DERIVADA DE UN COCIENTE APLICANDO LA DEFINICIÓN DE DERIVADA

1. Derivada de un Cociente Aplicando la Definición de Derivada.
Dada la función 𝑭(𝒙) =
𝟒𝒙+𝟓
𝟑𝒙 𝟐+𝟐
Hallar su derivada aplicando la definición 𝑳𝒊𝒎
𝒉→𝟎
𝑭(𝒙+𝒉)−𝑭(𝒙)
𝒉
Solución:
𝑭′(𝒙) = 𝑳𝒊𝒎
𝒉→𝟎
𝑭(𝒙+𝒉)−𝑭(𝒙)
𝒉
𝑭′(𝒙) = 𝐋𝐢𝐦
𝒉→𝟎
(
𝟒( 𝒙+𝒉)+𝟓
𝟑( 𝒙+𝒉)
𝟐
+𝟐
− 𝟒𝒙+𝟓
𝟑𝒙 𝟐+𝟐
𝒉
) = 𝐋𝐢𝐦
𝒉→𝟎
(
𝟒𝒙+𝟒𝒉+𝟓
𝟑𝒙 𝟐+𝟔𝒙𝒉+𝟑𝒉 𝟐+𝟐
−
𝟒𝒙+𝟓
𝟑𝒙 𝟐+𝟐
𝒉
)
𝐋𝐢𝐦
𝒉→𝟎
(
𝟏𝟐𝒙 𝟑+𝟖𝒙+𝟏𝟐𝒙 𝟐 𝒉+𝟖𝒉+𝟏𝟓𝒙 𝟐+𝟏𝟎−( 𝟏𝟐𝒙 𝟑+𝟏𝟓𝒙 𝟐+𝟐𝟒𝒙 𝟐 𝒉+𝟑𝟎𝒙𝒉+𝟏𝟐𝒙𝒉
𝟐
+𝟏𝟓𝒉
𝟐
+𝟖𝒙+𝟏𝟎)
𝟗𝒙 𝟒+𝟔𝒙 𝟐+𝟏𝟖𝒙 𝟑 𝒉+𝟏𝟐𝒙𝒉+𝟗𝒙 𝟐 𝒉
𝟐
+𝟔𝒉
𝟐
+𝟔𝒙 𝟐+𝟒
𝒉
)
𝐋𝐢𝐦
𝒉→𝟎
(
𝟏𝟐𝒙 𝟑+𝟖𝒙+𝟏𝟐𝒙 𝟐 𝒉+𝟖𝒉+𝟏𝟓𝒙 𝟐+𝟏𝟎−𝟏𝟐𝒙 𝟑−𝟏𝟓𝒙 𝟐−𝟐𝟒𝒙 𝟐 𝒉−𝟑𝟎𝒙𝒉−𝟏𝟐𝒙𝒉
𝟐
−𝟏𝟓𝒉
𝟐
−𝟖𝒙−𝟏𝟎
𝟗𝒙 𝟒+𝟔𝒙 𝟐+𝟏𝟖𝒙 𝟑 𝒉+𝟏𝟐𝒙𝒉+𝟗𝒙 𝟐 𝒉
𝟐
+𝟔𝒉
𝟐
+𝟔𝒙 𝟐+𝟒
𝒉
)
𝐋𝐢𝐦
𝒉→𝟎
(
