Bab 1 membahas Hukum Kirchhoff yang mencakup representasi diagraf rangkaian, hukum arus Kirchhoff (KCL), hukum tegangan Kirchhoff (KVL), matriks insiden, derajat kebebasan arus dan tegangan cabang, serta sistem persamaan linier yang dihasilkan dari hukum-hukum tersebut.

1. Bab 1 Hukum Kirchhoff
BAB 1
HUKUM KIRCHHOFF
Setelah mempelajari Bab 1 Hukum Kirchhoff, Anda diharapkan:
1. Memahami representasi diagraph suatu rangkaian lumped-circuit.
2. Memahami berbagai bentuk hukum KCL (Kirchhoff’s Current Law), yakni
hukum KCL dalam bentuk permukaan Gauss, cut-set, dan node.
3. Memahami berbagai bentuk hukum KVL (Kirchhoff’s Voltage Law), yakni
hukum KVL dalam bentuk urutan node tertutup (closed node sequences), loop,
dan selisih tegangan dua node relatif terhadap datum node.
4. Memahami definisi matriks incidence A a , matriks incidence tereduksi A , vektor
tegangan cabang v , vektor arus cabang i , vektor tegangan node e suatu
diagraph, dan kaitannya dengan hukum KCL dan KVL, yakni A i = 0 dan
v − ATe = 0 .
5. Memahami definisi derajat kebebasan (degree of freedom) arus dan tegangan
cabang.
6. Memahami definisi bebas linier persamaan aljabar linier KCL dan KVL.
7. Memahami teorema Tellegen.
Diktat Pendukung Teori Rangkaian 1

2. Bab 1 Hukum Kirchhoff
1. Perhatikan rangkaian yang ditunjukkan pada P1.1a.
a. Bila v2-3 = 10V, v6-3 = 6V, dan v4-1 = 2V, tentukan v6-1, v4-6, dan v4-2.
b. Gambarkan diagraph rangkaian dengan terminal 3 dipilih sebagai datum
dari op amp dan terminal 4 sebagai datum dari transistor. Ulangi
pertanyaan (a) untuk diagraph ini.
c. Ulangi (b) tetapi terminal 5 dipilih sebagai terminal datum baik untuk op
amp maupun transistor.
1
−
−
v4−1 v 6 −1
i1
4 i4
+
+
i2
+ −
v4−2 v4−6
2 − +
+ 5 − +
+
v 2 −3
6
v6−3 load
− i3
−
3
P1.1a
Solusi
a. Perhatikan, v1-3 berisi sebuah sumber tegangan 5V sehingga v1-3 = 5V.
Dari hukum KVL diperoleh
• v6-1 + v1-3 + v3-6 = 0 ⇔ v6-1 = -v3-6 – v1-3 = -(-6) – 5 = 1V.
• v4-2 + v2-3 + v3-1 + v1-4 = 0 ⇔ v4-2 = -v2-3 – v3-1 – v1-4 = -10–(-5)–(-2) = -3V.
• v4-6 + v6-3 + v3-1 + v1-4 = 0 ⇔ v4-6 = -v6-3 – v3-1 – v1-4 = -6-(-5)-(-2)= 1V.
b. Gambar diagraph dengan terminal 3 sebagai datum dari op amp dan terminal 4
sebagai datum dari transistor tampak pada P1.1b. Perhatikan, kode T
melambangkan komponen transistor dan kode OA untuk op amp.
1 4
4 v6-1 = -v3-6- v1-3
T = -(-6) – 5 = 1V.
2
1 T
OA v4-2 = v3-2 – v3-1 – v1-4
2 5 6 = -10 – (-5) – (-2) = -3V.
OA v4-6 = v3-6 – v3-1 – v1-4
3 OA
load = -6 – (-5) – (-2) = 1V.
P1 .1b
3
Diktat Pendukung Teori Rangkaian 2

