được gọ là phép cộng. Do tính kết hợp tổng quát (xem Định lý 1.1.3), nên sự lồng nhau
sẽ thường được bỏ qua trong các tích của các nhân tử. Phần tử e được gọi là đơn vị của
G (xem Định lý 1.2.5 cho tính duy nhất). Ký hiệu e sẽ luôn ký hiệu cho đơn vị của nhóm
G bất kỳ được xét (eG sẽ được sử dụng nếu cần thiết cho mục đích sáng sủa). Phần tử
a−1
được gọi là nghịch đảo của a (xem Định lý 1.2.6).
1.2.1. a−1
a = e.
Chứng minh. Tính toán a−1
aa−1
(a−1
)
−1
(tức là mở rộng a−1
aa−1
(a−1
)
−1
thành hai
hướng để suy ra chứng minh)
a−1
a = a−1
ae = a−1
a

a−1
a−1
−1

= a−1
e a−1
−1
= a−1
a−1
−1
= e.
1.2.2. ea = a.
Chứng minh. Tính toán aa−1
a.
1.2.3. Nếu a ∈ G và b ∈ G, thì ∃|x ∈ G sao cho ax = b.
Chứng minh. Nếu ax = b, thì x = ex = a−1
ax = a−1
b bởi 1.2.2 và 1.2.1. Ngược lại,
nếu x = a−1
b, thì ax = aa−1
b = eb = b.
1.2.4. Nếu a ∈ G và b ∈ G, thì ∃|x ∈ G sao cho xa = b.
1.2.5. Phần tử e là duy nhất.
Chứng minh. Trong Định lý 1.2.3, cho a = b.
1.2.6. Nếu ab = e, thì b = a.
Chứng minh. Trong Định lý 1.2.3, cho b = e.
1.2.7 (a1...an)−1
= a−1
n ...a−1
1 .
1.2.8. (a−1
)
−1
= a.
Chứng minh. Bởi 1.2.1. ||
Nếu a ∈ G, định nghĩa a0
= e. Nếu n ∈ N, định nghĩa an
là tích của n phần tử a, và
a−n
= (a−1
)n
.
1.2.9. (Số mũ.) Nếu a ∈ G và r và s là các số nguyên, thì (i) ar
as
= ar+s
và (ii)
(ar
)s
= ars
.
Phác thảo chứng minh. Nếu hoặc r = 0 hoặc s = 0, thì định lý là hiển nhiên. Nếu
r và s cùng dương, thì (i) suy ra từ định nghĩa của tổng hữu hạn (và luật kết hợp tổng
quát) và (ii) suy ra từ định nghĩa của tích hữu hạn. Nếu một trong hai r và s là số âm,
và số còn lại là dương, thì (i) suy ra từ các sự triệt tiêu nối tiếp. Cụ thể là, nó dẫn tởi
a−r
= (ar
)−1
. Đối với (ii), cho các r 0 và s 0,
a−r
s
= a−1
rs
= a−1
rs
= a(−r)s
,
hơn nữa,
(ar
)−s
= (ar
)−1s
= a−r
s
= a(−r)s
= ar(−s)
bởi một nhân xét trước và câu cuối cùng. Cuối cùng, nếu r 0 và s 0, thì
a−r
a−s
= a−1
r
a−1
s
= a−1
r+s
= a−(r+s)
= a(−r)+(−s)
1 GIỚI THIỆU 5

và
a−r
−s
=

a−r
−1
s
= ars
= a(−r)(−s)
bởi một nhận xét trước và các trường hợp trước.
1.3 Nhóm hoán vị
Các ví dụ của các nhóm sẽ được cho trong mục tiếp theo. Trong mục này, một kiểu nhóm
đặc biệt, nhóm hoán vị, sẽ được giới thiệu, vừa để giảm nhẹ cấu trúc của các ví dụ, vừa
để cho mục đích của chính nó.
Một hoán vị của một tập hợp M là một hàm số 1-1 từ M lên trên M.
1.3.1. Nếu M là một tập hợp và Sym(M) là tập hợp các hoán vị của M, thì Sym(M)
là một nhóm.
Chứng minh. Nếu f ∈ Sym (M) và g ∈ Sym (M), thì bởi Định lý 1.1.2, fg là một hàm
số từ M vào trong M. Nếu x ∈ M thì, do g là lên trên M, nên ∃z ∈ M sao cho zf = y.
Do đó z(fg) = x. Suy ra fg là lên trên M. Bởi Bài tập 1.1.14, (fg)−1
= g−1
f−1
. Do f và
g là 1-1, nên f−1
và g−1
là các hàm số. Bởi Định lý 1.1.2, (fg)−1
là một hàm số. Do đó
fg là 1-1. Chứng minh này cho biết fg là một hoán vị của M, tức là fg ∈ Sym(M).
Bởi Bài tập 1.1.13, luật kết hợp được thỏa mãn trong Sym(M). Rõ ràng là, I ∈
Sym(M). Nếu x ∈ M và g ∈ Sym(M), thì x(gI) = (xg)I = xg. Dẫn tới gI = g.
Nếu f ∈ Sym(M), thì f−1
là một hàm số do f−1
là 1-1. Do f là lên trên M, nên f−1
là từ M lên trên M. Để chứng tỏ f−1
là 1-1, giả sử rằng có x ∈ M và y ∈ M thỏa mãn
xf−1
= yf−1
. Khi đó ∃a ∈ M sao cho (x, a) ∈ f−1
và (y, a) ∈ f−1
, do đó (a, x) ∈ f và
(a, y) ∈ f. Do f là một hàm số, nên x = y. Điều này chứng tỏ rằng f−1
là 1-1 và dẫn tới
f−1
∈ Sym(M).
Việc còn lại là chứng tỏ hàm ngược f−1
là một nghịch đảo đổi với phép toán. Nếu x ∈
M và f ∈ Sym(M), thì (x, xf) ∈ f, vậy (xf, x) ∈ f−1
, và x (ff−1
) = (xf) f−1
= x = xI.
Dẫn tới ff−1
= I. Do đó Sym(M) là một nhóm. ||
Định nghĩa. Nhóm Sym(M) được gọi là nhóm đối xứng trên tập hợp M.
Định nghĩa. Một nhóm hoán vị là một cặp được sắp (M, G), trong đó M là một tập
hợp và G là một nhóm các hoán vị của M (và trong đó phép toán trong G là phép nhân
hàm số thông thường được mô tả bên trên). Bậc của (M, G) là o(M). Các phần tử của
M được gọi là các chữ cái.
Nếu V và U là các tập con của M và G, lần lượt, thì
V U =

vu | v ∈ V và u ∈ U

.
Nếu V hoặc U là một vật đơn, nói U = {u}, thì ký hiệu đơn giản là V u (thay cho
V {u}).
Nếu ai ∈ M với i = 1, ..., n và ai 6= aj nếu i 6= j, thì (a1, ..., ar) nghĩa là hoán vị
g ∈ Sym(M) sao cho aig = ai+1 với i = 1, ..., n − 1, ang = a1, và bg = b với mọi b ∈ M
còn lại. Hoán vị này được gọi là một n-chu-trình. Tương tự (..., a−1, a0, a1, ...) nghĩa là
g ∈ Sym(M) sao cho aig = ai+1 với mọi số nguyên i, và bg = b với mọi b ∈ M còn
lại. Hoán vị này được gọi là một ∞-chu-trình. Mọi 1-chu-trình bằng với e. Hai chu trình
không có chung chữ cái nào được gọi là phân biệt.
Chú ý rằng
(1, 2, ..., n) = (2, ..., n, 1) = ... = (n, 1, ..., n − 1) .
Cho (M, G) là một nhóm hoán vị có bậc hữu hạn, và cho g ∈ G. Có hai cách thông
thường để viết g, một ví dụ riêng lẻ của nó sẽ đủ cho mục tiêu là sự sáng sủa. Nếu
1 GIỚI THIỆU 6

M = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, 1g = 3, 2g = 5, 3g = 4, 4g = 1, 5g = 2 và 6g = 6, thì g có thể viết
được dưới dạng
g =

1 2 3 4 5 6
3 5 4 1 2 6

= (1, 3, 4) (2, 5) (6) = (1, 3, 4) (2, 5) .
Dạng đầu tiên sẽ được gọ là một dạng-hai-hàng của g. Dạng thứ hai hoặc ba của g được
gọi là một sự phân tích chu trình của g (hoặc một dạng-một-hàng).
1.3.2. Nếu (M, G) là một nhóm hoán vị bậc hữu hạn và g ∈ G, thì g là tích của các
chu trình phân biệt rừng đôi một. Sự phân tích chu trình này là duy nhất ngoại trừ cấp
của các chu trình và sự bao gồm hoặc sự bỏ sót các 1-chu-trình.
Chứng minh. Định lý là hiển nhiên nếu o(M) = 1. Quy nạp trên o(M). Cho g ∈ G và
x1 ∈ M. Khi đó ∃i ∈ N và các chữ cái phân biệt x1, ..., xi của M sao cho
x1g = x2, x2g = x3, ..., xi−1g = xi, xig = x1
bởi tính hữu hạn của tập hợp M và việc g là 1-1. Giờ g|M {x1, ..., xn} là một hoán vị (nếu
M {x1, ..., xn} là không rỗng), dẫn tới bởi giả thuyết quy nạp, ta có g|M {x1, ..., xn} là
tích c2...cm các chu trình phân biệt từng đôi một, và g = (x1, ..., xi) c2...cm. Do đó một
sự phân tích chu trình luôn luôn tồn tại. Trong bất kỳ sự phân tích chu trình của g, chu
trình chứa x1 phải là (x1, ..., xi), do đó tính duy nhất được chứng minh. ||
Nếu M là vô hạn và g ∈ Sym(M), thfi g không cần phải là tích của một số hữu hạn
các chu trình. Tuy nhiên, Định lý 1.3.2 vẫn đúng trong một ý nghĩa nào đó.
Nếu S ⊂ Sym(M) và với mỗi a ∈ M, có nhiều nhất một y ∈ S sao cho ay 6= a, thì ta
định nghĩa một hàm số π {y | y ∈ S} bởi, với a ∈ M,
a (π {y | y ∈ S}) =

ay nếu ay 6= a và y ∈ S,
a nếu ay = a với mọi y ∈ S.
Ta gọi π {y | y ∈ S} là tích hình thức của các thành viên của M và sẽ được viết gọn là
πy khi không có sự nhầm lẫn.
1.3.3. Nếu M là một tập hợp và π {y | y ∈ S} là một tích hình thức các phần tử của
Sym(M), thì π {y | y ∈ S} ∈ Sym(M).
Chứng minh. Rõ ràng là từ định nghĩa của tích hình thức và a(πy), ta có π {y | y ∈ S}
là một hàm số từ M vào trong M.
Giả sử a(πy) = b(πy) với a 6= b. Nếu b(πy) = b, thì ∃x ∈ S sao cho ax = b, trong khi
by = b với mọi y ∈ S. Dẫn tới ax = b = bx, và x không phải là 1-1, một sự mâu thuẫn.
Do đó, không mất tính tổng quát, a(πy) = b(πy) = c, c 6= 0, c 6= b. Suy ra ∃x ∈ S và
y ∈ S sao cho ax = c = by. Do a 6= b, nên x 6= y. Nhưng khi đó cx 6= c và cy 6= c, mâu
thuẫn với định nghĩa của tích hình thức. Dẫn tới nếu a 6= b, thì a(πy) 6= b(πy), vậy πy là
1-1.
Cho b ∈ M, nếu by = b với mọi y ∈ S, thì b(πy) = b. Giả sử ∃x ∈ S sao cho bx 6= b.
Do x ∈ Sym(M), nên ∃a ∈ M sao cho ax = b. Khi đó a 6= b, vậy a(πy) = b. Do đó πy
ánh xạ M lên trên M, vậy πy ∈ Sym(M).
1.3.4. Nếu g 6= e là một hoán vị, thì g là một tích hình thức của các chu trình
phân biệt từng đôi một, g = π {c | c ∈ S} với không có c ∈ S nào là 1-chu-trình. Nếu
g = π {c | c ∈ S0
} là một tích thứ hai, thì S = S0
.
Chứng minh. Cho g ∈ Sym(M), a ∈ M và ag 6= a. Cho
c =

(a, ag, ..., agn−1
) nếu agn
= a, n 0, n nhỏ nhất,
(..., ag−1
, a, ag, ...) nếu agn
6= a với mọi n ∈ N.
(1)
1 GIỚI THIỆU 7

Hiển nhiên c được định nghĩa trong (1) là một chu trình và ag = ac. Dẫn tới nếu g =
π {c | c ∈ S} là một tích hình thức của các chu trình có độ dài ít nhất là 2, thì S là mtaapj
hợp các chu trình có dạng (1).
Ngược lại, cho S là tập hợp các chi trình có dạng (1). Giả sử b ∈ M, c1 ∈ S, c2 ∈ S,
bc1 6= b và bc2 6= b. Khi đó nếu
c1 = a, ag, ..., agi
= b, agi+1
, ..., agn−1

,
thì
c1 = b, bg, ..., bgn−1

,
trong khi nếu
c1 = ..., ag−1
, a, ag, ..., agi
= b, ...

