9 klasi

1
gia zenaiSvili, Temur maWavariani
inga mosiaSvili, larisa qavTaraZe
nino SaSiaSvili
t e s t e b i
Semajamebeli gakveTilebisaTvis
maTematika
IX klasi

2
Semajamebeli testuri davalebebiT originalurad
Sedgenili es wigni gankuTvnilia maswavleblebis, skolebis
direqciebis, moswavleebisa da abiturientebisaTvis.
wignze muSaoba did sargeblobas moutans elementaruli
maTematikiT dainteresebul yvela pirs.
proeqtis avtori: gia zenaiSvili
redaqtori: giorgi mandaria
kompiuteruli uzrunvelyofa: aleko kuzanaSvili
nino maisuraZe
wigni moamzada da gamosca S.p.s-m `wignebi dadianze~
ISBN 978-9941-0-6671-9

3
რჩევები წიგნით სარგებლობის შესახებ
წინამდებარე მათემატიკის დამხმარე სახელმძღვანელოს
ძირითადი დანიშნულებაა კვალიფიციური დახმარება გაუწიოს
სკოლის მასწავლებლებს ტესტური შემაჯამებელი გაკვეთ-
ილების მომზადება - ჩატარებაში.
ტესტები მომზადებული და თანმიმდევრულად და-
ლაგებულია სტანდარტით გათვალისწინებული თემებისა და
საკითხების მიხედვით, რის გამოც წინამდებარე რჩევების
მეშვეობით გამოყენებადია ყველა გრიფირებული სახელ-
მძღვანელოს შემთხვევაში.
წიგნში ტესტებთან ერთად წარმოდგენილია:
ა) ტესტების პასუხები;
ბ) თითოეული ტესტის სირთულის მახასიათებელი ქულა;
გ) სტანდარტის ის შედეგი (შედეგები), რომლის შეფასებასაც
ემსახურება კონკრეტული შემაჯამებელი დავალება.
დ) კრიტერიუმები, რომლითაც შეფასდება ეს დავალებები.
ეროვნული სასწავლო გეგმის მოთხოვნით მასწავლებელს
ევალება მოსწავლის მიერ შესრულებული შემაჯამებელ დავა-
ლებათა ამსახველი ვიზუალური მასალის შენახვა.
რომელიმე კონკრეტული სასწავლო მონაკვეთის გავლის
შემდეგ ტესტური დავალების სახით ჩასატარებელი შემა-
ჯამებელი გაკვეთილი სხვა ფორმებს შორის ყველაზე კარგად
წარმოაჩენს სტანდარტით განსაზღვრულ ცოდნასა და უნარებს.
შეფასების სისტემაში ამ ფორმას მნიშვნელოვანი როლი ენიჭება,
რის გამოც მასწავლებლები ხშირად იყენებენ მას.
კონკრეტული ტესტური დავალების შედგენის დროს
თემატური გეგმიდან გამომდინარე ვიღებთ შემაჯამებელი

4
გაკვეთილის თემებს და წიგნში მოცემულ ამ თემათა შესაბამისი
საკითხებიდან ვარჩევთ ტესტებს ქულების მითითებით.
მოცემული ტესტებიდან მასწავლებელს შეუძლია ამოარ-
ჩიოს და განვლილი თემის შემაჯამებელი დავალება შეადგინოს
სირთულისა და რაოდენობის მისეული გადაწყვეტილებით.
ტესტების რაოდენობის შერჩევა ხდება ისე, რომ საშუალო
დონის მოსწავლისათვის ყველა ტესტის ამოხსნის სავარაუდო
დრო განისაზღვროს 40 წუთამდე.
თუ კლასი აკადემიური მოსწრების დონით საშუალოზე
ძლიერია, მაშინ მასწავლებელს შეუძლია დაამატოს ორი ან
სამქულიანი ტესტი ისე, რომ არ დაირღვეს დავალების შესრუ-
ლების სავარაუდო დროის პირობა.
მიღებული სწორი პასუხების დაჯამების შემდეგ, ნიშნის
გამოყვანისათვის შეგიძლიათ ისარგებლოთ ფორმულით
10∙m : n, სადაც n- ტესტების მაქსიმალური ქულათა ჯამია,
ხოლო m- მოსწავლის მიერ დაგროვილ ქულათა ჯამი.
მაგალითად, თუ მაქსიმალური ქულაა 16, ხოლო მოსწავლემ
მოაგროვა 13, მას დაეწერება ნიშანი 10 ∙ 13 :16 = 8,125 ≈8.
პედაგოგები ხშირად გამოთქვამენ ეჭვს იმის შესახებ, რომ
მოცემული წიგნი ხელმისაწვდომი იქნება მოსწავლეებისათვის
და რომ ისინი დაისწავლიან მასში განთავსებულ ტესტებსა და
მათ პასუხებს.
ჩვენ სრული პასუხისმგებლობით ვაცხადებთ, რომ თუ
მოსწავლე დაისწავლის ან დაიზეპირებს შემეჯამებელ ტესტურ
დავალებათა ამოხსნის გზებს ამაში ცუდი არაფერია,
დაგვერწმუნეთ, ამ შემთხვევაში მან საკმარისად იცის მათმა-
ტიკის განვლილი საპროგრამო მასალა.

5
წიგნში მოცემული ტესტები შეიძლება გამოვიყენთ
დამოუკიდებელი საკლასო წერებისა და სასკოლო სემესტრული
ან წლიური გამოცდების ჩასატარებლად.
საყურადღებოა ის, რომ დირექციას შეუძლია მის მიერ
შედგენილი ვარიანტებით შეაფასოს მასწავლებელთა შრომისა
და მოსწავლეთა ცოდნის დონის შედეგები, რაც თავის მხრივ
მეტად მნიშვნელოვანია საერთო აკადემიური მოსწრების
შეფასებისათვის.
ამრიგად, ეს წიგნი განკუთვნილია სკოლის მასწავლებლე-
ბისა და მოსწავლეებისათვის, რათა პირველს შეუმსუბუქოს
საკმაოდ შრომატევადი სამუშაო, დაზოგოს დრო და გაუღრმა-
ვოს ტესტებზე მუშაობის გამოცდილება, ხოლო მეორემ
შეიძინოს ცოდნა და გარკვეულ საფეხურზე შეისწავლოს
მათემატიკის საპროგრამო მასალა.
ჩვენ ვიმედოვნებთ, რომ მკითხველი პასუხისმგებლობით
მოეკიდება ამ მნიშვნელოვან საქმეს, მოგვაწოდებს თავის
შენიშვნებსა და წინადადებებს, რაც ავტორებს პრაქტიკულად
დაეხმარება აღნიშნული პროექტის სრულყოფაში.
წინასწარ გიხდით მადლობას თანადგომისთვის.
ავტორთა ჯგუფი

6
N1. რაციონალური რიცხვები:
ტესტი 1.1. (ქულა 1)
შემდეგი წილადებიდან :
2
9
;
2
7
;
2
3
;
2
5
; რომელი შეიძლება
ჩაიწეროს სასრული ათწილადის სახით:
ა)
2
9
ბ)
2
7
გ)
2
3
დ)
2
5
2, (7) =
ა) 2
7
10
ბ) 2
7
9
გ) 2
7
12
დ) 2
7
11
3,2 (51) =
ა) 3
83
330
ბ) 3
251
1000
გ) 3
20
99
დ) 3
251
990
17,2675-ის მეათასედებამდე დამრგვალებით მიიღება:
ა) 17,27 ბ) 17,3 გ) 17,268 დ) 17,267

7
ტესტი 1.5 (ქულა 1)
5 × 102+ 7 × 10 + 6 × 10 -1 + 8 × 10 -2 =
ა) 570,68 ბ) 57,68 გ) 5,7068 დ) 57,068
5
12
=
ა) 0,04(16) ბ)0,(416) გ) 0,4(16) დ) 0,41(6)
32
7
მოთავსებულია შემდეგ მომდევნო ნატურალურ რიცხვებს
შორის:
ა) 2-სა და 3-ს
შორის
ბ) 4-სა და 5-ს
შორის
გ) 5-სა და 6-ს
შორის
დ) 1-სა და 2-ს
შორის
−
39
9
მოთავსებულია შემდეგ მომდევნო მთელ რიცხვებს შორის.
ა) -6-სა და -5-
ს შორის
ბ) -4-სა და -3-
ს შორის
გ) -5-სა და -4-
ს შორის
დ) -3-სა და 5-
ს შორის

8
იპოვეთ რიცხვითი გამოსახულების მნიშვნელობა:
3,6 × 1
1
18
−
1
12
∶
17
36
იპოვეთ რიცხვითი გამოსახულების მნიშვნელობა:
36 (0,08(3) – 0,0(5)) =
ელექტრო მატარებელი 1 კმ-იან გადასარბენს გადის 1,5 წთ-ში.
რამდენით უნდა გაზრდოს სიჩქარე მატარებელმა, რომ იგივე
მანძილი 1 წთ-ში გაიაროს ?
მდინარის დინების სიჩქარეა 2,5 კმ/სთ; ნავის საკუთარი სიჩქა-
რეა 7,5 კმ/სთ. ამ ნავმა პირველად დინების მიმართულებით
იმოძრავა 20 წთ, დინების საწინააღმდეგო მიმართულებით კი
1სთ 20 წთ, ხოლო მეორედ მან დინების მიმართულებით
იმოძრავა 50 წთ, ხოლო დინების საწინააღმდეგო მიმართუ-
ლებით 25წთ. რომელ შემთხვევაში გაიარა მან მეტი მანძილი და
რამდენი კმ-ით.

9
N2. კვადრატული ფესვი. კვადრატული ფესვის
შემცველი გამოსახულებების გარდაქმნა.
ჩამოთვლილი რიცხვებიდან :
3
4
; 11; 1,5;
4
9
ირაციონალური რიცხვია:
ა)
3
4
ბ) 11; გ) 1,5
დ)
4
9
რომელ ორ მთელ რიცხვებს შორის არის მოთავსებული 115 -
დან
ა) 9-სა და 10-ს
შორის
ბ)8-სა და 9-ს
შორის
გ)10-სა და 11-
ს შორის
დ)11-სა და
12-ს შორის
27 + 75 − 108 =
ა) −6 ბ) 4 3 გ)14 3 დ) 2 3

10
5 × 3 5 − 4 =
ა) 15 – 4 5 ბ) 15 + 4 5 გ) 20 − 15 დ) 15 + 20
(4 - 5) (6 + 5 ) =
ა) 19 + 2 5 ბ) 29 -10 5 გ) 19-2 5 დ) 19 +10 5
(2 11 + 3 7 )(2 11 − 3 7) =
ა) 13 77 ბ)4 11 − 9 7 გ) 19 დ) -19
(5 3 − 2 2 )2
ა) 83 + 20 6 ბ) 83 - 20 6
გ) 50 დ) 600

11
2
7 + 5
=
ა) 2( 7 + 5 ) ბ) 7 − 5 გ)
2
7− 3
დ) 4
5 − 2 40 + 8 + 5 + 2 40 + 8 =
8
5 − 1
+
12
5 + 1
−
2
5 − 2
−
3
5 + 2
=
გაამარტივეთ და გამოთვალეთ როცა: m = 9 n = 4
(
1
3 𝑚− 𝑛
+
2
9𝑚−𝑛
+
1
3 𝑚+ 𝑛
) ×
21(3 𝑚+ 𝑛 )
2(3 𝑚+1)

12
ტესტი2.12. (ქულა 3)
გაამარტივეთ და გამოთვალეთ როცა x = 1
𝑥2 − 6𝑥 + 9 + 4𝑥2 − 12𝑥 + 9 =
N3. ირაციონალური რიცხვი; ნამდვილი რიცხვები:
ირაციონალურ რიცხვთა სიმრავლე აღინიშნება :
ა) N ბ) Z გ) Q დ) I
ჩამოთვლილთაგან ირაციონალური რიცხვია: 5,(3);
5
9
;
112 ; 144
ა) 5,(3); ბ)
5
9
გ) 112 ; დ) 144

13
რომელ ორ მომდევნო მთელ რიცხვს შორის არის 5 + 17
რიცხვი:
ა)5-სა და 6-ს
შორის
ბ) 4-სა და 5-ს
შორის
გ)6-სა და 7-ს
შორის
დ) 3-სა და 4-ს
შორის
5 -სა და 7 -ს შორის მოთავსებული რაციონალური რიცხვია:
ა) 1,5 ბ) 2,5 გ) 0,5 დ) 3,5
( 5 − 4) 2
ა) 21 + 8 5 ბ) 21 გ) 21-8 5 დ) - 13
( 11 − 13 )( 11 + 13 =
ა) - 2 ბ) 2 გ) - 2 13 დ) 2 11

14
15– 4
2
=
ა) 15 − 4 ბ) 15 გ) - 4 დ) 4 - 15
( 3 ; 𝜋 ) შუალედს ეკუთვნის შემდეგი ირაციონალური რიცხვი:
ა) 2,5 ბ) 5 გ) 4 დ) 10
დაალაგე რიცხვები ზრდის მიხედვით:
5
5
;
6
6
; 5 ; 6
არსებობს თუ არა სამკუთხედი რომლის გვერდები გამოისახება
რიცხვებით: 6; 5 ; 6 პასუხი დაასაბუთეთ.

15
შეუსაბამეთ a; b; c და d ასოებს ირაციონალური რიცხვები, თუ
ისინი რიცხვით წრფეზე განლაგებულნი არიან შემდეგნაირად
და ეს რიცხვებია 7; 11 ; - 7 და - 11
A D
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3
საკოორდინატო წრფეზე A და D წერტილებს შეესაბამება - 10 ;
- 5 ; 0; 5 ; 8 რიცხვებიდან ორ რიცხვს. რა შეიძლება იყოს A
და D . პასუხი დაასაბუთეთ.
N4. n-ური ხარისხის ფესვი. ფესვის თვისებები:
−343
3
ა) -7 ბ) 7 გ) ± 7 დ) −𝟕
c
a
c b ? a d0
● ●

16
თუ 𝑛
3
= - 0,3; მაშინ n =
ა) 0,027 ბ) - 0,027 გ) 0,27 ; დ) – 0,27
თუ m ≥ 0 მაშინ 𝑚26
=
ა) 𝑚4
ბ) 𝑚12
გ) 𝑚
3
დ) m
იპოვე გამოსახულების 25 × 355
მნიშვნელობა
ა) 36 ბ) 5 გ) 6
5
დ) 6
გამოთვალე გამოსახულების მნიშვნელობა:
𝑚2 𝑚
37
+ 729𝑚
6
თუ m = 64
ა) 10 ბ) 12 გ) 24 დ) 64

17
49 × 875
3
=
ა) 45 ბ) 35 გ) 25 დ) 15
იპოვეთ გამოსახულების
1024
4
32
მნიშვნელობა
ა) 4 ბ) 2 2 გ) 2 დ) 4 2
იპოვეთ გამოსახულების მნიშვნელობა 4
12
125
3
=
ა) 2
2
5
ბ) 2
4
5
გ) 3
1
5
დ) 1
3
5
იპოვეთ გამოსახულების მნიშვნელობა 4 − 7
63
+ 8 7
იპოვეთ გამოსახულების მნიშვნელობა (0,2 0,0025
4
)2
− ( −1
9
)−1

18
გაამარტივე და გამოთვალე: 2𝑎 10 + 21
4
∙ 7 3𝑎 − 3 7𝑎; თუ
a =
8
21
.
იპოვეთ რიცხვითი გამოსახულების
მნიშვნელობა:
4+2 3
4
∙ 3–1+ 32
2
=
N5. პროპორცია და უკუპროპორცია;
პროპორციულ ნაწილებად დაყოფა.
თუ
𝑥
11
=
18
66
მაშინ x =
ა) 18 ბ) 11 გ) 6 დ) 3

19
თუ a და b უკუპროპორციული სიდიდეებია და
უკუპროპორციულობის კოეფიციენტი K=5 მაშინ
ა)
𝑎
𝑏
= 𝑘 ბ) ab = 5 გ)
𝑏
𝑎
= 𝑘 დ) a = b = k
ტესტი5.3. (ქულა1)
თუ 80 დაყოფილია 2-ის 3-ის და 5-ის პროპორციულ ნაწილებად,
მაშინ უმცირესი მიღებული რიცხვებიდან არის:
ა) 40 ბ) 8 გ) 16 დ) 24
თუ ორ ქალაქს შორის მანძილი 120 კმ-ია, ხოლო რუკის
მასშტაბია 1: 600 0000 მაშინ მანძილი ამ ქალაქებს შორის რუკაზე
არის:
ა) 2 სმ ბ) 2 დმ გ) 2 მ დ) 5 სმ
თუ ერთი მუშა მთელ სამუშაოს 6სთ-ში ასრულებს, ხოლო
მეორე იგივე სამუშაოს 12სთ-ში, მაშინ ორივე ერთად მუშაობით
ამ სამუშაოს შეასრულებენ:
ა) 18სთ-ში ბ) 2სთ-ში გ) 4სთ-ში დ) 3სთ-ში

20
თუ სურათზე რომლის მასშტაბია 200 : 1 მწერის ფრთის სიგრძე
10 დმ-ია; მაშინ სინამდვილეში ამ მწერის ფრთის სიგრძე არის:
ა) 5 მმ ბ) 5 სმ გ) 5 დმ დ) 200 მ
მატარებელიორ ქალაქს შორის მანძილს 15 სთ-ში გადის; თუ იგი
სიჩქარეს 3-ჯერ გაზრდის მაშინ იგი ამ მანძილს გაივლის:
ა) 18სთ-ში ბ) 3სთ-ში გ) 45სთ-ში დ) 5სთ-ში
თუ სამკუთხედის კუთხეები 2-ის 3-ის და 4-ის პროპორციულია,
მაშინ უდიდესი კუთხეა:
ა) 400 ბ) 600 გ) 800 დ) 900
ვაშლის გაშრობისას აორთქლებული ნაწილის მასა ისე
შეეფარდება დარჩენილი ნაწილის მასას როგორც 13 : 7;
რამდენი კგ ჩირი მიიღება 20 კგ ვაშლისაგან?

