20081109 auctions nikolenko_lecture07

Ïàðàäîêñû ãîëîñîâàíèé
Òåîðåìà Ýððîó
Òåîðåìà ÃèááàðäàÑàòòåðòóýéòà

Òåîðåìû î íåâîçìîæíîñòè

Ñåðãåé Íèêîëåíêî

Òåîðèÿ ýêîíîìè÷åñêèõ ìåõàíèçìîâ ÈÒÌÎD âåñíà PHHV

Ñåðãåé Íèêîëåíêî Òåîðåìû î íåâîçìîæíîñòè

Ïàðàäîêñû ãîëîñîâàíèé Ãîëîñîâàíèÿ
Òåîðåìà Ýððîó Ïàðàäîêñû ãîëîñîâàíèé

Outline

1 Ïàðàäîêñû ãîëîñîâàíèé
Ãîëîñîâàíèÿ

2 Òåîðåìà Ýððîó

3 Òåîðåìà Ãèááàðäà!Ñàòòåðòóýéòà
Ââåäåíèå è îïðåäåëåíèÿ
Ôîðìóëèðîâêà è äîêàçàòåëüñòâî




Ìû íà÷èíàåì ñ âîïðîñàD êîòîðûéD íà ïåðâûé âçãëÿäD äàæå
íå ëåæèò â îáëàñòè ýêîíîìèêèF
Ìû áóäåì ðàññìàòðèâàòü ãîëîñîâàíèÿ D âîçìîæíûå ñõåìû
ãîëîñîâàíèé è òîD ê êàêèì ðåçóëüòàòàì îíè ìîãóò ïðèâåñòèF
Ãîëîñîâàíèå ïðîñòîé è åñòåñòâåííûé ÷àñòíûé ñëó÷àé
ýêîíîìè÷åñêîãî ìåõàíèçìàF
Ìíîæåñòâî âîçìîæíûõ èñõîäîâX êàíäèäàòû AD B è CF




Ó êàæäîãî ó÷àñòíèêà ãîëîñîâàíèÿ @àãåíòàA åñòü
îïðåäåë¼ííûé ïîðÿäîê íà ýòèõ èñõîäàõ @îãðàíè÷èìñÿ
ñëó÷àåìD êîãäà ýòîò ïîðÿäîê ëèíåéíûéAF
ÍàïðèìåðD êàíäèäàò A ìíå íðàâèòñÿ áîëüøåD ÷åì BD à B
áîëüøåD ÷åì C X
A B C.

Ýòîò ïîðÿäîê ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê ñêðûòóþ ôóíêöèþ
ïðåäïî÷òåíèé àãåíòàF
Ôóíêöèÿ ñîöèàëüíîãî âûáîðà îïðåäåëÿåòD êàêîé êàíäèäàò
äîëæåí ïîáåäèòü ïðè òîì èëè èíîì ñîîòíîøåíèè ãîëîñîâF




Ýòîò ÷àñòíûé ñëó÷àé âìåñòå ñ òåì îêàçûâàåòñÿ è íàèáîëåå
îáùèìF
Ìû íå ïðåäïîëàãàåì âîîáùå íèêàêèõ îãðàíè÷åíèéD
íèêàêîé ñòðóêòóðû íà ìíîæåñòâå ïðåäïî÷òåíèé êàæäîãî èç
àãåíòîâY ëþáîé èñõîä ìîæåò îêàçàòüñÿ íà ëþáîì ìåñòå â
åãî âíóòðåííåé ôóíêöèè ïðåäïî÷òåíèÿF
Ïîýòîìó íåóäèâèòåëüíîD ÷òî íå âñ¼ ïîëó÷èòñÿ ðåàëèçîâàòüF
Íàøè ðåçóëüòàòû î íåâîçìîæíîñòè îêàæóòñÿ âåñüìà
ïîëåçíûìè â äîêàçàòåëüñòâå ðåçóëüòàòîâ î íåâîçìîæíîñòè
â òåîðèè ýêîíîìè÷åñêèõ ìåõàíèçìîâF



Íàøè öåëè

×òî áû ìû õîòåëè ïîëó÷èòü îò ñèñòåìû ãîëîñîâàíèÿc
Êàêîâû öåëèD êîòîðûõ ìû áóäåì @áåçóñïåøíîA ïûòàòüñÿ
äîñòèãíóòüc
Ðàññìîòðèì ïðîñòîé è ïîíÿòíûé ñëó÷àé ãîëîñîâàíèÿX
ñëó÷àéD êîãäà â í¼ì ó÷àñòâóåò ðîâíî îäèí àãåíòF
Êàêèìè ñàìûìè áàçîâûìèD ñàìûìè åñòåñòâåííûìè
ñâîéñòâàìè áóäåò îáëàäàòü ìíîæåñòâî ïðåäïî÷òåíèé
îäíîãî àãåíòàc



Íàøè öåëè

I Òðàíçèòèâíîñòü X åñëè A B è B CD òî A CF

P Ïîïàðíàÿ íåçàâèñèìîñòü ïðåäïî÷òåíèé X âûáîð ìåæäó A è
B çàâèñèò òîëüêî îò òîãîD êàê ñîîòíîñÿòñÿ äðóã ñ äðóãîì A
è B â ìî¼ì ¾ïåðñîíàëüíîì ðåéòèíãå¿D è íèêàê íå çàâèñèò
îò ïîëîæåíèÿ òàì äðóãèõ àëüòåðíàòèâ C , D , . . . ÒFåF åñëè
âàì ïðåäëàãàþò âûáîð ìåæäó ïåðñèêîì è àïåëüñèíîìD
âàøè ïðåäïî÷òåíèÿ íàñ÷¼ò ÿáëîê íå äîëæíû íà ýòîò âûáîð
ïîâëèÿòüF



Íàøè öåëè

Q Ïîëîæèòåëüíàÿ àññîöèèðîâàííîñòü X åñëè ìîè
ïðåäïî÷òåíèÿ èçìåíèëèñü ê ëó÷øåìó äëÿ êàêîéEëèáî
àëüòåðíàòèâûD òî â ðåçóëüòàòå ãîëîñîâàíèÿ øàíñû ýòîé
àëüòåðíàòèâû íà ïîáåäó ìîãóò òîëüêî âîçðàñòèF
ÍàïðèìåðD åñëè ðàíüøå áûë ïðîôèëü ïðåäïî÷òåíèé
A B C D à ñåé÷àñ B A C D òî øàíñû B â ëþáîì
ãîëîñîâàíèèD äàæå ïðîòèâ C D íå äîëæíû îò ýòîãî
óõóäøèòüñÿF



