Assignment of integrals till 7.4

1. CHAPTER – 7
INTEGRALS
Basic Concepts and Formulae :
(i) ∫ 𝑥 𝑛 𝑑𝑥 =
𝑥 𝑛+1
𝑛+1
+ 𝐶 (ii) ∫
𝑑𝑥
𝑥
= 𝑙𝑜𝑔 | 𝑥| + 𝐶
(iii) ∫ 𝑑𝑥 = 𝑥 + 𝐶 (iv) ∫ 𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑠𝑖𝑛 𝑥 + 𝐶
(v) ∫ 𝑠𝑖𝑛𝑥 𝑑𝑥 = −𝑐𝑜𝑠 𝑥 + 𝐶 (vi) ∫ 𝑠𝑒𝑐2 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑡𝑎𝑛 𝑥 + 𝐶
(vii) ∫ 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐2 𝑥 𝑑𝑥 = −𝑐𝑜𝑡 𝑥 + 𝐶 (viii) ∫ 𝑠𝑒𝑐 𝑥 𝑡𝑎𝑛 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑠𝑒𝑐 𝑥 + 𝐶
(ix) ∫ 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 𝑥 𝑐𝑜𝑡 𝑥 𝑑𝑥 = −𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 𝑥 + 𝐶(x) ∫ 𝑒 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑒 𝑥 + 𝐶
(xi) ∫ 𝑎 𝑥 𝑑𝑥 =
𝑎 𝑥
𝑙𝑜𝑔 𝑎
+ 𝐶
(xii) (a) ∫
1
√1−𝑥2
𝑑𝑥 = sin−1 𝑥 + 𝐶 (b) ∫
𝑑𝑥
√𝑎2−𝑥2
= sin−1 (
𝑥
𝑎
) + 𝐶
(xiii) (a) ∫
1
1+𝑥2
𝑑𝑥 = tan−1 𝑥 + 𝐶 (b) ∫
1
𝑎2+𝑥2
dx =
1
𝑎
tan−1 (
𝑥
𝑎
) + 𝐶
(xiv) ∫
1
𝑥√𝑥2−1
𝑑𝑥 = sec−1 𝑥 + 𝐶 (xv) ∫−
𝑑𝑥
𝑥√𝑥2−1
= cosec−1 𝑥 + 𝐶
1. More Standard Results :
∫ 𝑡𝑎𝑛 𝑥 𝑑𝑥 = −𝑙𝑜𝑔 | 𝑐𝑜𝑠 𝑥| + 𝐶 = 𝑙𝑜𝑔 | 𝑠𝑒𝑐 𝑥| + 𝐶,
∫ 𝑐𝑜𝑡 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑙𝑜𝑔 | 𝑠𝑖𝑛 𝑥| + 𝐶.
∫ 𝑠𝑒𝑐 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑙𝑜𝑔 | 𝑠𝑒𝑐 𝑥 + 𝑡𝑎𝑛 𝑥| + 𝐶 = 𝑙𝑜𝑔 |𝑠𝑒𝑐 (
𝜋
4
+
𝑥
2
)|+ 𝐶 .
∫ 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑙𝑜𝑔 | 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 𝑥 − 𝑐𝑜𝑡 𝑥| + 𝐶 = 𝑙𝑜𝑔 |𝑡𝑎𝑛
𝑥
2
| + 𝐶
2. Results ofSome Special Integrals :
∫
𝑑𝑥
𝑎2 + 𝑥2 =
1
𝑎
tan−1
𝑥
𝑎
+ 𝐶
∫
𝑑𝑥
𝑥2 − 𝑎2 =
1
2𝑎
log|
𝑥 − 𝑎
𝑥 + 𝑎
| + 𝐶
∫
𝑑𝑥
𝑎2 − 𝑥2 =
1
2𝑎
log|
𝑎 + 𝑥
𝑎 − 𝑥
| + 𝐶
∫
1
√𝑎2+𝑥2
𝑑𝑥 = 𝑙𝑜𝑔 | 𝑥 + √𝑥2 + 𝑎2| +C
∫
1
√𝑥2−𝑎2
𝑑𝑥 = 𝑙𝑜𝑔 | 𝑥 + √𝑥2 − 𝑎2| +C
∫
1
√𝑎2 − 𝑥2
𝑑𝑥 = sin−1
𝑥
𝑎
+ 𝐶
∫√𝑎2 − 𝑥2 𝑑𝑥 =
𝑥
2
√𝑎2 − 𝑥2 +
𝑎2
2
sin−1 𝑥
𝑎
+ 𝐶
∫√𝑎2 + 𝑥2 𝑑𝑥 =
𝑥
2
√𝑥2 + 𝑎2 +
𝑎2
2
𝑙𝑜𝑔 | 𝑥 + √𝑥2 + 𝑎2| +C
∫√𝑥2 − 𝑎2 𝑑𝑥 =
𝑥
2
√𝑥2 − 𝑎2 -
𝑎2
2
𝑙𝑜𝑔 | 𝑥 + √𝑥2 − 𝑎2| +C

2. 1. Integrate the following w.r.t.x.
(i)∫
1
𝑥3
𝑑𝑥. (ii) ∫
1
√ 𝑥
dx. (iii) ∫ 𝑠𝑖𝑛2 𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐2 𝑥 𝑑𝑥.
(iv) ∫ 𝑡𝑎𝑛2 𝑥 𝑑𝑥 (v) ∫ 𝑐𝑜𝑡2 𝑥 𝑑𝑥 (vi) ∫
𝑑𝑥
𝑠𝑖𝑛2 𝑥 𝑐𝑜𝑠2 𝑥
.