21
შენადნობი შედგება სპილენძისა და ნიკელისაგან, რომელთა
მასები შესაბამისად 15-ისა და 4-ის პროპორციულია. რას უდრის
შენადნობის მასა, თუ შენადნობში 22 კგ-ით მეტი სპილენძი
შედის ვიდრე ნიკელი?
ერთი მილი ავზს ავსებს 4სთ-ში მეორე მილი 3სთ-ში, ხოლო
მესამე მილი 6 სთ-ში. თუ პირველ და მეორე მილს გავხსნით 1
სთ, ხოლო შემდეგ გავხსნით მესამე მილსაც, მაშინ რამდენი
საათი დასჭირდება მთლიანი ავზის შევსებას?
მოცემულია a : b = 3 : 4 b : c = 6 : 7 და c : d = 4 : 15
იპოვეთ: ა) a : c; ბ) b : d გ) a : d

22
N6. რიცხვითი უტოლობები;
უტოლობების დამტკიცება.
შეარჩიეთ სწორი პასუხი თუ:m – n = - 3, 5 მაშინ
ა) m > n ბ) m < n გ) m = n დ)შეუძლებელია
განსაზღვრა
თუ - 2,7a < - 3,5 a მაშინ
ა) a = 0
ბ) a> 0
გ) a < 0
დ) a ≥ 0
ტესტი 6.3. (ქულა1)
თუ 2 < a და a < 7 მაშინ
ა) 2 >a > 7
ბ) 2 < a < 7
გ)2 ≥ a ≥ 7
დ) 2 ≤ a ≤ 7

23
თუ 2 < a < 5 და 3 < b < 7 მაშინ a + b
ა) 5 > a + b > 12 ბ) 5 ≤ a + b ≤ 12 გ) 5 < a + b < 12 დ) 5 ≥ a + b ≥
12
თუ 15 < a < 17 და 12< b < 15 მაშინ a – b
ა) 5 > a – b > - 2
ბ) 3 ≥ a – b ≥ 2
გ) -5 ≤ a – b ≤ 2
დ) 0< a – b < 5
თუ
1
2
< 𝑎 <
3
4
და 2 < b <
16
3
მაშინ a b
ა) 1 <ab< 4 ბ)2 <ab<
8
3
გ) 1 ≤ ab ≤ 4 დ) 2 ≤ ab ≤
8
3
თუ 2 < a < 6 და 1 <b < 3 მაშინ
𝑎
𝑏
ა) 2<
𝑎
𝑏
<18 ბ)
2
3
<
𝑎
𝑏
<6 გ) -
1
3
<
𝑎
𝑏
< 1 დ)
1
3
≤
𝑎
𝑏
≤ 1

24
თუ m > 3,5 და n > 1,6 მაშინ 4m +5n გამოსახულების უმცირესი
მთელი მნიშვნელობა იქნება:
ა) 22 ბ) 24 გ) 23 დ) 25
თუ
𝑚−3
2
მნიშვნელობა ეკუთვნის 1; 3 შუალედს. რა შუალედს
ეკუთვნის m ?
თუ 𝑚 ∈ 2; 7 , მაშინ იპოვეთ უმცირესი მთელი მნიშვნელობა
გამოსახულებისა
𝑚+2
𝑚–1
თუ 2≤ a ≤ 5; 1 ≤b ≤ 3 მაშინ იპოვეთ
2𝑎+3𝑏
3𝑎−𝑏
-ს შესაძლო უდიდესი
მთელი მნიშვნელობა
მოცემულია 15<m<16; 13<n<19; იპოვეთ გამოსახულების
2𝑚+𝑛
2𝑚−𝑛
უმცირესი დადებითი მთელი მნიშვნელობა.

25
N7. წრფივ ერთუცნობიან უტოლობათა სისტემა:
ჩამოთვლილი რიცხვებიდან -10; 3; 7; 10 სისტემის
𝑥 − 5 < 0
𝑥 + 9 > 0
ამონახსენია:
ა) - 10 ბ) 3 გ) 7 დ)10
მოცემულია x > -2 და x < 3 , თუ ამ ორ უტოლობას ორმაგი
უტოლობის სახით ჩავწერთ მივიღებთ:
ა) 3 < x < - 2 ბ) 3 ≤ x ≤ - 2 გ) -2 ≤ x ≤ 3 დ) -2 < x < 3
თუ x > 3 და x < 9 მაშინ
1
𝑥
ეკუთვნის შუალედს.
ა) (3; 9) ბ) (
1
9
;
1
3
) გ)[3; 9] დ)
1
9
;
1
3
სისტემის
𝑥 ≥ 3
𝑥 + 5 ≤ 0
ამონახსნია
ა) [-5; -3] ბ) [-3; +∞) გ) Ø დ) (-∞; -5)

26
სისტემის
1
𝑥
<
1
5
1
𝑥
>
1
9
ამონახსნია
ა) (5; 9 ) ბ)
1
9
;
1
5
გ) [ 5; 9) დ)
1
9
;
1
5
თუ
𝑥−1
3
-ის მნიშვნელობა ეკუთვნის [2; 7] შუალედს, მაშინ x
ეკუთვნის
ა) [2; 7] ბ)[6, 21] გ) (7; 22) დ) [7; 22]
თუ
𝑥 ≤ −4
𝑥 > 𝑏
სისტემას არ აქვს ამონახსენი, მაშინ b ეკუთვნის
შუალედს
ა) – ∞; 5 ბ) – 4; ∞ გ) – 7; 8 დ) (–9; 11)
თუ
𝑥 ≤ −4
𝑥 ≥ 𝑏
სისტემას აქვს ერთადერთი ამონახსნი, მაშინ b =
ა) -4 ბ) - 3 გ) - 2 დ) 0

27
სამკუთხედის გვერდები მთელი რიცხვებით გამოისახება, რა
უმცირესი მთელი რიცხვი შეიძლება იყოს მესამე გვერდი, თუ
დანარჩენი ორი გვერდის სიგრძეებია 8სმ და 9სმ, ხოლო
პერიმეტრი არ აღემატება 32 სმ-ს.
სამკუთხედის გვერდები მთელი რიცხვებით გამოისახება რა
უდიდესი მთელი რიცხვი შეიძლება იყოს მესამე გვერდი, თუ
დანარჩენი ორი გვერდის სიგრძეა 11 სმ და 13 სმ, ხოლო
პერიმეტრი არ აღემატება 47სმ-ს.
A და B იახტაზე ერთად 71 მგზავრია.B-ზე უფრო მეტი მგზავრია
ვიდრე A-ზე. A-ზე მგზავრთა გაორკეცებისას უფრო მეტი
მგზავრი აღმოჩნდა ვიდრე B-ზე 33 მგზავრის დამატებისას.
იპოვეთ მგზავრთა რაოდენობა A და B იახტებზე?
150 ლ ტევადობის ავზში A მილიდან 1წთ-ში 15ლ წყალი
გაედინება, ხოლო B მილიდან წყალი ჩაედინება. 10 წთ-ში ავზში
მეხუთედზე მეტი და მესამედზე ნაკლები წყალი იყო. რამდენი
ლიტრი ჩაედინება B მილიდან 1წთ-ში, თუ წყლის რაოდენობა
მთელი რიცხვით გამოისახება?

28
N8. ფუნქციის მოცემის ხერხები; ფუნქციის თვისებები
x და y ცვლადებს შორის რომელი შესაბამისობაა ფუნქცია?
ა)
x -1 2 2
y 4 1 3
ბ)
x -2 3 -2
y 0 2 3
გ)
x -2 -1 0
y 1 2 3
ჩამოთვლილი წყვილებიდან რომელია ფუნქცია?
1) (2; 5) ; (3;7); (3;8) 2) (–1;5) (0;3) (1; 6)
3) (2;1) (2;0) (3;5) 4) (7;1) (0;7) (0;1)
ა) 1 ბ) 2 გ) 3 დ)4
ვთქვათ A არის ოთხი ახალგაზრდის სიმრავლე. A={ ლუკა,
თიკო; დათა; ანა}, ხოლო B არის იმ ქალაქების სიმრავლე სადაც
ეს ახალგაზრდები ცხოვრობენ: ლუკა ცხოვრობს თბილისში,
თიკო – ბათუმში, დათა – ფოთში, ანა – ქუთაისში. B=
{თბილისი; ბათუმი; ფოთი; ქუთაისი}. არის თუ არა A –სა და B –
ს შორის დამოკიდებულება ფუნქცია? ბ) არ არისგ) დადგენა
შეუძლებელია

29
გრაფიკის მიხედვით უპასუხეთ 8.4–8.7 ტესტებს
ფუნქციის განსაზღვის არეა:
ა) [–4; 3] ბ) [–5; 3]
გ) [–3; 3] დ) (–4; 3)
ფუნქციის მნიშვნელობათა სიმრავლეა:
ა) [–4; 3] ბ) [–5; 3]
გ) [–3; 3] დ) (–4; 3)
A(-4;3 )
0 )
B (3 ;-3)

30
რომელი გამოსახულებაა ჭეშმარიტი
ა) f(-3)>f(0) ბ) f(2)>f(1)
გ) f(-1)=0 დ) f(–4)<f( 3)
ფუნქცია უარყოფითია
ა) [–4; 1) ბ) (1; 3] გ) [–2; 2] დ) (–4; 3)
თუ f(x)=10x-5, მაშინ f(-2)=
ა) –15 ბ) 15 გ) –5 დ) –25
F(x) ლუწი პერიოდული ფუნქციაა, უმცირესი პერიოდია 6;
იპოვეთ F(–9), თუ F(3)=1

31
F(x) კენტი პერიოდული ფუნქციაა, უმცირესი პერიოდია 8;
იპოვეთ F(–9), თუ F(1)=3
ერთი მანქანა ღირს 15ლ, ერთი თოჯინა 10ლ; უნდა იყიდონ 30
სათამაშო.
ა) დაწერეთ ფუნქცია f: მანქანების რაოდენობა→გადახდილი
თანხა;
ბ) დაადგინეთ ამ ფუნქციის განაზღვრის არე;
გ) იპოვეთ ამ ფუნქციის უდიდესი და უმცირესი
მნიშვნელობა.
მოცემულია ფუნქცია 𝑓 𝑥 =
𝑥 + 2, 𝑥 < −3
2, − 3 ≤ 𝑥 ≤ 3
−𝑥 + 2, 𝑥 > 3
იპოვეთ: ა) f(-5); f(0); f(5)
ბ) ამ ფუნქციის განსაზღვრია არე;
გ) ამ ფუნქციის მნიშვნელობათა სიმრავლე.

32
N9. წრფივი ფუნქცია.
ჩამოთვლილთაგან y =
1
5
x + 3 y =
1
5𝑥
+ 3 y =
3𝑥+5
𝑥
y = x 2 + 5
წრფივი ფუნქციაა:
ა) y =
1
5
x + 3 ბ) y =
1
5𝑥
+ 3
გ) y =
3𝑥+5
𝑥
დ) y =x2 +3
y = (3 - 11) x + 4 ფუნქცია:
ა) ზრდადია
ბ) კლებადია
გ) მუდმივია
დ) ზრდადობისა და კლებადობის შუალედების დადგენა
შეუძლებელია
y = 7x -14 ფუნქციის გრაფიკი ორდინატთა ღერძს კვეთს
წერტილში
ა) (0; 2) ბ) (2; 0) გ) (-14; 0) დ) (0; -14)

33
y = 5x – 15 ფუნქციის გრაფიკი აბსცისათა ღერძს კვეთს
წერტილში:
ა) (0; -15) ბ) (0; 3) გ) (3; 0) დ) (-15; 0)
თუ y = kx + 5 გადის (2; -3) წერტილზე მაშინ k =
ა) 4 ბ) -4 გ) 2 დ) -3
თუ y = -3x + b ფუნქციის გრაფიკი გადის წერტილზე (-1; 5) მაშინ
b =
ა) 5 ბ)-1 გ) -2 დ) 2
y = -4x + 12 ფუნქციის ნულია:
ა) 3 ბ)- 4 გ) 12 დ) 0

34
y = -
1
3
𝑥 + 1 ფუნქცია დადებითია შუალედში:
ა) (-∞ ; +∞ ) ბ) (3; +∞ ) გ) (-∞ ; 3) დ) (0; +∞ )
მოცემულია, რომ y = kx + b გადის წერტილებზე (2; -3) და (-2; 5)
იპოვეთ k და b
იპოვეთ g(x) = -7x + 5 და f (x) = - 5x + 9 ფუნქციების გადაკვეთის
წერტილის კოორდინატები.
გრაფიკის მიხედვით დაადგინეთ k-ს და b-ს ნიშნები.
y
x
Y=kx -b

35
მოცემულია ფუნქცია y =
3𝑥 + 1 თუ 𝑥 ≥ 1
−3𝑥 + 1 თუ 𝑥 < 1
იპოვეთ ამ
ფუნქციის ზრდადობისა და კლებადობის შუალედები.
N10. კვადრატული ფუნქციის თვისებები.
y = ax2 + 5x + 3 ფუნქციის შესაბამისი პარაბოლის შტოები
მიმართულია ქვევით მაშინ:
ა) a ≥ 0 ბ) a < 0 გ) a = 0 დ)a > 0
თუ y = ax2 + bx + c ფუნქციის შესაბამისი პარაბოლა ეხება
აბსცისათა ღერძს, მაშინ
ა) D-ს ნიშნის დადგენა შეუძლებელია
ბ) D < 0
გ) D > 0
დ)D = 0

36
y = 2(x – 3)2 + 5 პარაბოლას წვეროს კოორდინატებია:
ა) (3; 5) ბ) (−3; 5) გ)(3; - 5) დ) (-3; 5)
y = x2 – 9x + 11 ფუნქციის გრაფიკი ბსცისათა ღერძს კვეთს:
ა) ერთ
ბ) არ კვეთს გ) ორ
დ) სამ
y = -2x2 + 6x + 3 ფუნქციის ზრდადობის შუალედია:
ა) (-∞; 1,5) ბ) (1,5; +∞ )
გ) [-1,5; ∞) დ) (-∞ ; -1,5]
y = 4x2 – 12x + 1 ფუნქციის მნიშვნელობათა სიმრავლეა:
ა) (-∞; -8] ბ)[-8;+∞]
გ) [8; +∞) დ) (-∞; 8]

37
y = -5x2+ 10x + 7 ფუნქციისგრაფიკის სიმეტრიის ღერძია წრფე:
ა) x = -1
ბ) x = 10
გ) x = 1
დ) x = 5
y = 9x2 – 14x – 5 ფუნქციის გრაფიკი y ღერძს კვეთს წერტილში.
ა)(0; -5)
ბ) (- 5; 0)
გ) (9; 0)
დ)(0; 9)
იპოვეთ y = x2 + bx + c ფუნქციის b და c კოეფიციენტები თუ ამ
ფუნქციის გრაფიკი ორდინატთა ღერძს კვეთს (0; 3) წერტილში
და სიმეტრიის ღერძია x = -2 წრფე.
იპოვეთ b, c რიცხვები, თუ y = -x2 +bx +c, ფუნქცია ნული ხდება
მხოლოდ x = -3 მნიშვნელობისათვის.

38
y=x2
+bx+c formuliT mocemuli funqciis grafikis y
RerZTan gadakveTis wertilis ordinatia 6. garda
amisa, parabolis wvero meoTxe meoTxedSia da misi
ordinati _10-ia tolia.
ipoveT b da c koeficientebi.

39
N11. კვადრატული ფუნქციის ნულები.
კვადრატული განტოლების ფესვები.
y = - 2x2 ფუნქციის ნულებია:
ა) 0 და - 2 ბ) ± 2 გ) ±1 დ) 0
y = -
1
25
x2 +
1
5
x ფუნქციის ნულებია:
ა) 0 ბ) 0; 5 გ) 0; -5 დ)Ø
y = 4x2 – 9 ფუნქციის ნულებია:
ა) ±
2
3
ბ) ± 3 გ)±
3
2
დ) Ø
თუ bx2+6x +1 = 0 განტოლებას აქვს ერთი ფესვი მაშინ b =
ა) 9 ბ) 4 გ) -9 დ) 0

40
თუ 5x2 - 3x +c = 0 განტოლების ფესვია 1 მაშინ c =
ა) 3 ბ) 5 გ) -2 დ) 0
თუ ax2 +7x + 9 = 0 განტოლების ფესვია -1 მაშინ a =
ა) -2 ბ)0 გ) 7 დ) 9
6x2- x -1 = 0 განტოლების ფესვებია:
ა) -2; - 3 ბ) 2; 3
გ) -
1
2
;
1
3
დ) -
1
3
;
1
2
3x2 – 8x – 11= 0 განტოლების ფესვებია:
ა)1; - 3
2
3
ბ) - 1; 3
2
3
გ)
1
3
; 8 დ) 3
2
3
; - 8

41
იპოვეთ b-ს მნიშვნელობები, თუ bx2 + (b – 3) x + 1 = 0
განტოლებას აქვს ერთი ფესვი
c-ს რა მნიშვნელობებისათვის არა აქვს -2x2 + 6x + c = 0
კვადრატულ განტოლებას ფესვები?
მოცემულია ფუნქციის y = ax2+bx+c გრაფიკი დაადგინეთ a, b, c
კოეფიციენტების ნიშნები
y
x

42
მოცემულია ფუნქციის y = ax2 +bx+c გრაფიკი დაადგინეთ a, b, c
კოეფიციენტების ნიშნები
y
x
N12. ვიეტის თეორემა; კვადრატული სამწევრის
დაშლა მამრავლებად.
x2-9x – 11 = 0 განტოლების ფესვთა ჯამია:
ა) 1
ბ) 9
გ) -11
დ)-9

43
x2-9x –11 = 0 განტოლების ფესვთა ნამრავლია:
ა) 1 ბ) 9 გ) -11 დ)11
5x2 – 15x + 1 = 0 განტოლების ფესვთა ჯამია:
ა) 3 ბ) 5 გ)-15 დ) 1
5x2 – 14x + 5 = 0 განტოლების ფესვთა ნამრავლია:
ა) 5 ბ) 14 გ) -14 დ) 1
x2-15x + 14 =
ა) (x - 1)(x –
14)
ბ) (x + 1)(x +
14)
გ) (x - 1)(x +14) დ) (x +1)(x –
14)

44
3x2 – 7x + 4 =
ა) (x – 1)(x-
4
3
)
ბ)(x – 1)(3x – 4)
გ) (x + 1)(x +
4
3
)
დ) (x + 1)(3x +4)
თუ წილადს
𝑥2−4
2𝑥2−3𝑥−2
შევკვეცავთ მივიღებთ:
ა)
𝑥−2
2𝑥−1
ბ)
𝑥+2
2𝑥−1
გ)
2𝑥−1
2𝑥−1
დ)
𝑥+2
2𝑥+1
განტოლებას რომლის ფესვებია 𝑥1 = 12 𝑥2 = −11,აქვს
სახე:
ა)x2 – x – 132 =
0
ბ) x2 +x – 132 =
0
გ) x2 + x + 132
= 0
დ)x2 – x + 132 =
0
შეადგინეთ კვადრატული განტოლება, რომლის ფესვები 4-ჯერ
მეტია x2 – 5x + 2 = 0 განტოლების ფესვებზე.

45
დაადგინეთ x2 – 11x + 9 = 0 განტოლების ფესვების ნიშნები.
იპოვეთ p თუ x2 -3x + p = 0 განტოლების ფესვების კვადრატების
ჯამი ტოლია 7-ის.
იპოვეთ q თუ x2 -4x + q = 0 თუ განტოლების ფესვების კუბების
ჯამი უდრის 28.
N13. კვადრატული უტოლობა; უტოლობის
ამოხსნა ინტერვალთა მეთოდით.
უტოლობის x2-5x + 4 > 0 ამონახსნია
ა) (-∞; 1)U(4; +∞) ბ) [1; 4]
გ) (1; 4) დ)(4; +∞)

46
უტოლობის - x2+2x -10> 0 ამონახსნია
ა) (-∞; +∞) ბ) Ø გ) (0; +∞) დ)(-∞; 0)
უტოლობის - x2+ 2x -10< 0 ამონახსნია
ა) Ø ბ) (0; +∞) გ) (-∞; +∞) დ) (-∞; 0)
უტოლობის 2x2- 5x +3≤ 0 ამონახსნია
ა) (-∞; 1]
ბ) [
3
2
; +∞ )
გ) (-∞; +∞)
დ) [1;
3
2
]
უტოლობის x2- 6x + 9 ≤ 0 ამონახსნია
ა) {3} ბ) {9}
გ) (-∞; 3] დ) [3; +∞)

47
უტოლობის x(x – 6) – 3 < 13 ამონახსნია
ა) (-2; + ∞) ბ) (-2; 8) გ) (8; + ∞) დ) (-∞; -2)
y = 4x2 – 9 ფუნქცია უარყოფითია შუალედში
ა) (-
2
3
;
2
3
) ბ) (-∞;
2
3
)U(
2
3
;+ ∞)
გ) [-
2
3
;
2
3
] დ) (-∞;
2
3
)U[
2
3
;+ ∞)
y = x(x – 2)(x + 3)(x – 4) ფუნქცია არადადებითია როცა:
ა)[-3; 0)U[2; 4)
ბ) (-∞; -3)U(0; 2)U(4; + ∞)
გ) [-3; 0]U[2;4]
დ)(-∞; -3)U[0; 2]U[4; + ∞)
იპოვეთ a-ს ყველა მნიშვნელობა, რომლისთვისაც y =
𝑥2 − 𝑎𝑥 + 25 ფუნქციის განსაზღვრის არეა R.