3. Bab 1 Hukum Kirchhoff
c. Gambar diagraph dengan terminal 5 sebagai terminal datum baik untuk op amp
maupun transistor tampak pada P1.1c.
1 4
4 v6-1 = -v3-6- v1-3
= 6 – 5 = 1V.
2
OA T
v4-2 = v3-2 – v3-1 – v1-4
OA = -10 – (-5) – (-2) = -3V.
2 6
1 5 T v4-6 = v3-6 – v3-1 – v1-4
= -6 – (-5) – (-2) = 1V.
3 OA
load
3 P1.1c
2. a. Untuk diagraph yang ditunjukkan pada P1.2a, tentukan semua persamaan
cut-set KCL yang tidak termasuk dalam persamaan node KCL.
b. Apakah persamaan di atas bebas linier (linearly independent)? Bila ya,
buktikan. Bila tidak, hapus sebuah sub himpunan (subset) minimum
sehingga sisa persamaan bersifat bebas linier. Apakah sisa persamaan
tersebut mewakili sebuah himpunan maksimal, yakni apakah sisa
persamaan tersebut mengandung semua informasi dari diagraph?
6
2
4
2 5
4
1 7
3 10
9
8
3
1
5
P1.2a
Diktat Pendukung Teori Rangkaian 3

4. Bab 1 Hukum Kirchhoff
Solusi
a. Persamaan cut-set yang tidak termasuk persamaan node KCL adalah
C1 = { 1, 4, 5, 6} ⇔ i1 + i4 + i5 + i6 = 0
C2 = { 2, 4, 7, 8, 9} ⇔ -i2 + i4 + i7 + i8 + i9 = 0
C3 = {1, 4, 7, 8, 9} ⇔ -i1 – i4 – i7 – i8 – i9 = 0
b. Ya, ketiga persamaan di atas bersifat bebas linier. (Buktikan. Petunjuk:
Perhatikan m buah persamaan aljabar linier dengan n buah variabel
f j (x 1 , x 2 , x 3 ,..., x n ) = α j1 x 1 + α j2 x 2 + ... + α jn x n = 0 j = 1,2,...m
di mana αjk adalah bilangan nyata atau kompleks. Ke-m buah persamaan
m
dikatakan bebas linier bila ∑ k f (x , x
j=1
j j 1 2 ,..., x n ) = 0 untuk semua x1,x2, …, xn
mengimplikasikan kj=0 untuk j = 1,2, ..m. (Lihat solusi pada pertanyaan 5 untuk
metode pembuktian yang lain). Bila y1(x) bergantung linier pada y2(x), maka
sebenarnya y1(x) tidak memberikan tambahan informasi apapun pada y2(x)).
Namun, ketiga persamaan cut-set bukanlah sebuah himpunan maksimal karena
kita membutuhkan n – 1 = 5 - 1 = 4 persamaan cut-set yang bebas linier untuk
mendeskripsikan diagraph di atas (n adalah jumlah node pada diagraph).
3. a. Untuk diagraph pada P1.2a, tulis persamaan loop KVL yang mengandung
empat atau lebih cabang.
b. Ulangi pertanyaan (2b) untuk persamaan-persamaan loop tersebut.
Solusi
a. Persamaan loop KVL yang dapat ditulis adalah
• –v1 + v2 + v5 + v7 = 0 (1)
• -v1 + v2 + v5 + v9 = 0 (2)
• -v1 + v2 + v6 + v8 = 0 (3)
• -v1 + v2 + v5 + v8 = 0 (4) …(1)
• -v1 + v2 + v6 + v7 = 0 (5)
• -v1 + v2 + v6 + v9 = 0 (6)
b. Persamaan (1) di atas bergantung linier (linearly dependent). Namun, persamaan
1,2,3, dan 4 bersifat bebas linier (buktikan). Keempat persamaan tersebut belum
mengandung semua informasi dari diagraph karena dibutuhkan
b – n + 1 = 10 – 5 + 1 = 6 persamaan KVL yang bebas linier untuk
mendeskripsikan secara lengkap diagraph tersebut ( b adalah jumlah branch).
Diktat Pendukung Teori Rangkaian 4

