مسئله بسته بندی در سه حالت سه بعدی، دو بعدی و یک بعدی مطرح و بررسی شده است. الگوریتم های هیوریستیک مربوط به هر یک لیست شده است و در نهایت به ازای هر یک مثال هایی به نمایش گذاشته شده است.

1. ‫موضوع‬
Bin Packing Problem ( BPP )
‫نقل‬‫و‬ ‫حمل‬‫س‬‫ر‬‫د‬‫به‬‫مربوط‬
‫استاد‬
‫ی‬‫اعتبار‬‫دکتر‬‫آقای‬
‫دانشجویان‬
‫ضا‬‫ر‬‫محمد‬‫فانی‬ ‫پویا‬،‫دار‬‫ز‬‫ا‬‫ر‬
‫اد‬‫ز‬‫آ‬‫دانشگاه‬‫ین‬‫و‬‫قز‬ ‫اسالمی‬
‫صنایع‬ ‫ی‬ ‫مهندس‬‫دانشکده‬
‫تیرماه‬96
‫خدا‬ ‫نام‬ ‫به‬

2. ‫فهرست‬
‫مسئله‬ ‫معرفی‬ ‫و‬ ‫مقدمه‬
‫بعدی‬ ‫یک‬ ‫مسائل‬
‫بعدی‬ ‫دو‬ ‫مسائل‬
‫بعدی‬ ‫سه‬ ‫مسائل‬
‫بعدی‬ ‫سه‬ ‫مسائل‬ ‫بندی‬ ‫دسته‬ ‫معیار‬
‫حل‬ ‫های‬ ‫روش‬BPP‫ها‬ ‫مثال‬ ‫و‬
‫بعدی‬ ‫یک‬ ‫مسائل‬
‫بعدی‬ ‫دو‬ ‫مسائل‬
‫بعدی‬ ‫سه‬ ‫مسائل‬
‫منابع‬

3. ‫مسأله‬ ‫معرفی‬ ‫و‬‫مقدمه‬

4. ‫؛‬‫تعريف‬‫بندي‬ ‫ه‬‫و‬‫گر‬ ‫مسائل‬
‫اساسا‬‫هدف‬‫مسائل‬‫ر‬‫د‬،‫بندي‬‫ه‬‫و‬‫گر‬‫تفكيك‬‫يك‬‫مجموعه‬V‫از‬‫اشياء‬‫در‬‫قالب‬‫تعدادي‬‫ير‬‫ز‬‫مجموعه‬‫دو‬
‫به‬‫دو‬‫ناسازگار‬،‫است‬‫اي‬‫بگونه‬‫كه‬:

D
i
iVV
1
 ., jiVV ji  ,
‫مسائل‬‫در‬ ،‫ديگر‬ ‫ت‬‫ر‬‫بعبا‬‫ه‬‫و‬‫گر‬‫بندي‬‫مجموعه‬ ‫اعضاي‬ ‫تفكيك‬ ‫هدف‬V‫در‬D‫ه‬‫و‬‫گر‬‫است‬ ‫متفاوت‬
‫گیرد‬‫قرار‬ ‫ه‬‫و‬‫گر‬ ‫يك‬‫در‬ ‫دقيقا‬ ‫اعضا‬‫از‬ ‫يك‬‫هر‬ ‫كه‬ ‫اي‬‫بگونه‬.
‫بندي‬ ‫ه‬‫و‬‫گر‬ ‫نمايش‬ ‫طرح‬
2, 5 4, 1
‫گروه‬A ‫گروه‬B
3
‫گروه‬C
1 2 3 4 5 : A B C
‫ها‬‫گروه‬ ‫بخش‬
≡
‫گروه‬ ‫بر‬ ‫مبتني‬ ‫نمایش‬
‫جواب‬ ‫نمونه‬ ‫یک‬ ‫اشیاء‬ ‫بخش‬

5. *‫بندی‬ ‫ه‬‫و‬‫گر‬‫مسائل‬‫ز‬‫ا‬ ‫نمونه‬ ‫چند‬
‫اف‬‫ر‬‫گ‬ ‫ی‬‫آمیز‬ ‫نگ‬‫ر‬ ‫مسئله‬
‫پشتی‬ ‫کوله‬ ‫مسئله‬
‫ی‬‫مواز‬‫ماشینهای‬‫مانبندی‬‫ز‬ ‫مسئله‬/‫ی‬‫غیرمواز‬ ‫ف‬‫و‬‫ظر‬‫در‬‫اقالم‬‫بندی‬‫بسته‬‫مسئله‬

6. ‫ظروف‬ ‫در‬ ‫اقالم‬ ‫بندی‬ ‫بسته‬ ‫مسئله‬(Bin Packing
Problem- BPP)
‫مسئله‬‫بسته‬‫بندي‬‫اقالم‬‫در‬‫ظروف‬(BPP)‫شامل‬
‫تخصیص‬‫اشیاء‬‫به‬‫ظروف‬‫است‬‫طوري‬‫كه‬‫مجموع‬‫ابعادی‬
‫اشیاء‬‫در‬‫یك‬‫ظرف‬‫،از‬‫ظرفیت‬‫ظرف‬‫تجاوز‬‫نكند‬‫و‬
‫در‬‫عین‬‫حال‬‫تعداد‬‫ظرفهاي‬‫استفاده‬‫شده‬‫حداقل‬
‫گردد‬.‫مسئله‬BPP‫یك‬‫مسئله‬Np-Hard‫است‬.
‫در‬ ‫اقالم‬ ‫بندی‬ ‫بسته‬ ‫مسئله‬ ‫انواع‬
‫اشیا؛‬ ‫ابعاد‬ ‫لحاظ‬ ‫از‬ ‫ظروف‬
‫بعدی‬ ‫یک‬
‫بعدی‬ ‫دو‬
‫بعدی‬ ‫سه‬

