3. 2006 85 534 676 526 429 394
2007 107 271 750 648 753 606
2008 132 027 196 742 094 395
2009 102 142 613 616 703 325
2010 113 883 219 735 828 349
Kaynak:DPT
Yukarıdaki ihracat ve gayri safi yurtiçi hasıla(GSYH) zaman serileri ARIMA modeli
sınanacaktır.
Zaman serisi analizinin amacı genellikle iki noktada toplanır: Birincisi gözlenen serinin
artısını veren stokastik (tahmini) mekanizmayı modellemek ve anlamak, ikincisi ise serinin
geçmişine bakarak serinin tahmini veya kestirimidir (Jonathan, 1986).
Zaman serisi, zaman içinde gözlenen ölçümlerin bir dizisidir. Eğer elimizde geçmiş yıllara ait veriler
bulunuyorsa zaman serileri yardımıyla bu verileri kullanarak gelecek yıllar hakkında öngörüde
bulunabiliriz (Öngörü: gözlemlediğimiz verilerin dışında rastgele değişkeni almasını beklediğimiz
değerlerdir).Bu da bize önemli bilgiler kazandırmaktadır(Yılmaz,2003).
Bu açıklamadan hareketle yukarıda Tablo1 de yer alan 1923-2010 dönemi için yıllık veriler
olan ihracat ve gayri safi yurtiçi hasıla(GSYH) zaman serileri için gelecek yıllar için alacağı
değerler aşağıda ARIMA modeli çerçevesinde tahmin edilecektir.
(1)
Koentegrasyon
Eşbütünleşme yöntemi, değişkenler arasında uzun dönemli denge ilişkilerinin araştırılmasında
yeni bir yöntem olarak Granger tarafından geliştirilmiştir.
Eşbütünleşme analizinin yapılabilmesi için değişkenlerin durağanlıklarına(stationary)
bakılması gerekmektedir. Değişkenlerin durağanlık analizi “birim kök testleri” ile
yapılmaktadır. Bu bağlamda durağanlık aşağıda ilk önce ihracat ve sonrada GSYH serileri
için ADF Birim Kök testi yardımıyla test edilmiştir.
Null Hypothesis: IHRACAT has a unit root
Exogenous: Constant
3
4. Lag Length: 6 (Automatic based on AIC, MAXLAG=11)
t-Statistic Prob.*
Augmented Dickey-Fuller test statistic 7.109363 1.0000
Test critical values: 1% level -3.513344
5% level -2.897678
10% level -2.586103
*MacKinnon (1996) one-sided p-values.
Augmented Dickey-Fuller Test Equation
Dependent Variable: D(IHRACAT)
Method: Least Squares
Date: 01/14/12 Time: 13:14
Sample (adjusted): 1930 2010
Included observations: 81 after adjustments
Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.
IHRACAT(-1) 0.581195 0.081751 7.109363 0.0000
D(IHRACAT(-1)) -0.889244 0.154828 -5.743434 0.0000
D(IHRACAT(-2)) -1.247212 0.306738 -4.066053 0.0001
D(IHRACAT(-3)) 0.189806 0.379733 0.499842 0.6187
D(IHRACAT(-4)) 1.293329 0.404459 3.197672 0.0020
D(IHRACAT(-5)) -2.264200 0.457528 -4.948769 0.0000
D(IHRACAT(-6)) -2.570942 0.520822 -4.936313 0.0000
C -217190.6 388652.1 -0.558830 0.5780
R-squared 0.757000 Mean dependent var 1405042.
Adjusted R-squared 0.733699 S.D. dependent var 5785339.
S.E. of regression 2985489. Akaike info criterion 32.74997
Sum squared resid 6.51E+14 Schwarz criterion 32.98645
Log likelihood -1318.374 F-statistic 32.48738
Durbin-Watson stat 2.034719 Prob(F-statistic) 0.000000
Yukarıda ihracat serisinin birim köke sahip olduğuna ilişkin H0 hipotezi reddedilememiştir.
Bu şu anlama gelmektedir ihracat serisi birim köke sahiptir yani durağan değildir.
GSYH için ADF Birim Kök Testi:
Null Hypothesis: Y has a unit root
Exogenous: Constant
Lag Length: 11 (Automatic based on AIC, MAXLAG=11)
t-Statistic Prob.*
4
5. Augmented Dickey-Fuller test statistic 6.233903 1.0000
Test critical values: 1% level -3.519050
5% level -2.900137
10% level -2.587409
*MacKinnon (1996) one-sided p-values.