5. Bab 1 Hukum Kirchhoff
4. a. Gambarkan diagraph untuk rangkaian penyearah gelombang penuh (full-
wave rectifier) yang ditunjukkan pada P1.4a.
b. Perhatikan sub himpunan cabang berikut: {1, 2}, {1, 2, 3, 4}, {4, 5, 6, 7},
{3, 6}, {3, 4, 5, 6}, {1, 2, 4, 5}, dan {1, 2, 3, 5, 7}. Identifikasikan sub himpunan
ini yang memenuhi kualifikasi sebagai cabang yang memotong permukaan
Gauss dan tulis persamaan KCL yang bersangkutan. Jelaskan mengapa sub
himpunan cabang lain tidak memenuhi syarat.
c. Identifikasikan sub himpunan yang memenuhi syarat sebagai cut-set dan
tulis persamaan KCL yang bersangkutan. Jelaskan mengapa sub himpunan
lain tidak memenuhi syarat.
i1 1 i2 i3 3
i5
i7
4
i4
5
i6
2 6
P1.4a
Solusi
a. Diagraph untuk rangkaian pada P1.4a tampak pada P1.4b.
b. Sub himpunan cabang yang memenuhi syarat sebagai cabang yang memotong
permukaan Gauss dan persamaan KCL yang bersangkutan adalah
{1, 2} ⇔ i1 + i2 = 0
{3, 6} ⇔ i3 + i6 = 0
{3, 4, 5, 6} ⇔ i3 – i4 – i5 + i6 = 0
{1, 2, 4, 5} ⇔ i1 + i2 + i4 + i5 = 0
{1, 2, 3, 5, 7} ⇔ i1 + i2 + i3 - i 5 + i7 = 0
{1, 2, 3, 4} dan {4, 5, 6, 7} bukan permukaan Gauss karena sembarang
permukaan Gauss akan memotong satu satu cabang tersebut lebih dari satu kali
(permukaan Gauss hanya boleh memotong setiap cabang sebanyak satu kali).
c. Suatu himpunan cabang diagraph dikatakan sebagai cut-set bila memenuhi dua
persyaratan berikut, yakni:
• Pemindahan semua cabang pada cut-set menghasilkan sebuah digraph yang
tidak terkoneksi
Diktat Pendukung Teori Rangkaian 5

6. Bab 1 Hukum Kirchhoff
• Pemindahan semua cabang pada cut-set, kecuali satu cabang sisanya, tetap
menghasilkan digraph yang terkoneksi.
Dengan menggunakan persyaratan di atas maka hanya {1,2} dan {3,6} yang
memenuhi syarat sebagai cut-set, yakni
{1, 2}⇔ i1 + i2 = 0 dan {3, 6}⇔ i3 + i6 = 0
1 3 5 5
1 2 3 4
7
6
2 4 6
P1.4b
5. a. Tulis matriks incidence A a untuk diagraph pada P1.4a dan verifikasi
bahwa baris-baris tersebut bergantung linier (linearly dependent). Mengapa?
b. Hapus salah satu baris dari A a dan verifikasi bahwa sisa baris tersebut
masih bergantung linier. Mengapa?
c. Gabungkan node 2 dan 6 dan tulis matriks incidence tereduksi A .
Verifikasi bahwa baris-baris tersebut bebas linier.
d. Tulis sebuah sistem persamaan KVL dan KCL yang bebas linier
menggunakan A .
Solusi
a. Incidence matriks A a untuk diagraph pada P1.4a adalah
1 1 0 0 0 0 0 1
− 1 − 1 0 0 0 0 0  2
Aa =  0 0 1 0 −1 0 1  3
 0 0 −1 0 0 −1 0  4
0 0 0 1 1 0 0 5
 0 0 0 − 1 0 1 − 1 6
 
Bila baris pertama dan kedua dari matriks incidence A a dijumlahkan akan
menghasilkan baris yang semua komponennya nol, jadi masih tidak bebas linier.
Diktat Pendukung Teori Rangkaian 6

7. Bab 1 Hukum Kirchhoff
( k1f1(i1,i2,…,i7) + k2f1(i1,i2,…,i7) = 0 terpenuhi untuk k1 dan k2 tidak sama dengan
nol, jadi kedua persamaan adalah bergantung linier menurut definisi pada solusi
pertanyaan (2b)).
b. Penghapusan sembarang baris dari matriks A a tidak akan menghasilkan
himpunan persamaan yang bebas linier karena diagraph yang berasosiasi dengan
A a tidak terkoneksi.
c. Dengan menggabungkan titik 2 dan 6 maka akan menghasilkan matriks tereduksi
1 1 0 0 0 0 0 1
A = 0 0 1 0 −1 0 1 3
0 0 −1 0 0 −1 0 4
0
 0 0 1 1 0 0 5