,
thì
c1 = ..., bgi−1
, b, bg, ...

.
Trong hai trường hợp, dẫn tới
c1 = c2.
Do đó π {c | c ∈ S} là một tích hình thức. Hơn nữa từ (1), ag = a(πc) trong tất cả các
trường hợp. Do đó g = πc. Trong một tích hình thức của một tập hợp S các chu trình có
độ dài ít nhất là 2, các chu trình này phân biệt một cách tự động. ||
Nếu a ∈ M, x ∈ Sym(M) và y ∈ Sym(M), thì a(x(x−1
yx)) = a(yx). Từ nhận định
đơn giản này, ta có các kết quả hữu ích sau đây:
1.3.5. Nếu x và y là các hoán vị của M, thì một sự phân tích chu trình của x−1
yx
được biểu thị dưới dạng: từ một sự phân tích chu trình của y, ta thay chỗ mỗi chữ cái
bởi chữ cái đứng trước nó trong một dạng-hai-hàng của x.
Chứng minh. Trong một sự phân tích chu trình của y, chữ cái a được tiếp theo bởi
chữu cái ay. Các chữ cái đứng dưới a và ay trong một dạng-hai-hàng của x là ax và ayx,
lần lượt. Bởi nhận xét trước định lý, ayx là chữ cái theo sau ax trong một sự phân tích
của x−1
yx.
Ví dụ. Cho
x =

1 2 3 4 5 6
5 1 4 3 6 2

, y = (1, 3, 4) (2, 5) (6) .
Khi đó x−1
yx = (5, 4, 3) (1, 6) (2).
1.3.6. Nếu x và y là các hoán vị của M, thì y và x−1
yx có cùng số các chu trình của
mỗi độ dài trong sự phân tích chu trình của chúng.
Chứng minh. Bởi Định lý 1.3.5.
1.4 Các ví dụ về nhóm
Định nghĩa. Một nhóm G là Abelian iff nếu a ∈ G và b ∈ G, thì ab = ba.
Ví dụ 1. Nếu M là một tập hợp, thì G = Sym(M) là một nhóm (Định lý 1.3.1). Nếu
o(M) 3, thì G là Abelian, nếu o(M) ≥ 3, thì G là không-Abelian (xem Bài tập 1.3.12).
Nếu M là hữu hạn, thì o(Sym(M)) = o(M). Nếu M là vô hạn, thì o(Sym(M)) = 2o(M)
.
Ví dụ 2. Cho M = {1, 2, 3, 4} và cho
G = {(1) , (1, 2) (3, 4) , (1, 3) (2, 3) , (1, 4) (2, 3)} .
1 GIỚI THIỆU 8

Hiển nhiên (M G) là một nhóm hoán vị với phần từ đơn vị là (1). Mỗi phần từ có
nghịch đảo của nó, và tích của hai trong ba phần từ khác đơn vị là phần tử thứ ba còn
lại. Nhóm này được gọi là nhóm-bốn. Nó là Abelian.
Ví dụ 3. Các số nguyên J tạo thành một nhóm Abelian dưới phép cộng.
Ví dụ 4. Các số hữu tỉ R tạo thành một nhóm dưới phép cộng.
Ký hiệu không đổi sau đây sẽ được sử dụng thường xuyên. Nếu G là một nhóm với
đơn vị e, thì cho G#
= G {e}.
Ví dụ 5. R#
là một nhóm Abelian dưới phép nhân.
Ví dụ 6. Cho P là một mặt phẳng và Q ∈ P. Cho G là tập hợp các phép quay của
P quanh Q. Khi đó, (P, G) là một nhóm hoán vị Abelian.
Ví dụ 7. Cho n ∈ N, và cho G là tập hợp các phép quay của một mặt phẳng P
quanh một điểm Q ∈ P với góc quay 2πk/n radian, k = 0, 1, ..., n − 1. Khi đó (P, G) là
một nhóm hoán vị Abelian, và o(G) = n.
Định nghĩa. Một phép đẳng cự của một n-không-gian Euclidean En là một hàm số
T từ En vào trong Fn sao cho nếu x ∈ En và y ∈ En, thì d(x, y) = d(xT, yT), trong đó
d(x, y) là khoảng cách từ x tới y.
Ví dụ 8. Nếu G là tập hợp tất cả các phép đẳng cự của En thì (En, G) là một nhóm
hoán vị.
Chứng minh. Rõ ràng rằng tích của hai đẳng cự là một đẳng cự và IEn là một phép
đẳng cự. Tính kết hợp được suy ra từ việc phép toán nhân các hàm số là kết hợp. Nếu
T ∈ G và x và y là các điểm phân biệt của En, thì xT 6= yT. Do đó T là 1-1. Nếu T là
lên trên M, thì T−1
là một hàm số từ En lên trên En và T−1
bảo toàn khoảng cách, và
do đó là một đẳng cự. Suy ra chỉ còn phải chứng minh rằng một đẳng cự T từ En vào
trong En là lên trên. Một chứng minh sẽ được phác thảo.
Nếu x, y và z là các điểm sao cho
d (x, z) = d (x, y) + d (y, z)
thì
d (xT, zT) = d (xT, yT) + d (yT, zT) .
Dẫn tới dễ dàng rằng nếu L là một đường thưangr trong En, thì LT cũng là một đường
thẳng. Một không gian con affine của En là một tập con không rỗng S sao cho nếu a và b
là các điểm phân biệt của S thì đường qua a và b nằm trong S. Dẫn tới từ nhận xét trước
đó rằng, nếu S là một không gian con affine, thì ST cũng vậy. Nếu S0, S1, ..., Sn = En là
một dãy tăng ngặt các không gian con affine (dễ thấy sự tồn tại), vậy S0T, S1T, ..., SnT
cũng vậy. Do đó, Dim (Si+1T) Dim (SiT) (trong đó Dim ký hiệu số chiều). Suy ra
Dim(SnT) ≥ n. Do đó, SnT = En, và T là lên trên En. ||
Ví dụ 9. Cho S là một tập con không rỗng của En. Tập hợp G các phép đẳng cự T
của En sao cho ST = S, là một nhóm.
Ví dụ 10. Trong Ví dụ 9, cho n = 2, và cho S là một đa giác đều với k cạnh. Nhóm
G các phép đẳng cự được gọi là một nhóm nhị diện. Nếu k ≥ 3, thì G là không-Abelian.
Nó có 2k phần tử: k phép quay quanh tâm của S, và k tích của một phép quay và một
phép phản chiểu cố định quanh một đường thẳng qua tâm và một đỉnh. ||
Cho {Ms | s ∈ S} là một họ các tập hợp. Khi đó tích Cartesian
× {Ms | s ∈ S}
là tập hợp các hàm số f từ S sao cho sf ∈ Ms với mọi s ∈ S (Trong trường hợp o(M) = 2,
có có sự khác biệt nhỏ so với định nghĩa trước trong đó tích hiện tại là không có thứ tự,
trong khi tích trước là có thứ tự).
1 GIỚI THIỆU 9

Ví dụ 11. Cho {(Gs, ◦s) | s ∈ S} là họ các nhóm. Khi đó tích trực tiếp π {(Gs, ◦s) | s ∈ S}
có × {(Gs, ◦s) | s ∈ S} là tập hợp và phép cộng được định nghĩa bởi luật
s (f + g) = (sf) ◦s (sg)
(tức là, phép cộng được tạo trên các thành phần). Tích trực tiếp của các nhóm lại là một
nhóm. Nếu S là hữu hạn, nói S = {1, ..., n}, sẽ thường gọi
G1 × G2 × ... × Gn = {(x1, ..., xn) | xs ∈ Gs}
là tích trực tiếp. Tuy nhiên, có một sự phân biệt hình thức giữa hai nội dung trong trường
hợp nay (xem Bài tập 2.1.32) và các nhận xét trước đó). Ký hiệu lâu dài sẽ được sưr
dụng.
Ví dụ 12. Tổng trực tiếp ngoài
X
E
{(Gs, ◦s) | s ∈ S}
của một họ {(Gs, ◦s) | s ∈ S} các nhóm là tập hợp f ∈ π {(Gs, ◦s) | s ∈ S} sao cho sf
là đơn vị của Gs với mọi ngoại trừ một số hữu hạn s ∈ S. Tổng trực tiếp ngoài là một
nhóm dưới phép toán được cho trong Ví dụ 11.
Ví dụ 13. Như một trường hợp đặc biệt của Ví dụ 11, cho S là một tập hợp và G là
một nhóm. Khi đó tổng hai hàm số f và g từ S vào trong G được cho bởi
s (f + g) = (sf) ◦ (sg) , s ∈ S.
Tập hợp các hàm số này tạo thành một nhóm π {G | s ∈ S} dưới phép cộng. Phần tử đơn
vị của nhóm này sẽ được ký hiệu là 0SG hoặc 0. Do đó
s0 = e với mọi s ∈ S.
Nghịch đảo của T ∈ π {G | s ∈ S} sẽ được ký hiệu bởi −T. Do đó
s (−T) = (sT)−1
.
1.5 Các phép toán với tập con
Định nghĩa. Nếu A1, ..., An là các tập con của một nhóm G, thì tích A1A2...An là tập
hợp các phần tử của G có dạng a1a2...an, trong đó ai ∈ Ai. Quy ước sau sẽ được sử dụng,
nếu một nhân tử của A của một tích là một vật đơn {x}, thì x sẽ được sử dụng thay cho
{x}. Ví dụ, nếu x ∈ G, thì SxT nghĩa là S {x} T.
1.5.1. S(TU) = (ST)U = STU với mọi tập con S, T và U của G.
1.5.2. Nếu G là Abelian, thì AB = BA với mọi tập con A và B của G.
1.5.3.
A (∪ {Bi | i ∈ S}) = ∪ {ABi | i ∈ S} ,
(∩ {Bi | i ∈ S}) A = ∩ {BiA | i ∈ S} .
1.5.4.
A (∩ {Bi | i ∈ S}) ⊂ ∩ {ABi | i ∈ S} .
1 GIỚI THIỆU 10

