The document defines key concepts related to angles including: - Angles can be defined as the part of a plane determined by two rays with a common endpoint called the vertex. - Angles are measured in degrees using either the circular or sexagesimal system, where one full rotation is 360 degrees. - Supplementary angles sum to 180 degrees, while complementary angles sum to 90 degrees and form right angles. - Coterminal angles have the same endpoint but may differ in their starting point by a multiple of 360 degrees. - The sexagesimal system divides degrees into minutes and seconds for more precise measurement. Operations like addition, subtraction, multiplication and division are described for this system.

1. Docente:Yadisney Campos C.
ÁNGULOS

2. TABLA
DE
CONTENIDO
Concepto de angulo
01
Ángulos en posición normal
02
Ángulos suplementarios y
complementarios
03
Medición de ángulos
04
06
05
Ángulos cuadrantales y
coterminales
Operaciones entre ángulos en el
sistema sexagesimal

3. En geometría, el ángulo puede ser definido como la parte del plano
determinada por dos semirrectas llamadas lados que tienen el
mismo punto de origen llamado vértice del ángulo. La medida de
un ángulo es considerada como la longitud del arco de
circunferencia centrada en el vértice y delimitada por sus lados.
Angulo

4. Ángulos en Pocisión
Normal
También llamado Estándar o regular es un ángulo
trigonométrico generado en un plano cartesiano,
en el origen de coordenadas y cuyo lado inicial
coincide con el eje positivo de las abscisas. El
lado final puede ubicarse en cualquier cuadrante
o semieje del plano cartesiano
*Abscisas: Es la coordenada horizontal en un
plano cartesiano rectangular.
X
Y
0
0
Lado Final
Lado Inicial

5. Ángulos suplementarios
son dos ángulos cuya
suma es 180º.
Un caso común es cuando se
encuentran en el mismo lado
de una línea recta.
Por ejemplo ∠AXD y ∠DXC son ángulos
suplementarios en el siguiente diagrama:

6. Ángulos complementarios
Son dos ángulos
cuya suma es 90º Un
caso común es cuando
forman un ángulo recto.
Por ejemplo ∠BXC y ∠CXD, C, X, D son ángulos
complementarios en el siguiente diagrama:
Observa que ∠BXD debe ser un ángulo recto, pues
∠AXB es un ángulo recto.

7. Los ÁNGULOS CUANDRANTES son los que su lado inicial empieza en el eje X positivo y su lado terminal termina
en cualquiera de los cuadrantes del plano cartesiano, ya sea 90°, 180°,270°,360°, etc. debe ser múltiplo de 90°.
Ángulos
cuadrantales
ÁNGULOS QUE PERTENECEN CUADRANTAL: Un ángulo pertenece al IC, IIC, IIIC o IVC si solo si
dichos ángulos se encuentran en posición normal y su lado final se ubica en el IC, IIC, IIIC o IVC
respectivamente. Son aquellos ángulos en posición normal cuyo lado final coinciden con algún eje
del plano cartesiano.

8. Los ÁNGULOS CUANDRANTES son los que su lado inicial empieza en el eje X positivo y su lado terminal termina en
cualquiera de los cuadrantes del plano cartesiano, ya sea 90°, 180°,270°,360°, etc. debe ser múltiplo de 90°.
Ángulos
cuadrantales
ÁNGULOS QUE PERTENECEN A ALGÚN CUADRANTE ÁNGULOS CUADRANTALES Un
ángulo pertenece al IC, IIC, IIIC o IVC si solo si dichos ángulos se encuentran en posición
normal y su lado final se ubica en el IC, IIC, IIIC o IVC respectivamente. Son aquellos
ángulos en posición normal cuyo lado final coinciden con algún eje del plano cartesiano.

9. COTERMINALES
Los ángulos coterminales son
ángulos en posición estándar
(ángulos con el lado inicial en el
eje positivo de las x ) que tienen
un lado terminal común. Por
ejemplo 30°, –330° y 390° son
todos coterminales.
Para encontrar un ángulo coterminal positivo y uno negativo
con un ángulo dado, puede sumar y restar 360° si el ángulo
es medido en grados o 2π si el ángulo es medido en radianes
.
9

10. Es un sistema de numeración en el que cada unidad se divide en 60 unidades
de orden inferior, es decir, es un sistema de numeración en base 60. Se aplica
en la actualidad a la medida del tiempo y a la de la amplitud de los ángulos. La
unidad de medida de ángulos en el sistema sexagesimal es el grado (º), que es
el resultado de dividir el ángulo llano en 180 partes iguales, o bien un ángulo
recto en 90 partes, o un ángulo completo en 360 partes.
-En la calculadora aparece con la denominación DEG.
Ejemplo: 30 grados, 40 minutos y 15 segundos.
10
Medición
de
Ángulos
Sistema Sexagesimal
90º
360º
270º
180º
0º

11. SUMA
Operaciones entre ángulos en el sistema sexagesimal
GRADOS
SEXAGESIMALES
1º 60'
1’ 60''
TIEMPO
1 h 60 min
1 min 60 s
✓ Paso 1
Colocar los dos números a sumar de la siguiente forma, y sumar columna por
columna:
38º24´55”
40º49´17”
78º73´72”
✓ Paso 2
Si la suma de segundos es superior a 60, dividir el resultado por 60; el resto
serán los segundos y el cociente se sumará a los minutos. (72-12=60)
72= 1 + 12
60 60
Es decir, el resto es 12 y el cociente 1. Entonces, el resultado se escribe:
78º(73+1)´12”=78º74´12”
✓ Paso 3
Repetir el mismo procedimiento para los minutos: (74-60=14)
74= 1 + 14
60 60
Entonces (78+1=79)
78º74´12”=79º14´12”