Íàøè öåëè

R Åäèíîãëàñèå F Åñëè âñå ó÷àñòíèêè ãîëîñîâàíèÿ
ïðåäïî÷èòàþò âîçìîæíûé èñõîä A äðóãîìó âîçìîæíîìó
èñõîäó B D òî â ðåçóëüòàòå ãîëîñîâàíèÿ íå ìîæåò áûòü
âûáðàí B F
×åòâ¼ðòîå ñâîéñòâî ÿâëÿåòñÿ ïî ñóòè ñâîéñòâîì ôóíêöèè
ñîöèàëüíîãî âûáîðàD à íå ñâîéñòâîì îäíîãîEåäèíñòâåííîãî
àãåíòàD êàê ïåðâûå òðè @ýòî ïðîñòî îïòèìàëüíîñòü ïî
ÏàðåòîAF



Êîãäà âñ¼ ïîëó÷àåòñÿ

ÏðåäïîëîæèìD ÷òî âîçìîæíûõ èñõîäîâ âñåãî äâàD òî åñòü
ãîëîñîâàíèå ïðåâðàòèëîñü â ðåôåðåíäóìF
Òîãäà ìîæíî ïðåäëîæèòü ñèñòåìó ãîëîñîâàíèÿX âûáèðàòü
íóæíóþ àëüòåðíàòèâó áîëüøèíñòâîì ãîëîñîâF
Âûáîð ïðîñòûì áîëüøèíñòâîì èç äâóõ èñõîäîâ
óäîâëåòâîðÿåò âñåì ÷åòûð¼ì èíòåðåñóþùèì íàñ ñâîéñòâàìF
Îäíàêî äëÿ òð¼õ è áîëåå âîçìîæíûõ èñõîäîâ ãîëîñîâàíèÿ
äåëî ãîðàçäî õóæåFFF



Êîíäîðñå

IUVS ãîäD Ìàðè Æàí
Àíòóàí ÍèêîëÿD ìàðêèç äå
ÊîíäîðñåF
Ôàêòè÷åñêè ïåðâûì íà÷àë
ïðèìåíÿòü ìàòåìàòèêó ê
îáùåñòâåííûì íàóêàìF
Âî âðåìÿ ðåâîëþöèè
êðèòèêîâàë ¾êîíñòèòóöèþ
ìîíòàíüÿðîâ¿D áûë ïðîòèâ
êàçíè Ëþäîâèêà ˆ†s â
îáùåìD íàðàáîòàë íà àðåñò
è ïðèãîâîðF



Ìåòîä Êîíäîðñå

Êîíäîðñå ðàçðàáîòàë õîðîøèé ìåòîä ãîëîñîâàíèÿ äëÿ
íåñêîëüêèõ êàíäèäàòîâF
1 Êàæäûé ó÷àñòíèê ðàíæèðóåò êàíäèäàòîâ.

2 Ñ÷èòàþò ¾ìèêðîìàò÷è¿ ìåæäó êàíäèäàòàìè: â ïðîôèëå

êàæäîãî ó÷àñòíèêà ñðàâíèâàþòñÿ âñå ïàðû êàíäèäàòîâ è

îäíîìó èç ïàðû çàïèñûâàåòñÿ ïîáåäà.

3 Âûèãðûâàåò òîò, ó êîãî ñóììàðíî áîëüøå ïîáåä.

Íî òàêèå ìåòîäû íå âñåãäà ðàáîòàþòFFF



Ïàðàäîêñ Êîíäîðñå

Ðàññìîòðèì òðè âîçìîæíûõ èñõîäà AD B è C è òð¼õ
ó÷àñòíèêîâ x D y è z F ÏðåäïîëîæèìD ÷òî èõ ïðåäïî÷òåíèÿ
ðàñïðåäåëåíû òàêX

A x B x C,
B y C y A,
C z A z B.
Èíà÷å ãîâîðÿD ïðåäïî÷òåíèÿ òð¼õ ó÷àñòíèêîâ ïîëó÷àþòñÿ
öèêëè÷åñêèì ñäâèãîì îäíîãî ëèíåéíîãî ïîðÿäêàF




Åñëè íà âûáîð ïðåäëîæàò A è BD òî x è z ïðîãîëîñóþò çà
AD è áóäåò èçáðàí AX A BF

Â áîðüáå ìåæäó B è C âûÿñíèòñÿD ÷òî B CF

Íî åñëè ïðåäëîæàò âûáîð ìåæäó A è CD òî y è z
ïðîãîëîñóþò çà C D è îêàæåòñÿD ÷òî C A3




Â ïàðàäîêñå Êîíäîðñå íàðóøàåòñÿ òðàíçèòèâíîñòü
¾ìíåíèÿ áîëüøèíñòâà¿F
Â ÷àñòíîñòèD ýòî çíà÷èòD ÷òî åñëè ïûòàòüñÿ ðåøàòü âîïðîñ
ðåôåðåíäóìàìèD òî ïðèä¼òñÿ âå÷íî õîäèòü ïî êðóãóF
À ìåòîä Êîíäîðñå äà¼ò íè÷üþF



Ñëåäñòâèå ïàðàäîêñà Êîíäîðñå: ñåìü âàðèàíòîâ

Ìîæíî ïðèäóìàòü è åù¼ áîëåå ëþáîïûòíûå ñëåäñòâèÿF
Ïóñòü ó íàñ òðè àãåíòà ID PD Q è ñåìü âîçìîæíûõ
âàðèàíòîâX AD B D C D D D E D F D G F




È ïðåäïî÷òåíèÿ ó íèõ âîò êàêèåX
I P Q
A C D
B D A
C A G
D F B
E G C
F B E
G E F




Îíè ðåøàþò âîïðîñ ãîëîñîâàíèåì â ñëåäóþùåì ïîðÿäêåX
1 A ïðîòèâ D : 1 â ìåíüøèíñòâå, D èä¼ò äàëüøå.
2 D ïðîòèâ C : 1 è 2 ïðîâîäÿò äàëüøå C .
3 C ïðîòèâ B : B ïîáåæäàåò è ïðîõîäèò â ñëåäóþùèé áîé.
4 B ïðîòèâ G : íåñìîòðÿ íà òî, ÷òî G íó ñîâñåì íå ìèë
àãåíòó 1, îí ïîáåæäàåò.

