Relasi

1. 9/13/2022 1
MATEMATIKA
KELAS VIII
SEMESTER
SATU/GANJIL
MATERI DAN LATIHAN
BAB II
RELASI DAN FUNGSI

2. 9/13/2022 2
SELAMAT BELAJAR
SEMOGA BERHASIL
DAN SUKSES

3. 9/13/2022 3
Oleh :
Muhamad Sidiq
A410080079

4. 9/13/2022 4
A. RELASI
1. Pengertian Relasi
Relasi ( hubungan ) dari himpunan A ke B
adalah pemasangan anggota-anggota A
dengan anggota-anggota B.
Relasi dalam matematika misalnya : lebih
dari , kurang dari , setengah dari , faktor dari
, dan sebagainya .
Contoh :
Diketahui A = { 1, 2, 3, 4 } dan B = { 1, 2, 3 }
. Jika
himpunan A ke himpunan B dinyatakan
relasi “ kurang dari “ , maka lebih jelasnya
dapat ditunjukkan pada gambar di bawah :

5. 9/13/2022 5
Diagram disamping
dinamakan diagram panah .
Arah relasi ditunjukkan
dengan anak panah dan
nama relasinya adalah
“ kurang dari “
1 .
2 .
3 .
4 .
.1
.2
.3
B
A
Kurang dari

6. 9/13/2022 6
2. Menyatakan Relasi
Relasi antara dua himpunan dapat dinyatakan
dengan 3 cara , yaitu : Diagram Panah ,
Diagram Cartesius , dan Himpunan pasangan
berurutan .
a. Diagram Panah
Contoh :
1. Jika Anto suka sepakbola , Andi suka voli
dan bulutangkis serta Budi dan Badri suka
basket dan sepakbola . Buatlah Diagram
Panah keadaan tersebut apabila A adalah
himpunan anak dan B adalah himpunan
olahraga .

7. 9/13/2022 7
. Voli
. Basket
. Bulutangkis
. Sepakbola
Anto .
Andi .
Budi .
Badri .
B
A
Suka akan

8. 9/13/2022 8
2. Diketahui P = { 1, 2, 3, 4 } dan
Q = { 2, 4, 6, 8 } . Gambarlah diagram
panah yang menyatakan relasi dari P
dan Q dengan hubungan :
a. Setengah dari
b. Faktor dari
Jawab : a.
1
. 2
. 4
. 6
. 8
1 .
2 .
3 .
4 .
Q
P
Setengah dari

9. 9/13/2022 9
b.
. 2
. 4
. 6
. 8
1 .
2 .
3 .
4 .
Q
P
Faktor dari

10. 9/13/2022 10
b. Diagram
Cartesius
Contoh :
Diketahui A = { 1, 2, 3, 4, 5 } dan
B = { 1, 2, 3, …, 10 }.
Gambarlah diagram cartesius yang
menyatakan relasi A ke B dengan
hubungan :
a. Satu lebihnya dari
b. Akar kuadrat dari

11. 9/13/2022 11
Jawab :
a . Satu lebihnya dari
1
1 2 3 4 5 6 7 9
8 10
0
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Himpunan
B
Himpunan A

12. 9/13/2022 12
Jawab :
b. Akar kuadrat dari
1
1 2 3 4 5 6 7 9
8 10
0
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Himpunan
B
Himpunan A

13. 9/13/2022 13
C. Himpunan pasangan
berurutan
Contoh :
Himpunan A = { 1, 2, 3, … , 25} dan
B = { 1, 2, 3, … , 10 } .
Tentukan himpunan pasangan berurutan yang
menyatakan relasi A ke B dengan hubungan :
a. kuadrat dari
b. dua kali dari
c. Satu kurangnya dari

14. 9/13/2022 14
Jawab :
a. { (1,1), (4,2), (9,3),(16,4), (25,5) }
b. { (2,1), (4,2), (6,3), (8,4), (10,5),
(12,6),
(14,7),(16,8), (18,9),(20,10) }
c. { (1,2) , (2,3), (3,4), (4,5), (5,6),
(6,7),
(7,8), (8,9), (9,10) }

15. 9/13/2022 15
B.
FUNGSI
1. Pengertian Fungsi
Sebuah fungsi f : x  y adalah suatu aturan
yang memasangkan tiap anggota x pada
suatu himpunan (daerah asal / domain),
dengan tepat sebuah nilai y dari himpunan
kedua (daerah kawan / kodomain).
Himpunan nilai yang diperoleh disebut
daerah hasil / range fungsi tersebut .
Untuk lebih memahami pengertian diatas
perhatikan contoh berikut :

