This document contains a mathematics chapter about matrices, determinants, and linear systems. It includes examples of matrix operations and solving systems of linear equations. It also contains practice problems related to these topics with solutions.

1. MATEmática
Matrize s, dete rm inantes e sis tema s lineare s
1
Capítulo 1Matrizes
Conexões
56786666478886421234 ⋅⋅ 6 8 6 6 7 8 6 + + + + + + + + + +
7 6 6 4 8 8 =
+512213261218244142432812112870607440+ = î
Franciel foi aprovada
e emmat m t a,geografia biologia,masnão emhistória.
e á ic e
Exercícios complementares
13. A 28a linhacomeçarácom 28, na primeiracoluna. Assim, falta 16 elementosnessalinha: 28 +
m
16 = 44
14. At= –A
xy x z 10330203130−−0 000
z y 2 0 00 ===== ===== = = =
000 −−−− − = = ==
I.x= –x s 2x= 0 s x= 0
I 2 = –y s y= –2
I.
II
I –1 = –z s z= 1
.
∴ x+ y+ z= 0 – 2 + 1 = –1
15. O primeiromembrodaequaçãoé a somadoscemprimeirostermosdeumaPA cujoprimeirotermo
é iguala X e cujarazãoé iguala X.
SXXXX 1001002101505050= + ⋅= ⋅=().
100
Então:5.050 · X = 5050005050..l X X = 1001.0 ·
a.s 50
16. a)A vendeu16 automóveis tipo1 emmarço(a ).
do 13
B vendeu 20 automóv eisdo tipo1 emmarço(b ).13
a + b13 = 16 + 20 = 36
13
Portanto,A e B vender m,junta 36 automóv
a s, eisdo tipo1 emmarço.
b)ConcessionáriaA ConcessionáriaB
Mê 1: 12 + 15 = 27 M s 20 + 16 = 36
s ê 1:
Mê 2: 8 + 12 = 20 Mê 2: 16 + 10 = 26
s s
Mê 3: 16 + 24 = 40 M s 20 + 10 = 30
s ê 3:
Mê 4: 20 + 36 = 56 M s 24 + 26 = 50
s ê 4:
Portanto,a concessionáriaA ultra a sou concessionáriaB no volum devendas
p s a e (considerando-
sesoment os automóveis
e do tipo1 e do tipo2)nosmese demarçoe abril.
s
c)AB+ = + + + + + + + + 1 220816162020241516121024103626)n o
d)C=+=++ +
+ 1281620241512243612
D= C = 20162024241610102626
= +
+
29. d
(A+ B) = (A+ B) · (A+ B) s (A+ B) = A2 + AB + BA + B2
2 2
Se o produtodeA porB é comuta vo,(A· B = B · A), podemos
ti escrev r:
e
(A+ B) = A2 + AB + AB + B2 s
2
s (A+ B) = A2 + 2AB + B2
2

2. 30. a
I.xxx12 3121 3 − 3333 33
3 33 33333
3 333 33 − × × × 12 ,11,,10100 x3 0
23 1×
,,1
I Am× n · Bn × p – C m× p = 0m×
I. p
Observandoa ordemdasmatri e a únicapossibilidade
z s, é:
ABCDD233121212210× × × × ⋅−= × s×××− = 121210C
d⋅−0 0 1 2 0 −−o d m =00 1
x rm 1 0 1 0 x
1010011200xx oe r e 11
0
s 1200+ −++++++++++++++======= x s 1200+ −− +++++++======xxx
−− xx = s
s 1 + x– 2 = 0 s x= 1
2222 b⋅⋅
31. Aabbabbabababb 00=2b b 0 2 b + =2b b
aa = a = ab aab
A2 = A s
s abababbabb 0+2a a = b ds ababb 00+ = = = bb= Is
222 b bb be
bb r 222 ab )
(
Substituindoem( )temos:
I,
a = a s a – a = 0 s a(a– 1)= 0 s
2 2
s a = 0 (Nãoconvém.)ou a – 1 = 0 s a = 1
Logo: a = 1 e b = 0
32. e
A · At= I 12121001xy y z =0u⋅ 2 2 0 1 y 11 s
s ⋅
z x b oa 1 1 0 x =22 0
0
s 14221001 + + + + 10x yb= 0 u yx y z z
222 01 zz
yx ox z x y

