 Vienādojumus,  kas satur nezināmo funkciju y = y(x), sauc par funkcionālvienādojumiem. Par diferenciālvienādojumu sauc ...
 Pirmās kārtas diferenciālvienādojuma vispārīgais veids ir                        F x, y , y       0 Tā   normālforma ir...
 Otrāskārtas diferenciālvienādojuma vispārīgais veids ir                   F x, y , y , y       0 Tā   normālforma ir   ...
 Diferenciālvienādojuma  ietilpstošā nezināmās funkcijas augstākā atvasinājuma kārtu sauc par diferenciālvienādojuma kārt...
 Pirmās kārtas diferenciālvienādojuma vispārīgais veids ir    x – arguments                         F x, y , y          ...
 Diferenciālvienādojumu   var pārveidot diferenciālā formā      P x, y dx Q x, y dy          0             x     y       ...
 Pirmās  kārtas diferenciālvienādojuma  atrisinājums – jebkura funkcija y = (x), kuru  līdz ar tās atvasinājumu ievietojo...
 Ja vienādojuma y’ = f(x, y) labās puses funkcija f(x, y) un tās parciālais atrisinājums f’y(x, y) ir nepārtrauktas funkc...
Definīcija Uzdevumu        dx                     dy                f (t , x )             f ( x, y )        dt           ...
Piemēri          y   1    y ( x)     x C                                   2          y   2x     y ( x)    x       C      ...
DefinīcijaLīniju, kuras punktos y’=c, sauc par vienādojuma izoklīnu.Vienādojuma (1.2) izoklīnas var atrast no vienādojuma ...
y               x               xdx             ydy               y   dy         x                x   2                   ...
1 y2dy                             y                  0       f1 x f 2 y                        1 xdx                     ...
 Pirmāskārtas diferenciālvienādojumu y’=f(x,y) sauc par homogēnu attiecībā pret mainīgajiem, ja šo vienādojumu var pārvei...
x3 2 y 3            Substitūcijay   x3 x3           y      3xy 2                  z     y   xz                    x       ...
3                xz          1 2             xdz     1 2z    3    dz          x                             zz x          ...
3   x    1 5z 1  dx     3 z 2 dz           2   dx   3 z dz             3    x   1 5z           2        3z dzln x         ...
3         1 d 1 5zln x             3                             C        15 1 5 z          1          3 ln x       ln 1 5...
2           2                   Substitūcija  2 xyy                 x           y           0                             ...
2                            2z       2 xzz       1 0      d z 1             dx                               2    2 xzz  ...
2x y 1     x   p   x a py     x 2y 1     y   q   y b qdb   2a 2 p b q 1da   a p 2b 2q 1                                 12...
1       1                        x        x a                             3       3                             1       1 ...
db   2a bda   a 2b
 Pirmās kārtas diferenciālvienādojumu sauc par lineāru diferenciālvienādojumu, ja nezināmo funkciju y un tās atvasinājumu...
 Jaf(x) = 0, tad pirmās kārtas lineāru diferenciālvienādojumu sauc par lineāru homogēnu vienādojumu.         y    px y   ...
dy     px ydxdy     p x dx   ln y   p x dx ln C y                          p x dx                 y   Ce
y    u vy   px y   f x                       y    u v uv           u v uv p x uv    f x           v u p x u uv      f x   ...
