Dokumen tersebut membahas tentang struktur data pohon, meliputi definisi pohon biner, jenis-jenis pohon seperti pohon ekspresi, pohon huffman, dan pohon pencarian biner, serta konsep-konsep kunci seperti kunjungan pohon, representasi pohon, heap tree, dan red-black tree.

1. TREE (POHON)
Struktur Data - Tree 1

2. Tujuan Pembelajaran
• Di akhir pembelajaran, peserta diharapkan
memahami tentang :
– Macam-macam jenis pohon (tree)
– Mengetahui definisi & konsep pohon biner
– Mengetahui representasi dari pohon biner
– Mengenal heap, heapsort, & priority queue
Struktur Data - Tree 2

3. Konsep Dasar & Terminologi
Struktur Data - Tree 3
Level 0
Level 1
Level 2
Level 3
Node dalam/
Internal node
Daun/
Leaf
R
S T
X U V W
Y Z
Root/Akar
Gambar 1

4. Konsep & Terminologi
• Sebuah pohon terdiri atas kumpulan
elemen atau node
• Tiap node dapat berisi data dan link
(penghubung) ke node lainnya
• Tiap node memiliki satu induk, kecuali
node root (akar) yang tidak memiliki induk.
• Tiap node dapat memiliki anak dalam
jumlah berapapun.
Struktur Data - Tree 4

5. Konsep & Terminologi
• Node-node yang berasal dari induk yang
sama disebut siblings
• Sebuah node yang tidak memiliki anak
dinamakan leaf (daun)
• Secara umum, hubungan induk-anak
diistilahkan dengan hubungan the
ancestor-descendent
Struktur Data - Tree 5

6. Konsep & Terminologi
• Sebuah subtree (pohon anak) dari sebuah
node adalah tree yang root-nya adalah
anak dari node tsb.
• Level dari sebuah node adalah ukuran
jarak node tersebut terhadap akar.
• Height (tinggi)/depth dari tree adalah level
maksimum dari node yang terdapat di tree
tsb.
– Pohon kosong (empty tree) memiliki height=0
Struktur Data - Tree 6

7. Konsep Dasar & Terminologi
• Secara umum, setiap node N dapat diurut
dari root berdasarkan jalur (path) P.
• Jika path P memiliki n cabang (edge),
maka dikatakan node N berada di level n
• Contoh path :
– Dari R ke X : R – S – X, n=2, X ada di level 2
– Dari R ke Z : R – S – X – Z, n=3, Z ada di
Struktur Data - Tree 7
level 3

8. Pohon Biner (Binary Trees)
• Pada sebuah pohon biner, tiap node
memiliki tepat 2 sub-pohon
• Sekelompok node T adalah sebuah binary
tree jika :
– T adalah pohon kosong
– Root dari T memiliki 2 subpohon, TL dan TR,
dimana TL & TR adalah pohon biner
Struktur Data - Tree 8

9. Pohon Biner (Binary Trees)
R
S T
Y U V
Struktur Data - Tree 9
X
W
Z
Gambar 2

10. Tipe-tipe Pohon Biner
Struktur Data - Tree 10
• Pohon Ekspresi
– Tiap node berisi operator atau operan
• Pohon Huffman
– Merepresentasikan kode Huffman untuk karakter
yang bisa muncul pada file teks
– Kode Huffman menggunakan angka-angka bit yang
berbeda dari ASCII atau Unicode
• Pohon Pencarian Biner (Binary Search Tree)
– Semua elemen pada sub-pohon kiri mendahului
semua elemen pada sub-pohon kanan

11. Pohon Ekspresi
Pohon Ekspresi
Struktur Data - Tree 11

12. Pohon Huffman
Struktur Data - Tree 12

13. Pohon Pencarian Biner
Struktur Data - Tree 13

14. Pohon Pencarian Biner
Struktur Data - Tree 14

15. Full Binary Tree
• Sebuah pohon biner penuh adalah pohon
biner yang tiap node nya memiliki nol atau
dua anak
Struktur Data - Tree 15

16. Perfect Binary Tree
• Sebuah pohon biner dikatakan sempurna
(perfect) jika pohon biner tsb merupakan
pohon biner penuh dan semua node daun
berada di level yang sama.
• Secara rekursif, sebuah pohon biner
sempurna jika :
– Merupakan pohon biner kosong, atau
– Root nya memilik dua sub-pohon yang
sempurna dengan tinggi yang sama
Struktur Data - Tree 16