7. *‫ظروف‬ ‫در‬ ‫اقالم‬ ‫بندی‬ ‫بسته‬ ‫مسئله‬ ‫کلی‬ ‫مدل‬
‫؛‬
n‫و‬ ‫شئ‬n‫ظرف‬‫داریم‬.‫ظرفیت‬‫برابر‬ ‫ظرفها‬V‫و‬
‫ابعاد‬‫برابر‬ ‫شئ‬ ‫هر‬aj‫باشد‬‫مي‬.N={1,2,…,n}.‫مي‬ ‫تعریف‬
‫كنیم‬:
𝐣=𝟏
𝐧
𝐚𝐣 𝐱 𝐢𝐣 ≤ 𝑽. 𝐲𝐢 , 𝐢 ∈ 𝐍
𝐢=𝟏
𝐧
𝐱 𝐢𝐣 = 𝟏 , 𝐣 ∈ 𝐍
𝐲𝐢 = 𝟎 𝐨𝐫 𝟏 , 𝐢 ∈ 𝐍
𝐱 𝑖j = 𝟎 𝐨𝐫 𝟏 , 𝐢 ∈ 𝐍 , 𝐣 ∈ 𝐍
Min 𝐳 = 𝐢=𝟏
𝐧
𝐲𝐢
yi= xij=

8. -n‫شیء‬‫جهت‬‫بسته‬‫بندی‬‫وجود‬‫دارد‬.
-‫ابعاد‬‫اشیاء‬‫میتواند‬‫متفاوت‬‫باشد‬‫ولی‬‫به‬
‫ابعاد‬‫کوچکتر‬‫قابل‬‫تقسیم‬‫نیستند‬.
-‫ابعاد‬‫همه‬‫ظروف‬(‫ظرفیت‬‫ظروف‬)‫مشابه‬‫است‬‫و‬
‫ترتیب‬‫ظروف‬‫اهمیتی‬‫ندارد‬.
-‫ابعاد‬‫هر‬‫یک‬‫از‬‫اشیاء‬‫از‬‫ابعاد‬‫هرظرف‬‫کوچکتر‬
‫است‬.
-‫اشیاء‬‫در‬‫هنگام‬‫چیده‬‫شدن‬‫در‬‫ظرف‬‫تداخل‬
‫ابعادی‬‫ندارند‬.
-‫اشیاء‬‫و‬‫ظروف‬‫از‬‫نظر‬‫ابعادی‬‫ثابت‬‫هستند‬‫و‬
‫فاقد‬‫چرخش‬‫میباشند‬.
-‫داده‬‫ها‬‫به‬‫صورت‬‫عدد‬‫مثبت‬‫هستند‬.
-‫حداکثر‬‫ظرفیت‬‫هر‬‫ظرف‬‫مشخص‬‫است‬.
-‫هر‬‫شیء‬‫باید‬‫تنها‬‫به‬‫یک‬‫ظرف‬‫تخصیص‬‫داده‬
*‫بندی‬ ‫بسته‬ ‫مسئله‬ ‫اصلی‬ ‫فرضیات‬
‫ظروف؛‬ ‫در‬ ‫اشیاء‬

9. -‫عددی‬ ‫مقدار‬ ‫یک‬ ‫با‬ ‫اشیاء‬(‫اندازه‬ ،‫وزن‬
‫و‬ ‫حجم‬ ،) ...‫در‬ ‫مشخصی‬ ‫پارامتر‬ ‫از‬
‫میشوند‬ ‫گرفته‬ ‫نظر‬.
-‫اشیاء‬ ‫پارامتر‬ ‫از‬ ‫معین‬ ‫گنجایش‬ ‫با‬ ‫ظرف‬
‫دارد‬ ‫وجود‬.
-‫نیاز‬ ‫مورد‬ ‫ظروف‬ ‫تعداد‬ ‫حداقل‬ ‫تعیین‬ ‫هدف‬
‫را‬ ‫اشیاء‬ ‫کلیه‬ ‫که‬ ‫ای‬ ‫گونه‬ ‫به‬ ‫میباشد‬
‫بگیرند‬ ‫بر‬ ‫در‬.
*‫تک‬ ‫حالت‬ ‫در‬ ‫ظروف‬ ‫در‬ ‫اقالم‬ ‫بندی‬ ‫بسته‬ ‫مسئله‬
‫بعدی‬(1DBPP)

10. ‫بعدی‬ ‫تک‬(‫یتمها‬‫ر‬‫الگو‬‫ی‬‫ن‬‫همچو‬‫ی‬FF, FFD , BF , BFD)

11. ‫دو‬ ‫حالت‬ ‫در‬ ‫ظروف‬ ‫در‬ ‫اقالم‬ ‫بندی‬ ‫بسته‬ ‫مسئله‬
‫بعدی‬(2DBPP)
-‫مدلسازی‬ ‫اولین‬2BPP‫درسال‬1965‫و‬ ‫گیلمور‬ ‫توسط‬
‫گرفت‬ ‫صورت‬ ‫گوموری‬.
-‫مجموعه‬ ‫یك‬n‫از‬ ‫عضوي‬‫شكل‬ ‫مستطیل‬ ‫اشیاء‬
j∊J={1,…,n}‫دارد‬ ‫وجود‬.
-‫با‬ ‫را‬ ‫شئ‬ ‫هر‬ ‫عرض‬wj‫با‬ ‫را‬ ‫آن‬ ‫ارتفاع‬ ‫و‬hj
‫میشود‬ ‫داده‬ ‫نشان‬.
-‫عرض‬ ‫با‬ ‫یكسان‬ ‫ظرف‬ ‫محدودي‬ ‫تعداد‬W‫ارتفاع‬ ‫و‬
H‫است‬ ‫موجود‬.
-‫تعداد‬ ‫حداقل‬ ‫به‬ ‫اشیاء‬ ‫همه‬ ‫تخصیص‬ ‫هدف‬ ‫و‬