1.6 Nhóm con
Một nhóm con của một nhóm G là một tập con thỏa mãn nó là một nhóm dưới phép
toán trong G. Cụ thể hơn, một nhóm con của một nhóm (G, ◦) là một nhóm (H, ∗) sao
cho H là một tập con của G và ∗ là sự hạn chế của ◦ tới H × H. Nghĩa là phép nhân
trong H là giống như trong G.
Việc (H, ∗) là một nhóm con của (G, ◦) sẽ thường được viết là H ⊂ G. Nếu G là một
nhóm, thì G ⊂ G và {e} ⊂ G. Nhóm con {e} từ nay sẽ được ký hiệu bởi E. Một nhóm
con H của G là thật sự iff H 6= G, và không tầm thường iff H 6= G và H 6= E. Việc H là
một nhóm con thật sự của G sẽ được viết là H G.
1.6.1. Nếu H ⊂ G, thì (i) eH = eG, và (ii) nếu a ∈ H, thì nghịch đảo của a trong H
là nghịch đảo của a trong G.
Chứng minh. H 6= ∅ (bởi định nghĩa của nhóm). Cho a ∈ H. Khi đó aeG = a = aeH.
Bởi ĐỊnh lý 1.2.3, eG = eH. Nếu b là nghịch đảo của a trong H và c là nghịch đảo của a
trong G, thì ab = eH = eG = ac, vậy b = c bởi Định lý 1.2.3.
1.6.2. Một tập con của một nhóm G là một nhóm con iff (i) S không rỗng, (ii) nếu
a ∈ S và b ∈ S, thì ab ∈ S, và (iii) nếu a ∈ S thì a−1
∈ S.
Chứng minh. Đầu tiên giả sử rẳng (S, ∗) là một nhóm con của (G, ◦). Do S chứa một
phần tử đơn vị, nên nó không rỗng. Phát biểu (ii) thỏa mãn do ∗ là một phép toán trên
S, và ∗ và ◦ khớp với nhau trên S. Với (iii), nếu a ∈ S, thì nghịch đảo b của a trong S là
một phần tử của S, do đó bởi Định lý 1.6.1, a−1
= b ∈ S.
Ngược lại, giả sử (i), (ii) và (iii) là đúng, và cho ◦ là phép toán của G. Dẫn tới từ (ii)
rằng sự hạn chế ∗ của ◦ tới S × S là một phép toán trên S. Tính kết hợp của ∗ được suy
ra từ tính kết hợp của ◦. Do S 6= ∅, nên ∃a ∈ S. Bởi (iii), nên a−1
∈ S và, bởi (ii), nên
e = aa−1
∈ S. Nếu b ∈ S, thì be = b và, bởi (iii), ∃b−1
∈ S sao cho bb−1
= e. Do đó S là
một nhóm con của G.
1.6.3. Một tập con S của G là một nhóm con iff (i) S là không rỗng, và (ii) nếu a ∈ S
và b ∈ S, thì ab−1
∈ S.
Chứng minh. Nếu a ∈ S và b ∈ S, thì (ii) dẫn tới e = aa−1
∈ S, do đó bởi (ii) lần nữa,
b−1
= ab−1
∈ S, và ab = a(b−1
)−1
∈ S. Định lý suy ra từ Định lý 1.6.2.
1.6.4. Một tập con hữu hạn của S của một nhóm G là một nhóm iff (i) S là không
rỗng, và (ii) nếu a ∈ S và b ∈ S, thì ab ∈ S.
Chứng minh. Nếu a ∈ S thì, bởi (ii) và tính hữu hạn của S, có các số tự nhiên r và
s sao cho ar
= as
và r s + 1. Do đó a−1
= ar−s−1
∈ S. Định lý giờ suy ra từ Định lý
1.6.2. ||
Định lý sau đây cung cấp các ví dụ của các nhóm con của một nhóm thường không
tầm thường.
1.6.5. (Lũy thừa của một phần tử tạo thành một nhóm con.) Nếu G là một
nhóm và g ∈ G, thì tập hợp hgi = {gn
| n ∈ J} ⊂ G.
Chứng minh. Sử dụng Định lý 1.6.3 và luật của lũy thừa (Định lý 1.2.9).
1.6.6. (Giao của các nhóm con là một nhóm con.) Nếu {Hi | i ∈ S} là một họ
các nhóm con của một nhóm G, thì ∩ {Hi | i ∈ S} ⊂ G. ||
Nếu {Hi | i ∈ S} là một họ các nhóm con của một nhóm G, thì hHi | i ∈ Si được định
nghĩa là nhóm con nhỏ nhất của G chứa tất cả Hi. Nếu H và K là các nhóm con của G,
thì hH, Ki có một ý nghĩa tương tự.
Sự tồn tại của hHi | i ∈ Si suy ra trực tiếp tử Định ly 1.6.6. Tuy nhiên, một định lý
hoàn hảo hơn có thể được phát biểu như sau
1.6.7. Nếu {Hi | i ∈ S} là một họ các nhóm con của một nhóm G, thì hHi | i ∈ Si là
tập hợp tất cả các tích hữu hạn x1...xn sao cho mỗi xj ∈ Hij
với ij ∈ S nào đó.
1 GIỚI THIỆU 11

Chứng minh. Điều này suy ra tử Định lý 1.6.3 và 1.2.7. ||
Nhận xét. Hoàn toàn được giả sử trong sự thảo luận bên trên rằng tập hợp S là
không rỗng trong mỗi trường hợp. Nếu S là rỗng, thì ∩ {Hi | i ∈ S} được định nghĩa là
G, trong khi hHi | i ∈ Si = E (từ định nghĩa đã cho). Tuy nhiên, Định lý 1.6.7 là sai nếu
S rỗng.
1.6.8. Nếu H và K là các nhóm con của một nhóm G, thì HK là một nhóm iff
HK = KH.
Chứng minh. Giả sử rằng HK ⊂ G. Cho h ∈ H và k ∈ K. Khi đó kh = (h−1
k−1
)−1
là nghịch đảo của một phần tử của HK và, do đó, là nằm trong HK. Vì vậy KH là một
tập con của HK. nếu x ∈ HK, thì x−1
∈ HK, và ∃h0
∈ H và k0
∈ K sao cho x−1
− h0
k0
.
Do đó x = k0−1
h0−1
∈ KH. Dẫn tới HK là một tập con của KH. Vậy KH = HK.
Ngược lại, giả sử rằng HK = KH. Rõ ràng HK 6= ∅. Cho h ∈ H, h1 ∈ H, k ∈ K và
k1 ∈ K. Khi đó
(hk) (h1k1)−1
= h kk−1
1 h−1
1

.
Do
kk−1
1

h−1
1 ∈ KH = HK,
nên ∃h2 ∈ H và k2 ∈ K sao cho kk−1
1

h−1
1 = h2k2. Do đó
(hk) (h1k1)−1
= hh2k2 ∈ HK.
Bởi Định lý 1.6.3, HK là một nhóm con của G.
1.7 Lớp kề và chỉ số
Định nghĩa. Nếu H là một nhóm con của một nhóm G, thì một lớp kề phải của H là
một tập con S của G sao cho ∃x ∈ G với S = Hx. Lớp kề trái được định nghĩa tương tự.
Nếu K cũng là một nhóm con của G, thì một lớp kề đôi của H và K là một tập con S
của G sao cho ∃x ∈ G với S = HxK.
1.7.1. (Tính rời nhau của các lớp kề đôi. Nếu H ⊂ G, K ⊂ G và y ∈ G, thì
HxK và HyK hoặc là bằng nhau hoặc là rời nhau.
Chứng minh. Nếu HxK ∩ HyK 6= ∅, thì ∃h1 ∈ H, h2 ∈ H, k1 ∈ K và k2 ∈ K sao cho
h1xk1 = h2yk2. Suy ra (Bài tập 1.5.8) rằng
HxK = Hh1xk1K = Hh2yk2K = HyK.
1.7.2. (Tính rời nhau của các lớp kề.) Nếu H ⊂ G, x ∈ G và y ∈ G, thì Hx và
Hy hoặc là bằng nhau hoặc là rời nhau.
Chứng minh. Trong Định lý 1.7.1, cho K = E hoặc H = E.
1.7.3. Hx = Hy iff xy−1
∈ H. xH = yH iff y−1
x ∈ H.
1.7.4. x ∈ HxK, x ∈ Hx, và x ∈ xH. ||
Cho phép chúng tôi tạo ra định nghĩa tạm thời sau đây: Nếu H là một nhóm con của
một nhóm G, thì chỉ số phải của H trong G là số lượng các lớp kề phải của H.
1.7.5. (Chỉ số phải = chỉ số trái.) Nếu H là một nhóm con của một nhóm G, thì
chỉ số phải của H trong G là bằng với chỉ số trái của H trong G.
Chứng minh. Xét quan hệ T = {(Hx, x−1
H) | x ∈ G}. Giờ Hx = Hy iff xy−1
∈ H
(Định lý 1.7.3), iff (xy−1
)−1
∈ H, i.e, iff yx−1
, i.e, iff (y−1
)−1
x−1
∈ H, iff (Định lý 1.7.3)
x−1
H = y−1
H. Dẫn tới T là một hàm số 1-1 từ tập các lớp kề phải của H lên trên tập
các lớp kề trái của H. Chứng minh hoàn tất. ||
1 GIỚI THIỆU 12

Do Định lý 1.7.5, nên không có sự phân biệt giữa chỉ số phải và trái. Ta, do đó, định
nghĩa chỉ số [G : H] của H trong G là số lượng lớp kề phải của H.
1.7.6. Nếu S là một tập con của một nhóm G và x ∈ G, thì o(Sx) = o(S) = o(xS).
Chứng minh. Hàm số T được định nghĩa vởi sT = sx là 1-1 từ S lên trên Sx bởi Định
lý 1.2.4. Do đó o(Sx) = o(S). Tương tự o(S) = o(xS).
1.7.7. (Định lý Lagrange.) Nếu H là một nhóm của của một nhóm G, thì o(G) =
o(H) [G : H].
Chứng minh. Bởi Định lý 1.7.4 và 1.7.2, có một tập con S của G sao cho G =
˙
∪ {Hg | g ∈ S}. Do đó (Định lý 1.7.6)
o (G) =
X
{o (Hg) | g ∈ S} = o (H) [G : H] .
1.7.8. (Định lý Lagrange.) Nếu H là một nhóm con của một nhóm G, thì o (H) |o (G).
1.7.9. Nếu {Hi | i ∈ S} là một họ các nhóm con của một nhóm G, thì
[G : ∩ {Hi | i ∈ S}] ≤ π {[G : Hi] | i ∈ S} .
Chứng minh. Cho K = ∩ {Hi | i ∈ S}. Cho R là tập hợp các lớp kề phải của K, và Ri
là tập hợp các lớp kề phải của Hi. Định nghĩa quan hệ
T =

(Kx, U) | x ∈ G, U ∈ × {Ri | i ∈ S} và iU = Hix

.
Kiểm tra được rằng T là một hàm số 1-1 từ R vào trong × {Ri | i ∈ S}. Chứng minh
hoàn tất.
1.7.10. (Poincare.) Giao của một số hữu hạn các nhóm con có chỉ số hữu hạn là có
chỉ số hữu hạn.
1.7.11. Nếu H ⊂ K ⊂ G, thì [G : K] = [G : H] [H : K].
Chứng minh. Có các tập con S của G và T của H sao cho
G = ˙
∪ {Hx | x ∈ S} và H = ˙
∪ {Ky | y ∈ T} .
Dẫn tới (xem Định lý 1.5.3) rằng
G = ∪

Kyx|y ∈ T và x ∈ S

.
Hơn nữa, nếu Kyx = Ky0
x0
, thì cả Hx ⊃ Kyx và Hx0
⊃ Ky0
= Kyx. Do G là hội phân
biệt ˙
∪ {Hx | x ∈ S}, nên x = x0
. Dẫn tới Kyx = Ky0
x0
, và do đó (nhân bên phải bởi x−1
,
Ky = Ky0
. Vậy y = y0
. Nhưng điều này chứng tỏ
G = ˙
∪

Kyx|y ∈ T và x ∈ S

.
Chứng minh hoàn tất.
1.8 Tập được sắp bộ phận
Giờ ta viết thêm vào một số định nghĩa và tính chất về tập được sắp bộ phận. Chất liệu
này có thể đã được chỉ ra trong mục đầu tiên, nhưng đã được trì hoãn để lý thuyết nhóm
tự nó có thể được bắt đầu sớm hơn.
Một tập hợp được sắp bộ phận là một cặp được sắp (S, G) trong đó S là một tập hợp
và R là một quan hệ bắc cầu và phản xạ trên S sao cho nếu (a, b) ∈ R và (b, a) ∈ R, thì
1 GIỚI THIỆU 13

thành S hơn là (S, R). Một tập được sắp hoặc dây xích là một tập được sắp bộ phận sao
cho nếu a ∈ S và b ∈ S thì hoặc (a, b) ∈ R hoặc (b, a) ∈ R.
Ví dụ. Cho S là tập hợp các số nguyên không âm và cho R là quan hệ trên S sao cho
(a, b) ∈ R iff a|b. Khi đó (S, R) là một tập được sắp bộ phận nhưng không là một tập
được sắp.
Ví dụ. Cho M là một tập hợp, S là tập hợp các tập con của M, và R là quan hệ
trên S sao cho (a, b) ∈ R iff a là một tập con của b. Khi đó (S, R) là một tập được sắp
bộ phận, nhưng (quy định M có ít nhất hai phần tử) không là một tập đước sắp. S được
gọi là được sắp bộ phận bởi quan hệ bao hàm.
Ví dụ. Cho G là một nhóm, S là tập hợp các nhóm con của G, được sắp bởi quan hệ
bao hàm. Khi đó S là được sắp bộ phận.
Ví dụ. CHo S là tập con bất kỳ của các số thực được sắp bởi ≥. Khi đó S là dây
xích.
Nếu (S, R) là một tập được sắp bộ phận và a ∈ S, thì a là tối đại iff (a, b) ∈ R suy ra
a = b. Có thể có vô hạn các phần tử tối đại của S. Sự thật là, nếu R = {(a, a) | a ∈ S},
thì (S, R) là một tập được sắp bộ phận và mọi phần tử của S là tối đại. Một phần tử của
S là lớn nhất iff nếu b ∈ S thì (b, a) ∈ R. Có nhiều nhất một phần tử lớn nhất trong một
tập được sắp bộ phận. Vối nếu a và b là các phần tử lớn nhất, thì (a, b) ∈ R (do b là lớn
nhất) và (b, a) ∈ R (do a là lớn nhất), và do đó a = b (từ định nghĩa của tập được sắp
bộ phận). Tối tiểu và nhỏ nhất được định nghĩa tương tự. Một dây xích hữu hạn có một
phần tử nhó nhất và một phần tử lớn nhất. Một phần tử tối đại của một tập được sắp là
một phần tử lớn nhất. Chú ý rằng một tấpj được sắp không cần phải có một phần tử tối
đại (hoặc nhỏ nhất). Ví dụ, T dưới phép sắp ≤ không có phần tử tối đại.
Ví dụ. Nếu S là tập hợp các nhóm con của một nhóm G được sắp bộ phận bới quan
hệ bao hàm, thí S có một phần tử lớn nhất là G, và một phần tử nhỏ nhất, cụ thể là E.
Nếu (S, R) là một tập được sắp bộ phận và T là một tập con khác rỗng của S,thì một
cận trên của T là một x ∈ S sao cho nếu a ∈ T, thì (a, x) ∈ R. Một cận trên nhỏ nhất
của T là một cận trân x của T sao cho nếu y là một cận trên của T, thì (x, y) ∈ R. Dẫn
tới dễ đang rằng có nhiều nhất ột cận trên nhỏ nhất của T. Tuy nhiên, có thể không có
(Bài tập 1.8.5) các phần tử này. Nếu T = {a, b} và cận trên nhó nhất của T tồn tại, thì
nó được ký hiệu là a∪b. Trong trường hợp tổng quát, nó sẽ được ký hiệu là ∪ {x | x ∈ T}
hoặc đơn giản là ∪T. Cận dưới lớn nhất được định nghĩa tương tự, vàđược ký hiệu bởi ∩
khi nó tồn tại.
Một dàn là một tập được sắp bộ phận S sao cho với mọi 2-vật T, cận trên nhỏ nhất
và cận dưới lớn nhất của T tồn tại. (Tức là, với mọi a ∈ S và b ∈ S, a ∩ b và a ∪ b tồn
tại.)
Một dàn L là một đầy đủ iff với mọi tập con khác rỗng T của L, cận dưới lớn nhất
và cận trên nhỏ nhất của T tồn tại. Dẫn tới một dàn đầy đủ có một phần tử lớn nhất và
một phần tử nhỏ nhất.
1.8.1. Nếu G là một nhóm, thì tập hợp Lat(G) các nhóm con của G, được sắp bộ
phận bởi quan hệ bao hàm, là một dàn đầy đủ.
Chứng minh. Đây là nội dung của Định lý 1.6.6 và 1.6.7.
1 GIỚI THIỆU 14