Matriks A dapat disusun dalam bentuk eselon baris (row-echelon) berikut
1 1 0 0 0 0 0
A = 0 0 1 0 −1 0 − 1
0 0 0 1 1 0 0
0
 0 0 0 1 1 − 1

yang sekaligus membuktikan bahwa persamaan-persamaan pada A adalah bebas
linier (lihat kembali pelajaran aljabar linier mengenai hubungan bebas llinier dan
matrisk eselon tereduksi).
d. Persamaan KVL dan KCL yang bebas linier dapat diperoleh dari persamaan
→ →T → →→ →
v = A e dan A i = 0
6. Pada rangkaian yang ditunjukkan pada P1.6a, arah referensi arus cabang
seperti yang ditunjukkan pada gambar.
a. Berapa buah arus cabang yang dapat diberikan secara bebas?
b. Bila arus-arus berikut diberikan, yakni i7 = -5, i4 = 5, i10 = -3, i3 = 1,
i1 = 2 A, apakah mungkin untuk mencari semua sisa arus lainnya?
Tentukan sebanyak mungkin arus yang dapat Anda lakukan.
c. Asumsikan tegangan cabang diukur dalam associate reference direction.
Berapa banyak tegangan cabang yang dapat ditentukan secara bebas?
Mengapa?
d. Misalkan tegangan berikut diberikan dalam satuan volt, v1 = 10, v2 = 5,
v4 = -3, v6 = 2, v7 = -3, v12 = 8. Tentukan sebanyak mungkin tegangan
cabang yang mungkin.
Diktat Pendukung Teori Rangkaian 7

8. Bab 1 Hukum Kirchhoff
i7
i5 i6 i12
i1 i2 i3 i4
i11 i8 i9
i10
P1.6a
Solusi:
a. Dari P1.6a terlihat bahwa terdapat 8 buah node (n = 8) dan 12 buah cabang (b =
12). Jumlah derajat kebebasan untuk KCL adalah Ki = b – (n-1) = b – n + 1 =
12 – 8 + 1 = 5.
Jadi jumlah arus cabang yang dapat diberikan secara bebas adalah lima buah.
b. Arus-arus yang dapat ditentukan adalah
• i1 + i5 + i7 = 0 ⇔ i5 = 5 – 2 = 3
• i4 + i12 = 0 ⇔ i12 = -5
• -i6 + i3 – i12 – i7 = 0 ⇔ i6 = 11
• -i5 + i2 + i6 = 0 ⇔ i2 = -8
• -i11 – i1 = 0 ⇔ i11 = -2
• i11 – i2 + i8 + i10 = 0 ⇔ i8 = -3
• -i4 – i9 –i10 = 0 ⇔ i9 = -2
Semua arus dalam satuan ampere (A). Karena jumlah arus yang diberikan sama
dengan jumlah derajat kebebasan KCL maka semua arus dapat ditentukan.
c. Jumlah derajat kebebasan untuk KVL adalah Kv = n – 1 = 8 – 1 = 7.
Jadi jumlah tegangan cabang yang dapat diberikan secara bebas adalah 7.
d. Tegangan-tegangan yang dapat ditentukan adalah
• v5 + v6 – v7 = 0 ⇔ v5 = -5
• v5 + v2 + v11 – v1 = 0 ⇔ v11 = 10
• v7 – v12 + v4 – v10 + v11 – v1 = 0 ⇔ v10 = -14
Semua tegangan dalam satuan volt. Sisa tegangan cabang lainnya tidak dapat
ditentukan. Untuk menentukan semua nilai tegangan, jumlah tegangan bebas
linier yang harus diberikan adalah 7 (jumlah derajat kebebasan KVL). Pada soal,
nilai KVL yang diberikan hanya 6 buah.
Diktat Pendukung Teori Rangkaian 8

