Bab 5 membahas aturan-aturan dasar diferensiasi seperti aturan konstan, jumlah dan perbedaan, produk, kuotien, rantai, dan diferensiasi implisit. Aturan konstan menyatakan bahwa turunan dari fungsi konstan sama dengan nol. Aturan jumlah dan perbedaan menyatakan bahwa turunan dari jumlah atau perbedaan dua fungsi sama dengan jumlah atau perbedaan turunan masing-masing fungsi. Aturan produk, kuotien,

1. BAB 5
Aturan diferensiasi
Beberapa fungsi yang konstan
Misalkan f adalah fungsi terdiferensialkan dan k adalah bilangan real, maka kf juga terdiferensialkan
dengan turunannya yang diberikan oleh
Dengan demikian, turunan dari waktu konstan fungsi terdiferensialkan adalah produk dari waktu
konstan turunan dari fungsi. Aturan ini memungkinkan Anda untuk menentukan konstanta ketika
Anda menemukan sebuah turunan. Aturan berlaku bahkan ketika konstanta berada dalam penyebut
seperti yang ditunjukkan di sini:
Latihan. 5 • 1
Untuk masalah 1-10, gunakan kelipatan konstan suatu aturan fungsi untuk menemukan turunan dari
fungsi yang diberikan.
Untuk masalah 11-15, temukan derivatif numerik yang ditunjukkan.

2. Aturan untuk jumlah dan perbedaan
Untuk semua x di mana f dan g adalah fungsi terdiferensialkan, fungsi (f + g) dapat didiferensiasi
dengan turunannya yang diberikan oleh
Demikian pula, untuk semua x di mana f dan g adalah fungsi terdiferensialkan, fungsi (f g) dapat
difentifikasi dengan turunannya yang diberikan oleh
Dengan demikian, turunan dari jumlah (atau perbedaan) dua fungsi terdiferensiasi sama dengan
jumlah (atau perbedaan) dari derivatif fungsi individual.
Untuk masalah 1-10, gunakan aturan untuk jumlah dan perbedaan untuk menemukan turunan dari
fungsi yang diberikan.

3. Diferensiasi
Aturan produk
Untuk semua x di mana f dan g adalah fungsi terdiferensialkan, fungsi (fg) dapat didiferensiasi
dengan turunannya yang diberikan oleh
Dengan demikian, turunan dari produk dua fungsi terdiferensiasi sama dengan fungsi pertama kali
turunan dari fungsi kedua ditambah fungsi kedua kali turunan dari fungsi pertama.

4. Latihan 5 • 3
Untuk masalah 1-10, gunakan aturan produk untuk menemukan turunan dari fungsi yang diberikan.
Untuk masalah 11-15, temukan derivatif numerik yang ditunjukkan.
Aturan kuot
Untuk semua x di mana f dan g adalah fungsi terdiferensialkan dan g (x) w 0, fungsi tersebut dapat
diteruskan dengan turunannya yang diberikan oleh
Diferensiasi
Dengan demikian, turunan dari hasil bagi dua fungsi terdiferensiasi sama dengan fungsi denomina-tor
yang mendahului turunan dari fungsi pembilang dikurangi fungsi pembilang waktu turunan dari
fungsi penyebut semua dibagi dengan kuadrat fungsi penyebut, untuk semua real Angka x dimana
fungsi denominator tidak sama dengan nol.

5. Latihan 5.4
Untuk masalah 1-10, gunakan aturan quotient untuk menemukan turunan dari fungsi yang diberikan.
Untuk masalah 11-15, temukan derivatif numerik yang ditunjukkan.

6. Aturan rantai
Jika y F (u) dan kamu? G (x) adalah fungsi erentiable u dan x, masing-masing, kemudian
komposisinya
Dari f dan g, dikalahkan oleh y? F (g (x)), sangat berbeda dengan turunannya yang diberikan oleh
Atau setara,
`
Perhatikan bahwa y f g x Adalah "fungsi dari fungsi x"; Artinya, argumen f adalah fungsinya
Dilambangkan dengan g x (), yang merupakan fungsi dari x. Tus, ke fnd d
Dx
F g x Anda harus menghapusnya

7. F dengan memperhatikan g x () frst, lalu kalikan hasilnya dengan turunan dari g x () berkenaan
dengan x.
Contoh yang mengikuti menggambarkan aturan rantai.
Latihan 5.5
Untuk masalah 1-10, gunakan aturan rantai untuk menemukan turunan dari fungsi yang diberikan.
Untuk masalah 11-15, fnd turunan numerik yang ditunjukkan.

8. Diferensiasi tersirat
Tus jauh, Anda telah melihat bagaimana cara menurunkan turunan fungsi hanya jika fungsi
dinyatakan dalam apa
Disebut bentuk eksplisit. Fungsi dalam bentuk eksplisit dikalahkan oleh persamaan tipe y? F (x),
dimana
Y ada di satu sisi persamaan dan semua istilah yang mengandung x ada di sisi lain. Misalnya,
Fungsi f dikuasai oleh y? F (x)? X3 + 5 dinyatakan dalam bentuk eksplisit. Untuk fungsi ini variabel y
Dikejar secara eksplisit sebagai fungsi dari variabel x.Di sisi lain, untuk persamaan dimana variabel x
dan y muncul pada sisi yang sama dengan
Persamaan, fungsi dikatakan diekspresikan dalam bentuk implisit. Misalnya, persamaan x2y? 1
Defnes fungsi y? 12X
Secara implisit dalam hal x. Dalam kasus ini, bentuk implisit dari persamaan dapat dipecahkan untuk
y sebagai fungsi dari x; Namun, untuk banyak bentuk implisit, ini sulit dan
Terkadang tidak mungkin diatasi untuk y dalam hal x.
Di bawah asumsi itu dyDx, turunan dari y sehubungan dengan x, ada, Anda dapat menggunakan
Teknik implisit di ff erentiation ke fnd dyDx Ketika sebuah fungsi dinyatakan dalam bentuk implisit-
Terlepas dari apakah Anda dapat mengekspresikan fungsi dalam bentuk eksplisit. Gunakan langkah-
langkah berikut:
1. Di ff erentiate setiap istilah pada kedua sisi persamaan terhadap x.
2. Selesaikan persamaan yang dihasilkan untuk dx dy .30 Diferensiasi
MASALAH Mengingat persamaan x y 2 3? ? 2 30, gunakan implikasi secara implisit pada fnd dy
Dx.
SOLUSI Langkah 1: Selesaikan setiap istilah pada kedua sisi persamaan sehubungan dengan x:
Perhatikan bahwa dalam contoh ini, dy
Dxis dinyatakan dalam bentuk x dan y. Mengevaluasi a
Derivatif, Anda perlu mengetahui keduanya x dan y pada titik tertentu (x, y). Anda bisa menunjukkan

9. Derivatif numerik seperti dy
Dx (,) x y
.
Contoh berikut menggambarkan situasi ini.
LATIHAN 5.6
Untuk masalah 1-10, gunakan implikasi secara implisit pada fnd dy
Dx
.