16. 9/13/2022 16
Contoh :
Perhatikan diagram panah dibawah ini :
. 1
. 2
. 3
. 4
. 5
0 .
2 .
4 .
6 .
B
A
Daerah kawan/
kodomain
Daerah asal/
Domain
Daerah hasil/
Range

17. 9/13/2022 17
Dari diagram panah diatas dapat dilihat bahwa
:
1. Fungsi A ke B adalah relasi khusus yang
memasangkan setiap anggota A dengan
tepat satu anggota B.
2. Himpunan A = { 0, 2, 4, 6 } disebut daerah
asal ( Domain ), Himpunan B = { 1, 2, 3, 4,
5 }
disebut daerah kawan ( Kodomain ), dan
{ 1, 2, 5 } disebut daerah hasil ( Range ).

18. 9/13/2022 18
2. Notasi Fungsi
Fungsi/ pemetaan dapat dinotasikan
dengan huruf kecil f , g , h , dan
sebagainya.
Misal :
f : x  y dibaca f memetakkan x ke y ,
maka
y = f(x) dibaca sama dengan f dari x
digunakan untuk menunjukkan bahwa y
adalah fungsi dari x .

19. 9/13/2022 19
Suatu fungsi juga dapat dinyatakan dengan tiga
cara yaitu dengan diagram panah , diagram
cartesius , dan himpunan pasangan berurutan .
Contoh :
Diketahui A = { a, i, u, e, o } dan B = { 1, 2, 3, 4
}
a. Buatlah diagram panah yang menunjukkan
pemetaan f yang ditentukan oleh : a  1 ,
i  2 , u  1 , e  4 , o  2 .
b. Nyatakan pula dengan diagram cartesius
c . Nyatakan pula f sebagai himpunan

20. 9/13/2022 20
Jawab :
a . Diagram panah
. 1
. 2
. 3
. 4
a .
i .
u .
e .
o .
B
A

21. 9/13/2022 21
b. Diagram cartesius
1
a i u e o
0
2
3
4
5
6
7
8
9
10

22. 9/13/2022 22
{ (a , 1) , (i , 2) , (u , 1) , (e , 4) , (o , 2) }
c. Himpunan pasangan berurutan

23. 9/13/2022 23
3. Banyaknya pemetaan dari dua himpunan
Jika n(A) = a , dan n(B) = b , maka banyak
pemetaan yang mungkin terjadi dari
himpunan A ke B adalah ba dan
himpunan B ke A adalah ab
Contoh :
Berapa banyaknya pemetaan yang mungkin
terjadi untuk pemetaan berikut :
a. Dari himpunan A = {a} dan B = {1}
b. Dari himpunan C = {1} dan D = { a , b }

24. 9/13/2022 24
c. Dari himpunan E = {a,b} dan F = {1}
d. Dari himpunan G = {1} dan H = { a,b,c }
e. Dari himpunan I = {1,2} dan J = { a,b}
f. Dari himpunan K = {a,i,u,e,o} dan L = {1,2,3}
g. Dari himpunan M = {a,b,c,d} dan N =
{1,2,3,4,5}
Jawab :
a. n(A) = 1 , n(B) = 1
Banyak pemetaan 11 = 1
b. n(C) = 1 , n(D) = 2
Banyak pemetaan 21 = 2

25. 9/13/2022 25
c. n(E) = 2 , n(F) = 1
Banyak pemetaan 12 = 1
d. n(G) = 1 , n(H) = 3
Banyak pemetaan 31 = 3
e. n(I) = 2 , n(J) = 2
Banyak pemetaan 22 = 4
f. n(K) = 5 , n(L) = 3
Banyak pemetaan 35 = 243
g. n(M) = 4 , n(N) = 5
Banyak pemetaan 54 = 625

26. 9/13/2022 26
f : x  y dibaca f memetakkan x ke y dan
dapat dinyatakan dengan f(x) .
Maka rumus fungsi dapat ditulis f(x) = y .
Contoh :
Diketahui suatu fungsi f : x  x + 2 dengan
daerah asal fungsi { x/ 1 < x < 6, x  A}
a. Tentukan rumus fungsi !
b. Tentukan daerah asal fungsi !
c . Tentukan daerah hasil fungsi !
d. Jika f(x) = 15 , maka tentukan nilai x !
4. Merumuskan suatu fungsi