2 Các định lý đẳng cấu
2.1 Đồng cấu
Hai nhóm có thể về bản chất là như nhau mặc dù chúng không bằng nhau. Ví dụ, xét
các nhóm Eng = {..., one, two, three, ...} và Vi =

..., một, hai, ba,...

dưới phép cộng. Có
một hàm số 1-1 tầm thường T từ Eng lên trên Vi (có thể gọi T là hàm số dịch thuật). Xa
hơn nữa, nếu, ví dụ, one cộng one bằng two và dịch thuật kết quả vào trong tiếng Việt,
thì kết quả là giống như khi one được dịch đầu tiên và sau đó cộng lại (trong tiếng Việt).
Các nhận định tren sẽ được biểu thị bằng cách nói rằng Eng là đẳng cấu tới Vi và rằng
hàm số dịch thuật T là một đẳng cấu của Eng lên trên Vi (các thuật ngữ náy được định
nghĩa dưới đây). Một kiểu tổng quát hơn của hàm số, một đồng cấu, vẫn có một tầm
quan trọng lớn lao hơn. Chương náy được dành cho việc nghiên cứu các hàm số này.
Một đồng cấu của một nhóm (G, ◦) vào trong một nhóm (H, ∗) là một hàm số T của
G vào trong H sao cho nếu x ∈ G và y ∈ G, thì (x◦y)T = (xT)∗(yT). (So sánh với ví dụ
bên trên.) Một tự đồng cấu của G là một đồng cấu của G vào trong G. Một đẳng cấu là
một đồng cấu 1-1. Một tự đẳng cấu của G là một đẳng cấu của G lên trên G. Một nhóm
G là đẳng cấu tới một nhóm H, được viết là G ∼
= H, iff có một đẳng cấu của G lên trên
H.
Ví dụ. Hàm số T sao cho xT = 2x
là một đẳng cấu của nhóm cộng các số thực lên
trên nhóm nhân các số thực dương. Hàm số U sao cho xU = −x là một tự đẳng cấu của
J. Hàm số V sao cho zV = z2
là một tự đồng cấu (nhưng không là một tự đẳng cấu) của
nhóm nhân các số phức khác-không.
Nếu G và H là các nhóm, cho Hom (G, H), End (G) và Aut (G) ký hiệu tập hợp các
động cẩu của G vào trong H, tập hợp các tự đồng cấu của G, và tập hợp các tự đẳng cấu
của G, lần lượt. Sau đó, Aut (G) và, trong một vài trường hợp, Hom (G, H) và End (G)
sẽ được cho một cấu trúc đại số. Cho Iso(G) và Hom(G) là lớp các đẳng cấu và đồng cấu
của G, lần lượt.
2.1.1. Nếu G và H là các nhóm và T ∈ Hom(G, H), thì (i) eGT = eH và (ii) (g−1
)T =
(gT)−1
.
Chứng minh. (i) TÍnh toán (eGeG)T. (ii) Tính toán (g−1
g)T. ||
Định nghĩa một từ trong các chữ cái x1, ..., xn là một cách biểu thị có dạng xr1
i1
...xrk
ik
trong đó tất cả rj ∈ J. Nếu g1, ..., gn là các phần tử của một nhóm G, thì cho từ f bên
trên, f(g1, ..., gn) sẽ có nghĩa là gr1
i1
...grk
ik
.
2.1.2. Nếu G là một nhóm, T ∈ Hom(G), f là một từ trong x1, ..., xn, và gi ∈ G với
1 ≤ i ≤ n, thì
(f (g1, ..., gn)) T = f (g1T, ..., gnT) .
Chứng minh. Điều này suy ra từ định nghĩa đồng cấu, Định lý 2.1.1, và phép quy nạp.
2.1.3. (Tích của các đồng cấu là một đồng cấu.) Nếu G, H và K là các nhóm,
T ∈ Hom(G, H), và U ∈ Hom(H, K), thì TU ∈ Hom(G, K).
2.1.4. Nếu T ∈ Hom(G, H), thì GT ⊂ H.
Chứng minh. Sử dụng Định lý 1.6.2 và 2.1.1 (hoặc 1.6.3 và 2.1.2).
2.1.5. Nếu T ∈ Hom(G, H) và K ⊂ G, thì (T|K) ∈ Hom (K, H). ||
Đồng cấu T|K sẽ thường được ký hiệu đơn giản bởi T. Nếu G và H là các nhóm và
T ∈ Hom(G, H), thì nhân của T là tập hợp Ker(T) = {x ∈ G | xT = eH}.
2.1.6. Nếu G là một nhóm và T ∈ Hom(G, H), thì (i) Ker(T) ⊂ G, và (ii) nếu x ∈ G
thì x−1
(Ker(T))x ⊂ Ker(T).
2 CÁC ĐỊNH LÝ ĐẲNG CẤU 15

Một nhóm con H của G là chuẩn tắc trong G, được viết là H C G, iff x−1
Hx ⊂ H với
mọi x ∈ G.
Định lý 2.1.6 có thể được trình bày lại như sau.
2.1.7. Một nhân của một đồng cấu là một nhóm con chuẩn tắc.
2.1.8. Nếu G là một nhóm và H ⊂ G, thì H C G iff x−1
Hx = H với mọi x ∈ G, do
đó iff Hx = xH với mọi x ∈ G.
Chứng minh. Dấu tương đương cuối là hiển nhiên, như là nhận định rằng nếu x−1
Hx =
H với mọi x ∈ G thì H C G. Ngược lại, giả sử H C G và cho x ∈ G. Nếu x−1
Hx 6= H, thì
∃y ∈ Hx−1
Hx, vậy xyx−1
/
∈ H và
xyx−1
∈ xHx−1
= x−1
−1
H x−1

,
mâu thuẫn với tính chuẩn tắc của H.
2.1.9. Nếu G là một nhóm và T ∈ Hom(G, H), thì T ∈ Iso(G) iff Ker(T) = E.
Chứng minh. Nếu T là một đẳng cấu, thì x ∈ Ker(T) dẫn tới xT = e = eT bởi Định
lý 2.1.1, suy ra x = e do T là 1-1. Do e ∈ Ker(T) trong mọi trường hợp, nên Ker(T) = E.
Ngược lại, giả sử rằng Ker(T) = E. Khi đó nếu xT = yT, ta có
y−1
x

T = (yT)−1
(xT) = e (bởi Định lý 2.1.2),
do đó y−1
x = e và y = x. Dẫn tới T là 1-1 và do đó là một đẳng cấu.
2.1.10. Nếu G và H là các nhóm, T ∈ Hom(G, H), và K ⊂ G, thì KT ⊂ H. Nếu, xa
hơn, K C G, thì KT C GT. ||
Nếu T ∈ Hom(G, H) và S là một tập con của H, thì T−1
là một quan hệ, do đó (xem
Mục 1.1)
ST−1
= {g ∈ G | xT ∈ S} .
2.1.11. Nếu G và H là các nhóm, T ∈ Hom(G, H), và y ∈ GT, thì {y} T−1
là một
lớp kề của Ker(T).
Chứng minh. Do y ∈ GT, nên ∃x ∈ G sao cho xT = y. Nếu g ∈ G, thì gT = y iff
(xT)−1
(gT) = e, thứ mà thỏa mãn iff (x−1
g) T = e, i.e, iff x−1
g ∈ Ker(T), thứ mà tương
đương với g ∈ x(Ker(T)).
2.1.12. Nếu G và H là các nhóm, K ⊂ H, và T ∈ Hom(G, H) thì KT−1
⊂ G; nếu
K C H, thì KT−1
C G. ||
Một đẳng cấu của một dàn (S, R) lên trên một dàn (S0
, R0
) là một hàm số 1-1 từ S
lên trên S0
sao cho (x, y) ∈ R iff (xT, yT) ∈ R0
(xem Bài tập 2.1.38).
2.1.13. (Định lý dàn.) Nếu G và H là các nhóm, T ∈ Hom(G, H), và GT = H, thì
T cảm ứng ra một đẳng cấu của dàn các nhóm con giữa Ker(T) và G lên trên dàn Lat(H)
các nhóm con của H. Ngoài ra T cón cảm ứng ra một đẳng cấu của dàn các nhóm con
chuẩn tắc của G giữa Ker(T) và G lên trên dàn các nhóm con chuẩn tắc của H. (Xem
Bài tập 1.8.6 và 2.1.21.)
Chứng minh. Bởi Định lý 2.1.10, T là một hàm số từ Lat(G) lên trên Lat(H). Bởi Định
lý 2.1.12 và nhận định rằng T−1
T là hàm số đơn vị trên Lat(H) (xem Bài tập 1.1.23),
T là lên trên Lat(H). Nhận định rằng, do T−1
là vào trong dàn (Bài tập 1.8.6) L các
nhóm con của G thứ mà chứa Ker(T), nên T là một hàm số từ L lên trên Lat(H). nếu
M ⊃ Ker(T), thì M là một hội của các lớp kề của Ker(T). Nếu x /
∈ M, thì x không nằm
trong lớp kề nào bên trên, do đó bởi Định lý 2.1.11, xT /
∈ MT. Dẫn tới, nếu K 6= M,
K ⊃ Ker(T), và M ⊃ Ker(T), thì KT 6= MT. Do đó T là 1-1. T bảo toàn quan hệ bao
hàm là rõ ràng, suy ra T cảm ứng ra một đẳng cấu của L ;êm trêm Lat(H).