5 G ïðîòèâ F : âûèãðûâàåò F .
6 F ïðîòèâ E : E ïîáåæäàåò, 2 â ìåíüøèíñòâå.
Â èòîãå ïîáåäèëî ñîâñåì íå îïòèìàëüíîå ïî Ïàðåòî
ðåøåíèåX âàðèàíò E íèêîìó îñîáåííî íå èíòåðåñåíF
Áîëåå òîãîD åñòü íåñêîëüêî âàðèàíòîâD êîòîðûå ó êàæäîãî
àãåíòà ñòîÿò âûøåF



Ñëåäñòâèå ïàðàäîêñà Êîíäîðñå: ïîïðàâêà Ñàçåðëåíäà

Äðóãîå ñëåäñòâèå ïàðàäîêñà ÊîíäîðñåX òîD ÷òî ðåçóëüòàò
ãîëîñîâàíèÿ ìîæåò çàâèñåòü îò ïîðÿäêàD â êîòîðîì
ïðîâîäÿòñÿ ðåôåðåíäóìû èëè äðóãèå ¾ïîäãîëîñîâàíèÿ¿F
Âñïîìíèì ïàðàäîêñ ÊîíäîðñåX

A x B x C,
B y C y A,
C z A z B.




Âîò êàê ðåçóëüòàò çàâèñèò îò ïîðÿäêàX




Ïîëó÷àåòñÿD ÷òî ðåçóëüòàò ïðè îäíèõ è òåõ æå
ïðåäïî÷òåíèÿõ êàðäèíàëüíî çàâèñèò îò ôîðìàòà
ãîëîñîâàíèÿ3
À çíà÷èòD òîòD êòî êîíòðîëèðóåò ôîðìàò ãîëîñîâàíèÿD
èìååò ñóùåñòâåííîå ïðåèìóùåñòâî è ìîæåò ïîáåäèòüD
äàæå îêàçàâøèñü â ìåíüøèíñòâåF
Ýòî ïðèâîäèò ê òîìóD ÷òî ïîïàðíàÿ íåçàâèñèìîñòü
ïðåäïî÷òåíèé òîæå íå âûïîëíÿåòñÿF




Ðàññìîòðèì ñèòóàöèþD â êîòîðîé åñòü ðîâíî äâå
àëüòåðíàòèâûX A è B D ïðè÷¼ì áîëüøèíñòâî õî÷åò âûáðàòü
AF

Òîãäà ïðîñòûì áîëüøèíñòâîì A áåç ïðîáëåì âûáåðóòF
Íî åñëè ó ìåíüøèíñòâà ïîëó÷èòñÿ ïîñòðîèòü òàêóþ òðåòüþ
âîçìîæíîñòü C D ÷òî ïðè âûáîðàõ C A è B C D òî ýòî
ìåíüøèíñòâî ñìîæåòD óñòàíîâèâ ïðàâèëüíûé ïîðÿäîê
âûáîðîâ @ñíà÷àëà A ïðîòèâ C D çàòåì B ïðîòèâ
ïîáåäèòåëÿAD ïðîâåñòè B D à íå AF




Â ïîëèòèêå òàêèå ñèòóàöèè ðåäêîD íî äåéñòâèòåëüíî
âîçíèêàþò íà ïðàêòèêåF
Îíè íàçûâàþòñÿ ¾ïîïðàâêèEóáèéöû¿ @killer —mendmentsAF
ÏðèìåðX â ÑØÀ ñåíàòîðîâ ïîíà÷àëó âûáèðàëè íå ïðÿìûì
âñåíàðîäíûì ãîëîñîâàíèåìD à çàêîíîäàòåëüíûìè îðãàíàìè
ñîîòâåòñòâóþùåãî øòàòàF Â òîìD ÷òîáû ââåñòè
ãîëîñîâàíèÿ íà ïîñò ñåíàòîðàD çàêëþ÷àëàñü IUEÿ ïîïðàâêà
ê Êîíñòèòóöèè ÑØÀD êîòîðàÿ â êîíöå êîíöîâ âñ¼ æå áûëà
ïðèíÿòà â IWIQF
Íî ïðèíÿëè å¼ íå ñðàçóF




Þæíûå ñåíàòîðû áåñïîêîèëèñüD ÷òî åñëè ôåäåðàëüíîå
ãîñóäàðñòâî âîçüì¼ò âûáîðû ñåíàòîðîâ ïîä ñâîé êîíòðîëüD
òî ñåâåðÿíåEðåñïóáëèêàíöû ñäåëàþò ÷òîEíèáóäü óæàñíîåD
íàïðèìåð äîïóñòÿò íà âûáîðû ÷åðíîêîæèõF
Áûë äîñòèãíóò êîìïðîìèññX áèëëüD êîòîðûé ââîäèë
ïðÿìûå âûáîðû ñåíàòîðîâD íî ñîäåðæàë ïîïðàâêèD
îãðàíè÷èâàþùèå êîíòðîëü ôåäåðàëüíîãî ïðàâèòåëüñòâà
íàä âûáîðàìè â þæíûõ øòàòàõF
Åãî ïîääåðæèâàëî áîëüøèíñòâî @ýòî áûëà âîçìîæíîñòü
AAD è íà ïðÿìîì ãîëîñîâàíèè ìåæäó ýòèì áèëëåì è òåìD
÷òîáû âîîáùå íå ââîäèòü ïðÿìûå âûáîðû @âîçìîæíîñòü
B AD áèëëü áû ïðîø¼ëF




Îäíàêî ñåíàòîð ÑàçåðëåíäD ëèäåð ìåíüøèíñòâàD êîòîðîå
áûëî ïðîòèâ âûáîðîâ ñåíàòîðîâ âîîáùåD âí¼ñ
ïîïðàâêóEóáèéöó C X ïðåäëîæåíèå î ïðÿìûõ âûáîðàõ
ñåíàòîðîâ áåç êàêèõEëèáî ïîïðàâîê ïðî þæíûå øòàòûF
Ñàçåðëåíä ñíà÷àëà çàïóñòèë ãîëîñîâàíèå ìåæäó A è CF

Ìåíüøèíñòâî Ñàçåðëåíäà ïðîãîëîñîâàëî çà C D
ñåâåðÿíåEðåñïóáëèêàíöû òîæå ïðîãîëîñîâàëè çà CD è C
ïîáåäèëî AF
Çàòåì âñòàë âûáîð ìåæäó C è B D Ñàçåðëåíä âíåçàïíî
¾èçìåíèë ñâîþ òî÷êó çðåíèÿ¿ è ñòàë ãîëîñîâàòü íå çà CD
à çà B D òî åñòü ïðîòèâ âûáîðîâ ñîâñåìF