3. 2
14 1 34 2 2 + = = xx ( )
s I
yxz2 0 + = s ()xzy2 2 2 = − s xzy 2 2 4 ⋅ = ( I
2 I)
y + z = 1( I)
2 2 II
Substituindo( )
Iem( I :
I)
34 4 3 2 2 2 2 ⋅ = = zyzys ( V
I )
Substituindo (IV) e m (III): a = (–1) + 1 = 1; a = (–1) + 2 = –1; a = 0
31 3 32 3 33
y y 2 3 1 + = s 43 1 2
2
Logo: A = − − − − 011101110
y= s y 34 =
2
4. b
Sendom , nije p ele en s
ij ij m to deM, N e P, resp ti a e t temos:
ec v m n e,
∴ x + y = 34 34 64
32 23 32 23 32 23 11 11 11 22 22 22 M N P mn p m n p + = + = + = i s N mnp
2 2
s 32 23 7 32 23 4 13 ⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅ + = 72 4 yyx() s 9 4 42 9 4 62 xyyx+ =
32 x
32 + = =
Tarefa proposta + = 4 ()()I I
2 I
Fazendo( I ( )vem:
I ) I,
–
1. c
5y– 5x= 20 s y– x= 4
M a a a a a a = ) em I I I): 11 5. e
12 21 22 31 32 p – q11 = 2 – (–3) = 5
11
p – q12 = –1 – 1 = –2
12
p – q21 = 3 – 1 = 2
21
a = 2(1 – 1) = 0 a
11 12
p – q22 = 1 – 3 = –2
22
= 2· 1+ 2= 4
Logo, a distânciaentre asmatri e p e q é 5.
z s
a = 2 · 2 + 1 = 5 a22
21
= 2(2– 2)= 0 6. c
a = 2 · 3 + 1 = 7 a32
31 O país1 exportou1,2 + 3,1 = 4,3 bilhões.
= 2· 3+ 2= 8 O país2 exportou2,1 + 2,5 = 4,6 bilhões.
Portanto: O país3 exportou0,9 + 3,2 = 4,1 bilhões.
M = ao = 8 4 5 0 7 8
n: 2 0
t O país1 importou2,1 + 0,9 = 3,0 bilhões.
O país2 importou1,2 + 3,2 = 4,4 bilhões.
O país3 importou3,1 + 2,5 = 5,6 bilhões.
2. b 7. b
A aaaa= = 0 11 12 21
− − = + + + 1 22 1 4 3 4 2 2 xxxxx
22
x+ 1 = –1 s x= –2
a = (–1) + 1 · 1 · 1 =
11 1
8. b
1 a = (–1) + 1 · 2
21 2
xa a a a = − − − + − = 22 22422482
· 1 = –2
a = (–1) + 2 · 1 · 2 =
12 1
a – 2 = 2 s a = 4 s a = –2 ou a = 2
2 2
–2 a = (–1) + 2 ·
22 2
2· 2= 4 –2a = 4 s a = –2
Logo: A = − − 12 4a = –8 s a = –2
24 –2 + a = 2 s a = 4 s a = 2 ou a = –2
2 2
Logo: a = –2
3. A a a a a a a a a a = 9. d
a a a 12 13 21 22 23
a a 11 a + a + a + … + a = (1+ 1)+ (2+ 2)+ (3+ 3)+ … + 2n =
11 22 33 nn
31 32 33 e a i ji jiji j= = 2 + 4 + 6 + … + 2n
− ≠ = + ( ) 10 , A sequ n
ê cia umaPA.
é
⋅ ()1 2 s
se, se
Então:
a = 0; a = (–1) + 2 =
11 12 1
S aan n n = +
–1; a = (–1) + 3 =
13 1
1
a = (–1) + 1 = –1; a
s S n n n = + ⋅ ()2 2 2 s S n n n n n = + ⋅ = + 2 1 2 2 ()
21 2 22
= 0; a = (–1) + 3 =
23 2
–1

4. 10. d 11. 3 1 2 2 0 3 1 3 7 2 3 2 3 1 0 7 2 3 xyzxyz− + + − = − + +1 2
−
a a 32 t = 23 = 2– 3
= –1