12. RESTA
Operaciones entre ángulos en el sistema sexagesimal
✓ Paso 1
Colocar los dos números a restar uno encima del otro, las horas sobre las
horas (o los grados sobre los grados), los minutos sobre los minutos...
52º23´18”
43º49´25”
Si la resta de segundos es menor que cero, se suman 60” en los segundos y
se resta 1´ en los minutos del número de arriba. (60+18=78) (23-1=22)
52º23´18”=52º22´78”
52º22´78”
43º49´25”
53”
✓ Paso 2
Repetir el mismo procedimiento con los minutos ( 60+22=82)(52-1=51)
51º82´78”
43º49´25”
8º33´53”
Nota: Se resta siempre el mayor número menos el menor. Si se están tratando con ángulos se podría dar el caso de que se deba calcular un
ángulo negativo (se hace la resta con valor mayor que cero y se cambia el signo).
Si se opera con medidas temporales no tiene mucho sentido obtener tiempos negativos. No obstante en la resolución de un problema en el que
se defina una referencia de tiempo, se puede obtener un tiempo negativo para un instante anterior.
GRADOS
SEXAGESIMALES
1º 60'
1’ 60''
TIEMPO
1 h 60 min
1 min 60 s

13. MULTIPLICACIÓN
Operaciones entre ángulos en el sistema sexagesimal
✓ Paso 1
Multiplicar segundos, minutos y horas (o grados) por el número:
51º 82´ 78”
X5”
255º410´390”
✓ Paso 2
Si se obtienen más de 60 segundos, dividir por 60 y el resto serán los
segundos y el cociente se añadirá a los minutos (410+6=416)
(60x6=360)(390-360=30)
390=6 + 30
60 60
255º410´390”=255º416´30”
✓ Repetir el mismo procedimiento para los minutos, (255+6=261) (416-
360=56)
416=6 + 56
60 60
255º 6´56”=261º56´30”
GRADOS
SEXAGESIMALES
1º 60'
1’ 60''
TIEMPO
1 h 60 min
1 min 60 s

14. DIVISIÓN
Operaciones entre ángulos en el sistema sexagesimal
Se pretende dividir 37º48´25” por 5
✓ Paso 1
Se empiezan dividiendo las horas (o grados) por el número:
37=7+2
5 5
El cociente, 7, son las horas y el resto multiplicado por 60, (2x60=120), se añadirá
a los minutos.
✓ Paso 2
Se repite el mismo procedimiento con los minutos, (33x5=165)(168-165=3)
48´+120´=168´
168 = 33+3
5 5
33 serán los minutos finales, y el resto multiplicado por 60 se añadirá (3x60) a los
segundos.
✓ Paso 3
Por último, se repite el mismo procedimiento con los segundos,
25”+180¨=205”
205 =41
5
Entonces, el resultado final será:
7º33´41”
GRADOS
SEXAGESIMALES
1º 60'
1’ 60''
TIEMPO
1 h 60 min
1 min 60 s

15. En este sistema la unidad de medida es el radián(R). Un radián
es la medida del ángulo central que Se entiende en cualquier
circunferencia arco de longitud igual al radio.
15
Medición
de
Ángulos
Sistema Circular
1 vuelta es = 2πrad
1rad=57º17´45”

16. FACTORES DE
CONVERSIÓN
Formula de Conversión: S = C = R
180 200 π
S : Número de grados sexagesimales
C : Número de grados Centesimales
R : Número de radianes
Ejemplo:
2𝑅
3
𝑅𝑎𝑑 =
2(180º)
3
= 120º
Ejemplo
70º 70º +
9º
10º
= 63º
3π
4º
𝑟𝑎𝑑 3(200º = 150º
4

17. Angulos
complementarios
Suman 90º; 100g; π Rad
2
ÁNGULOS SUPLEMENTARIOS
SUMAN : 180Oº ; 200g π rad
Ángulos
Suplementarios
Equivalencias
Usuales
Otras
relaciones
Importantes

18. Bibliografía
https://www.varsitytutors.com/hot
math/hotmath_help/spanish/topic
s/coterminal-angles
https://es.khanacademy.org/m
ath/cc-seventh-grade-
math/cc-7th-geometry/cc-7th-
angles/a/complementary-and-
supplementary-angles-review
https://es.slideshare.net/SCH
OOL_OF_MATHEMATICS/ng
ulos-en-posicin-normal
https://www.google.com/url?sa=i&url=http%3A%2F%2Fmaralboran.org%2Fwikipedia%2Findex.php%2F
Plantilla%3A%25C3%2581ngulos_coterminales&psig=AOvVaw22AoVG5V9Zl78DUkTmMi8y&ust=1613
609428194000&source=images&cd=vfe&ved=0CAkQjhxqFwoTCPC9k97Z7-4CFQAAAAAdAAAAABAD
https://es.slideshare.net/LuisLuis
15/angulo-trigonomtrico-y-
sistemas-de-medidas-angulares
https://www.sangakoo.com/es/temas/el-
sistema-sexagesimal-y-sus-operaciones
www.slidego.com

19. GRACIAS