Â ðåçóëüòàòå áèëëü C ñíà÷àëà âûïîëíèë ñâîþ ôóíêöèþ è
âûáèë ïîääåðæèâàåìûé áîëüøèíñòâîì áèëëü AD à çàòåì
íå ïðîø¼ë íà ñëåäóþùèõ âûáîðàõF




Ýòîò æå ïðèìåð äåìîíñòðèðóåòD ÷òî ïðàâäèâîñòè ïðè òàêèõ
âûáîðàõ òîæå ëó÷øå íå æäàòüX ìåíüøèíñòâîD ñòîÿâøåå
ïðîòèâ âûáîðîâ âîîáùåD çäåñü áûëî âûíóæäåíî ñíà÷àëà
ãîëîñîâàòü çà íèõD ÷òîáû çàòåì èìåòü âîçìîæíîñòü
ïðîâàëèòü ýòîò èñõîä íà ñëåäóþùèõ âûáîðàõF
È îí æå ïîêàçûâàåòD ÷òî ïîïàðíàÿ íåçàâèñèìîñòü òîæå
íåäîñòóïíàX âåäü ïî ýòîìó ñâîéñòâó âûáîð ìåæäó A è B íå
äîëæåí çàâèñåòü îò íàëè÷èÿ èëè îòñóòñòâèÿ òðåòüåé
àëüòåðíàòèâû C F



Âûáîðû ïðåçèäåíòà ÐÔ

Äàâàéòå ðàññìîòðèì òåïåðü ñîâåðøåííî ðåàëüíóþ ñèñòåìóD
ïî êîòîðîé âûáèðàþò ïðåçèäåíòà ÐÔF
Â ïåðâîì òóðå ó÷àñòâóþò âñå êàíäèäàòûD è åñëè íèêòî íå
%
íàáèðàåò áîëüøå SH D òî äâîå ëèäåðîâ âûõîäÿò âî âòîðîé
òóðF
ÏðåäïîëîæèìD ÷òî ó íàñ åñòü òðè êàíäèäàòà íà âûñîêèé
ïîñò è PU èçáèðàòåëåéF




Ðàñïðåäåëåíèå ïðåäïî÷òåíèéX
Ê-âî èçáèðàòåëåé 6 6 6 4 2 3
Áàðñóêîâ I P Q P Q I
Ãðèçëåâ P Q I I P Q
Óãëåâîäñêèé Q I P Q I P
Â ïåðâîì òóðå Áàðñóêîâ íàáåð¼ò W ãîëîñîâD Óãëåâîäñêèé
VD à Ãðèçëåâ IHF
Îäíàêî âî âòîðîì òóðå ñèòóàöèÿ èçìåíèòñÿD è ïîáåäèò
ÁàðñóêîâD íàáðàâ IS ãîëîñîâ ïðîòèâ IP ó ÃðèçëåâàF Ïîêà
âñ¼ íîðìàëüíîF




ÏðåäïîëîæèìD ÷òî ÁàðñóêîâD ïûòàÿñü ïîáåäèòü Ãðèçëåâà â
ïåðâîì òóðåD ñóìåë âîçäåéñòâîâàòü íà ñåðäöà íåêîòîðûõ
èçáèðàòåëåéX
òðîå èç ÷åòûð¼õ ñ ðàñïðåäåëåíèåì 2 1 3 ïåðåìåñòèëè

Áàðñóêîâà íà ïåðâîå ìåñòî;

äâîå ñ ðàñïðåäåëåíèåì 3 2 1 èçìåíèëè åãî íà

2 3 1.

Èòîãî ïîëó÷àåòñÿX
Ê-âî èçáèðàòåëåé 9 8 6 1 3
Áàðñóêîâ I P Q P I
Ãðèçëåâ P Q I I Q
Óãëåâîäñêèé Q I P Q P




Â ïåðâîì òóðå Áàðñóêîâ äåéñòâèòåëüíî âûèãðûâàåò ñ
á¡ëüøèì îòðûâîìD ïîëó÷èâ IP ãîëîñîâF
î
Îäíàêî âî âòîðîé òóð òåïåðü âûõîäèò íå ÃðèçëåâD à
ÓãëåâîäñêèéD êîòîðûé â èòîãå ïîáåæäàåò Áàðñóêîâà ñ
ñ÷¼òîì IR : IQF
Áàðñóêîâ ñäåëàë ðàñïðåäåëåíèå ñòðîãî ëó÷øå äëÿ ñåáÿD íî
â èòîãå ñìåíèë ïîáåäó íà ïîðàæåíèåF È âñ¼ ýòî âî âïîëíå
åñòåñòâåííîé ñèñòåìå ãîëîñîâàíèÿD ïî êîòîðîé
äåéñòâèòåëüíî âûáèðàþò ïðåçèäåíòà ÐÔFFF
×òî æå äåëàòüc Ìîæíî ëè ÷òîEòî ñäåëàòüc


Òåîðåìà Ýððîó Òåîðåìà Ýððîó

Outline







Âñïîìíèì ïàðàäîêñ ÊîíäîðñåX ïóñòü ó íàñ òðè ó÷àñòíèêàD ó
íèõ åñòü ñâîè ïðåäïî÷òåíèÿ íà òð¼õ èñõîäàõD è ìû õîòèì
ðåøèòü äåëî ãîëîñîâàíèåìF
Ïðåäïî÷òåíèÿ òàêîâûX

x 1 y 1 z,
z 2 x 2 y,
y 3 z 3 x.

Ïîëó÷èòñÿD ÷òî íàðóøèëàñü òðàíçèòèâíîñòüF



Ðàöèîíàëüíîñòü

Îïðåäåëåíèå
Ïðîôèëü ïðåäïî÷òåíèé íàçûâàåòñÿ ðàöèîíàëüíûì, åñëè îí
ÿâëÿåòñÿ ëèíåéíûì ïîðÿäêîì, òî åñòü ëþáûå äâà èñõîäà
ñðàâíèìû è âûïîëíÿåòñÿ óñëîâèå òðàíçèòèâíîñòè: äëÿ âñÿêèõ
x, y, z ∈ O, åñëè x y è y z , òî x z.



