3 equilibrio del c.r. - coplanares

Estática- Equilibrio del Cuerpo Rígido
3- Equilibrio del Cuerpo Rígido
(Sistemas Coplanares)
Prof. JOSÉ BENJUMEA ROYERO
Ing. Civil, Magíster en Ing. Civil

3. Equilibrio de cuerpos rígidos
3.1 Diagrama de cuerpo libre.
3.2 Equilibrio en el plano. Reacciones en apoyos y conexiones de una estructura
bidimensional.
3.3 Reacciones estáticamente indeterminadas. Restricciones parciales en cuerpos rígidos.
3.4 Equilibrio de un cuerpo sometido a dos fuerzas. Equilibrio de un cuerpo sometido a
tres fuerzas.
.
.
.
Contenido

Equilibrio de Cuerpo Rígidos
http://www.modelmotor.es/tienda-a/13-801066/ficha/Grua-Torre-Wolff-7532-cross-187-Ros-Agritec.html
W1
P
Q
W3
W2
T1
T2
W4
Reduciendo las fuerzas externas a un sistema
fuerza-par en O
O

º
W1
P
Q
W3
W2
T1
T2
W4
Separando el C.R. del suelo
O

W1
P
Q
W3
W2
T1
T2
W4
El sistema estará en equilibrio sí:
R*=0 y MR*=0
ΣFx=0, ΣFy=0, ΣFz=0
ΣMx=0, ΣMy=0, ΣMz=0
O

¿Qué aprenderemos en esta parte del curso?
- Diagrama del cuerpo libre
- Tipos de restricciones
- ¿La estructura está apoyada apropiadamente?
- ¿La estructura puede ser calculada mediante la estática?
- Establecer las condiciones para que un estructura esté en equilibrio
Equilibrio Coplanar
Equilibrio no
Coplanar

3.1 Diagrama de Cuerpo Libre
(1) Identifique el C.R.  separarlo del suelo, de las uniones, apoyos y de otros cuerpos
(2) Identifique y dibuje todas las fuerzas externas
 Fuerzas aplicadas y reacciones
 Incluya el peso
 Si el C.R. está formado por varias partes no incluya las fuerzas que esas partes ejercen
entre sí. Lo anterior, siempre que estudie el equilibrio del cuerpo rígido completo
cable
(3) Determine la magnitud y dirección de las acciones conocidas (Fuerzas y Momentos)
(4) Identificar las fuerzas desconocidas (generalmente son las restricciones)
(5) Verificar que el D.C.L tenga las dimensiones necesarias !Dibuje el sistema de referencia!

3.2 Equilibrio Coplanar
3.2.1 Tipologías de Reacciones (Restricciones)
Tomado de [Meriam & Kraige, 2002]  Engineering Mechanics STATICS, fifht Edition, Jhon Wiley & Sons.

+ torsion Spring

Simplified seismic analysis procedures for elevated tanks considering fluid–structure–soil
Interaction (R. Livaoğlua, , , A. Doğangünb, ) http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0889974606000041#gr1

Diseño Nuevo Estadio de Barrancabermeja (etapa de diseño)

Apoyo en puente San Francisco – Oakland Bay

Apoyo en puente peatonal Metrolínea – Estación Hormigueros

Roller Support
Fuente: http://ceephotos.karcor.com/2011/09/23/roller-support/

Roller Support
Fuente: http://minnesota.publicradio.org/display/web/2009/03/25/bridgecollapse_update/

Elastomeric Support
Puente de vía ferroviaria AHK11
Fuente: http://www.zt-ron.at/es/proyectos/puente-ahk11.html

Base Plates (Platinas Bases)
Fuente: http://www.amtecdesigns.com/Struct.html

Otros ejemplos de soportes
[Hibbeler]

Ejercicio 1
Dibuje el D.C.L de las siguientes estructuras.

Ejercicio 2
Dibuje el D.C.L de la viga ABC. Asuma pasadores sin fricción.
A B C
D
P

Ejercicio 3
Dibuje el D.C.L de la viga ABC. Asuma pasadores sin fricción.
A B C
P

¿En qué dirección se asumen las reacciones?
w
10 m
A
B
P P P

¿Puedo resolver la estructura con lo aprendido en el curso de estática?
¿La estructura es estable para cualquier valor de P, Q, R, S y W ?
P
Q R S
W

3.2.2 Ecuaciones de equilibrio
Significado Físico de las ecuaciones de
Equilibrio
vs
Sistemas Linealmente
Independendientes
A
B
C
A B
C D
Tratar de buscar ecuaciones que tengan
una sola incógnita:
-Momento respecto a ejes
- Momento respecto a puntos que están dentro de
la línea de acción de la incógnita
-Momento respecto a puntos de convergencia