48
ცნობილია, რომ f(x) = 5x – 4 ამოხსენით უტოლობა: 𝑓 2𝑥2
−
5𝑥≤9𝑥2−22𝑥
ამოხსენით უტოლობა :
𝑥(𝑥−2)2(𝑥+3)(𝑥−5)
(𝑥−6)2 ≥ 0
შეადგინეთ x2 + bx + c სახის სამწევრი, რომელიც მხოლოდ და
მხოლოდ -1 <x < 3-ისათვის იქნება ნაკლები x-ზე.
N14. მთელი და წილადური განტოლებები.
განტოლებები, რომლებიც კვადრატულზე დაიყვანება.
ჩამოთვლილთაგან კვადრატული განტოლებაა:
ა) x2+ 2x+3 = 0
ბ) x4 – 2x2 – 3 = 0
გ) x3 -3x2+ 4 = 0
დ)x4-3x3- 5 = 0

49
იმისათვის, რომ ამოვხსნათ განტოლება x4 – 10x2 + 9 = 0 საჭიროა
შემოვიტანოთ აღნიშვნა:
ა) y = x +2 ბ) y = x4 გ) y = x2 + 1 დ)y = x2
იმისათვის, რომ ამოვხსნათ განტოლება (x2+2x)2 + (x2 +2x) - 5 = 0
საჭიროა შემოვიტანოთ აღნიშვნა:
ა)y = x2 + 2x ბ) y = x2 გ)y = x2 – 2x დ) y = x2 + 2
თუ ბიკვადრატული განტოლების ფესვებია x =± 2 და x = ± 1,
მაშინ ამ განტოლებას აქვს სახე:
ა) x2 +5x + 4 = 0 ბ) x2-5x + 4 = 0
გ) x4 – 5x2+4=0 დ) x4+ 5x2+4=0
იმისათვის, რომ ამოვხსნათ განტოლება x6 – 21x3-49 = 0 საჭიროა
ა) y = x2 ბ) y = x6 გ) y = x3 დ) y = x4

50
იმისათვის, რომ ამოვხსნათ განტოლება
𝑥
𝑥+1
−
2𝑥
𝑥+1
= 1 საჭიროა
ა) y =
𝑥
𝑥+1
ბ)y = x + 1 გ) y = x - 1 დ) y = x(x + 1)
იმისათვის, რომ ამოვხსნათ განტოლება (x2+5x –4)(x2+5x-3) = 50
ა) y = x2 ბ) y = 5x - 4 გ) y = x2 - 4 დ) y = x2 + 5x
იმისათვის, რომ ამოვხსნათ განტოლება (x2-3x +7)2+6x2-18x =98
ა)y = x2 + 7 ბ) y = x2 – 3x გ) y = 7 – 3x დ) y = x2
ამოხსენით განტოლება : 5x2 + 7x +
5
𝑥2 +
7
𝑥
= 24

51
ამოხსენით განტოლება : (x2–4x)2-3(x -2)2= 6
ამოხსენით განტოლება :
𝑥2+3𝑥+2
𝑥2+3𝑥+3
+
𝑥2+3𝑥+3
𝑥2+3𝑥+4
=
1
2
ამოხსენით განტოლება : (x + 7)(x - 2)(3x2 + 15x + 11) = 18
N15. ამოცანების ამოხსნა კვადრატული
განტოლებების გამოყენებით.
ორი მომდევნო ნატურალური რიცხვის ნამრავლია 132. ამ
რიცხვების საპოვნელად საკმარისია ამოვხსნათ განტოლება:
ა) x(x + 2) = 132
ბ)
𝑥
𝑥+1
= 132
გ) x+(x +1) = 132
დ)x(x +1) = 132

52
მართხკუთხედის ერთი გვერდის სიგრძე 4სმ-ით მეტია მეორე
გვერდის სიგრძეზე. მართხკუთხედის ფართობია 60სმ2.
მართხკუთხედის გვერდების სიგრძეების საპოვნელად
საკმარისია ამოვხსნათ განტოლება:
ა)
𝑥
𝑥+4
= 60 ბ) x(x + 4) = 60
გ) x2 + (x + 4)2=602 დ)x2(x +4) = 60
ორი მომდევნო ლუწი რიცხვის ნამრავლია 168. ამ რიცხვების
საპოვნელად საკმარისია ამოვხსნათ განტოლება:
ა)
𝑥
𝑥+2
= 168 ბ) x2 +(x + 2)2 = 168
გ)x(x + 2)=168 დ) x2 – (x-2)2=168
მართხკუთხედის ერთი გვერდი 7სმ-ით მეტია მეორეზე,
დიაგონალი კი 13სმ. მართხკუთხედის გვერდების საპოვნელად
საკმარისია ამოვხსნათ განტოლება:
ა) x2 +(x + 7)2 = 132 ბ) x(x + 7) = 13
გ)
𝑥
𝑥+7
= 13 დ) (x + 7)2-x2 = 132

53
მატარებელი AB მანძილის გავლას და უკან დაბრუნებას უნდება
7სთ. უკან დაბრუნებისას ის სიჩქარეს ზრდის 40კმ/სთ-ით. თუ
AB = 480კმ, მაშინ თავდაპირველი სიჩქარის საპოვნელად
საჭიროა ამოვხსნათ განტოლება:
ა)
480
𝑥
−
480
𝑥+40
= 7
ბ) 480x+480(x +40)=7
გ)
480
𝑥
−
480
𝑥+40
= 7
დ) 480=7x(x+40)
მე-9 კლასის მოსწავლეები ერთმანეთს უცვლიან ფოტოსუ-
რათებს სულ სჭირდებათ 650 ფოტოსურათი. ამ კლასის
მოსწავლეების რაოდენობის საპოვნელად საჭიროა ამოვხსნათ
განტოლება:
ა) x(x+1) = 650
ბ)
𝑥(𝑥+1)
2
= 650
გ) x + (x + 1)=65
დ) x2 +(x+1)2=650

54
ერთი მილი ავზის ავსებას 4სთ-ით მეტ დროს ანდომებს, ვიდრე
მეორე მილი. ორივე მილი ერთად ავზს აავსებს 4,8 სთ-ში. იმის
გასაგებად თითოეული მილი ცალ-ცალკე რამდენ საათში ავსებს
ავზს, საჭიროა ამოვხსნათ განტოლება:
ა) 4,8x2-4,8(x+4)=1 ბ) 4,8x+4,8(x+4)=1
გ) 4,8x(x+4)=1 დ)
4,8
𝑥
+
4,8
𝑥+4
= 1
საჭადრაკო ტურნირზე მონაწილეები მხოლოდ ერთხელ
შეხვდნენ ერთმანეთს. რამდენი მონაწილე იყო ტურნირზე, თუ
სულ 55 პარტია გათამაშდა? ტურნირზე მონაწილეთა
რაოდენობის დასადგენად საჭიროა ამოხსნა შემდეგი განტო-
ლება:
ა) x(x-1)=55 ბ)
𝑥(𝑥−1)
2
=55 გ) x(x+1)=55 დ) x(x-1)+x=55
ბრიგადას უნდა შეეკერა კოსტუმები გარკვეულ დროში; თუ
ისინი დღეში შეკერავენ 15 კოსტუმით მეტს, მაშინ სამუშაოს
დაამთავრებენ 5 დღით ადრე. რამდენი კოსტუმი უნდა შეეკერა
ბრიგადას დღეში?

55
ორი მგზავრი ერთი წერტილიდან გავიდა. ერთი ჩრდილო-
ეთით, მეორე აღმოსავლეთით. I-ის სიჩქარე 1კმ/სთ-ით მეტი იყო
მეორის სიჩქარეზე. 2სთ-ის შემდეგ მათ შორის მანძილი იყო
10კმ. იპოვეთ თითოეულის სიჩქარე.
ერთი მილი ავზს 6სთ-ით უფრო სწრაფად ავსებს ვიდრე მეორე,
თუ I მილს გავხსნით 3სთ-ით, ხოლო შემდეგ მეორე მილსაც
გავხსნით, მაშინ ავზის დარჩენილი ნაწილი გაივსება 2სთ-ში,
რამდენ საათში ავსებს ავზს თითოეული მილი ცალცალკე?
ორნიშნა რიცხვის ერთეულების ციფრი 3-ით მეტია ათეულების
ციფრზე, თუ ამ რიცხვს გავამრავლებთ ერთეულების რიცხვზე
მივიღებთ 125. იპოვეთ საძიებელი რიცხვი.

56
N16. ნაშთთა კლასები
თუ 𝐾0; 𝐾1 ; 𝐾2 ; 𝐾3; 𝐾4 ; 𝐾5 ; 𝐾6 . 7-ზე გაყოფით მიღებული
ნაშთთა კლასებია a € 𝐾3 ; b € 𝐾3 , მაშინ რომელ კლასს ეკუთვნის
a + b?
ა) a + b € 𝐾6 ბ) a + b € 𝐾3 გ) a + b € 𝐾0 დ)a + b € 𝐾4
a - b?
ა) a - b € 𝐾3 ბ) a - b € 𝐾0 გ) a - b € 𝐾4 დ)a - b € 𝐾2
b – a ?
ა)b - a € 𝐾1 ბ) b - a € 𝐾2 გ)b - a € 𝐾0 დ) b - a € 𝐾3

57
ნაშთთა კლასებია a € 𝐾3 ; b € 𝐾3 , მაშინ რომელ კლასს
ეკუთვნისab ?
ა) ab € 𝐾0 ბ) ab € 𝐾3 გ) ab € 𝐾1 დ) ab € 𝐾2
2a - b ?
ა) 2a – b€ 𝐾5 ბ) 2a – b € 𝐾0 გ)2a – b € 𝐾1 დ) 2a – b € 𝐾3
-29-ის 5-ზე გაყოფის ნაშთია :
ა) 5 ბ)1 გ) 2 დ) 0
-117-ის 7-ზე გაყოფის ნაშთია :
ა) 5 ბ) 3 გ) 2 დ) 0

58
რა ციფრით ბოლოვდება 319
?
ა)1 - ით ბ)3 - ით გ) 9 - ით დ)7 - ით
რა ციფრით ბოლოვდება სხვაობა 635
- 541
რა ციფრით ბოლოვდება 4242
?
იპოვეთ ნაშთი (n3 + 2n2 + n + 1) : (n + 1)
იპოვეთ 32014
ბოლო ციფრი.

59
N17. შედარებები
თუ 15 ≡?(mod4) მაშინ, ჩამოთვლილთაგან რომელია სწორი:
ა) 15 ≡ 3(mod4)
ბ) 15 ≡4(mod4)
გ) 15 ≡5(mod4)
დ)15 ≡6(mod4)
თუ a = 7n + 4 მაშინ a≡? (mod7)
ა) a ≡ 5 𝑚𝑜𝑑7
ბ) a ≡ 4(𝑚𝑜𝑑7)
გ) a ≡ 8 𝑚𝑜𝑑7
დ)a ≡ 9(𝑚𝑜𝑑7)
თუ a = 𝐴971მაშინ a ≡? mod(3)
ა)a ≡ A(mod3)
ბ) a ≡9+7+1(mod3)
გ) a ≡ ( A+9+7+1)(mod3)
დ) a ≡ A971(mod3)

60
თუ a = 4n+1 მაშინ a ≡ 1(mod?)
ა) a ≡ 1 𝑚𝑜𝑑5 ბ) a ≡ 1(𝑚𝑜𝑑3)
გ) a ≡ 1 𝑚𝑜𝑑7 დ) a ≡ 1(𝑚𝑜𝑑4)
თუ 17≡ 1(mod4) 23 ≡ 3(mod4) მაშინ ე. ი. a = 17 და b = 1 და c =
23 და d = 3. მაშინ ac≡?(mod4)
ა) 391≡3(mod4) ბ) 391≡5(mod4)
გ)391≡3(mod4) დ) 391≡8(mod4)
718
სადარი რიცხვი 10-ის მოდულით არის
ა) 2 ბ)9 გ) 5 დ) 7
331
-ის სადარი მოდულით 10
ა) 5 ბ) 6 გ) 7 დ) 9

61
535
-ის სადარი 10-ის მოდულით არის
ა)4 ბ)3 გ) 7 დ)5
2014 წლის 27 აპრილი არის კვირა დღე, რა დღე იქნება, ამავე
წლის 15 ნოემბერი?
2014 წლის 28 აპრილი ორშაბათია - მაშინ რა დღე იქნება ამავე
წლის 10 დეკემბერი?
იპოვეთ (332
− 1) ≡? mod(17)
იპოვეთ: (822
− 816
) ≡? mod(7)

62
N18. განტოლებათა სისტემები
𝑥 + 𝑦 = 12
𝑥𝑦 = 35
სისტემის ამონახსნია
ა) (5; 7)(7; 5) ბ) (-5; 7)(7;-5) გ) (-5; -7)(-7;
5)
დ)(5; -7)(-7; 5)
𝑥 − 𝑦 = 6
𝑥𝑦 = 55
ა) (-5; -11)(-11; 5)
ბ) (-5; -11)(11; 5)
გ) (-5; -11)(-11,5)
დ)(-5; 11)(11, -5)
2𝑥 − 𝑦 = 1
2𝑥𝑦 = 42
ა) (3; 7)(-3,5; 6)
ბ) (-3,7)(3, 5; 6)
გ) (-3; -7)(3,5; 6)
დ) (-3,7)(-3,5; 6)

63
3𝑥 + 5𝑦 = 30
𝑥𝑦 = 15
ა) (5; -3) ბ) (-5; 3) გ) (-5; -3) დ) (5; 3)
𝑥2
+ 𝑦2
= 101
𝑥 + 𝑦 = 11
ა) (10; 1) (1; 10)
ბ) (10; -1) (-10; 1)
გ)(10; 1) (-10; 1)
დ) (-10;1) (1; -10)
𝑥2
− 𝑦2
= 64
3𝑥 + 5𝑦 = 0
ა) (10; -6)(10; 6)
ბ)(-10; 6)(10; -6)
გ) (-10; -6)(-10; 6)
დ) (-10; -6)(10; -6)

64
1
𝑥
+
1
𝑦
=
5
12
𝑥 + 𝑦 = 10
ა) (-4; 6)(6; 4) ბ) (-4; -6)(-6; 4)
გ) (4; 6)( 6; 4) დ) (-4; -6)(-6; -4)
𝑥2
+ 𝑦2
= 25
𝑥𝑦 = 12
ა)(±3; ±4)(±4; ±3) ბ)(3; -4)(-3; 4)
გ) (-4; -3)(4; -3) დ)(4; 3)(3; -4)
1
𝑥
+
1
𝑦
=
1
2
𝑥 + 𝑦 = 8
ამოხსენით განტოლებათა სისტემა.
𝑥2
− 3𝑥𝑦 + 𝑦2
= −1
3𝑥2
− 𝑥𝑦 + 3𝑦2
= 13

65
x − y = 6(x + y)
𝑥2
− 𝑦2
= 6
𝑥3
+ 𝑦3
= 35
𝑥 + 𝑦 = 5
19. ამოცანების ამოხსნა განტოლებათა
სისტემის შედგენაზე
ტესტი 19. 1 (1 ქულა)
თუ ორი რიცხვის ჯამია 49, ხოლო ნამრავლი 600, მაშინ ამ
რიცხვების საპოვნელად საკმარისია ამოვხსნათ განტოლებათა
სისტემა:
ა)





60
49
xy
yx
ბ)





600
49
xy
yx
გ)





60
49
yx
xy
დ)





600
49
yx
xy

66
თუ მართკუთხედის პერიმეტრი 82 სმ-ია, ხოლო დიაგონალი 29
სმ, მაშინ მართკუთხედის გვერდების საპოვნელად საკმარისია
ამოვხსნათ განტოლებათა სისტემა:
ა)





29
82
xy
yx
ბ)





82
2922
yx
yx
გ)
 





29
822
22
yx
yx
დ)
 





222
29
822
yx
yx
ტესტი 19. 3 (1 ქულა
თუ ოთხნიშნა რიცხვი 45-ით მეტია იმავე ციფრებით მაგრამ
შებრუნებული მიმდევრობით ჩაწერილ რიცხვზე, ხოლო ამ
ორნიშნა რიცხვის განაყოფი ამ რიცხვების ციფრთა ნამრავლზე
არის 5 და ნაშთი 2, მაშინ ამ რიცხვების საპოვნელად საკმარისია
ა)





2510
45)10()10(
xyyx
xyyx
ბ)





2510
451010
xyyx
xyyx
გ)





2510
45)10)(10(
xyyx
xyyx
დ)









2510
45
10
)10(
xyyx
yx
yx

67
თუ 4 სთ-ში გემმა დინების მიმათულებით 120 კმ და დინების
საწინააღმდეგო მიმართულებით 100 კმ გაიარა, ხოლო იგივე
დროში მან დინების მიმართულებით 180 კმ და დინების
საწინააღმდეგოდ 50 კმ გაიარა, მაშინ გემის მდინარის დინების
მიმართულებით სიჩქარისა და დინების საწინააღმდეგო
მიმართულებით სიჩქარის საპოვნელად საჭიროა ამოვხსნათ
განტოლებათა სისიტემა:
ა)









4
100180
4
100120
xy
yx
ბ)







4
200100
4
yx
xy
გ)









4
50180
4
100120
xy
yx
დ)









4
100120
4
yx
y
x

68
ორი რიცხვის სხვაობა ტოლია 4-ის, ხოლო ამ რიცხვების
ნამრავლია 165; იმისათვის რომ ვიპოვოთ ეს რიცხვები საჭიროა
ა)





4
165
xy
yx
ბ)







165
4
y
x
yx
გ)





165
4
xy
yx
დ)





165
4
xy
yx
მართკუთხა სამკუთხედის ფართობია 30 სმ2 და ჰიპოტენუზა
ტოლია 13-ის. იმისათვის, რომ ვიპოვოთ სამკუთხედის
კათეტები საჭიროა ამოვხსნათ განტოლებათა სისტემა:
ა)





222
30
13
yx
xy
ბ)







222
13
30
2
1
yx
xy
გ)





222
13
30
yx
xy
დ)





222
30
13
yx
xy

69
თუ ერთ მილს გავხსნით 4 სთ-ით, ხოლო მეორე მილს 12 სთ-ით,
მაშინ ავზი აივსება ავზის
6
5
ნაწილი, თუ პირველ მილს
გავხსნით 8 სთ-ით, ხოლო მეორე მილს 6 სთ-ით, მაშინ ავზი
აივსება მთლიანად. იმისათვის რომ ვიპოვოთ რამდენ საათში
აავსებს თითოეული მილი ცალ0ცალკე საჭიროა ამოვხსნათ
განტოლებათა სისტემა:
ა)









1
68
6
5124
yx
yx
ბ)









1
68
6
5124
yx
yx
გ)









1
68
6
5124
yx
yx
დ)









1
68
6
5124
yx
yx

70
თუ ორნიშნა რიცხვს გავყოფთ მის ციფრთა ჯამზე, მიიღება 5 და
ნაშთი 13, ხოლო თუ ამ რიცხვს გავყოფთ ციფრთა ნამრავლზე,
მაშინ მიიღება 1 და ნაშთი 16. იმისათვის , რომ ვიპოვოთ ეს
რიცხვი საჭიროა ამოვხსნათ განტოლებათა სისტემა:
ა)





1310
13)(510
xyyx
yxyx
ბ)





1610
13510
xyyx
xyyx
გ)





1610
13)(510
xyyx
yxyx
დ)





1610
13510
xyyx
xyyx
თუ მართკუთხედის სიგანეს გავადიდებთ 2 სმ-ით, ხოლო
სიგრძეს შევამცირებთ 2 სმ-ით მართკუთხედის ფართობი
შემცირდება 2 სმ2-ით. იპოვეთ მართკუთხედის სიგრძე და
სიგანე, თუ თავდაპირველი მართკუთხედის ფართობია 72 სმ2.
იპოვეთ ორნიშნა რიცხვი, თუ ამ რიცხვს გავყოფთ ციფრთა
ჯამზე, მაშინ მიიღება 6 და ნაშთი 3, ხოლო თუ ამ რიცხვს
გავყოფთ ციფრთა ნამრავლზე მიიღება 2 და ნაშთი 5.