Một phần của định lý nói về các nhóm con chuẩn tắc suy ra từ Định lý 2.1.10 và
2.2.12, và Bài tập 2.1.20 và 2.1.21. ||
Giờ ta xét các đẳng cấu của nhóm hoán vị một cách tóm tắt.
Định nghĩa. Nếu (L, G) và (M, H) các nhóm hoán vị, thì một đẳng cấu của (L, G)
lên trên (M, H) là một cặp được sắp (T, U) sao cho T là một hàm số 1-1 từ L lên trên
M, U là một đẳng cấu của G lên trên H, và nếu σ ∈ L và g ∈ G thì (ag)T = (aT)(gU).
Nếu có một đẳng cấu của (L, G) lên trên (M, H), thì (L, G) là đẳng cấu tới (M, H) (được
viết là (L, G) ∼
= (M, H). (Từ tương tự thường được sử dụng đêr thay thế cho đẳng cấu
trong nội dung này.)
Định nghĩa đảm bảo rằng các nhóm hoán vị đẳng cấu là như nhau ngoại trừ ký hiệu.
Cụ thể là, các nhóm hoán vị đẳng cấu có cùng bậc. Tuy nhiên, nếu (L, G) và (M, H) là
các nhóm hoán vị sao cho G và H là đẳng cấu, thì không dẫn tới rằng (L, G) và (M, H)
là đẳng cấu, mặc dù bậc của chúng bằng nhau.
2.1.14. Quan hệ đẳng cấu tới là một quan hệ tương đương trên lớp các nhóm hoán
vị.
2.1.15. (Các nhóm đối xứng bậc n.) Nếu L và M là các tập hợp sao cho o(L) =
o(M), thì (L, Sym(L)) ∼
= (M, Sym(M)).
Chứng mình. Do o(L) = o(M), nên ∃ một hàm số 1-1 T từ L lên trên M. Định
nghĩa U như sau: nếu g ∈ Sym(L), thì gU = T−1
gT. Do T−1
là 1-1 từ M lên trên M, nên
g là 1-1 từ L lên trên L, và T là 1-1 từ L lên trên M. Dẫn tới rằng gU ∈ Sym(M). Nếu
g ∈ Sym(L), h ∈ Sym(L), và gU = hU, thì
g = T (gU) T−1
= T (hU) T−1
= h.
Do đó U là 1-1. Nếu k ∈ Sym(M), thì TkT−1
∈ Sym(L) như trên, và
TkT−1

U = T−1
TkT−1

T = k,
vậy U là lên trên Sym(M). Dễ thấy nếu g ∈ Sym(L) và h ∈ Sym(L), thì (gh)U =
(gU)(hU). Dẫn tới U là một đẳng cấu của Sym(L) lên trên Sym(M). Cuối cùng, nếu
a ∈ L và g ∈ Sym(L), thì
(aT) (gU) = aTT−1
gT = (ag) T,
vậy (T, U) là một đẳng cấu của (L, Sym(L)) lên trên (M, Sym(M)). ||
Với mỗi số nguyên dương n, cho Mn là tập hợp bao gồm n số thứ tự khác không đầu
tiên. Cho Sym(n) = Sym(Mn). Khi đó nếu M là một tập khác rỗng, thì nhóm hoán vị
(M, Sym(M)) là đẳng cấu tới một và chỉ một (Mn, Sym(Mn)). Sự thật là, Sym(M) đẳng
cấu tới đúng một Sym(n). Điều này hiển nhiên cho tập hữu hạn M; cho tập vô hạn sẽ
được chứng minh sau (Định lý 11.3.7).
Định lý sau sẽ có ích trong một vài dịp.
2.1.16. Nếu S là một tập hợp, G là một nhóm, và T là một hàm số 1-1 từ S vào trong
G, thì có một nhóm H chứa S như một tập con, và một đẳng cấu U của H lên trên G
sao cho U|S = T.
Chứng minh. Có một tập vô hạn M sao cho o(M) o(G) (nếu G là hữu hạn, cho
M = J; nếu G là vô hạn, cho M là tập tất cả các tập con của G). Do o(S) ≤ o(G), nên
o(MS) o(G). Do đó có một hàm số 1-1 V từ G(ST) vào trong MS. Cho
H = S ˙
∪ (G (ST)) V,

hU =

hhT nếu h ∈ S,
hV −1
nếu h ∈ HS.
Khi đó U là một hàm số 1-1 từ tập hợp H lên trên tập hợp
(GST) ˙
∪ (ST) = G và U|S = T.
Định nghĩa phép nhân trong H như sau:
h1 ∗ h2 = ((h1U) (h2U)) U−1
. (2)
Khi đó ∗ là một phép toán trên H. Ta có
h1 ∗ h2 = ((h1U) (h2U)) U−1
= (h1 ∗ h2) ∗ h3 = ((h1U) (h2U)) U−1

U

(h3U)

U−1
= (((h1U) (h2U)) (h3U)) U−1
= ((h1U) ((h2U) (h3U))) U−1
= (h1U) ((h2U) (h3U)) U−1

U

U−1
= h1 ∗ (h2 ∗ h3) .
Dẫn tới ∗ là kết hợp. Lần nữa,
h ∗ eU−1

= (hU) eU−1

U

U−1
= (hU) U−1
= h,
và eU−1
là một đơn vị phải. Hơn nữa,
h ∗ (hU)−1
U−1

= (hU) (hU)−1
U−1

U

U−1
= (hU) (hU)−1
U−1
= eU−1
.
Do đó H là một nhóm. Nhân (2) bởi U, ta có
(h1 ∗ h2) U = (h1U) (h2U)
do đó U là một đồng cấu. Do U là 1-1 từ H lên trên G, nên U là một đẳng cấu của H
lên trên G.
2.2 Nhóm thương
2.2.1. Nếu H C G, thì tập hợp các lớp kề của H trong G trở thành một nhóm dưới
phép nhân (xem Mục 1.5). ||
Nhóm trong Định lý 2.2.1 được gọi là nhóm thương G/H. (Nó còn được gọi là nhóm
nhân tử, hoặc thỉnh thoảng, nếu phép nhân là phép cộng, là nhóm hiệu G − H.) Trong
nhóm G/H, H là đơn vị, và (Hx)−1
= Hx−1
.
2.2.2. Nếu H C G và gT = Hg với g ∈ G, thì T là một đồng cấu của G vào trong
G/H với nhân là H. ||
Hàm số T bên trên được gọi là đồng cấu tự nhiên của G lên trên G/H.
Thường xảy ra chuyện khi một người thử định nghĩa một đồng cấu từ một nhóm vào
trong một nhóm khác, nó không rõ ràng rằng đây là một hàm số. Với nguyên nhân này,
cũng là tiện lợi để có các bổ đề hữu ích trên các quan hệ.
2.2.3. Cho G và H là các nhóm và R là một quan hệ trừ G vào trong H sao cho (i)
nếu (x, a) ∈ R và (y, b) ∈ R, thì (xy, ab) ∈ R, và (ii) nếu (eG, a) ∈ R thì a = eH. Khi đó
R ∈ Hom(G, H).

Chứng minh. Cho (x, a) ∈ R và (x, a0
) ∈ R. Khi đó ∃b ∈ H sao cho (x−1
, b) ∈ R. Do
đó bởi (i), (xx−1
, ab) = (e, ab) ∈ R, vậy bởi (ii), a = b−1
. Tương tự, a0
= b0−1
, dẫn tới
a0
= a. Suy ra R là một hàm số. Hiển nhiên từ (i) rằng R là một đồng cấu.
2.2.4. Nếu T ∈ Hom(G, H), K C G, K ⊂ Ker(T), T∗
= {(gK, gT) |g ∈ G}, thì
T∗
∈ Hom(G/K, H).
Chứng minh. Do K CG, nên G/K được định nghĩa. Nếu (gK, gT) ∈ T∗
và (hK, hT) ∈
T∗
, thì
((gK) (hK) , (gT) (hT)) = (ghK, (gh) T) ∈ T∗
.
Nếu gK = K thì g ∈ K, vậy gT = e. Do đó, bởi Định lý 2.2.3, T∗
∈ Hom(G/K, H).
2.2.5. (Định lý đồng cấu.) Nếu T ∈ Hom(G, H), GT = H, và U = {(gKer (T) , gT) |g ∈ G},
thì U là một đẳng cấu của G/Ker(T) lên trên H. Do đó G/Ker(T) ∼
= H.
Chứng minh. Bởi Định lý 2.2.4, U là một đồng cấu của G/Ker(T) vào trong H. Do
GT = H, nên rõ ràng là U là lên trên H. Nếu g ∈ G và (gKer(T))U = e, thì gT = e, và
gKer(T) = Ker(T), phần tử đơn vị của G/Ker(T). Bởi Định lý 2.1.9, U là một đẳng cấu.
2.3 Các định lý đẳng cấu
2.3.1. Nếu G là một nhóm, H ⊂ G, và K C G, thì H ∩ K C H.
2.3.2. Nếu G là một nhóm, H ⊂ G, và K C G, thì HK = KH = hH, Ki.
2.3.3. Nếu G là một nhóm, H ⊂ G, K C G, và
T = {(hK, h (H ∩ K)) |h ∈ H} ,
thì T là một đẳng cấu của HK/K lên trên H/H ∩ K. Do đó
HK
K
∼
=
H
H ∩ K
.
Chứng minh. Nhóm thương HK/K được định nghĩa do K C HK, và H/H ∩ K được
định nghĩa bởi Định lý 2.3.1. Cho
(hiK, hi (H ∩ K)) ∈ T, i = 1, 2.
Khi đó
((h1K, h2K) , h1 (H ∩ K) h2 (H ∩ K)) = (h1h2K, h1h2 (H ∩ K)) ∈ T.
Nếu hK = K và h ∈ H, thì h ∈ H ∩ K và h(H ∩ K) = H ∩ K. Dẫn tới, bởi Định lý 2.2.3,
T là một đồng cấu của HK/K vào trong H/H ∩ K. Rõ ràng là T là lên trên H/H ∩ K.
Nếu hK ∈ Ker(T), thì h ∈ H ∩ K, vậy hK = K, và T là một đẳng cấu bởi Định lý 2.1.9.
2.3.4. Nếu G là một nhóm, H C G, thì
HK
K
∼
=
H
H ∩ K
và
HK
H
∼
=
K
H ∩ K
.
2.3.5. Nếu T ∈ Hom(G, H), GT = H, K C H, M = KT−1
, và
U = {(gM, (gT) K) |g ∈ G} ,
thì U là một đẳng cấu của G/M lên trên H/K. Do đó G/M ∼
= H/K.

Chứng minh. Cho V là đồng cấu tự nhiên của H lên trên H/K. Khi đó TV là một
đồng cấu của G lên trên H/K với nhân là M. Định lý giờ suy ra từ định lý đồng cấu
2.2.5.
2.3.6. (Định lý freshman.)2
Nếu K C H C G, K C G, và
U = {(gH, (gK) (H/K)) |g ∈ G} ,
thì U là một đẳng cấu của G/H lên trên (G/K)/(H/K) . Do đó
G
H
∼
=
G/K
H/K
.
Chứng minh. Cho T là một đồng cấu tự nhiên của G lên trên G/K. Khi đó (H/K)T−1
=
H và H/K C G/K bởi Định lý 2.1.10. Giờ áp dụng Định lý 2.3.5.
2.4 Nhóm cyclic
Nếu S là một tập con của một nhóm G, thì hSi sẽ ký hiệu nhóm con nhỏ nhất (xem Định
lý 1.6.6) chứa S, và sẽ được gọi là nhóm con được sinh bởi S, S là một tập sinh của G iff
G = hSi. Một nhóm G là cyclic iff có một tập sinh thứ mà là một vật đơn {x}. Một vài
sự lạm dụng ký hiệu hSi sẽ được sử dụng. Ví dụ, nếu S = {x}, thì hxi sẽ được sử dụng
thay cho h{x}i.
Rõ ràng (Định lý 1.6.5) rằng G là cyclic iff ∃x ∈ G sao cho G là tập các lũy thừa của
x.
2.4.1. Nếu G là cyclic và T là một đồng cấu của G, thì GT là cyclic.
Chứng minh. ∃x sao cho G = hxi. Khi đó GT = hxTi. ||
Hãy xác định tất cả các nhóm cyclic. Nếu n ∈ J, n ≥ 0, thì nJ = {ni|i ∈ J} là một
nhóm con của J. Ngược lại (Bài tập 1.6.12) nếu H ⊂ J, thì ∃n ∈ J, n ≥ 0, sao cho
H = nJ. Hơn nữa, nếu m n ≥ 0, thì mJ 6= nJ. Xứng đáng để chú ý rằng, nếu n 6= 0,
thì hàm số T : iT = ni, là một đẳng cấu của J lên trên nJ. Nhóm thương J/nJ sẽ được
ký hiệu bởi Jn (nếu n ≥ 0), và được gọi là nhóm (cộng) các số nguyên (mod n). Chú ý
rằng o(Jn) = n. Ký hiêu các phần tử của Jn bởi [0]n, ..., [n − 1]n.
Giờ cho G là một nhóm và x ∈ G. Cho nT = xn
với n ∈ J. Khi đó T là một đồng cấu
(Định lý 1.2.9) của J lên trên nhóm hxi các lũy thừa của x. Bởi định lý đồng cấu 2.2.5,
J/Ker(T) ∼
= hxi. Do đó một nhóm cyclic hxi ∼
= J nếu x = 0 dẫn tới xn
= e. Cấp o(x) là
∞ và n, lần lượt, trong các tình huống vừa được mô tả. Tóm lại: ]
2.4.2. Có một nhóm cyclic cấp n với mỗi số tự nhiên n. Có một nhóm cyclic vô hạn.
Mọi hai nhóm cyclic cùng cấp là đẳng cấu với nhau.
2.4.3. Nếu G là một nhóm hữu hạn và x ∈ G, thì o(x)|o(G).
Chứng minh. Với o(x) = o (hxi), thứ mà chia hết o(G) bởi Định lý Lagrange 1.7.8. ||
Ta đã tìm thấy tất cả các nhóm con và nhóm thương của J, và do đó, bởi Định lý
2.4.2, của mọi nhóm cyclic vô hạn. Việc còn lại là làm tương tự với nhóm cyclic hữu hạn.
2.4.4. (Nhóm con của nhóm cyclic là cyclic) Nếu G là cyclic cấp hữu hạn n, thì
G có đúng một nhóm con cyclic cấp m với mỗi ước số dương m của n, và không có nhóm
con khác.
Chứng minh. Do G ∼
= Jn, nên chỉ cần xét Jn là đủ. Bởi định lý dàn 2.1.13, do Jn
∼
=
J/nJ, nên Lat(Jn) là đẳng cấu tới dàn các nhóm con của J chứa nJ. Do đó Lat(Jn) là
đẳng cấu tới dàn các nhóm con mJ của J sao cho m|n. Đẳng cấu này được cảm ứng ra
2
Được gọi như vậy vì đồng cấu suy ra từ sự triệt tiêu K