9. Bab 1 Hukum Kirchhoff
7. a. Tentukan semua cut-set pada diagraph P1.7a.
b. Tulis persamaan KCL untuk setiap cut-set di (a).
c. Tunjukkan bahwa persamaan dari (b) adalah bergantung linier.
d. Ekstrak sebuah sub himpunan persamaan KCL dari (b) yang berisi
jumlah maksimum, ρ, persamaan bebas linier. Verifikasi bahwa
ρ = n – p, di mana n = jumlah node dan p = jumlah komponen terkoneksi
(bagian yang terpisah) dari diagraph.
e. Gabungkan titik 5 dan 7 dan verifikasi bahwa persamaan KCL yang
sama dari (b) juga berlaku untuk digraph yang “terkoneksi”.
1 2 3 3 6
1 2 4 7 8
6
4 5 5 7
P1.7a
Solusi
a. Cut-set pada digraph P1.7a adalah {1}, {2,3}, {3,4,6}, {4,5}, {7,8}, {2,4,6},
{3,5,6}, dan {2,5,6}
b. Persamaan KCL untuk cut-set di atas adalah
• {1} ⇔ i1 = 0
• {2, 3} ⇔ i2 + i3 = 0
• {3, 4, 6} ⇔ -i3 – i4 – i6 = 0
• {4, 5} ⇔ i4 + i5 = 0
• {7, 8} ⇔ i7 + i8 = 0
• {2, 4, 6} ⇔ i2 – i4 – i6 = 0
• {3, 5, 6} ⇔ i3 – i5 + i6 = 0
• {2, 5, 6} ⇔ i2 + i5 – i6 = 0
c. Perhatikan bahwa persamaan pada baris (6) dapat diperoleh dari penjumlahan
persamaan pada baris (2) dan (3). Jadi persamaan di atas masih bersifat
bergantung linier.
d. Persamaan pada baris (1), (2), (3), (4) dan (5) adalah bebas linier (buktikan). Jadi
ρ = 5, n = 7, dan p = 2. Jadi ρ = n – p terpenuhi.
Diktat Pendukung Teori Rangkaian 9

10. Bab 1 Hukum Kirchhoff
e. Gabungkan node 5 dan 7 dan pilih titik 4 sebagai node datum sehingga diperoleh
1 0 0 0 0 0 0 0 1
0 1 1 0 0 0 0 0 2
A = 0 0 −1 −1 0 −1 0 0  3
0 0 0 1 1 0 1 1 5/7
0
 0 0 0 0 0 − 1 − 1 6

Dari matriks A di atas dapat ditulis persamaan KCL sebagai berikut:
• i1 = 0
• i2 + i3 = 0
• -i3 – i4 – i6 = 0
• i4 + i5 + i7 + i8 = 0 Substitusi hasil baris (5) untuk mendapatkan i4 + i5 = 0
• -i7 – i8 = 0 ⇔ i7 + i8 = 0
Perhatikan bahwa persamaan-persamaan ini persis seperti persamaan (1-5) dari
(b).
8. Sebuah rangkaian memiliki diagraph seperti pada P1.8a. Untuk diagraph
tersebut
a. Tulis semua loop yang mungkin, dan untuk setiap loop tersebut tulis
sebuah persamaan KVL dalam bentuk tegangan cabang.
b. Apakah persamaan-persamaan pada (a) adalah bebas linier? Bila tidak,
tunjukkan.
c. Berapa persamaan loop yang bebas linier dari kumpulan persamaan (a)
tersebut? Justifikasi jawaban Anda.
d. Apakah benar bahwa i7 + i9 = 0?
1
2 3
4
1 2 3
5 6
4
7 9
8
5 6
P1.8a
Diktat Pendukung Teori Rangkaian 10

