Formular for the inverse matrix A การใช้สูตรสำหรับการหาเมทริกซ์ผกผัน หรือ ตัวผกผันของเมทริกซ์A

1. INVERSE MATRICES
(ตัวผกผันของเมทริกซ์จัตุรัส A)
- จงคำนวณหำตัวผกผันของเมทริกซ์จัตุรัส Aหรือคำนวณหำ -1
A
2 1 1
2 1 0
3 1 1
− −
 
 
=
 
 
−
 
A
วิธีทำ สูตรกำรหำตัวผกผันของเมทริกซ์จัตุรัสคือ
1 1 adj
−
=
A A
A
A คือ กำรหำค่ำตัวกำหนดของเมทริกซ์ A หรือที่เรียกว่ำ “ดีเทอร์มิเนนท์ของเมทริกซ์A”
adj
A คือ กำรหำค่ำเมทริกซ์ผูกพันของเมทริกซ์ A หรือที่เรียกว่ำ “แอดจอยท์ของเมทริกซ์A”
โดยที่
( )
t
adj c
=
A A
c
A คือ กำรหำโคแฟกเตอร์ทุก ๆ ตำแหน่ง ของสมำชิกทุกตัวภำยในเมทริกซ์A
( )
t
c
A คือ กำรสลับเปลี่ยนตำแหน่ง มำจำกคำว่ำ transposition จึงเรียกว่ำ “เมทริกซ์สลับเปลี่ยน”
ซึ่งสลับโดยเปลี่ยนหลักเป็นแถว และรักษำแนวทแยงมุมไว้เช่น
ตัวอย่ำง กำรทรำนโพสเมทริกซ์
3
1 1
5 5
3 4 7
6
2
9
8
7
2
6
4
8 9
t
   
   
=
   
   
   

2. 1. หำดีเทอร์มิเนนท์ของเมทริกซ์ A
2 1 1
2 1 0
3 1 1
− −
=
−
A
หำผลดีเทอร์มิเนนท์โดยใช้โคแฟกเตอร์
( )
( )
( )
( ) ( ) ( )
2 1 1
2 1 2 1 2 1
2 1 0 1 0 1
3 1 3 1 2 1
3 1 1
− − +
− − − −
= − = + − + −
+ −
A
( )
( )
( )
2 1 1
2 1 2 1
2 1 0 (0) (1)
3 1 2 1
3 1 1
− − +
− −
= − = − −
+ −
A
( )
( )
( )
2 1 1
2 1 2 1
2 1 0
3 1 2 1
3 1 1
− − +
− −
= − = −
+ −
A
( )
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
2 1 1
2 1
2 1
2 1 0
2 1
3 1
3 1 1
− − +
− − − −
= − = +
− −
+ −
A
( )
( )
( )
2 1 1
2 1 2 1
2 1 0
3 1 2 1
3 1 1
− − +
= − = +
− −
+ −
A

3. ( )
( )
( )
   
2 1 1
2 1 0 (2)(1) (3)(1) (2)( 1) ( 2)(1)
3 1 1
− − +
= − = − + − − −
+ −
A
( )
( )
( )
   
2 1 1
2 1 0 2 3 2 ( 2)
3 1 1
− − +
= − = − + − − −
+ −
A
( )
( )
( )
   
2 1 1
2 1 0 2 3 2 2
3 1 1
− − +
= − = − + − +
+ −
A
( )
( )
( )
   
2 1 1
2 1 0 1 0
3 1 1
− − +
= − = − +
+ −
A
( )
( )
( )
2 1 1
2 1 0 1
3 1 1
− − +
= − = −
+ −
A
1
 = −
A

4. 2. หำโคแฟกเตอร์ทุก ๆ ตำแหน่ง
11 12 13
21 22 23
31 32 33
c
A A A
A A A
A A A
 
−
 
= − −
 
 
−
 
A
2 1 1
2 1 1 2 1 1
2 1 0 2 1 0 2 1 0
3 1 1 3 1 1 3 1 1
2 1 1 2 1 1 2 1 1
2 1 0 2 1 0 2 1 0
3 1 1 3 1 1 3 1 1
2 1 1 2 1 1 2 1 1
2 1 0 2 1 0 2 1 0
3 1 1 3 1 1 3 1 1
c
 