A
1. ΣFx=0, ΣFy=0, ΣMo=0
2. ΣFx’=0, ΣFy’=0, ΣMa=0
(x’ y y’ no son perpendiculares entre sí)
Conjunto de ecuaciones INDEPENDIENTES (disponibles)…
x
y
R
MR
x
y
x
y
MR=0
ΣMa=0
R
R a y’
└
└
R a x’
└
└
R

A
3. ΣMa=0, ΣMb=0, ΣFy’=0
x
y
x
y
ΣMa=0
ΣMb=0
R
B
R
ΣFy’=0
A
x
y
x
y
C
B
4. ΣMa=0, ΣMb=0, ΣMc=0
A
B
C
a, b y c NO COLINEALES Si a, b y c son COLINEALES
R
¿R puede ser
diferente de cero
(0)?
¿condición del eje
AB y del eje y’?

Para el caso de Fuerzas Concurrentes en O
x
y
x
y
5. ΣFx’=0, ΣFy’=0
7. ΣFx’=0, ΣMa=0
6. ΣMa=0, ΣMb=0
R
R
A
B
O
O
x
y
A
O

Para el caso de Fuerzas Paralelas (aplicadas en dirección del Eje y)
8. ΣMa=0, ΣFy’=0,
9. ΣMa=0, ΣMb=0
A
x
y
A
x
y
MR
MR=0
ΣMa=0
B
Línea AB no paralela al eje x
y’ no paralela al eje x

3.2.3 Reacciones Estáticamente Indeterminadas y Restricciones
Inadecuadas
Analizar cada una de las siguientes estructuras
W
P P
Q Q
Q W
P P
Q Q
Q
Estructura Estáticamente Determinada
Estructura Completamente Restringida
Estructura Estáticamente Indeterminada
(estructura hiperestática)
Estructura Completamente Restringida

W
P
Q
Q
Q
Estructura Estáticamente Inestable
Estructura Restringida Parcialmente
Estructura Impropiamente Restringida*
W
Estructura Impropiamente Restringida*
* También llamada Inestabilidad
Geométrica
W
Q
Q
Q

W
“Un C.R. está impropiamente restringido siempre que los
apoyos, aunque proporcionen un numero suficiente
de reacciones, estén ubicados de tal forma que las
reacciones son concurrentes o paralelas”
W
Q
Q
Q

3.2.4 Cuerpos de 2 y 3 Fuerzas
P
Q
Mo
- Cuerpos de 2 Fuerzas
“Un C.R. sometido a fuerzas que actúan únicamente en
dos puntos, es un cuerpo de dos fuerzas”

A
B
C
O
F
P
Q
ΣMo=0
Excepción: cuando las fuerzas no se intersecan y son paralelas
- Cuerpos de 3 Fuerzas
“Un C.R. sometido a
fuerzas que actúan
únicamente en tres
puntos, estará en
equilibrio si las fuerzas
convergen en un solo
punto ó si son
paralelas”

A
B
C
O
F
P ΣMo=0
P
d
d
¿ΣFx=0?

Ejercicio 4
Conexiones: rodillos, pasadores sin fricción, bielas lisas
¿impropia, completa o parcialmente restringida? ¿estáticamente determinada o indeterminada?
¿se mantiene el equilibrio de la estructura?
AB= 3m, BC= 2m, CD=2 m

Ejercicio 5
Todas la estructuras presentadas son hiperestáticas. Describir al menos una modificación de los
apoyos para cada caso que convierta en isostática la estructura correspondiente.

Ejercicio 6
Tomado de MIT OpenCourseWare , Civil and Environmental Engineering 1.050 Solid Mechanics, Fall 2004

Ejercicio 7
Idealización de un puente levadizo …
http://www.skyscraperlife.com/infraestructura-de-transporte/7954-nuevo-puente-pumarejo-sobre-el-rio-magdalena-barranquilla-colombia.html
http://www.galiciaenfotos.com/leca-y-matosinhos-i/
Prop. Puente Laureano Gómez (Barranquilla, COL)
Puente Levadizo en Galicia, ESP

O de etapas constructivas (Construcción Estación Terminal Trenes, Berlín)
Fuente http://es.wikiarquitectura.com/index.php/Estaci%C3%B3n_Central_de_trenes_de_Berl%C3%ADn

Determine las reacciones en los apoyos de la armadura (que representa un estado constructivo).
El apoyo en C, es de segundo orden (pasador sin fricción).

Ejercicio 8
Determine las reacciones en los apoyos de la barra rígida ABC. El elemento CD es un eslabón
corto.