Ïðîôèëè ïðåäïî÷òåíèé

Ìû áóäåì ïðåäïîëàãàòüD ÷òî ïðîôèëè ïðåäïî÷òåíèé
áûâàþò âñÿêèåF
ÍàïðèìåðD âñÿêèå ðàöèîíàëüíûå èõ ìíîæåñòâî ìû
îáîçíà÷èì ÷åðåç RF
Èëè âîîáùå âñÿêèå ïðîôèëèD ëèøü áû ëþáûå äâà èñõîäà
áûëè ðàçëè÷èìûX ìíîæåñòâî òàêèõ èñõîäîâ ìû îáîçíà÷èì
÷åðåç P F
Åñëè àãåíòîâ N D òîD çíà÷èòD ìíîæåñòâî âñåâîçìîæíûõ
ïðåäïî÷òåíèé áóäåò â ýòèõ îáîçíà÷åíèÿõ RN èëè P N F



Ôóíêöèè ñîöèàëüíîãî âûáîðà

Ôóíêöèÿ ñîöèàëüíîãî âûáîðà íåêîòîðàÿ ôóíêöèÿ f ñ
îáëàñòüþ îïðåäåëåíèÿ RN èëè P N è îáëàñòüþ çíà÷åíèé
OD êîòîðàÿ ïî äàííûì ïðåäïî÷òåíèÿì àãåíòîâ âûáèðàåò
èñõîäF
×óòü îáîáùèì ýòî îïðåäåëåíèå è áóäåì ñ÷èòàòüD ÷òî
ôóíêöèÿ ñîöèàëüíîãî âûáîðà âûäà¼ò íå îäèí èñõîäD à
ñëàáûé ëèíåéíûé ïîðÿäîê íà èìåþùèõñÿ èñõîäàõ
f ( 1 ,..., N ) F



Ýôôåêòèâíîñòü ïî Ïàðåòî

Ïóñòü ïàðà èñõîäîâ x , y ∈O òàêîâà, ÷òî äëÿ êàæäîãî àãåíòà i
èñõîä x íå õóæå, è ïðè ýòîì äëÿ êàêîãî-íèáóäü àãåíòà îí ñòðîãî
ëó÷øå: äëÿ âñåõ i x i y , è ñóùåñòâóåò òàêîå j , ÷òî x j y.
Òîãäà ôóíêöèÿ ñîöèàëüíîãî âûáîðà f íàçûâàåòñÿ ýôôåêòèâíîé
ïî Ïàðåòî, åñëè äëÿ êàæäîé òàêîé ïàðû èñõîäîâ ðåçóëüòàò
ôóíêöèè ñîöèàëüíîãî âûáîðà f ( 1, . . . , N) ñòàâèò x ïåðåä y :
x f y.



Äèêòàòîðñêèå ôóíêöèè

Ôóíêöèÿ ñîöèàëüíîãî âûáîðà f íàçûâàåòñÿ äèêòàòîðñêîé, åñëè
ñóùåñòâóåò òàêîé àãåíò h, ÷òî äëÿ ëþáûõ x , y ∈O è ëþáîãî
ïðîôèëÿ ( 1, . . . , N) x f y òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà
x h y.

Äèêòàòîðñêàÿ ôóíêöèÿ ñîöèàëüíîãî âûáîðà äåëàåò òî÷íî
òàêîé æå âûáîðD êàê îäèí èç ïðåäñòàâëåííûõ àãåíòîâF
Ó äèêòàòîðñêîé ôóíêöèè ïîëó÷èòñÿ ñîîòâåòñòâîâàòü
íóæíûì ñâîéñòâàìD òî÷íî òàê æåD êàê ó ïðåäïî÷òåíèé
îäíîãî àãåíòà ýòî ïîëó÷àåòñÿF
À áåäà â òîìD ÷òî íè÷åãî äðóãîãîEòî è íå ïîëó÷èòñÿF



Ôîðìóëèðîâêà

Òåîðåìà @ÝððîóA

Ïóñòü ìíîæåñòâî âîçìîæíûõ èñõîäîâ O ñîñòîèò èç íå ìåíåå
÷åì òð¼õ ýëåìåíòîâ, è âîçìîæíû âñå ðàöèîíàëüíûå ïðîôèëè
(R) èëè âñå ïðîôèëè, â êîòîðûõ ëþáûå äâå àëüòåðíàòèâû
ðàçëè÷èìû (P ). Òîãäà âñÿêàÿ ôóíêöèÿ ñîöèàëüíîãî âûáîðà f ,
êîòîðàÿ îïòèìàëüíà ïî Ïàðåòî è óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ
ïîïàðíîé íåçàâèñèìîñòè, ÿâëÿåòñÿ äèêòàòîðñêîé.



Îïðåäåëÿþùèå íàáîðû àãåíòîâ

Äëÿ äàííîãî F áóäåì ãîâîðèòüD ÷òî íàáîð àãåíòîâ S ⊂ [N ]X
îïðåäåëÿþùèé äëÿ x ïåðåä y , åñëè êîãäà êàæäûé àãåíò â
S ïðåäïî÷èòàåò x y è êàæäûé àãåíò â [N ] S
ïðåäïî÷èòàåò y x , F âûáèðàåò x ;
îïðåäåëÿþùèì , åñëè îí îïðåäåëÿþùèé äëÿ ëþáîé ïàðû
{x , y };
ïîëíîñòüþ îïðåäåëÿþùèì , åñëè êîãäà êàæäûé àãåíò èç S
ïðåäïî÷èòàåò x y , F òîæå âûáèðàåò x .



Äîêàçàòåëüñòâî

I Åñëè äëÿ íåêîòîðûõ x è y íàáîð S ⊂ [N ] ÿâëÿåòñÿ
îïðåäåëÿþùèì äëÿ x ïåðåä y D òî ∀z = x íàáîð S ÿâëÿåòñÿ
îïðåäåëÿþùèì äëÿ x ïåðåä z è ∀z = y íàáîð S ÿâëÿåòñÿ
îïðåäåëÿþùèì äëÿ z ïåðåä y F
Åñëè z = y D äîêàçûâàòü íå÷åãîF
Åñëè z = y D ðàññìîòðèì òàêîé ïðîôèëü ( 1, . . . , N )D ÷òî
x i y i z ∀i ∈ S ,
y i z i x ∀i ∈ [N ] S .