bởi đồng cấu tự nhiên T của J lên trên J/nJ. Do mJ là cyclic, nên (mJ)T là cyclic (Định
lý 2.4.1). Bởi Định lý 2.3.5, [Jn : (mJ) T] = [J : mJ] = m, vậy o((mJ)T) = n/m.
2.4.5. Nếu o(G) là nguyên tố, thì G là cyclic và không có nhóm con không tầm thường
nào.
Chứng minh. G không có nhóm con tầm thuờng nào bởi Lagrange. ∃x ∈ G#
. Do
hxi 6= E, nên hxi 6= G, và G là cyclic.
2.5 Chuỗi hợp thành
Một nhóm là đơn giản3
iff nó không có nhóm con chuẩn tắc không tầm thường nào.
2.5.1. Nhóm con Abelian đơn giản duy nhất là nhóm cyclic cấp là 1 hoặc một số
nguyên tố.
Chứng minh. Hiển nhiên (Định lý 2.4.5) rằng các nhóm được đề cập là đơn giản. Ngược
lại, cho G là một nhóm Abelian đơn giản, o(G) 1. Khi đó ∃x ∈ G#
. Do mọi nhóm con
của nhóm Abelian là chuẩn tắc, nên G = hxi. Dẫn tới từ Định lý 2.4.4 và bình luận sau
Định lý 2.4.1 rằng nếu G là không có cấp nguyên tố, thì nó có các nhóm con không tầm
thường. Do đó G có cấp nguyên tố.
2.5.2. Nếu G là một nhóm, H CG, và H G, thì G/H là đơn giản iff H là một nhóm
con chuẩn tắc tối đại của G.
Chứng minh. Điều này suy ra ngay lập trức từ định lý dàn 2.1.13.
2.5.3. Nếu A và B là các nhóm con chuẩn tắc thực sự đổi đại của G, thì A∩ cũng là
một nhóm con chuẩn tắc thực sự tối đại của A và của B.
Chứng minh. AB C G bời Định lý 2.3.2 và 2.1.20. Do AB ⊃ A, nên AB = A hoặc
AB = G bởi tính tối đại của A. Nhưng nếu AB = A, thì B ⊂ A, do đó B A (do
A 6= B), mâu thuẫn với tính tối đại của B. Vậy AB = G. Dẫn tới G/B ∼
= A/A ∩ B bởi
định lý đẳng cấu 2.3.3. Ứng dụng của Định lý 2.5.2 chứng tỏ rằng G/B là đơn giản, do
đó (xem Bài tập 2.5.11) rằng A ∩ B là nhóm con chuẩn tắc, thực sự, tối đại của A. Do
giả thuyết là không đổi bởi phép đổi chỗ A và B, nên kết luận tương tự suy ra với B. ||
Một chuỗi chuẩn tắc của G là một dãy (A0, ..., Ar) các nhóm con sao cho E = A0 C
A1 C ... C Ar = G. Một chuỗi bất biến là một chuỗi chuẩn tắc sao cho mỗi Ai C G. Các
nhân tử của một chuỗi chuẩn tắc là các nhóm thương Ai+1/Ai, 0 ≤ i ≤ r − 1. Hai chuỗi
chuẩn tắc (A0, ..., Ar) và (B0, ..., Bs) của G là tương đương (được ký hiệu bởi ∼) iff s = r
và ∃T ∈ Sym(r) sao cho,
Ai
Ai−1
∼
=
BiT
BiT−1
với 1 ≤ i ≤ r.
2.5.4. ∼ là một quan hệ tương đương trên tập hợp các chuỗi chuẩn tắc của một nhóm
G. ||
Một chuỗi hợp thành của G là một chuỗi chuẩn tắc không có sự lặp lại thứ mà các
nhân tử là đơn giản. Vây một chuỗi hợp thành là một chuỗi chuẩn tắc (A0, ..., Ar) trong
đó mỗi Ai là một nhóm con chuẩn tắc, thực sự, tối đại của Ai−1. Các nhân tử của một
chuỗi hợp thành được gọi là các nhân tử hợp thành. E chỉ có một chuỗi hợp thành, (E) ,
và chuỗi không có nhân tử.
2.5.5. Một nhóm hữu hạn có một chuỗi hợp thành.
Chứng minh. Điều này suy ra từ phép quy nạp. ||
3
Tôi dịch simple là đơn giản thay vì chỉ là đơn như thông thường các sách vẫn dịch, để tránh
nhầm lẫn vời đơn có nghĩa là một.

Nhận định rằng, một sự tổng quát hóa của định lý này là đúng. Một chuỗi chuẩn tắc
(B0, ..., Bs) là một lọc của một chuỗi chuẩn tắc (A0, ..., Ar) iff ∃ một hàm số 1-1 T từ
{0, ..., r} vào trong {0, ..., s} sao cho Ai = BiT với mọi i. Nếu chuỗi (A0, ..., Ar) là không
có sự lặp lại, thì đơn giản lọc là mỗi Ai là Bj nào đó. Sự tổng quát hóa của Định lý 2.5.5
sẽ được phát biểu như sau.
2.5.6. Nếu G là một nhóm vô hạn và S là một chuỗi chuẩn tắc của G không có sự lặp
lại, thì có một chuỗi hợp thành của G thứ mà là một lọc của S. ||
Nên nhớ rằng Định lý 2.5.5 và 2.5.6 là không đúng với các nhóm trong tổng quát (xem
Bài tập 2.5.12).
2.5.7. Nếu H C G và (A0, ..., H = B0, B1, ..., BS = G) là một chuỗi hợp thành của G,
thì (B0/H, ..., Bs/H) là một chuỗi hợp thành của G/H.
Chứng minh. Bởi định lý freshman 2.3.6, với mỗi i,
Bi+1/H
Bi/H
∼
=
Bi+1
Bi
,
thứ mà là đơn giản. Do đó (B0/H, ..., Bs/H) là một chuỗi hợp thành của G/H. ||
Dễ thấy nhận định quan trọng nhất về chuỗi hợp thành là định lý Jordan-Holder sau
đây.
2.5.8. (Định lý Jordan-Holder.) Nếu G là một nhóm hữu hạn, thì mọi hai chuỗi
hợp thành của G là tương đương.
Chứng minh. Quy nạp trên o(G). Cho (A0, ..., Ar) và (B0, ..., Bs) là các chuỗi hợp thành
của G. Nếu Ar−1 = Bs−1, thì định lý suy ra từ giả thuyết quy nạp. Nếu Ar−1 6= Bs−1, cho
(C0, ..., Ar−1 ∩ Br−1) là một chuỗi hợp thành của Ar−1 ∩ Br−1 (Định lý 2.5.5). Khi đó một
chuỗi hợp thành (xem Định lý 2.5.3) của G:
S1 = (A0, ..., Ar−1, G) ,
S2 = (C0, ..., Ar−1 ∩ Br−1, Ar−1, G) ,
S3 = (C0, ..., Ar−1 ∩ Br−1, Br−1, G) ,
S4 = (B0, ..., Br−1, G) ,
thỏa mãn S1 ∼ S2 và S3 ∼ S4 bởi Định lý 2.3.4. Do đó (Định lý 2.5.4), S1 ∼ S4.
2.5.9. Nếu (A0, ..., Ar) là một chuỗi chuẩn tắc của G, H ⊂ G, và Hi = H ∩ Ai, thì
Hi+1/Hi là đẳng cấu tới một nhóm con của Ai+1/Ai.
Chứng minh. Hi+1 ⊂ Ai+1, Ai C Ai+1, và Hi+1 ∩ Ai = Hi. Do đó, bởi định lý đẳn cấu
(Định lý 2.3.3),
Hi+1
Hi
∼
=
Hi+1Ai
Hi
⊂
Ai+1
Ai
.
2.6 Nhóm giải được
Một nhóm là giải được iff nó có một chuỗi chuẩn tắc mà các nhân tử của nó tất cả đều
là Abelian.
2.6.1. Nếu G là một nhóm giải đượ c và H C G, thì G/H là giải được.
Chứng minh. Có một chuỗi chuẩn tắc (A0, ..., Ar) của G mà các nhân tử của nó là
Abelian. Khi đó H = HA0 CHA1 C...CHAr = G (Bài tập 2.6.7), và HAi+1 = (HAi)Ai+1.
Bởi định lý đẳng cấu và định lý freshman
HAi+1
HAi
∼
=
Ai+1
HAi ∩ Ai+1
∼
=
Ai+1/Ai
(HAi ∩ Ai+1) /Ai
,

thứ mà một nhóm thương của một nhóm Abelian, do đó là Abelian. Dẫn tới
(HA0/HA0, ..., HAr/HA0)
là một chuỗi chuẩn tắc của G/H với các nhân tử Abelian. Vậy G/H là giải được.
2.6.2. Nếu G là một nhóm giải được và H ⊂ G, thì H là giải được.
Chứng minh. Có một chuỗi chuẩn tắc (A0, ..., Ar) của G mà các nhân tử của nólaf
Abelian. Bởi Định lý 2.5.9, (A0 ∩ H, ..., Ar ∩ H) là một chuỗi chuẩn tắc của H mà các
nhân tử của nó là Abelian. Do đó H là giải được.
2.6.3. Nếu H và G/H là các nhóm giải được, thì G là một nhóm giải được.
Chứng minh. Cho T là đồng cấu tự nhiên của G lên trên G/H, A là một chuỗi chuẩn
tắc của H với các nhân tử Abelian, và B là một chuỗi chuẩn tắc của G/H với các nhân tử
Abelian. Khi đó chuỗi chuẩn tắc của G được tạo thành bằng cách theo sau A bởi BT−1
có các nhân tử Abelian.
2.6.4. Một nhóm giải được hữu hạn G có một chuỗi hợp thành mà các nhân tử của
nó là (cyclic) cấp nguyên tố.
Chứng minh. Nếu o(G) = 1 hoặc là một số nguyên tố, thì kết quả là hiển nhiên (nếu
o(G) = 1, thì (G) là một chuỗi hợp thành của G khồn có các nhân tử). Giờ quy nạp, và
giả sử rằng o(G) không là 1 hay là số nguyên tố. G có một chuỗi chuẩn tắc với các nhân
tử Abelian. Do đó, nếu G là không-Abelian, thì G có một nhóm con chuẩn tắc, không
tầm thường H. Nếu G là Abelian, thì tương tự vẫn đúng bởi Định lý 2.5.1. Bởi giả thuyết
quy nạp, H và G/H có các chuỗi hợp thành với các nhân tử có cấp nguyên tố. Từ đây ta
có thể suy ra một chuỗi hợp thành của G như trong chứng minh của Định lý 2.6.3 (sau
khi loại bỏ số lần xảy ra của H).
2.7 Nhóm toán tử. Đồng cấu
Cho S là một tập hợp, được cố định trong suốt bốn mục tiếp theo. Một S-nhóm là một
cặp được sắp (G, ∗) sao cho G là một nhóm và ∗ là một hàm số từ G × S vào trong G
sao cho nếu a ∈ G, b ∈ G, và s ∈ S, thì (ab) ∗ s = (a ∗ s)(b ∗ s). Một nhóm toán tử là một
S-nhóm với S nào đó.
Từ giờ trở đi, a ∗ s sẽ được ký hiệu bởi as, và s-nhóm (G, ∗) bởi G. Chú ý rằng mỗi
x ∈ S cảm ứng ra một tự đồng cấu của G. Tuy nhiên, S không thể được xét như một tập
hợp các tự đồng cấu của G, do các phần tử phân biệt s và s0
của S có thể cảm ứng ra
cùng một tự đồng cấu. Các ví dụ của nhóm toán tử sẽ được do trong Mục 2.11.
Một S-nhóm-con của một S-nhóm G là một nhóm con H của G sao cho Hx ⊂ H với
mọi x ∈ S. Một S-nhóm-con được tạo thành vào trong một S-nhóm trong một cách tự
nhiên.
Một S-đồng-cấu của một S-nhóm G vào trong một S-nhóm H (cùng tập hợp S) là
một đồng cấu T của nhóm G vào trong nhóm H sao cho néu g ∈ G và s ∈ S, thì
(gs)T = (gT)s. S-tự-đồng-cấu, S-đẳng-cấu, S-tự-đẳng-cấu của S-nhóm được định nghĩa
tương tự.
Sự phát triển của định lý của các S-nhóm sẽ phần lớn là song song với các định lý
trước đó bắt đầu với Mục 2.1. Nhiều chi tiết của các chứng minh là hoàn toàn là thủ tục
và sẽ được bỏ qua.
2.7.1. Nếu G, H và K là các S-nhóm, T là một S-đồng-cấu của G vào trong H, và U
là một S-đồng-cấu của H vào trong K, thì TU là một S-đồng-cấu của G vào trong K.
2.7.2. Nếu T là một S-đồng-cấu của một S-nhóm G vào trong một S-nhóm H, thì
GT là một S-nhóm-con của H.

