Computer Science Club, profile picture
Uploaded byComputer Science Club
PDF, PPTX175 views

20071202 efficientalgorithms kulikov_lecture11

Документ посвящен задаче выполнимости булевых формул в конъюнктивной нормальной форме (КНФ). Рассматриваются определения ключевых понятий, таких как пропозициональные переменные, литералы и клозы, а также задачи, связанные с выполнимостью. Документ также затрагивает сложность задач и их важность в контексте теории и практики.

Embed presentation

Download as PDF, PPTX
1 / 105
2 / 105
3 / 105
4 / 105
5 / 105
6 / 105
7 / 105
8 / 105
9 / 105
10 / 105
11 / 105
12 / 105
13 / 105
14 / 105
15 / 105
16 / 105
17 / 105
18 / 105
19 / 105
20 / 105
21 / 105
22 / 105
23 / 105
24 / 105
25 / 105
26 / 105
27 / 105
28 / 105
29 / 105
30 / 105
31 / 105
32 / 105
33 / 105
34 / 105
35 / 105
36 / 105
37 / 105
38 / 105
39 / 105
40 / 105
41 / 105
42 / 105
43 / 105
44 / 105
45 / 105
46 / 105
47 / 105
48 / 105
49 / 105
50 / 105
51 / 105
52 / 105
53 / 105
54 / 105
55 / 105
56 / 105
57 / 105
58 / 105
59 / 105
60 / 105
61 / 105
62 / 105
63 / 105
64 / 105
65 / 105
66 / 105
67 / 105
68 / 105
69 / 105
70 / 105
71 / 105
72 / 105
73 / 105
74 / 105
75 / 105
76 / 105
77 / 105
78 / 105
79 / 105
80 / 105
81 / 105
82 / 105
83 / 105
84 / 105
85 / 105
86 / 105
87 / 105
88 / 105
89 / 105
90 / 105
91 / 105
92 / 105
93 / 105
94 / 105
95 / 105
96 / 105
97 / 105
98 / 105
99 / 105
100 / 105
101 / 105
102 / 105
103 / 105
104 / 105
105 / 105
с/к “Эффективные алгоритмы” Лекция 11: Задача выполнимости А. Куликов Computer Science клуб при ПОМИ http://logic.pdmi.ras.ru/∼infclub/ А. Куликов (CS клуб при ПОМИ) 11. Задача выполнимости 1 / 30
План лекции 1 Определение задачи А. Куликов (CS клуб при ПОМИ) 11. Задача выполнимости 2 / 30
План лекции 1 Определение задачи 2 Сведения Японские кроссворды Eternity Максимальный разрез А. Куликов (CS клуб при ПОМИ) 11. Задача выполнимости 2 / 30
План лекции 1 Определение задачи 2 Сведения Японские кроссворды Eternity Максимальный разрез 3 Что мы узнали за сегодня А. Куликов (CS клуб при ПОМИ) 11. Задача выполнимости 2 / 30
План лекции 1 Определение задачи 2 Сведения Японские кроссворды Eternity Максимальный разрез 3 Что мы узнали за сегодня А. Куликов (CS клуб при ПОМИ) 11. Задача выполнимости 3 / 30
Формула в КНФ Определение А. Куликов (CS клуб при ПОМИ) 11. Задача выполнимости 4 / 30
Формула в КНФ Определение Пропозициональной или Булевой (propositional, Boolean) переменной называется переменная, принимающая значения true (1) и false (0). А. Куликов (CS клуб при ПОМИ) 11. Задача выполнимости 4 / 30
Формула в КНФ Определение Пропозициональной или Булевой (propositional, Boolean) переменной называется переменная, принимающая значения true (1) и false (0). Литералом (literal) называется Булева переменная x или ее отрицание ¬x. А. Куликов (CS клуб при ПОМИ) 11. Задача выполнимости 4 / 30
Формула в КНФ Определение Пропозициональной или Булевой (propositional, Boolean) переменной называется переменная, принимающая значения true (1) и false (0). Литералом (literal) называется Булева переменная x или ее отрицание ¬x. Клозом (clause) называется дизъюнкция конечного множества литералов, не содержащего одновременно переменной и ее отрицания. А. Куликов (CS клуб при ПОМИ) 11. Задача выполнимости 4 / 30
Формула в КНФ Определение Пропозициональной или Булевой (propositional, Boolean) переменной называется переменная, принимающая значения true (1) и false (0). Литералом (literal) называется Булева переменная x или ее отрицание ¬x. Клозом (clause) называется дизъюнкция конечного множества литералов, не содержащего одновременно переменной и ее отрицания. k-клозом (k-clause) называется клоз, содержащий ровно k литералов. А. Куликов (CS клуб при ПОМИ) 11. Задача выполнимости 4 / 30
Формула в КНФ Определение Пропозициональной или Булевой (propositional, Boolean) переменной называется переменная, принимающая значения true (1) и false (0). Литералом (literal) называется Булева переменная x или ее отрицание ¬x. Клозом (clause) называется дизъюнкция конечного множества литералов, не содержащего одновременно переменной и ее отрицания. k-клозом (k-clause) называется клоз, содержащий ровно k литералов. Формулой в конъюнктивной нормальной форме (КНФ) (formula in conjunctive normal form, CNF) называется конъюнкция конечного множества клозов. А. Куликов (CS клуб при ПОМИ) 11. Задача выполнимости 4 / 30
Меры сложности формул А. Куликов (CS клуб при ПОМИ) 11. Задача выполнимости 5 / 30
Меры сложности формул n(F ), N(F ) — кол-во различных переменных в F . А. Куликов (CS клуб при ПОМИ) 11. Задача выполнимости 5 / 30
Меры сложности формул n(F ), N(F ) — кол-во различных переменных в F . m(F ), K (F ) — кол-во клозов в F . А. Куликов (CS клуб при ПОМИ) 11. Задача выполнимости 5 / 30
Меры сложности формул n(F ), N(F ) — кол-во различных переменных в F . m(F ), K (F ) — кол-во клозов в F . l (F ), L(F ) — кол-во литералов в (длина) F . А. Куликов (CS клуб при ПОМИ) 11. Задача выполнимости 5 / 30
Задача выполнимости Определение А. Куликов (CS клуб при ПОМИ) 11. Задача выполнимости 6 / 30
Задача выполнимости Определение Задача пропозициональной выполнимости (Boolean satisfiability problem, SAT): определить, выполнима ли данная формула в КНФ, то есть существует ли набор Булевых значений переменным формулы, выполняющий формулу. Такой набор называют выполняющим (satisfying assignment), а формулу, для которой такой набор существует, — выполнимой (satisfiable). А. Куликов (CS клуб при ПОМИ) 11. Задача выполнимости 6 / 30
Задача выполнимости Определение Задача пропозициональной выполнимости (Boolean satisfiability problem, SAT): определить, выполнима ли данная формула в КНФ, то есть существует ли набор Булевых значений переменным формулы, выполняющий формулу. Такой набор называют выполняющим (satisfying assignment), а формулу, для которой такой набор существует, — выполнимой (satisfiable). Задача максимальной выполнимости (maximum satisfiability problem, SAT): по данной формуле определить, какое максимальное количество ее клозов может быть выполнено. А. Куликов (CS клуб при ПОМИ) 11. Задача выполнимости 6 / 30
Задача выполнимости Определение Задача пропозициональной выполнимости (Boolean satisfiability problem, SAT): определить, выполнима ли данная формула в КНФ, то есть существует ли набор Булевых значений переменным формулы, выполняющий формулу. Такой набор называют выполняющим (satisfying assignment), а формулу, для которой такой набор существует, — выполнимой (satisfiable). Задача максимальной выполнимости (maximum satisfiability problem, SAT): по данной формуле определить, какое максимальное количество ее клозов может быть выполнено. k-SAT, MAX-k-SAT — частные случаи соответствующих задач, когда все клозы входной формулы содержат не более k литералов. А. Куликов (CS клуб при ПОМИ) 11. Задача выполнимости 6 / 30
Пример Пример А. Куликов (CS клуб при ПОМИ) 11. Задача выполнимости 7 / 30
Пример Пример F1 = (x ∨ y ∨ ¬z) ∧ (¬x) ∧ (¬y ∨ z) А. Куликов (CS клуб при ПОМИ) 11. Задача выполнимости 7 / 30
Пример Пример F1 = (x ∨ y ∨ ¬z) ∧ (¬x) ∧ (¬y ∨ z) n(F1 ) = 3, m(F1 ) = 3, l (F1 ) = 6 А. Куликов (CS клуб при ПОМИ) 11. Задача выполнимости 7 / 30
Пример Пример F1 = (x ∨ y ∨ ¬z) ∧ (¬x) ∧ (¬y ∨ z) n(F1 ) = 3, m(F1 ) = 3, l (F1 ) = 6 F1 выполнима: x = 0, y = 1, z = 1 А. Куликов (CS клуб при ПОМИ) 11. Задача выполнимости 7 / 30
Пример Пример F1 = (x ∨ y ∨ ¬z) ∧ (¬x) ∧ (¬y ∨ z) n(F1 ) = 3, m(F1 ) = 3, l (F1 ) = 6 F1 выполнима: x = 0, y = 1, z = 1 F2 = (x ∨ y ) ∧ (x ∨ ¬y ) ∧ (¬x ∨ y ) ∧ (¬x ∨ ¬y ) А. Куликов (CS клуб при ПОМИ) 11. Задача выполнимости 7 / 30
Пример Пример F1 = (x ∨ y ∨ ¬z) ∧ (¬x) ∧ (¬y ∨ z) n(F1 ) = 3, m(F1 ) = 3, l (F1 ) = 6 F1 выполнима: x = 0, y = 1, z = 1 F2 = (x ∨ y ) ∧ (x ∨ ¬y ) ∧ (¬x ∨ y ) ∧ (¬x ∨ ¬y ) n(F2 ) = 2, m(F2 ) = 4, l (F1 ) = 8 А. Куликов (CS клуб при ПОМИ) 11. Задача выполнимости 7 / 30
Пример Пример F1 = (x ∨ y ∨ ¬z) ∧ (¬x) ∧ (¬y ∨ z) n(F1 ) = 3, m(F1 ) = 3, l (F1 ) = 6 F1 выполнима: x = 0, y = 1, z = 1 F2 = (x ∨ y ) ∧ (x ∨ ¬y ) ∧ (¬x ∨ y ) ∧ (¬x ∨ ¬y ) n(F2 ) = 2, m(F2 ) = 4, l (F1 ) = 8 F2 невыполнима, но три клоза можно выполнить А. Куликов (CS клуб при ПОМИ) 11. Задача выполнимости 7 / 30
NP-трудность А. Куликов (CS клуб при ПОМИ) 11. Задача выполнимости 8 / 30
NP-трудность Первая известная NP-полная задача (Кук, 1971). А. Куликов (CS клуб при ПОМИ) 11. Задача выполнимости 8 / 30
NP-трудность Первая известная NP-полная задача (Кук, 1971). 3-SAT тоже NP-полна. А. Куликов (CS клуб при ПОМИ) 11. Задача выполнимости 8 / 30
NP-трудность Первая известная NP-полная задача (Кук, 1971). 3-SAT тоже NP-полна. 2-SAT может быть решена за линейное время. А. Куликов (CS клуб при ПОМИ) 11. Задача выполнимости 8 / 30
NP-трудность Первая известная NP-полная задача (Кук, 1971). 3-SAT тоже NP-полна. 2-SAT может быть решена за линейное время. MAX-2-SAT NP-трудна, даже если каждая переменная встречается в формуле не более трех раз. А. Куликов (CS клуб при ПОМИ) 11. Задача выполнимости 8 / 30
Важность задачи А. Куликов (CS клуб при ПОМИ) 11. Задача выполнимости 9 / 30