71
ორი მანქანა ერთმანეთის შესახვედრად ერთდროულად A და B
პუნქტებიდან გამოვიდა. შეხვედრის შემდეგ მათ შეუჩერებლად
განაგრძეს გზა და A-დან გამოსული B-ში ჩავიდა 48 წთ-ში,
ხოლო B-დან გამოსული A-ში ჩავიდა 1 სთ 48 წთ-ში. იპოვეთ
ავტომანქანის სიჩქარეები, თუ შეხვედრისა აღმოჩნდა რომ A-
დანგამოსულ ავტომობილს 30 კმ-ით მეტი ჰქონდა გავლილი,
ვიდრე B-დან გამოსულს.
ძროხების გამოსაკვებად დამზადებული იყო რამდენიმე დღის
თივის მარაგი. ძროხების რიცხვი 5-ით მეტი რომ ყოფილიყო,
მაშინ თივის მარაგი იკმარებდა ვადაზე 3 დღით ნაკლებ დროს.
ძროხების რიცხვი 5-ით ნაკლები რომ ყოფილიყო მაშინ თივის
ეს მარაგი იკმარებდა 5-ით მეტ დღეს. რამდენიძროხა იყო და
რამდენი დღისთვის ოყო დამზადებული თივის მარაგი.

72
20. წრფივი ორუცნობიანი უტოლობისა და
უტოლობათა სისტემის გეომეტრიული წარმოდგენა





1025
532
yx
yx
უტლობათა სისტემის ერთ-ერთი ამონახსნია:
ა) (1;3) ბ) (0;2) გ) (3;1) დ) (5;-1)
ჩამოთვლილთაგან რომელი უტოლობთა სისიტემის ამონახსნია
(2;-2) რიცხვითი წყვილი:
ა)








4
2
12
2
y
x
y
x
ბ)








4
2
2
12
2
y
x
y
x
გ)





43
14
yx
yx
დ)





143
14
yx
yx
თუ 0405  byx უტოლობის ერთ-ერთი ამონახსნია (10;-2),
მაშინ b
ა) b<0 ბ)b>5 გ)b<5 დ) b<-5

73





2
5
yx
yx
უტოლობათა სისტემას აქვს ამონახსნთა
ა) ერთი წყვილი
ბ)უამრავი ამონახსნი
გ)არა აქვს ამონახსნი
დ) ამონახსენთა რაოდენობის დადგენა შეუძლებელია





2
5
yx
yx
უტოლობათა სისტემას აქვს ამონახსნთა
ა) ერთი წყვილი
ბ)უამრავი ამონახსნი
გ)არა აქვს ამონახსნი
დ) ამონახსენთა რაოდენობის დადგენა შეუძლებელია

74
თუ 45  yax უტოლობის ერთ-ერთი ამონახსნია (-2;4), მაშინ a
ა) a<-12 ბ)a<10 გ)a<0 დ) a>12
უტოლობათა სისტემა, რომლის ამონახსნიც ნახაზზეა ნაჩვენები
არის
ა)





3
3
x
y
ბ)





3
3
x
y
გ)





3
3
x
y
დ)





3
3
x
y

75
უტოლობათა სისტემა, რომლის ამონახსნიც ნახაზზეა ნაჩვენები
არის
ა)





33
22
y
y
ბ)





3
2
x
y
გ)





2
3
x
y
დ)





2
3
y
x
ამოხსენით გრაფიკულად განტოლებათა სისტემა:





42
63
yx
yx
ამოხსენით გრაფიკულად განტოლებათა სისტემა





093
03
xy
xy

76
ამოხსენით გრაფიკულად








01634
4
1
xy
y
y
განტოლებათა
სისტემა და იპოვეთ მიღებული ფიგურის პერიმეტრი.
ამოხსენით გრაფიკულად განტოლებათა სისტემა








05
05
2
xy
xy
x
და იპოვეთ მიღებული ფიგურის ფართობი.
N21. მიმდევრობა. რეკურენტული წესით
მოცემული მიმდევრობები. არითმეტიკული
პროგრესია.
თუ მიმდევრობა მოცემულია ფორმულით 𝑎 𝑛 = 2𝑛2
− 5 მაშინ ამ
მიმდევრობის პირველი წევრი 𝑎1 =
ა) 13 ბ) -5 გ) 3 დ)-3

77
𝑎1 𝑎2 𝑎 𝑛 მიმდევრობის 𝑎25 -წევრის წინა წევრია:
ა) 𝑎 𝑛 ბ) 𝑎24 გ) 𝑎1 დ)𝑎26
თუ არითმეტიკული პროგრესიის 𝑎1 = 15 𝑎2 = 11 მაშინ d=
ა) 36 ბ) 4 გ) -4 დ)18
თუ არითმეტიკული პროგრესიის 𝑎2 = −34; 𝑎6 = −14 მაშინ d=
ა) 5 ბ) 20 გ) -1 დ) 2
გამოთვალეთ არითმეტიკული პროგრესიის მე-18 წევრი, თუ
𝑎1 = 1,5 𝑑 = 3
ა) 52,5 ბ) 50,5 გ) 45,5 დ) 55

78
მოცემულია 3, 18, 33 არითმეტიკული პროგრესია. გამოთვალე
მე-7 წევრი
ა) 91 ბ)93 გ) 81 დ) 83
იპოვეთ არითმეტიკული პროგრესიის უცნობი წევრები a1; 6, 5;
𝑎3; 7, 5
ა) 6, 4; 7, 4 ბ) 6; 7, 4 გ) 6; 7 დ) 6; 6, 5
თუ არითმეტიკული პროგრესიის მე-6 წევრი 78-ის ტოლია,
ხოლო, სხვაობა 9-ის ტოლია მაშინ ამ პროგრესიის პირველი ორი
წევრია:
ა) 32,42 ბ) 33,41 გ) 32,42 დ) 33,42
მოცემულია არითმეტიკული პროგრესია 23, 19...იპოვეთ ამ
პროგრესიის პირველი უარყოფითი წევრი

79
იპოვეთ 105, 100, 95 ... უმცირესი არაუარყოფითი წევრის ნომერი
სამკუთხედის პერიმეტრი 108 სმ-ის ტოლია გამოთვალეთ
საშუალო გვერდის სიგრძე თუ ისინი ადგენენ არითმეტიკულ
პროგრესიას.
მოცემულია
𝑎2 + 𝑎4 = 22
𝑎1 ∙ 𝑎2 = 21
იპოვეთ 𝑎1და d
N22. არითმეტიკული პროგრესიის n წევრის
ჯამის ფორმულა.
თუ არითმეტიკულ პროგრესიაში 𝑎1 = 3 სხვაობა d=2,5 მაშინ
პირველი 15-წევრის ჯამია:
ა) 307,5 ბ) 307 გ) 306,54 დ)308,5

80
თუ 101, 98, 95,... არითმეტიკული პროგრესიაა, მაშინ პირველი
20 წევრის ჯამია:
ა) 2580 ბ) 2590 გ) 2591 დ)2592
თუ არითმეტიკულ პროგრესიაშიa4 = 7; S9 = 81 მაშინ, ამ
პროგრესიის პირველი სამი წევრი
ა) 1, 3, 9 ბ) 1; 3; 6 გ) 1; 3; 5 დ)1; 3; 4
თუ𝑎1 = 5; 𝑎10 = 205; n =10; მაშინ არითმეტიკული
პროგრესიის n წევრის ჯამია:
ა) 1000 ბ) 1500 გ) 1505 დ)1050
თუ 𝑎1 = −10; 𝑎6 = −75; n=6, მაშინარითმეტიკული პროგრესიის
n წევრის ჯამი,
ა) -255 ა) -270 ა) -265 ა) -260

81
თუ 𝑎1 = 118; 𝑎7 = 10; n=10 მაშინ არითმეტიკული
პროგრესიის პირველი n წევრის ჯამია,
ა) 375 ა)370 ა) 380 ა) 385
თუ არითმეტიკული პროგრესიის 𝑎1 = 52; 𝑎29 = −4; n=32,
მაშინ პირველი n წევრის ჯამია,
ა) 674 ა) 676 ა) 672 ა) 678
თუ არითმეტიკული პროგრესიის d = -8; 𝑎10 = 5 მაშინ პირველი
10 წევრის ჯამია:
ა) 300 ა) 450 ა) 400 ა) 410
იპოვეთ არითმეტიკული პროგრესიის პირველი 20 წევრის ჯამი,
თუ ცნობილია, რომ
𝑎4 + 𝑎8 + 𝑎12 + 𝑎16 = 224

82
ამოხსენით განტოლება : 2 + 9 + ...x = 407
𝑆8 = 64 𝑆18 = 324 იპოვეთ 𝑆36
მოცემულია 𝑆3 = 15; 𝑆7 = 77; 𝑆 𝑛 = 222 იპოვეთ n.
N23. გეომეტრიული პროგრესია.
თუ მოცემულია გეომეტრიული პროგრესია 3, 9, 27 ... , მაშინ
პროგრესიის 𝑎8წევრი იქნება
ა) 6561
ბ) 661
გ) 3561
დ)2561

83
მოცემულია (b n) მიმდევრობა 𝑏1, 𝑏2, 16, 32, 64, …იპოვეთ
𝑏1, 𝑏2
ა) 2,8 ბ) 4; 8 გ) 2,4 დ)2; 6
თუ გეომეტრიული პროგრესიის მე-7 წევრი უდრის 15-ს, ხოლო
მნიშვნელი -5, მაშინ მე-9 წევრია:
ა) b9 = 275 ბ) b9 = 285 გ) b9 = 375 დ)b9 = 385
თუ მოცემულია გეომეტრიული პროგრესია 1280, 640, ... იმ
წევრის ნომერი, რომელიც უდრის 20 არის:
ა) 5 ბ) 6 გ) 8 დ)7
თუ 𝑏 𝑛გეომეტრიულ პროგრესიაში𝑏1=6561 q =
1
3
ამ
გეომეტრიული პროგრესიის იმ წევრის ნომერი რომელიც 27-ის
ტოლია არის:
ა) 6 ა) 7 ა) 5 ა) 8

84
იპოვეთ 𝑏 𝑛 გეომეტრიული პროგრესიის წევრთა რიცხვი და
წევრთა ჯამი 𝑏1=243, q =
1
3
,𝑏 𝑛= 3
ა) n=6; 363 ა)n=5 S=363 ა) n=7 S=369 ა) n=6 S=43
გამოიყვანეთ (𝑏 𝑛) პროგრესიის n - ური წევრის ფორმულა, თუ
𝑏1=2; 𝑏 𝑛+1 = 3𝑏 𝑛
ა) 𝑏 𝑛 = 2 ∙ 3 𝑛
ა) 𝑏 𝑛 = 2 ∙ 3 𝑛+1
ა) 𝑏 𝑛 = 2 ∙ 3 𝑛−1
ა) 𝑏 𝑛 = 3 𝑛−1
27-სა და 729-ს შორის ჩასვით ორი რიცხვი, რომლებიც მოცემულ
რიცხვებთან ერთად გეომეტრიულ პროგრესიას შეადგენენ.
ა) 9; 81 ა)9,243 ა) 81,127 ა) 81,243
იპოვეთ გეომეტრიული პროგრესიის პირველი 4 წევრი, თუ
ცნობილია, რომ ამ პროგრესიის მეორე წევრი 15-ით ნაკლებია
პირველზე, ხოლო მესამე 240-ით მეტია მეოთხეზე.

85
იპოვეთ გეომეტრიული პროგრესიის შემადგენელი ოთხი
რიცხვი, თუ ამ პროგრესიის მესამე წევრი 15-ით მეტია
პირველზე, ხოლო მეორე 30-ით მეტია მეოთხეზე.
სამი რიცხვი, რომელთაგანაც მესამე უდრის 12-ს შეადგენს
გეომეტრიულ პროგრესიას, ხოლო თუ 12-ის მაგივრად ავიღებთ
9-ს, მაშინ ეს რიცხვები შეადგენენ არითმეტიკულ პროგრესიას,
იპოვეთ ეს რიცხვები.
იპოვეთ ოთხი რიცხვი, რომლებიც შეადგენენ ისეთ
გეომეტრიულ პროგრესიას, რომლის კიდურა წევრების ჯამი –
98-ს უდრის, ხოლო შუა წევრთა ჯამი 28.

86
N24. გეომეტრიული გარდაქმნები: ღერძული
სიმეტრია ცენტრული სიმეტრია:
A(-2; 5) წერტილის სიმეტრიული წერტილი y ღერძის მიმართ
არის:
ა) A1(0; 5)
ბ) A1(2; -5)
გ) A1(2; 5)
დ)A1(-2; 5;)
B(-4; 3) წერტილის სიმეტრიული წერტილი x ღერძის მიმართ
არის:
ა) B1(-4; -3) ბ) B1(-4; 3) გ) B1(4; 3)
C(-1; 4) წერტილის სიმეტრიული წერტილი კოორდინატთა
სათავის მიმართ არის:
ა) C1(-1; -4) ბ) B1(-4; 3) გ) B1(4; 3)ბ) C1(1; 4) ბ) B1(-4; 3) გ) Bგ) C1(-1; 4) ბ) B1(-4; 3)დ) C1(1; -4)

87
თუ A(-1; 3) და B(5; 7) წერტილები სიმეტრიულია C(x;
y)წერტილის მიმართ მაშინ:
ა) C(4; 10) ბ) B1(-4; 3) გ) B1(4; 3)ბ) C(2; 5) ბ) B1(-4; 3) გ) Bგ) C(2; -5) ბ) B1(-4; 3)დ) C(-2; -5)
მოცემული ნახაზის მიხედვით
უპასუხეთ 24.5 –24.8 ტესტებს
y
●
A(3; 3)
x
D(-3; 3) B(3;- 3)
C(-3; 3)
●
● ●

88
A და B წერტილები სიმეტრიულია:
ა) OX ღერძის მიმართ
ბ)OY ღერძის მიმართ
გ) O წერტილის მიმართ
დ) არ არიან სიმეტრიულები არც წრფივის და არც წერტილის
მიმართ.
A და C წერტილები სიმეტრიულია:
ა) OX ღერძისმიმართ
გ) O წერტილისმიმართ
ბ)OY ღერძისმიმართ
დ) არარიანსიმეტრიულებიარცწრფივისდაარცწერტილისმიმართ.
B და C წერტილები სიმეტრიულია:
ა) OX ღერძისმიმართ
გ) O წერტილისმიმართ
ბ)OY ღერძისმიმართ
დ) არარიანსიმეტრიულებიარცწრფივისდაარცწერტილისმიმართ.

89
𝑆 𝑜𝑦 𝐴 𝑜 𝑆 𝑜𝑦 𝐵 =
ა) A ბ)B გ) C დ) D
ABCD პარალელოგრამის სამი წვეროა A(-2;1) B(1;7) C(9;7)
იპოვეთ D წვეროს კოორდინატები
ABC ტოლფერდა სამკუთხედში AB = BC; A(-2; -3) B(3; 4) იპოვეთ
C წერტილის კოორდინატები
ააგეთ ∆𝐴𝐵𝐶 − ის სიმეტრიული ფიგურა O წერტილის მიმართ.

90
ააგეთ ABCD პარალელოგრამის სიმეტრიული ფიგურა OY
ღერძის მიმართ.
N25. ვექტორი. მოქმედებები ვექტორებზე.
თუ𝑎(3; 5)და 𝑏(8;3)მაშინ 𝑎 + 𝑏 =
ა) (-5; 2) ბ) (5; 2) გ) (11; 8) დ)(-11; -8)

91
თუ𝑎(3; 5)და 𝑏(8;3)მაშინ 𝑎 − 𝑏 =
ა) (-5; 2) ბ) (5; 2) გ) (11; 8) დ) (-11; -8)
თუ 𝑑(−2; 4)მაშინ 5𝑑 =
ა)(-2; 4) ბ) (-10; 20) გ)(
2
5
;
4
5
დ) (-6; 12)
თუ𝑐 −6; 8 მაშინ 𝑎 =
ა) 14 ბ) -10 გ)2 დ) 10
თუ A(-2,5; -4,5) B(0,5; 1,5) C(3; 4) D(0; 2) მაშინ:
ა) 𝐴𝐵 = 𝐶𝐷
ბ) 𝐴𝐵 = 𝐷𝐶
გ) 𝐴𝐶 = 𝐵𝐷
დ) 𝐴𝐵 = 𝐶𝐷

92
თუ 𝑎 −1; 2 𝑏 = (2; 3)მაშინ 2𝑎 + 𝑏 =
ა) (-3; -8) ბ) (3; 8) გ) (1; 5) დ) (0; 7)
𝐴𝐵 + 𝐵𝐶 + 𝐶𝐷 =
ა) 𝐴𝐷 ბ) 𝐴𝐶 გ) 𝐵𝐶 დ) 𝐵𝐷
(𝑀𝑁 − 𝑀𝐾) − (𝐷𝐹 − 𝐷𝐾)
ა) 𝐾𝑁 ბ) 𝐾𝐹 გ) 𝐷𝑁 დ) 𝐹𝑁
მოცემულია B(5; 4); C(2; 5) M(3-x; 4 –y) 𝐵𝐶 = 𝐶𝑀იპოვეთ x და y
მოცემულია ∆𝑀𝑁𝐸; M (-3; 3) N(3; 5) E(-1; -1) იპოვეთ MK
მედიანის სიგრძე.

93
მოცემულია ∆𝐴𝐵𝐶; A(-3; -2) B(3; 8) C(9; -2) იპოვეთ P∆𝐴𝐵𝐶
მოცემულია NFEM რომბი, რომლის წვეროებია N(-9; 1) F(-2; 6)
E(5; 1) M(-2; -4) იპოვეთ რომბის ფართობი.
N26. პარალელური გადატანა. მობრუნება.
ჰომოთეტია. წერტილის კოორდინატები
სივრცეში.
გვაქვს პარალელური გადატანა ვექტორით
𝑎 −4; 7 თუ 𝑀 7; −5 წერტილი გადავა წერტილშიM 𝟏, მაშინ
ა) 𝑀1(11; -12) ბ) 𝑀1(-11; 12) გ) 𝑀1(3; 2) დ)𝑀1(-3; -2)
თუ𝐴1 −4;7 მაშინ მისი სახე 𝑎(−2; 5) პარალელური
გადატანისას არის:
ა) (-2; 2) ბ) (2; -2) გ) (-6; 12) დ) (6; -12)

94
თუ A(4;2) მაშინ ამ წერტილის 900-ით მობრუნებისას მიიღება
წერტილი
ა)𝐴1(-4; -2) ბ) 𝐴1(-2; -4) გ)𝐴1(2; 4) დ) 𝐴1(-2; 4)
თუ A(1; 2) და H-2(A)=𝐴1
ა) 𝐴1(2;4)
ბ) 𝐴1(−2;−4)
გ)𝐴1(3; 6)
დ) 𝐴1(−3;−6)
M(-2, 3; 5) წერტილის აბსცისაა
ა) -2 ბ) 3 გ) 5 დ) 0
M(-2, 3; 5) წერტილის ორდიანტია:
ა) -2 ბ) 3 გ) 5 დ) 0

95
M(-2, 3; 5) წერტილის ორდიანტია:
ა) -2
ბ) 3
გ) 5
დ) 0
M(-2, 3; 5) წერტილის აპლიკატია:
ა) -2
ა) 3
ა) 5
ა) 0
M და N წერტილები კოორდინატთა სათავემდე თანაბრად არიან
დაშორებული იპოვეთ x, თუ M(-3; 0; 5) N(3; 4; x)
კუბის დიაგონალის ბოლოების კოორდინატებია (2; -4; 5) და (3;
6; 2) იპოვეთ კუბის ზედაპირის ფართობი.

