1. Ενότητα 1.1.2 : Ατομικά πρότυπα
III Αντικαθιστούμε τις τιμές για Eπομένως η απάντηση
τις γνωστές παραμέτρους και ν = |- (2,18 . 10-18 / h) . (1/nf2 – 1/ni2)| = για την ερώτηση (α)
υπολογίζουμε την συχνότητα = |- (3,3 . 1015 s-1) . (1/42 – 1/22)| ≈ είναι:
(ν) της ακτινοβολίας ≈ 6,2 . 1014 s-1 ν ≈ 6,2 . 1014 s-1
H ακτινοβολία στην
περίπτωση αυτή
αποβάλλεται καθώς το
ηλεκτρόνιο μεταπηδά
από ψηλότερη (n=4) σε
χαμηλότερη ενεργειακή
στάθμη (n=2)
IV Υπολογίζουμε το μήκος κύμα- Eπομένως η απάντηση
τος (λ) και την ενέργεια (Ε) c = v.λ ⇒ λ = c/ν ≈ 3,0 . 108 m/s / 6,2 . 1014 s-1 για την ερώτηση (α)
χρησιμοποιώντας τις σχέ-σεις ≈ 4,8 . 10-7 m ≈ 480 nm είναι: λ ≈ 480 nm
[1.2] και [1.3] αντίστοιχα.
Ε = h.ν = (6,63 . 10-34 J.s) . (6,2 . 1014 s-1) ≈ Η απάντηση για την
≈ 4,1 . 10-19 J ερώτηση (β) είναι:
Ε ≈ 4,1 . 10-19 J
(Ε)mol = N.E = 6,022 . 1023 mol-1 . 4,1 . 10-19 J = 2,47 .
105 J ≈ 2,5 . 105 J/mol Το 1 mol φωτονίων έχει
Ν = 6,022 . 1023
φωτόνια. Επομένως το
(Ε)mol = N.E
Η απάντηση στην
ερώτηση (γ) είναι:
(Ε)mol = N.E ≈ 2,5 . 105
J/mol
Όμοιες ασκήσεις: 108, 109
Kυματική Θεωρία της Ύλης του De Broglie (1924) – Δυαδική Φύση του Ηλεκτρονίου
Το ατομικό πρότυπο του Βohr εάν και περιγράφει με επιτυχία το άτομο του υδρογόνου καθώς και σχετικά
πειραματικά δεδομένα για αυτό φαίνεται ότι περιλαμβάνει κάποιες αυθαίρετες υποθέσεις:
Γιατί για παράδειγμα τα ηλεκτρόνια πρέπει να κινούνται μόνο σε επιτρεπόμενες τροχιές (με συγκεκριμένη
ενέργεια και απόσταση από τον πυρήνα του ατόμου); Ποια είναι η εξήγηση;
Γιατί τα ηλεκτρόνια εκπέμπουν ακτινοβολία μόνο όταν μεταπηδούν μεταξύ επιτρεπόμενων τροχιών;
Αυτές οι ερωτήσεις διατυπώνονταν από τους επιστήμονες όταν ο Bohr ανακοίνωσε το ατομικό του πρότυπο.
Το 1924, περίπου δέκα χρόνια μετά την δημοσίευση του ατομικού προτύπου του Bohr, ο Luis de Broglie
εργαζόμενος για την διδακτορική του διατριβή στην Σορβόννη είχε μία καταπληκτική ιδέα την οποία και
χρησιμοποίησε για να τις απαντήσει:
« Η ύλη (ηλεκτρόνιο) έχει χαρακτηριστικά και σωματιδίου και κύματος» 21
Η ιδέα αυτή αν και φαινόταν ως αυθαίρετη δεν ήταν. Είχε ήδη προκύψει από την μελέτη των ακτινοβολιών
ότι το φως (ορατή ακτινοβολία) άλλοτε εμφανίζει χαρακτηριστικά σωματιδίου και άλλοτε κύματος ανάλογα
με τις πειραματικές συνθήκες 22 . O Planck και ο Εinstein είχαν αναγνωρίσει την δυαδική φύση του φωτός και
είχαν προτείνει ότι γενικά ισχύει για κάθε ακτινοβολία με ενέργεια Ε:
21
Δυαδική φύση του ηλεκτρονίου
22
Η δυαδική φύση του φωτός είχε αποδειχθεί πειραματικά με διάφορα πειράματα όπως: 1) Πείραμα της διπλής σχισμής
του Υοung το 1803 όπου αποδεικνύεται ότι το φως έχει χαρακτηριστικά κύματος και 2) το φωτοηλεκτρικό φαινόμενο
όπου το 1905 αποδεικνύεται ότι το φως έχει και χαρακτηριστικά σωματιδίου.