2.7.3. Nếu T là một S-đồng-cấu của một S-nhóm G vào trong một S-nhóm H và K
là một S-nhóm-con của G, thì T|K là một S-đồng-cấu của K vào trong H.
2.7.4. Nhân của một S-đồng-cấu của một S-nhóm là một S-nhóm-con chuẩn tắc.
2.7.5. Nếu G và H là các S-nhóm, T là một S-đồng-cấu của G vào trong H, và K là
một S-nhóm-con của G, thì KT là một S-nhóm-con của H. Nếu K là chuẩn tắc, thì KT
là chuẩn tắc.
2.7.6. Nếu G và H là các S-nhóm, T là một S-đồng-cấu của G vào trong H, và M là
một S-nhóm-con của H, thì MT−1
là một S-nhóm-con của G. Nếu M là chuẩn tắc, thì
MT−1
cũng vậy.
2.7.7. Nếu G và H là các S-nhóm, T là một S-đồng-cấu của G vào trong H, thì T
ánh xạ dàn các S-nhóm-con giữa Ker(T) và G đẳng cấu lên trên dàn các S-nhóm-con của
H. T ánh xạ dàn các S-nhóm-con chuẩn tắc giữa Ker(T) và G đẳng cấu lên trên trên dàn
các S-nhóm-con chuẩn tắc của H.
2.8 Nhóm toán tử. Nhóm thương
Nếu G là một S-nhóm, H là một S-nhóm-con chuẩn tắc, g ∈ G, g0
∈ G, gH = g0
H, và
s ∈ S, thì g−1
g0
∈ H do đó (g−1
g0
)s ∈ H, (gs)−1
(g0
s) ∈ H, và (gs)H = (g0
s)H. Nhận
định này cho phép định nghĩa sau đây: Nếu g ∈ G và x ∈ S, thì (gH)s = (s)H.
2.8.1. Nếu G là một S-nhóm và H là một S-nhóm-con chuẩn tắc, thì G/H là một
S-nhóm.
2.8.2. Nếu G là một S-nhóm và H là một S-nhóm-con chuẩn tắc, thì đồng cấu tự
nhiên của nhóm G lên trên nhóm G/H cũng là một S-đồng-cấu.
2.8.3. Nếu T là một S-đồng-cấu của một S-nhóm G lên trên một S-nhóm H, thì quan
hệ
U = {(gKer (T) , gT) |g ∈ G}
là một S-đẳng-cấu của G/Ker(T) lên trên H.
2.9 Nhóm toán tử. Các định lý đẳng cấu
2.9.1. Nếu {Hi|i ∈ M} là một họ các S-nhóm-con của một S-nhóm, thì ∩ {Hi|i ∈ M} và
hHi|i ∈ Mi cũng là các S-nhóm-con.
2.9.2. Nếu G là một S-nhóm, H là một S-nhóm-con, và K là một S-nhóm-con chuẩn
tắc, thì quan hệ
T = {(hK, h (H ∩ K)) |h ∈ H}
là một S-đẳng-cấu của HK/K lên trên H/(H ∩ K).
2.9.3. Nếu H và K là các S-nhóm-con chuẩn tắc của một S-nhóm G, thì
HK
K
∼
=
H
H ∩ K
và
HK
H
∼
=
K
H ∩ K
như các S-nhóm.
2.9.4. Nếu G và H là các S-nhóm, T là một S-đồng-cấu của G lên trên H, K là một
S-nhóm-con chuẩn tắc của H, và M = KT−1
, thì quan hệ
U = {(gM, (gT) K) |g ∈ G}
là một S-đẳng-cấu của G/M lên trên H/K.

2.9.5. Nếu G là một S-nhóm, H là một S-nhóm-con chuẩn tẵc, và K là một S-nhóm-
con của H thứ mà là chuẩn tắc chuẩn tắc trong G, thì quan hệ
U = {(gM, (gT) (H/K)) |g ∈ G}
là một S-đẳng-cấu của G/H lên trên (G/K)/(H/K).||
Ngoài những điểm tương tự của các định lý trước đó, định lý đẳng cấu còn lại sẽ được
cho và được chứng minh. Định lý này có thể, dĩ nhiên, đã phát biểu cho nhóm đầu tiên,
nhưng không cần thiết trong chứng minh của định lý Jordan-Holder.
2.9.6. (Bổ đề Zassenhaus.) Nếu G là một S-nhóm, A, B, C, và D là các S-nhóm-con
của G, A C B, và C C D, thì quan hệ
T = {(x (A (B ∩ C)) , x (C (D ∩ A))) |x ∈ B ∩ D}
là một S-đẳng-cấu của A(B ∩ D)/A(B ∩ C) lên trên C(D ∩ B)/C(D ∩ A).
Chứng minh. Nhận định rằng A(B ∩ D), A(B ∩ C), C(D ∩ B), và C(D ∩ A) là các
S-nhóm-con của G suy ra từ Định lý 2.9.1 và 2.3.2. Tính chuẩn tắc của A(B ∩ C) trong
A(B∩D) được suy ra như một bài tập, 2.9.7. Tính chuẩn tắc của C(D∩A) trong C(D∩B)
suy ra bởi phép đối xứng.
Mọi phần tử của A(B∩D)/A(B∩C) có dạng axA(B∩C) trong đó a ∈ A và x ∈ B∩D.
Nhưng do A C B, nên ax = x(x−1
ax) = xa0
với a0
∈ A, vì vậy
axA (B ∩ C) = xa0
A (B ∩ C) = xA (B ∩ C) .
Trương tự, mọi phần tử của C(D ∩ B)/C(D ∩ A) có dạng x0
C(D ∩ A) với x0
∈ B ∩ D.
Nếu u ∈ A(B ∩ C) ∩ B ∩ D = A(B ∩ C) ∩ D, thì u = ac với a ∈ A và c ∈ B ∩ C, do
đó u = ca0
trong đó a0
∈ A. Dẫn tới a0
∈ A ∩ D và u ∈ C(D ∩ A) ∩ B ∩ D. Bằng phép đối
xứng, ta có u ∈ A(B ∩ C) ∩ B ∩ D iff u ∈ C(D ∩ A) ∩ B ∩ D. Dẫn tới rằng nếu x ∈ B ∩ D
và y ∈ B ∩ D, thì xA(B ∩ C) = yA(B ∩ C) iff xC(D ∩ A) = yC(D ∩ A). Do đó T là một
hàm số 1-1 từ A(B ∩ D)/A(B ∩ C) lên trên C(D ∩ B)/C(D ∩ A). Nó là thử tục để chứng
minh rằng T là một đẳng cấu (Bài tập 2.9.7). Nếu x ∈ S và x ∈ B ∩ D, thì
(xA (B ∩ C) x) T = ((xs) A (B ∩ C)) T = (xs) C (D ∩ A)
= (xC (D ∩ A)) x = ((xA (B ∩ C)) T) s.
Suy ra T là một S-đẳng-cấu.
2.10 Nhóm toán tử. Chuỗi hợp thành
Sử dụng ký hiệu của S-nhóm và định lý bổ đề Zassenhaus cho phép một hai-cách tổng
quát háo của định lý Jordan-Holder. Thuật ngữ S-chuỗi chuẩn tắc của một S-nhóm G,
tương đương, và lọc có thể được xét là tự-định-nghĩa (xem Mục 2.5).
2.10.1. Mọi hai S-chuỗi chuẩn tắc của một S-nhóm G có các lọc tương đương với
nhau.
Chứng minh. Cho (A0, ..., Ar) và (B0, ..., Bs) là các S-chuỗi chuẩn tắc của G. Cho
Aij = Ai (Ai+1 ∩ Bi) , Bji = Bi (Bi+1 ∩ Ai) .
Khi đó Ai0 = Ai và Bj0 = Bj. Dẫn tới từ Bài tập 2.9.7 rằng
A00, A01, ..., A0s = A10, A11,..., A1s = A20, ..., Ar−1,s

là một S-chuỗi chuẩn tắc lọc (A0, .., Ar) và (B00, B01, ..., Bs−1,r) là một S-chuỗi chuẩn tắc
lọc (B0, ..., Bs). Bởi bổ đề Zassenhaus (Định lý 2.9.6), ta có Ai,j+1/Ai,j là S-đẳng-cấu tới
Bj,i+1
Bj,i
, 0 ≤ i ≤ r − 1, 0 ≤ j ≤ s − 1.
Do đó các lọc được xây dựng là tương đương. ||
Một S-chuỗi hợp thành của một S-nhóm G là một chuỗi
(A0 = E, ..., Ar = G)
mà trong đó mỗi Ai là một S-nhóm-con chuẩn tắc thực sự tối đại của Ai+1.
2.10.2. Nếu một S-nhóm có một S-chuỗi hợp thành, thì
(i) Mọi S-chuỗi chuẩn tắc không có sự lặp lại có thể được lọc tới một S-chuỗi hợp thành,
và
(ii) mọi hai S-chuỗi hợp thành là tương đương.
Chứng minh. Một S-chuỗi chuẩn tắc tương đương tới một S-chuỗi hợp thành là một
S-chuỗi hợp thành bởi định lý dàn, 2.7.7. Bởi Định lý 2.10.1, một S-chuỗi chuẩn tắc R
không có sự lặp lại và một S-chuỗi hợp thành T có các lọc tương đương R0
và T0
. Sau khi
loại bỏ các sự lặp lại, một cái suy ra một lọc R00
của R và T, với R00
tương đương tới T.
Điều này chứng tỏ (i) và, sự thật là, (ii) cũng vậy, do nếu R là một S-chuõi hợp thành,
thì R00
= R.
2.11 Nhóm toán tử. Các ví dụ
Ví dụ 1. Cho G là một nhóm và cho S là một tập hợp rỗng. Khi đó G là một S-nhóm
trong một cách tầm thường. Hơn nữa, một S-nhóm-con của G chỉ là một nhóm con, một
S-đồng-cấu chỉ là một đồng cấu, và tương tự. Chú ý rằng, mặc dù trong trường hợp này,
Định lý 2.10.1 và 2.10.2 là sự tổng quát hóa của định lý Jordan-Holder, 2.5.8. Với, trong
vị trí đầu tiên, một nhóm vô hạn có thể có một chuỗi hợp thành, trong trường hợp này,
bới Định lý 2.10.2, kết luận của định lý Jordan-Holder vẫn đúng, và, trong vị trí thứ hai,
mặc dù không có chuỗi hợp thành nào, Định lý 2.10.1 tổng quát hơn vẫn đúng.
2.11.1. Nếu G là một nhóm, thì tập hợp Aut(G) các tự đẳng cấu của G là một nhóm
(dưới phép tích các hàm số được định nghĩa trước đó). ||
Một nhóm con H của một nhóm G là đặc trưng trong G iff HT ⊂ H với mọi T ∈
Aut(G). Cho Char(G) ký hiệu cho dàn (2.11.6) các nhóm con đặc trưng của G.
2.11.2. Nếu H là một nhóm con của một nhóm G, thì các phát biểu sau là tương
đương:
(i) H ∈ Char(G);
(ii) Nếu T ∈ Aut(G), thì HT ⊂ H;
(iii) Nếu T ∈ Aut(G), thì HT là một tập con của H;
(iv) Nếu T ∈ Aut(G), thì HT = H. ||
Ví dụ 2. Cho G là một nhóm và cho S = Aut(G). Khi đó G là một S-nhóm. Một
nhóm con H của G là một S-nhóm iff H ∈ Char(G). Một S-chuỗi chuẩn tắc của S-nhóm
G sẽ được gọi là một chuỗi đặc trưng của nhóm G. Định lý 2.10.2 khi đó nói rằng mọi
hai chuỗi đặc trưng tối đại không có sự lặp lại của một nhóm G là tương đương với nhau.
2.11.3. Nếu G là một nhóm, x ∈ G, và Tx là một hàm số từ G vào trong G được định
nghĩa bởi yTx = x−1
yx, thì Tx ∈ Aut(G). ||
Hàm số Tx được cho bên trên được gọi là đẳng cấu trong của G được cảm ứng bởi x.
Tập hợp các đẳng cấu trong của G sẽ được ký hiệu bởi Inn(G).