Важность задачи http://www.satisfiability.org/ — The International Conferences on Theory and Applications of Satisfiability Testing. А. Куликов (CS клуб при ПОМИ) 11. Задача выполнимости 9 / 30
Важность задачи http://www.satisfiability.org/ — The International Conferences on Theory and Applications of Satisfiability Testing. http://www.satcompetition.org/ — The international SAT Competitions web page. А. Куликов (CS клуб при ПОМИ) 11. Задача выполнимости 9 / 30
Важность задачи http://www.satisfiability.org/ — The International Conferences on Theory and Applications of Satisfiability Testing. http://www.satcompetition.org/ — The international SAT Competitions web page. http://www.isa.ewi.tudelft.nl/Jsat/ — Journal on Satisfiability, Boolean Modeling and Computation. А. Куликов (CS клуб при ПОМИ) 11. Задача выполнимости 9 / 30
Важность задачи http://www.satisfiability.org/ — The International Conferences on Theory and Applications of Satisfiability Testing. http://www.satcompetition.org/ — The international SAT Competitions web page. http://www.isa.ewi.tudelft.nl/Jsat/ — Journal on Satisfiability, Boolean Modeling and Computation. http://www.satlib.org/ — The Satisfiability Library. А. Куликов (CS клуб при ПОМИ) 11. Задача выполнимости 9 / 30
Важность задачи http://www.satisfiability.org/ — The International Conferences on Theory and Applications of Satisfiability Testing. http://www.satcompetition.org/ — The international SAT Competitions web page. http://www.isa.ewi.tudelft.nl/Jsat/ — Journal on Satisfiability, Boolean Modeling and Computation. http://www.satlib.org/ — The Satisfiability Library. http://www.satlive.org/ — Up-to-date links for the Satisfiability Problem. А. Куликов (CS клуб при ПОМИ) 11. Задача выполнимости 9 / 30
Важность задачи http://www.satisfiability.org/ — The International Conferences on Theory and Applications of Satisfiability Testing. http://www.satcompetition.org/ — The international SAT Competitions web page. http://www.isa.ewi.tudelft.nl/Jsat/ — Journal on Satisfiability, Boolean Modeling and Computation. http://www.satlib.org/ — The Satisfiability Library. http://www.satlive.org/ — Up-to-date links for the Satisfiability Problem. http://www.qbflib.org/ — The Quantified Boolean Formulas Satisfiability Library. А. Куликов (CS клуб при ПОМИ) 11. Задача выполнимости 9 / 30
План лекции 1 Определение задачи 2 Сведения Японские кроссворды Eternity Максимальный разрез 3 Что мы узнали за сегодня А. Куликов (CS клуб при ПОМИ) 11. Задача выполнимости 10 / 30
Сведения А. Куликов (CS клуб при ПОМИ) 11. Задача выполнимости 11 / 30
Сведения Многие известные задачи из NP очень просто сводятся к SAT или MAX-SAT. А. Куликов (CS клуб при ПОМИ) 11. Задача выполнимости 11 / 30
Сведения Многие известные задачи из NP очень просто сводятся к SAT или MAX-SAT. Сведя задачу к SAT, на практике можно воспользоваться SAT-солвером. А. Куликов (CS клуб при ПОМИ) 11. Задача выполнимости 11 / 30
Сведения Многие известные задачи из NP очень просто сводятся к SAT или MAX-SAT. Сведя задачу к SAT, на практике можно воспользоваться SAT-солвером. Такой подход иногда помогает, иногда — нет. А. Куликов (CS клуб при ПОМИ) 11. Задача выполнимости 11 / 30
План лекции 1 Определение задачи 2 Сведения Японские кроссворды Eternity Максимальный разрез 3 Что мы узнали за сегодня А. Куликов (CS клуб при ПОМИ) 11. Задача выполнимости 12 / 30
Японские кроссворды Определение Решение японского кроссворда (japanese puzzle) заключается в восстановлении картинки по длинам блоков подряд идущих закрашенных клеток в строках и столбцах. А. Куликов (CS клуб при ПОМИ) 11. Задача выполнимости 13 / 30
Сведение к SAT А. Куликов (CS клуб при ПОМИ) 11. Задача выполнимости 14 / 30
Сведение к SAT дано поле n × m А. Куликов (CS клуб при ПОМИ) 11. Задача выполнимости 14 / 30
Сведение к SAT дано поле n × m достаточно научиться кодировать тот факт, что в i-й строке закрашены блоки длины a1 , . . . , at А. Куликов (CS клуб при ПОМИ) 11. Задача выполнимости 14 / 30
Сведение к SAT дано поле n × m достаточно научиться кодировать тот факт, что в i-й строке закрашены блоки длины a1 , . . . , at введем такие переменные: А. Куликов (CS клуб при ПОМИ) 11. Задача выполнимости 14 / 30
Сведение к SAT дано поле n × m достаточно научиться кодировать тот факт, что в i-й строке закрашены блоки длины a1 , . . . , at введем такие переменные: xij — клетка (i, j) закрашена А. Куликов (CS клуб при ПОМИ) 11. Задача выполнимости 14 / 30
Сведение к SAT дано поле n × m достаточно научиться кодировать тот факт, что в i-й строке закрашены блоки длины a1 , . . . , at введем такие переменные: xij — клетка (i, j) закрашена yijp — p-й блок строки i начинается в клетке j А. Куликов (CS клуб при ПОМИ) 11. Задача выполнимости 14 / 30
Сведение к SAT (продолжение) итак, дана строка i с блоками a1 , . . . , at А. Куликов (CS клуб при ПОМИ) 11. Задача выполнимости 15 / 30
Сведение к SAT (продолжение) итак, дана строка i с блоками a1 , . . . , at p-й блок начинается ровно в одной клетке: (yi1p ∨ yi2p ∨ · · · ∨ yimp ) ∧ {(¬yijp ∨ ¬yikp )}j̸=k А. Куликов (CS клуб при ПОМИ) 11. Задача выполнимости 15 / 30
Сведение к SAT (продолжение) итак, дана строка i с блоками a1 , . . . , at p-й блок начинается ровно в одной клетке: (yi1p ∨ yi2p ∨ · · · ∨ yimp ) ∧ {(¬yijp ∨ ¬yikp )}j̸=k (p + 1)-й блок начинается позже конца p-го: {(¬yij(p+1) ∨ ¬yi(j+k)p )}k≥0 А. Куликов (CS клуб при ПОМИ) 11. Задача выполнимости 15 / 30
Сведение к SAT (продолжение) итак, дана строка i с блоками a1 , . . . , at p-й блок начинается ровно в одной клетке: (yi1p ∨ yi2p ∨ · · · ∨ yimp ) ∧ {(¬yijp ∨ ¬yikp )}j̸=k (p + 1)-й блок начинается позже конца p-го: {(¬yij(p+1) ∨ ¬yi(j+k)p )}k≥0 если p-й блок начинается в клетке j, то соответствующие ap клеток закрашены: {(¬yijp ∨ xi(j+k) )}0≤k<ap А. Куликов (CS клуб при ПОМИ) 11. Задача выполнимости 15 / 30
Сведение к SAT (продолжение) итак, дана строка i с блоками a1 , . . . , at p-й блок начинается ровно в одной клетке: (yi1p ∨ yi2p ∨ · · · ∨ yimp ) ∧ {(¬yijp ∨ ¬yikp )}j̸=k (p + 1)-й блок начинается позже конца p-го: {(¬yij(p+1) ∨ ¬yi(j+k)p )}k≥0 если p-й блок начинается в клетке j, то соответствующие ap клеток закрашены: {(¬yijp ∨ xi(j+k) )}0≤k<ap если клетка не принадлежит ни одному из блоков, то она не закрашена: (yi(j−a1 +1)1 ∨ · · · ∨ yij1 ∨ · · · ∨ yi(j−at +1)p ∨ · · · ∨ yijt ∨ ¬xij ) А. Куликов (CS клуб при ПОМИ) 11. Задача выполнимости 15 / 30
Замечание А. Куликов (CS клуб при ПОМИ) 11. Задача выполнимости 16 / 30
Замечание если какой-то индекс “вылезает”, то соответствующим переменным просто присваиваем значение 0 А. Куликов (CS клуб при ПОМИ) 11. Задача выполнимости 16 / 30
Замечание если какой-то индекс “вылезает”, то соответствующим переменным просто присваиваем значение 0 можно сводить более эффективно А. Куликов (CS клуб при ПОМИ) 11. Задача выполнимости 16 / 30
Примеры решенных кроссвордов А. Куликов (CS клуб при ПОМИ) 11. Задача выполнимости 17 / 30
План лекции 1 Определение задачи 2 Сведения Японские кроссворды Eternity Максимальный разрез 3 Что мы узнали за сегодня А. Куликов (CS клуб при ПОМИ) 11. Задача выполнимости 18 / 30
Игра Eternity Определение Нужно замостить квадрат заданным набором доминошек так, чтобы узоры на граничащих частях доминошек совпадали. А. Куликов (CS клуб при ПОМИ) 11. Задача выполнимости 19 / 30
Сведение к SAT дан квадрат n × n и n2 доминошек А. Куликов (CS клуб при ПОМИ) 11. Задача выполнимости 20 / 30
Сведение к SAT дан квадрат n × n и n2 доминошек перенумеруем все клетки и доминошки числами от 1 до n2 А. Куликов (CS клуб при ПОМИ) 11. Задача выполнимости 20 / 30
Сведение к SAT дан квадрат n × n и n2 доминошек перенумеруем все клетки и доминошки числами от 1 до n2 заводим два типа переменных: А. Куликов (CS клуб при ПОМИ) 11. Задача выполнимости 20 / 30
Сведение к SAT дан квадрат n × n и n2 доминошек перенумеруем все клетки и доминошки числами от 1 до n2 заводим два типа переменных: xij — в i-й клетке стоит j-я доминошка А. Куликов (CS клуб при ПОМИ) 11. Задача выполнимости 20 / 30
Сведение к SAT дан квадрат n × n и n2 доминошек перенумеруем все клетки и доминошки числами от 1 до n2 заводим два типа переменных: xij — в i-й клетке стоит j-я доминошка yjk — j-я доминошка в “положении” k, 1 ≤ k ≤ 4 (например, так: k = 1 — не повернута, k = 2 — повернута на /2 по часовой, k = 3 — на , k = 4 — на /2 против часовой) А. Куликов (CS клуб при ПОМИ) 11. Задача выполнимости 20 / 30
Сведение к SAT А. Куликов (CS клуб при ПОМИ) 11. Задача выполнимости 21 / 30
Сведение к SAT каждая доминошка находится ровно в одном “положении”: (yj1 ∨ yj2 ∨ yj3 ∨ yj4 ) ∧ {(¬yjp ∨ ¬yjq )}p̸=q А. Куликов (CS клуб при ПОМИ) 11. Задача выполнимости 21 / 30
Сведение к SAT каждая доминошка находится ровно в одном “положении”: (yj1 ∨ yj2 ∨ yj3 ∨ yj4 ) ∧ {(¬yjp ∨ ¬yjq )}p̸=q каждая доминошка стоит хотя бы в одной клетке: {(x1j ∨ x2j ∨ · · · ∨ xn2 j )}j∈[n2 ] А. Куликов (CS клуб при ПОМИ) 11. Задача выполнимости 21 / 30