I Åñëè äëÿ íåêîòîðûõ x è y íàáîð S ⊂ [N ] ÿâëÿåòñÿ
îïðåäåëÿþùèì äëÿ x ïåðåä y D òî ∀z = x íàáîð S ÿâëÿåòñÿ
îïðåäåëÿþùèì äëÿ x ïåðåä z è ∀z = y íàáîð S ÿâëÿåòñÿ
îïðåäåëÿþùèì äëÿ z ïåðåä y F
ÒîãäàD çíà÷èòD ïî ñâîéñòâó îïðåäåëÿþùåãî íàáîðà f
äîëæíà ïðåäïî÷åñòü x ïåðåä y F
À ïî îïòèìàëüíîñòè ïî ÏàðåòîD F ïðåäïî÷èòàåò y ïåðåä z F
Çíà÷èòD F ïðåäïî÷èòàåò x ïåðåä z F
Îñòàëîñü ñîñëàòüñÿ íà ïîïàðíóþ íåçàâèñèìîñòüF




P Åñëè äëÿ íåêîòîðûõ x è y íàáîð S ⊂ [N ] ÿâëÿåòñÿ
îïðåäåëÿþùèì äëÿ x ïåðåä y D è z òðåòüÿ àëüòåðíàòèâàD
òî íàáîð S ÿâëÿåòñÿ îïðåäåëÿþùèì äëÿ z ïåðåä w è äëÿ
w ïåðåä z äëÿ âñåõ w = z ∈ O F

Ïî øàãó ID S îïðåäåëÿþùèé äëÿ z ïåðåä y è äëÿ x ïåðåä z F
Ïðèìåíèì ñíîâà øàã I äëÿ ïàðû {x , z } è àëüòåðíàòèâû wY
çíà÷èòD S îïðåäåëÿþùèé äëÿ w ïåðåä z F
Àíàëîãè÷íî äëÿ ïàðû {z , y }F




Q Åñëè äëÿ íåêîòîðûõ {x , y } ⊂ O S îïðåäåëÿþùèé äëÿ x
ïåðåä y D òî S îïðåäåëÿþùèéF
Äîêàçàòåëüñòâî ñðàçó ñëåäóåò èç øàãà P è èç òîãîD ÷òî
òðåòüÿ àëüòåðíàòèâà ñóùåñòâóåòF




R Åñëè S îïðåäåëÿþùèé è T îïðåäåëÿþùèéD òî S ∩ T òîæå
îïðåäåëÿþùèéF
Ðàññìîòðèì òðîéêó àëüòåðíàòèâ {x , y , z } ⊂ O è ïðîôèëü
( 1 , . . . , N ) òàêîéD ÷òî

z i y i x ∀i ∈ S (S ∩ T ),
x i z i y ∀i ∈ S ∩ T,
y i x i z ∀i ∈ T (S ∩ T ),
y i z i x ∀i ∈ [N ] (S ∪ T ).




R Åñëè S îïðåäåëÿþùèé è T îïðåäåëÿþùèéD òî S ∩ T òîæå
Òîãäà z f y D ïîòîìó ÷òî S = (S ∩ T ) ∪ (S (S ∩ T ))
È xf z D ïîòîìó ÷òî T îïðåäåëÿþùèéF
Çíà÷èòD x f y D è ïî ïîïàðíîé íåçàâèñèìîñòè S ∩T
îïðåäåëÿþùèé äëÿ x ïåðåä y F Çíà÷èòD îí âîîáùå




S Äëÿ ëþáîãî S ⊂ [N ] ëèáî S îïðåäåëÿþùèéD ëèáî åãî
äîïîëíåíèå [N ] S îïðåäåëÿþùèé
Ðàññìîòðèì òðîéêó àëüòåðíàòèâ {x , y , z } ⊂ O è ïðîôèëü
( 1 , . . . , N ) òàêîéD ÷òî

x i z i y ∀i ∈ S ,
y i x i z ∀i ∈ [N ] S .

Òîãäà ëèáî x f y D è S îïðåäåëÿþùèé äëÿ x ïåðåä y D ëèáî
y f xF
Åñëè y f x D òî ïî Ïàðåòî x f z D èD çíà÷èòD y f zY
çíà÷èòD y f z îïðåäåëÿþùèé äëÿ y ïåðåä z F




T Åñëè S îïðåäåëÿþùèé è S ⊂ T D òî T îïðåäåëÿþùèéF
Ïî Ïàðåòî ïóñòîé íàáîð íå ìîæåò áûòü îïðåäåëÿþùèìF
Çíà÷èòD [N ] T íå ìîæåò áûòü îïðåäåëÿþùèìD ïîòîìó ÷òî
òîãäà è ∅ = S ∩ ([N ] T ) áóäåò îïðåäåëÿþùèìF




U Åñëè S ⊂ [N ] îïðåäåëÿþùèéD è |S | ID òî åñòü ñòðîãîå
ïîäìíîæåñòâî S S D òîæå ÿâëÿþùååñÿ îïðåäåëÿþùèì
íàáîðîìF
Ðàññìîòðèì h ∈ S F Åñëè S {h} îïðåäåëÿþùèéD òî âñ¼F
Åñëè íåòD òî [N ] (S {h}) îïðåäåëÿþùèéD è
{h} = S ∩ ([N ] (S {h})) îïðåäåëÿþùèéF




V Äëÿ íåêîòîðîãî h ∈ [N ] {h} îïðåäåëÿþùèéF
Íóæíî ïðîñòî èòåðèðîâàòü øàã UF




W Åñëè S ⊂ [N ] îïðåäåëÿþùèéD òî äëÿ âñåõ x è y S
ïîëíîñòüþ îïðåäåëÿþùèé äëÿ x ïåðåä y F
Íóæíî ïîëó÷èòüD ÷òî äëÿ âñåõ T ⊂ [N ] S x f y D åñëè âñå
àãåíòû èç S ïðåäïî÷èòàþò x y D èç T x yD
îñòàëüíûå y x F
Ðàññìîòðèì òðåòüþ àëüòåðíàòèâó è ïðîôèëü ( 1, . . . , N)
òàêîéD ÷òî

x i z i y ∀i ∈ S ,
x i y i z ∀i ∈ T ,
y i z i x ∀i ∈ [N ] (S ∪ T ).




W Åñëè S ⊂ [N ] îïðåäåëÿþùèéD òî äëÿ âñåõ x è y S
ïîëíîñòüþ îïðåäåëÿþùèé äëÿ x ïåðåä y F
Ðàññìîòðèì òðåòüþ àëüòåðíàòèâó è ïðîôèëü ( 1, . . . , N)
òàêîéD ÷òî

x i z i y ∀i ∈ S ,
x i y i z ∀i ∈ T ,
y i z i x ∀i ∈ [N ] (S ∪ T ).