29

2. Ενότητα 1.1.2 : Ατομικά πρότυπα
E = h.ν = h. (c/λ) [1.3α]
Ε = m.c2 [1.7]
όπου:
o c η ταχύτητα του φωτός στο κενό που είναι ίση c = 2,99 . 108 m/s
o λ το μήκος κύματος της ακτινοβολίας (σε nm ή m)
o ν η συχνότητα της ακτινοβολίας (σε s-1) που έχει ενέργεια Ε
o m μάζα που έχει ενέργεια Ε
Από τις παραπάνω σχέσεις φαίνεται ότι η ενέργεια Ε μίας ακτινοβολίας, η μάζα m των σωματιδίων
(φωτονίων) που έχουν αυτή την ενέργεια και το μήκος κύματος της λ συνδέονται. Το φως ορισμένες φορές
εμφανίζει σωματιδιακό χαρακτήρα (στην σχέση [1.7] υπάρχει η μάζα m που είναι χαρακτηριστικό μέγεθος για
σωματίδια, εδώ τα σωματίδια είναι τα φωτόνια) και ορισμένες φορές κυματικό χαρακτήρα (v = c/λ όπου το ν
και το λ είναι χαρακτηριστικά κύματος).
Ο Luis de Broglie προέκτεινε αυτή την αντίληψη θεωρώντας ότι όχι μόνο το φως αλλά πρακτικά οτιδήποτε
μας περιστοιχίζει (όλη η ύλη) έχει διττή φύση στηριζόμενος όχι σε πειραματικά δεδομένα 23 αλλά μόνο στην
απλή σκέψη: Αφού το φως (ηλεκτρομαγνητική ενέργεια E) έχει χαρακτηριστικά σωματιδίου και κύματος τότε
και η ύλη (που συνδέεται με την ενέργεια E = m.c2) και ειδικά τα ηλεκτρόνια που παίζουν σημαντικό ρόλο
στην σύνθεσή της θα έχoυν δυαδική φύση (σωματίδιο και κύμα ταυτόχρονα).
Το φως (φωτόνιο) όπως και κάθε κινούμενο μικρό σωματίδιο π.χ. ηλεκτρόνιο, παρουσιάζει
διττή φύση σωματιδίου (κβάντα) και κύματος (ηλεκτρομαγνητικό κύμα). 24
Μία απλή αναπαράσταση του ατόμου και των ηλεκτρονίων του σύμφωνα με την κυματική θεωρία της ύλης
του Luis de Broglie δίνεται στο Σχήμα 1-12. Τα ηλεκτρόνια αντί να κινούνται σε κανονικές κυκλικές τροχιές
γύρω από τον πυρήνα μπορεί να θεωρηθεί ότι κινούνται σε όλες τις διευθύνσεις γύρω από την περιφέρεια
κάθε κυκλικής τροχιάς εκτελώντας κυματική κίνηση.
Mε βάση τα παραπάνω ο L. de Broglie πρότεινε μία σχέση που συνδέει το μήκος κύματος λ ενός κινούμενου
σωματιδίου που εκτελεί αυτή την κυματική κίνηση και της μάζας του m:
λ = h / m.υ [1.8]
όπου:
o λ το μήκος κύματος του κινουμένου ηλεκτρονίου (σωματιδίου) (σε nm ή m)
o h η σταθερά του Planck
o m η μάζα του ηλεκτρονίου ή σωματιδίου (σε kg)
o υ η ταχύτητα του σωματιδίου (m/s)
Η σχέση [1.8] που πρότεινε ο De Broglie ισχύει για οποιοδήποτε αντικείμενο με μάζα m και ταχύτητα υ. Για
αντικείμενα όμως που χρησιμοποιούμε στην καθημερινή ζωή το λ γίνεται εξαιρετικά μικρό (τείνει στο 0) ώστε
να είναι πρακτικά αδύνατο να παρατηρηθεί 25 καθώς το h (η σταθερά του Planck που είναι 6,63 . 10-34 J.s
δηλαδή ένας πολύ «μικρός» αριθμός) διαιρείται με την μάζα m επί την ταχύτητα υ του αντικειμένου που
23
Ο de Broglie δεν είχε αποδείξει πειραματικά ότι το ηλεκτρόνιο εμφανίζει χαρακτηριστικά κύματος. Λίγα χρόνια μετά
την δημοσίευση της θεωρίας του επιβεβαιώθηκε και πειραματικά η κυματική φύση των ηλεκτρονίων με την περίθλασή
τους σε κρυσταλλικό πλέγμα όπως ακριβώς συμβαίνει και με την ακτινοβολία (π.χ. ακτίνες Χ). Η περίθλαση είναι
χαρακτηριστικό των κυμάτων. Η τεχνική της περίθλασης των ηλεκτρονίων βρίσκει εφαρμογή στην λειτουργία του
ηλεκτρονικού μικροσκοπίου.
