Euler's Method

1. 2015/04/14
Tomoya_Hirano

4. 1.1 常微分方程式を差分法で解く
1.1.1 1.1.3まで

5. 1.1.1初期値問題

6. 目標：初期値問題の解を求める

7. そもそも初期値問題とはなにか
du
dt
= f (t,u)...(t > 0)
u(0)=a
このような2つのセットを初期値問題という
初期条件(1,2)
微分方程式(1,1)

8. 結局何をしているの？

9. 実際に描画してみる
u(t) = sin(t)としてt,u面上に描画してみる
t,uの組を適当に決めてやれば、その点における傾きが分かる

10. ここに初期値を指定して、
方向に沿って矢印を繋げると
初期値➘
sinカーブっぽいのが出てきた

11. 微分方程式の無数の関数から
初期条件で１つに絞っている
つまり

12. 解を求める
• u(t)を全部求めれば、解が求められる…が、無理。
• 精度を落として妥協していくしかない
• よって、近似値を求める 解を求めたとする。
• 妥協の方法は、tを等間隔に切り刻むことで再現す
る。
精度低 精度高

13. u(t1),u(t2),u(t3),,,,を求める

14. du
dt
t = tnの における値は差分表式
u(tn+1)− u(tn )
△t
と表すことが出来る
P3(1,3)
要見直し

15. du
dt
t = tnの における値は差分表式
u(tn+1)− u(tn )
△t
と表すことが出来るのは何故か
平均変化率hの極限を取ったのが微分
lim
h→0
f (a + h)− f (a)
h
そもそも
これを利用している

16. u(tn+1)
= u(tn +△t)
= u(tn )+△tu'(tn )+
1
2
(△t)2
u''(tn +θn△t)
よって
u(tn+1)− u(tn )
△t
= u'(tn )+
1
2
△tu''(tn +θn△t)
= u'(tn )+O(△t)
といえる
分子の一部→ ※テイラー展開

17. u(tn+1)− u(tn )
△t
= u'(tn )+
1
2
△tu''(tn +θn△t)
= u'(tn )+O(△t) u'(tn ) =f (tn,u(tn ))
u(tn+1)− u(tn )
△t
= f (tn,u(tn ))+O(△t)
du
dt
t = tnの における値↑
さらに代入→

18. u(tn+1)− u(tn )
△t
= f (tn,u(tn ))+O(△t)
O(△t)
あとは
が分かればOK
が、具体的には分からないので無理

19. 次の打開案
• を0として考える
• u1,u2,u3…を求める事にする
O(△t)
un+1 − un
△t
= f (tn,un )

20. un+1 − un
△t
= f (tn,un )
un+1 = un +△tf (tn,un )
u0 = a
差分方程式
これで初期条件を元にu1,u2,u3…が求まる.

21. オイラー法について
O(△t) の誤差で近似したもの
du
dt
を
このように、実際の値との誤差は蓄積されていく

22. 問1.1

23. 差分表式の近似度を求めよ
(1)
un − un−1
△t

24. 近似度とは

25. u(tn+1)− u(tn )
△t
= f (tn,u(tn ))+O(△t)
O((△t)p
)
誤差の部分のpの事を近似値・精度という
上記の場合は1

26. (1)
un − un−1
△t
u(tn−1)
= u(tn −△t)
= u(tn )−△tu'(tn )+
1
2
(△t)2
u''(tn )−...
=
u(tn )− u(tn−1)
△t
− u'(tn )
=
1
2
△tu''(tn )−...
= O((△t)1
)
よって
近似度は１

27. 例題1.1

28. Q.オイラー法で解き、 t→0の極限でどうなるか調べよ
du
dt
= λu
u(0) = a
⎧
⎨
⎪
⎩⎪
⎫
⎬
⎪
⎭⎪
[解答] まずオイラー法の基礎式はこのようになる
un+1 = un + λ△tun = (1+ λ△t)un
u0 = a
⎧
⎨
⎩
⎫
⎬
⎭

29. un+1 = un + λ△tun = (1+ λ△t)un
u0 = a
⎧
⎨
⎩
⎫
⎬
⎭
t→0を調べる
t→0とは、区間[0,n t]の範囲を
等間隔にどんどん細かくしていく事と同じ事である。
lim
△t→0
un = lim
△t→0
(1+ λ△t)n
a
= lim
n→∞
(1+
λt
n
)n
a
= aeλt
この問題では収束したといえる
（ただしこれは関数が限定的な形であるからである）

30. 問1.2

31. Q.後退オイラー法で解き、 t→0の極限でどうなるか調べよ
du
dt
= λu
u(0) = a
⎧
⎨
⎪
⎩⎪
⎫
⎬
⎪
⎭⎪
問題は例題と同じ。
後退オイラー法とは次の方程式を用いて解く事
un+1 = un +△tf (tn+1,un+1)

32. un+1 = un +△tf (tn+1,un+1)
u0 = a
un =
a
(1− λ△t)n
よって
したがって
lim
△t→0
un =
a
e−λt
= aeλt

33. 1.1.2 差分方程式の解は微分方程式の解に
収束するか

34. するときもある
差分表式をどう取るかに依る。

35. 1.1.3 近似度の高い差分方程式

36. • 近似度が高い程、計算回数は少なく出来る。
• ルンゲクッタ法は近似度４
オイラー ルングケッタ
*ルングケッタの方が少ない計算回数で収束するデモ

37. 以上

38. 付録

39. • 常微分方程式とは
• 一変数関数とその導関数からなる方程式である。
一方、偏微分方程式とは、多変数関数とその偏導関
数との方程式である。
• 独立

40. 常微分方程式とは
dx/dtをxについての式にするやつ