11. Bab 1 Hukum Kirchhoff
Solusi
a. Ada delapan buah loop, yakni:
L1 : 1 – 2 – 4 –1 : v1 + v2 + v5 = 0
L2 : 1 –3 – 4 – 1 : v1 + v3 + v6 = 0
L3 : 1 – 2 – 3 – 4 – 1 : v1 + v2 – v4 + v6 = 0
L4 : 1 – 3 – 2 – 4 – 1 : v1 + v3 + v4 + v5 = 0
L5 : 1 – 2 – 3 – 1 : v2 – v3 – v4 = 0
L6 : 1 – 2 – 4 – 3 – 1 : v2 – v3 + v5 – v6 = 0
L7 : 2 – 3 – 4 –2 : -v4 – v5 + v6 = 0
L8 : 4 – 5 – 6 – 4 : v7 + v8 - v9 = 0
b. Tidak, misalnya L1 dapat diperoleh dari penjumlahan L4 dan L5 atau L2 dari
penjumlahan L3 dan (-L5) sehingga persamaan di atas masih bergantung linier.
c. Ki = b – (n-1) = b – n + 1 = 9 – 6 + 1 = 4. Jadi hanya ada empat persamaan loop
yang bebas linier. Salah satu himpunan persamaan loop tersebut adalah L1, L5, L7,
dan L8 (buktikan).
d. Karena {7,9} membentuk sebuah cut-set maka i7 + i9 = 0
9. Misalkan N adalah sebuah two-port yang dibangun dari interkoneksi resistor
linier dua terminal (yakni, setiap resistor memenuhi hukum Ohm: vj = Rjij).
Perhatikan dua percobaan berikut:
Percobaan 1. Drive N dengan dua buah sumber tegangan v1 dan v '2 dan
'
ukur masing-masing arus port i1 dan i '2 (lihat P1.9a).
'
Percobaan 2. Drive N dengan dua buah sumber tegangan v1 dan v " dan
"
2
" "
ukur masing-masing arus port i1 dan i 2 (lihat P1.9b).
Buktikan bahwa kedua himpunan hasil pengukuran memenuhi hubungan
v1i1 + v '2 i " = v1i1 + v " i '2
' "
2
" '
2
'
i1 i '2 "
i1 i"
2
'
v1 1 N 2 v '2 "
v1 1 N 2 v"2
P1.9a P1.9b
Diktat Pendukung Teori Rangkaian 11

12. Bab 1 Hukum Kirchhoff
Solusi:
Pada percoaan (1) diperoleh sekumpulan tegangan yang memenuhi hukum KVL
dan arus yang memenuhi hukum KCL, yakni
v a = [ v1 v '2 v 'k ] dan ia = [−i1 − i '2 i 'k ] k = 1,2,3,...N
' '
Pada percobaan (2) juga diperoleh sekumpulan tegangan yang memenuhi hukum
KVL dan arus yang memenuhi hukum kCL, yakni
v b = [ v1 v "2 v " ] dan ib = [−i1 − i "2 i " ] k = 1,2,3,...N
"
k
"
k
Perhatikan arah polaritas sumber tegangan dan arus arus komponen di luar N. Di
sini kita menggunakan perjanjian associated reference direction sehingga arus
i1 , i '2 , i1 dan i " diberi tanda negatif. Untuk rangkaian di dalam N, asumsikan kita
' "
2
menggunakan associated reference direction.
.
Dengan menggunakan teorema Tellegen, himpunan vektor v a , v b , ia , dan ib dapat
ditulis menjadi
T T
v a ia = 0 ...(1) v b ia = 0 ...(3)
T T
v a ib = 0 ...( 2) v b ib = 0 ...( 4)
Persamaan yang berguna bagi kita dalam pembuktian rumus ini hanyalah
persamaan (2) dan (3). Dalam bentuk lain, kedua persamaan dapat ditulis dalam
bentuk
N
(2) → − v1i1 + ∑ v 'k i "k − v '2 i "2 = 0
' "
...(5) dan
k =1
N
(3) → − v1i1 + ∑ v "k i 'k − v "2 i '2 = 0
" '
...(6)
k =1
Karena resistor di dalam N memenuhi hukum Ohm, maka dapat ditulis
v 'k = R k i 'k ...(7) dan
v "k = R k i "
k ...(8)
Substitusi (7) ke (5) dan (8) ke (6) diperoleh
Diktat Pendukung Teori Rangkaian 12