12. ‫بعدی؛‬ ‫دو‬ ‫حالت‬ ‫در‬ ‫ظروف‬ ‫در‬ ‫اقالم‬ ‫بندی‬ ‫بسته‬ ‫مسئله‬(
2DBPP)
‫مثال‬
1
4
3
2
5

13. ‫مسئله‬‫بسته‬‫بندی‬3‫بعدی‬(3D-BPP)‫تعمیمی‬
‫از‬‫مسائل‬‫کالسیک‬‫یک‬‫و‬‫دو‬‫بعدی‬‫می‬‫باشد‬.
‫رایج‬‫ترین‬‫کاربرد‬‫ذکر‬‫شده‬‫برای‬‫چنین‬
‫مسائلی،حمل‬‫و‬‫نقل‬‫کاالهایی‬‫می‬‫باشد‬‫که‬
‫به‬‫صورت‬‫مستقیم‬‫در‬‫کانتینرها‬‫یا‬
‫خودروها‬‫بسته‬‫بندی‬‫می‬‫شوند‬‫و‬‫یا‬‫قبل‬‫از‬
‫ارسال‬‫بر‬‫روی‬‫پالت‬‫ها‬‫بسته‬‫بندی‬‫می‬
‫شوند‬.
*‫سه‬ ‫حالت‬ ‫در‬ ‫ظروف‬ ‫در‬ ‫اقالم‬ ‫بندی‬ ‫بسته‬ ‫مسئله‬
‫بعدی‬(3DBPP)

14. ‫در‬‫دنیای‬‫واقعی‬‫و‬‫در‬‫هنگام‬‫تعیین‬
‫تعداد‬‫کانتینرهای‬‫مورد‬،‫نیاز‬‫عالوه‬‫بر‬
‫اندازه‬‫باکس‬،‫ها‬‫محدودیت‬‫های‬‫دیگری‬
‫نظیر؛‬
‫توزیع‬،‫وزن‬
‫پشته‬‫سازی‬(stacking)(‫نوع‬‫انباشته‬‫کردن‬
)
‫استحکام‬(stability)،
‫نیز‬‫باید‬‫مد‬‫نظر‬‫قرار‬‫بگیرند‬.
‫همچنین‬،‫ممکن‬‫است‬‫مشتری‬‫بخواهد‬
‫محموله‬‫ها‬‫با‬‫یکدیگر‬‫حمل‬‫شوند‬‫و‬‫یا‬‫در‬
*‫سه‬ ‫حالت‬ ‫در‬ ‫ظروف‬ ‫در‬ ‫اقالم‬ ‫بندی‬ ‫بسته‬ ‫مسئله‬
‫بعدی‬(3DBPP)

15. -‫يك‬‫مجموعه‬n‫ي‬‫عضو‬‫از‬‫اشياء‬‫مکعب‬‫شكل‬j∊J={1,…,n}‫وجود‬‫د‬‫ر‬‫دا‬.
-‫عرض‬(‫پهنا‬)‫هر‬‫ئ‬ ‫ش‬‫ا‬‫ر‬‫با‬wj،‫عمق‬‫با‬dj‫و‬‫تفاع‬‫ر‬‫ا‬‫آن‬‫ا‬‫ر‬‫با‬hj‫و‬‫نشان‬‫داده‬‫میشود‬.
-‫تعداد‬‫محدودي‬‫ظرف‬‫يكسان‬‫با‬‫عرض‬W‫،عمق‬D‫و‬‫تفاع‬‫ر‬‫ا‬H‫موجود‬‫است‬.
-‫و‬‫هدف‬‫تخصيص‬‫همه‬‫اشياء‬‫به‬‫حداقل‬‫تعداد‬‫ف‬‫و‬‫ظر‬‫است‬.
-‫یم‬‫ر‬‫دا‬‫؛‬hj≥Hwj≥Wdj≥D
-‫وسایل‬‫به‬‫ت‬‫ر‬‫صو‬wj*dj*hj‫و‬‫ف‬‫و‬‫ظر‬‫به‬‫ت‬‫ر‬‫صو‬W*D*H‫نامیده‬‫میشوند‬.
*‫سه‬ ‫حالت‬ ‫در‬ ‫ظروف‬ ‫در‬ ‫اقالم‬ ‫بندی‬ ‫بسته‬ ‫مسئله‬
‫بعدی‬(3DBPP)

16. *‫بعدی‬ ‫سه‬ ‫حالت‬ ، ‫ظروف‬ ‫در‬ ‫اقالم‬ ‫بندی‬ ‫بسته‬ ‫مسئله‬(
3DBPP)

17. ‫بر‬ ‫تواند‬ ‫می‬ ‫بندی‬ ‫بسته‬ ‫و‬ ‫برش‬ ‫مسائل‬ ‫بندی‬ ‫گروه‬
‫ای‬ ‫مجموعه‬ ،‫بزرگ‬ ‫اقالم‬ ‫از‬ ‫ای‬ ‫مجموعه‬ ،‫ابعاد‬ ‫اساس‬
‫کنند‬ ‫می‬ ‫بندی‬ ‫گروه‬ ‫هدف‬ ‫تابع‬ ‫و‬ ‫کوچک‬ ‫اقالم‬ ‫از‬.
[toW¨ascher et al. (2007)]
‫مسائل‬ ‫روی‬ ‫بر‬ ‫ارائه‬ ‫این‬ ‫در‬ ‫هدف‬3‫اقالم‬ ‫با‬ ‫بعدی‬
‫باشد‬ ‫می‬ ‫مکعبی‬.‫اقالم‬ ‫و‬ ‫کانتینر‬ ‫را‬ ‫بزرگ‬ ‫اقالم‬
‫نامیم‬ ‫می‬ ‫باکس‬ ‫را‬ ‫کوچک‬.
‫ها‬ ‫باکس‬ ‫انواع‬:
‫نامتجانس‬ ‫کم‬ ‫های‬ ‫باکس‬:‫و‬ ‫است‬ ‫زیاد‬ ‫ها‬ ‫باکس‬ ‫تعداد‬
‫کم‬ ‫آنها‬ ‫انواع‬.
‫نامتجانس‬ ‫خیلی‬ ‫های‬ ‫باکس‬:‫و‬ ‫است‬ ‫کم‬ ‫ها‬ ‫باکس‬ ‫تعداد‬
‫زیاد‬ ‫آنها‬ ‫انواع‬.
*‫مسائل‬ ‫بندی‬ ‫دسته‬ ‫معیار‬