24
Κυματική θεωρία της ύλης του De Broglie (1924)
25
Δες Άσκηση-Παράδειγμα 1-5β.
31

3. Ενότητα 1.1.2 : Ατομικά πρότυπα
Λύση:
Το μήκος κύματος λ ενός κινούμενου σωματιδίου μάζας m δίνεται από τον τύπο του L. de Broglie: λ = h /
m.υ (Σχέση [1.8])
BHMA ΕΝΕΡΓΕΙΑ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑ ΣΗΜΕΙΩΣΗ
I Γράφουμε τα δεδομένα και τα Γράφουμε τα δεδομένα της
ζητούμενα άσκησης και κάνουμε τις
ΔΕΔΟΜΕΝΑ υ = 1,1 . 103 m.s-1 απαραίτητες μετατροπές
me ≈ 9,1 . 10-28 g ≈ στις μονάδες.
≈ 9,1 . 10-31 kg
h = 6,63 . 10-34 J.s
mσ = 6,6 g = 6,6 .10-3 kg
ΖΗΤΟΥΜΕΝΑ α) λe = ;
β) λσ = ;
II Γράφουμε την σχέση (-εις)
που συνδέουν τα δεδομένα & λ = h / m.υ (1) (Σχέση [1.8])
ζητούμενα
III Αντικαθιστούμε τις τιμές που
δίνονται για m και υ και λe = h / m.υ = Eπομένως η απάντηση
υπολογίζουμε το λ 6,63 . 10-34 J.s / 9,1 . 10-31 kg . 1,1. 103 m.s-1 ≈ 6,0 . στην ερώτηση (α) είναι:
10-7 m λe ≈ 6,0 . 10-7 m
IV Υπολογίζουμε το μήκος κύμα- λσ = h / m.υ = Eπομένως η απάντηση
τος (λ) για την περίπτωση (β) 6,63 . 10-34 J.s / 6,6 . 10-3 kg . 1,1. 103 m.s-1 στην ερώτηση (β) είναι:
≈ 10-34 m λσ ≈ 10-34 m
Παρατηρούμε ότι στην περίπτωση της σφαίρας o κυματικός χαρακτήρας της κίνησης της είναι αδύνατο να
παρατηρηθεί καθώς το λ γίνεται εξαιρετικά μικρό για να μπορεί να παρατηρηθεί. Αντίθετα το μήκος κύματος λ
του ηλεκτρονίου είναι περίπου 600 nm και ο κυματικός χαρακτήρας της κίνησής του είναι εφικτό να
αποδειχθεί πειραματικά (π.χ. περίθλαση ηλεκτρονίων).
Όμοιες ασκήσεις: 110, 111
Άσκηση – Παράδειγμα #1-6
H μάζα του πρωτονίου (mp) είναι 1836 φορές μεγαλύτερη από την μάζα του ηλεκτρονίου (me). Aν τα δύο
αυτά σωματίδια κινούνται με την ίδια ταχύτητα, ποια είναι η σχέση των αντιστοίχων μηκών κύματος λp και λe,
σύμφωνα με την κυματική θεωρία της ύλης του de Broglie;
α) λe = 1836 . λp β) λe = λp / 1836 γ) λe = λp δ) λe = 1836 / λp (Απολυτήριες Εξετάσεις Γ’ τάξης Ενιαίου
Λυκείου 2003 – Xημεία Θετικής Κατεύθυνσης)
Λύση:
BHMA ΕΝΕΡΓΕΙΑ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑ ΣΗΜΕΙΩΣΗ
I Γράφουμε τα δεδομένα και Γράφουμε τα δεδομένα
τα ζητούμενα και τα ζητούμενα της
άσκησης.
ΔΕΔΟΜΕΝΑ mp = 1836 . me Αφού μας ζητείται η
υp = ue = υ σχέση μεταξύ λe και λp
γράφουμε τον λόγο λe / λp
ως το ζητούμενο.