Сведение к SAT каждая доминошка находится ровно в одном “положении”: (yj1 ∨ yj2 ∨ yj3 ∨ yj4 ) ∧ {(¬yjp ∨ ¬yjq )}p̸=q каждая доминошка стоит хотя бы в одной клетке: {(x1j ∨ x2j ∨ · · · ∨ xn2 j )}j∈[n2 ] в каждой клетке стоит хотя бы одна доминошка: {(xi1 ∨ xi2 ∨ · · · ∨ xin2 )}i∈[n2 ] А. Куликов (CS клуб при ПОМИ) 11. Задача выполнимости 21 / 30
Сведение к SAT каждая доминошка находится ровно в одном “положении”: (yj1 ∨ yj2 ∨ yj3 ∨ yj4 ) ∧ {(¬yjp ∨ ¬yjq )}p̸=q каждая доминошка стоит хотя бы в одной клетке: {(x1j ∨ x2j ∨ · · · ∨ xn2 j )}j∈[n2 ] в каждой клетке стоит хотя бы одна доминошка: {(xi1 ∨ xi2 ∨ · · · ∨ xin2 )}i∈[n2 ] доминошка не стоит в двух клетках одновременно: {(¬xpj ∨ ¬xqj )}p̸=q А. Куликов (CS клуб при ПОМИ) 11. Задача выполнимости 21 / 30
Сведение к SAT (продолжение) А. Куликов (CS клуб при ПОМИ) 11. Задача выполнимости 22 / 30
Сведение к SAT (продолжение) в клетке одновременно не стоят две доминошки: {(¬xip ∨ ¬xiq )}p̸=q А. Куликов (CS клуб при ПОМИ) 11. Задача выполнимости 22 / 30
Сведение к SAT (продолжение) в клетке одновременно не стоят две доминошки: {(¬xip ∨ ¬xiq )}p̸=q две доминошки должны граничить равными ребрами: {(¬xi1 j1 ∨ ¬xi2 j2 ∨ ¬yi1 k1 ∨ ¬yi2 k2 )}, если клетки i1 и i2 — соседи и при постановке туда доминошек j1 и j2 в “положениях”, соответственно, k1 и k2 нарушается узор А. Куликов (CS клуб при ПОМИ) 11. Задача выполнимости 22 / 30
Не все так просто, тем не менее А. Куликов (CS клуб при ПОМИ) 11. Задача выполнимости 23 / 30
Не все так просто, тем не менее итак, мы записали игру Eternity в виде задачи выполнимости конкретной формулы при помощи полиномиального сведения А. Куликов (CS клуб при ПОМИ) 11. Задача выполнимости 23 / 30
Не все так просто, тем не менее итак, мы записали игру Eternity в виде задачи выполнимости конкретной формулы при помощи полиномиального сведения осталось напустить на полученную формулу какой-нибудь эффективный SAT-солвер А. Куликов (CS клуб при ПОМИ) 11. Задача выполнимости 23 / 30
Не все так просто, тем не менее итак, мы записали игру Eternity в виде задачи выполнимости конкретной формулы при помощи полиномиального сведения осталось напустить на полученную формулу какой-нибудь эффективный SAT-солвер но в чем же тогда подвох? А. Куликов (CS клуб при ПОМИ) 11. Задача выполнимости 23 / 30
Не все так просто, тем не менее итак, мы записали игру Eternity в виде задачи выполнимости конкретной формулы при помощи полиномиального сведения осталось напустить на полученную формулу какой-нибудь эффективный SAT-солвер но в чем же тогда подвох? давайте примерно оценим длину полученной формулы А. Куликов (CS клуб при ПОМИ) 11. Задача выполнимости 23 / 30
Оценка длины (yj1 ∨ yj2 ∨ yj3 ∨ yj4 ) ∧ {(¬yjp ∨ ¬yjq )}p̸=q (4 + 2 · 6)n2 А. Куликов (CS клуб при ПОМИ) 11. Задача выполнимости 24 / 30
Оценка длины (yj1 ∨ yj2 ∨ yj3 ∨ yj4 ) ∧ {(¬yjp ∨ ¬yjq )}p̸=q (4 + 2 · 6)n2 {(x1j ∨ x2j ∨ · · · ∨ xn2 j )}j∈[n2 ] n2 · n2 А. Куликов (CS клуб при ПОМИ) 11. Задача выполнимости 24 / 30
Оценка длины (yj1 ∨ yj2 ∨ yj3 ∨ yj4 ) ∧ {(¬yjp ∨ ¬yjq )}p̸=q (4 + 2 · 6)n2 {(x1j ∨ x2j ∨ · · · ∨ xn2 j )}j∈[n2 ] n2 · n2 {(xi1 ∨ xi2 ∨ · · · ∨ xin2 )}i∈[n2 ] n2 · n2 А. Куликов (CS клуб при ПОМИ) 11. Задача выполнимости 24 / 30
Оценка длины (yj1 ∨ yj2 ∨ yj3 ∨ yj4 ) ∧ {(¬yjp ∨ ¬yjq )}p̸=q (4 + 2 · 6)n2 {(x1j ∨ x2j ∨ · · · ∨ xn2 j )}j∈[n2 ] n2 · n2 {(xi1 ∨ xi2 ∨ · · · ∨ xin2 )}i∈[n2 ] n2 · n2 n2 · n (︀ )︀ {(¬xpj ∨ ¬xqj )}p̸=q 2 А. Куликов (CS клуб при ПОМИ) 11. Задача выполнимости 24 / 30
Оценка длины (yj1 ∨ yj2 ∨ yj3 ∨ yj4 ) ∧ {(¬yjp ∨ ¬yjq )}p̸=q (4 + 2 · 6)n2 {(x1j ∨ x2j ∨ · · · ∨ xn2 j )}j∈[n2 ] n2 · n2 {(xi1 ∨ xi2 ∨ · · · ∨ xin2 )}i∈[n2 ] n2 · n2 n2 · n (︀ )︀ {(¬xpj ∨ ¬xqj )}p̸=q (︀2)︀ 2· n {(¬xip ∨ ¬xiq )}p̸=q n 2 А. Куликов (CS клуб при ПОМИ) 11. Задача выполнимости 24 / 30
Оценка длины (yj1 ∨ yj2 ∨ yj3 ∨ yj4 ) ∧ {(¬yjp ∨ ¬yjq )}p̸=q (4 + 2 · 6)n2 {(x1j ∨ x2j ∨ · · · ∨ xn2 j )}j∈[n2 ] n2 · n2 {(xi1 ∨ xi2 ∨ · · · ∨ xin2 )}i∈[n2 ] n2 · n2 n2 · n (︀ )︀ {(¬xpj ∨ ¬xqj )}p̸=q (︀2)︀ 2· n {(¬xip ∨ ¬xiq )}p̸=q n 2 {(¬xi1 j1 ∨ ¬xi2 j2 ∨ ¬yi1 k1 ∨ ¬yi2 k2 )} ∼ n2 · n2 · n2 А. Куликов (CS клуб при ПОМИ) 11. Задача выполнимости 24 / 30
Оценка длины (yj1 ∨ yj2 ∨ yj3 ∨ yj4 ) ∧ {(¬yjp ∨ ¬yjq )}p̸=q (4 + 2 · 6)n2 {(x1j ∨ x2j ∨ · · · ∨ xn2 j )}j∈[n2 ] n2 · n2 {(xi1 ∨ xi2 ∨ · · · ∨ xin2 )}i∈[n2 ] n2 · n2 n2 · n (︀ )︀ {(¬xpj ∨ ¬xqj )}p̸=q (︀2)︀ 2· n {(¬xip ∨ ¬xiq )}p̸=q n 2 {(¬xi1 j1 ∨ ¬xi2 j2 ∨ ¬yi1 k1 ∨ ¬yi2 k2 )} ∼ n2 · n2 · n2 Итого, порядок длины формулы будет n6 , что при n = 16 составляеят 166 = 224 = 16 777 216. А. Куликов (CS клуб при ПОМИ) 11. Задача выполнимости 24 / 30
План лекции 1 Определение задачи 2 Сведения Японские кроссворды Eternity Максимальный разрез 3 Что мы узнали за сегодня А. Куликов (CS клуб при ПОМИ) 11. Задача выполнимости 25 / 30
Задача о максимальном разрезе Определение Задача о максимальном разрезе (maximum cut, MAX-CUT) заключается в нахождении такого разбиения вершин графа на две части, при котором количество ребер, концы которых принадлежат разным частям, максимально. А. Куликов (CS клуб при ПОМИ) 11. Задача выполнимости 26 / 30
Задача о максимальном разрезе Определение Задача о максимальном разрезе (maximum cut, MAX-CUT) заключается в нахождении такого разбиения вершин графа на две части, при котором количество ребер, концы которых принадлежат разным частям, максимально. NP-трудность А. Куликов (CS клуб при ПОМИ) 11. Задача выполнимости 26 / 30
Задача о максимальном разрезе Определение Задача о максимальном разрезе (maximum cut, MAX-CUT) заключается в нахождении такого разбиения вершин графа на две части, при котором количество ребер, концы которых принадлежат разным частям, максимально. NP-трудность Одна из знаменитых 21-й NP-полной задачи Карпа. А. Куликов (CS клуб при ПОМИ) 11. Задача выполнимости 26 / 30
Задача о максимальном разрезе Определение Задача о максимальном разрезе (maximum cut, MAX-CUT) заключается в нахождении такого разбиения вершин графа на две части, при котором количество ребер, концы которых принадлежат разным частям, максимально. NP-трудность Одна из знаменитых 21-й NP-полной задачи Карпа. Остается NP-полной даже на графах степени 3. А. Куликов (CS клуб при ПОМИ) 11. Задача выполнимости 26 / 30
Сведение к MAX-2-SAT А. Куликов (CS клуб при ПОМИ) 11. Задача выполнимости 27 / 30
Сведение к MAX-2-SAT каждой вершине u графа G (V , E ) поставим в соответствие переменную xu (xu = 1 — вершина u принадлежит первой части) А. Куликов (CS клуб при ПОМИ) 11. Задача выполнимости 27 / 30
Сведение к MAX-2-SAT каждой вершине u графа G (V , E ) поставим в соответствие переменную xu (xu = 1 — вершина u принадлежит первой части) для каждого ребра (u, v ) запишем два клоза (xu ∨ xv ), (¬xu ∨ ¬xv ) А. Куликов (CS клуб при ПОМИ) 11. Задача выполнимости 27 / 30
Сведение к MAX-2-SAT каждой вершине u графа G (V , E ) поставим в соответствие переменную xu (xu = 1 — вершина u принадлежит первой части) для каждого ребра (u, v ) запишем два клоза (xu ∨ xv ), (¬xu ∨ ¬xv ) видно, что набор значений переменным u, v выполняет оба клоза, когда u и v в разных частях, и выполняет только один из них — когда в одной А. Куликов (CS клуб при ПОМИ) 11. Задача выполнимости 27 / 30
Сведение к MAX-2-SAT каждой вершине u графа G (V , E ) поставим в соответствие переменную xu (xu = 1 — вершина u принадлежит первой части) для каждого ребра (u, v ) запишем два клоза (xu ∨ xv ), (¬xu ∨ ¬xv ) видно, что набор значений переменным u, v выполняет оба клоза, когда u и v в разных частях, и выполняет только один из них — когда в одной таким образом, максимальное количество одновременно выполнимых клозов полученной формулы равно |E | + |MAX-CUT(G )| А. Куликов (CS клуб при ПОМИ) 11. Задача выполнимости 27 / 30
План лекции 1 Определение задачи 2 Сведения Японские кроссворды Eternity Максимальный разрез 3 Что мы узнали за сегодня А. Куликов (CS клуб при ПОМИ) 11. Задача выполнимости 28 / 30
Что мы узнали за сегодня? А. Куликов (CS клуб при ПОМИ) 11. Задача выполнимости 29 / 30
Что мы узнали за сегодня? Многие известные задачи из NP очень просто сводятся к SAT или MAX-SAT. А. Куликов (CS клуб при ПОМИ) 11. Задача выполнимости 29 / 30
Что мы узнали за сегодня? Многие известные задачи из NP очень просто сводятся к SAT или MAX-SAT. Сведя задачу к SAT, на практике можно воспользоваться SAT-солвером. А. Куликов (CS клуб при ПОМИ) 11. Задача выполнимости 29 / 30
Что мы узнали за сегодня? Многие известные задачи из NP очень просто сводятся к SAT или MAX-SAT. Сведя задачу к SAT, на практике можно воспользоваться SAT-солвером. Сведения: А. Куликов (CS клуб при ПОМИ) 11. Задача выполнимости 29 / 30
Что мы узнали за сегодня? Многие известные задачи из NP очень просто сводятся к SAT или MAX-SAT. Сведя задачу к SAT, на практике можно воспользоваться SAT-солвером. Сведения: японские кроссворды, игра Eternity — к SAT А. Куликов (CS клуб при ПОМИ) 11. Задача выполнимости 29 / 30
Что мы узнали за сегодня? Многие известные задачи из NP очень просто сводятся к SAT или MAX-SAT. Сведя задачу к SAT, на практике можно воспользоваться SAT-солвером. Сведения: японские кроссворды, игра Eternity — к SAT задача о максимальном разрезе — к MAX-SAT А. Куликов (CS клуб при ПОМИ) 11. Задача выполнимости 29 / 30
Спасибо за внимание! А. Куликов (CS клуб при ПОМИ) 11. Задача выполнимости 30 / 30

