2016年度センター試験　数2 B 確率分布と統計的な推測の解説

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2016年度センター試験
～数2B 確率分布と統計的な推測～

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2

2016年度数2B 第5問（選択問題）
ここからセンター試験の解説をやっていきます。
【問題】
nを自然数とする。
原点Oから出発して数直線上をn回移動する点A
を考える。点Aは、1回ごとに、確率pで正の向き
に3だけ移動し、確率1-pで負の向きに1だけ移動
する。
ここで、0<p<1である。n回移動した後の点Aの
座標をXとし、n回の移動のうち正の向きの移動の
回数をYとする。
3

イメージ図
4
負の向きに1移動
（確率1-p）
正の向きに3移動
（確率p）
0
n回行い、
正にY回、負に(n-Y)回移動
最終的に座標Xにいる
X
0

（１）
5
p=1/3、n=2のとき、確率変数Xのとり得る値は
正-正正-負負-負
の3通りの組み合わせしかありませんので、この3
通りについてのみ考えればよいです。

（１）
6
正-正のとき
→座標X=3×2＝6
→確率=(1/3)^2=1/9
正-負のとき
→座標X=3×1+(-1)×1＝2
→確率=(1/3)×(1-1/3)×2=4/9
負-負のとき
→座標X=(-1)×2＝-2
→確率=(1-1/3)^2=4/9
こたえ
ア. 2
イ. 2
ウ. 6
エ. 4
オ. 9
カ. 4
キ. 1
確率変数Xが小さ
い順に答えます

（２）
7
n回移動した時、
正に動いたのがY回 →1回あたり正に3移動
負に動いたのが(n-Y)回 →1回あたり負に1移動
したがって、
X=3×Y+(-1)×(n-Y)
=-n+4Y こたえ
ク. ー
ケ. 4

（２）
8
確率変数Yの平均（期待値）と分散は、下の公式
に当てはめると求められます。
確率pの試行をn回行う時、
平均（期待値）：E[Y]=np
分散：V[Y]=np(1-p)
こたえ
コ. 0
サ. 1

（２）
9
確率変数Xの平均は、
E[X]=E[-n+4Y]
=E[-n]+E[4Y]
nは定数なのでE[-n]=-n
一方E[4Y]=4×E[Y]と変形できるので、
E[4Y]=4×npとなります
したがってE[X]=-n+4np
E[X+Y]=E[X]+E[Y]が成り
立ちます
和の期待値は期待値の和
に等しくなります
こたえ
シ. 9

（２）
10
確率変数Xの分散は、
V[X]=V[-n+4Y]
nは定数なのでV[X]=V[4Y]となります
一方V[4Y]=4^2×V[Y]と変形できるので、
V[4Y]=16np(1-p)となります
したがってV[X]=16np(1-p)
V[X+c]=V[X]が成り立ちます
cは定数を表します
また、
V[cX]=c^2×V[X]が成り立ちます
こたえ
ス. 8

（３）
11
p=1/4のとき、1200回移動した後の点Aの座標X
が120以上になる確率の近似値を求めよう。
(2)により、
確率p=1/4の試行をn=1200回行う時、
平均（期待値）：E[Y]=np=(1/4)×1200=300
分散：V[Y]=np(1-p)
=1200×(1/4)×(1-1/4)=225
標準偏差=√(分散)=√225=15
こたえ
セソタ. 300
チツ. 15

（３）
12
点Aの座標Xが120以上になる確率を考えるために、
まず、Yの値を標準化します。
標準化とは「あるデータから平均を引き、標準偏
差で割る」ことです。
これにより、あるデータは平均が「0」、標準偏差
が「1」となります。

（３）
13
標準化したデータは、「標準正規分布」の横軸の
値に当てはめることができるようになります。
標準化した値はこ
この値のどこか、
に該当します
標準正規分布

（３）
14
また、標準正規分布の「面積」は「横軸がその値
以上となる確率」を表します。
「↑」の値以上となる
確率は「水色の部分
の面積」に該当します
標準正規分布

（３）
15
座標Xが120となる場合のYは
X=-n+4Y を使って
120=-1200+4Y よりY=330となります
よって、「平均300、標準偏差15」の確率分布に
従うYが「330以上」となる確率を求めるのがこの
(3)の問題です。

（３）
16
さきほどの標準正規分布に落としこむと、
「水色の部分の面積」
は「Yが330以上となる
確率」に該当します
330を標準化した値
標準化したYがこの「赤
の範囲」に入る＝「Yが
330以上となる」＝「Xが
120以上となる」というこ
とを示します
標準正規分布

（３）
17
したがって
𝑃(𝑋 ≥ 120) = 𝑃(
𝑌 − 300
15
≥
330 − 300
15
)
𝑃(𝑋 ≥ 120) = 𝑃(
𝑌 − 300
15
≥ 2.00)
「Y」を標準
化した値
こたえ
テトナ. 200
「330」を標
準化した値

（３）
18
2.00を標準正規分布に落としこむと、
この部分の面積がわ
かれば、求める確率
が分かります
330を標準化した値=2.00

標準正規分布表を見ると、
①縦軸「2.0」のところを見る
②横軸「0.00」のところを見る
③交差する部分の値を読み取る
（３）
19
ここの面積が
0.4772

＝－
ほしい面積はこちら側なので
（３）
ちょうど半分
=0.5
0.4772
よって、求める確率の近似値は
0.5-0.4772=0.023
こたえ
テトナ. 023

（４）
21
pの値がわからないとする。2400回移動した後の
点Aの座標がX=1440のとき、pに対する信頼度
95%の信頼区間を求めよう。
n回移動したときにYがとる値をyとし、r=y/nと
おくと、nが十分に大きいならば、確率変数
R=Y/nは近似的に平均p、分散p(1-p)/nの正規分
布に従う。
n=2400は十分に大きいので、このことを利用し、
分散をr(1-r)/nで置き換えられる。

（４）
22
確率pの試行をn回行い、Y回となる確率がrであった
とき、pの信頼区間は下の式から求められます。
𝑟 − 𝑍 𝛼/2
𝑟 1 − 𝑟
𝑛
≤ 𝑝 ≤ 𝑟 + 𝑍 𝛼/2
𝑟(1 − 𝑟)
𝑛
Zα/2は標準正規分布の値です。
信頼度95%の信頼区間の場合、「1.96」という値に
なります。

（４）
23
n=2400
X=1440よりY=960
r=960/2400=0.4
を下の式に当てはめると
0.4 − 1.96 ×
0.4 × 0.6
2400
≤ 𝑝 ≤ 0.4 + 1.96 ×
0.4 × 0.6
2400
より、
0.380≦p≦0.420
こたえ
ノハヒ. 380
フヘホ. 420

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「エクセル統計」に搭載している「母比率の推
定」から答えを確認してみます。
24
このようなエクセル
データを準備し、
ダイアログを設定して
「OK」を押すだけです

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結果はExcelの次のシートに出力されます。
25
38.0%≦p≦42.0%
となっており、答えが一致
していることが確認できま
した。

おわりに
少しでも気になった方はこちらへ
（エクセル統計紹介のページです）
https://bellcurve.jp/ex/
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（無料体験版があります）
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