ΖΗΤΟΥΜΕΝΑ λe / λp = ;
II Γράφουμε την σχέση (-εις)
που συνδέουν τα δεδομένα λp = h / mp . υ (1) (Σχέση [1.8])
33

4. KΕΦΑΛΑΙΟ 1: ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΑΚΗ ΔΟΜΗ ΤΩΝ ΑΤΟΜΩΝ ΚΑΙ Ο ΠΕΡΙΟΔΙΚΟΣ ΠΙΝΑΚΑΣ
& ζητούμενα λe = h / me . υ (2) (Σχέση [1.8])
mp = 1836 . me (3)
III Από τις σχέσεις (1) και (3)
προκύπτει λp = h / 1836 . me . υ (4)
IV Διαιρώντας κατά μέλη την λe / λp = (h / me . υ) / (h / 1836 . me . υ) = Eπομένως η σωστή
σχέση (2) με την (4) = 1836 . me . υ . h / h. me . υ = 1836 ⇒ απάντηση είναι η (α)
προκύπτει λe = 1836 . λp
Eπομένως λe = 1836 . λp
Aρχή της Αβεβαιότητας (απροσδιοριστίας) του Heisenberg (1926)
Ο Heisenberg – έχοντας μία επιχορήγηση ερευνητικού προγράμματος - εργάσθηκε μαζί με τον Bohr στο
πανεπιστήμιο της Κοπεγχάγης από το Σεπτέμβρη του 1924 έως τον Μάιο του 1925. Παρατήρησε ότι στο
ατομικό πρότυπο του Βohr το ηλεκτρόνιο παρουσιάζεται ότι εκτελεί ομαλή κυκλική κίνηση και ότι η ταχύτητά
του αλλά και η θέση του είναι γνωστή. Στην πραγματικότητα όμως το ηλεκτρόνιο λόγω του πολύ μικρού
μεγέθους δεν είναι ορατό με γυμνό μάτι και επομένως μπορεί να παρατηρηθεί μόνο έμμεσα με τους εξής
τρόπους:
• Με την αλληλεπίδρασή του με ένα άλλο σωματίδιο
• Με ηλεκτρομαγνητική ακτινοβολία
Με οποιονδήποτε όμως από τους παραπάνω τρόπους και αν παρατηρηθεί θα αλλάξει ή η θέση του ή η
ταχύτητά του αφού και στις δύο περιπτώσεις του δίνεται ενέργεια (είτε κινητική στην περίπτωση της
πρόσκρουσής του με άλλο σωματίδιο ή ενέργεια ακτινοβολίας Ε=h.v) (δες Σχήμα 1-13).
Ο Heisenberg στηριζόμενος σε αντίστοιχες παρατηρήσεις διατύπωσε το 1926 την Αρχή της Αβεβαιότητας
(απροσδιοριστίας) στην οποία δηλώνει ότι: 27
« Είναι αδύνατο να προσδιορίσουμε με ακρίβεια συγχρόνως την θέση και την ορμή (m.υ) του
ηλεκτρονίου αλλά και κάθε μικρού σωματιδίου »
Η αρχή της αβεβαιότητας (σωστότερα απροσδιοριστίας) κάνει σαφές ότι δεν είναι δυνατόν να γνωρίζουμε με
ακρίβεια τόσο την θέση όσο και την ταχύτητα ενός ηλεκτρονίου. Η αβεβαιότητα αυτή δεν οφείλεται ούτε
στην ανακρίβεια των μετρήσεων που προέρχονται από τις μετρητικές συσκευές ούτε στις πειραματικές
συνθήκες αλλά είναι εγγενής (εμπεριέχεται, πηγάζει) στην κυματική φύση της ύλης. Ακόμη και με τέλειες
μετρητικές συσκευές και πειραματικές συνθήκες θα υπήρχε.
Όσο μικρότερο γίνεται το σωματίδιο που εξετάζουμε (ιδιαίτερα αυτά που είναι υποατομικών διαστάσεων)
τόσο περισσότερο αποκτούν σημασία οι κυματικές ιδιότητές του και δεν θα πρέπει να θεωρούμε ότι
«συμπεριφέρεται» σαν σφαίρα.
Η αντίληψη λοιπόν του Bohr ότι ένα ηλεκτρόνιο ακολουθεί πλήρως καθορισμένη κυκλική τροχιά όπου η θέση
και η ταχύτητά του είναι ακριβώς γνωστές μοιάζει να μην ισχύει για μικροσκοπικά σωματίδια όπως το
ηλεκτρόνιο. Η αποδοχή της αρχής της αβεβαιότητας στην ουσία καταρρίπτει όλα τα πλανητικά πρότυπα για
το άτομο (όπως του Rutherford και του Bohr).
Μια νέα αντίληψη για το άτομο και τα ηλεκτρόνιά του άρχισε λοιπόν να διαμορφώνεται σύμφωνα με την
οποία θα ήταν σωστότερο να μιλάμε για την πιθανότητα να βρίσκεται ένα ηλεκτρόνιο σε μία θέση γύρω από
τον πυρήνα.
27
Aρχή της Αβεβαιότητας (1926)
34