uv   f x     f xv      u         p x dx                     p x dx u e                   v    f xe             dx C       ...
xy      xy        x 1eu      xu 0             2                                                 x2            x           ...
y    px y      f x yn Saucpar Bernulli diferenciālvienādojumu, ja p(x) un f(x) ir nepārtrauktas argumenta x funkcijas, be...
n              1 n                         1 ny y      px y         f x               y              z                    ...
 Vienādojumu                  dU(x, y) = 0          (P(x, y)dx + Q(x, y)dy = 0) sauc par eksaktu jeb totālu  diferenciāl...
4 xy 15 x 2 3 y 2 dx         2 x 2 9 xy 2 dy     0                    2        2                2           2    P   4 xy ...
U       Q y2 x 2 y 5x3 3xy 3       y       y   2 x 2 9 xy 2     2 x 2 9 xy 2   y       2 x 2 9 xy 2                    y  ...
 Otrāskārtas diferenciālvienādojuma vispārīgais veids ir                   F x, y , y , y       0 Tā   normālforma ir   ...
 Diferenciālvienādojuma  ietilpstošā nezināmās funkcijas augstākā atvasinājuma kārtu sauc par diferenciālvienādojuma kārt...
 Ja diferenciālvienādojuma                 y’’ = f(x, y, y’)labās puses funkcija f(x, y, y’) un tās parciālie  atvasināju...
y   4 sin 2 xy    2 cos 2 x C1y   sin 2 x C1 x C2
 Ja diferenciālvienādojums nesatur nezināmo  funkciju y un tās atvasinājumus līdz (k – 1)-  mās kārtas atvasinājumam F(x...
y          y    zy     x          y    z     z   dz     dxz     x    z      xdz   z   ln z   ln x ln C1dx   x
y   C1 x                    2y    C1 xdx C1 x        C2            2                3y    C1 x       C2 dx C1 x       C2 x...
 Raksturīgā vienādojuma uzrakstīšana Raksturīgā vienādojuma saku atrašana Atkarībā no atrastajām saknēm dotā  diferenci...
Diferenciālvie                            ay’’ + by’ +cy = 0nādojumsRaksturīgais                               a    2   + ...
y          4y       13 y   0    2           4        13 0    1, 2        2 3i               2xy          e        C1 cos 3...
   Lineāra nehomogēna otrās kārtas    diferenciālvienādojuma               y   a1 ( x) y  a0 ( x) y f ( x)    vispārīgais...
 Uzrakstīt atbilstošo homogēno vienādojumu un  atrod tā vispārīgo risinājumu. Atkarībā no labās puses funkcijas f(x) un ...
f(x)                1,2               y*Pn(x)               1,2  0            Qn(x)                    1 = 0,    2   0   x...
y        2y     3y 3Homogēnais vienādojums un tā saknes     2          2       3 0                 Y      C1e     3x      ...
2     y        y   3x       4 Homogēnais vienādojums un tā saknes         2                   0                         Y ...
2                         26 Ax 2B 3 Ax       2Bx C            3x       4    3A 3               A 16 A 2B     0       B   ...
y          4y       4y   2e 2 xHomogēnais vienādojums un tā saknes     2             4            4 0                     ...
2x              2x           2x          2 2x2Me         4Mxe         4Mxe         4Mx e       2x              2 2x       ...
5.presentation4
5.presentation4
5.presentation4
5.presentation4
5.presentation4
Upcoming SlideShare
Loading in …5
×