27. 9/13/2022 27
a. Rumus fungsi f(x) = x +2
b. Daerah asal = { 2, 3, 4, 5 }
c. Daerah hasil : f(x) = x + 2
untuk x = 2  f(x) = 2 + 2 = 4
x = 3  f(x) = 3 + 2 = 5
x = 4  f(x) = 4 + 2 = 6
x = 5  f(x) = 5 + 2 = 7
Jadi daerah hasil fungsi : { 4, 5, 6, 7 }
d. f(x) = 15 x + 2 = 15
x = 15 – 2
x = 13 Jadi nilai x
= 13
Jawab :

28. 9/13/2022 28
Uji Kompetensi 4
1. Diketahui A = { 2, 3, 4, 5 } dan B = { 0, 1, 2,
3, }
Relasi A ke B adalah “ dua lebihnya dari “ ,
maka :
a. Himpunan pasangan berurutan :
{ ( 2,0), (3,…), (…,2), (…,…) }
b. Diagram Panah B
A

29. 9/13/2022 29
Pembahasan
1. Diketahui A = { 2, 3, 4, 5 } dan B = { 0, 1, 2,
3, }
Relasi A ke B adalah “ dua lebihnya dari “ ,
maka :
a. Himpunan pasangan berurutan :
{ ( 2,0), (3,1), (4,2), (5,3) }
b. Diagram Panah
B
A
.0
. 1
. 2
. 3
2 .
3 .
4 .
5 .
Dua lebihnya dari

30. 9/13/2022 30
2. Gambarlah relasi-relasi berikut dengan
diagram panah. Kemudian tentukan
termasuk fungsi atau bukan fungsi !
a. { (1,2), (1,3), (2,4), (3,5) }
b. { (1,1), (2,2), (3,3) }
c. { (3,4), (5,6), (7,8) }
d. { (2,3), (3,4), (4,5) }

31. 9/13/2022 31
Pembahasan
a. { (1,2), (1,3), (2,4), (3,5) }
bukan fungsi karena ada anggota x
yang berpasangan lebih dari satu
dengan anggota y .
. 2
. 3
. 4
. 5
1 .
2 .
3 .
Bukan fungsi
y
x

32. 9/13/2022 32
b. { (1,1), (2,2), (3,3) }
1 .
2 .
3 .
. 1
. 2
. 3
Fungsi
B
A

33. 9/13/2022 33
c. { (3,4), (5,6), (7,8) }
. 4
. 6
. 8
3 .
5 .
7 .
Fungsi
P Q

34. 9/13/2022 34
d. { (2,3), (3,4), (4,5) }
. 3
. 4
. 5
2 .
3 .
4 .
Fungsi
K L

35. 9/13/2022 35
3 . Fungsi f : x  x + 3 mempunyai domain
{ -2, -1, 0, 1, 2 } .
a. Tunjukkan fungsi f dalam diagram panah
.
b. Nyatakan dalam himpunan pasangan
berurutan .
c. Tulis range dari f .

36. 9/13/2022 36
Pembahasan
a. Fungsi f : x  x + 3 , jadi f(x) = x + 3
Untuk x = -2 maka f(-2) = -2 + 3 = 1
x = -1 maka f(-1) = -1 + 3 = 2
x = 0 maka f(0) = 0 + 3 = 3
x = 1 maka f(1) = 1 + 3 = 4
x = 2 maka f(2) = 2 + 3 = 5
. 1
. 2
. 3
. 4
. 5
-2 .
-1 .
0 .
1 .
2 .
x+3
x

37. 9/13/2022 37
b. Himpunan pasangan berurutan
{ (-2,1), (-1,2), (0,3), (1,4), (2,5) }
c. Range (daerah hasil ) = ( 1, 2, 3, 4, 5 )

38. 9/13/2022 38
4. Suatu persamaan fungsi f(x) = ½ x + 1
dengan
daerah asal { 2, 4, 6, 8, 10 } .
Tentukan :
a. Daerah hasil / bayangan .
b. Himpunan pasangan berurutan .