5. 3
x– 1 = 2 s x= 3
y+ 2 = –3 s y= –5
3z+ 1 = 7 s z= 2
Logo: xy = 3 · (–5) · 2 = –30
z
12. xpqxyr z x y−++ −− + + ++++++++ += − + − − − 13262113ppyzqr −−−−−−− zz zz
y z x + z z zz2621
z zz
x– 1 = –x + 1 s x= 1
p = –x – 3 s p = –1 – 3 s p = – 4
q= y
x+3 = –p s 1 + 3 = –p s p = – 4
2y+ 6 = –2y – 6 s y= –3 ( )
I
De ( ),
I temos:q = –3
r = z– 2
s + + + + + + 1057152722337 − −−−−
yxx x y x −+++++ + + + + + +
y y x y −− −== = = =
–y = –q s – (–3) = –q s q= −−− − −−−−−−121031522722321
− − −−−−−−
−
–3 573371xy y+= − + = ===
x
–z + 2 = –r Resolv endoo siste a,
m temos:
z+ 1 = –z – 1 s z= –1 ( I
I) x= –2 e y= 1
De ( I temos:r = –1 – 2 =
I) , w = |x · y| = | –2 · 1| = | –2 | = 2
–3
15. e
Logo: p = – 4; q = –3 e r =
A loja L1 vendeu 30 unidades do produto P1 e 15 unidades do
–3
produtoP2, logoa somadasquantidades dosprodutosdostiposP1
e P2 vendidospelaloja 1 é 45.
L
13.
23217034212x x z zy y yz 16. b
⋅− .
xy x − + + − +
z y+
+31 31
27 42
02 =+7734322101
zx y x z −−++ + + +++++ + +
y z yz + ++ PQ − = − ==== ==
=− . d = 4 23232544123664108888=
o −1 ==
2 ====− 88
88
3x– y= 7 ( )
I
2z+ 1 = 3z– 4 s z= 5
x+ 2y= 0 ( I
I)
= − − − − − − ==== ========= =
= −−− = 46142103825125()
De ( ) e
I ( I , vem:
I)
3720xy y−=+ ====
x Logo: (P– 2Q) = −−−
t 21255
ss 6214207142xyx x
y x−
= + = (I =
)= 17. b
3A = B + C
Substituindo em ( )
I, 361243xy w w y w ww == = =++ ++++++s
z x x z w =− = =
w
ww +
temos:
3 · 2 – y= 7 s y= –1 s 333346123xyzwx y wwww + + + − + ++++++
x z ww
w=+
w
Então:
A=to y 37117401106
ã =
:
3x= x+ 4 s 2x= 4 s x= 2
Logo, o traçodamatri A
z 3y= 2 + y+ 6 s 2y= 8 s y= 4
é: 3 + 4 + 6 = 13 3w = 2w + 3 s w = 3
14. BAA=− ⋅t32 s
3z= z+ 3 – 1 s 2z= 2 s z= 1
∴ x+ y+ z+ w = 2 + 4 + 1 + 3 = 10
s yx y y x y−+
x x y x
18. b
+ + 4 6 110571527223
+ =3m
A3 × 4_ Bp × q= C3 × 5; logo: p = 4 e q = 5
37 = −−−−============ = =
−−−−
−−−1106412323216214
− 19.
0⋅−9
3012432
121
23s
syxxy y x y−+
x y x 102321512310502100−0 0 .
00
0 g :
o p = = + − − + + 1154136031203+ +
+ 14 322
2 23 1
121 10571527223
371122
4=
− + + +++++ −=== =
+= ==
= −−−−============ = =
−−−−
−−110641232329332
6920323323017
292552
33172s

6. 20. c
ABA⋅= − ====⋅⋅
== BA = − ====⋅=
=010000010100sBBO ≠
BABA⋅=AA 0 B 0 0 B 0000101000000s== O
0⋅−A A 0 =AA 0
B0 0⋅
=⋅−
A2010001000000= −=== == = 1 1 = =1 0
0 0 0 1
BBO 22000100010001= ⋅⋅ 0 1 0
0 0 =======≠ s
ABA+ = − ==== =+++ + += −=== =
= ++ = =+010000010101sBBO ≠
21. e
A4 × 7 · B7 × 9 = C 4 × 9 (quatrolinhase novecolunas)
c63 é o ele e to
m n dalinha6 e coluna3, logoc63 não existe.
22. b
ABAmnABABAn1212112× × × ⋅ ⋅⋅× × ()[()ln
] i ×Amn1221 se
2121211121 1⋅⋅ 1 1 1
1 2 2 ⋅−1 1 = − ==== s
− 11 2 2 bb
s 221211121 b⋅−1 1 =
bb−bb 2 1 − ==== s
b
s 4222111211121bbbb−−−− 2 − − 2 s
1= 1()
1 1
s 4b11 – 2b21 = 2 s 2b11 – b21 = 1 s
s b21 = –1 + 2b11
23. a
(A· B) · C = ()ABnD342 × × ⋅× · C m×
32 2
n= 4
Então:D3 × 2 · C m× 2
Logo: m= 2
∴ m= 2 e n = 4
24. c