5.presentation4

1,235 views

Published on

Published in: Education
0 Comments
0 Likes
Statistics
Notes
  • Be the first to comment

  • Be the first to like this

No Downloads
Views
Total views
1,235
On SlideShare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
175
Actions
Shares
0
Downloads
1
Comments
0
Likes
0
Embeds 0
No embeds

No notes for slide

5.presentation4

  1. 1.  Vienādojumus, kas satur nezināmo funkciju y = y(x), sauc par funkcionālvienādojumiem. Par diferenciālvienādojumu sauc tādu funkcionālvienādojumu, kas satur nezināmās funkcijas atvasinājumus vai diferenciāļus. dy f x dx y F x C
  2. 2.  Pirmās kārtas diferenciālvienādojuma vispārīgais veids ir F x, y , y 0 Tā normālforma ir dy f x, y jeb y f x, y dx
  3. 3.  Otrāskārtas diferenciālvienādojuma vispārīgais veids ir F x, y , y , y 0 Tā normālforma ir y f x, y, y
  4. 4.  Diferenciālvienādojuma ietilpstošā nezināmās funkcijas augstākā atvasinājuma kārtu sauc par diferenciālvienādojuma kārtu. N-tās kārtas diferenciālvienādojuma vispārīgais veids ir n F x, y, y , y ,..., y 0 Tā normālforma ir n n 1 y f x, y, y , y ,..., y
  5. 5.  Pirmās kārtas diferenciālvienādojuma vispārīgais veids ir  x – arguments F x, y , y 0  y – meklējamā funkcija  y’ – meklējamās funkcijas atvasinājums Tā normālforma ir dy f x, y jeb y f x, y dx
  6. 6.  Diferenciālvienādojumu var pārveidot diferenciālā formā P x, y dx Q x, y dy 0 x y xdx ydy y 2 2 dy x x y C dx y
  7. 7.  Pirmās kārtas diferenciālvienādojuma atrisinājums – jebkura funkcija y = (x), kuru līdz ar tās atvasinājumu ievietojot dotajā vienādojumā, iegūst identitāti. Diferenciālvienādojuma atrisināšana – diferenciālvienādojuma integrēšana.
  8. 8.  Ja vienādojuma y’ = f(x, y) labās puses funkcija f(x, y) un tās parciālais atrisinājums f’y(x, y) ir nepārtrauktas funkcijas kādā Oxy plaknes apgabalā D, tad, lai kāds būtu šī apgabala punkts (x0; y0), eksistē viens vienīgs atrisinājums y = (x), kas apmierina nosacījumu y0 = (x0). Sākuma nosacījums y(x0) = y0. y = (x,C) – diferenciālvienādojuma vispārīgais atrisinājums apgabalā D.
  9. 9. Definīcija Uzdevumu dx dy f (t , x ) f ( x, y ) dt dx x (t 0 ) x 0 y ( x0 ) y0 sauc par Košī jeb sākuma vērtību problēmu.Katras Košī problēmas atrisinājumu ar noteiktu konstantes Cvērtību sauc par vienādojuma partikulāro atrisinājumu Visu vienādojuma partikulāro atrisinājumu saimi sauc par šī vienādojuma vispārīgo atrisinājumu.
  10. 10. Piemēri y 1 y ( x) x C 2 y 2x y ( x) x C 1 y y ( x) ln x C, t 0 x y y y ( x) ?
  11. 11. DefinīcijaLīniju, kuras punktos y’=c, sauc par vienādojuma izoklīnu.Vienādojuma (1.2) izoklīnas var atrast no vienādojuma f(x, y)=c f(x, y)=k
  12. 12. y x xdx ydy y dy x x 2 y 2 C dx y x Izoklīnas ir taisnes k y Integrāllīnijas ir koncentriskas līnijas
  13. 13. 1 y2dy y 0 f1 x f 2 y 1 xdx 2 dy 1 y dy dx f1 x dx 1 xf2 y dy dx 2 1 y 1 x dy f1 x dx C arcsin y 2 1 x C f2 y y sin 2 1 x C
