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「数学の世界」発表資料

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「数学の世界」発表資料

  1. 1. 順列・組合せ 確率・期待値 @_s_bear_ 1
  2. 2. 定義の復習 2
  3. 3. 階乗 – n! 1からnまでの自然数の総乗 𝑛! = 𝑛 ∗ 𝑛 − 1 ∗ 𝑛 − 2 ∗ ⋯ ∗ 1 –Ex) 5! = 5 * 4 * 3 * 2* 1 = 120 3
  4. 4. 順列 - nPi  n個の要素をi個の場所に並べる場合の数 – 順番を気にする 𝑛 𝑃𝑖 = 𝑛 ∗ 𝑛 − 1 ∗ ⋯ ∗ (𝑛 − 𝑖 + 1) –Ex) 5P3 = 5 * 4 * 3 = 60 4
  5. 5. 組み合わせ – nCi  n個の要素からi個を取り出す場合の数 – 順番を気にしない 𝑛 𝐶𝑖 = 𝑛 𝑃𝑖 𝑖! –Ex) 5C3 = 5 * 4 * 3 / 3 * 2 * 1 = 10 5
  6. 6. 順列と組合せの違い 5個のイスに3人が座る場合の数 – 順列(5P3) 3人の並びも含めて考える , – 組合せ(5C3) どのイスが使われるか考える 6 A B C B C A
  7. 7. 確率 – P(A) P A = 事象Aの起こる場合の数 起こりうるすべての場合の数N –Ex)52枚のジョーカー抜きトランプから スペードを取り出す確率 13/52 = 1/4 7
  8. 8. 期待値 – E(X) ある試行で得られる数値をxi そのときの確率をpiとする E 𝑋 = 𝒙 𝟏 𝒑 𝟏 + 𝒙 𝟐 𝒑 𝟐 + ⋯ + 𝒙 𝒏 𝒑 𝒏 Ex)サイコロの出目の期待値 1*1/6 + 2*1/6 + … +6*1/6 = 21/6 8
  9. 9. 身近な 組合せ・確率論 9
  10. 10. サイコロ問題 6面サイコロ1つを「全ての面が出る」 まで振る だいたい何回振れば条件を満たすか? – 期待値はいくつか? 10
  11. 11. サイコロ問題 新しい目が出る確率は徐々に下がる – 6/6, 5/6, 4/6, 3/6, 2/6, 1/6 𝐸 𝐴 = 𝑛 1 + 1 2 + 1 3 + ⋯ + 1 𝑛 – n=6を代入してE(A) = 14.7[回] 11
  12. 12. サイコロ問題 仮にこれを賭けゲームとする – 降るたびに10円消費, 揃った時にx円もらえる xの妥当な値は? – 回数の期待値14.7より147円 12
  13. 13. サイコロ問題 実は…… 先ほど考えた確率は、かつて規制された 「コンプガチャ」に近い 「n種類のガチャを全部揃えば特典」 – 厳密にはレア度による確率の違いなどで より複雑になる 13
  14. 14. より詳しく コンプガチャの数理 -コンプに必要な期待回数の計算方法について- – http://doryokujin.hatenablog.jp/entry/2012/05/09/034209 リアルなケースで考察しています 14
  15. 15. 並び替え問題 - 1 7枚のカードを1,2,3,4,5,6,7 として、 それらを並び替えることを考える。 全てのカードの並びは何通りか? →階乗・順列・組み合わせのどれ? 15 1 2 3 4 5 6 7
  16. 16. 並び替え問題 7枚の中から1枚取り出す →6枚の中から1枚取り出す →…… →1枚の中から1枚取り出す 階乗が使える –7! = 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 5040[通り] 161 2 3 6 74 5
  17. 17. 並び替え問題 - 2 1,7のカードが左3枚のいずれか 3,5のカードが右4枚のいずれか に来る確率はどれほどか? – 確率 = (その場合の数) / (全通り) 17 1 2 34 567
  18. 18. 並び替え問題  1,7・3,5各側の並びについて考える – 左側に1,7が来る並びは3P2 = 6[通り] – 右側に3,5が来る並びは4P2 = 12[通り]  2,4,6を3枚の空きに並べる – 3P2 = 6[通り]  それぞれは独立だから掛けて全通りが求まる – 6*12*6 = 432[通り] 181 2 3 67 4 5