39. 9/13/2022 39
Pembahasan
:
a. f(x) = ½ x + 1
f(2) = ½ . 2 + 1 = 1 + 1 = 2
f(4) = ½ . 4 + 1 = 2 + 1 = 3
f(6) = ½ . 6 + 1 = 3 + 1 = 4
f(8) = ½ . 8 + 1 = 4 + 1 = 5
f(10) = ½ . 10 + 1 = 5 + 1 = 6
Jadi Range / daerah hasil / daerah
bayangan = { 2, 3, 4, 5, 6 }
b. Himpunan pasangan berurutan
{ (2,2), (4,3), (6,4), (8,5), (10,6) }

40. 9/13/2022 40
5. Dengan tanpa membuat diagram
panahnya terlebih dahulu , tentukan
banyaknya pemetaan yang mungkin dari :
a. A = {a, b, c} B = {1, 2}
b. A = {1, 2} B = {a, b, c}
c. A = {a, b, c} B = {1, 2, 3}
d. A = {a, b, c} B = {1, 2, 3, 4}
e. A = {1, 2} B = {a, b, c, d}

41. 9/13/2022 41
Pembahasan
a. A = {a, b, c} B = {1, 2} ------ 23 = 8
b. A = {1, 2} B = {a, b, c} ----- 32 = 9
c. A = {a, b, c} B = {1, 2, 3} ------- 33 =
27
d. A = {a, b, c} B = {1, 2, 3, 4} ----- 43 =
64
e. A = {1, 2} B = {a, b, c, d} ----- 42 =
16

42. 9/13/2022 42

43. 9/13/2022 43
C. Menghitung Nilai Fungsi
Untuk menghitung nilai fungsi dapat
digunakan rumus :
f (x) = ax + b
Contoh :
1. Suatu fungsi ditentukan dengan f : x  5x -
3
Tentukan :
a. Rumus funsi .
b. Nilai fungsi untuk x = 4 dan x = -1 .

44. 9/13/2022 44
Jawab :
a. Rumus fungsinya f(x) = 5x – 3
b. Nilai fungsi f(x) = 5x – 3
untuk x = 4 maka f(4) = 5 . 4 – 3 = 17
x = -1 maka f(-1) = 5 .(-1) – 3 = -8
Jadi nilai fungsi untuk x = 4 adalah 17
dan
x = -1 adalah -8

45. 9/13/2022 45
2. Suatu fungsi dirumuskan g (x) = -4x +
Tentukan :
a. g ( -2 )
b. Nilai a jika g (a) = -5

46. 9/13/2022 46
Jawab :
a. g (x) = -4x + 3
g (- 2 ) = -4 . (- 2 ) + 3
= 8 + 3
= 11
b. g (a) = - 4a + 3
- 4a + 3 = - 5
- 4a = - 5 – 3
- 4a = - 8
a = 2

47. 9/13/2022 47
D. MENENTUKAN BENTUK
FUNGSI
Suatu fungsi dapat ditentukan bentuknya jika
data fungsi diketahui . Bentuk fungsi linier
dapat dirumuskan sebagai f (x) = ax + b .
Contoh :
Suatu fungsi ditentukan dengan rumus
f (x) = ax + b , jika f (2) = 10 dan f (-4) = -8 .
Tentukan :
a. Nilai a dan b
b. Bentuk fungsinya
c. Bayangan dari – 3

48. 9/13/2022 48
Jawab :
a. f (x) = ax + b
f (2) = 2a + b = 10  2a + b = 10
f (-4) = -4a + b = -8  -4a + b = -8 -
6a = 18
a = 3
untuk a = 3  2a + b = 10
2 . 3 + b = 10
6 + b = 10
b = 4
Jadi , nilai a = 3 dan b = 4

49. 9/13/2022 49
b. f (x) = ax + b
f (x) = 3x + 4
Jadi , bentuk fungsinya f (x) = 3x + 4
c. Bayangan dari – 3
f (x) = 3x + 4
f (- 3) = 3 ( - 3 ) + 4
= - 9 + 4
= - 5

50. 9/13/2022 50
Uji Kompetensi 5
1 . Sebuah fungsi dirumuskan f (x) = x +
1
a. Tentukan f (2) , f (-3) , f ( ½ ) !
b. Tulislah daerah hasilnya !
c . Jika f (a) = 3 maka tentukan nilai a
!

51. 9/13/2022 51
Pembahasan
a . f (x) = x + 1
f (2) = 2 + 1 = 3
f (-3) = -3 + 1 = -2
f ( ½ ) = ½ + 1 = 1 ½
b. Daerah hasil = { (2,3),(-3,½),(½, 1
½) }
c. f (a) = a + 1
3 = a + 1
a = 2

52. 9/13/2022 52
2 . Sebuah fungsi h dirumuskan h (x) = x2 –
4
a. Hitunglah h (-3) , h (5) , dan h (½) !
b. Tentukan p bila h (p) = 0 !