Augmented Dickey-Fuller Test Equation
Dependent Variable: D(Y)
Method: Least Squares
Date: 01/14/12 Time: 13:20
Sample (adjusted): 1935 2010
Included observations: 76 after adjustments
Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.
Y(-1) 0.421206 0.067567 6.233903 0.0000
D(Y(-1)) -0.732536 0.162094 -4.519201 0.0000
D(Y(-2)) -0.499657 0.180059 -2.774966 0.0073
D(Y(-3)) -0.160443 0.184588 -0.869196 0.3880
D(Y(-4)) -0.444887 0.183426 -2.425433 0.0182
D(Y(-5)) -0.856856 0.193375 -4.431069 0.0000
D(Y(-6)) -1.297024 0.192812 -6.726896 0.0000
D(Y(-7)) -0.553693 0.248419 -2.228871 0.0294
D(Y(-8)) 0.134794 0.230186 0.585588 0.5602
D(Y(-9)) -0.877004 0.243396 -3.603196 0.0006
D(Y(-10)) -1.091126 0.280614 -3.888346 0.0002
D(Y(-11)) -1.085913 0.284071 -3.822684 0.0003
C 263506.7 3460614. 0.076144 0.9395
R-squared 0.624712 Mean dependent var 9662790.
Adjusted R-squared 0.553228 S.D. dependent var 34708690
S.E. of regression 23199637 Akaike info criterion 36.91168
Sum squared resid 3.39E+16 Schwarz criterion 37.31036
Log likelihood -1389.644 F-statistic 8.739239
Durbin-Watson stat 1.937025 Prob(F-statistic) 0.000000
Yine aynı şekilde gayri safi yurtiçi hasıla(GSYH) değişkeni içinde H0 hipotezi
reddedilememiş ve serinin birim köke sahip olarak durağan olmadığı tespit edilmiştir.
İki serininde düzeyde durağan olmadığı anlaşılmıştır bunun için Johansen eşbütünleşme
testinden yararlanılacaktır.
Johansen ve Juselius (1990) tarafından geliştirilen Johansen eşbütünleşme testi sayesinde
düzeyde durağan olmayan serilerin uzun dönemde birlikte hareket edip etmediklerini ortaya
koymak mümkün olmuştur. Johansen eş-bütünleşme testi ile incelenecek olan hipotezler
5
6. aşağıda verilmiştir:
H0: Değişkenler arasında es-bütünleşme ilişkisi yoktur (r=0)
H1: Değişkenler arasında es-bütünleşme ilişkisi vardır (r=1)
Date: 01/14/12 Time: 14:05
Sample (adjusted): 1926 2010
Included observations: 85 after adjustments
Trend assumption: Linear deterministic trend
Series: IHRACAT Y
Lags interval (in first differences): 1 to 2
Unrestricted Cointegration Rank Test (Trace)
Hypothesized Trace 0.05
No. of CE(s) Eigenvalue Statistic Critical Value Prob.**
None * 0.269694 27.69950 15.49471 0.0005
At most 1 0.011518 0.984740 3.841466 0.3210
Trace test indicates 1 cointegrating eqn(s) at the 0.05 level
* denotes rejection of the hypothesis at the 0.05 level
**MacKinnon-Haug-Michelis (1999) p-values
Unrestricted Cointegration Rank Test (Maximum Eigenvalue)
Hypothesized Max-Eigen 0.05
No. of CE(s) Eigenvalue Statistic Critical Value Prob.**
None * 0.269694 26.71476 14.26460 0.0003
At most 1 0.011518 0.984740 3.841466 0.3210
Max-eigenvalue test indicates 1 cointegrating eqn(s) at the 0.05 level
* denotes rejection of the hypothesis at the 0.05 level
**MacKinnon-Haug-Michelis (1999) p-values
*0.05 önem seviyesinde boş hipotezin reddedildiğini göstermektedir.
Yukarıdaki Johansen ve Juselius Eşbütünleşme testi sonucuna göre ihracat ve GSYH
değişkenlerinden oluşan sistemleri, uzun dönem denge değerine taşıyan en az 1 eşbütünleyen
denklemin varlığını göstermektedir.
Düzeyde durağan olmayan I(0) ihracat ve GSYH değişkenlerinin kaçıncı farkta(I(d)) durağan
olduklarını tespit edebilmek için tekrar Genişletilmiş Dickey-Fuller(ADF) testinden
6
7. yararlanılmıştır fakat uzun bir süre farkı alınan serilerin hala durağan olmadıkları tespit
edilmiştir.