7. PQRSxy ⋅=
z ⋅⋅ Q S y Q S y Rx⋅ s1111111111111t
R x ⋅⋅ R x =QS z
y s
sxxyy z t+++1t = + + +
t z 1 1121211
I.x+ 1 = 2 s x= 1
I z+ 1 = 2 s z= 1
I.
I I + 1 = t+ 1 s 1 · y+ 1 = t+ 1 s y= t
I xy
.
IV.y+ 1 = z+ ts y+ 1 = 1 + ts y= t
25. b
I.(V)A3 × 2 · B2 × 1 = C 3 × 1
I (F)A5 × 4 · B5 × 2 (Nãoexist o produto.)
I . e
I I A2 × 3 · B3 × 2 = C 2 × 2
I (V)
.
26. a)A2 = A · A =
1 1⋅−−A
= 123012111123012111−−1 111
111
1 · A = e ==
= 103223343002012022101211+ − + + + − + − + + + − − + + − + − − 3321+ ++++++ + +
+ + +=
= −−− 274230020
1 1⋅−−
b)A · At= 123012111101211321−−1 111
111
1 A · A e =
=
= 1490261230260140121230121++ + + − + − + + + + + − − + − + − + + + ++++++ + +=11
++
= 1482851213−−−−33 33
3 33
3 33
c)2A + 3At=
= 246024222303633963−−3 333
3 33 ++++++ + + +
333 + + + +== −− = = = 543657785
==== = = = −
27. A2 × 2 · X = B2 × 2
Paraquea igualdad sej possíve a matri X deve
e a l, z serdo tipo2 × 2.
SejaXmnpq=ig l
ud
a
Como A · X = B, temos:
= ⋅⋅
21031020 X B 1 3 0 01mnpqs 22331020mpnqpq++tm:=j p
0 1 =130
2 e s ao
o s
2122312131623mp m p+=+ = = = = psívsss
m m o e
202000nqnnq+= = = = m ss
mp
Logo: X=n + = = m
n = = m160230
q p
( ) )) x x x e e t ⋅ssen( cos ) xs o
28. a)cos()() )cos( cos( ( x x x s ns nsenaiz
r ) ( x oc
( =
)
= cos()( ( cos ) ) os 2xxxx x+ + ⋅sensensenseensensen()cos() )cos( cos( ( x x x⋅+ ⋅+)22 o =
)) ((c ( ) x ⋅ 2 2 ( ) )) x x x )s
c(
4

8. = 112sen2sen ) ( ( co ( x x⋅⋅⋅
( cos ) ) s ) x x ⋅ 1 2 =
1 s
= 1221sensen ) ) x11
( ( x= 2
2
b)A(x) A(x) A(x)
· = s 32. c
s 1221sens ens s n ) ) s ) )
en e ( ( co ( (
AB⋅= − − − − ==== =
⋅−−.
()cox x xs e
x x ns
e =ss( x s(
n ) o)
()
= y 1 1 3 211011111s
y 1 1 z
• cos(x) 1 s x= 0 ou x= 2π ( )
= I
• sen(2x) sen(x)
= s
s 2sen(x) cos(x) sen(x)
· = s
s 2sen(x) cos(x) sen(x) 0 s
· – =
AB⋅= − ⋅−+ ⋅−+ − ⋅⋅−+ − ⋅−+2111110111()() ) ) ) ) −
s sen(x) [2cos(x) 1] = 0
· –
i) sen(x) 0 s x= 0 ou x= π ou x= 2π ( I
= I) s ( ( (((
ii)2cos(x – 1 = 0 s
)
s cos(x) 12 s
=
− ⋅⋅ ⋅ 1 1 11)s
s x= π3 ou x= 53π (III)
S = ( ) [( I ( I ) {0; 2π}
I% I ) I I=
5 ] 0 1
29. b
AB⋅= − ====⋅−B
s AB⋅= − − + − ++++++211011s
== . ) )= + + +
++++3014211060302410– 1 = 06361
= =
BA⋅= − ====⋅−A + 3 1 + − − +
== + 0 = s AB⋅=B 1 00
) 11
+++211030146104300000
−− 0 ====== = 7430
0 ==
33. b
ABBA− ==== = −−−=== = 63617430=
== == − 1791 XABXC− = + + 23 s
s 3(X– A)= 2(B + X)+ 6C s 3X – 3A = 2B + 2X + 6C
y⋅⋅
s
s X = 3A + 2B + 6C s
30. 1123411xy−yy 0 .
yy
y 3 = − ======s
0 sX= −======+++++++++ −++++++63932420246126 s
−
sX= − + + − + + − + + ++++++62243469212306s
s 3413811+− +++++++= −====== x s
() y sX== 3 +
A281233
s 3441421238139+ − = = = + = − = − = − xxxyyy
34. c A=3 +2
A 8 2081512B=66 =
C 32Xxy=1
C “
33ss3
ssss 01
A · B = Xs
8⋅
⋅
31. b
s 208151232 21
05 0 1 1 85xy
8 5 =011
2 s
22⋅⋅
2130112−2 2
22 . 3 1 2 = +. 31 z xs
0 4 1 0 xy y z
4
⋅
20382153122 + ⋅⋅+ ⋅⋅ ⋅ 3 2 =⋅ 32xy
8 1 81 s5
s 232xyz z x − +++++++= +++++++s
y y z++
s 76692x =0 5xy
1y 8 1
5 12
s 232xyz y x
y z z++= − + = + +++++
35. d
x= –y
–2y + y+ 3z= 2y
3z= 3ys z= y
xy z x++=
y z − ++ − = − + − = − yyy y 1111
y y