18. ‫اگر‬‫تابع‬‫هدف‬‫کمینه‬‫سازی‬‫ورودی‬،‫باشد‬‫هدف‬‫بسته‬‫بندی‬‫همه‬‫جعبه‬
‫ها‬‫در‬‫حداقل‬‫تعداد‬‫ممکن‬‫کانتینرها‬‫می‬‫باشد‬.‫با‬‫ترکیب‬‫مسائل‬
‫کالس‬‫های‬‫مجموعه‬‫اقالم‬‫بزرگ‬‫و‬،‫کوچک‬6‫مسئله‬‫ذیل‬‫را‬‫خواهیم‬
‫داشت‬:
6‫نوع‬‫مسئله‬‫منجصربفرد‬‫عبارتند‬‫از‬:
SSSCSP (Single stock-size cutting stock problem):
‫در‬‫صورتی‬‫که‬‫کانتینرها‬‫یکسان‬‫بوده‬‫و‬‫باکس‬‫ها‬‫کمی‬‫ناهمگن‬
‫باشند‬.
SBSBPP (Single bin-size bin packing problem):
‫اگر‬‫کانتینرها‬‫یکسان‬‫و‬‫باکس‬‫ها‬‫کامال‬‫ناهمگن‬‫باشند‬.
MSSCSP (Multiple stock-size cutting stock problem):
‫اگر‬‫کانتینر‬‫و‬‫باکس‬‫ها‬‫کمی‬‫ناهمگن‬‫باشند‬.
MBSBPP (Multiple bin-size bin packing problem):
‫اگر‬‫کانتینرها‬‫کمی‬‫ناهمگن‬‫و‬‫باکس‬‫ها‬‫کامال‬‫ناهمگن‬‫باشند‬.
RCSP (Residual cutting stock problem):
‫اگر‬‫کانتینرها‬‫کامال‬‫ناهمگن‬‫و‬‫باکس‬‫ها‬‫کملی‬‫ناهمگن‬‫باشند‬.
RBPP (Residual bin packing problem):
‫اگر‬‫کانتینر‬‫و‬‫باکس‬‫ها‬‫کامال‬‫ناهمگن‬‫باشند‬.
*‫بعدی‬ ‫سه‬ ‫حالت‬ ‫در‬ ‫ظروف‬ ‫در‬ ‫اقالم‬ ‫بندی‬ ‫بسته‬ ‫مسئله‬
(3DBPP)

19. ‫اگر‬‫تابع‬‫هدف‬‫بیشینه‬‫سازی‬‫خروجی‬،‫باشد‬‫هدف‬‫بسته‬‫بندی‬‫زیرمجموعه‬‫ای‬
‫از‬‫جعبه‬‫هاست‬‫که‬‫باالترین‬‫ارزش‬‫را‬‫به‬‫مجموعه‬‫ثابتی‬‫از‬‫قیود‬‫تخصیص‬‫می‬
‫دهد‬.‫در‬‫اینجا‬‫ممکن‬‫است‬‫یک‬‫یا‬‫چند‬‫کانتینر‬‫مورد‬‫استفاده‬‫قرار‬‫گیرد‬.
7‫نوع‬‫مسئله‬‫منجصربفرد‬‫عبارتند‬‫از‬:
IIPP (Identical item packing problem):
‫اگر‬‫یک‬‫کانتینر‬‫وجود‬‫دارد‬‫و‬‫باکس‬‫ها‬‫یکسان‬‫باشند‬.
SLOPP (Single large object placement problem):
‫اگر‬‫یک‬‫کانتینر‬‫وجود‬‫دارد‬‫و‬‫باکس‬‫ها‬‫کمی‬‫ناهمگن‬
‫باشند‬.
SKP (Single knapsack problem):
‫اگر‬‫یک‬‫کانتینر‬‫وجود‬‫دارد‬‫و‬‫باکس‬‫ها‬‫کامال‬‫ناهمگن‬
‫باشند‬.
MILOPP (Multiple identical large object placement problem):
‫اگر‬‫چند‬‫کانتینر‬‫یکسان‬‫وجود‬‫دارد‬‫و‬‫باکس‬‫ها‬‫کمی‬
‫ناهمگن‬‫باشند‬.
MHLOPP (Multiple heterogeneous large object placement problem):
‫اگر‬‫کانتینرها‬‫کمی‬‫یا‬‫زیاد‬‫ناهمگن‬‫بوده‬‫و‬‫باکس‬‫ها‬‫کمی‬
‫ناهمگن‬‫باشند‬.
*‫بعدی‬ ‫سه‬ ‫حالت‬ ‫در‬ ‫ظروف‬ ‫در‬ ‫اقالم‬ ‫بندی‬ ‫بسته‬ ‫مسئله‬
(3DBPP)

