1. 1+𝑛 𝑛
, כמו כן ייתכן ולמדתם כי הסכום עד היום סביר כי למדתם כי הסכום של הסדרה החשבונית 𝑛 + ⋯ + 3 + 2 + 1 הוא
2
1+𝑛2 1+𝑛 𝑛
. בדרך כלל, ההוכחה של נכונות הנוסחאות הללו מובאת בצורת 6
של הסדרה 2𝑛 + ⋯ + 23 + 22 + 21 הוא
1+ 𝑛2 1+𝑛 𝑛
= 2𝑛 + ⋯ + 23 + 22 + 21 באינדוקציה: 6
אינדוקציה. לדוגמא, נוכיח כי
1+1∙2 1+1 1
= 1 = 21 בסיס:(1 = 𝑛 ) קל לראות כי במקרה זה
6
1+𝑘2 1+𝑘 𝑘
= 2 𝑘 + ⋯ + 23 + 22 + 21 . 6
הנחה:(𝑘 = 𝑛 ) נניח כי המשוואה מתקיימת עבור 𝑘 , כלומר
צעד אינדוקטיבי:(1 + 𝑘 = 𝑛 ) נוכיח כי המשוואה מתקיימת עבור 1 + 𝑘 . נשתמש בהנחת האינדוקציה ונקבל:
1 + 𝑘2 1 + 𝑘 𝑘
1 + 12 + 22 + 32 + ⋯ + 𝑘 2 + k 2
= 1+𝑘 + 2
6
1 + 𝑘2 𝑘
1+𝑘 = 1+𝑘 +
6
6 + 𝑘7 + 2 𝑘2
1+𝑘 =
6
6 + 𝑘31 + 2 𝑘9 + 3 𝑘2
=
6
1+𝑘 3 + 𝑘2 2 + 𝑘
=
6
1+𝑘 1+ 1+𝑘 2 1+ 1+𝑘
=
6
למרות שהוכחות מסוג זה טובות כדי להצדיק את הטענה, אין בהן אף רמז לדרך שבה ניתן להגיע לנוסחאות הללו. נניח ונרצה
למצוא את הסכום של הסדרה 3𝑛 + ⋯ + 33 + 32 + 31 . אין לנו כל דרך להשתמש באינדוקציה כדי לעשות זאת. עם זאת
𝑛
קיימת שיטה למציאות נוסחאות מסוג זה, ואותה נציג כאן. כדוגמא לשימוש בשיטה זו נמצא את סכום הסדרה3 𝑘 1=𝑘 .
4
1 + 𝑘 . את 2 צידיי השיוויון נסכום על 𝑛 , … ,1 = 𝑘 , ונקבל: נתחיל עם השיוויון: 1 + 𝑘4 + 2 𝑘6 + 3 𝑘4 = 4 𝑘 −
𝑛 𝑛
4 4
1+𝑘 𝑘 − = 1 + 𝑘4 + 2 𝑘6 + 3 𝑘4
1=𝑘 1=𝑘
מצד ימין נכניס פנימה את אופרטור הסכימה, ומצד שמאל נבחין כי נתון לנו טור טלסקופי, ולכן נוכל לכווץ אותו ולקבל:
𝑛 𝑛 𝑛 𝑛
4 3 2
1+𝑛 4=1− 6+ 𝑘 4+ 𝑘 +𝑘 1
1=𝑘 1=𝑘 1=𝑘 1=𝑘
2. אנו רואים כי עבור 3 מהטורים שמימין אנו כבר מכירים את הצורה הסגורה, ולכן נוכל להציבה ולקבל:
𝑛
4
1 + 𝑛2 1 + 𝑛 𝑛 1+𝑛 𝑛
1+𝑛 4=1− ∙ 6 + 3𝑘 ∙4+ 𝑛 +
6 2
1=𝑘
הטור היחיד שנותר כעת במשוואה הוא הטור שאת צורתו הסגורה אנו מחפשים, אז נותר לנו רק לבצע העברת אגפים וסידור:
𝑛
= 3𝑘 1+𝑛 4
4 1 − 𝑛 − 1 + 𝑛 𝑛2 − 1 + 𝑛2 1 + 𝑛 𝑛 −
1=𝑘
3
1+𝑛 = 1+𝑛 4 1 − 𝑛2 − 1 + 𝑛2 𝑛 −
3
1+𝑛 = 1+𝑛 1 + 𝑛2 − 1+𝑛 4
2 2
1+𝑛 = 1+𝑛 4 1 − 𝑛2 −
1 + 𝑛 2𝑛 = 2
4
2 1+𝑛 2 𝑛
= 3𝑛 + ⋯ + 33 + 32 + 31 . כדי למצוא את הצורה הסגורה של סכום החזקות השלישיות בסה"כ קיבלנו אם כן
4
השתמשנו בצורות הסגורות של סכומי החזקות השניות והראשונות. נכליל את דוגמא זו, ונראה כיצד ניתן למצוא נוסחא לצורה
𝑛
הסגורה של 𝑚 𝑘 0=𝑘 , כאשר הנוסחאות הסגורות של כל הסכומים עם חזקות קטנות מ 𝑚 כבר ידועות:
-
נתחיל כמו מקודם עם השיוויון:
𝑚
1+ 𝑚 1+ 𝑚
𝑖 1+𝑚
1+𝑘 𝑘 − = 𝑘
𝑖
0=𝑖
אותו אנו משיגים מהבינום של ניוטון. את 2 צידיי השיוויון נסכום על 𝑛 , … ,1 = 𝑘 , ונקבל:
𝑛 𝑛 𝑚
1+ 𝑚 1+ 𝑚
𝑖 1+𝑚