9. AA⋅= − − ==== =
⋅−
=
−A > == + t10101210011210++ +
− + − + + +++++ −− === = 10020020142225
+= ==
(A· At–3I)· X = B
2225300312−−2 2 −2 222
2 2 2222
22 2222
2 ⋅⋅ 3 ) · =3xy· X
I I
s
s −−
−−− − − − − ⋅⋅ I y = I
x · xy· 122212xy
s −−− + + + + + + + = = = = = = = xy y22212s
x
s −− = − += = = = xy y21222+
x s –3x = 3 s x= –1
e y= 0
Logo: x+ y= –1 + 0 = –1
5

10. 36. −n
Annnn= − − − − − − − − =111111111111  ()( (
)) Bpppp
nnnn 123123123123
=n 11122223333 1332Û
11 313
()((
)) Û 11  3
1  3
a)Paran par:
2110010xx > 2 – x – x> 0 s x + x– 2 < 0
xs 2 2
S = –1 + 1 – 1 + 1 – 1 … + 1 = 0
Paran ímpar:
S = –1 + 1 – 1 + 1 … – 1 = –1 1– 2
b)An × n · Bn × p = C n × p S = ]–2; 1[
c42 = a · b12 + a · b22 + … + a · bn2 s
41 42 4n 16. Aplicando o teoremade Laplacena quinta
coluna,temos:
s c42 = 1 · 21 + 1 · 22 + 1 · 23 + … 1 · 2n s
2132111023403210252321110234032 ⋅−⋅−= ⋅−+
s cnn42232222= + + +
+ +SomadosprimeirostermosdaPGs 55
s caqqn42111= −−() s
s 409421212.()=−− n s ()11025
s – 4.094 = 2 – 2n + 1 s Aplicando o teore a de Laplac na segunda
m e
coluna,temos:
s 2n + 1 = 4.096 s
221123432125 ⋅⋅−⋅−= + ()
s 2n + 1 = 212 s n = 11 linhas
12
Capítulo 2Determinantes
Conexões
A área podeserobtidapor:
A
= – 4 · (15– 4 + 24 + 9 – 4 – 40)= – 4 · 0 = 0
A = AABC + ACDA s
29. a
s A = DD1222+ O segundo deter minan e a combinaçãolinear
t é
D1 = 011201131−− e D2 131111011− do primeiro (L = –L 1 + L2). Portan
2 to, os
determinan e sãoiguais.
t s
∴ A = 9262+ = 7,5 u.a.
30. Trata- edeumdeterminante Vandermonde.
s de
Suaresoluçãoé dadapor:
(3– 2)· (– 4 – 2)· (– 4 – 3)= 1 · (– 6)· (–7) = 42
31. Trata- edeumdeterminante Vandermonde.
s de
Então:
(k – k)· (k – k)· (k – k ) · (1 – k)· (1 – k ) · (1
2 –1 –1 2 2
Exercícios complementares – k )= 0
–1
I.k – k = 0
2
13. d
k(k– 1)= 0 s k = 0 ou k = 1
I.ad– bc = 0 s ad= bc
I abdcadbc001022=+
I. I k – k = 0 s 101 kkkk−= −
I –1
. 2 s = 0 s k2 = 1 s k = ±1
I I –1 – k = 0 s 101 kkkk−= −
Ik. 2 23 s= 0 sk = 1 sk= 1
3
Substituindo I em I , concluímos que o
I
IV.1 – k = 0 s k = 1
deter minan e
t vale:
2bc + bc = 3bc V. 1 – k = 0 s k = 1 s k = ±1
2 2
VI.1 – k = 0 s 1 –101kkk=− s= 0 s k = 1
–1
14. a
De I,I I I V e VI,temos:
I I IV,
, ,
00100cos( s n ) e ( cos ) x y=
) e (s n) (x y S = {–1; 0; 1}
= cos(x) cos(y – sen(x) sen(y =
· ) · ) 6
= + = = cos()cosxyπ312
15. a