More Related Content

PDF
20091025 algorithmsfornphardproblems kulikov_lecture03
byComputer Science Club
 
PDF
20130302 np algorithms_kulikov_lecture04-05_sat
byComputer Science Club
 
PDF
20130301 np algorithms_kulikov_lecture01_np
byComputer Science Club
 
PPT
л 2 14
byKirill Bystrov
 
PDF
20091108 algorithmsfornphardproblems kulikov_lecture08
byComputer Science Club
 
PDF
20101028 proof complexity_hirsch_lecture06
byComputer Science Club
 
PPT
Analysis
byTaras Bojko
 
PDF
вссда2012 2
byNatalia Smirnova
 
20091025 algorithmsfornphardproblems kulikov_lecture03
byComputer Science Club
 
20130302 np algorithms_kulikov_lecture04-05_sat
byComputer Science Club
 
20130301 np algorithms_kulikov_lecture01_np
byComputer Science Club
 
л 2 14
byKirill Bystrov
 
20091108 algorithmsfornphardproblems kulikov_lecture08
byComputer Science Club
 
20101028 proof complexity_hirsch_lecture06
byComputer Science Club
 
Analysis
byTaras Bojko
 
вссда2012 2
byNatalia Smirnova
 

Similar to 20071202 efficientalgorithms kulikov_lecture11

PDF
Алгоритмы решения задачи о булевой выполнимости (SAT) и их применение в крипт...
byPositive Hack Days
 
PDF
20080928 structuralcomplexitytheory lecture01-02
byComputer Science Club
 
PDF
Алгоритмы и структуры данных осень 2013 лекция 1
byTechnopark
 
PPT
Лекция 10 NP-полнота
bysimple_people
 
PDF
20110925 circuit complexity_seminar_lecture01_kulikov
byComputer Science Club
 
PDF
20110925 circuit complexity_seminar_lecture01_kulikov
byComputer Science Club
 
PDF
20090913 algorithmsfornphardproblems kulikov_lecture02
byComputer Science Club
 
PDF
20080217 efficientalgorithms kulikov_lecture13
byComputer Science Club
 
PDF
20080217 efficientalgorithms kulikov_lecture13
byComputer Science Club
 
PDF
20110403 quantum algorithms_vyali_lecture03
byComputer Science Club
 
PDF
20081012 structuralcomplexitytheory lecture03-04
byComputer Science Club
 
PDF
20081026 structuralcomplexitytheory lecture05-06
byComputer Science Club
 
PDF
20091115 algorithmsfornphardproblems kulikov_lecture09
byComputer Science Club
 
PDF
20081116 structuralcomplexitytheory lecture09-10
byComputer Science Club
 
PDF
20110224 systems of_typed_lambda_calculi_moskvin_lecture02
byComputer Science Club
 
PDF
20110224 systems of_typed_lambda_calculi_moskvin_lecture03
byComputer Science Club
 
PDF
Задача о ближайшем кодовом слове. Коды Галлагера—Сипсера—Шпильмана
byAlex Dainiak
 
PDF
Дмитрий Кашицын, Вывод типов в динамических и не очень языках II
byPlatonov Sergey
 
PDF
1
byssusera868ff
 
PDF
Лекция №15. Методы программирования. Предмет "Структуры и алгоритмы обработки...
byNikolay Grebenshikov
 
Алгоритмы решения задачи о булевой выполнимости (SAT) и их применение в крипт...
byPositive Hack Days
 
20080928 structuralcomplexitytheory lecture01-02
byComputer Science Club
 
Алгоритмы и структуры данных осень 2013 лекция 1
byTechnopark
 
Лекция 10 NP-полнота
bysimple_people
 
20110925 circuit complexity_seminar_lecture01_kulikov
byComputer Science Club
 
20110925 circuit complexity_seminar_lecture01_kulikov
byComputer Science Club
 
20090913 algorithmsfornphardproblems kulikov_lecture02
byComputer Science Club
 
20080217 efficientalgorithms kulikov_lecture13
byComputer Science Club
 
20080217 efficientalgorithms kulikov_lecture13
byComputer Science Club
 
20110403 quantum algorithms_vyali_lecture03
byComputer Science Club
 
20081012 structuralcomplexitytheory lecture03-04
byComputer Science Club
 
20081026 structuralcomplexitytheory lecture05-06
byComputer Science Club
 
20091115 algorithmsfornphardproblems kulikov_lecture09
byComputer Science Club
 
20081116 structuralcomplexitytheory lecture09-10
byComputer Science Club
 
20110224 systems of_typed_lambda_calculi_moskvin_lecture02
byComputer Science Club
 