20. *‫مسائل‬ ‫ای‬ ‫پایه‬ ‫بندی‬ ‫دسته‬

21. ‫حل‬‫شهای‬‫و‬‫ر‬BPP

22. -‫ای‬ ‫ساده‬ ‫ابتکاری‬ ‫الگوریتمهای‬‫برای‬‫حل‬1PBB‫وجود‬
‫دارند‬‫؛‬
First Fit ( F.F)
First Fit Decreasing (F.F.D)
Best Fit (B.F)
Best Fit Decreasing (B.F.D)
-‫همچنین‬‫روشهای‬‫حل‬‫مختلفی‬‫بر‬‫پایه‬‫الگوریتمهای‬‫فراابتکاری‬(‫همچون‬
SA, GA,TS, …)‫نیز‬‫برای‬‫تولید‬‫جوابهای‬‫مختلف‬‫وحل‬‫بهینه‬1BPP‫در‬
‫مقاالت‬‫متعددی‬‫ارائه‬‫شده‬‫است‬.‫مثال‬‫؛‬Weight annealing algorithm for the bin
packing problem‫که‬‫در‬‫سال‬2008‫توسط‬Kok-Hua Loha, Bruce Goldena,
EdwardWasilb‫ارائه‬‫شد‬‫و‬‫برگرفته‬‫از‬‫الگوریتم‬SA‫میباشد‬.
‫حل‬ ‫روشهای‬(1DBPP)

23. Next-Fit Height (NFH) algorithm
First-Fit Decreasing Height (FFDH) algorithm
 Best-Fit Decreasing Height (BFDH) algorithm
Next-Fit Height (NFW) algorithm
Next-Fit Decreasing Width (NFDW) algorithm
Best-Fit Decreasing Width (BFDW) algorithm
‫تک‬ ‫روشهای‬ ‫و‬ ‫فوق‬ ‫روشهای‬ ‫از‬ ‫شده‬ ‫مشتق‬ ‫الگوریتمهای‬
‫باشد‬ ‫ترکیبی‬ ‫الگوریتمهای‬ ‫یا‬ ‫و‬ ،‫بعدی‬.
(‫همچون‬Hybrid First-Fit (HFF) algorithm)
‫حل‬ ‫روشهای‬(2DBPP)

24. ‫در‬‫این‬‫الگوریتمها؛‬
-‫چیدمان‬‫از‬‫گوشه‬‫ای‬‫در‬‫پایین‬(‫عموما‬‫گوشه‬‫سمت‬‫چپ‬
‫پایین‬)‫آغاز‬‫میشود‬‫و‬‫این‬‫گوشه‬،‫مبنای‬‫چیدمان‬‫به‬
‫صورت‬‫سطری‬‫است‬.‫با‬‫هر‬‫بار‬‫جایگذاری‬،‫این‬‫گوشه‬
‫مبنا‬‫مجدد‬‫تعریف‬‫و‬‫تعیین‬‫میشود‬.
-‫سطوح‬‫جدید‬‫در‬‫خالل‬‫چیدمان‬‫و‬‫پس‬‫از‬‫تکمیل‬‫گنجایش‬
‫هر‬‫سطرایجاد‬‫میگردند‬.
-‫ظرف‬‫جدید‬‫پس‬‫از‬‫تکمیل‬‫گنجایش‬‫آخرین‬‫سطر‬‫ایجاد‬
‫شده‬‫در‬‫آخرین‬‫ظرف‬،‫ایجاد‬‫میگردد‬.
-‫چیدمان‬‫و‬‫پهنای‬‫هر‬‫سطرمیتواند‬‫بر‬‫مبنای‬‫طول‬‫و‬
‫یا‬‫عرض‬‫اشیاء‬‫صورت‬‫پذیرد‬.
-‫ابعاد‬‫چیده‬‫شده‬‫از‬‫اشیاء‬‫در‬‫هر‬‫ظرف‬‫نباید‬‫از‬
‫ابعاد‬‫ظرف‬‫بیشتر‬‫باشد‬.
-‫انتخاب‬‫شئ‬‫جدید‬‫میتواند‬‫به‬‫صورت‬‫رندوم‬‫و‬‫یا‬
‫براساس‬‫طول‬‫یا‬‫عرض‬‫نزولی‬‫باشد‬.
‫حل‬ ‫روشهای‬(2DBPP)

25. ‫حل‬ ‫روشهای‬(2DBPP)

26. Next Fit Decreasing Width ‫حل‬ ‫روشهای‬(2DBPP
)

27. 8
7
6
9
6
7
‫حل‬ ‫روشهای‬(
2DBPP)Next Fit Decreasing Width -NFDW

28. Best Fit Decreasing Width-BFDW
‫حل‬ ‫روشهای‬(
2DBPP)

29. 8
76
9
‫حل‬ ‫روشهای‬(
2DBPP)
Best Fit Decreasing Width-BFDW

30. Height first–Area second (HA) algorithm
Packing first, Routing Second
Path Relinking Algorithm
CPBOX
BOXCP
Branch and Bound
Hill Climbing SCLP (HC-SCLP)
Improved Least Waste
Touching Area Algorithm
-‫برخی‬‫یتم‬‫ر‬‫الگو‬‫های‬‫یستیک‬‫ر‬‫متاهو‬‫بکارگرفته‬‫شده‬‫در‬‫حل‬‫مسائل‬3DBPP
‫تند‬‫ر‬‫عبا‬‫از‬:
HG, SCH, GLS, TS3, HBP, TS2 Pack, GASP
‫حل‬ ‫روشهای‬(3DBPP)

