12. 机械振动 6.1 简谐振动
2. 复摆 简振表达式
描述简振的物理量
M = −mgl sin θ 非角谐振动 旋转矢量表示法
单摆和复摆
M = −mglθ 简振的能量
(θ < 5 )
角谐振动
N
●O
l
θ
根据转动定律可得 ●c
mg
mgl
θ +ω θ = 0
2 ω =
2
I
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13. 机械振动 6.1 简谐振动
3. 单摆 简振表达式
θ + ω 2θ = 0 (θ < 50 )
描述简振的物理量
旋转矢量表示法
单摆和复摆
mgl mgl g 简振的能量
ω =
2
= 2
=
I ml l
4. 三个周期公式
l
三 弹簧振子 •复摆 (θ < 5 )
• 单摆 (θ < 5 ) θ
m I l T
T = 2π T = 2π T = 2π s
mgl g ●mg
k x
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14. 机械振动 6.1 简谐振动
6.1.5 简振的能量
1. 简振能量的推导 ( 以弹簧振子为例 )
k
x = A cos(ωt + ϕ ), v = − Aω sin(ωt + ϕ ) ω =
2
m
1 1
Ek = mv = kA2 sin 2 (ω +ϕ)
2
t
2 2
1 2 1 简振表达式
E p = kx = kA2 cos 2 (ω +ϕ)
t 描述简振的物理量
2 2
1 2 旋转矢量表示法
E = Ek + E p = kA 单摆和复摆
2
简振的能量
2. E k , E p 在一个周期内的平均值
1 T E 1 T E
E k = ∫ Ek dt = , E p = ∫ E p dt =
T 0 2 T 0 2
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15. 机械振动 6. 2 简振合成
§6.2 简振合成 同振向同频率
拍现象
6.2.1 同振向同频率简振合成 相互垂直同频率
x1 = A1 cos(ω t + ϕ 1 ), x2 = A2 cos(ω t + ϕ 2 ) 利莎如图
x = x1 + x2 = A1 cos(ω t + ϕ 1 ) + A2 cos(ω t + ϕ 2 )
1. 用数学公式法讨论 ( 略 )
2. 用旋转矢量法讨论
x = A cos(ωt + ϕ )
2 2 A1 sin ϕ 1 + A2 sin ϕ 2
−1
A = A1 + A2 + 2 A1 A2 cos(ϕ 2 − ϕ 1 ) ϕ = tan
A1 cos ϕ 1 + A2 cos ϕ 2
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16. 机械振动 6. 2 简振合成
3. 对 A = f (ϕ 2 − ϕ1 ) 的讨论 同振向同频率
拍现象
•当ϕ 2 − ϕ1 = 2kπ k = 0,±1,±2, 时
相互垂直同频率
A = A1 + A2 利莎如图
• 当ϕ 2 − ϕ1 = (2k + 1)π
A2
A1
k = 0,±1,±2, 时
A
A =| A1 − A2 | A = A1 + A2
4. 同振向同频率多个简振合成
A1
x = x1 + x2 + A A2
= A cos(ωt +ϕ) A = A1 − A2
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17. 机械振动 6. 2 简振合成
补充题 15 设有一个质点同时参与 n
第 6 章作业（ 2 ）
个同振向同频率同振幅 , 各相邻 习题： 34,37,39,
补 15
分 2π 预习： §7.1 ～ 3
振动的位相差 ϕ i +1 − ϕ i = 2π ,
n
的简振，试用数学公式法计算合
振幅的大小
cos(α + β ) = cos α cos β − sin α sin β
n
1 1 1
∑sin ix = sin 2nx ⋅ sin 2 (n +1) x ⋅ csc 2 x
i =1
n
1 1 1
∑cos ix = sin 2nx ⋅ cos 2 (n +1) x ⋅ csc 2 x
i =1 章首页
25. 6. 3 阻尼振动 受迫振动 共振
机械振动
∑ F = −kx − γx = m,