−𝟏𝟐𝒙 𝟐 𝒉+𝟖𝒉−𝟑𝟎𝒙𝒉−𝟏𝟐𝒙𝒉
𝟐
−𝟏𝟓𝒉
𝟐
𝟗𝒙 𝟒+𝟔𝒙 𝟐+𝟏𝟖𝒙 𝟑 𝒉+𝟏𝟐𝒙𝒉+𝟗𝒙 𝟐 𝒉
𝟐
+𝟔𝒉
𝟐
+𝟔𝒙 𝟐+𝟒
𝒉
)
𝐋𝐢𝐦
𝒉→𝟎
(
−𝟏𝟐𝒙 𝟐 𝒉+𝟖𝒉−𝟑𝟎𝒙𝒉−𝟏𝟐𝒙𝒉 𝟐−𝟏𝟓𝒉 𝟐
𝟗𝒙 𝟒+𝟔𝒙 𝟐+𝟏𝟖𝒙 𝟑 𝒉+𝟏𝟐𝒙𝒉+𝟗𝒙 𝟐 𝒉 𝟐+𝟔𝒉 𝟐+𝟔𝒙 𝟐+𝟒
÷
𝒉
𝟏
)
𝐋𝐢𝐦
𝒉→𝟎
(
𝒉 (−𝟏𝟐𝒙 𝟐+𝟖−𝟑𝟎𝒙−𝟏𝟐𝒙𝒉−𝟏𝟓𝒉)
𝒉 (𝟗𝒙 𝟒+𝟔𝒙 𝟐+𝟏𝟖𝒙 𝟑 𝒉+𝟏𝟐𝒙𝒉+𝟗𝒙 𝟐 𝒉 𝟐+𝟔𝒉 𝟐+𝟔𝒙 𝟐+𝟒)
)
𝐋𝐢𝐦
𝒉→𝟎
(
−𝟏𝟐𝒙 𝟐+𝟖−𝟑𝟎𝒙−𝟏𝟐𝒙𝒉−𝟏𝟓𝒉
𝟗𝒙 𝟒+𝟔𝒙 𝟐+𝟏𝟖𝒙 𝟑 𝒉+𝟏𝟐𝒙𝒉+𝟗𝒙 𝟐 𝒉 𝟐+𝟔𝒉 𝟐+𝟔𝒙 𝟐+𝟒
)
𝐋𝐢𝐦
𝒉→𝟎
–𝟏𝟐𝒙 𝟐+𝟖−𝟑𝟎𝒙−𝟏𝟐𝒙𝒉−𝟏𝟓𝒉
𝟗𝒙 𝟒+𝟔𝒙 𝟐+𝟏𝟖𝒙 𝟑 𝒉+𝟏𝟐𝒙𝒉+𝟗𝒙 𝟐 𝒉 𝟐+𝟔𝒉 𝟐+𝟔𝒙 𝟐+𝟒
=
−𝟏𝟐𝒙 𝟐+𝟖−𝟑𝟎𝒙−𝟏𝟐𝒙(𝟎)−𝟏𝟓(𝟎)
𝟗𝒙 𝟒+𝟔𝒙 𝟐+𝟏𝟖𝒙 𝟑(𝟎)+𝟏𝟐𝒙(𝟎)+𝟗𝒙 𝟐(𝟎) 𝟐+𝟔(𝟎) 𝟐+𝟔𝒙 𝟐+𝟒
=
−𝟏𝟐𝒙 𝟐−𝟑𝟎𝒙+𝟖
𝟗𝒙 𝟒+𝟏𝟐𝒙 𝟐+𝟒
=
−𝟏𝟐𝒙 𝟐−𝟑𝟎𝒙+𝟖
(𝟑𝒙 𝟐+𝟐) 𝟐
Comprobación
𝑭′(𝒙) =
(𝟑𝒙 𝟐+𝟐)(𝟒)−(𝟒𝒙+𝟓)(𝟔𝒙)
(𝟑𝒙 𝟐+𝟐) 𝟐
=
𝟏𝟐𝒙 𝟐+𝟖−𝟐𝟒𝒙 𝟐−𝟑𝟎𝒙
(𝟑𝒙 𝟐+𝟐) 𝟐
𝑭′(𝒙) =
−𝟏𝟐𝒙 𝟐−𝟑𝟎𝒙+𝟖
(𝟑𝒙 𝟐+𝟐) 𝟐
L.Q.A.G.Q.D