20110224 systems of_typed_lambda_calculi_moskvin_lecture03
byComputer Science Club
 
Задача о ближайшем кодовом слове. Коды Галлагера—Сипсера—Шпильмана
byAlex Dainiak
 
Дмитрий Кашицын, Вывод типов в динамических и не очень языках II
byPlatonov Sergey
 
1
byssusera868ff
 
Лекция №15. Методы программирования. Предмет "Структуры и алгоритмы обработки...
byNikolay Grebenshikov
 

More from Computer Science Club

PDF
20131106 h10 lecture6_matiyasevich
byComputer Science Club
 
PDF
20131027 h10 lecture5_matiyasevich
byComputer Science Club
 
PDF
20140223-SuffixTrees-lecture01-03
byComputer Science Club
 
PDF
20131006 h10 lecture3_matiyasevich
byComputer Science Club
 
PDF
20131006 h10 lecture3_matiyasevich
byComputer Science Club
 
PDF
20131027 h10 lecture5_matiyasevich
byComputer Science Club
 
PDF
20131013 h10 lecture4_matiyasevich
byComputer Science Club
 
PDF
20140531 serebryany lecture01_fantastic_cpp_bugs
byComputer Science Club
 
PDF
20140531 serebryany lecture01_fantastic_cpp_bugs
byComputer Science Club
 
PDF
20140427 parallel programming_zlobin_lecture11
byComputer Science Club
 
PDF
20140310 parallel programming_kalishenko_lecture03-04
byComputer Science Club
 