96
კუბის ოთხი წვეროს კოორდინატებია: (0; 0; 0 ); (2; 0; 0); (0; 2; 0)
და (0; 0; 2) იპოვეთ:
ა) კუბის ზედაპირის ფართობი.
ბ) გაარკვიეთ: A, B, C წერტილებიდან რომელი მდებარეობს
კუბის გარეთ.
A(-1; 0; 2) B(2; 3; -2) C(1; 3; -1)
მოცემულია M(-2; 4; 3) N(2; 2; 1) K(2; 4; 1) წერტილები. იპოვეთ
∆𝑀𝑁𝐾 − ს პერიმეტრი.
N27. მსგავსი ფიგურები.
სამკუთხედების მსგავსი ნიშნები.
თუ ABCDE ~𝐴1 𝐵1 𝐶1 𝐷1 𝐸1;
𝐴𝐵
𝐴1 𝐵1
= 2,3და 𝐴1 𝐵1 = 5სმ, მაშინ AB =
ა) 2,7 სმ. ბ) 3,7 სმ. გ) 11,5 სმ. დ)2
4
23
სმ.

97
მოცემულია ∆𝐴𝐵𝐶და ∆𝑀𝑁𝐾; თუ <M = <A; <N = <B. AB =
4,5სმ;AC = 6სმ;MN = 1,5სმ, მაშინ MK=
ა) 2სმ. ბ) 6 სმ. გ) 3სმ. დ) 0,9სმ.
მოცემულია ∆𝑀𝑁𝐾და ∆𝐸𝐹𝑃; თუ<E = <M; EF:MN = EP:MK=0,6
და FP = 1,8 სმ, მაშინ NK=
ა) 2,4სმ. ბ) 1,2სმ. გ) 1,48სმ. დ) 3სმ.
მოცემულია ∆𝐴𝐵𝐶და ∆𝐸𝐹𝐾;
𝐴𝐵
𝐸𝐹
=
𝐵𝐶
𝐹𝐾
=
𝐴𝐶
𝐸𝐾
= 1,2; თუ FK=5სმ,
მაშინ BC=
ა) 6,2სმ. ბ) 6 სმ. გ) 3,8სმ. დ) 0,24სმ.
მოცემულია ∆𝑀𝑃𝐾; AB∥MK. PA : AM = 3 : 4, თუ MK = 2,8 სმ,
მაშინ AB=
ა) 5,8სმ. ბ) 7,4 სმ. გ) 0,4 სმ. დ) 1,2 სმ.

98
თუ ტრაპეციაში დიაგონალების გადაკვეთის წერტილით ერთ-
ერთი დიაგონალი იყოფა შეფარდებით 5 : 6, დიდი ფუძეა 24სმ,
მაშინ მცირე ფუძე ტოლია:
ა) 20 სმ. ა) 24 სმ. ა) 28,8 სმ ა) 16 სმ.
მოცემულია ∆𝐴𝐵𝐶; D→BC < 𝐴𝐷𝐵 = < 𝐵𝐴𝐷, თუ BD = 4სმ AB =
6სმ, მაშინ BC =
ა) 6სმ. ა) 4 სმ. ა) 9სმ ა) 10სმ.
სამკუთხედის გვერდების სიგრძეებია 5სმ; 6სმ; 8 სმ, თუ მსგავსი
სამკუთხედის უდიდესი გვერდის სიგრძეა 12 სმ, მაშინ მსგავსი
სამკუთხედის საშუალო გვერდის სიგრძე ტოლია:
ა) 7,5 სმ ა) 9 სმ ა) 5 სმ ა) 8 სმ
∆𝐴𝐵𝐶-ში ჩახაზულია AMND რომბი. იპოვეთ რომბის გვერდის
სიგრძე, თუ AB=10სმ AC=15სმ.

99
∆𝐴𝐵𝐶-ში ჩახაზულია AMND პარალელოგრამი, AM : MN = 2 : 3;
იპოვეთ პარალელოგრამის გვერდები თუ AB = 12 სმ AC = 18 სმ.
∆𝐴𝐵𝐶-ში ჩახაზულია MNEFპარალელოგრამი ისე რომ NF∥BC;
ME ∥ AB. NE = 5სმ. EC = 7სმ AN=6 სმ. იპოვეთ BN და BE.
მოცემულია ∆𝐴𝐵𝐶 ∠𝐶=900; AC = 6 სმ. BC = 8სმ. ∆𝐴𝐵𝐶-ში
ჩახაზულია MNDK კვადრატი ისე რომ MK გვერდი მდებარეობს
AB ჰიპოტენუზაზე. N და D წვეროები კი AC და CB კათეტებზე.
იპოვეთ კვადრატის გვერდი.

100
N28. მეტრული თანაფარდობა მართხკუთხა
სამკუთხედის ელემენტებს შორის, სამკუთხედის
ბისექტრისის თვისება, მსსგავსი
მრავალკუთხედების პერიმეტრებისა და
ფართობების შეფარდება.
მოცემულია ∆𝐴𝐵𝐶 ∠𝐶=900; CD ⊥ AB; თუ AC = 15სმ BC = 20სმ,
მაშინ AD =
ა) 35 სმ. ბ) 25 სმ. გ) 9 სმ. დ) 16 სმ.
მოცემულია ∆𝑀𝑁𝐾 ∠𝑁=900; თუ MN = 12 სმ MK = 20 სმ და
NA⊥MK; მაშინ AK =
ა) 12,8 სმ. ბ) 7,2 სმ. გ) 16 სმ. დ) 8 სმ.
მოცემულია ∆𝐴𝐵𝐶 ∠𝐶=900; CD ⊥ AB; თუ AD = 3სმ DB = 12სმ,
მაშინ CD =
ა) 36 სმ. ბ) 15 სმ. გ) 4 სმ. დ) 6 სმ.

101
მოცემულია ∆𝑀𝑁𝐾; MN = 25 სმ NK = 18 სმ MK = 20 სმ; თუ MD
ბისექტრისაა, მაშინ ND =
ა) 8 სმ.
ბ) 10 სმ.
გ) 25 სმ.
დ)20 სმ.
თუ ABCDEF ექვსკუთხედი მსგავსია
𝐴1 𝐵1 𝐶1 𝐷1 𝐸1 𝐹1ექვსკუთხედის; AB : 𝐴1 𝐵1= 4 : 5 და PABCDEF= 24 სმ,
მაშინ 𝑃𝐴1 𝐵1 𝐶1 𝐷1 𝐸1 𝐹1
=
ა) 30სმ.
ბ) 24 სმ.
გ) 19,2 სმ.
დ) 96 სმ.
∆𝐴𝐵𝐶მსგავსია ∆𝐴1 𝐵1 𝐶1თუ პროპორციულობის კოეფიციენტი k =
𝐴𝐵
𝐴1 𝐵1
=
3
4
და 𝑆∆𝐴𝐵𝐶 = 27სმ, მაშინ 𝑆∆𝐴1 𝐵1 𝐶1
= ?
ა) 25 სმ2. ბ)7 სმ2. გ) 48 სმ2 დ) 43 სმ2.

102
ABCD ტრაპეციაში O არის დიაგონალების გადაკვეთის
წერტილი, თუ
𝐵𝐶
𝐴𝐷
=
6
7
და 𝑆∆𝐵𝐷𝐶=72 დმ2, მაშინ 𝑆∆𝐴𝑂𝐷 = ?
ა) 49 დმ 2
ბ) 98 დმ 2
გ) 84 დმ 2
დ) 36 დმ 2
მოცემულია ∆𝐴𝐵𝐶AB = 8 სმ. AC = 18 სმ. BC = 13სმ, თუ AD
ბისექტრისაა, მაშინ AD =
ა) 13 სმ
ა) 9 სმ
ა) 4 სმ
ა) 6 3 სმ
ABCD ტრაპეციაში AC დიაგონალი BC და AD ფუძეების
მართობულია. BC = 9სმ. AD = 16სმ. იპოვეთ AC.

103
მართხკუთხა სამკუთხედში ერთ-ერთი კათეტი უდრის 12სმ. ამ
კათეტთან მდებარე კუთხე 600-ია. ამ სამკუთხედში ჩახაზულია
რომბი, ისე რომ მას სამკუთხედთან 600-იანი კუთხე საერთო აქვს
იპოვეთ რომბის გვერდი.
მართხკუთხა სამკუთხედის კათეტებია 12სმ და 16სმ. მართი
კუთხის წვეროდან გავლებულია სიმაღლე და ბისექტრისა
იპოვეთ ჰიპოტენუზის მონაკვეთები, რომლებადაც იგი იყოფა
სიმაღლისა და ბისექტრისის ფუძეებით.
DKM მართხკუთხა სამკუთხედში D მართი კუთხის წვეროზე
გავლებულია KM ჰიპოტენუზის პარალელური წრფე და M
წვეროზე გავლებულია KM-ის მართობული წრფე იკვეთება A
წერტილში DK = 12 სმ; DM = 16სმ. იპოვეთ ∆𝐴𝐷𝑀-ის ფართობი.

104
N29. ტრიგონომეტრიული ფუნქციები;
ტრიგონომეტრიული თანაფარდობები
მართხკუთხა სამკუთხედში ძირითადი
ტრიგონომეტრიული იგივეობები.
მოცემულია მოცემულია ∆𝐴𝐵𝐶 ∠𝐶=900თუ AB = 13სმ CB = 12სმ
მაშინ sin ∠𝐴 =
ა)
5
12
ბ)
5
13
გ)
12
13
დ)1
მოცემულია ∆𝐴𝐵𝐶 ∠𝐶=900თუ AB = 13სმ AC = 5სმ მაშინ sin∠𝐴 =
ა)
5
12
ბ)
5
13
გ)
12
13
დ) 1
მოცემულია ∆𝑀𝑁𝐾 ∠𝑀=900თუ MN = 3სმ MK = 4 სმ მაშინ tg ∠𝐾 =
ა)
4
3
ბ)
4
5
გ)
3
5
დ)
3
4

105
შეადარეთ sin520
და sin510
ა) sin520
>sin510
ბ) sin520
<sin510
გ) sin520
=sin510
დ)შედარებაშეუძლებელია
რომელია ნაკლები cos 650
თუ cos 350
ა) cos350
ბ) cos650
გ) cos350
= cos650
დ) შედარებაშეუძლებელია
განსაზღვრე სხვაობის ნიშანი sin 650
− sin640
ა) sin650
− sin640
= 0
ბ)sin650
− sin 640
< 0
გ) sin650
− sin640
> 0
დ) შეუძლებელია დადგენა

106
გამოთვალეთ cos 690
21 თუ sin200
39 ≈ 0,3526
ა) 0,6 ბ) 0,5 გ) 0,6474 დ) 0,3526
გაამარტივე და გამოთვალე
(cos 600)385
(sin 300)8×220
ა)
1
2
ბ)1 გ) 2 დ)
1
4
მოცემულია sin ∝=
24
25
; 900<∝<1800 იპოვეთ cos ∝ ; tan ∝.
მოცემულია t𝑔 ∝= −
3
4
; 900<∝<1800იპოვეთ cos ∝; sin ∝.
სამკუთხედის ერთ-ერთი გვერდის სიგრძეა 2დმ, ხოლო მასთან
მიმდებარე კუთხეებია 600 და 450; იპოვეთ ამ სამკუთხედის
დანარჩენი ორი გვერდის სიგრძე.

107
მართხკუთხა ტრაპეციის ფუძეებია 4 3სმ და 3სმ, ხოლო დიდი
ფერდი 6სმ-ია. იპოვეთ მახვილი კუთხის სიდიდე.
N30. წრეწირთან დაკავშირებული კუთხეები;
წრეწირში ჩახაზული და წრეწირზე შემოხაზული
მრავალკუთხედები.
თუ 𝐵𝐷=660 , მაშინ <C=
ა) 310
ბ) 330
გ) 620
დ) 640
თუ <C=340,მაშინ 𝐵𝐷=
ა) 340
ბ) 320
გ) 680
დ) 640

108
თუ 𝐵𝑀𝐷=500 , მაშინ <CBD=
ა) 400
ბ) 800
გ) 500
დ) 250
ტესტი30.4. (ქულა 1) ?
მოცემულია ∆𝑀𝑁𝐾; MN = 25 სმ NK = 18 სმ MK = 20 სმ; თუ MD
ბისექტრისაა, მაშინ ND =
ა) 8 სმ.
ბ) 10 სმ.
გ) 25 სმ.
დ)20 სმ.
ტესტი30.5 (ქულა 1)
თუ ნახაზზე 𝐴𝐶 = 300
; 𝐵𝐷 = 500
;
მაშინ <AMC=
ა) 400
ბ) 800
გ) 500
დ) 250

109
თუ 𝐴𝐵 = 780
; 𝐶𝐷 = 280
; მაშინ <M=
თუ 𝐴𝐷𝐵 = 780
თუ 𝐴𝐵𝐶 = 1100
; 𝐶𝐷 = 700
ა) 430
ბ) 250
გ) 180
დ) 680
ა) 780
ბ) 390
გ) 1020
დ) 680
ა) 430
ბ) 900
გ) 1800
დ) 200

110
სამკუთხედზე შემოხაზული წრეწირი სამკუთხედის წვერო-
ებით იყოფა შეფარდებით: 9 : 10 : 11. იპოვეთ სამკუთხედის
კუთხეები.
1. წრეწირში ჩახაზული ოთხკუთხედის ორი მეზობელი
კუთხე ტოლია 750 –ის და 550–ის. იპოვეთ ოთხკუთხედის
დანარჩენი კუთხეები.
2. წრეწირზე შემოხაზული ოთხკუთხედის სამი გვერდი
ტოლია 7 სმ–ის; 9 სმ–ს და 12 სმ–ს. იპოვეთ ოთხკუთხედის
პერიმეტრი.
წესიერი ათკუთხედის გვერდი ტოლია 12 სმ–ი. იპოვეთ:
1. ამ ათკუდხედზე შემოხაზული წრეწირის რადიუსი
2. ამ ათკუთხედშიჩახაზული წრეწირის რადიუსი
3. ათხკუთხედის ფართობი.
წესიერი თორმეტკუთხედის გვერდი ტოლია 12 სმ–ის. იპოვეთ:
1. ამ თორმეტკუთხედზე შემოხაზული წრეწირის რადიუსი
2. ამ თორმეტკუთხედშიჩახაზული წრეწირის რადიუსი
3. თორმეტკუთხედის ფართობი.

111
N31. წრეწირთან დაკავშირებული მონაკვეთები;
მხები და მკვეთი; წრეწირთა ურთიერთგანლაგება.
თუ ერთი წრეწირის რადიუსია 2 სმ მეორე წრეწირის რადიუსია
3სმ, ხოლო ცენტრებს შორის მანძილი 1სმ-ია, მაშინ ამ
წრეწირებს აქვთ:
ა) ერთი საერთო წერტილი
ბ) ორი საერთო წერტილი
გ) არა აქვთ საერთო წერტილი
დ)დადგენა შეუძლებელია
5 სმ, ხოლო წრეწირის ცენტრებს შორის მანძილი 9სმ-ია, მაშინ ამ

112
4 სმ, ხოლო ცენტრებს შორის მანძილი 12 სმ-ია, მაშინ ამ
თუ AM = 6 სმ. MB = 3 სმ.
MC = 2 სმ, მაშინ OM =
ა) 2 სმ
ბ) 6 სმ
გ) 3 სმ
დ)9 სმ

113
თუ MA = 6 სმ. MB = 15 სმ.
MD = 10სმ, მაშინ MC =
ა) 6 სმ ა) 9 სმ ა) 15 სმ ა) 10 სმ
თუ MB = 4სმ. MC = 9 სმ.
მაშინ AM =
ა) 13სმ ა) 9სმ ა) 4სმ ა) 6სმ

114
თუ CM = 6 სმ. MD = 24 სმდა
AM = MB, მაშინ MB=
ა) 12სმ
ა) 6სმ
ა) 24 სმ
ა) 30სმ
თუ ორი წრეწირი გარედან ეხება ერთმანეთს წრეწირების
რადიუსების შეფარდებაა 7 : 4, ხოლო ცენტრებს შორის მანძილი
22 სმ-ია, მაშინ დიდი წრის რადიუსია:
ა) 26 სმ
ა) 2 სმ
ა) 14 სმ
ა) 8 სმ
ერთი წერტილიდან გავლებულია წრეწირის ორი მკვეთი. ერთ-
ერთი მკვეთის სიგრძეა 49 სმ, ხოლო მისი გარეთა ნაწილია 4 სმ.
მეორე მკვეთი წრეწირით.იყოფა ორ ნაწილად, რომელთა
შეფარდებაა 1 : 3. იპოვეთ მეორე მკვეთის სიგრძე.

115
მხების სიგრძე მკვეთის გარე მონაკვეთზე 6-ით მეტია, ხოლო
შიგა მონაკვეთზე 6-ით ნაკლები. იპოვეთ მხებისა და მკვეთის
სიგრძეები.
მხების მონაკვეთის სიგრძეა 30 სმ, ხოლო იმავე წერტლიდან
გავლებული უდიდეს მკვეთის სიგრძე 60სმ-ია. იპოვეთ
წრეწირის რადიუსი.
მკვეთისა და მხების ჯამი 40 სმ-ია. მკვეთის გარე მონაკვეთის
სიგრძე ისე შეეფარდება მკვეთის შოგა მონაკვეთის სიგრძეს,
როგორც 9:16. იპოვეთ მხებისა და მკვეთის სიგრძეები.

116
N32. წრეწირის სიგრძე, წრის ფართობი; სექტორის
ფართობი; რკალის სიგრძე; წრეზე შემოხაზული
და წრეში ჩახაზული სამკუთხედები.
თუ წრეწირის რადიუსიR = 5,5 სმ, მაშინ C =
ა) 11 სმ
ბ) 22π სმ
გ) 5,5π სმ
დ)11π სმ
თუ წრის დიამეტრია 2,4 სმ, მაშინ წრის ფართობი S =
ა) 1,44სმ2
ბ) 1,44π სმ2
გ) 2,4π სმ2
დ) 5,76π სმ2
თუ R = 20 სმ, მაშინ 150–იანი რკალის სიგრძე ტოლია.
ა)
5𝜋
12
სმ ბ)
5𝜋
6
სმ გ)
5𝜋
3
სმ დ)5πსმ

117
თუ R = 10 სმ, მაშინ
𝜋
5
რადიანის რკალის სიგრძე ტოლია
ა) 2π ბ) π გ)
𝜋
5
დ)3π
თუ წრის რადიუსი R = 1,5 სმ, მაშინ 720–იანი სექტორის
ფართობი ტოლია:
ა) 0,25πსმ2
ბ) 1,5π სმ2
გ) 0,45π სმ2
დ) 0,6π სმ2
თუ R = 1,2სმ, მაშინ
5𝜋
12
ცენტრალური კუთხის მქონე სექტორის
ფართობი უდრის:
ა) 0,3πსმ2
ბ) 0,2π სმ2
გ) 1,44π სმ2
დ) 0,9π სმ2
თუ R = 0,6 სმ; <AOB = 1500
მაშინ ACB სეგმენტის ფართობია:
ა) 0,36π+0,18 ბ) 0,36π–0,18
გ) 0,15π+0,18 დ) 0,15π–0,09

118
თუ <AOB = 1500, AO = 3,6 სმ, მაშინ
ADB სეგმენტის ფართობი უდრის:
ა) 5,4π–1,62 ბ) 5,4π+3,24
გ) 5,4π–3,24 დ) 5,4+1,62
წრეწირის რადიუსია 3სმ. გამოთვალეთ წრეწირის გამუქებული
ნაწილების ფართობთა ჯამი, თუ მართხკუთხედის წვეროები
წრერირთა ცენტრებს ემთხვევა.