13. Bab 1 Hukum Kirchhoff
N
− v i + ∑ R k i 'k i "k − v '2 i " = 0
' "
1 1 2 ...(9) dan
k =1
v 'k
N
− v1i1 + ∑ R k i " i 'k − v " i '2 = 0
" '
k 2 ...(10)
k =1
v"
k
Substitusi persamaan (9) ke (10) akan diperoleh v1i1 + v '2 i " = v1i1 + v " i '2
' "
2
" '
2
10. Misalkan N adalah sebuah two-port seperti yang dideskripsikan pada
pertanyaan (9). Perhatikan percobaan berikut.
Percobaan 1. Drive port 1 dengan sebuah sumber tegangan E dan ukur arus
i '2 pada port 2 yang telah di-short circuit-kan (lihat P1.10a).
Percobaan 2. Drive port 2 dengan sebuah sumber tegangan E dan ukur arus
"
i1 pada port 1 yang telah di-short circuit-kan (lihat P1.10b).
Buktikan bahwa i '2 = i1 .
"
E 1 N 2 i '2 "
i1 1 N 2 E
P1.10a P1.10b
Solusi
Ini merupakan kasus khusus dari pertanyaan 9 dengan
v1 = E, v '2 = 0, v1 = 0, dan v " = E sehingga dari solusi pertanyaan 9 diperoleh
' "
2
E.i1 + 0.i " = 0.i1 + E.i '2
"
2
'
⇔ i '2 = i1 dengan E ≠ 0
"
11. Perhatikan rangkaian yang ditunjukkan pada P1.11a. Dua kumpulan
pengukuran pada rangkaian memberikan hasil:
(i) Ketika R L = 2Ω v i = 8V i i = −2A v L = 2V
^ ^ ^
(ii) Ketika R L = 4Ω v i = 12V i i = −2.4A v L = ?
Diktat Pendukung Teori Rangkaian 13

14. Bab 1 Hukum Kirchhoff
^
Tentukan v L bila diketahui R1, R2, R3, dan R4 adalah resistor linier yang
memenuhi hukum Ohm.
ii R1 i1
R2 i3 +
vi vL RL
R3 i2 −
R4 i4
P1.11a
Solusi
Dengan metode seperti pada solusi pertanyaan (9), diperoleh (perhatikan arah arus
ii dan vi. Asumsikan arus iL dan tegangan vL mengikuti associated reference
direction)
~ 4 ~ ~
v1 i1 + ∑ R k i k i k + v L i L = 0 ...(1) dan
k =1 ~
vk
^ 4 ^ ^
vi i i + ∑ R kik i k + vL i L = 0 ...(2)
k =1 vk
Substitusi persamaan (1) ke (2) diperoleh
^   v 
^ ^ ^ ^
 vL  ^ 2
vi i i + v L i L = vi ii + v L i L ⇔ 8(- 2.4 ) + 2  = 12(− 2 ) + v L (1) iL = L = = 1 A
 
 4   RL 2 
 
^
⇔ v L = 9.6 V
12. Jaringan N pada P1.12a terdiri dari n-2 resistor linier tak berubah terhadap
waktu (time-invariant linear resistor). Tegangan dan arus diukur untuk dua
kondisi R2 dan input yang berbeda, seperti ditunjukkan pada table berikut.
^
Tentukan nilai v 2 .
Diktat Pendukung Teori Rangkaian 14

15. Bab 1 Hukum Kirchhoff
R2 =1Ω R2 = 2 Ω
i1 i2
^
+ v1 = 4 V v1 = 6 V
v1 N R2 v2
−
i1 = 1 A
^
i 1 = 1.2 A
^
v2 = 1 V v 2 = .....
P1.12a
Solusi
^
v 2 = 2,4 V (Perhatikan arah arus dan polaritas tegangan pada port masukan dan
keluaran).
13. Misalkan N adalah sebuah one-port yang terdiri dari elemen-elemen n-
terminal dan n-port. Buktikan bahwa daya sesaat (instantaneous power) yang
memasuki N pada saat t sama dengan jumlah dari daya yang memasuki
setiap elemen pada saat t.
Solusi
ij
i1 + j
i1 v j−
1 + j'
ij
v1 N 2
i1
n-terminal
i n −1
j
1'
v1
− n-port in
+ n
vn
+ −
n'
1 vn−1 n-1
n
−
P1.13a P1.13b P1.13c
Perhatikan gambar P1.13a. Misalkan N terdiri dari x buah elemen n-terminal dan
y buah elemen n-port. Bila vxj dan ixj adalah tegangan dan arus pada terminal ke-j
dari elemen n-terminal ke-x maka daya Px yang memasuki elemen tersebut adalah
(lihat P1.13b)
n −1
Px ( t ) = ∑ v xj ( t )i xj ( t ) untuk semua t
j=1
Demikian pula, daya Py yang memasuki sebuah elemen n-port adalah (lihat
P1.13c)
n
Py ( t ) = ∑ v yj ( t )i yj ( t ) untuk semua t
j=1
Diktat Pendukung Teori Rangkaian 15