  19. 19. 並び替え問題 確率は(その場合の数) / (全通り) – 432/5040 = 4/35 ≒ 8.7[%]  右側に1,7が来る場合も同様 – 6*12*6 = 432[通り] 19
  20. 20. 並び替え問題 実は…… 20 「7枚のカード」は ある音楽ゲームの 「譜面」と同値である と考えられる 1 2 3 6 74 5
  21. 21. 並び替え問題 実は…… 先ほど求めた場合の数は レーンの位置をランダムにする RANDOMオプションを用いた時に 「譜面が“割れる”パターン」に等しい 譜面が“割れる”と押しやすくなる →難易度が低下する 21 1 2 3 67 4 5
  22. 22. 譜面イメージ 22 1 2 3 6 74 5 両手を同じタイミングで 動かす必要がある →難しい
  23. 23. 譜面イメージ 23 1 3 6 742 64 51 2 37 4 5 両手を交互に動かす だけでよい →易しい
  24. 24. 余談 最近“R-RANDOM”という 「(反転させたもの含めた)譜面を 横にズラす」ランダムが実装された – 全12通り, 元のパターンとその反転は含まない – Ex) , これを使うと先ほどの場合で“割れる” 確率は1/6(16.7%)になる – 普通のRANDOM(8.7%)の約2倍!! 24 1 23 6 74 5 1236 745
  25. 25. より詳しく 「確率的視点から見た当たり譜面」 – http://sig49san.hatenadiary.jp/entry/2014/ 12/10/001412 統計的見地からも書かれています – 「統計学入門」が分かれば理解できます 25
  26. 26. n!,nPi,nCi,で 表せない場合の数 26
  27. 27. ウォームアップ 同じ正方形による格子状の道があり、 左上を始点, 右下を終点とする 最短距離のパターンは何通りか? – これは簡単に表せる 27 S G
  28. 28. 簡単な組み合わせ 解法 「右」と「下」をそれぞれ3回選ぶと考える → 6個の中から3つ選ぶ 6C3 = 6*5*4 / 3*2*1 = 20(通り) 28 S G
  29. 29. 難しい組み合わせ 同じ道を通らない全てのパターンは 何通りか? – 寄り道してもよい – 大きな数になりそう…… 29 S G
  30. 30. 難しい組み合わせ 実は公式は存在しない – NP困難に属すると予想されている – ざっくり言うと「簡単に計算できる方法がない」 – 計算時間が多項式で表せない “Self-Avoiding Walk”と呼ばれる問題 30
  31. 31. 組み合わせ爆発 格子の大きさをn * nとして – 1 * 1 … 2 2 * 2 … 12 3 * 3 … 184 4 * 4 … 8,512 5 * 5 … 1,262,816 6 * 6 … 575,780,564 7 * 7 … 789,360,053,252 (通り) 31 S G
  32. 32. より詳しく 「フカシギの数え方」 – https://www.youtube.com/watch?v=Q4gTV4r0zRs 手動で数えると大変なことになるのが よく分かる動画 32
  33. 33. 参考文献  山本幸一(1983)『順列・組合せと確率』岩波書店.  西岡弘明(1999)『やさしい組合せ数学』コロナ社.  コンプガチャの数理 -コンプに必要な期待回数の計算方法について- – http://doryokujin.hatenablog.jp/entry/2012/05/09/034209  「確率的視点から見た当たり譜面」 – http://sig49san.hatenadiary.jp/entry/2014/12/10/001412  「フカシギの数え方」 – https://www.youtube.com/watch?v=Q4gTV4r0zRs 33

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