PDF
20140329 graph drawing_dainiak_lecture02
byComputer Science Club
 
PDF
20140216 parallel programming_kalishenko_lecture01
byComputer Science Club
 
PDF
20140531 serebryany lecture02_find_scary_cpp_bugs
byComputer Science Club
 
PDF
20141223 kuznetsov distributed
byComputer Science Club
 
PDF
Computer Vision
byComputer Science Club
 
PDF
20140420 parallel programming_kalishenko_lecture10
byComputer Science Club
 
PDF
20140329 graph drawing_dainiak_lecture01
byComputer Science Club
 
PDF
20140413 parallel programming_kalishenko_lecture09
byComputer Science Club
 
PDF
20140511 parallel programming_kalishenko_lecture12
byComputer Science Club
 
20131106 h10 lecture6_matiyasevich
byComputer Science Club
 
20131027 h10 lecture5_matiyasevich
byComputer Science Club
 
20140223-SuffixTrees-lecture01-03
byComputer Science Club
 
20131006 h10 lecture3_matiyasevich
byComputer Science Club
 
20131006 h10 lecture3_matiyasevich
byComputer Science Club
 
20131027 h10 lecture5_matiyasevich
byComputer Science Club
 
20131013 h10 lecture4_matiyasevich
byComputer Science Club
 
20140531 serebryany lecture01_fantastic_cpp_bugs
byComputer Science Club
 
20140531 serebryany lecture01_fantastic_cpp_bugs
byComputer Science Club
 
20140427 parallel programming_zlobin_lecture11
byComputer Science Club
 
20140310 parallel programming_kalishenko_lecture03-04
byComputer Science Club
 
20140329 graph drawing_dainiak_lecture02
byComputer Science Club
 
20140216 parallel programming_kalishenko_lecture01
byComputer Science Club
 
20140531 serebryany lecture02_find_scary_cpp_bugs
byComputer Science Club
 
20141223 kuznetsov distributed
byComputer Science Club
 
Computer Vision
byComputer Science Club
 
20140420 parallel programming_kalishenko_lecture10
byComputer Science Club
 
20140329 graph drawing_dainiak_lecture01
byComputer Science Club
 
20140413 parallel programming_kalishenko_lecture09
byComputer Science Club
 
20140511 parallel programming_kalishenko_lecture12
byComputer Science Club
 

20071202 efficientalgorithms kulikov_lecture11

  • 1.
    с/к “Эффективные алгоритмы” Лекция 11: Задача выполнимости А. Куликов Computer Science клуб при ПОМИ http://logic.pdmi.ras.ru/∼infclub/ А. Куликов (CS клуб при ПОМИ) 11. Задача выполнимости 1 / 30
  • 2.
    План лекции 1 Определение задачи А. Куликов (CS клуб при ПОМИ) 11. Задача выполнимости 2 / 30
  • 3.
    План лекции 1 Определение задачи 2 Сведения Японские кроссворды Eternity Максимальный разрез А. Куликов (CS клуб при ПОМИ) 11. Задача выполнимости 2 / 30
  • 4.
    План лекции 1 Определение задачи 2 Сведения Японские кроссворды Eternity Максимальный разрез 3 Что мы узнали за сегодня А. Куликов (CS клуб при ПОМИ) 11. Задача выполнимости 2 / 30
  • 5.
    План лекции 1 Определение задачи 2 Сведения Японские кроссворды Eternity Максимальный разрез 3 Что мы узнали за сегодня А. Куликов (CS клуб при ПОМИ) 11. Задача выполнимости 3 / 30
  • 6.
    Формула в КНФ Определение А.Куликов (CS клуб при ПОМИ) 11. Задача выполнимости 4 / 30
  • 7.
    Формула в КНФ Определение Пропозициональной или Булевой (propositional, Boolean) переменной называется переменная, принимающая значения true (1) и false (0). А. Куликов (CS клуб при ПОМИ) 11. Задача выполнимости 4 / 30
  • 8.
    Формула в КНФ Определение Пропозициональной или Булевой (propositional, Boolean) переменной называется переменная, принимающая значения true (1) и false (0). Литералом (literal) называется Булева переменная x или ее отрицание ¬x. А. Куликов (CS клуб при ПОМИ) 11. Задача выполнимости 4 / 30
  • 9.
    Формула в КНФ Определение Пропозициональной или Булевой (propositional, Boolean) переменной называется переменная, принимающая значения true (1) и false (0). Литералом (literal) называется Булева переменная x или ее отрицание ¬x. Клозом (clause) называется дизъюнкция конечного множества литералов, не содержащего одновременно переменной и ее отрицания. А. Куликов (CS клуб при ПОМИ) 11. Задача выполнимости 4 / 30
  • 10.
    Формула в КНФ Определение Пропозициональной или Булевой (propositional, Boolean) переменной называется переменная, принимающая значения true (1) и false (0). Литералом (literal) называется Булева переменная x или ее отрицание ¬x. Клозом (clause) называется дизъюнкция конечного множества литералов, не содержащего одновременно переменной и ее отрицания. k-клозом (k-clause) называется клоз, содержащий ровно k литералов. А. Куликов (CS клуб при ПОМИ) 11. Задача выполнимости 4 / 30
  • 11.
    Формула в КНФ Определение Пропозициональной или Булевой (propositional, Boolean) переменной называется переменная, принимающая значения true (1) и false (0). Литералом (literal) называется Булева переменная x или ее отрицание ¬x. Клозом (clause) называется дизъюнкция конечного множества литералов, не содержащего одновременно переменной и ее отрицания. k-клозом (k-clause) называется клоз, содержащий ровно k литералов. Формулой в конъюнктивной нормальной форме (КНФ) (formula in conjunctive normal form, CNF) называется конъюнкция конечного множества клозов. А. Куликов (CS клуб при ПОМИ) 11. Задача выполнимости 4 / 30
  • 12.
    Меры сложности формул А.Куликов (CS клуб при ПОМИ) 11. Задача выполнимости 5 / 30
  • 13.
    Меры сложности формул n(F ), N(F ) — кол-во различных переменных в F . А. Куликов (CS клуб при ПОМИ) 11. Задача выполнимости 5 / 30
  • 14.
    Меры сложности формул n(F ), N(F ) — кол-во различных переменных в F . m(F ), K (F ) — кол-во клозов в F . А. Куликов (CS клуб при ПОМИ) 11. Задача выполнимости 5 / 30
  • 15.
    Меры сложности формул n(F ), N(F ) — кол-во различных переменных в F . m(F ), K (F ) — кол-во клозов в F . l (F ), L(F ) — кол-во литералов в (длина) F . А. Куликов (CS клуб при ПОМИ) 11. Задача выполнимости 5 / 30
  • 16.
    Задача выполнимости Определение А. Куликов(CS клуб при ПОМИ) 11. Задача выполнимости 6 / 30
  • 17.
    Задача выполнимости Определение Задача пропозициональной выполнимости (Boolean satisfiability problem, SAT): определить, выполнима ли данная формула в КНФ, то есть существует ли набор Булевых значений переменным формулы, выполняющий формулу. Такой набор называют выполняющим (satisfying assignment), а формулу, для которой такой набор существует, — выполнимой (satisfiable). А. Куликов (CS клуб при ПОМИ) 11. Задача выполнимости 6 / 30
  • 18.
    Задача выполнимости Определение Задача пропозициональной выполнимости (Boolean satisfiability problem, SAT): определить, выполнима ли данная формула в КНФ, то есть существует ли набор Булевых значений переменным формулы, выполняющий формулу. Такой набор называют выполняющим (satisfying assignment), а формулу, для которой такой набор существует, — выполнимой (satisfiable). Задача максимальной выполнимости (maximum satisfiability problem, SAT): по данной формуле определить, какое максимальное количество ее клозов может быть выполнено. А. Куликов (CS клуб при ПОМИ) 11. Задача выполнимости 6 / 30
  • 19.
    Задача выполнимости Определение Задача пропозициональной выполнимости (Boolean satisfiability problem, SAT): определить, выполнима ли данная формула в КНФ, то есть существует ли набор Булевых значений переменным формулы, выполняющий формулу. Такой набор называют выполняющим (satisfying assignment), а формулу, для которой такой набор существует, — выполнимой (satisfiable). Задача максимальной выполнимости (maximum satisfiability problem, SAT): по данной формуле определить, какое максимальное количество ее клозов может быть выполнено. k-SAT, MAX-k-SAT — частные случаи соответствующих задач, когда все клозы входной формулы содержат не более k литералов. А. Куликов (CS клуб при ПОМИ) 11. Задача выполнимости 6 / 30
  • 20.
    Пример Пример А. Куликов (CSклуб при ПОМИ) 11. Задача выполнимости 7 / 30
  • 21.
    Пример Пример F1 = (x ∨ y ∨ ¬z) ∧ (¬x) ∧ (¬y ∨ z) А. Куликов (CS клуб при ПОМИ) 11. Задача выполнимости 7 / 30
  • 22.
    Пример Пример F1 = (x ∨ y ∨ ¬z) ∧ (¬x) ∧ (¬y ∨ z) n(F1 ) = 3, m(F1 ) = 3, l (F1 ) = 6 А. Куликов (CS клуб при ПОМИ) 11. Задача выполнимости 7 / 30
  • 23.
    Пример Пример F1 = (x ∨ y ∨ ¬z) ∧ (¬x) ∧ (¬y ∨ z) n(F1 ) = 3, m(F1 ) = 3, l (F1 ) = 6 F1 выполнима: x = 0, y = 1, z = 1 А. Куликов (CS клуб при ПОМИ) 11. Задача выполнимости 7 / 30
  • 24.
    Пример Пример F1 = (x ∨ y ∨ ¬z) ∧ (¬x) ∧ (¬y ∨ z) n(F1 ) = 3, m(F1 ) = 3, l (F1 ) = 6 F1 выполнима: x = 0, y = 1, z = 1 F2 = (x ∨ y ) ∧ (x ∨ ¬y ) ∧ (¬x ∨ y ) ∧ (¬x ∨ ¬y ) А. Куликов (CS клуб при ПОМИ) 11. Задача выполнимости 7 / 30
  • 25.
    Пример Пример F1 = (x ∨ y ∨ ¬z) ∧ (¬x) ∧ (¬y ∨ z) n(F1 ) = 3, m(F1 ) = 3, l (F1 ) = 6 F1 выполнима: x = 0, y = 1, z = 1 F2 = (x ∨ y ) ∧ (x ∨ ¬y ) ∧ (¬x ∨ y ) ∧ (¬x ∨ ¬y ) n(F2 ) = 2, m(F2 ) = 4, l (F1 ) = 8 А. Куликов (CS клуб при ПОМИ) 11. Задача выполнимости 7 / 30
  • 26.
    Пример Пример F1 = (x ∨ y ∨ ¬z) ∧ (¬x) ∧ (¬y ∨ z) n(F1 ) = 3, m(F1 ) = 3, l (F1 ) = 6 F1 выполнима: x = 0, y = 1, z = 1 F2 = (x ∨ y ) ∧ (x ∨ ¬y ) ∧ (¬x ∨ y ) ∧ (¬x ∨ ¬y ) n(F2 ) = 2, m(F2 ) = 4, l (F1 ) = 8 F2 невыполнима, но три клоза можно выполнить А. Куликов (CS клуб при ПОМИ) 11. Задача выполнимости 7 / 30
  • 27.
    NP-трудность А. Куликов (CSклуб при ПОМИ) 11. Задача выполнимости 8 / 30
  • 28.
    NP-трудность Первая известная NP-полная задача (Кук, 1971). А. Куликов (CS клуб при ПОМИ) 11. Задача выполнимости 8 / 30
  • 29.
    NP-трудность Первая известная NP-полная задача (Кук, 1971). 3-SAT тоже NP-полна. А. Куликов (CS клуб при ПОМИ) 11. Задача выполнимости 8 / 30
  • 30.
    NP-трудность Первая известная NP-полная задача (Кук, 1971). 3-SAT тоже NP-полна. 2-SAT может быть решена за линейное время. А. Куликов (CS клуб при ПОМИ) 11. Задача выполнимости 8 / 30
  • 31.
