Download to read offline
![Основные операторы квантовой механики
[ ]
zyx ppp
zyx
kji
prM =×=
5. Оператор момента импульса:
∂
∂
−
∂
∂
−=
=
∂
∂
−−
∂
∂
−=−=
x
y
y
xi
x
iy
y
ixpypxM xyz
ˆˆˆˆˆ
rθ
ϕ y
x
z
=
=
=
ϕθ
ϕθ
θ
cossin
sinsin
cos
rx
ry
rz
x
y
y
x
y
r
x
r
z
z
y
y
x
x
∂
∂
−
∂
∂
=
∂
∂
+
∂
∂
−=
∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
∂
∂
=
∂
∂
ϕθϕθ
ϕϕϕϕ
cossinsinsin
ϕ∂
∂
−= iMz
ˆ](https://image.slidesharecdn.com/random-130526130536-phpapp01/85/slide-8-320.jpg)
элементы квантовой механики
- 1.
- 2. Основания квантовой механики Движениемикрообъектов описывается не траекториями, а волновыми функциями. Все характеристики микрообъекта также определяются волновой функцией (ψ - функцией). Задача определения и правильного истолкования ψ - функций является основной задачей квантовой механики. Волновая механика (1925) Матричная механика (1925) Основные объекты - ψ - функции и самосопряженные операторы Основные объекты - векторы в специальном гильбертовом пространстве Вернер Карл Гейзенберг Макс БорнЭрвин Шредингер
- 3. Вычисление средних значений Важнымв физике микромира является понятие среднего значения. Рассмотрим задачу о вычислении среднего значения кинетической энергии молекул газа: ( ) ∑= =+++>=< N i iE N EEE N E 1 321 1 ... 1 Возможен и другой способ. Пусть Nk – число молекул, обладающих энергией от Ek до Ek+1: ∑∑ == = n k kk N i i ENE 11 ∑∑∑ === ==>=< n k kk n k k k n k kk EPE N N EN N E 111 1 ∫ ⋅>=< dEEPEE )( В квантовой механике роль функции плотности вероятности P(E) играет квадрат модуля волновой функции |ψ|2 : )()()(..,)()()( *22 xxxктdxxxfxf ψψψψ =⋅>=< ∫ ∫ ⋅>=< dxxxfxxf )()()()( * ψψ
- 4. Основные операторы квантовой механики Оператор– последовательность действий (правило), посредством которых одной функции сопоставляется другая функция: ϕψ =Fˆ 1. Оператор координаты: ψψ ⋅= xxˆ Найдем среднее значение оператора координаты: ∫∫∫ ⋅=⋅⋅=>=< dxxxdxxxxdxxxxx 2 )()()(*)(ˆ)(* ψψψψψ
- 5. Основные операторы квантовой механики ∂ ∂ −= ∂ ∂ −= ∂ ∂ −= z ip y ip x ip z y x ˆ ˆ ˆ x p i ikx eex ==)(ψ pdxx p i dxx x ixdxxpxp xx =−= =⋅ ∂ ∂ ⋅=>=< ∫ ∫∫ 22 )( )()(*)(ˆ)(* ψ ψψψψ 2. Оператор импульса: Найдем среднее значение проекции импульса на ось х: ∇−= ipˆ В общем виде оператор импульса записывается так k z j y i x ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ =∇ - оператор «набла»
- 6. Основные операторы квантовой механики 3.Оператор кинетической энергии: ( )222 2 2 1 2 zyxk ppp mm p TE ++=== ( ) 2 2 2 2 2 2 2 22 222 222 22 2 1 ˆˆˆ 2 1ˆ ∇−= ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ −= = ∂ ∂ −+ ∂ ∂ −+ ∂ ∂ −=++= mzyxm z i y i x i m ppp m T zyx - Связь кинетической энергии и импульса Вид оператора кинетической энергии
- 7. Основные операторы квантовой механики 2 2 2 ),,(ˆˆˆ∇−=+= m zyxUUTH 4. Оператор полной энергии: t iH ∂ ∂ = ˆили Найдем среднее значение оператора полной энергии для фотона: )( )( kxti ex −− = ω ψ ωωωω =−= ∂ ∂ >=< − ∫ iidte t ieH titi В результате получается известная формула Планка.