119
წრეწირში ჩახაზულია წესიერი სამკუთხედი. იპოვეთ
გამუქებული ნაწილის ფართობი, თუ R = 8 სმ.
წრეზე შემოხაზული ტოლფერდა ტრაპეცია, რომლის მახვილი
კუთხეა α, ხოლო ფუძეებია 4სმ და 6სმ; იპოვეთ წრის ფართობი,
თუ sin 𝛼 =
2
5
წრეწირში ცენტრის სხვადასხვა მხარეს გავლებულია ორი
პარალელური ქორდა. ერთი ჭიმავს 900–იან რკალს, მეორე 300–
იან რკალს. იპოვეთ წრის იმ ნაწილის ფართობი, რომელიც
შემოსაზღვრულია ქორდებით. თუ წრის რადიუსია R =
12
8𝜋−9

120
N33. ტოლდიდი და პროპოციული ნაწილები
სამკუთხედში, ტრაპეციაში და ნებისმიერ
ოთხკუთხედში; ჰერონის ფორმულა;
სამკუთხედის ფართობის გამოთვლა ორი
გვერდითა და მათ შორის მდებარე კუთხით;
ამოცანები აგებაზე.
თუ MND სამკუთხედში B არის MN გვერდის შუა წერტილი,
ხოლო A არის ND გვერდის შუა წერტილი და 𝑆∆𝐴𝐵𝐷 = 5სმ2
–ს,
მაშინ 𝑆∆𝑀𝑁𝐷 =
ა) 25 სმ2 ბ) 15 სმ2 გ) 20 სმ2 დ) 10 სმ2
M
N
DB
A

121
თუ სამკუთხედის გვერდებია 7 სმ; 8 სმ და 9 სმ , მაშინ ამ
სამკუთხედის ფართობი S=
ა) 15 3 სმ2 ბ) 12 სმ2 გ) 24 სმ2
დ) 15 5 სმ2
თუ სამკუთხედის ორი გვერდის სიგრძეა 3 სმ და 4 3 სმ, ხოლო
ამგვედებს შორის კუთხე 600 –ია, მაშინ ამ სამკუთხედის
ფართობი S=
ა) 12 3 სმ2 ბ) 9 სმ2
გ) 6 3 სმ2 დ) 12 სმ2
მოცემულია ABCD ტრაპეცია. თუ BC:AD=4:5 და 𝑆∆𝐵𝑂𝐶 = 16 სმ2
,
მაშინ 𝑆∆𝐴𝑂𝐷 =
ა) 20 სმ2 ბ) 16 სმ2 გ) 12,8 სმ2 დ) 36 სმ2
B C
D
A
O

122
თუ პარალელოგრამის ერთი გვერდი 7 სმ–ია, ხოლო
დიაგონალები 13 სმ და 15 სმ , მაშინ ამ პარალელოგრამის
ფართობი ტოლია
ა) 42 სმ2
ბ) 168 სმ2
გ) 21 სმ2
დ) 84 სმ2
თუ სამკუთხედის გვერდები 17 დმ და 65 დმ, ხოლო მესამე
გვერდის მედიანაა 40 დმ, მაშინ ამ სამკუთხედის ფართობი
ტოლია
ა) 162 დმ2
ბ) 288 დმ2
გ) 144 დმ2
დ) 289 დმ2
თუ სამკუთხედის 6 სმ–სა და 9 სმ–ის მედიანები ურთიერთ-
მართობულია, მაშინ ამ სამკუთხედის ფართობი ტოლია
ა) 36 სმ2 ბ) 18 სმ2 გ) 24 სმ2 დ) 32 სმ2

123
თუ სამკუთხედის ორი გვერდის სიგრძეებია 3 სმ და 6 სმ. ამ
შემთხვევაში შემდეგი რიცხვებიდან რომელი შეიძლება იყოს ამ
სამკუთხედის ფართობი ?
ა) 9,5 სმ2 ბ) 8,5 სმ2 გ) 9,7 სმ2 დ) 12 სმ2
მოცემულია
∆𝑀𝑁𝐾; 𝐴 ∈ 𝑀𝑁; 𝑀𝐴: 𝐴𝑁 = 2: 3; 𝐵 ∈ 𝑀𝐾; 𝑀𝐵: 𝑀𝐾 =
3: 4. იპოვეთ 𝑆∆𝑀𝐴𝐵 , თუ 𝑆∆𝑀𝑁𝐾 = 105 მ2
მოცემულია ∆𝐴𝐷𝐶; 𝐵 ∈ 𝐷𝐶; 𝐵𝐷: 𝐵𝐶 = 4: 5; 𝐾 ∈ 𝐴𝐶; 𝐴𝐾 =
𝐾𝐶. იპოვეთ 𝑆∆𝐷𝐴𝐶 , თუ𝑆∆𝐵𝐶𝐾 = 25 მ2
ააგეთ სამკუთხედი ორი კუთხით და მესამე კუთხის წვეროდან
გავლებული სიმაღლით.
ააგეთ ტოლფერდა სამკუთხედი ფუძესთან მდებარე კუთხით და
მედიანით.

124
N34. მანძილი, მართობი; დახრილი. გეგმილი
მანძილი წერტილიდან სიბრტყემდე.
თუ AB⊥α; α∩AB = B α∩AC = C, მაშინ AC დახრილის გეგმილი α
სიბრტყეზე არის
თუ MO⊥α; MO∩α = O, მაშინ M წერტილიდან α სიბრტყემდე
მანძილი უდრის:
ა) (MO+OA)-ს სიგრძეს
ბ) MA-ს სიგრძე
გ) OA-ს სიგრძე
დ)OM-ს სიგრძეს
ა) AB
ბ) BC
გ) AC
დ)C

125
თუ MA⊥α; MA = 3სმ. AB = 2 სმ. მაშინ MB =
თუ AC⊥β; <ABC =𝛼; cos 𝛼 =
1
7
AB = 21 სმ, მაშინ CB =
თუ A 𝐴1 ⊥α; B𝐵1 ⊥ 𝛼;
𝐴1 𝐵1 = 2 სმ A 𝐴1= 4 3;
B𝐵1 = 6 3სმ, მაშინ AB =
ა) 7 სმ
ბ) 2 3 სმ
გ) (2+ 3)სმ
დ)(2– 3) სმ
ა) 21
1
7
სმ
ბ) 84 სმ
გ) 3 სმ
დ)20
6
7
სმ
ა) 4 სმ
ბ) 5 სმ
გ)6 3სმ
დ)10 3 სმ

126
თუ AB მონაკვეთის A წერტილი α სიბრტყეს ეკუთვნის, ხოლო
მანძილი B წერტილიდან α სიბრტყემდე 14 სმ–ია, მაშინ
მანძილი AB მონაკვეთის შუა M წერტილიდან α სიბრტყემდე
მანძილი არის:
თუ მონაკვეთი კვეთს სიბრტყეს და მონაკვეთის ბოლოები
სიბრტყიდან დაშორებულია 12 სმ–ით 20 სმ–ით, მაშინ AB
მონაკვეთის შუა წერტილი სიბრტყიდან დაშორებული იქნება:
ა) 20 სმ ბ) 12 სმ გ)4სმ დ)16 სმ
თუ სიბრტყიდან 16 სმ–ის ტოლი მანძილით დაშორებულ
წერტილიდან გავლებულია დახრილი, რომლის გეგმილი
სიბრტყეზე 12 სმ–ია, მაშინ დახრილის სიგრძე ტოლია:
ა) 20 სმ ბ) 12 სმ გ)16სმ დ)28 სმ
ა) 21 სმ
ბ) 28 სმ
გ)14სმ
დ)7 სმ

127
A წერტილიდან სიბრტყისადმი გავლებულია ორი დახრილი AB
და AC; AB = 2 3სმ; AB დახრილი α სიბრტყესთან ადგენს 300–
იან კუთხეს. იპოვეთ AC დახრილი, თუ მისი გეგმილი 1 სმ–ია.
ერთი წერტილიდან სიბრტყისადმი გავლებულია ორი
დახრილი, რომელთა სიგრძეები ისე შეეფარდება ერთმანეთს,
როგორც 5 : 6; I დახრილის გეგმილია 7 სმ, ხოლო II დახრილის
გეგმილი 18 სმ–ია. იპოვეთ დახრილთა სიგრძეები.
AB მონაკვეთი α სიბრტყის პარალელურია, ხოლო 𝐴1 𝐵1 კი ამ
სიბრტყეზე მისი გეგმილია. AB მონაკვეთის ბოლოებიდან α
სიბრტყისადმი გავლებულია AC და BD დახრილები. AC = 13 სმ
C 𝐴1 =12 სმ. 𝐵1 𝐷 = 13 სმ. იპოვეთ DB B1 სამკუთხედზე
შემოხაზული წრის ფართობის შეფარდება CA𝐴1 სამკუთხედში
ჩახაზული წრის ფართობთან.
სიბრტყის პარალელური MN მონაკვეთის ბოლოებიდან ამ
სიბრტყისადმი გავლებულია MK მართობი და ND დახრილი,
რომელიც MN მონაკვეთის მართობულია. იპოვეთ KMBD
ოთხკუთხედის პერიმეტრი, თუ MN = 42 სმ; MK = 30 სმ და ND =
50 სმ.

128
N35. პრიზმა; პირამიდა
ოთხკუთხა პრიზმას აქვს
ა) 8 წახნაგი ბ) 2 წახნაგი გ) 6 წახნაგი დ)10 წახნაგი
სამკუთხა პრიზმას აქვს:
ა) 9 წიბო ბ) 5 წიბო გ) 6 წიბო დ)12 წიბო
ტესტი 35.3. (ქულა1)
ოთხკუთხა პირამიდას აქვს:
ა) 8 წვერო ბ) 7 წვერო გ) 6 წვერო დ)5 წვერო
სამკუთხა პირამიდას აქვს:
ა) 4 წახნაგი ბ) 5 წახნაგი გ) 6 წახნაგი დ)8 წახნაგი

129
თუ კუბის წიბო 1,5 სმ–ია, მაშინ მისი გვერდით ზედაპირის
ფართობი ტოლია:
ა) 15 სმ2 ბ) 2,25 სმ2 გ) 10 სმ2 დ)5 სმ2
თუ მართხკუთხა პარალელეპიპედის წიბოებია 1 სმ; 2სმ; 2სმ,
მაშინ პარალელეპიპედის დიაგონალის სიგრძეა:
ა) 5 სმ ბ) 1 სმ გ) 2 სმ დ)3 სმ
თუ მართხკუთხა პარალელეპიპედის ფუძის გვერდებია 7 სმ და
24 სმ, ხოლო გვერდითი წიბო 10 სმ–ია, მაშინ დიაგონალური
კვეთის ფართობია:
ა) 310 სმ2 ბ) 250 სმ2 გ) 240 სმ2 დ)70 სმ2
თუ წესიერი სამკუთხა პირამიდის ფუძის გვერდია 16 3 სმ,
ხოლო სიმაღლე 15 სმ–ია, მაშინ აპოთემა უდრის:
ა) 30 სმ ბ) 16 3 სმ გ) 15 სმ დ)17 სმ

130
მართი პარალელეპიპედის ფუძის გვერდებია 6 მ და 8 მ, ისინი
ქმნიან 300–იან კუთხეს. გვერდითი წიბო 5 მ. იპოვეთ მართი
პარალელეპიპედის სრული ზედაპირის ფართობი.
იპოვეთ მართი სამკუთხა პრიზმის ზედაპირის ფართობი, თუ
მისი სიმაღლე 20 სმ–ია, ხოლო ფუძის გვერდები კი 40 სმ; 13 სმ;
37 სმ.
იპოვეთ წესიერი ოთხკუთხა პირამიდის სრული ზედაპირის
ფართობი, თუ ფუძის გვერდია 14 სმ, სიმაღლე 24 სმ.
იპოვეთ წესიერი ოთხკუთხა პირამიდის ფუძის გვერდი და
აპოთემა თუ მისი გვერდითი ზედაპირის ფართობია 80 მ2,
ხოლო სრული ზედაპირის ფართობი 144 მ2

131
36.მონაცემთა წარმოდგენის ხერხები
ცხრილში მოცემულია 92 კლასის ერთ-ერთი მოსწავლის მიერ
მათემატიკაში ერთი სემესტრის განმავლობაში მიღებული
ქულები.
ქულა 6 7 8 9 10
სიხშირე 2 3 8 12 5
ამ ცხრილის მიხედვით 10 ქულის ფარდობითი სიხშირეა
ა)
6
1
ბ)
5
1
გ)
3
1
დ)
8
1
სურათზე წარმოდგენილია ერთ-ერთი სკოლის მიერ კვლევის
შედეგები ერთი თვის განმავლობაში მიღებული ქულების
მიხედვით. დიაგრამის მიხედვით უპასუხეთ:
რამდენი მოსწავლე მონაწილეობდა კვლევაში:
ა) 310 ბ) 300 გ) 400 დ) 260

132
მონაცემთა ფარდობითი სიშირე არის
ა) მონაცემთა სიხშირის ჯამი
ბ) მონაცემთა სიხშირის ნამრავლი
გ) მონაცემთა სიხშირის საშუალო არითმეტიკული
დ) მონაცემთა სიხშირის შეფარდება მონაცემთა საერთო
რაოდენობასთან
მოცემული ცხრილებიდან, რომელია 7, 8, 5, 5, 12, 7, 12, 12, 12, 5
სიხშირეთა ცხრილი

133
სვეტოვან დიაგრამაზე მოცემულია მათემატიკის, ხატვის და
ინგლისური ენის წრეებში გაერთიანებული მოსწავლეთა
რაოდენობა.
ამ დიაგრამის მიხედვით რას უდრის ინგლისრ ენის წრეში
გაერთიანებული მოსწავლეთა ფარდობითი სიხშირე ?
ა) %
3
2
32 ბ) %
3
2
46
გ) %50 დ) %
3
2
50

134
წრიულ დიაგრამაზე მოცემულია ფერმერის მიერ აღებული
მოსავლის რაოდენობები ტონებში. რას უდრის კუთხე BOC?
ა) 900 ბ) 132,50 გ) 1620 დ) 1100
ხაზოვან დიაგრამაზე მოცემულია მე-9 კლასელებს შორის
კალათბურთის თამაშში შეჯიბრებისას მოპოვებული ქულები.
საერთო ქულების რამდენი პროცენტი მოიპოვა 9IV კლასმა?
ა) 15% ბ) 22,5% გ) 25% დ) 30%

135
მონეტა ააგდეს 12-ჯერ, საფასური გამოჩნდა 9-ჯერ, ხოლო
გერბი 3-ჯერ. რას უდრის გერბის გამოჩენის სიხშირე?
ა)
4
1
ბ)
3
1
გ)
4
3
დ)
6
1
მე 9ა კლასში 32 მოსწავლეა. წრიულ დიაგრამაზე მოცემულია
შემაჯამებელი წერის შედეგები 7-ების, 8-იანების, 9-იანების და
10-იანების რაოდენობები. რამდენმა მოსწავლემ მიიღო რვიანი
და შვიდიანი, თუ
0
90AOB და
0
45BOCC

136
სვეტოვან დიაგრამაზე მოცემულია ფერმერის მიერ მიღებული
მოსავლის რაოდენობები კგ-ში. ამ დიაგრამის მიხედვით
უპასუხეთ:
ა) მთელი მოსავლის რამდენი პროცენტია ვაშლის მოსავალი?
ბ) რამდენჯერ მეტი მსხალი მოიყვანა ვიდრე მარწყვი?
1400
800 900
400
0
200
400
600
800
1000
1200
1400
1600
ვაშლი ატამი მსხალი მარწყვი

137
ქვემოთ მოცემულია 30 აბიტურიენტის მიერ ერთიან ეროვნულ
გამოცდაზე მათემატიკაში მიღებული ქულები:
ამ ცხრილის მიხედვით უპასუხეთ კითხვებს:
ა) წარმოადგინეთ მონაცემები 5 ინტერვალით
ბ) ააგეთ შესაბამისი ჰისტოგრამა
გ) ააგეთ ფოთლებიანი ღეროების მსგავსი დიაგრამა.
22 56 14 18 16 24
43 32 59 25 20 45
32 45 47 36 21 23
45 27 43 29 40 19
17 21 39 31 37 48

138
სვეტოვან დიაგრამაზე მოცემულია ორი სხვადასხვა A და B
სკოლებში მოსწავლეთა რაოდენობა წლების მიხედვით. დიაგრა-
მის მიხედვით უპასუხეთ შემდეგ კითხვებს:
ა) რა ფარგლებში მერყეობდა B სკოლაში 2009-20013 წლებში
მოსწავლეთა რაოდენობა?
ბ) რომელ წელს დაფიქსირდა, წლების აღნიშნულ შუალედში,
ყველაზე დიდი პროცენტული განსხვავება A და B სკოლებში
მოსწავლეთა რაოდენობებს შორის B სკოლის სასარგებლოდ?
გ) რამდენი იყო ისეთი წელი, როცა A სკოლაში მოსწავლეთა
რაოდენობა არ ჩამოუვარდებოდა B სკოლაში მოსწავლეთა
რაოდენობას?