11. 32. Trata se
- de um deter minan e
t de s c = –3 ou c = 5
Vander monde.
10. a
Temos,então:
xxx1110010101010−−− = s 1 – x = 0 s x= ±1
2
(x– 2)· (x– 3 – 2)· (x– 3 – x)· (1– 2)· (1– x)·
(1– x+ 3)< 0 s
s (x– 2)· (x– 5)· (–3)· (–1) · (1– x)· (4– x)< 0 s 11. c
s (x– 2)· (x– 5)· (1– x)· (4– x)· 3 < 0 s 2x· log x · 3 – 8x· log x· 3 = 0 s
2 2 2
s (x– 2)· (x– 5)· (1– x)· (4– x)< 0 s 2x· 2 · log x– 8x· log x= 0 s
2 2
Tratase de uma inequação- roduto,
- p cuja s 2x+ 1 · log x– 23x· log x= 0 s
2 2
resoluçãoé dadapor:
s log x· ()22
2 13xx+− = 0 s
I.x– 2 = 0 s x= 2
s log x= 0 s x= 1 ou ()22
2 13xx+− = 0 s
I x– 5 = 0 s x= 5
I.
s x+ 1 – 3x= 0 s x= 12
I I – x= 0 s x= 1
I1.
11232+ =
IV.4 – x= 0 s x= 4
12. b
xxx x x − + =11311113110s
x x x+
––+ + + – – – + – + – – + + + – – – – + + – – + 1 1 224455IIIIIIIVI _ II _ III _ IV
S = {x3 ® | 1 < x< 2 ou 4 < x< 5}
s (x – 1)· x+ 3x+ x– x – 3(x– 1)– (x+ 1)= 0 s
2 3
s x – x+ 3x+ x– x – 3x+ 3 – x– 1 = 0 s
3 3
Tarefa proposta s x= 2
1. e 7
xaax011011=
x+ ax– ax = 1 s
2
s ax – (a+ 1)x+ 1 = 0
2
(a+ 1) – 4a = 0 s
2
s a2 + 2a + 1 – 4a = 0 s a – 2a + 1 = 0 s
2
s (a– 1) = 0 s a = 1
2
2. a)2 · 5 – 4 · 1 = 10 – 4 = 6
b)5 · 0 – 3(–1) = 0 – (–3) = 3
3. a)sen 20° – (–cos 20°)=
2 2
= sen 20° + cos 20° = 1
2 2
b)sen75° · cos75° + sen75° · cos75° =
= 2sen75° · cos75° = sen(2· 75°) =
= sen150° = 12
4. e
Maaaa=Ma
aa
a=
11122122s M=− − 11
22
1142
detM=−1142 = 1 · 2 – 4 · (–1) = 2 + 4 = 6
5. a
a – b + (–a2 + b2)= a – b2 – a + b2 = 0
2 2 2 2
6. d
Aaaaa=2 ° =
2 11122122s A=12 2
22
1 2345
detA=2345 = 2 · 5 – 4 · 3 s detA= 10 – 12 s
detA= –2
7. 121142101121410−− =
= 4– 4+ 0+ 4+ 0– 2= 4– 2= 2
8. 124221511122524xxxx=s
s 2 + 4x+ 20x– 8 – 10 – 2x = 24 s
2
s –2x2 + 24x– 16 – 24 = 0 s
s 2x – 24x+ 40 = 0 s
2
s x – 12x+ 20 = 0 s
2
s x= 2 ou x= 10
S = {2; 10}
9. d
111191311119ccc = 0 – 2
0 =
= 27 + c + c – 9 – c2 – 3 = 0 s
s c2 – 2c – 15 = 0 s