Makro ekonomik değişkenlerin kullanıldığı çalışmalarda serilerin doğal logaritmasının
alınması ortak bir görüş birliği haline gelmiştir. Bu logaritma alma işleminin yapılmasının
sebepleri düzeyde üstel bir büyüme gösteren serinin logaritması alındığında büyümenin lineer
hale dönüşmesidir. Logaritmanın alınması ile varyans stabilize olmakta ve aykırı gözlemlerin
etkileri azalmaktadır (Franses ve McAleer, 1998:654).
Bundan dolayı iki serininde logaritması alınarak ADF Birim Kök testi yeniden yapılmıştır.
Ve test sonucunda ihracat ve GSYH serilerinin 1 farkı alındığında birim kök içermedikleri
yani durağan hale geldikleri tespit edilmiştir.[I(1)]. Değişkenler bu sayede
eşbütünleşmiş(cointegrated) olmuşlardır.
(2)
Durağan Olmayan Doğrusal Stokastik Modeller [ARIMA(p, d, q)]
Devlet Planlama Teşkilatının internet sitesinden “Ekonomik ve Sosyal Göstergeler”
bölümünden temin edilen ihracat ve GSYH değişkenlerine ilişkin verilerin 1923-2010 dönemi
yıllık değerleri baz alınmıştır. Ve bu değişkenlerin ARIMA modeli çerçevesinde gelecek
değerleri tahmin(forecast) edilecektir.
Serilerin gelecek değerlerini tahmin edebilmek için ARIMA modelinin belirlenmesi
gerekmektedir. ARIMA modelide Box-Jenkins modeline dayandığı için burada Box-Jenkins
modelinin tahmin etme süreci için getirmiş olduğu varsayımlar dikkate alınacaktır.
Box-Jenkins yaklasımı zaman serisi verileri analizleri için oldukça yaygın kullanılan
yöntemlerden birisidir. Yöntemin bu kadar popüler olması, ele alınan herhangi bir seri
durağan olsun olmasın, mevsimsel unsur içersin içermesin bilgisayar paket programlarıyla bir
çözüme kavuşturulabilmesidir. Box-Jenkins (1976) zaman serisi analizlerinde ve
önraporlamada (kestirim) uygulanan genel ARIMA modelleri ile eş anlamlıdır (Sevüktekin,
2005).
Box-Jenkins yönteminde temel adımlar kısaca su şekilde özetlenebilir:
(1) Durağanlığa ulaşabilmek için serinin yeterli sayıda farkları alınır,
(2) Deneme niteliğinde potansiyel bir model tanımı yapılır,
(3) Potansiyel modelin tahmini yapılır,
7
8. (4) Tanı (ayırt edici) kontrole başvurulur (eğer model yetersiz ise ikinci adıma
tekrar geri dönülerek alternatif modeller dikkate alınır)
(5) Ön raporlama ve kontrol için model kullanılır.
İlk adım olarak serilerin durağan olup olmadığı belirlenmelidir. Yukarıda 1.soruda ADF
Birim Kök testi ile durağanlık testi yapılmış ve serilerin durağan olmadığı belirlenmişti
burada tekrar durağanlık testi yapılmayacak yalnız serilerin korelogramları incelenecektir.
Yukarıda ADF birim kök testi sonucu ihracat ve GSYH serilerinin durağan olmadığı
belirlenmişti.Ve bu sorunun çözümü için serilerin farkı alınmış ve serilerin birinci farklarında
I(1) durağan olduğu bulunmuştu.
Genel olarak ARIMA modellerinin temsilinde kullanılan notasyon: ARIMA(p,d,q)
şeklindedir. Notasyonda p ve q sırasıyla ilgili modelin standart otoregresif ve standart
hareketli ortalama derecelerini gösterirken, d serinin durağanlaştırılabilmesi için kaçıncı
dereceden standart farkının alınması gerektiğini göstermektedir.
Bu bağlamda sırasıyla ilk önce ihracat sonra gayri safi yurtiçi hasıla için p, q ve d belirlenecek
ve model oluşturularak değişkenlerin gelecek değerleri tahmin edilmeye çalışılacaktır.
İhracat
Birinci farkı alınmış 1923-2010 yılları arası yıllık ihracat zaman serisi için, bu kısımda, en
uygun ARIMA modelleri belirlenmeye çalışılacak ve bu modellerin parametreleri
hesaplanacaktır.