    NP-трудность Первая известная NP-полная задача (Кук, 1971). 3-SAT тоже NP-полна. 2-SAT может быть решена за линейное время. MAX-2-SAT NP-трудна, даже если каждая переменная встречается в формуле не более трех раз. А. Куликов (CS клуб при ПОМИ) 11. Задача выполнимости 8 / 30
  • 32.
    Важность задачи А. Куликов(CS клуб при ПОМИ) 11. Задача выполнимости 9 / 30
  • 33.
    Важность задачи http://www.satisfiability.org/ — The International Conferences on Theory and Applications of Satisfiability Testing. А. Куликов (CS клуб при ПОМИ) 11. Задача выполнимости 9 / 30
  • 34.
    Важность задачи http://www.satisfiability.org/ — The International Conferences on Theory and Applications of Satisfiability Testing. http://www.satcompetition.org/ — The international SAT Competitions web page. А. Куликов (CS клуб при ПОМИ) 11. Задача выполнимости 9 / 30
  • 35.
    Важность задачи http://www.satisfiability.org/ — The International Conferences on Theory and Applications of Satisfiability Testing. http://www.satcompetition.org/ — The international SAT Competitions web page. http://www.isa.ewi.tudelft.nl/Jsat/ — Journal on Satisfiability, Boolean Modeling and Computation. А. Куликов (CS клуб при ПОМИ) 11. Задача выполнимости 9 / 30
  • 36.
    Важность задачи http://www.satisfiability.org/ — The International Conferences on Theory and Applications of Satisfiability Testing. http://www.satcompetition.org/ — The international SAT Competitions web page. http://www.isa.ewi.tudelft.nl/Jsat/ — Journal on Satisfiability, Boolean Modeling and Computation. http://www.satlib.org/ — The Satisfiability Library. А. Куликов (CS клуб при ПОМИ) 11. Задача выполнимости 9 / 30
  • 37.
    Важность задачи http://www.satisfiability.org/ — The International Conferences on Theory and Applications of Satisfiability Testing. http://www.satcompetition.org/ — The international SAT Competitions web page. http://www.isa.ewi.tudelft.nl/Jsat/ — Journal on Satisfiability, Boolean Modeling and Computation. http://www.satlib.org/ — The Satisfiability Library. http://www.satlive.org/ — Up-to-date links for the Satisfiability Problem. А. Куликов (CS клуб при ПОМИ) 11. Задача выполнимости 9 / 30
  • 38.
    Важность задачи http://www.satisfiability.org/ — The International Conferences on Theory and Applications of Satisfiability Testing. http://www.satcompetition.org/ — The international SAT Competitions web page. http://www.isa.ewi.tudelft.nl/Jsat/ — Journal on Satisfiability, Boolean Modeling and Computation. http://www.satlib.org/ — The Satisfiability Library. http://www.satlive.org/ — Up-to-date links for the Satisfiability Problem. http://www.qbflib.org/ — The Quantified Boolean Formulas Satisfiability Library. А. Куликов (CS клуб при ПОМИ) 11. Задача выполнимости 9 / 30
  • 39.
    План лекции 1 Определение задачи 2 Сведения Японские кроссворды Eternity Максимальный разрез 3 Что мы узнали за сегодня А. Куликов (CS клуб при ПОМИ) 11. Задача выполнимости 10 / 30
  • 40.
    Сведения А. Куликов (CSклуб при ПОМИ) 11. Задача выполнимости 11 / 30
  • 41.
    Сведения Многие известные задачи из NP очень просто сводятся к SAT или MAX-SAT. А. Куликов (CS клуб при ПОМИ) 11. Задача выполнимости 11 / 30
  • 42.
    Сведения Многие известные задачи из NP очень просто сводятся к SAT или MAX-SAT. Сведя задачу к SAT, на практике можно воспользоваться SAT-солвером. А. Куликов (CS клуб при ПОМИ) 11. Задача выполнимости 11 / 30
  • 43.
    Сведения Многие известные задачи из NP очень просто сводятся к SAT или MAX-SAT. Сведя задачу к SAT, на практике можно воспользоваться SAT-солвером. Такой подход иногда помогает, иногда — нет. А. Куликов (CS клуб при ПОМИ) 11. Задача выполнимости 11 / 30
  • 44.
    План лекции 1 Определение задачи 2 Сведения Японские кроссворды Eternity Максимальный разрез 3 Что мы узнали за сегодня А. Куликов (CS клуб при ПОМИ) 11. Задача выполнимости 12 / 30
  • 45.
    Японские кроссворды Определение Решение японскогокроссворда (japanese puzzle) заключается в восстановлении картинки по длинам блоков подряд идущих закрашенных клеток в строках и столбцах. А. Куликов (CS клуб при ПОМИ) 11. Задача выполнимости 13 / 30
  • 46.
    Сведение к SAT А.Куликов (CS клуб при ПОМИ) 11. Задача выполнимости 14 / 30
  • 47.
    Сведение к SAT дано поле n × m А. Куликов (CS клуб при ПОМИ) 11. Задача выполнимости 14 / 30
  • 48.
    Сведение к SAT дано поле n × m достаточно научиться кодировать тот факт, что в i-й строке закрашены блоки длины a1 , . . . , at А. Куликов (CS клуб при ПОМИ) 11. Задача выполнимости 14 / 30
  • 49.
    Сведение к SAT дано поле n × m достаточно научиться кодировать тот факт, что в i-й строке закрашены блоки длины a1 , . . . , at введем такие переменные: А. Куликов (CS клуб при ПОМИ) 11. Задача выполнимости 14 / 30
  • 50.
    Сведение к SAT дано поле n × m достаточно научиться кодировать тот факт, что в i-й строке закрашены блоки длины a1 , . . . , at введем такие переменные: xij — клетка (i, j) закрашена А. Куликов (CS клуб при ПОМИ) 11. Задача выполнимости 14 / 30
  • 51.
    Сведение к SAT дано поле n × m достаточно научиться кодировать тот факт, что в i-й строке закрашены блоки длины a1 , . . . , at введем такие переменные: xij — клетка (i, j) закрашена yijp — p-й блок строки i начинается в клетке j А. Куликов (CS клуб при ПОМИ) 11. Задача выполнимости 14 / 30
  • 52.
    Сведение к SAT(продолжение) итак, дана строка i с блоками a1 , . . . , at А. Куликов (CS клуб при ПОМИ) 11. Задача выполнимости 15 / 30
  • 53.
    Сведение к SAT(продолжение) итак, дана строка i с блоками a1 , . . . , at p-й блок начинается ровно в одной клетке: (yi1p ∨ yi2p ∨ · · · ∨ yimp ) ∧ {(¬yijp ∨ ¬yikp )}j̸=k А. Куликов (CS клуб при ПОМИ) 11. Задача выполнимости 15 / 30
  • 54.
    Сведение к SAT(продолжение) итак, дана строка i с блоками a1 , . . . , at p-й блок начинается ровно в одной клетке: (yi1p ∨ yi2p ∨ · · · ∨ yimp ) ∧ {(¬yijp ∨ ¬yikp )}j̸=k (p + 1)-й блок начинается позже конца p-го: {(¬yij(p+1) ∨ ¬yi(j+k)p )}k≥0 А. Куликов (CS клуб при ПОМИ) 11. Задача выполнимости 15 / 30
  • 55.
    Сведение к SAT(продолжение) итак, дана строка i с блоками a1 , . . . , at p-й блок начинается ровно в одной клетке: (yi1p ∨ yi2p ∨ · · · ∨ yimp ) ∧ {(¬yijp ∨ ¬yikp )}j̸=k (p + 1)-й блок начинается позже конца p-го: {(¬yij(p+1) ∨ ¬yi(j+k)p )}k≥0 если p-й блок начинается в клетке j, то соответствующие ap клеток закрашены: {(¬yijp ∨ xi(j+k) )}0≤k<ap А. Куликов (CS клуб при ПОМИ) 11. Задача выполнимости 15 / 30
  • 56.
    Сведение к SAT(продолжение) итак, дана строка i с блоками a1 , . . . , at p-й блок начинается ровно в одной клетке: (yi1p ∨ yi2p ∨ · · · ∨ yimp ) ∧ {(¬yijp ∨ ¬yikp )}j̸=k (p + 1)-й блок начинается позже конца p-го: {(¬yij(p+1) ∨ ¬yi(j+k)p )}k≥0 если p-й блок начинается в клетке j, то соответствующие ap клеток закрашены: {(¬yijp ∨ xi(j+k) )}0≤k<ap если клетка не принадлежит ни одному из блоков, то она не закрашена: (yi(j−a1 +1)1 ∨ · · · ∨ yij1 ∨ · · · ∨ yi(j−at +1)p ∨ · · · ∨ yijt ∨ ¬xij ) А. Куликов (CS клуб при ПОМИ) 11. Задача выполнимости 15 / 30
  • 57.
    Замечание А. Куликов (CSклуб при ПОМИ) 11. Задача выполнимости 16 / 30
  • 58.
    Замечание если какой-то индекс “вылезает”, то соответствующим переменным просто присваиваем значение 0 А. Куликов (CS клуб при ПОМИ) 11. Задача выполнимости 16 / 30
  • 59.
    Замечание если какой-то индекс “вылезает”, то соответствующим переменным просто присваиваем значение 0 можно сводить более эффективно А. Куликов (CS клуб при ПОМИ) 11. Задача выполнимости 16 / 30
  • 60.
    Примеры решенных кроссвордов А.Куликов (CS клуб при ПОМИ) 11. Задача выполнимости 17 / 30
  • 61.
    План лекции 1 Определение задачи 2 Сведения Японские кроссворды Eternity Максимальный разрез 3 Что мы узнали за сегодня А. Куликов (CS клуб при ПОМИ) 11. Задача выполнимости 18 / 30
  • 62.
    Игра Eternity Определение Нужно замоститьквадрат заданным набором доминошек так, чтобы узоры на граничащих частях доминошек совпадали. А. Куликов (CS клуб при ПОМИ) 11. Задача выполнимости 19 / 30
  • 63.
    Сведение к SAT данквадрат n × n и n2 доминошек А. Куликов (CS клуб при ПОМИ) 11. Задача выполнимости 20 / 30
  • 64.
    Сведение к SAT данквадрат n × n и n2 доминошек перенумеруем все клетки и доминошки числами от 1 до n2 А. Куликов (CS клуб при ПОМИ) 11. Задача выполнимости 20 / 30
  • 65.
    Сведение к SAT данквадрат n × n и n2 доминошек перенумеруем все клетки и доминошки числами от 1 до n2 заводим два типа переменных: А. Куликов (CS клуб при ПОМИ) 11. Задача выполнимости 20 / 30
  • 66.
    Сведение к SAT данквадрат n × n и n2 доминошек перенумеруем все клетки и доминошки числами от 1 до n2 заводим два типа переменных: xij — в i-й клетке стоит j-я доминошка А. Куликов (CS клуб при ПОМИ) 11. Задача выполнимости 20 / 30
  • 67.
    Сведение к SAT данквадрат n × n и n2 доминошек перенумеруем все клетки и доминошки числами от 1 до n2 заводим два типа переменных: xij — в i-й клетке стоит j-я доминошка yjk — j-я доминошка в “положении” k, 1 ≤ k ≤ 4 (например, так: k = 1 — не повернута, k = 2 — повернута на /2 по часовой, k = 3 — на , k = 4 — на /2 против часовой) А. Куликов (CS клуб при ПОМИ) 11. Задача выполнимости 20 / 30
  • 68.
    Сведение к SAT А.Куликов (CS клуб при ПОМИ) 11. Задача выполнимости 21 / 30
  • 69.
    Сведение к SAT каждая доминошка находится ровно в одном “положении”: (yj1 ∨ yj2 ∨ yj3 ∨ yj4 ) ∧ {(¬yjp ∨ ¬yjq )}p̸=q А. Куликов (CS клуб при ПОМИ) 11. Задача выполнимости 21 / 30
  • 70.
    Сведение к SAT каждая доминошка находится ровно в одном “положении”: (yj1 ∨ yj2 ∨ yj3 ∨ yj4 ) ∧ {(¬yjp ∨ ¬yjq )}p̸=q каждая доминошка стоит хотя бы в одной клетке: {(x1j ∨ x2j ∨ · · · ∨ xn2 j )}j∈[n2 ] А. Куликов (CS клуб при ПОМИ) 11. Задача выполнимости 21 / 30