2.11.4. Nếu G là một nhóm, thì Inn(G) C Aut(G).
Chứng minh. Một sự tính toán cho thấy rằng nếu a ∈ G và b ∈ G, thì TaTb = Tab. Do
đó, nếu F là một hàm số trên G sao cho aF = Ta, thì F là một đồng cấu của G vào trong
Aut(G), và GF = Inn(G). Do đó (Định lý 2.1.4), Inn(G) là một nhóm con của Aut(G).
Cho U ∈ Aut(G), x ∈ G, và y ∈ G. Khi đó
y U−1
TxU

= yU−1

TxU = x−1
yU−1

x

U = (xU)−1
y (xU) = yTxU .
Dẫn tới, U−1
TxU = TxU ∈ Inn(G). Suy ra Inn(G) C Aut(G). ||
Ví dụ 3. Cho G là một nhóm, và cho S = Inn(G). Khi đó G là một S-nhóm. Một
nhóm con H của G là một S-nhóm-con iff nó là chuẩn tắc. Một S-chuỗi chuẩn tắc của G
do đó là một chuỗi bất biến của nhóm G. Một S-chuỗi hợp thành của S-nhóm G được
gọi là một chuỗi chính của nhóm G. Vì vậy một chuỗi (A0 = E, ..., Ar = G) là một chuỗi
chính của G iff mỗi Ai là một nhóm con thực sự tối đại của Ai+1 thứ mà là chuẩn tắc
trong G. Định lý 2.10.2 khi đó nói rằng mọi hai chuỗi chính của một nhóm là tương đương.
Ví dụ 4. Cho G là một nhóm và cho S = End(G), tập hợp các tự đồng cấu của G.
Khi đó G là một S-nhóm. Một nhóm con H của G được gọi là đặc trưng đầy đủ iff H là
một S-nhóm-con (với S = End(G)). Định lý 2.10.2 nói rằng mọi hai chuỗi đặc trưng đầy
đủ (không có sự lặp lại) của một nhóm là tương đương.
Ví dụ 5. Cho G là một nhóm Abelian, được viết thêm. Cho S là tập hợp các số
nguyên. Khi đó (viết phép toán về bên trái, như là thói quen trong trường hợp này), G
là một S-nhóm trong đó, ví dụ, 3x = x + x + x. Trong trường hợp này, S có một cấu trúc
đại số của chính nó do phép cộng và phép nhân là cùng được định nghĩa. Phát biểu này
sẽ được xét không xa trong Mục 5.6. Chú ý rằng mọi nhóm con của G là một S-nhóm-con
của G.
3 Sự biến đổi và nhóm con
3.1 Sự biến đổi
Định lý sau đây của Cayley nói rằng mọi nhóm là đẳng cấu tới một nhóm các hoán vị.
3.1.1. (Cayley.) Cho G là một nhóm, và, với mỗi x ∈ G, cho Rx là hàm số từ G vào
trong G sao cho yRx = yx với mọi y ∈ G. Nếu T được định nghĩa bởi xT = Rx với x ∈ G,
thì T là một đẳng cấu của G vào trong Sym(G).
Chứng minh. Bởi Định lý 1.2.4, Rx là 1-1 từ G lên trên G, suy ra Rx ∈ Sym(G). Nếu
x ∈ G, y ∈ G, và x 6= y, thì eRx = x 6= y = eRy, vì vậy Rx 6= Ry. Do đó T là 1-1. Cuối
cùng, nếu x, y, và z là trong G, thì
z (RxRy) = (zx) Ry = zxy = zRxy,
vì vậy RxRy = Rxy. Do đó
(xy) T = Rxy = RxRy = (xT) (yT) .
Vậy T là một đẳng cấu. ||
Cho G và H là các nhóm. Tổng của hai phần tử của Hom(G, H) đã được đuọc định
nghĩa trong Ví dụ 13 của Mục 1.4.
3.1.2. Nếu G là một nhóm và H là một nhóm Abelian, thì Hom(G, H) là một nhóm
Abelian dưới phép cộng. ||
3 SỰ BIẾN ĐỔI VÀ NHÓM CON 27

Một vành là một bộ ba được sắp (R, +, ·)sao cho (R, +) là một nhóm Abelian, · là
một phép toán kết hợp trên R, và các luật phân phối thỏa:
a · (b + c) = a · b + a · c,
(b + c) · a = b · a + c · a
với mọi a, b, c trong R. Nếu ∃f 6= 0 trong R sao cho a · f = f · a = a với mọi a ∈ R, thì f
được gọi là đơn vị của R (có nhiều nhất một đơn vị trong một vành). Tích a · b thường
được viết là ab.
3.1.3. Nếu H là một nhóm con Abelian của một nhóm G, thì Hom(G, H) là một vành.
Nếu G là một nhóm Abelian, thì End(G) là một vành với đơn vị.
3.2 Chuẩn hóa tử, tâm hóa tử, tâm
Nếu S là một tập con của một nhóm G, thì tâm hóa tử CG(S) của S trong G được định
nghĩa bởi
CG (S) =

x ∈ G | nếu s ∈ S thì xs = sx

.
Khi không có gì mơ hồ, C(S) sẽ được sử dụng thay cho CG(S). Nếu S = {y}, C(y) sẽ
được viết thay cho C ({y}). Tâm hóa tử của G trong G được gọi là tâm của G và được
ký hiệu là Z(G) hoặc Z. Chuẩn hóa tử NG(S) của S trong G được định nghĩa bởi
NG (S) = {x ∈ G | xS = Sx} .
Lần nữa, N(S) sẽ thường xuyên được sử dụng thay thế cho NG(S). Chú ý rằng nếu x ∈ G,
thì N(x) = C(x).
3.2.1. Nếu S là một tập con của một nhóm G, thì C(S), N(S), và Z(G) là các nhóm
con của G.
3.2.2. Nếu G là một nhóm và H ⊂ G, thì H ⊂ N(H), và N(H) là nhóm con lớn nhất
của G mà trong nó, H là chuẩn tắc.
Định lý hầu như hiển nhiên sau đây có một tầm quan trọng to lớn trong lý thuyết của
các nhóm.
3.2.3. (Định lý N/C.) Nếu G là một nhóm và H ⊂ G, thì N(H)/C(H) là đẳng cấu
tới một nhóm con của Aut(H), và được viết là
N (H) /C (H) e
⊂Aut (H) .
Chứng minh. Với x ∈ N(H), cho Tx là tự đẳng cấu của G được cảm ứng ra bởi x (xem
Định lý 2.11.3). Hàm số U, được định nghĩa bởi xU = Tx|H với x ∈ N(H), là một đồng
cấu của N(H) vào trong Aut(H) với nhân là C(H). Kết luận suy ra từ định lý đồng cấu,
2.2.5.
3.2.4. Inn(G) ∼
= G/Z.
Chứng minh. Cho H = G trong chứng minh của Định lý 3.2.3.
3.2.5. Nếu T là một đồng cấu của một nhóm G lên trên một nhóm H, thì Z(G)T ⊂
Z(H). Do đó Z(G) là đặc trưng trong G.
3.2.6. Nếu G là một nhóm và H là một nhóm con Abelian, thì HZ(G) cũng là một
nhóm con Abelian của G.
Chứng minh. Do Z ∈ Char(G), nên HZ CG (Định lý 2.3.2). Nếu x ∈ HZ và y ∈ HZ,
thì ∃hi ∈ H và zi ∈ Z sao cho x = h1z1 và y = h2z2. Một sự tính toán đơn giản chứng tỏ
rằng xy = yx. Do đó HZ là Abelian.

3.2.7. Nếu x ∈ GZ, thì hZ, xi là Abelian.
Chứng minh. Bởi định lý trước với H được thay bởi hxi.
3.2.8. Nếu G là một nhóm không-Abelian, thì G/Z là không cyclic.
Chứng minh. Phản chứng. Khi đó ∃x ∈ G sao cho G/Z = hxZi . Do đó G = hZ, xi
thứ mà là Abelian bởi 3.2.7. ||
Vài sự tổng quát hóa của định lý cuối sẽ được cho ngày bây giờ.
3.2.9. Nếu G là một nhóm không-Abelian, thì G/Z không là hội của một dãy tăng
các nhóm cyclic.
Chứng minh. Phản chứng. Khi đó ∃ {Hn|n ∈ N} sao cho Hn/Z(G) là cyclic, Z (G) ⊂
H1 ⊂ H2 ⊂ ... và ∪Hn = G. Do đó ∃xn ∈ G sao cho Hn = hZ (G) , xni. Suy ra Hn là
Abelian. Cho a ∈ G và b ∈ G. Do G rõ ràng là hội của Hn, nên ∃m sao cho a ∈ Hm và
b ∈ Hm. Dẫn tới ab = ba. Suy ra G là Abelian, mâu thuẫn với giả thiết.
3.2.10. (Miller.) Nếu G là một nhóm, x ∈ G#
, và S là một tập sinh của G sao cho
nếu y ∈ S thì x ∈ hyi, thì ∃ một nhóm H sao cho H/H(Z) ∼
= G.
Chứng minh. Phản chứng. Không mất tính tổng quát G = H/Z(H). Các phần tử
của G giờ là các lớp kề của Z(H). Cho ax ∈ x, và với mỗi y ∈ S, ay ∈ y. Khi đó
H = hZ (H) , {ay|y ∈ S}i. Nếu y ∈ S thì ∃n ∈ J và z ∈ Z(H) sao cho ax = an
y z. Giờ
axz−1
giao hoán với ay cũng như với z. Do CH(ay) là một nhóm, nên ax ∈ CH(ay). Do đó
ay ∈ CH(ax) với mọi y ∈ S, và do Z(H) ⊂ CH(ax), nên CH(ax) = H. Vì vậy ax ∈ Z(H),
mâu thuẫn với giá thiết rằng x 6= e. ||
Các nhóm G bị cấm bởi Định lý 3.2.10 có dạng là một lớp khá lớn các nhóm. Một vài
trong số chúng được chỉ ra trong các bài tập bên dưới và còn lại sẽ được cho sau.
3.3 Lớp liên hợp
Nếu S và S0
là các tập con của một nhóm G, thì S là liên hợp tới S0
iff ∃x ∈ G sao cho
S0
= x−1
Sx. Ký hiệu Sx
= x−1
Sx sẽ được sử dụng thường xuyên. Ta có (Sx
)y
= Sxy
với
mọi x và y trong G, và Sx
= S iff x ∈ N(S). Nếu h ∈ H ⊂ G, thì SH
sẽ ký hiệu nhóm
con của G được sinh bởi bởi tất cả Sh
, h ∈ H.
3.3.1. Tính liên hợp là một quan hệ tương đương. ||
Lớp liên hợp của một tập con S của một nhóm G là tập hợp Cl(S) của các tập con
S0
của G thứ mà liên hợp tới S. Việc sử dụng thường xuyên được thực hiện nhờ hai định
lý tiếp theo.
3.3.2. Nếu S là một tập con của một nhóm G, thì [G : N (S)] = o (Cl (S)).
Chứng minh. Nếu x ∈ G và y ∈ G, thì Sx
= Sy
iff xy−1
∈ N(S), do đó iff N(S)x =
N(S)y. Khẳng định trên được suy ra.
3.3.3. Nếu G là một nhóm và x ∈ G, thì [G : C (x)] = o (Cl (x)).
Chứng minh. Điều này suy ra từ Định lý 3.3.2 khi S = {x}. ||
Nếu H ⊂ G, thì lõi của H là nhóm con
Core (H) = ∩ {K | K ∈ Cl (H)} .
Nếu S là một tập con của một nhóm G, thì bao đóng chuẩn tắc của S là SG
.
3.3.4. Nếu G là một nhóm, H ⊂ G, và S là một tập con của G, thì Core(H) là nhóm
con chuẩn tắc tối đại của G được chứa trong H, và SG
là nhóm con chuẩn tắc tối tiểu
của G chứa S.
Chứng minh. Cho T ∈ Inn(G). Suy ra dễ dàng từ nhận định rằng tính liên hợp là một
quan hệ tương đương rằng T cảm ứng ra hoán vị của Cl(H) và Cl(S). Do đó cả Core(H)

Bản dịch sách 'group theory' của tác giả w. r. scott (mục 1.1 7.3) (phiên bản 16th oct 2021)

Bản dịch sách 'group theory' của tác giả w. r. scott (mục 1.1 7.3) (phiên bản 16th oct 2021)

Recommended

Recommended

More Related Content

What's hot

What's hot (12)

Similar to Bản dịch sách 'group theory' của tác giả w. r. scott (mục 1.1 7.3) (phiên bản 16th oct 2021)

Similar to Bản dịch sách 'group theory' của tác giả w. r. scott (mục 1.1 7.3) (phiên bản 16th oct 2021) (20)

More from Man_Ebook

More from Man_Ebook (20)

Recently uploaded

Recently uploaded (20)

Bản dịch sách 'group theory' của tác giả w. r. scott (mục 1.1 7.3) (phiên bản 16th oct 2021)