− −
− − − −
 
 
−
 
− − −
 
 
− − − − − −
 
 
= − −
 
 
− − −
 
 
− − − − − −
 
 
−
 
− − −
 
 
A
11 12 13
21 22 23
31 32 33
1 0 2 0 2 1
1 1 3 1 3 1
1 1 2 1 2 1
1 1 3 1 3 1
1 1 2 1 2 1
1 0 2 0 2 1
c
A A A
A A A
A A A
 
= = − =
 
− −
 
 
− − − −
 
= = − = = −
− −
 
 
− − − −
 
= = − =
 
 
A
     
     
     
(1)( 1) (1)(0) (2)( 1) (3)(0) (2)(1) (3)(1)
( 1)( 1) (1)(1) ( 2)( 1) (3)(1) ( 2)(1) (3)( 1)
( 1)(0) (1)(1) ( 2)(0) (2)(1) ( 2)(1) (2)( 1)
c
 
− − − − − −
 
= − − − − − − − − − − −
 
 
− − − − − − − −
 
A

5.      
     
     
1 0 2 0 2 3
1 1 2 3 2 3
0 1 0 2 2 2
c
 
− − − − − −
 
= − − − − − +
 
 
− − − − +
 
A
     
     
     
1 2 1
0 1 1
1 2 0
c
 
− − − −
 
= − − −
 
 
− − − −
 
A
1 2 1
0 1 1
1 2 0
c
− −
 
 
 = − −
 
 
−
 
A
c
A คือ โคแฟกเตอร์ของทุกตำแหน่งในเมทริกซ์ A

6. 3. นำเมริกซ์ c
A ที่ได้มำไปทรำนส์โพสจะใช้สัญลักษณ์เป็น ( )
t
c
A
1 2 1
0 1 1
1 2 0
c
− −
 
 
= − −
 
 
−
 
A
( )
1 2 1
0 1 1
1 2 0
t
t
c
− −
 
 
= − −
 
 
−
 
A
( )
1 0 1
2 1 2
1 1 0
t
c
− −
 
 
 = −
 
 
− −
 
A
ดังนั้นเมทริกซ์ผูกพันหรือ adjoint มีควำมสัมพันธ์กับ ( )
t
c
A คือ
( )
t
adj c
=
A A ดังนั้น
1 0 1
2 1 2
1 1 0
adj
− −
 
 
 = −
 
 
− −
 
A

7. 4. นำสิ่งที่ได้มำในแต่ละข้อมำเรียบเรียง ได้เป็น
1
= −
A
2 2 1
0 1 0
3 2 0
c
− −
 
 
= −
 
 
−
 
A
1 0 1
2 1 2
1 1 0
adj
− −
 
 
= −
 
 
− −
 
A
สูตรอินเวอร์ส ตัวผกผันของเมทริกส์
1 1 adj
−
=
A A
A
แทนค่ำลงไปในสูตร
( )
1
1 0 1
1
2 1 2
1
1 1 0
−
− −
 
 
= −
 
−
 
− −
 
A
1
1 0 1
1 2 1 2
1 1 0
−
− −
 
 
= − −
 
 
− −
 
A
1
1 0 1
2 1 2
1 1 0
−
− −
 
 
= − −
 
 
− −
 
A

8. 1
( 1) 0 ( 1)
(2) ( 1) (2)
( 1) ( 1) 0
−
− − − −
 
 
= − − − −
 
 
− − − −
 
A
1
1 0 1
2 1 2
1 1 0
−
 
 
 = − −
 
 
 
A
ตอบ
ตรวจเช็คคำตอบ ด้วยโปรแกรม MATLAB