1+𝑘 𝑘 − = 𝑘
𝑖
1=𝑘 0=𝑖 1=𝑘
מצד ימין נסדר את אופרטורי הסכימה, ומצד שמאל נבחין כי נתון לנו טור טלסקופי, ולכן נוכל לכווץ אותו ולקבל:
𝑚 𝑛
1+ 𝑚
1+𝑚
1+𝑛 =1− 𝑖𝑘
𝑖
0=𝑖 1=𝑘
נוציא מתוך הסכום החיצוני את הסכום הפנימי שרץ על חזקות בגודל 𝑚 :
1− 𝑚 𝑛 𝑛
1+ 𝑚
1+𝑚 𝑖
1+𝑚 𝑚
1+𝑛 =1− + 𝑘 𝑘
𝑖 𝑚
0=𝑖 1=𝑘 1=𝑘
1− 𝑚 𝑛 𝑛
1+𝑚
= + 𝑖𝑘 1+𝑚 𝑘 𝑚
𝑖
0=𝑖 1=𝑘 1=𝑘
3. יצאנו מתוך ההנחה כי עבור 1 − 𝑚 הטורים הקטנים מימין אנו כבר מכירים את הצורה הסגורה, ולכן נותר לנו רק לבצע העברת
אגפים וסידור:
𝑛 1− 𝑚 𝑛
𝑚 1+ 𝑚
1+𝑚
𝑘 = 1+𝑛 −1− 𝑖𝑘 1+𝑚
𝑖
1=𝑘 0=𝑖 1=𝑘
𝑛 𝑚
𝜎 , נוכל לרשום: 𝑚
≔ 0=𝑘 𝑘 בכך מצאנו למעשה נוסחא רקורסיבית למציאת סכומי חזקות. אם נסמן
𝑛 0=𝑚 ;
𝜎 𝑚
= 1− 𝑚
1+ 𝑚
1+𝑚
1+𝑛 −1− 𝑖𝜎 1+𝑚 0>𝑚 ;
𝑖
0= 𝑖
תרגילים:
(הרמזים מוסתרים. יש לשנות את צבעם כדי לראותם.)
1) מצא את הצורה הסגורה של 4𝑛 + ⋯ + 43 + 42 + 41 .
2) הוכח כי 1+ 𝑚 𝑛 𝜎 𝑚 = Θבשני דרכים. אחת על ידי אינדוקציה על 𝑚 , והשניה על ידי מציאת חסם עליון
ותחתון מפורשים לביטוי 𝑚 𝑛 + ⋯ + 𝑚 3 + 𝑚 2 + 𝑚 1 .
רמז:
עבור ההוכחה באינדוקציה: יש להשתמש בנוסחא הרקורסיבית, ולהתחשב בכך שאך ורק בחזקה הגבוהה ביותר של
פולינום קובעת את הסדר שלו.
עבור מציאת חסמים: נסה לשנות את הערכים שמועלים בחזקה. נסה לשנות את כמות האיברים בסכום.
3) מצא את סכום כל המכפלות של זוגות המספרים השלמים השונים, מ-1 עד 𝑛 , כלומר מצא את הצורה הסגורה של:
𝑠 ⋅𝑟
𝑛≤𝑠<𝑟≤1
רמז:
3 3 3 3 2
היעזר בעובדה כי 𝑛 + ⋯ + 3 + 2 + 1 = 𝑛 + ⋯ + 3 + 2 + 1 , ונסה לפתוח את הסוגריים בביטוי
הימני של השיוויון.
4) יוסי ודויד מתקשרים על בסיס קבוע באמצעות מערכת תקשורת מאובטחת השומרת את שיחותיהם. מערכת זו מקבלת
מכל אחד מהם מפתח, ויוצרת מפתח משותף שדרכו מתאפשרת גישה להיסטוריית השיחות שלהם. האלגוריתם בו
המערכת משתמשת יוצר את המפתח המשותף בסיבוכיות של 𝑑 𝐾 ⋅ 𝑦 𝐾 , Θכאשר 𝑑 𝐾 ו- 𝑦 𝐾 הם אומדנים מספריים של
רמות המורכבות של המפתחות של דויד ויוסי. ארז מנסה לפרוץ למערכת זו בכדי לצפות בהיסטוריית השיחות של יוסי
ודויד. ארז יודע כי דויד משתמש במפתחות מקבוצה 𝑛 𝑎 , … , 2𝑎 , 1𝑎 = 𝐴 , כשרמת המורכבות של המפתח 𝑖 𝑎 היא 𝑖 .
כמו כן ארז יודע כי יוסי משתמש במפתחות מקבוצה 𝑛 𝑏 , … , 2𝑏 , 1𝑏 = 𝐵 , כשרמת המורכבות של המפתח 𝑖 𝑏 היא
2 𝑖 . ארז משתמש באלגוריתם brute forceהמנסה לגשת למערכת על ידי ניסוי כל הצירופים האפשריים של מפתחות.
א) מהי סיבוכיות האלגוריתם של ארז?
ב) האם הסיבוכיות תשתנה בעקבות כך שארז יגלה כי אם דויד בחר ב- 𝑎 ויוסי בחר ב- 𝑗𝑏 , אז 𝑗 ≠ 𝑖 .
𝑖
רמז:
התבונן בביטוי 2𝑛 + ⋯ + 23 + 22 + 21 𝑛 + ⋯ + 3 + 2 + 1 , ונסה לפתוח אותו.