139
N 37. საშუალო, მოდა, მედიანა
კვადრატული გადახრა
ცხრილში მოცემულია სპორტულ სექციაში გაერთიანებულ
ბავშვთა სიხშირეთა ცხრილი მათი წლოვანების მიხედვით
(დალაგებული ზრდადობის მიხედვით). რას უდრის ბავშვების
საშუალო ასაკი?
წლოვანება 10 11 12 13 14
სიხშირე 6 2 5 4 5
ა) 11
ბ) 13
გ)12
დ) 10
ვიპოვოთ შემდეგი მონაცემების მედიანა: 348; 387; 211; 145; 876;
234;
ა) 234
ბ) 387
გ) 289
დ) 291

140
ცხრილში მოცემულია მაღაზიის მიერ ერთ თვეში გაყიდული
ფეხსაცმელების ოდენობები სხვადასხვა ზომის მიხედვით. ამ
ცხრილის მიხედვით იპოვეთ მონაცემთა მოდა.
ფეხსაცმლის ზომები გაყიდული ფეხსაცმელების
ოდენობა(სიხშირე)
37 32
38 45
39 28
40 30
41 56
42 44
43 34

141
ხაზოვან დიაგრამაზე მოცემულია 10 დღის განმავლობაში
გაყიდული მობილური ტელეფონების რაოდენობა. რას უდრის
ამ მონაცემთა გაბნევის დიაპაზონი?
ა)30 ბ) 20 გ) 22 დ) 34
მოცემულია სიხშირეთა ცხრილი:
ამ ცხრილის მიხედვით:
ა) მედიანა=საშუალოზე ბ)მედიანა<საშუალოზე
გ) მედიანა>საშუალოზე დ) დადგენა შეუძლებელია
სიდიდე 8 9 10 11 12

142
ფოთლებიანი ღეროების დიაგრამაზე მოცემული მონაცემების
მიხედვით იპოვეთ ამ მონაცემთა მედიანა.
ა)38 ბ) 44 გ) 32 დ) 34
ცხრილში მოცემულია ერთ-ერთი მოსწავლის მიერ მათემა-
ტიკაში პირველი სემესტრის განმავლობაში მიღებული ქულები.
ქულა 6 7 8 9 10
შედარეთ ამ მონაცემების მოდა მედიანას?
ა) მოდ < მედინაზე ბ) მოდა > მედიანაზე
გ) ვერ დავადგენთ დ) მოდა = მედიანას

143
ხაზოვან დიაგრამაზე მოცემულია სასწავლო კვირის განმავ-
ლობაში გაცდენების რაოდენობა, (ვერტიკალურ ღერძე ნაჩვე-
ნებია გაცდენების რიცხვი, ხოლო ჰორიზონტალურ ღერძზე
დღეები), საშუალოდ ღეში რამდენი მოსწავლე აცდენდა
სკოლას?
ა)3
ბ)5
გ) 4
დ) 9

144
მე 9ა კლასში 32 მოსწავლეა. წრიულ დიაგრამაზე მოცემულია
შემაჯამებელი წერის შედეგები 7-ების, 8-იანების, 9-იანების და
10-იანების რაოდენობები. ცნობილია, რომ
0
90AOB და
0
45BOC და 7-იანი მიიღო 2-ით ნაკლებმა მოსწვლემ ვიდრე
8-იანი?
ამ დიაგრამის მიხედვით უპასუხეთ კითხვებს:
ა) რას უდრის მოსწავლეთა შემაჯამებელი წერის საშუალო?
ბ) რას უდრის ამ მონაცემთა მედიანა?
მოცემულია შემდეგი რიცხვითი მონაცემები: 1; 4; 7; 5; 5; 8.
იპოვეთ ამ მონაცემის საშუალო კვადრატული გადახრა.

145
დასკვნითი ტესტის შედეგები ერთ-ერთ კლასში ასე განაწილდა
(იხ. ცხრილი)
ამ ცხრილის მიხედვით უპასუხეთ კითხვებს:
ა) რას უდრის ამ ტესტის შედეგების მედიანა?
ბ) რას უდრის ამ ტესტის შედეგების მოდა
გ) თუ გიორგი ამ კლასის ის მოსწავლეა, რომლის ქულა კლასში
არ გამეორებულა, ხოლო მარიამი ერთ-ერთი მათგანი, ვინც 90
ქულა დაიმსახურა, რამდენი პროცენტით უკეთესი შედეგი
აჩვენა მარიამმა გიორგისთან შედარებით?

146
მოცემული სამი რიცხვითი მონაცემის მედიანა უმცირეს მონა-
ცემზე 2-ჯერ მეტია, ხოლო უდიდესზე 3 ჯერ ნაკლები. რას
უდრის ამ მონაცემების საშუალოსა და უმცირეს მონაცემს შორის
სხვაობა?
38. ელემენტარულიხდომილობა. ხდომილობა.
ხდომილობისალბათობა.
ტესტი 38.1 (1 ქულა)
თუ ცდის შესაბამისი ელემენტარულ ხდომილობათა სივრცე k
ტოლშესაძლებელი ელემენტარული ხდომილობისგან შედგება,
მათგან მხოლოდ m ცალი ელემენტარული ხდომილობაა რაიმე
B ხდომილობის ხელშემწყობი,მაშინ B-ს ალბათობაა
ა) (k+1)/k ბ) m/k გ) k/m დ) (m+1)/k
ტესტი 38.2 (1 ქუა)
ურნაში 7 ბირთვია, ისინი გადანომრილია რიცხვებით: 7, 8, 9, 10,
11, 12, 13. ალალბედზე ვიღებთ ერთ ბირთვს.რა არის ალბათობა
იმისა,რომ მასზე გამოსახული რიცხვი ლუწია?
ა) 2/7 ბ) 3/7 გ) 4/7 დ) 5/7

147
ურნაში 5 ბირთვია, ისინი გადანომრილია რიცხვებით 2, 4, 5, 6,
8. ალალბედზე ვიღებთ ერთ ბირთვს. რა არის ალბათობა იმისა,
რომ მასზე მარტივი რიცხვია გამოსახული?
ა) 3/5
ბ) 1/4
გ) 2/5
დ) 3/4
ვთქვათ მოცემულია მოძრავი ანბანის ოთხი ასო „ა“ , „ტ“, „ლ“
და „ც“ მათგან ვირჩევთ ჯერ ერთ ასოს, შემდეგ მეორეს. რისი
ტოლია ამ ექსპერიმენტის შესაბამის ხდომილობათა სივრცეში
ელემენტარულ ხდომილობათა ოდენობა?
ა)4 ბ)12 გ) 15 დ) 2
ურნაში 7 თეთრი და 13 შავი ბირთვია. რა არის ალბათობა იმისა,
რომ ამ ურნიდან შემთხვევით ამოღებული ბირთვი შავია?
ა) 13/7 ბ) 7/13
გ) 13/20 დ) 7/20

148
ვაგორებთ ორ კამათელს.რა არის ალბათობა იმისა, რომ
მოსული რიცხვების ჯამია 19?
ა) 1/19 ბ) 0
გ) 1/6 დ) 1/36
ვაგორებთ ორ კამათელს. რა არის ალბათობა იმისა, რომ
მოსული რიცხვების ჯამი არის 14-ზე ნაკლები რიცხვი?
ა) 0,9 ბ) 1/14
გ) 0 დ) 1
ნიკოს ჯიბეში 1-ლარიანი, 5-ლარიანი, და 50-ლარიანი აქვს.
ჯიბიდან ერთმანეთის მიყოლებით შემთხვევით ვიღებთ ორ
კუპიურას, მაშინ ტოლშესაძლებელ ელემენტარულ ხდომი-
ლობათა რიცხვია:
ა) 3 ბ) 2
გ) 6 დ) 9

149
გრიგოლ რობაქიძის 5-ტომეულიდან (I, II, III, IV, V),
შემთხვევით ირჩევენ სამ ტომს. რამდენი ელემენტარული
ხდომილობით აღიწერება ის სამეულები,რომლებიც IV ან V
ტომს შეიცავს?
ოთხმა მოსწავლემ 6 მხატვრული ნაწარმოებიდან ოთხი
ჩამონათვალი წარმოადგინა. იპოვეთ ალბათობა იმისა რომ
პირველ ნომრად ყველამ ერთი და იგივე ნაწარმოები
დაასახელა.
ლატარიის ბილეთის ნომერი შეიძლება იყოს ნებისმიერი
ოთხნიშნა „რიცხვი“ 0001-დან 9999-მდე.რა არის ალბათობა
იმისა, რომ ალალბედზე ნაყიდი ბილეთის ნომერი ერთი და
იმავე ციფრებისგან შედგება?
ტესტი 38.12(3 ქულა)
ვთქვათ მასწავლებელი 5 მოსწავლიდან 3-ის დაფასთან
გამოძახებას აპირებს. ეს სამი მოსწავლე ალალბედზე შეირჩევა.
მოსწავლეები გადანომრეთ 1, 2, 3, 4, 5.რა არის ალბათობა
იმისა,რომ შეირჩევა 1 მოსწავლე?

150
39. ხდომილობათა ჯამის ალბათობა
ვთქვათ, M მოცემული ექსპერიმენტის ელემენტარულ ხდომი-
ლობათა სივრცეა - ყველა ელემენტარული ხდომილობის
სიმრავლე, მაშინ P(M) =
ა)1 ბ) 2
გ) 0 დ) 9
თუ M და N არათავსებადი ხდომილობებია, მაშინ
ა) P(M+N)>P(M)+P(N) ბ) P(M+N)<P(M)+P(N)
გ) P(M+N)=P(M)+P(N)დ)(M+N)≠P(M)+P(N)
ვთქვათ, კამათლის გაგორებისას A არის ლუწი რიცხვის
მოსვლა, B არის მარტივი რიცხვის მოსვლა, მაშინP(A+B)=’
ა) 2/6 ბ) 3/6
გ) 4/6 დ) 5/6

151
აგორებენ ერთ კამათელს და მოცემულია A და B ხდომი-
ლობები. A - კენტი რიცხვის მოსვლა, B- ლუწი რიცხვის მოსვლა,
მაშინ
ა)P(A +B)=0,1
ბ) A და B თავსებადი ხდომილობებია
გ) A და B არათავსებადი ხდომილობებია
დ) P(A +B)=0.5
კარტის დასტიდან იღებენ ორ კარტს და მოცემულია A და B
ხდომილობები: A- ორივე კარტი არის გულის, B - ორივე კარტი
არის ტუზი,მაშინ
ა)P(A +B)=0,15 ბ) A და B ხდომილობები არათავსებადია
გ)P(A +B)=0,78 დ) A და B ხდომილობები თავსებადია
ყუთიდან,რომელშიც 4 თეთრი, 5 შავი და 3 წითელი ბურთია,
შემთხვევით იღებენ ერთ-ერთს. იპოვეთ A და B ხდომი-
ლობების ჯამის ალბათობა, თუ A - ამოღებული ბურთი
თეთრია, B - ამოღებული ბურთი წითელია
ა) 2/3 ბ) 7/12 გ) 4/5 დ) 3/12

152
იპოვეთ იმის ალბათობა, რომ 52-კარტიანი დასტიდან
ამოღებული კარტი იქნება ტუზი ან შვიდიანი.
ა) 5/13 ბ) 2/13 გ) 3/13 დ) 4/13
იპოვეთ ალბათობა იმისა,რომ 52-კარტიანი დასტიდან
შემტხვევით ამოღებული კარტი იქნება ჯვრის ან აგურის
ა) 0,6 ბ) 0,3 გ) 0,4 დ) 0,5
ქარხნის მთელი ნაწარმის 4% წუნდებულია,ვარგისი ნაწარმის
20% არის უმაღლესი ხარისხის.იპოვეთ იმის ალბათობა,რომ
შემთხვევით შერჩეული ნაწარმი იქნება ან წუნდებული,ან
უმაღლესი ხარისხის.
მოცემულია A ხდომილობა. A - კამათელზე ლუწი რიცხვის
მოსვლა.იპოვეთ P(A ) (Aხდომილობის საწინააღმდეგო
ხდომილობის ალბათობა)

153
ოთხი არათავსებადი ხდომილობიდან, რომელთა ალბათო-
ბებია: 0,16; 0,18; 0,25; 0,78, შეადგინეს ერთი ხდომილობა:
ხორციელდება ერთი მაინც ამ ხდომილობებიდან.რისი ტოლია
ამ ხდომილობის ალბათობა?
რა არის ალბათობა იმისა რომ შემთხვევით დასახელებული
ტელეფონის ნომრის ბოლო ციფრი 4-ია ან 3-ის ჯერადია?
40.ალბათობა. საწინააღმდეგო ხდომლება
თუ P(A) არის A ხდომილების ალბათობა, ხოლო P(B) არის B
ხდომილების ალბათობა, მაშინ P(A∙ 𝐵) =
ა) P(A) + P(B)
ბ) P(A) − P(B)
გ) P(A) : P(B)
დ) P(A) ∙ P(B)

154
თუ M და N არათავსებადი ხდომილობებია, მაშინ
ა)M∙ Nშეუძლებელი ხდომილებაა;
ბ) M∙ N=M
გ) M∙ N =N
დ)M∙ Nაუცილებელი ხდომილებაა;
თუ P(A)=1, მაშინ 𝑃(𝐴 ) =
ა) 1 ბ)
1
2
გ) 0 დ)
3
4
თუ P(A)=
1
3
; P(B)=
3
5
, ამასთან P(A) და P(B)დამოუკიდებელი
ხდომილებებია, მაშინ P(A∙ 𝐵) =
ა) 1 ბ)
1
5
გ) 0 დ)
3
4
თუ სპორტსმენის მიერ მიზანში მოხვედრის ალბათობაა 0,8;
მაშინ აცდენის ალბათობა უდრის:
ა) 0,5 ბ)0,8 გ) 0,2 დ)0

155
ტესტი40.6 (1 ქულა)
თუ ორ ჩოგბურთელს შორის შეხვსდრისას ერთ–ერთი სპორტ-
სმენის მოგების ალბათობაა 0,8; მაშინ იმის ალბათობა, რომ ეს
სპორტსმენი ორი თამაშიდან ორივეს მოიგებს არის:
ა)0,64 ბ) 1,6 გ) 1 დ) 0,16
თუ ორ ჩოგბურთელს შორის შეხვსდრისას ერთ–ერთი სპორტ-
სმენის მოგების ალბათობაა 0,8; მაშინ იმის ალბათობა, რომ ეს
სპორტსმენი პირველ თამაშს მოიგებს, ხოლო მეორე თამაშს
წააგებს არის:
ა) 1,6 ბ) 0,64 გ) 1 დ)0,16
15 ერთნაირ ბარათზე თითო ნატრალური რიცხვია ჩაწერელი 1–
დან 10–მდე. თუ ალალბედზე ერთმანეთის მოყოლებით ვიღებთ
ორ ბარათს–თითო–თითოს, ამოღებულ ბარათს უკან ვაბრუ-
ნებთ, მაშინ ალბათობა იმისა, რომ ორივე ბარათზე მარტივი
რიცხვია არის:
ა) 1 ბ)
1
9
გ)
2
3
დ)
1
5

156
მაკა და თეა კალათბურთს თამაშობენ. მაკას ბურთის კალათში
ჩაგდების ალბათობაა 60%, ხოლო თეასი კი 70 %; ისინი
ერთმანეთის მიყოლებით აგდებენ ბურთს კალათში. იპოვეთ
ალბათობა იმისა, რომ: ა) არც ერთი ბურთი კალათში არ
ჩავარდება: ბ) ორივე ბურთი კალათში ჩავარდება.
მაკა და თეა კალათბურთს თამაშობენ. მაკას ბურთის კალათში
ჩაგდების ალბათობაა 60%, ხოლო თეასი კი 70 %; ისინი
ერთმანეთის მიყოლებით აგდებენ ბურთს კალათში. იპოვეთ
ალბათობა იმისა, რომ: ა) კალათში მხოლოდ ერთი ბურთი
ჩავარდება: ბ)კალათში ერთი ბურთი მაინც ჩავარდება.
ააგე ხისებრი დიაგრამა და იპოვე, რადენი სამნიშნა რიცხვის
შედგენა შეიძლება ციფრებით: 0; 1; 2; 3 ; 4, ისე, რომ ციფრები არ
განმეორდეს.

157
ლუკა, ნიკა და რეზო ერთმანეთის მიმდევრობით ესვრიან
ბურთებს ყუთში; მათ მიერ ბურთების ყუთში ჩაგდების
ალბათობა შესაბამისად არის: 25 %; 35% და 40 %.ააგეთ
ხისებრი დიაგრამა და განსაზღვრეთ : ა) რა არის ალბათობა
იმისა, რომ ვერც ერთი ვერ ჩააგდებს ბურთს კალათში: ბ) ვერც
ერთი ვერ ჩააგდებს კალათში ბურთს.

158
ტესტების პასუხები
1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8
დ ბ ა გ ა დ ბ გ
1.9 1.10 1.11 1.12
3,5 1 გაზარდოს 20
კმ/სთ–ით
II შემთხ.
მეტს
5
12
კმ–ით
2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8
ბ გ დ ა გ ა ბ ბ
2.9 2.10 2.11 2.12
4 2 1 3 3
3.1 3.2 3.3 3.4
დ გ გ ბ
3.9 3.10
6
6
;
5
5
; 5; 6. არ არსებობს
3.5 3.6 3.7 3.8
გ ა დ ბ
3.11 3.12
𝑐 = − 11; 𝑏 = − 7;
𝑎 = 7; 𝑑 = 11.
𝐴 = − 10; 𝐷 = 8

159
4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8
ა ბ გ დ ა ბ გ დ
4.9 4.10 4.11 4.12
23 1,002 4 5
5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7 5.8
დ ბ გ ა გ ა დ გ
5.9 5.10 5.11 5.12
7 კგ 38 კგ 2 სთ 10 წთ
a:c=14:9;
b:d=4:5
a:d=3:5
7.1 7.2 7.3 7.4 7.5 7.6 7.7 7.8
ბ დ ბ გ ა დ ბ ა
7.9 7.10 7.11 7.12
2 სმ 23 სმ
A–ზე
35მგზავრი;
B–ზე 36
მგზავრი
19 ლ
6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 6.6 6.7 6.8
ბ გ ბ გ დ ა ბ გ
6.9 6.10 6.11 6.12
[5; 9] 1 3 3

160
8.1 8.2 8.3 8.4 8.5 8.6 8.7 8.8
გ ბ ა ა გ ა ბ დ
8.9 8.10 8.11 8.12
1 –3 ა) f(x)=5x+300;
ბ) [0; 30]
გ) უმცირესი
მნიშ.–300
უდიდესი
მნიშვ.–450
ა)f(-5)=-3;
f(0)=0; f(5)=-3
ბ) R
გ)[−∞ ; 2]
9.1 9.2 9.3 9.4 9.5 9.6 9.7 9.8
ა ბ დ გ ბ დ ა გ
9.9 9.10 9.11 9.12
k=-2; b=1 (-2; 19) k>0; b<0 ზრდადობის
შუალედია
[1;∞)
კლებადობის
შუალედია (–
∞; 1)
10.1 10.2 10.3 10.4 10.5 10.6 10.7 10.8
ბ დ ა გ დ ბ გ ა
10.9 10.10 10.11 10.12
b=3; c=4. b=-6; c=-9 b=8; c=6 p=3; q=-2

161
11.1 11.2 11.3 11.4 11.5 11.6 11.7 11.8
დ ბ გ ა გ ა დ ბ
11.9 11.10 11.11 11.12
b=1; b=9 −∞; −4,5 a<0; b<0; c>0. a>0; b<0; c<0.
12.1 12.2 12.3 12.4 12.5 12.6 12.7 12.8
ბ გ ა დ ა ბ დ ა
12.9 12.10 12.11 12.12
x2-20x+32=0 x1>0; x2>0 p=-1 p=3
13.1 13.2 13.3 13.4 13.5 13.6 13.7 13.8
ა ბ გ დ ა ბ ა გ
13.9 13.10 13.11 13.12
[–10; 10] [–1; 4] 𝑥
∈ −3;0 ∪ 5; 6
∪ 6; ∞ ∪ {2}
x2-x-3
14.1 14.2 14.3 14.4 14.5 14.6
ბ დ ა გ გ ა
14.9 14.10 14.11
x=1; 𝑥 =
−17± 189
10
x=1; x=3; 𝑥 = 2 ± 10 x=-1; x=-4; 𝑥 =
−3± 5
2
14.7 14.8
დ ბ
14.12
𝑥 =
−15 ± 741
6
; 𝑥 = −1; 𝑥 = −4