17. Complete Binary Tree
• Definisi :
– Pohon biner level N dikatakan sebuah komplit
jika seluruh node pada level N-1 terisi
seluruhnya dan pada level N node yang
kosong adalah node kanan.
Struktur Data - Tree 17

18. Complete Binary Tree
H
D K
B F J L
A C E G I
Gambar 4 Representasi
Struktur Data - Tree 18

19. Incomplete Binary Tree
Gambar 5 Gambar 6
Struktur Data - Tree 19

20. Kunjungan Pohon (Tree Traversals)
• Kunjungan pohon digunakan untuk
menelusuri keberadaan node pada pohon
• Tiga jenis kunjungan pohon :
– In-order
– Pre-order
– Post-order
Struktur Data - Tree 20

21. Kunjungan Pohon (Tree Traversals)
• Preorder: Visit root node, traverse TL,
traverse TR
• Inorder: Traverse TL, visit root node,
traverse TR
• Postorder: Traverse TL, Traverse TR, visit
root node
Struktur Data - Tree 21

22. Kunjungan Pohon (Tree Traversals)
Struktur Data - Tree 22

23. Visualisasi Kunjungan Pohon
Struktur Data - Tree 23

24. Representasi Pohon Biner
• Pohon biner dapat direpresentasikan
dalam 2 model :
1. Representasi berurutan (sequential
representation)
2. Representasi berkait (linked representation)
Struktur Data - Tree 24

25. Representasi Berurutan
Representasi berurutan dari gambar 4 :
H D K B F J L A C E G I
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
Gambar 7
Struktur Data - Tree 25

26. Akses Elemen
• Posisi node dapat ditentukan berdasarkan
rumus berikut :
– Anak kiri dari node i berada pada indeks :
2*i+1
– Anak kanan dari node i berada pada indeks :
2*i+2
Struktur Data - Tree 26

27. Representasi Berkait
Struktur Data - Tree 27

28. Heap Tree
• Definisi :
– Heap tree adalah pohon biner komplit yang
tiap node nya memenuhi heap property.
• Heap Property :
– Nilai pada node > atau >= nilai semua
node anaknya
Struktur Data - Tree 28

29. Heap Tree
Struktur Data - Tree 29
12
8 3
12
8 12
Node 12 memiliki
properti heap
12
8 14
Node 12 tidak memiliki
properti heap
Node 12 memiliki
properti heap

30. siftUp
• Diberikan sebuah node yang tidak memiliki heap
property. Maka yang bisa dilakukan adalah menukar
posisi dengan node anak yang nilainya paling besar.
14
8 12
Blue node has
heap property
• Proses ini disebut juga sifting up
• Bisa terjadi, node anak yang baru kehilangan heap
property
Struktur Data - Tree 30
12
8 14
Blue node does not
have heap property

31. Langkah Membangun Heap (I)
• Sebuah pohon yang berisi satu node
adalah heap tree.
• Cara menyusun heap adalah dengan
menambahkan satu node tiap saat
dengan aturan sbb :
– Tambahkan node baru di posisi paling kiri
di level terbawah
– Jika level terbawah penuh, buat level baru
Struktur Data - Tree 31

32. Contoh
Add a new
node here
Add a new
node here
Struktur Data - Tree 32
Contoh 1
Contoh 2

33. Langkah Membangun Heap (II)
• Setiap penambahkan node, mungkin
menyebabkan node induk kehilangan
heap property.
– Solusi  sift up
• Proses sift up ini dilakukan berulang kali
hingga :
– Node berada di posisi yang tepat dalam arti nilai node
tsb masih lebih kecil daripada node induknya, atau
– Prosesnya telah sampai pada node root
Struktur Data - Tree 33

47. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
22 22 17 19 21 14 15 18 14 11 3 9 25
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
9 22 17 19 22 14 15 18 14 21 3 22 25
• ...Dan seterusnya, hapus dan ganti root
• Ingat, elemen terakhir array selalu berubah
• Ulangi sampai elemen terakhir adalah
elemen pertama & array sudah terurut
Struktur Data - Tree 47

48. Red-Black Tree
• Red-black tree adalah binary search
tree yang memenuhi properti sbb :
– Setiap node adalah red atau black
– Node root adalah black
– Setiap daun adalah black
– Semua anak dari node red adalah black
– Setiap jalur (path) dari sebuah node ke daun
berisi node black yang jumlahnya sama
Struktur Data - Tree 48

49. Contoh Red-Black Tree
Struktur Data - Tree 49