Ejercicio 9
La barra AB se somete a una fuerza P en el punto B. En el extremo A se encuentra
un apoyo de segundo orden. En B se une a un resorte de constante K que pasa a
través de una polea sin rozamiento. Cuando θ=0 (AB horizontal), el resorte no se
encuentra esforzado. Hallar una expresión para θ, sabiendo que la barra AB se
encuentra en equilibrio.
P
L
K
A
B
Ө

Ejercicio 10
La barra rígida ACB esta apoyada en C mediante 1 apoyo de segundo orden. En los extremos
A y B, se suspende de un cable que pasa por una polea sin rozamiento en D.
Calcular la reacción en C y la tensión en el cable debido a la fuerza P=150 N.
m
m
m m
P

Ejercicio 11
Una barra uniforme AB, de longitud igual a 2R, y peso W, se apoya en el interior de un recipiente
semi-esférico de radio R. Determine el ángulo teta correspondiente a la posición de equilibrio de
la barra. Asuma que la superficie no tiene fricción.
𝜃
𝐴
𝐵
Hint: Teorema de Thales de Mileto

Ejercicio 12
La barra AB soporta una fuerza de 200 N, se encuentra suspendida de un cable en el vértice B y
apoyada en A. Calcular la tensión del cable y la reacción en A

Ejercicio 13
La viga horizontal está soportada por resortes en sus extremos. Si la rigidez del resorte situado en
A es KA= 5kN/m, determine la rigidez requerida en el resorte ubicado en B de manera que si la
viga es cargada con la fuerza de 800 N, permanezca en posición horizontal antes y después de la
carga.

Ejercicio 14

Ejercicio 15
Los centros de gravedad del carro elevador (masa 50 kg) y de la caja (masa 120 kg) están en G1 y
G2, respectivamente. El camión debe poder subir el escalón de 5 mm cuando la fuerza P de
empuje es de 600 N. Encuentre el mínimo radio permisible para la rueda en A. ¿Se volteará el
carro para las cargas asumidas? (Medidas en mm)
C B
A
G1
G2
P
825 375
700 500
1200
5

Ejercicio 16
La barra ABCD está doblada en forma de un arco circular de 4 pulgadas de rado y descansa sobre
superficies sin fricción en A y D. Si el collarín colocado en B se puede mover libremente por la
barra, determine a) el valor de 𝜃 para el cual la tensión en la cuerda OB es mínima, b) el valor
correspondiente de la tensión, c) las reacciones en A y D

Ejercicio 17
El bloque C de peso 50 kN, descansa sobre la barra uniforme AB de peso 20 kN. El cable que
conecta C con B pasa sobre una polea en D. Determine la magnitud de la fuerza que actúa entre
el bloque y la barra.

Ejercicio 18
Una barra de longitud L y peso W, se une por uno de sus extremos a un collar en A y por el otro a
una pequeña rueda en B, la cual gira libremente a lo largo de la superficie cilíndrica de radio R.
Despreciando la fricción de la superficie, determine una expresión para el ángulo teta (Ɵ) que se
cumpla cuando la barra esté en equilibrio

Ejercicio 19
Una barra uniforme AB de longitud l y peso W, se sostiene por dos cuerdas AC y BC de igual
longitud. Demuestre que, para la posición de equilibrio, se cumple la siguiente expresión
senθ = 2Mocot β
1
𝑊𝑙

Ejercicio 20
La barra AB, de masa m y longitud L, se une a dos bloques en sus extremos, los cuales giran
libremente por ranuras circulares. Si 𝛼 = 45°, determine:
a) El valor máximo de L para que el que la barra se encuentra en equilibrio.
b) Las reacciones en A y B.
𝜶
A
B

Ejercicio 21
Una barra delgada uniforme de longitud L y peso W, está balanceada sobre un vaso de diámetro
interno D, de superficie lisa. Determine el ángulo 𝜃 correspondiente a la posición de equilibrio.
Planta

Ejercicio 22
Dos esferas pesadas, unidas entre sí por una
cuerda de peso y espesor despreciable, son
colgadas de una polea sin fricción y de diámetro
despreciable. La polea está sostenida por un eje
en el extremo volado de una barra.
Para la posición mostrada en la figura (con la
esfera más grande por encima de la pequeña), el
sistema se encuentra en equilibrio estático.
Determine la tensión en la cuerda y la fuerza de
contacto entre las esferas.
Asuma que todas las superficies son lisas.
𝑟1 = 8 𝑐𝑚, 𝑟2 = 6 𝑐𝑚
𝑤1 = 161 𝑘𝑔𝑓, 𝑤2 = 91 𝑘𝑔𝑓
𝐿𝑐𝑢𝑒𝑟𝑑𝑎 (𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑒𝑠𝑓𝑒𝑟𝑎𝑠) = 34 𝑐𝑚
1
2
polea
Nota: las esferas fueron perforadas
diametralmente para que su centro de masa
coincida con el centro geométrico.

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