Logaritması alınmış ihracat serisi
8
9. 19
18
17
16
15
14
13
12
11
10
30 40 50 60 70 80 90 00 10
LNIHRACAT
Yukarıdaki şekilde logaritması alınmış serinin de artan bir trende sahip olduğu yani durağan
olmadığı tespit edilmiştir. Bu sonuç ilk bölümde yapmış olduğumuz ADF Birim Kök testi
sonunda serinin durağan olmadığını ispatlamaktadır. Serinin birinci dereceden farkı alınmış ve
zamana göre seyri aşağıda verilmiştir.
Birinci dereceden farkı alınmış ihracat serisinin grafiği
.5
.4
.3
.2
.1
.0
-.1
-.2
-.3
-.4
30 40 50 60 70 80 90 00 10
DLNIHRACAT
Logaritmik ihracat serisinin korelogramı
9
10. Yine aynı şekilde ihracat serisinin Korelogramına bakıldığında sırasıyla otokorelâsyon, kısmi
otokorelâsyon ve ters otokorelâsyon katsayılarına ilişkin korelogramlar görülmektedir.
Şekilde otokorelâsyon katsayıları birim kök sorununa işaret edecek derecede yavaş
azalmaktadır. Serinin 1. Farkını alıp korelogramına bakıldığında seride durağanlık sorunun
aşıldığı gözlenecektir.
1. dereceden fark serisinin (Dlnihracat) korelogramı
10
11. Eviews programı kullanılarak en uygun model için birkaç model karşılaştırılmış ve bu
modellere ilişkin istatistikler aşağıda verilmiştir.
ARIMA(1,1,0)
11
12. Dependent Variable: DLNIHRACAT
Method: Least Squares
Date: 01/14/12 Time: 20:01
Sample (adjusted): 1925 2010
Included observations: 86 after adjustments
Convergence achieved after 3 iterations
Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.
C 0.083762 0.018734 4.471182 0.0000
AR(1) 0.067944 0.105149 0.646163 0.5199
R-squared 0.004946 Mean dependent var 0.084080
Adjusted R-squared -0.006900 S.D. dependent var 0.161306
S.E. of regression 0.161862 Akaike info criterion -0.781168
Sum squared resid 2.200733 Schwarz criterion -0.724090
Log likelihood 35.59022 F-statistic 0.417527
Durbin-Watson stat 2.031535 Prob(F-statistic) 0.519935
Inverted AR Roots .07
ARIMA(2,1,0)
Dependent Variable: DLNIHRACAT
Method: Least Squares
Date: 01/14/12 Time: 20:03
Sample (adjusted): 1926 2010
Included observations: 85 after adjustments
Convergence achieved after 3 iterations
Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.
C 0.082521 0.018470 4.467762 0.0000
AR(1) 0.048996 0.110165 0.444754 0.6577
AR(2) -0.009983 0.109229 -0.091399 0.9274
R-squared 0.002447 Mean dependent var 0.082484
Adjusted R-squared -0.021884 S.D. dependent var 0.161578
S.E. of regression 0.163337 Akaike info criterion -0.751349
Sum squared resid 2.187669 Schwarz criterion -0.665138
Log likelihood 34.93235 F-statistic 0.100570
Durbin-Watson stat 1.972882 Prob(F-statistic) 0.904434
Inverted AR Roots .02+.10i .02-.10i
12
13. ARIMA(2,1,1)
Dependent Variable: DLNIHRACAT
Method: Least Squares
Date: 01/14/12 Time: 20:04
Sample (adjusted): 1926 2010
Included observations: 85 after adjustments
Convergence achieved after 15 iterations
Backcast: 1925
Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.
C 0.082636 0.018632 4.435294 0.0000
AR(1) -0.161899 1.211321 -0.133655 0.8940
AR(2) 0.002380 0.139605 0.017046 0.9864
MA(1) 0.210542 1.220869 0.172453 0.8635
R-squared 0.004466 Mean dependent var 0.082484
Adjusted R-squared -0.032405 S.D. dependent var 0.161578
S.E. of regression 0.164175 Akaike info criterion -0.729846
Sum squared resid 2.183240 Schwarz criterion -0.614898
Log likelihood 35.01847 F-statistic 0.121132
Durbin-Watson stat 1.981857 Prob(F-statistic) 0.947412
Inverted AR Roots .01 -.18
Inverted MA Roots -.21
ARIMA(0,1,1)
Dependent Variable: DLNIHRACAT
Method: Least Squares
Date: 01/14/12 Time: 20:05
Sample (adjusted): 1924 2010
Included observations: 87 after adjustments
Convergence achieved after 6 iterations
Backcast: 1923
Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.