(vii) ∫
2 𝑐𝑜𝑠 𝑥
3𝑠𝑖𝑛2 𝑥
𝑑𝑥. (viii) ∫(2 𝑡𝑎𝑛 𝑥 − 3 𝑐𝑜𝑡 𝑥)2 𝑑𝑥.
(ix) ∫ 𝑥3 𝑠𝑖𝑛 ( 𝑥4) 𝑑𝑥 (x) ∫
𝑠𝑒𝑐2( 𝑙𝑜𝑔 𝑥)
𝑥
dx (xi) ∫
𝑥
𝑒 𝑥2 dx
(xii) ∫
(1+𝑙𝑜𝑔𝑥)2
𝑥
dx (xiii) ∫
𝑥2
1+𝑥3
dx (xiv) ∫
𝑥+𝑐𝑜𝑠 6𝑥
3𝑥2+ 𝑠𝑖𝑛 6𝑥
dx
(xv) ∫(2𝑥 + 4)√𝑥2 + 4𝑥 + 3 dx (xvi) ∫
1+𝑠𝑖𝑛2𝑥
𝑥+𝑠𝑖𝑛2 𝑥
dx
(xvii) ∫
1+𝑡𝑎𝑛𝑥
𝑥+𝑙𝑜𝑔 𝑠𝑒𝑐𝑥
dx (xviii) ∫
𝑑𝑥
𝑥+√ 𝑥
(xix) ∫
𝑑𝑥
4𝑥2−9
(xx) ∫
𝑥3
1+𝑥8
dx (xxi) ∫
𝑥2+4𝑥
𝑥3+6𝑥2+5
dx (xxii) ∫
𝑠𝑒𝑐2 𝑥
3+𝑡𝑎𝑛 𝑥
dx
2. Evaluate the following:
(i)∫
𝑥2+1
( 𝑥+1)2
dx (ii)∫
𝑑𝑥
1+𝑡𝑎𝑛 𝑥
(iii)∫
𝑑𝑥
1+𝑐𝑜𝑡 𝑥
(iv)∫ 𝑠𝑖𝑛4 𝑥 𝑑𝑥 (v)∫ 𝑐𝑜𝑠4 𝑥 𝑑𝑥 (vi)∫
𝑐𝑜𝑠 2𝑥
( 𝑐𝑜𝑠𝑥+𝑠𝑖𝑛 𝑥)2
dx
(vii)∫
𝑐𝑜𝑠5 𝑥
𝑠𝑖𝑛 𝑥
dx (viii)∫
√ 𝑡𝑎𝑛 𝑥
𝑠𝑖𝑛 𝑥 𝑐𝑜𝑠 𝑥
dx (ix)∫
𝑑𝑥
√𝑠𝑖𝑛3 𝑥 𝑠𝑖𝑛 (𝑥+𝛼)
dx
(x)∫
𝑠𝑖𝑛 𝑥
𝑠𝑖𝑛 (𝑥+𝑎)
dx (xi)∫
𝑐𝑜𝑠 2𝑥−𝑐𝑜𝑠 𝛼
𝑐𝑜𝑠 𝑥−𝑐𝑜𝑠 𝛼
dx (xii)∫
𝑑𝑥
𝑐𝑜𝑠 ( 𝑥−𝑎) 𝑐𝑜𝑠 (𝑥−𝑏)
(xiii)∫ 𝑐𝑜𝑠 2𝑥 𝑐𝑜𝑠 4𝑥 𝑐𝑜𝑠 6𝑥 𝑑𝑥 (xiv)∫
𝑠𝑖𝑛 2𝑥
𝑎2 𝑠𝑖𝑛2 𝑥+𝑏2 𝑐𝑜𝑠2 𝑥
dx
(xv) ∫
𝑥+2
2𝑥2+6𝑥+5
dx (xvi)∫
𝑑𝑥
√7−6𝑥−𝑥2
(xvii)∫
5𝑥+3
√𝑥2+4𝑥+10
dx
(xviii)∫
𝑠𝑖𝑛( 𝑥− 𝛼
𝑠𝑖𝑛 (𝑥+ 𝛼)
dx (xix)∫
𝑥
𝑥4−𝑥2+1
dx (xx)∫
2𝑥
√1−𝑥2−𝑥4
dx
(xxi)∫
𝑒 𝑥
√5−4𝑒 𝑥−𝑒2𝑥
dx (xxii)∫
𝑐𝑜𝑠𝑥
√𝑠𝑖𝑛2 𝑥−2 𝑠𝑖𝑛 𝑥−3
dx (xxiii)∫
𝑥
√1−𝑥2+𝑥4
dx
(xxiv)∫
2𝑥−1
( 𝑥−1)( 𝑥+2) 𝑥−3)
dx (xxv)∫
3𝑥−2
( 𝑥+1)2(𝑥+3)
dx (xxvi)∫
𝑠𝑖𝑛 𝑥
(1−𝑐𝑜𝑠 𝑥)(2−𝑐𝑜𝑠 𝑥)
dx
(xxvii)∫
𝑥
( 𝑥2+1)(𝑥+1)
dx (xxviii)∫
𝑑𝑥
𝑥( 𝑥5+1)
dx (xxix)∫√ 𝑡𝑎𝑛 𝑥 𝑑𝑥
(xxx)∫
2𝑥
( 𝑥2+1)(𝑥2+3)
dx (xxxi) ∫
𝑥2
(1+𝑥3)(2+𝑥3)
dx (xxxii)∫
𝑑𝑥
𝑥[6( 𝑙𝑜𝑔 𝑥)2+7 𝑙𝑜𝑔 𝑥+2]
dx