  14. 14.  Pirmāskārtas diferenciālvienādojumu y’=f(x,y) sauc par homogēnu attiecībā pret mainīgajiem, ja šo vienādojumu var pārveidot y’ = (y/x) x3 2 y3 y 2 3 xy
  15. 15. x3 2 y 3 Substitūcijay x3 x3 y 3xy 2 z y xz x x3 ar funkciju 3 y z zx 1 2 xy 2 dy dz y z x 3 dx dx x
  16. 16. 3 xz 1 2 xdz 1 2z 3 dz x zz x 2 dx 3z 2 dx xz 3 x xdz 1 2 z 3 3z 3 dx 3z 2 dz 1 2z3 z x dx 3z 2 xdz 1 5z 3 2 dx 3z
  17. 17. 3 x 1 5z 1 dx 3 z 2 dz 2 dx 3 z dz 3 x 1 5z 2 3z dzln x 3 C d 1 5z 3 15 z 2 dz 1 5z
  18. 18. 3 1 d 1 5zln x 3 C 15 1 5 z 1 3 ln x ln 1 5 z C 15 3 1 y ln x ln 1 5 C 15 x
  19. 19. 2 2 Substitūcija 2 xyy x y 0 y 2 2 2 2 z y xz2x z z xz x x z 0 x ar funkciju 2 2z z xz 1 z 0 z zx 2 2 2z 2 xzz 1 z 0 dy dz 2 z x z 2 xzz 1 0 dx dx
  20. 20. 2 2z 2 xzz 1 0 d z 1 dx 2 2 xzz z 2 1 z 1 x2 xzdz 2 ln z 2 1 ln x ln C z 1 dx C 2 z 1 2 zdz dx 2 x 2 y C z 1 x 1 x x
  21. 21. 2x y 1 x p x a py x 2y 1 y q y b qdb 2a 2 p b q 1da a p 2b 2q 1 12p q 1 0 p 3p 2q 1 0 1 q 3
  22. 22. 1 1 x x a 3 3 1 1 y y b 3 3db 2a 2 p b q 1 1 pda a p 2b 2q 1 3 1 q 3 1 1 2a 2 b 1 db 3 3 da 1 1 a 2b 2 1 3 3
  23. 23. db 2a bda a 2b
  24. 24.  Pirmās kārtas diferenciālvienādojumu sauc par lineāru diferenciālvienādojumu, ja nezināmo funkciju y un tās atvasinājumu y’ šis vienādojums satur tikai pirmajā pakāpē ax y bx y cx 0ax y bx y cx 0ax ax ax y px y f x
  25. 25.  Jaf(x) = 0, tad pirmās kārtas lineāru diferenciālvienādojumu sauc par lineāru homogēnu vienādojumu. y px y 0
  26. 26. dy px ydxdy p x dx ln y p x dx ln C y p x dx y Ce
  27. 27. y u vy px y f x y u v uv u v uv p x uv f x v u p x u uv f x p x dxu pxu 0 u e
  28. 28. uv f x f xv u p x dx p x dx u e v f xe dx C p x dx p x dx y uv e f xe dx C
  29. 29. xy xy x 1eu xu 0 2 x2 x 2ln u u e 2 x2 2 2 x 2 x x 2 x dv e d xv x 1e 2 x2 x 2 v e C x2 x2 x2 x 2 2 x 2 y u v e e C e Ce
  30. 30. y px y f x yn Saucpar Bernulli diferenciālvienādojumu, ja p(x) un f(x) ir nepārtrauktas argumenta x funkcijas, bet n ir jebkurš reāls skaitlis, izņemot 0 vai 1. y px y f x yn yn yn yn y ny p x y1 n f x
  31. 31. n 1 n 1 ny y px y f x y z n z 1 n y y n z y y 1 n z pxz f x 1 n y px y f x
  32. 32.  Vienādojumu dU(x, y) = 0 (P(x, y)dx + Q(x, y)dy = 0) sauc par eksaktu jeb totālu diferenciālvienādojumu ar nosacījumu, ka jābūt spēkā P Q y x
  33. 33. 4 xy 15 x 2 3 y 2 dx 2 x 2 9 xy 2 dy 0 2 2 2 2 P 4 xy 15 x 3y Q 2x 9 xy P 2 Q 4x 9 y 4x 9 y2 y xU 4 xy 15x 2 3 y 2 dx y 2 x 2 y 5x3 3xy 3 y
  34. 34. U Q y2 x 2 y 5x3 3xy 3 y y 2 x 2 9 xy 2 2 x 2 9 xy 2 y 2 x 2 9 xy 2 y 0 y C U 2 x 2 y 5 x 3 3xy 3 C
  35. 35.  Otrāskārtas diferenciālvienādojuma vispārīgais veids ir F x, y , y , y 0 Tā normālforma ir y f x, y, y
  36. 36.  Diferenciālvienādojuma ietilpstošā nezināmās funkcijas augstākā atvasinājuma kārtu sauc par diferenciālvienādojuma kārtu. N-tās kārtas diferenciālvienādojuma vispārīgais veids ir n F x, y, y , y ,..., y 0 Tā normālforma ir n n 1 y f x, y, y , y ,..., y