31. ‫رایج‬ ،‫باشد‬ ‫ناهمگن‬ ‫کمی‬ ‫ها‬ ‫باکس‬ ‫ترکیب‬ ‫که‬ ‫زمانی‬
‫دیوار‬ ،‫رویکردها‬ ‫ترین‬‫سازی‬(Wall Building)‫و‬‫سازی‬ ‫الیه‬
(Layer Building)‫می‬‫باشد‬.
‫باکس‬ ،‫باشد‬ ‫ناهمگن‬ ‫کامال‬ ‫ها‬ ‫باکس‬ ‫ترکیب‬ ‫که‬ ‫صورتی‬ ‫در‬
‫شوند‬ ‫می‬ ‫چیده‬ ‫یک‬ ‫به‬ ‫یک‬ ‫صورت‬ ‫به‬ ‫ها‬.
‫از‬ ‫های‬ ‫باکس‬ ،‫سازی‬ ‫الیه‬ ‫و‬ ‫دیوارسازی‬ ‫رویکردهای‬ ‫در‬
‫یک‬ ‫تا‬ ‫شوند‬ ‫می‬ ‫چیده‬ ‫ستون‬ ‫یا‬ ‫ردیف‬ ‫یک‬ ‫در‬ ،‫نوع‬ ‫یک‬
‫نمایند‬ ‫پر‬ ‫را‬ ‫خالی‬ ‫فضای‬ ‫کف‬ ‫یا‬ ‫طرف‬.‫تمامی‬ ‫بازای‬
‫می‬ ‫تهیه‬ ‫خالی‬ ‫فضاهای‬ ‫از‬ ‫لیستی‬ ،‫ممکن‬ ‫های‬ ‫موقعیت‬
‫شود‬.‫چیده‬ ‫الیه‬ ‫یا‬ ‫دیوار‬ ‫با‬ ‫خالی‬ ‫فضای‬ ‫یک‬ ‫که‬ ‫هنگامی‬
‫شوند‬ ‫می‬ ‫ایجاد‬ ‫جدید‬ ‫فضاهای‬ ،‫شود‬.‫که‬ ‫زمانی‬ ،‫معموال‬
‫به‬ ‫مانده‬ ‫باقی‬ ‫فضای‬ ،‫شود‬ ‫ساخته‬ ‫الیه‬ ‫یا‬ ‫دیوار‬ ‫یک‬
‫شود‬ ‫می‬ ‫گرفته‬ ‫نظر‬ ‫در‬ ‫تر‬ ‫کوچک‬ ‫کانتینر‬ ‫یک‬ ‫عنوان‬.‫هر‬
‫که‬ ‫باشد‬ ‫می‬ ‫دستی‬ ‫بندی‬ ‫بسته‬ ‫از‬ ‫تقلیدی‬ ‫رویکرد‬ ‫دو‬
‫نماید‬ ‫ایجاد‬ ‫صاف‬ ‫سطح‬ ‫یک‬ ‫کند‬ ‫می‬ ‫تالش‬.
‫مورد‬ ‫در‬ ،‫ها‬ ‫باکس‬ ‫بندی‬ ‫بسته‬ ‫چگونگی‬ ‫تصمیم‬ ‫با‬ ‫همراه‬
‫بسته‬ ‫باید‬ ‫بعدی‬ ‫مرحله‬ ‫در‬ ‫نیز‬ ‫باکس‬ ‫نوع‬ ‫کدام‬ ‫اینکه‬
‫حل‬ ‫روشهای‬(3DBPP)

32. Height first–Area second (HA) algorithm
‫؛‬ ‫است‬ ‫کلی‬ ‫بخش‬ ‫دو‬ ‫شامل‬ ‫یتم‬‫ر‬‫الگو‬ ‫این‬
‫ل‬‫او‬‫فاز‬)‫عمودی‬ ‫کردن‬‫پر‬‫مشابه؛‬ ‫تفاع‬‫ر‬‫ا‬ ‫با‬ ‫هایی‬ ‫الیه‬ ‫اساس‬‫ر‬‫ب‬ ‫وسایل‬
‫میشوند‬ ‫مرتب‬ ‫صعودی‬ ‫غیر‬ ‫های‬ ‫تفاع‬‫ر‬‫ا‬ ‫اساس‬‫ر‬‫ب‬ ‫اقالم‬ ‫مرحله‬ ‫این‬ ‫در‬
‫تفاع‬‫ر‬‫ا‬ ‫از‬ ‫متفاوتی‬ ‫و‬‫مشخص‬ ‫های‬ ‫دسته‬ ‫در‬ ‫سپس‬(‫مانند‬ ‫ضریبی‬ ‫با‬ ‫دسته‬ ‫هر‬ ‫در‬ ‫تفاع‬‫ر‬‫ا‬β‫که‬β∈[0,1]‫است‬)
‫میگردند‬ ‫بندی‬ ‫تقسیم‬
‫میشود‬‫تعیین‬ ‫بندی‬ ‫بسته‬ ‫ای‬‫ر‬‫ب‬ ‫یک‬‫ر‬‫با‬ ‫ی‬ ‫الیه‬ ‫یک‬ ‫ترتیب‬‫بدین‬.
‫سم‬ ‫گوشه‬ ‫در‬ ‫آن‬ ‫پشت‬ ‫چپ‬ ‫سمت‬ ‫گوشه‬ ‫یکه‬‫ر‬‫طو‬ ‫به‬‫میگیرد‬ ‫ار‬‫ر‬‫ق‬ ‫الیه‬ ‫اولین‬ ‫در‬ ‫دسته‬‫اولین‬ ‫از‬ ‫قلم‬‫اولین‬‫پشت‬ ‫چپ‬ ‫ت‬
‫بگیرد‬ ‫ار‬‫ر‬‫ق‬ ‫نظر‬ ‫د‬‫ر‬‫مو‬ ‫سطح‬(.‫حالت‬ ‫مانند‬2DBPP)‫است‬ ‫شده‬‫بندی‬ ‫بسته‬ ‫ئ‬ ‫ش‬ ‫که‬ ‫گوییم‬ ‫ت‬‫ر‬‫اینصو‬ ‫در‬ ‫و‬.
‫دوم‬‫فاز‬)‫افقی‬ ‫پرکردن‬‫چیدمان‬ ‫با‬ ‫مرتبط‬ ‫حل‬ ‫شهای‬‫و‬‫ر‬ ‫توسط‬ ‫سطح‬ ‫ی‬‫و‬‫ر‬ ‫به‬(‫بندی‬‫بسته‬)‫دوبعدی‬(2DBPP)‫؛‬
‫دوبعدی‬ ‫حالت‬ ‫شهای‬‫و‬‫ر‬ ‫از‬ ‫یکی‬ ‫با‬ ‫و‬‫شده‬ ‫مرتب‬ ‫صعودی‬ ‫غیر‬ ‫مساحت‬ ‫اساس‬‫ر‬‫ب‬ ‫دسته‬ ‫هر‬ ‫در‬ ‫اقالم‬ ‫مرحله‬‫این‬‫ر‬‫د‬‫چیده‬
‫میگردد‬ ‫تصحیح‬ ‫امکان‬ ‫ت‬‫ر‬‫صو‬ ‫در‬ ‫ها‬ ‫الیه‬ ‫تفاع‬‫ر‬‫ا‬ ‫و‬ ‫میشوند‬.
‫حل‬ ‫روشهای‬(3DPBB)