12. 13. (–1) · (–1) + 2 · 131123142−− + (1)· (–1) + 4 ·
4 4
123112114−−−− =
= –(– 4 + 9 – 4 + 2 + 6 – 12) + (4 + 3 + 4 – 3 – 8 – 2) 22. e
= bc – (b – 4ac)= bc s –(b2 – 4ac)= 0 s
2
= –(–3) + (–2) = 3 – 2 = 1 s b2 – 4ac= 0 (Δ = 0)
14. xxxx x x 4444440= s x + 4x + 16x– 4x
x x x 3 2 2 Portanto, o gráfico da função tangencia o eixo
Ox.
– 4x – 4x = 0 s
2 2
23. a
ab x2222
xxx 22− = ++++++ −−++ + += −− eeee
+ ++
s x – 8x + 16x= 0 s x(x – 8x+ 16)= 0 s
3 2 2
s x= 0 ou x – 8x+ 16 = 0 s Soma= 8
2
= + + −− + = −−eeeeee 2022022424 x
xxx
A somadasraízes 0 + 8 = 8.
é
= + + − + − = −−eeee 224xxxx
2222
15. 11213130xx= x + 6 – 13 – 3x= x – 3x–
2 2
= = 441
7
24. b
⋅⋅ene 2232 s
3023xx=
11213130302xx s x – 3x– 7 = 3xs
x= 2 dxx= n
s x – 6x– 7 = 0 s x= 7 ou x= –1
2
ssdxx= ⋅⋅ene 2322
16. b
n
AB⋅= − ====⋅−−.
== 7 o = − ======21343122401711
u
s d = 2x· 2 · 23xs d = 24x+ 1
log d = log 24x+
2 2 1 = (4x+ 1)· log 2 =
2
= 4x+ 1
⋅
25. Aplicando o teorema de Laplace na última
coluna,temos:
det )AB= − = 40171144
( (–1) · 2100021190047502181110−
10
Observandoa quarta coluna,paraa aplicaçãode
Laplace, podemos concluir que o determinan e
t
val zero.
e
17. ax– x = 0 s x – ax= 0 s x(x– a)= 0 s x = 0
2 2
26. c
ou x= a M – k· I −
= − 30451001k=
Paraduasraíze reaise iguais,temos:a = 0
s
18. Aplicando Laplace na terceira linha, = − − 304500kk=
temos:
= − + − ++++ + ( 3045kk
+ () )
detA= 3 · (–1) · 10011011a− = 3 · (–1) ·
7
(1+ 1)s
det – k · I = 0 s –(3 + k)· (5– k)= 0 s
(M )
s (3+ k)· (5– k)= 0 s k = –3 ou k = 5
s detA= –3 · 2 = – 6
27. FazendoC 1 = C 1 – C 2; C 2 = C 2 – C 3; C 3 = C 3 – C 4,
19. p(x) 6 + 2x+ 2 = 2x+ 8
= temos:
a)P(5)= 2 · 5 + 8 = 18 kg
abbabbab a b −−− = − ⋅000000000 ()
b)30 = 2x+ 8 s 2x= 22 s x= 11 anos
20. a b a a 3
0310324330043330 xxx
xxx = s8 · 3x – 4 · 3x =
0 s 4 · 3x= 0 s 3x= 0
∅
28. Por setratar determinante umamatriz
do de de
Vander monde,temos:
S=
(x– 2)· (3– 2)· (3– x)· (1– 2)· (1– x)· (1– 3)= 0
s
s (x– 2)· (3– x)· (1– x)= 0 s
21. 21341102411012−−− =nnnn s –2n + n2 –
s x= 2 ou x= 3 ou x= 1
n + 3n – 4n = 12 s
S = {1; 2; 3}
s n2 – 4n – 12 = 0 s n = 6 ou n = –2
8
S = {–2; 6}

13. xxx ( ⋅−⋅−−−= + 312277077000 ()
29. d
AplicandoLapl e
ac na segundacoluna,temos:
x− ) 11 s
3 · (–1) · 13014142121205141421 +
3 4 ⋅−⋅()=
ssxxxx− ) ( ⋅=3270()
( ⋅−⋅− )
= (–3) · 11 + 2 · (–66)= –165
30. AplicandoLaplace primeira
na linha,temos:
x· (–1) · xx120300216= s
2
s x=3 ou x= 2 ou x= 7 ou x= 0
Logo, o triângulo é retângulo, pois:
222 )
732 ( = )
(+
s x· 2x = 16 s
2
sx = 8 s
∴ A = 2323 =
⋅
3
s x= 2
Ou seja:
α = 2 s α2 = 22 = 4
31. Por setratardo determinante umamatriz
de
deVandermonde,temos:
34. d
(5– 7)· (x– 7)· (x– 5)= 0 s Por Vander monde:
s (–2) · (x– 7)· (x– 5)= 0 s (log 20 – log 2) · (log 200 – log 2) · (log
s (x– 7)· (x– 5)= 0 s 200 – log 20) · · (log 2.000 – log 2)( log
s x= 7 ou x= 5 2.000 – log20)(log2.000 – log200)=
=.0 ⋅⋅ . 0 0 ⋅⋅ . 0 0 ⋅logloglog20220022002
S = {5; 7}
32. b
Aaaaa=; 7=
} 11122122
0–
0 0 0
a 421= ⋅+++++ += =sen(11)s ππ
0
11 + en
⋅⋅ g o ⋅⋅
l g g o ⋅logloglog20002200020200
l g
axx 12=
x ⋅−[] − = − sen(12)sen() en(
= s ) 02...000g0 =
20
02
= (log10)· (log100)· (log10)· (log1.000)
· (log100)· (log10)=
= 1 · 2 · 1 · 3 · 2 · 1 = 12
⋅−[]
35. Por Jacobi,vem:
axx =
21 =sen(21)s (
en )
1111111+ b11111+ a1111+
c111000b0001a000c + + + × × × – 1 – 1 – 1
=
Aplicando o teore ade Lapl ena primeira
m ac
a 40= ⋅+ + = ( =sen(22)s ππ
coluna,temos:
det( ⋅−⋅= + 11000000 abcabc
22 02n = en
)= 11
Logo: Axx=−− s(
=en
10sen( s n )
) e (
36. p(x) (3– x)· (a– x)· (1– x)+ 4 · (3– x)= 0
=
101414− = =sen()s ( s n ) e 2xxx ss
en ) e ( s n( x ))=±12 s
s p(x) (3– x)· [(a– x)· (1– x)+ 4] = 0 s
=
∴ S = −−−− 1167656665676116ππππππππ;;;;;;;;;;;;;
s (3– x)= 0 s
s x= 3 (únicaraizreal) ou
(a– x)· (1– x)+ 4 = 0 s
s a – ax– x+ x + 4 = 0 s
2
s x – (a+ 1)x+ (a+ 4)= 0
2
33. b Devemos ter Δ < 0, para que não exist m
a
FazendoC 1 = C 2 – C 1, C 2 = C 2 – C 3 e C 3 = C 3 – C 4,
outrasraíze reais.Assim:
s
temos:
Δ = (a+ 1) – 4 · (a+ 4)< 0 s
2
xxx −−−−−− =3322770227700770000
x s a + 2a + 1 – 4a – 16 < 0 s
2
Aplicando Laplace na primeira coluna, s a – 2a – 15 < 0
2
temos:
5– 3