  37. 37.  Ja diferenciālvienādojuma y’’ = f(x, y, y’)labās puses funkcija f(x, y, y’) un tās parciālie atvasinājumi f f y yir nepārtrauktas funkcijas kādā apgabalā , kas satur punktu (x0; y0; y’0), tad eksistē viens vienīgs diferenciālvienādojuma atrisinājums, kas apmierina y x x y0 y x x y0 0 0
  38. 38. y 4 sin 2 xy 2 cos 2 x C1y sin 2 x C1 x C2
  39. 39.  Ja diferenciālvienādojums nesatur nezināmo funkciju y un tās atvasinājumus līdz (k – 1)- mās kārtas atvasinājumam F(x, y(k), y(k + 1), …, y(n)) = 0, Tad šī vienādojuma kārtu var pazemināt par k vienībām, izmantojot substitūciju Y(k) = z F(x, z, z’, … z(n-k)) = 0
  40. 40. y y zy x y z z dz dxz x z xdz z ln z ln x ln C1dx x
  41. 41. y C1 x 2y C1 xdx C1 x C2 2 3y C1 x C2 dx C1 x C2 x C3
  42. 42.  Raksturīgā vienādojuma uzrakstīšana Raksturīgā vienādojuma saku atrašana Atkarībā no atrastajām saknēm dotā diferenciālvienādojuma vispārīgā atrisinājuma uzrakstīšana
  43. 43. Diferenciālvie ay’’ + by’ +cy = 0nādojumsRaksturīgais a 2 + b +c = 0vienādojumsRaksturīgā 1 2 1 = 2 = 1, 2 = ivienādojumasaknesAtrisinājuma e 1x, e 2x e x, xe x e x cos xfundamentālsis e x sin xtēmaVispārīgais y = C1e 1x + y = e x (C1 + y = e x (cos xatrisinājums C2e 2x C2x) + sin x)
  44. 44. y 4y 13 y 0 2 4 13 0 1, 2 2 3i 2xy e C1 cos 3x C2 sin 3x
  45. 45.  Lineāra nehomogēna otrās kārtas diferenciālvienādojuma y a1 ( x) y a0 ( x) y f ( x) vispārīgais atrisinājums ir y y hom y* kur y hom C1 y1 C 2 y 2 ir atbilstošā homogēnā diferenciālvienādojuma y a1 ( x) y a0 ( x) y 0 atrisinājums un ir dotā nehomogēnā diferenciālvienādojuma partikulārais atrisinājums.
  46. 46.  Uzrakstīt atbilstošo homogēno vienādojumu un atrod tā vispārīgo risinājumu. Atkarībā no labās puses funkcijas f(x) un raksturīgā vienādojuma saknēm uzraksta nehomogēnā vienādojuma partikulāro atrisinājumu ar nenoteiktiem koeficientiem. Aprēķina nenoteiktos koeficientus tā, lai šis atrisinājums apmierinātu doto diferenciālvienādojumu. Uzraksta dotā vienādojuma vispārīgo atrisinājumu kā homogēnā vienādojuma vispārīgā atrisinājuma un nehomogēnā vienādojuma partikulārā atrisinājuma summu.
  47. 47. f(x) 1,2 y*Pn(x) 1,2 0 Qn(x) 1 = 0, 2 0 xQn(x)Ae x 1,2 Me x 1 = , 2 Mxe x 1,2 = Mx2e xA cos x + B sin x 1,2 i M cos x + Nsin x 1,2 = i x(M cos x + Nsin x)
  48. 48. y 2y 3y 3Homogēnais vienādojums un tā saknes 2 2 3 0 Y C1e 3x C2 e x 1 3 2 1 y* 3 y* 0 y* 0 3A 3 3x x A 1 y C1e C2 e 1
  49. 49. 2 y y 3x 4 Homogēnais vienādojums un tā saknes 2 0 Y C1 C2 e x 1 0 2 1 2y* 2 Ax Bx C x y* 3 Ax 2 Bx Cy* Ax 3 2 Bx Cx y* 6 Ax 2 B
  50. 50. 2 26 Ax 2B 3 Ax 2Bx C 3x 4 3A 3 A 16 A 2B 0 B 32B C 4 C 2 x 3 2Y C1 C2 e x 3x 2x
  51. 51. y 4y 4y 2e 2 xHomogēnais vienādojums un tā saknes 2 4 4 0 2x Y C1 C2 x e 1, 2 2 y* Mx 2 e 2 x y* 2Mxe 2 x 2Mx 2 e 2 xy* 2Me 2 x 4Mxe 2 x 4Mxe 2 x 4Mx 2 e 2 x
  52. 52. 2x 2x 2x 2 2x2Me 4Mxe 4Mxe 4Mx e 2x 2 2x 2 2x 2x 2Mxe 2Mx e Mx e 2e 2x 2x 2Me 2e M 1 2x 2 2x Y C1 C2 x e xe

×