  • 71.
    Сведение к SAT каждая доминошка находится ровно в одном “положении”: (yj1 ∨ yj2 ∨ yj3 ∨ yj4 ) ∧ {(¬yjp ∨ ¬yjq )}p̸=q каждая доминошка стоит хотя бы в одной клетке: {(x1j ∨ x2j ∨ · · · ∨ xn2 j )}j∈[n2 ] в каждой клетке стоит хотя бы одна доминошка: {(xi1 ∨ xi2 ∨ · · · ∨ xin2 )}i∈[n2 ] А. Куликов (CS клуб при ПОМИ) 11. Задача выполнимости 21 / 30
  • 72.
    Сведение к SAT каждая доминошка находится ровно в одном “положении”: (yj1 ∨ yj2 ∨ yj3 ∨ yj4 ) ∧ {(¬yjp ∨ ¬yjq )}p̸=q каждая доминошка стоит хотя бы в одной клетке: {(x1j ∨ x2j ∨ · · · ∨ xn2 j )}j∈[n2 ] в каждой клетке стоит хотя бы одна доминошка: {(xi1 ∨ xi2 ∨ · · · ∨ xin2 )}i∈[n2 ] доминошка не стоит в двух клетках одновременно: {(¬xpj ∨ ¬xqj )}p̸=q А. Куликов (CS клуб при ПОМИ) 11. Задача выполнимости 21 / 30
  • 73.
    Сведение к SAT(продолжение) А. Куликов (CS клуб при ПОМИ) 11. Задача выполнимости 22 / 30
  • 74.
    Сведение к SAT(продолжение) в клетке одновременно не стоят две доминошки: {(¬xip ∨ ¬xiq )}p̸=q А. Куликов (CS клуб при ПОМИ) 11. Задача выполнимости 22 / 30
  • 75.
    Сведение к SAT(продолжение) в клетке одновременно не стоят две доминошки: {(¬xip ∨ ¬xiq )}p̸=q две доминошки должны граничить равными ребрами: {(¬xi1 j1 ∨ ¬xi2 j2 ∨ ¬yi1 k1 ∨ ¬yi2 k2 )}, если клетки i1 и i2 — соседи и при постановке туда доминошек j1 и j2 в “положениях”, соответственно, k1 и k2 нарушается узор А. Куликов (CS клуб при ПОМИ) 11. Задача выполнимости 22 / 30
  • 76.
    Не все такпросто, тем не менее А. Куликов (CS клуб при ПОМИ) 11. Задача выполнимости 23 / 30
  • 77.
    Не все такпросто, тем не менее итак, мы записали игру Eternity в виде задачи выполнимости конкретной формулы при помощи полиномиального сведения А. Куликов (CS клуб при ПОМИ) 11. Задача выполнимости 23 / 30
  • 78.
    Не все такпросто, тем не менее итак, мы записали игру Eternity в виде задачи выполнимости конкретной формулы при помощи полиномиального сведения осталось напустить на полученную формулу какой-нибудь эффективный SAT-солвер А. Куликов (CS клуб при ПОМИ) 11. Задача выполнимости 23 / 30
  • 79.
    Не все такпросто, тем не менее итак, мы записали игру Eternity в виде задачи выполнимости конкретной формулы при помощи полиномиального сведения осталось напустить на полученную формулу какой-нибудь эффективный SAT-солвер но в чем же тогда подвох? А. Куликов (CS клуб при ПОМИ) 11. Задача выполнимости 23 / 30
  • 80.
    Не все такпросто, тем не менее итак, мы записали игру Eternity в виде задачи выполнимости конкретной формулы при помощи полиномиального сведения осталось напустить на полученную формулу какой-нибудь эффективный SAT-солвер но в чем же тогда подвох? давайте примерно оценим длину полученной формулы А. Куликов (CS клуб при ПОМИ) 11. Задача выполнимости 23 / 30
  • 81.
    Оценка длины (yj1 ∨ yj2 ∨ yj3 ∨ yj4 ) ∧ {(¬yjp ∨ ¬yjq )}p̸=q (4 + 2 · 6)n2 А. Куликов (CS клуб при ПОМИ) 11. Задача выполнимости 24 / 30
  • 82.
    Оценка длины (yj1 ∨ yj2 ∨ yj3 ∨ yj4 ) ∧ {(¬yjp ∨ ¬yjq )}p̸=q (4 + 2 · 6)n2 {(x1j ∨ x2j ∨ · · · ∨ xn2 j )}j∈[n2 ] n2 · n2 А. Куликов (CS клуб при ПОМИ) 11. Задача выполнимости 24 / 30
  • 83.
    Оценка длины (yj1 ∨ yj2 ∨ yj3 ∨ yj4 ) ∧ {(¬yjp ∨ ¬yjq )}p̸=q (4 + 2 · 6)n2 {(x1j ∨ x2j ∨ · · · ∨ xn2 j )}j∈[n2 ] n2 · n2 {(xi1 ∨ xi2 ∨ · · · ∨ xin2 )}i∈[n2 ] n2 · n2 А. Куликов (CS клуб при ПОМИ) 11. Задача выполнимости 24 / 30
  • 84.
    Оценка длины (yj1 ∨ yj2 ∨ yj3 ∨ yj4 ) ∧ {(¬yjp ∨ ¬yjq )}p̸=q (4 + 2 · 6)n2 {(x1j ∨ x2j ∨ · · · ∨ xn2 j )}j∈[n2 ] n2 · n2 {(xi1 ∨ xi2 ∨ · · · ∨ xin2 )}i∈[n2 ] n2 · n2 n2 · n (︀ )︀ {(¬xpj ∨ ¬xqj )}p̸=q 2 А. Куликов (CS клуб при ПОМИ) 11. Задача выполнимости 24 / 30
  • 85.
    Оценка длины (yj1 ∨ yj2 ∨ yj3 ∨ yj4 ) ∧ {(¬yjp ∨ ¬yjq )}p̸=q (4 + 2 · 6)n2 {(x1j ∨ x2j ∨ · · · ∨ xn2 j )}j∈[n2 ] n2 · n2 {(xi1 ∨ xi2 ∨ · · · ∨ xin2 )}i∈[n2 ] n2 · n2 n2 · n (︀ )︀ {(¬xpj ∨ ¬xqj )}p̸=q (︀2)︀ 2· n {(¬xip ∨ ¬xiq )}p̸=q n 2 А. Куликов (CS клуб при ПОМИ) 11. Задача выполнимости 24 / 30
  • 86.
    Оценка длины (yj1 ∨ yj2 ∨ yj3 ∨ yj4 ) ∧ {(¬yjp ∨ ¬yjq )}p̸=q (4 + 2 · 6)n2 {(x1j ∨ x2j ∨ · · · ∨ xn2 j )}j∈[n2 ] n2 · n2 {(xi1 ∨ xi2 ∨ · · · ∨ xin2 )}i∈[n2 ] n2 · n2 n2 · n (︀ )︀ {(¬xpj ∨ ¬xqj )}p̸=q (︀2)︀ 2· n {(¬xip ∨ ¬xiq )}p̸=q n 2 {(¬xi1 j1 ∨ ¬xi2 j2 ∨ ¬yi1 k1 ∨ ¬yi2 k2 )} ∼ n2 · n2 · n2 А. Куликов (CS клуб при ПОМИ) 11. Задача выполнимости 24 / 30
  • 87.
    Оценка длины (yj1 ∨ yj2 ∨ yj3 ∨ yj4 ) ∧ {(¬yjp ∨ ¬yjq )}p̸=q (4 + 2 · 6)n2 {(x1j ∨ x2j ∨ · · · ∨ xn2 j )}j∈[n2 ] n2 · n2 {(xi1 ∨ xi2 ∨ · · · ∨ xin2 )}i∈[n2 ] n2 · n2 n2 · n (︀ )︀ {(¬xpj ∨ ¬xqj )}p̸=q (︀2)︀ 2· n {(¬xip ∨ ¬xiq )}p̸=q n 2 {(¬xi1 j1 ∨ ¬xi2 j2 ∨ ¬yi1 k1 ∨ ¬yi2 k2 )} ∼ n2 · n2 · n2 Итого, порядок длины формулы будет n6 , что при n = 16 составляеят 166 = 224 = 16 777 216. А. Куликов (CS клуб при ПОМИ) 11. Задача выполнимости 24 / 30
  • 88.
    План лекции 1 Определение задачи 2 Сведения Японские кроссворды Eternity Максимальный разрез 3 Что мы узнали за сегодня А. Куликов (CS клуб при ПОМИ) 11. Задача выполнимости 25 / 30
  • 89.
    Задача о максимальномразрезе Определение Задача о максимальном разрезе (maximum cut, MAX-CUT) заключается в нахождении такого разбиения вершин графа на две части, при котором количество ребер, концы которых принадлежат разным частям, максимально. А. Куликов (CS клуб при ПОМИ) 11. Задача выполнимости 26 / 30
  • 90.
    Задача о максимальномразрезе Определение Задача о максимальном разрезе (maximum cut, MAX-CUT) заключается в нахождении такого разбиения вершин графа на две части, при котором количество ребер, концы которых принадлежат разным частям, максимально. NP-трудность А. Куликов (CS клуб при ПОМИ) 11. Задача выполнимости 26 / 30
  • 91.
    Задача о максимальномразрезе Определение Задача о максимальном разрезе (maximum cut, MAX-CUT) заключается в нахождении такого разбиения вершин графа на две части, при котором количество ребер, концы которых принадлежат разным частям, максимально. NP-трудность Одна из знаменитых 21-й NP-полной задачи Карпа. А. Куликов (CS клуб при ПОМИ) 11. Задача выполнимости 26 / 30
  • 92.
    Задача о максимальномразрезе Определение Задача о максимальном разрезе (maximum cut, MAX-CUT) заключается в нахождении такого разбиения вершин графа на две части, при котором количество ребер, концы которых принадлежат разным частям, максимально. NP-трудность Одна из знаменитых 21-й NP-полной задачи Карпа. Остается NP-полной даже на графах степени 3. А. Куликов (CS клуб при ПОМИ) 11. Задача выполнимости 26 / 30
  • 93.
    Сведение к MAX-2-SAT А.Куликов (CS клуб при ПОМИ) 11. Задача выполнимости 27 / 30
  • 94.
    Сведение к MAX-2-SAT каждой вершине u графа G (V , E ) поставим в соответствие переменную xu (xu = 1 — вершина u принадлежит первой части) А. Куликов (CS клуб при ПОМИ) 11. Задача выполнимости 27 / 30
  • 95.
    Сведение к MAX-2-SAT каждой вершине u графа G (V , E ) поставим в соответствие переменную xu (xu = 1 — вершина u принадлежит первой части) для каждого ребра (u, v ) запишем два клоза (xu ∨ xv ), (¬xu ∨ ¬xv ) А. Куликов (CS клуб при ПОМИ) 11. Задача выполнимости 27 / 30
  • 96.
    Сведение к MAX-2-SAT каждой вершине u графа G (V , E ) поставим в соответствие переменную xu (xu = 1 — вершина u принадлежит первой части) для каждого ребра (u, v ) запишем два клоза (xu ∨ xv ), (¬xu ∨ ¬xv ) видно, что набор значений переменным u, v выполняет оба клоза, когда u и v в разных частях, и выполняет только один из них — когда в одной А. Куликов (CS клуб при ПОМИ) 11. Задача выполнимости 27 / 30
  • 97.
    Сведение к MAX-2-SAT каждой вершине u графа G (V , E ) поставим в соответствие переменную xu (xu = 1 — вершина u принадлежит первой части) для каждого ребра (u, v ) запишем два клоза (xu ∨ xv ), (¬xu ∨ ¬xv ) видно, что набор значений переменным u, v выполняет оба клоза, когда u и v в разных частях, и выполняет только один из них — когда в одной таким образом, максимальное количество одновременно выполнимых клозов полученной формулы равно |E | + |MAX-CUT(G )| А. Куликов (CS клуб при ПОМИ) 11. Задача выполнимости 27 / 30
  • 98.
    План лекции 1 Определение задачи 2 Сведения Японские кроссворды Eternity Максимальный разрез 3 Что мы узнали за сегодня А. Куликов (CS клуб при ПОМИ) 11. Задача выполнимости 28 / 30
  • 99.
    Что мы узнализа сегодня? А. Куликов (CS клуб при ПОМИ) 11. Задача выполнимости 29 / 30
  • 100.
    Что мы узнализа сегодня? Многие известные задачи из NP очень просто сводятся к SAT или MAX-SAT. А. Куликов (CS клуб при ПОМИ) 11. Задача выполнимости 29 / 30
  • 101.
    Что мы узнализа сегодня? Многие известные задачи из NP очень просто сводятся к SAT или MAX-SAT. Сведя задачу к SAT, на практике можно воспользоваться SAT-солвером. А. Куликов (CS клуб при ПОМИ) 11. Задача выполнимости 29 / 30
  • 102.
    Что мы узнализа сегодня? Многие известные задачи из NP очень просто сводятся к SAT или MAX-SAT. Сведя задачу к SAT, на практике можно воспользоваться SAT-солвером. Сведения: А. Куликов (CS клуб при ПОМИ) 11. Задача выполнимости 29 / 30
  • 103.
    Что мы узнализа сегодня? Многие известные задачи из NP очень просто сводятся к SAT или MAX-SAT. Сведя задачу к SAT, на практике можно воспользоваться SAT-солвером. Сведения: японские кроссворды, игра Eternity — к SAT А. Куликов (CS клуб при ПОМИ) 11. Задача выполнимости 29 / 30
  • 104.
    Что мы узнализа сегодня? Многие известные задачи из NP очень просто сводятся к SAT или MAX-SAT. Сведя задачу к SAT, на практике можно воспользоваться SAT-солвером. Сведения: японские кроссворды, игра Eternity — к SAT задача о максимальном разрезе — к MAX-SAT А. Куликов (CS клуб при ПОМИ) 11. Задача выполнимости 29 / 30
  • 105.
    Спасибо за внимание! А.Куликов (CS клуб при ПОМИ) 11. Задача выполнимости 30 / 30