x + 2 βx + ω0 2 x = 0
x
ω0 = k m β = γ 2m
阻尼振动
5. 阻尼振动表达式及其讨论 受迫振动
(1).当 β 2 < ω 02时 x = A0 e − βt cos(ω t + ϕ )
共振
x
式中：ω = ω − β ,
0
2 2 Ao e −βt
v0 + βx0 T
ϕ = tan ( −
−1
) t2
ωx0 o
t1
t
t
2 v0 + βx0 Ao e −βt cos(ω +ϕ)
t
A0 = x0 + ( )2
ω
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26. 6. 3 阻尼振动 受迫振动 共振
机械振动
A, T , λ：相隔一个周期的两个振幅之比的自然对数
当 “ 振幅” 0 “ 周期” T 对数衰减常数
2π A0 e −βt
A = A0 e −βt T = λ = ln −β ( t +T )
= βT
ω 2 −β2
0
A0 e
( 2). 当 β 2
> ω 时： 2
0
2 2 2 2
阻尼振动
− ( β − β −ω 0 ) t − ( β + β −ω 0 ) t
x = c1e + c2 e 受迫振动
x
共振
临介阻尼
( 3). 当β 2
= ω 时： 2
0
过阻尼
x = (c3 + c4t )e −βt o t
阻尼
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27. 6. 3 阻尼振动 受迫振动 共振
机械振动
6.3.2 受迫振动 阻尼振动
受迫振动
1. 定义 共振
振动系统在 − kx,−γx和强迫力H cos pt作用下
所发生的过程，称为受迫振动。
2. 受迫振动方程和受迫振动表达式 ( 弹簧振子 )
∑
2
F = − kx − γ x + H cos pt = m, + 2 β x + ω 0 x = h cos pt
x x
式中：ω 0 = k m , β = γ 2m , h = H m
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28. 6. 3 阻尼振动 受迫振动 共振
机械振动
3. 受迫振动表达式及其讨论
阻尼振动
− βt 受迫振动
x = A0 e cos(ωt + δ ) + A cos( pt + ϕ ) 共振
t 暂态响应 当 t→∞ 时
A0 e −βt cos(ωt +δ ) →0
t 稳态响应 当 t→∞ 时
x = A cos( pt + ϕ)
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29. 6. 3 阻尼振动 受迫振动 共振
机械振动
4. 稳态响应的特征 阻尼振动
在稳态响应的条件下 受迫振动
共振
A = h [(ω0 − p 2 ) 2 + 4 β 2 p 2 ]1 2
2
−2 β p
ϕ = tan [ 2
−1
]
ω0 − β 2
− 周期性等幅振动
周 振动频率与强迫力频率相同
振 与强迫力之间有恒定的位相差与，且 A,ϕ 与初始
条件无关
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31. 6. 3 阻尼振动 受迫振动 共振
机械振动
2. 振幅曲线的分析 阻尼振动
受迫振动
条件：ω0、β、h给定， 共振
ω0
2
且β 2 <
2
2
• 当p 2 >> ω 0 时 A ≈ h 2 →0 颤动
p
p 2 << ω0 时 A≈H k
2
• 当
• 当 p = ω0 时 A ≈ h 2 βω 0
2 2
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32. 机械振动 6.4 非线性振动
§6.4 非线性振动
*
6.4.1 非线性振动方程
1. 大角度摆 θ + ω 0 sin θ = 0
2
ω 0 = mgl J
a b 2
2. 非线性弹簧振子 + x + x = 0
x
m m
3. 非线性阻尼振子 m + kx + µNsign ( x ) = 0
x
f µ = − µNsign ( x)
s ig n (v) 是以速度 v 为变量的符号函数，
若 v> 0 ，则 s ig n (v)= 1 ；若 v< 0 ，则
s ig n (v)= - 1 。