33. ‫حل‬ ‫روشهای‬(3DPBB)

34. ‫ابعاد‬ ‫با‬ ‫کانتینر‬ ‫یک‬10*10*10‫بگیرید‬ ‫نظر‬ ‫در‬ ‫را‬.
5‫بسته‬ ‫آن‬ ‫در‬ ‫خواهیم‬ ‫می‬ ‫را‬ ‫ذیل‬ ‫شرح‬ ‫با‬ ‫جنس‬ ‫قلم‬
‫کنیم‬ ‫بندی‬.
‫مثال‬1‫بعدی‬ ‫سه‬ ‫بندی‬ ‫بسته‬-‫بندی‬ ‫بسته‬
‫گام‬ ‫به‬ ‫گام‬ ‫بعدی‬ ‫سه‬
‫تعداد‬ ‫طول‬ ‫ارتفا‬
‫ع‬
‫عرض‬ ‫عنوان‬
3 6 5 4 ‫قلم‬1
2 4 4 3 ‫قلم‬2
3 4 2 2 ‫قلم‬3
4 2 6 4 ‫قلم‬4
2 5 3 5 ‫قلم‬5
14‫آیتم‬ ‫تعداد‬‫بسته‬ ‫اقالم‬
‫شده‬ ‫بندی‬
84.6% ‫استفاده‬ ‫فضای‬
‫شده‬
0.00052‫ثانیه‬ ‫زمان‬‫مسئله‬ ‫حل‬

35. ‫مثال‬1‫بعدی‬ ‫سه‬ ‫بندی‬ ‫بسته‬–‫حل‬
‫مسئله‬

36. ‫مثال‬1‫بعدی‬ ‫سه‬ ‫بندی‬ ‫بسته‬–‫هر‬ ‫محل‬
‫ها‬ ‫آیتم‬ ‫از‬ ‫یک‬

37. ‫کاال‬ ‫قلم‬ ‫سه‬ ‫حمل‬ ‫برای‬ ‫سفارشی‬ ‫نقل‬ ‫و‬ ‫حمل‬ ‫شرکت‬ ‫یک‬
‫است‬ ‫کرده‬ ‫دریافت‬.‫نوع‬ ‫چند‬ ‫شرکت‬ ‫این‬ ‫که‬ ‫آنجا‬ ‫از‬
‫هر‬ ‫بندی‬ ‫بسته‬ ‫اساس‬ ‫بر‬ ‫باید‬ ‫دارد‬ ‫اختیار‬ ‫در‬ ‫خودرو‬
‫نماید‬ ‫انتخاب‬ ‫را‬ ‫راهکار‬ ‫بهترین‬ ‫و‬ ‫بررسی‬ ‫را‬ ‫یک‬.
‫سفارش‬ ‫جزئیات‬-‫الگوریم‬ ‫ورودی‬:
3D-BPP‫شبیه‬ ،‫خودرو‬ ‫هر‬ ‫بازای‬ ‫بندی‬ ‫بسته‬ ‫سازی‬ ‫شبیه‬
‫چنین‬ ‫راهکارها‬ ‫و‬ ‫دهد‬ ‫می‬ ‫انجام‬ ‫را‬ ‫بندی‬ ‫بسته‬ ‫سازی‬
‫بود‬ ‫خواهد‬:
‫مثال‬2‫بعدی‬ ‫سه‬ ‫بندی‬ ‫بسته‬-‫بندی‬ ‫بسته‬
‫نقلیه‬ ‫وسایل‬ ‫بارگیری‬ ‫فضای‬
‫ابعاد‬‫بارگیری‬ ‫فضای‬:
20*20*10
‫بارگیری‬ ‫فضای‬ ‫ابعاد‬:
40*10*10
‫ابعاد‬:
20*10*4
‫تعداد‬:4‫قلم‬
‫قلم‬ ‫دو‬ ‫تنها‬
‫خودرو‬ ‫در‬ ‫کاال‬
‫گیرد‬ ‫می‬ ‫جای‬.
‫قلم‬ ‫چهار‬ ‫هر‬
‫جای‬ ‫خودرو‬ ‫در‬
‫گیرد‬ ‫می‬.