- 8. Основные операторы квантовоймеханики [ ] zyx ppp zyx kji prM =×= 5. Оператор момента импульса: ∂ ∂ − ∂ ∂ −= = ∂ ∂ −− ∂ ∂ −=−= x y y xi x iy y ixpypxM xyz ˆˆˆˆˆ rθ ϕ y x z = = = ϕθ ϕθ θ cossin sinsin cos rx ry rz x y y x y r x r z z y y x x ∂ ∂ − ∂ ∂ = ∂ ∂ + ∂ ∂ −= ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ ϕθϕθ ϕϕϕϕ cossinsinsin ϕ∂ ∂ −= iMz ˆ
- 9. Собственные функции исобственные состояния операторов В квантовой механике состояние частицы в данный момент времени описывается комплексной функцией, причем эта функция сама по себе физического смысла не имеет, а квадрат её модуля интерпретируется как плотность вероятности обнаружения частицы в данной точке пространства. Физическим величинам (энергии, импульсу, моменту импульса и др.) в квантовой механике сопоставляются операторы соответствующих величин. Состояние, в котором физическая величина, соответствующая оператору F имеет вполне определенное значение λ, называется собственным состоянием оператора F, а Ψ- функция этого состояния называется собственной функцией. λψψ =Fˆ λ − собственное значение оператора. (1)
- 10. Собственные функции исобственные состояния операторов Если система находится в состоянии, описываемом собственной функцией оператора некоторой физической величины, то при измерении этой величины всегда будет получаться число λ, являющееся собственным значение этого оператора . Квантовомеханические операторы имеют не одну, а множество собственных функций и соответствующих им собственных значений. При этом совокупность собственных значений называют спектром оператора. Спектр оператора считается дискретным, если он состоит из счетного множества значений λ. Спектр собственных значений оператора может быть и непрерывным, когда в (1) оказываются возможными все значения λ , либо состоящим из отдельных полос, таких что возможные значения λ лежат в ряде интервалов. Решением уравнения являетсяψ ϕ ψ zMi = ∂ ∂ − Т.к. ϕ - циклическая переменная, то Пример дискретного спектра (оператор момента импульса): = ϕ ψ zM iAexp ( ) )(2 ϕψπϕψ =+ ( ) ⇒ = + ϕπϕ zz M i M i exp 2 exp 1 2 exp = πzM i ...2,1,0,2 2 ±±== mm Mz π π mMz =
- 11. Уравнение Шредингера U m H +∇−=2 2 2 ˆ t iH ∂ ∂ = ˆ В изолированных физических системах выполняется закон сохранения энергии. Запишем вид операторов полной энергии: t iU m ∂ ∂ =+∇− ψ ψψ 2 2 2 Уравнение Шредингера для нерелятивистских систем ψψ 0 ˆ EH = Е0 – собственные значения оператора полной энергии. ψψψ 0 2 2 2 EU m =+∇− Уравнение Шредингера для стационарных состояний
- 12. Уравнение Шредингера Покажем, какможно получить уравнение Шредингера: )( )( Etpx i kxti eAeA − −− ⋅=⋅= ω ψ Волновая функция движущейся микрочастицы ψ ψ E i t −= ∂ ∂ ψ ψ 2 2 2 2 p i x = ∂ ∂ 2 22 2 x p ∂ ∂ −= ψ ψ t i E ∂ ∂ = ψ ψ По закону сохранения энергии, кинетическая энергия частицы равна: UE m p −= 2 2 U t i xm − ∂ ∂ = ∂ ∂ − ψ ψ ψ ψ 11 2 2 22 t iU xm ∂ ∂ =+ ∂ ∂ − ψ ψ ψ 2 22 2 Уравнение Шредингера для одномерного случая.
- 13. Уравнение Шредингера В отличиеот уравнений Ньютона, уравнение Шредингера является дифференциальным уравнением в частных производных. Такие уравнения в аналитическом виде решаются крайне редко. Поэтому в квантовой механике существует очень узкий круг задач, решаемых в аналитическом виде до конца. Тем не менее, можно научиться оценивать результат и в тех случаях, когда точное решение не может быть получено из-за сложности уравнения.
- 14. Проблема измерений вквантовой механике Постулат квантовой механики утверждает, что в результате измерений физической величины в любой квантовой системе могут быть получены только такие значения, которые являются собственными значениями соответствующего оператора. Этот важный постулат квантовой механики устанавливает связь между теорией и возможностью ее экспериментальной проверки. Математический аппарат теории, используя представление физических величин операторами, позволяет предсказать результаты измерений физических величин в различных квантовых системах. Эти выводы теории могут быть проверены экспериментально. "Некоторые физики, в том числе и я сам, не могут поверить, что мы раз и навсегда должны отказаться от идеи прямого изображения физической реальности в пространстве и времени или что мы должны согласиться с мнением, будто явления в природе подобны игре случая. .... Я еще верю в возможность создания модели, то есть теории, способной излагать сами сущности, а не только вероятности их проявления." А.Эйнштейн Внедрение случайности в жизнь Вселенной не порождает хаоса. В жизни Вселенной осуществляется безмерно великое число проб и испытаний. В этом многообразии событий обнаруживается закон величайшей Красоты и Гармонии. Иллюстрацией этому утверждению может служить квантовая механика, законы которой основаны на концепции, отвергающей предопределенность событий. Именно на этой основе были вскрыты изумительные закономерности атомного мира, позволившие понять строение атомов и молекул, закономерности их взаимодействия" Д.И. Блохинцев