Òîãäà x f z D ïîòîìó ÷òî S ∪ T îïðåäåëÿþùèéD è z f yD
ïîòîìó ÷òî S îïðåäåëÿþùèéF Çíà÷èòD x f y D ÷òî è
òðåáîâàëîñüF




IH Åñëè {h} îïðåäåëÿþùèéD òî h äèêòàòîðF
Ýòî â òî÷íîñòè ñëåäóåò èç îïðåäåëåíèÿ ïîëíîñòüþ
îïðåäåëÿþùåãî íàáîðàF



Åñëè â O äâà ýëåìåíòà

Ãäå ìû ïîëüçîâàëèñü òåìD ÷òî |O| ≥ Qc ×òî áóäåòD åñëè
|O| = Pc



Åñëè â O äâà ýëåìåíòà

Ãäå ìû ïîëüçîâàëèñü òåìD ÷òî |O| ≥ Qc ×òî áóäåòD åñëè
|O| = Pc
Íà ñàìîì äåëåD åñëè |O| = PD òî òåîðåìà íåâåðíàF
ÍàïðèìåðD ôóíêöèÿ ñîöèàëüíîãî âûáîðà ¾áîëüøèíñòâî
ãîëîñîâ¿ â äàííîì ñëó÷àå è íåäèêòàòîðñêàÿD è ïðàâäèâî
ðåàëèçóåìàÿ â äîìèíàíòíûõ ñòðàòåãèÿõF


Ïàðàäîêñû ãîëîñîâàíèé Ââåäåíèå è îïðåäåëåíèÿ
Òåîðåìà Ýððîó Ôîðìóëèðîâêà è äîêàçàòåëüñòâî

Outline






Î ÷¼ì âñ¼ ýòî

Ìû óæå ñòîëüêî çàìå÷àòåëüíûõ ïðèìåðîâ ðàññìîòðåëèX è
ïðàâäèâûå ìåõàíèçìû ïîëó÷àþòñÿD è ðåàëèçóþùèå
ñîöèàëüíóþ ôóíêöèþ â äîìèíàíòíûõ ñòðàòåãèÿõD è âîîáùå
âñ¼ ïðåêðàñíîF
ÍóD íå ìîãëî æå îíî âñ¼ òàê è ïðîäîëæàòüñÿD ãäåEòî
äîëæåí áûòü ïîäâîõF
Ñåé÷àñ ìû ðàññìîòðèì îäèí èç ñàìûõ áîëüøèõ ïîäâîõîâ
ýòîé òåîðèèF



Ñóòü òåîðåìû

ÎêàçûâàåòñÿD ÷òî âñ¼Eòàêè íå âñÿêèå ìåõàíèçìû
ñóùåñòâóþòF
Ñåé÷àñ ìû ñôîðìóëèðóåì îïðåäåëåíèå äîâîëüíî óçêîãî è
¾íå÷åñòíîãî¿ êëàññà ñîöèàëüíûõ ôóíêöèé
äèêòàòîðñêèõ D òFåF òàêèõD êîòîðûå âûãîäíû îäíîìó
êîíêðåòíîìó ó÷àñòíèêóF
À ïîòîì äîêàæåìD ÷òî íèêàêèõ äðóãèõ ðåàëèçîâàòü â
äîìèíàíòíûõ ñòðàòåãèÿõ íåëüçÿFFF



Äèêòàòîðñêèå ôóíêöèè ñîöèàëüíîãî âûáîðà

Ôóíêöèÿ ñîöèàëüíîãî âûáîðà f íàçûâàåòñÿ äèêòàòîðñêîé, åñëè
ñóùåñòâóåò òàêîé àãåíò i , ÷òî äëÿ âñåõ θ = (θ1 , . . . , θN ) ∈ Θ

f (θ) = {x ∈ X | ui (x , θi ) ≥ ui (y , θi ) äëÿ âñåõ y ∈ X }.

Ïðîùå ãîâîðÿD ôóíêöèÿ ñîöèàëüíîãî âûáîðà âñåãäà
âûáèðàåò îäèí èç âàðèàíòîâD îïòèìàëüíûõ äëÿ i Eãî àãåíòàF



Ìîíîòîííûå ôóíêöèè ñîöèàëüíîãî âûáîðà

Âñïîìíèì îïðåäåëåíèåX ìíîæåñòâî íèæíåãî êîíòóðà
âîçìîæíîãî èñõîäà o ïðè àãåíòå i òèïà θi ýòî

Li (o , θi ) = {o ∈ O : ui (o , θi ) ≥ ui (o , θi )}.

Ôóíêöèÿ ñîöèàëüíîãî âûáîðà f íàçûâàåòñÿ ìîíîòîííîé, åñëè
äëÿ êàæäîãî θ, åñëè θ òàêîâî, ÷òî Li (f (θ), θi ) ⊆ Li (f (θ), θi )
äëÿ âñåõ i , òî f (θ) = f (θ ).



Ìîíîòîííûå ôóíêöèè ñîöèàëüíîãî âûáîðà

Ôóíêöèÿ ñîöèàëüíîãî âûáîðà f íàçûâàåòñÿ ìîíîòîííîé, åñëè
äëÿ êàæäîãî θ, åñëè θ òàêîâî, ÷òî Li (f (θ), θi ) ⊆ Li (f (θ), θi )
äëÿ âñåõ i , òî f (θ) = f (θ ).

Òî åñòü åñëè f (θ) = x D è ïðè ïåðåõîäå ê θ íè ó îäíîãî
àãåíòà íè îäèí èñõîäD êîòîðûé ðàíüøå áûë õóæå x D íå ñòàë
ñòðîãî ëó÷øå x D òî x äîëæåí îñòàòüñÿ åãî ñîöèàëüíûì
âûáîðîìF



Ïîðÿäêè ïðåäïî÷òåíèé

Âàæíûì äëÿ íàñ ïîíÿòèåì áóäóò ïîðÿäêè íà âîçìîæíûõ
èñõîäàõ OD êîòîðûå äëÿ êàæäîãî àãåíòà çàäàþòD ÷òî åìó
áîëüøå íðàâèòñÿF
Íàì íå òàê âàæíîD ñêîëüêî èìåííî àãåíò ïîëó÷èò @ui AD
ñêîëüêî òîD ÷òî îí èñõîä o1 öåíèò âûøåD ÷åì o2 D íî íèæåD
÷åì o3 F



Ïîðÿäêè ïðåäïî÷òåíèé

Îáîçíà÷èì ÷åðåç P ìíîæåñòâî âñåõ ëèíåéíûõ ïîðÿäêîâ íà
OF
×åðåç Ri ìíîæåñòâî ïîðÿäêîâD êîòîðûå ìîæåò
ðåàëèçîâûâàòü àãåíò i F




Òåîðåìà @ÃèááàðäàEÑàòòåðòóýéòàA

Ïðåäïîëîæèì, ÷òî:

ìíîæåñòâî âîçìîæíûõ èñõîäîâ O êîíå÷íî è ñîñòîèò íå
ìåíåå ÷åì èç òð¼õ ýëåìåíòîâ: |O | ≥ Q;
âñå èñõîäû ðåàëèçóþòñÿ: f (θ) = O;
êàæäûé àãåíò ìîæåò ðåàëèçîâûâàòü ëþáîå ðàöèîíàëüíîå
ìíîæåñòâî ïðåäïî÷òåíèé: Ri = P .
Òîãäà ôóíêöèÿ ñîöèàëüíîãî âûáîðà f ïðàâäèâî ðåàëèçóåìà â
äîìèíàíòíûõ ñòðàòåãèÿõ òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà îíà
äèêòàòîðñêàÿ.