162
15.1 15.2 15.3 15.4 15.5 15.6 15.7 15.8
15.9 15.10 15.11 15.12
30 კოსტუმი 3 კმ/სთ; 4
კმ/სთ
6 სთ; 12 სთ 25
16.1 16.2 16.3 16.4 16.5 16.6 16.7 16.8
16.9 16.10 16.11 16.12
1–ით 4–ით 1 9–ით
17.1 17.2 17.3 17.4 17.5 17.6 17.7 17.8
17.9 17.10 17.11 17.12
შაბათი ოთხშაბათი 0 0
18.1 18.2 18.3 18.4 18.5 18.6 18.7 18.8
ა ბ გ დ ა ბ გ ა
18.9 18.10 18.11 18.12
x=4; y=4 (1;2); (2;1); (-
1;-2);(-2;-1)
(3,5;-2,5); (2,5;-
3,5)
(2;3); (3;2)

163
19.1 19.2 19.3 19.4 19.5 19.6 19.7 19.8
ბ დ ა გ დ ბ ა გ
19.9 19.10 19.11 19.12
8 სმ; 9 სმ 75 75კმ/სთ 20 ძროხა; 15
დღე
20.1 20.2 20.3 20.4 20.5 20.6 20.7 20.8
გ ა გ ბ გ დ ბ ა
20.9 20.10 20.11 20.12
P=12 S=35
21.1 21.2 21.3 21.4 21.5 21.6 21.7 21.8
დ ბ გ ა ა ბ გ დ
21.9 21.10 21.11 21.12
–1 22 360 –14 და 12,5
ან 3 და 4
22.1 22.2 22.3 22.4 22.5 22.6 22.7 22.8
19.9 19.10 19.11 19.12
1120 72 1296 12
3

164
23.1 23.2 23.3 23.4 23.5 23.6 23.7 23.8
23.9 23.10 23.11 23.12
b1=3; b2=-12;
b3=48; b4=-192
b1=5; b2=-10;
b3=20; b4=-40
b1=3; b2=6;
b3=12
14; -28; 56; -
112
24.
1
24.
2
24.
3
24.
4
24.5 24.6 24.7 24.8
გ ა დ ბ ა ბ გ დ
24.9 24.10 24.11 24.12
D(6;1) (8;–3
25.1 25.2 25.3 25.4 25.5 25.6 25.7 25.8
გ ა ბ დ ბ დ ა დ
25.9 25.10 25.11 25.12
x=4; y=-2 MK = 17 𝑃∆𝐴𝐵𝐶 = 35 S=70
1A
1C
1B
1A
1B1C
1D

165
26.1 26.2 26.3 26.4 26.5 26.6 26.7 26.8
გ ა დ ბ გ ა ბ გ
26.9 26.10 26.11 26.12
𝑥 = ±3 220 ა) 24 ბ) B 𝑃∆𝑀𝑁𝐾
= 2 6 + 2 5 + 2
27.1 27.2 27.3 27.4 27.5 27.6 27.7 27.8
გ ა დ ბ დ ა გ ბ
27.9 27.10 27.11 27.12
6 სმ 6 სმ; 9 სმ BE=35 სმ;
BN=3 სმ
5 სმ
28.1 28.2 28.3 28.4 28.5 28.6 28.7 28.8
გ ა დ ბ ა გ ბ დ
28.9 28.10 28.11 28.12
AC=12 სმ 8 სმ 7,2 სმ; 1
13
35
სმ;
11
3
7
სმ.
61,44სმ2
29.1 29.2 29.3 29.4 29.5 29.6 29.7 29.8
გ გ დ ა ბ გ დ ბ
29.9 29.10 29.11 29.12
𝑐𝑜𝑠𝛼
= −
7
25
; 𝑡𝑔𝛼
= −
24
7
𝑐𝑜𝑠𝛼
= −
4
5
; 𝑠𝑖𝑛𝛼
=
3
5
2 3 + 2; 6
+ 2
300

166
30.1 30.2 30.3 30.4
ბ ა დ ბ
30.9 30.10
540 ; 660 ; 600 ა) 1050 ; 1250 ; ბ) 38 სმ
30.5 30.6 30.7 30.8
ა ბ გ დ
30.11 30.12
𝑅 =
6
sin180
; 𝑟 =
6
𝑡𝑔180
; 𝑆
=
360
𝑡𝑔180
𝑅 =
6
sin180
; 𝑟 =
6
𝑡𝑔180
; 𝑆
=
360
𝑡𝑔180
31.1 31.2 31.3 31.4 31.5 31.6 31.7 31.8
ბ ა გ დ ბ დ ა გ
31.9 31.10 31.11 31.12
28 14; 24 22,5 15 და 25
32.1 32.2 32.3 32.4 32.5 32.6 32.7 32.8
32.9 32.10 32.11 32.12
27π სმ2 𝑆
= 16 4𝜋
− 3 3 სმ2
π სმ2 12

167
33.1 33.2 33.3 33.4 33.5 33.6 33.7 33.8
გ დ ბ ა დ ბ ა ბ
33.9 33.10 33.11 33.12
18 მ2 90 დმ2
34.1 34.2 34.3 34.4 34.5 34.6 34.7 34.8
34.9 34.10 34.11 34.12
2 სმ 25 სმ; 30 სმ 3
4
151 სმ
35.1 35.2 35.3 35.4 35.5 35.6 35.7 35.8
გ ა დ ა გ დ ბ დ
35.9 35.10 35.11 35.12
188 მ2 2280 სმ2 896 სმ2 8მ და 5 მ

168
36.1 36.2 36.3 36.4 36.5 37.6 36.7 36.8
ა ა დ ა ბ გ ბ ა
36.9 36.10 36.11 36.12
40% და
2,25 ჯერ
მეტი
ა) 




10;20 ;
20;30 ;
30;40 ;
40;50 ;
50;60





ა) 800-
1600
ბ) 2013
გ) 1
ა)





10;20 ;
20;30 ;
30;40 ;
40;50 ;
50;60





37.1 37.2 37.3 37.4 37.5 37.6 37.7 37.8
გ დ დ ა გ ა დ ბ
37.9 37.10 37.11 37.12
ა) 8
ბ) 8
5 მედიანა-85
მოდა 85
20%
0
5
9
6
8
2
0
5
10
Category 1
5
968
2
0
5
10
Category 1

169
38.1 38.2 38.3 38.4 38.5 38.6 38.7 38.8
ბ ბ გ ბ გ ბ დ გ
38.9 38.10 38.11 38.12
9 1/216 1/1111 0,6
39.1 39.2 39.3 39.4 39.5 39.6 39.7 39.8
ა გ დ გ დ ბ ბ დ
39.9 39.10 39.11 39.12
0,232 0,5 1,37ლ. 0,5
40.1 40.2 40.3 40.4 40.5 40.6 40.7 40.8
დ ა ბ გ გ ა დ ბ
40.9 40.10 40.11 40.12
ა) 0,12 ბ)
0,42
ა) 0,46 ბ)
0,88
96 ა) 0,2925; ბ)
0,035.

170
შეამაჯამებელი ტესტური დავალების ნიმუში
კლასი: IX ---
თარიღი:---------------------------------
სახელი, გვარი--------------------------
ა.ვეფხვაძე
შემაჯამებელი ტესტური დავალება მათემატიკაში
#6 ვარიანტი 1
საკითხი N1 (ქულა 0,5)
თუ y = 2x2, მაშინ ჩამოთვლილი წერტილებიდან A(-2; 4) B(-1; 2)
C(2; -8) D (-1; -2) ამ პარაბოლას ეკუთვნის:
თუ y = -3x2 მაშინ:
1)f (1)>f(3) 2)f(1) = f (3)
3)f(1)<f(3) 4)შედარება შეუძლებელია
Y =3x2 -6x + 8 პარაბოლას სიმეტრიის ღერძია:
1)x = 8 2)x = 3 3)x = 6 4)x = -1

171
Y = 3(x – 2)2 + 5 პარაბოლის წვეროს კოორდინატებია:
1) (2; 5) 2) (–2; 5) 3) (2; –5) 4) (–2; –5)
თუ მოცემულია 3x2 – 9x + 1 = 0 განტოლება და ამ განტოლების
ფესვებია x1 და x2 მაშინ x1 +x2=
1)-3 2) 9 3) 3 4) 1
საკითხი N6 (ქულა 1)
ამოხსენით განტოლება: 5x2 – 3x -14 = 0
გაარკვიეთ იკვეთება თუ არა შემდეგი ფუნქციის გრაფიკები: y =
5 და y = x2 – 2x + 2; და თუ ეს გრაფიკები იკვეთებიან იპოვეთ
გადაკვეთის წერტილების კოორდინატები.
ამოხსენით კვადრატული უტოლობა: 5x2 – 9x – 18 ≤ 0.

172
ცნობილია, რომ 4x2 + nx -40 = 0 განტოლების ფესვების ნამრავლი
ფესვების ჯამზე 7–ით ნაკლებია. იპოვეთ n და განტოლების
ფესვები.
იპოვეთ 𝑦 =
5𝑥+1
4𝑥2+4𝑥+1
ფუნქციის განსაზღვრის არე.
1 2 3 4 5
მაქ.ქ 0,5 0,5 0,5 0,5 0.5
მიღ,ქ
6 7 8 9 10 სულ
1 2 1,5 2 1 10
საბოლოო
ქულა პედაგოგის ხელმოწერა
ა.ვეფხვაძე

173
შეფასების რუბრიკა.
შეფასების სქემა
1–5 საკითხში: სწორი პასუხი შეფასდეს 0,5 ქულით.
საკითხი N6. დაწერა კვადრატული განტოლების გამოსა-
თვლელი ფორმულები იპოვა დისკრიმინანტი სწორად –
შეფასდეს 0,5 ქულით. იპოვა ორივე ფესვი, შეფასდეს 1 ქულით.
საკითხი N7. გაუტოლა y - ები ერთმანეთს შეფასდეს 0,5
ქულით. ამოხსნა განტოლება მიიღო ფესვები შეფასდეს კიდევ 1
ქულით. დაწერა გადაკვეთის წერტილის კოორდინატები
შეფასდეს 1 ქულით.
საკითხი N8. დაწერა შესაბამის კვადრატული განტოლება და
ამოხსნა– შეფასდეს 1 ქულით. ამოხსნა კვადრატული უტოლობა
– შეფასდება 0,5 ქულით.
საკითხი N9. დაწერა ვიეტის თეორემის მიხედვით ფესვების
ჯამი და ფესვების ნამრავლი შეფასდეს 0,5 ქულით. დაწერა
განტოლება ამოცანის პირობის მიხედვით და იპოვა უცნობი
კოეფიციენტი – შეფასდეს 0,5 ქულით. იპოვა ფესვები შეფასდეს
– 0,5 ქულით

174
საკითხი N10. დაწერა რომ ფესქვეშა გამოსახულება მეტი უნდა
იყოს 0–ზე – შეფასდეს – 0,5 ქულით. საწერა პასუხი სწორად
შეფასდეს 1 ქულით.
1 ვარიანტის პასუხები:
2
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
I
2 1 4 1 3 2; -
1,4
(-
1,5)
(3;
5)
[1,2;
3]
n=12
X1=-5;
x2 =2
(∞;-
1
2
)U(-
1
2
;+∞)
I ვარიანტის ზოგიერთი მაგალითის ამოხსნა:
საკითხი N7.
გაუტოლეთ ფუნქციის მნიშვნელობები:
x2 – 2x + 2 =5; x2 -2x -3 =0 D1 = 1+3=4 x1=1+2=3 x2=1-
2=-1; ( -1; 5 ) ( 3 ; 5)
ფუნქციათა გრაფიკები იკვეთება და გადაკვეთის წერტილებია (–
1 ; 5 ) ( 3 ; 5 ).
საკითხი N8
5x2 – 9x – 18 < 0 ვიპოვოთ შესაბამისი განტოლების ფესვები 5x2 –
9x – 18 = 0
D = 441 X0 =
9−21
10
= −
12
10
= - 1,2
x2=
9+21
10
= 3
რადგან a = 5>0 ამიტომ პარაბოლის შტოები მიმართულია
ზემოთ; ფუნქცია უარყოფითი იქნება შუალედში [ –1; 2; 3 ]

175
4x2+nx - 40 = 0 განტოლებისთვის ვიეტას თეორემის თანახმად
შეგვიძლია დავწეროთ: x1 + x2 =
−𝑛
4
x1 ∙ x2 =
−40
4
= −10
ამოცანის პირობის თანახმად ფესვების ნამრავლი ფესვების
ჯამზე 7–ით ნაკლებია, ამიტომ შეგვიძლია დავწეროთ: (x1 + x2) -
x1 ∙ x2 = 7
−𝑛
4
+ 10 = 7
−𝑛
4
= -3 n = 12
4x2+12x-40=0; x2+3x-10=0 ; D=49 x1=
−3+7
2
= 2 x2=-5
წილადის განსაზღვრის არე არის x-ის ყველა ის მნიშვნელობა
რომლისთვისაც ფესვქვეშა გამოსახულება მეტია 0–ზე ანუ უნდა
ამოვხსნათ უტოლობა: 4x2+4x+1>0 ( 2x+1)2 >0 ეს გამოსახულება
ყოველთვის დადებითია გარდა x=-
1
2
მნიშვნელობისთვის
ამიტომ ამ ფუნქციის განსაზღვრის არეა ( – ∞ ; -
1
2
) U ( -
1
2
; + ∞ )

176
„მათემატიკის” მეექვსე შემაჯამებელი ტექსტური
დავალება შეესაბამება შემდეგ თემატიკას:
1) ვიწყებთ კვადრატული ფუნქციის შესწავლას.
2) კვადრატული ფუნქციის თვისებები.
3) კვადრატული ფუნქციის ნულები.
4) ვიეტას თეორემა.
5) კვადრატული უტოლობა.
დავალების სტანდარტთან შესაბამისობა
შემაჯამებელი ტექსტური დავალება შესაბამისობაშია IX კლასის
„მათემატიკის” სტანდარტის მიმართულებებთან:
მიმართულება: კანონზომიერებები და ალგებრა
მათ. IX.6. მოსწავლეს შეუძლია ფუნქციებისა და მათი
თვისებების გამოყენება სიდიდეებს შორის დამოკიდე-
ბულების აღსაწერად და გამოსაკვლევად.
შედეგი თვალსაჩინოა, თუ მოსწავლე:
 მოცემული ფუნქციისათვის, რომელიც აღწერს რეალურ
ვითარებას, პოულობს ფუნქციის მნიშვნელობას, ნულებს,
მაქსიმუმს/მინიმუმს, ზრდადობა/კლებადობისა და ნიშან-
მუდმივობის შუალედებს და ახდენს მათ ინტერპრეტაციას
ამ ვითარების კონტექსტში;
 ახდენს ფუნქციის გრაფიკის თვისებების (დახრის კოე-
ფიციენტი და საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთა)
ინტერპრეტირებას სიდიდეებს შორის დამოკიდებულების
გასაანალიზებლად;

177
sarCevi
N1. რაციონალური რიცხვები:............................................................6
N2. კვადრატული ფესვი. კვადრატული ფესვის შემცველი
გამოსახულებების გარდაქმნა.............................................................9
N3. ირაციონალური რიცხვი; ნამდვილი რიცხვები:.....................12
N4. n-ური ხარისხის ფესვი. ფესვის თვისებები: ...........................15
N5. პროპორცია და უკუპროპორცია;
პროპორციულ ნაწილებად დაყოფა.................................................18
N6. რიცხვითი უტოლობები; უტოლობების დამტკიცება..........22
N7. წრფივ ერთუცნობიან უტოლობათა სისტემა: .........................25
N8. ფუნქციის მოცემის ხერხები; ფუნქციის თვისებები...............28
გრაფიკის მიხედვით უპასუხეთ 8.4–8.7 ტესტებს .........................29
N9. წრფივი ფუნქცია..........................................................................32
N10. კვადრატული ფუნქციის თვისებები.......................................35
N11. კვადრატული ფუნქციის ნულები. კვადრატული
განტოლების ფესვები.........................................................................39
N12. ვიეტის თეორემა; კვადრატული სამწევრის დაშლა
მამრავლებად. ......................................................................................42

178
N13. კვადრატული უტოლობა; უტოლობის ამოხსნა
ინტერვალთა მეთოდით....................................................................45
N14. მთელი და წილადური განტოლებები. განტოლებები,
რომლებიც კვადრატულზე დაიყვანება..........................................48
N15. ამოცანების ამოხსნა კვადრატული
განტოლებების გამოყენებით............................................................51
N16. ნაშთთა კლასები .........................................................................56
N17. შედარებები..................................................................................59
N18. განტოლებათა სისტემები..........................................................62
19. ამოცანების ამოხსნა განტოლებათა
სისტემის შედგენაზე ..........................................................................65
20. წრფივი ორუცნობიანი უტოლობისა და უტოლობათა
სისტემის გეომეტრიული წარმოდგენა ...........................................72
N21. მიმდევრობა. რეკურენტული წესით მოცემული
მიმდევრობები. არითმეტიკული პროგრესია................................76
N22. არითმეტიკული პროგრესიის
n წევრის ჯამის ფორმულა................................................................79
N23. გეომეტრიული პროგრესია.......................................................82
N24. გეომეტრიული გარდაქმნები: ღერძული სიმეტრია
ცენტრული სიმეტრია: .......................................................................86

179
N25. ვექტორი. მოქმედებები ვექტორებზე. ...................................90
N26. პარალელური გადატანა. მობრუნება. ჰომოთეტია.
წერტილის კოორდინატები სივრცეში. ...........................................93
N27. მსგავსი ფიგურები. სამკუთხედების მსგავსი ნიშნები........96
N28. მეტრული თანაფარდობა მართხკუთხა სამკუთხედის
ელემენტებს შორის, სამკუთხედის ბისექტრისის თვისება,
მსსგავსი მრავალკუთხედების პერიმეტრებისა
და ფართობების შეფარდება...........................................................100
N29. ტრიგონომეტრიული ფუნქციები; ტრიგონომეტრიული
თანაფარდობები მართხკუთხა სამკუთხედში ძირითადი
ტრიგონომეტრიული იგივეობები. ................................................104
N30. წრეწირთან დაკავშირებული კუთხეები; წრეწირში
ჩახაზული და წრეწირზე შემოხაზული მრავალკუთხედები. ..107
N31. წრეწირთან დაკავშირებული მონაკვეთები; მხები და
მკვეთი; წრეწირთა ურთიერთგანლაგება. ....................................111
N32. წრეწირის სიგრძე, წრის ფართობი; სექტორის ფართობი;
რკალის სიგრძე; წრეზე შემოხაზული და წრეში ჩახაზული
სამკუთხედები...................................................................................116
N33. ტოლდიდი და პროპოციული ნაწილები სამკუთხედში,
ტრაპეციაში და ნებისმიერ ოთხკუთხედში;

180
ჰერონის ფორმულა; სამკუთხედის ფართობის
გამოთვლა ორი გვერდითა და მათ შორის
მდებარე კუთხით; ამოცანები აგებაზე..........................................120
N34. მანძილი, მართობი; დახრილი. გეგმილი მანძილი
წერტილიდან სიბრტყემდე. ............................................................124
N35. პრიზმა; პირამიდა ....................................................................128
36.მონაცემთა წარმოდგენის ხერხები............................................131
N 37. საშუალო, მოდა, მედიანა კვადრატული გადახრა............139
38. ელემენტარულიხდომილობა. ხდომილობა.
ხდომილობისალბათობა..................................................................146
39. ხდომილობათა ჯამის ალბათობა............................................150
40.ალბათობა. საწინააღმდეგო ხდომლება ...................................153
ტესტების პასუხები .........................................................................158
შეამაჯამებელი ტესტური დავალების ნიმუში............................170
შემაჯამებელი ტესტური დავალება მათემატიკაში....................170
შეფასების რუბრიკა. .........................................................................173
დავალება შეესაბამება შემდეგ თემატიკას:...................................176

9 klasi

More Related Content

What's hot

Similar to 9 klasi

More from Larisa Kavtaradze

9 klasi