38. ‫کاال‬ ‫قلم‬ ‫سه‬ ‫شامل‬ ‫که‬ ‫اجراست‬ ‫حال‬ ‫در‬ ‫آنالین‬ ‫خرید‬ ‫یک‬
‫باشد‬ ‫می‬.‫محدودی‬ ‫تعداد‬ ‫که‬ ‫آنجا‬ ‫از‬Bin‫اختیار‬ ‫در‬
‫جواب‬ ‫وضعیتی‬ ‫چه‬ ‫در‬ ‫که‬ ‫کنیم‬ ‫انتخاب‬ ‫باید‬ ،‫داریم‬
‫داشت‬ ‫خواهیم‬ ‫بهینه‬.
‫سفارش‬ ‫جزئیات‬-‫الگوریم‬ ‫ورودی‬:
3D-BPP‫هر‬ ‫بازای‬ ‫بندی‬ ‫بسته‬ ‫سازی‬ ‫شبیه‬Bin‫شبیه‬ ،
‫چنین‬ ‫نتیجه‬ ‫و‬ ‫دهد‬ ‫می‬ ‫انجام‬ ‫را‬ ‫بندی‬ ‫بسته‬ ‫سازی‬
‫بود‬ ‫خواهد‬:
‫مثال‬3‫بعدی‬ ‫سه‬ ‫بندی‬ ‫بسته‬-
‫بندی‬ ‫بسته‬‫کانتینر‬
‫ابعاد‬‫بارگیری‬ ‫فضای‬:
20*10*10
‫بارگیری‬ ‫فضای‬ ‫ابعاد‬:
20*10*5
‫ابعاد‬:
20*10*2
‫تعداد‬:3‫قلم‬
‫در‬ ‫قلم‬ ‫سه‬ ‫هر‬
‫جای‬ ‫کانتینتر‬
‫کاال‬ ‫قلم‬ ‫یک‬
‫می‬ ‫بیرون‬
‫ماند‬

39. 1- Xiao Zhou Zhao and et al., "A comparative review of 3D container loading algorithms",
International Transactions in Operational Research 00 (2014) 1–34.
2- Andrea Lodi and et al., "Two-dimensional packing problems: A survey", European Journal
of Operational Research141 (2002) 241–252.
3- Andrea Lodi and et al., "Heuristic algorithms for the three-dimensional bin packing
problem", European Journal of Operational Research 141 (2002) 410–420.
4- J. O. BERKEY and P. Y. WANG, "Two Dimensional Finite Bin-Packing Algorithms", Journal
of the Operational Research Society 38(5) (1987) 423-429.
5- Andrea Lodi and et al., "Heuristic and Met heuristic Approaches for a Class of Two-
Dimensional Bin Packing Problems", INFORMS Journal on Computing 11(4) (1999) 345-357.
6- Daniel Mack and Andreas Bortfeldt, "A heuristic for solving large bin packing problems in
two and three dimensions", Central European Journal of Operations Research 20
(2012)337–354.
7- Yong Wu and et al., "Three-dimensional bin packing problem with variable bin height",
European Journal of Operational Research 202 (2010) 347–355.
8- Rasmus R. Amossen and David Pisinger, "Multi-dimensional bin packing problems with
guillotine constraints", Computers & Operations Research 37 (2010) 1999–2006.
9- S.D. Allen and et al., "A hybrid placement strategy for the three-dimensional strip
packing problem", European Journal of Operational Research 209 (2011) 219–227.
10- Michel Gendreau and et al., "Heuristics and lower bounds for the bin packing problem
with conflicts", Computers & Operations Research 31 (2004) 347–358.
*‫منابع؛‬

40. 11- Silvano Martello and et al., "The Three-Dimensional Bin Packing Problem", Operations Research 48(2) (2000)
256-267.
12- Anna Sciomachen and Elena Tanfani, "A 3D-BPP approach for optimizing stowage plans and terminal
productivity", European Journal of Operational Research 183 (2007) 1433–1446.
13- Felix T.S. Chan and et al., "Development of a decision support system for air-cargo pallets loading problem: A
case study", Expert Systems with Applications 31 (2006) 472–485.
14- Hongteng Wu and et al., "Three-stage heuristic algorithm for three-dimensional irregular packing problem",
Applied Mathematical Modelling 41 (2017) 431–4 4 4.
15- José Fernando Gonçalves and Mauricio G. C. Resende, "A biased random key genetic algorithm for 2D and 3D
bin packing problems", International Journal of Production Economics 145 (2013) 500-510.
16- R. Alvarez-Valdes and et al., "A GRASP/Path Relinking algorithm for two- and three-dimensional multiple bin-
size bin packing problems", Computers &OperationsResearch40(2013)3081–3090.
17- Xueping Li and Kaike Zhang, "A hybrid differential evolution algorithm for multiple container loading problem
with heterogeneous containers", Computers & Industrial Engineering 90 (2015) 305–313.
18- Kyungdaw Kang and et al., "A hybrid genetic algorithm with a new packing strategy for the three-dimensional
bin packing problem", Applied Mathematics and Computation 219 (2012) 1287–1299.
19- Andreas Bortfeldt and J¨org Homberger, "Packing first, routing second—a heuristic for the vehicle routing and
loading problem", Computers &OperationsResearch40(2013)873–885.
20- Ana de Almeida and Marisa B. Figueiredo, "A particular approach for the Three-dimensional Packing Problem
with additional constraints", Computers &OperationsResearch37(2010)1968–1976.
*‫منابع؛‬

41. 21- Wenbin Zhu and et al., "A prototype column generation strategy for the multiple container
loading problem", European Journal of Operational Research 223 (2012) 27–39.
22- Eunice López-Camacho and et al., "A unified hyper-heuristic framework for solving bin
packing problems", Expert Systems with Applications xxx (2014) xxx–xxx.
23- Yi Tao and FanWang, "An effective tabu search approach with improved loading algorithms for
the3L-CVRP", Computers & Operations Research, 55 (2015) 127-140.
24- Tansel Dokeroglu and Ahmet Cosar, "Optimization of one-dimensional Bin Packing Problem
with island parallel grouping genetic algorithms", Computers & Industrial Engineering 75 (2014)
176–186.
25- Wenbin Zhu and et al., "Space defragmentation for packing problems", European Journal of
Operational Research 222 (2012) 452–463.
26- https://www.3dbinpacking.com/
*‫منابع؛‬

42. ‫باشید‬ ‫پاینده‬ ‫و‬ ‫موفق‬