Ñïðàâà íàëåâî

Î÷åâèäíîD ÷òî äèêòàòîðñêàÿ f ïðàâäèâî ðåàëèçóåìà â
äîìèíàíòíûõ ñòðàòåãèÿõ @ïðîâåðüòå3AF
Äàëüøå áóäåì äîêàçûâàòü ñëåâà íàïðàâîF



Ñòðóêòóðà äîêàçàòåëüñòâà

Äîêàçûâàòü áóäåì òàêX
1 Åñëè R =Pi äëÿ âñåõ i, è f ïðàâäèâî ðåàëèçóåìà â

äîìèíàíòíûõ ñòðàòåãèÿõ, òî f ìîíîòîííà.

2 Åñëè R =Pi äëÿ âñåõ i, f ìîíîòîííà, è f (θ) = O, òî f
ýôôåêòèâíà ex post.

3 Åñëè f ìîíîòîííà è ýôôåêòèâíà ex post, òî îíà

äèêòàòîðñêàÿ.

Ýòî áóäóò íàøè òðè ëåììûF



Äîêàçàòåëüñòâî ëåììû 1

I Åñëè Ri = P äëÿ âñåõ i D è f ïðàâäèâî ðåàëèçóåìà â
äîìèíàíòíûõ ñòðàòåãèÿõD òî f ìîíîòîííàF
Ðàññìîòðèì äâà ïðîôèëÿ òèïîâ θ è θ D äëÿ êîòîðûõ
Li (f (θ), θi ) ⊆ Li (f (θ), θ1 )F Õîòèì ïîêàçàòüD ÷òî
f (θ) = f (θ )F

ÒFêF f ïðàâäèâî ðåàëèçóåìàD òî
f (θ1 , θ2 , . . . , θN ) ∈ L1 (f (θ), θ1 ) ⊆ L1 (f (θ), θi ) è
f (θ) ∈ L1 (f (θ1 , θ2 , . . . , θN ), θ1 )F




I Åñëè Ri = P äëÿ âñåõ i D è f ïðàâäèâî ðåàëèçóåìà â
äîìèíàíòíûõ ñòðàòåãèÿõD òî f ìîíîòîííàF
ÒFêF ïîðÿäêè ëèíåéíûå @âñ¼ ñðàâíèìîAD èç ýòîãî ñëåäóåòD
÷òî f (θ1 , θ2 , . . . , θN ) = f (θ)F
ÄàëååD f (θ1 , θ2 , θ3 , . . . , θN ) = f (θ1 , θ2 , . . . , θN ) = f (θ)F È
òFäFD â îáùåìD f (θ) = f (θ )F




P Åñëè Ri = P äëÿ âñåõ i D f ìîíîòîííàD è f (θ) = OD òî f
ýôôåêòèâíà ex postF
ÍàïîìíèìD ÷òî ¾ýôôåêòèâíà ex post¿ îçíà÷àåòD ÷òî óæå
ïîñëå òîãîD êàê àãåíòû ñûãðàþò ïî ñâîèì ñòðàòåãèÿìD äëÿ
êàæäîãî âîçìîæíîãî çíà÷åíèÿ θ íåëüçÿ ñìåñòèòü
ðàâíîâåñèå òóäàD ãäå âñåì áóäåò ëó÷øåF
Ïðåäïîëîæèì ïðîòèâíîåF Ïóñòü ñóùåñòâóþò òàêèå θ ∈ ΘD
y ∈ X è i D ÷òî
ui (y , θi ) ui (f (θ), θi )

@íå ðàâíîD òFêF íåò íåñðàâíèìûõ èñõîäîâAF





ui (y , θi ) ui (f (θ), θi )

Âîñïîëüçóåìñÿ òåïåðü òåìD ÷òî f (θ) = OF Ýòî çíà÷èòD ÷òî
åñòü òàêîé θ ∈ ΘD ÷òî f (θ ) = y F
À òåïåðü âîñïîëüçóåìñÿ òåìD ÷òî âñå ïðåäïî÷òåíèÿ â P
âîçìîæíûF Âûáåðåì òàêîé âåêòîð θ ∈ ΘD ÷òî

∀i ∀x = f (θ), y ui (y , θi ) ui (f (θ), θi ) ui (z , θi ).





∀i ∀x = f (θ), y ui (y , θi ) ui (f (θ), θi ) ui (z , θi ).

Ïîñêîëüêó Li (y , θi ) ⊂ Li (y , θi ) äëÿ âñåõ i D ïî
ìîíîòîííîñòè f (θ ) = f (θ)F Ïðîòèâîðå÷èåD òFêF y = f (θ)F




Q Åñëè f ìîíîòîííà è ýôôåêòèâíà ex postD òî îíà
äèêòàòîðñêàÿF
Ýòà ëåììà ñëåäóåò èç òåîðåìû Ýððîó î íåâîçìîæíîñòèF
Óïðàæíåíèå. ÄîêàçàòüD ÷òî ëåììà Q èç íå¼ äåéñòâèòåëüíî
âûòåêàåòF



Ñïàñèáî çà âíèìàíèå!

ve™ture notes è ñëàéäû áóäóò ïîÿâëÿòüñÿ íà ìîåé
homep—geX
http://logic.pdmi.ras.ru/∼sergey/index.php?page=teaching
Ïðèñûëàéòå ëþáûå çàìå÷àíèÿD ðåøåíèÿ óïðàæíåíèéD
íîâûå ÷èñëåííûå ïðèìåðû è ïðî÷åå ïî àäðåñàìX
sergey@logic.pdmi.ras.ruD snikolenko@gmail.com
Çàõîäèòå â ÆÆ smartnikF


20081109 auctions nikolenko_lecture07

More Related Content

What's hot

Viewers also liked

More from Computer Science Club

20081109 auctions nikolenko_lecture07