C 0.089045 0.019256 4.624230 0.0000
MA(1) 0.079430 0.108175 0.734269 0.4648
R-squared 0.005416 Mean dependent var 0.088681
Adjusted R-squared -0.006285 S.D. dependent var 0.166007
S.E. of regression 0.166528 Akaike info criterion -0.724588
Sum squared resid 2.357180 Schwarz criterion -0.667901
13
14. Log likelihood 33.51958 F-statistic 0.462842
Durbin-Watson stat 1.954492 Prob(F-statistic) 0.498147
Inverted MA Roots -.08
ARIMA model BIC Adjusted R2 SEE
(1,1,0) -0.724 -0.006 0.161
(2,1,0) -0.665 -0.021 0.163
(2,1,1) -0.614 -0.032 0.164
(0,1,1) -0.667 -0.006 0.166
Bu modeller içinde en uygun modeli seçerken aşağıdaki kriterler dikkate alınacaktır:
- Göreli düşük BIC değerine sahip olan(Schwarz criterion = nLog(SEE)+kLog(n))
- Göreli düşük SEE’ye sahip olan
- Göreli yüksek adjust R2’ye sahip olan model daha iyi ve daha anlamlıdır.
Bu kapsamda BIC, adjust R2 ve SEE kriterleri değerlerine göre modeller incelendiğin de en
uygun modelin (1,1,0) yani 1.dereceden fark alınarak ar(1) eklenerek oluşturulan modelin en
uygun model olduğu belirlenmiştir.
Sonuç olarak en uygun model aşağıdaki gibidir:
lnihracatt = 0.08376215798 + 0.06794356767lnihracatt-1
Sonuç olarak bu modele göre hesaplanan ihracatın tahmin değerleri aşağıdaki tabloda
verilmiştir.
1923-2010 yılları arası yıllık ihracat değerleri ve tahminleri
Gerçek Tahmin ihracat
ihracat(bin dolar) (bin dolar)
14
17. İhracat2011 = 0.08376215798 + 0.06794356767ihracat2010
= 77 326 557 bin dolar.
Yine aynı şekilde 2012,2013,2014,2015 ve sonraki yıllar içinde ihracat değerlerinin bir
gecikmelisi modelde yerine konur ve serinin yıllar itibariyle gelecek değerleri tahmin edilmiş
olur.
İhracat2012= 51 808 793
İhracat2013=34 711891
İhracat2014=23 256 967
İhracat2015=15 582168
Gayri safi yurtiçi hasıla(GSYH)
Yukarıda ihracatın 1923-2010 yılları arasında nasıl değer alacağını ve gelecek değerlerini
tahmin etmek için kullanılan ARIMA modeli ve izlenen tüm adımlar burada da izlenmiş
ARIMA(1,1,0) uygun bulunmuştur.
ARIMA(1,1,0)
Dependent Variable: DLNY
Method: Least Squares
Date: 01/14/12 Time: 22:55
Sample (adjusted): 1925 2010
Included observations: 86 after adjustments
Convergence achieved after 3 iterations
Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.
C 0.072490 0.027049 2.679919 0.0089
AR(1) 0.232972 0.105829 2.201397 0.0305
R-squared 0.054545 Mean dependent var 0.072705
Adjusted R-squared 0.043290 S.D. dependent var 0.196708
S.E. of regression 0.192404 Akaike info criterion -0.435462
Sum squared resid 3.109607 Schwarz criterion -0.378384
Log likelihood 20.72487 F-statistic 4.846149
Durbin-Watson stat 1.966739 Prob(F-statistic) 0.030450
Inverted AR Roots .23
17
20. 2002 230 494 220 45 834 010
2003 304 901 341 53 698 682
2004 390 386 833 71 033 452
2005 481 496 931 90 949 172
2006 526 429 394 112 175 266
2007 648 753 606 122 643 269
2008 742 094 395 151 141 376
2009 616 703 325 172 887 159
2010 735 828 349 143 674 560
Bir sonraki yıl 2011 yılı için GSYH değeri şu şekilde tahmin edilmiştir.
Y2011 = 0.07249018061 + 0.232971925*Y2010
= 170 712 177 bin dolar.
Yine aynı şekilde 2012,2013,2014,2015 ve sonraki yıllar içinde GSYH değerlerinin bir
gecikmelisi modelde yerine konur ve serinin yıllar itibariyle gelecek değerleri tahmin edilmiş
olur.
GSYH2012=39 605 225
GSYH2013=9 188 412
GSYH2014=2 131 711
GSYH2015=494 557
20