53. 9/13/2022 53
Pembahasan
a. h (x) = x2 – 4
h (-3) = (-3)2 – 4 = 9 – 4 = 5
h (5) = (5)2 – 4 = 25 – 4 = 21
h (½) = (½)2 – 4 = ¼ - 4 = - 3 3/4
b. h (p) = p2 – 4
h (p) = 0
0 = p2 - 4
p2 = 4
p = 2

54. 9/13/2022 54
3 . Diketahui f (x) = ax + b , jika f (1) = -3
dan
f (0) = -1 . Tentukan :
a. Nilai a dan b
b. Bentuk fungsinya

55. 9/13/2022 55
Pembahasan
a. f (x) = ax + b
f (1) = a + b = 3  a + b = 3
f (0) = b = -1  b = -1 -
a = 4
Jadi a = 4 dan b = -1
b. bentuk fungsinya adalah : f (x) = 4x - 1

56. 9/13/2022 56

57. 9/13/2022 57
E. Menggambar Grafik Fungsi
Untuk menggambar grafik fungsi ada
cara yang mudah yang dapat dilakukan
terlebih dahulu yaitu membuat tabel
dengan mendaftar semua daerah asalnya
.
1. Grafik Fungsi Linier
Contoh :
1. Gambarlah grafik fungsi f (x) = x +1
dengan domain {x/0 x 5 , x  C}



58. 9/13/2022 58
Jawab :
f (x) = x +1 daerah asal = { 0,1,2,3,4,5
}
{x,f(x)}
x+1
x
(2,3)
0 1 2 3 4 5
1 2 3 4 5 6
(0,1)(1,2) (3,4) (4,5)(5,6)

59. 9/13/2022 59
Grafiknya :
f (x) = x + 1 , x  c (0,1,2,3,4,5)
{(0,1),(1,2),(2,3),(3,4),(4,5),(5,6)}
1
1 2 3 4 5
0
2
3
4
5
6
7
8
9
10
x
+
1
x

60. 9/13/2022 60
2. a. Buatlah tabel fungsi g : x  -2x + 1
dengan
daerah asal { -4,-3,-2,-1,0,1,2,3 } !
b. Berdasarkan tabel tersebut tentukan :
(i) bayangan dari -2 , 0 , dan 2 !
(ii) himpunan pasangan berurutan !
(iii) gambarlah grafik fungsi tersebut
pada
bidang cartesius , kemudian
hubungkan titik-titik tersebut
sehingga

61. 9/13/2022 61
Jawab :
a. g (x) = - 2x + 1
1
x -4 -3 -2 -1 0 1 2 3
-2x
1
g (x)
8 6 4 2 0 -2 -4 -6
1
9 7 5 3 -1 -3 -5
1 1 1 1 1 1 1

62. 9/13/2022 62
b. (i) Bayangan dari :
-2 adalah 5
0 adalah 1
2 adalah -3
(ii) Himpunan pasangan berurutan :
{ (-4,9),(-3,7),(-2,5),(-1,3),(0,1),(1,-
1),
(2,-3),(3,-5) }

63. 9/13/2022 63
(iii) Grafiknya : 9
0
-1
-2
-3
-4
-1
-2
-3
-4
-5
1 2 3
1
2
3
4
5
6
7
8
g (x) = -2x + 1

64. 9/13/2022 64

65. 9/13/2022 65
Uji Kompetensi 6
1. Tentukanlah f (x) = 2x untuk daerah asal
{ x/ -4 x < 4 , x  B }.
a. Buatlah tabel fungsinya !
b. Tulislah rangenya !
c. Gambarlah grafik fungsinya !


66. 9/13/2022 66
Pembahasan
a. Tabel fungsi : f(x) = 2x
-8
x
f(x)
x, f(x)
-4 3
2
1
0
-1
-2
-3
-6 6
-4 -2 0 2 4
(-2,-4)
(-4,-8) (-3,-6) (-1,-2) (0,0) (1,2) (2,4) (3,6)
b. Range : { -8,-6,-4,-2,0,2,4,6 }

67. 9/13/2022 67
Grafiknya :
9
0
-1
-2
-3
-4
-1
-2
-3
-4
-5
1 2 3
1
2
3
4
5
6
7
8
-6