16. Bab 1 Hukum Kirchhoff
Dengan menggunakan teorema Tellegen diperoleh
x  n −1  y  n 
− v1 ( t )i1 ( t ) + ∑  ∑ v xj ( t )i xj ( t )  + ∑  ∑ v yj ( t )i yj ( t )  = 0 atau
   
x =1  j=1  y =1  j=1 
x y
v1 ( t )i1 ( t ) = P = ∑ Px ( t ) + ∑ Py ( t ) dengan P adalah daya yang memasuki N.
x =1 y =1
14. Untuk sembarang rangkaian resistif, tunjukkan bahwa daya total yang
diberikan oleh semua sumber sama dengan penjumlahan daya yang
diberikan oleh sumber-sumber arus dengan sumber-sumber tegangan di-nol-
kan dan daya yang diberikan oleh sumber-sumber tegangan dengan sumber-
sumber arus di-nol-kan.
Solusi:
i
+
vs N v is
−
P1.14a
Dari gambar P1.14a tampak daya yang diberikan ke rangkaian N adalah
P = vsi + is v ...(1)
Berdasarkan prinsip superposisi (prinsip superposisi akan dijelaskan lebih rinci
pada Bab 5. Untuk semua rangkaian resistif berlaku prinsip superposisi),
persamaan (1) dapat ditulis dalam bentuk
[ ] [
P = v s i (1) + i ( 2 ) + i s v (1) + v ( 2 ) ] ...(2)
dengan
i(1) dan v(1) adalah solusi untuk i dan v bila hanya ada vs
i(2) dan v(2) adalah solusi untuk i dan v bila hanya ada is
Persamaan (2) dapat disusun dalam bentuk
Diktat Pendukung Teori Rangkaian 16

17. Bab 1 Hukum Kirchhoff
P = v s i (1) + i s v ( 2 ) + v s i ( 2) + i s v (1) ⇔ P = Pis + Pvs + v s i ( 2) + i s v (1) ...(3)
dengan
Pv adalah daya yang diberikan ke jaringan N bila hanya ada vs
Pi adalah daya yang diberikan ke jaringan N bila hanya ada is
Dari persamaan (3) tampak harus dibuktikan bahwa [vsi(2) +isv(1)] = 0.
Bila hanya ada sumber tegangan vs pada jaringan N (lihat P1.14b) maka
i (1) Himpunan tegangan yang
+ memenuhi hukum KVL:
v a = [ v s , v (1) , v a ]
vs N v (1)
k
Himpunan arus yang memenuhi
− hukum KCL:
ia = [−i (1) ,0, i a ]
k
P1.14b
Bila hanya ada sumber arus is pada jaringan N (lihat p1.14c) maka
i( 2) Himpunan tegangan yang
+ memenuhi hukum KVL:
v b = [0, v ( 2) , v b ]
N v ( 2) is k
Himpunan arus yang memenuhi
− hukum KCL:
ib = [−i ( 2 ) ,−i s , i b ]
k
P1.14c
Perhatikan arah arus dan polaritas tegangan port masukan dan keluaran.
Asumsikan penulisan tegangan dan arus untuk semua elemen dalam N mengikuti
aturan associated reference direction.
T T
Dari teorema Tellegen dapat ditulis v a ib = 0 (persamaan 4) dan v b ia = 0
(persamaan 5).
N
v s [−i ( 2 ) ] + v (1) [−i s ] + ∑ v a i b = 0
k k ...(4) dan
k =1
N N
0.[−i (1) ] + v ( 2 ) .[0] + ∑ v b i a = 0 ⇔
k k ∑v b a
k k i = 0.[−i (1) ] + v ( 2 ) .[0] = 0 ...(5)
k =1 k =1
Diktat Pendukung Teori Rangkaian 17

18. Bab 1 Hukum Kirchhoff
Substitusi v a = R k i a ke persamaan (4) dan v b = R k i b ke persamaan (5) diperoleh
k k k k
v s i ( 2 ) + v (1) i s = 0 sehingga persamaan (3) menjadi P = Pi + Pv.
Diktat Pendukung Teori Rangkaian 18