14. S = {–3 < a < 5}
9

15. Capítulo 3Complementos de Assim:M= −− === = 91111
==
|M| = – 9 + 11 = 2
determinantes M− = 112
Conexões 30. e
detA= –2 + 2 + 3 = 3
a)A = 3152e exs detA= 6 – 5 = 1
sd det(B ) = det(2A) 1detB= 23 · detAs 1detB=
–1 s
A–1 = 2153−−3 3
33
33 24 s
b)B = 5101−1 1 s detB= 5
11
11 s detB=124
B–1 = 15150555 5 1 Â = 151501
= “ 31. a
Aplicandoo teore am deBinet(P.8):
det(A· B–1 )= det(4A) det –1 )( )
P.8
· (B I
c)C = −− 2346s detC= –12 + 12 = 0 Como A é uma matri de ordem n, pode- e
z s
colocaro 4 emevid nê cia (P.4).
Não exist C –1 (a matri C não é invertív l
e z e ), n vez s
e emdet(4A),logo:
poisdetC= 0.
Exercícios complementares det(4 d t fatores nn=
) e d AA ⋅⋅⋅⋅⋅= ⋅44444 eet
4
13. e
B = k· A
Aa = ⋅4
det t = detB= det( · A)s
(B) k
s k3 · detA= 96 s k3 · 1,5 = 96 s n
, sss kkk 9615644== =
33
14. detA= det(A)
t
e
Aaaaa=A a = a=
aa aa
a== a 111221224278 det(d tBBb= =
e − 111)
Substituindoessesvalore em( )temos:
s I,
det(4414 ABabab ⋅= ⋅⋅= ⋅− )
|A| = |A t = 32 – 14 = 18
|
15. e
1 nn
det (3A· 2B)= det (3A) det(2B) 32 · detA· 22
· =
· detB=
= 9 · 2 · 4 · 3 = 216
16. d 32. c
Pabcd=1 d M · P = I s
4o
in e 2
det(2A· At)= 4k s det(2A) det t)= 4k s
· (A
1301711001de · P ⋅
⋅
s 23 · detA· detA= 4k s 8 · d · d = 4k s 2d2 = k
det (3B) 162 s 3d · detB= 162 s 3d · 2 = 162 s
=
s oM = 3 1 1 07abcd
0 7 =31 1
1 s
s 3d = 81 s 3d = 34 s d = 4
∴ 2 · 42 = k s k = 32
abacbd33771001++ · P I e ()
= e= I
s ,
I.aaaccc3137037037== + = + = = − ===== =sss
=
I bbbdd300711== + = = = I ss
I. es
Logo: k + d = 36
29. b
M · A – 2B = 0 s M · A = 2B s Logo: P= −=== = = = 30371
= ===
⋅⋅
A somados ele en sda diagonalprincipa é
m to l
abcdA 2
=B b d =bd =3412161422
c A cA 3 + 1 = 4.
Tarefa proposta
I.316421431627abab a
ab b+= + = t2 = + = 3
(+ s 1. c
SejadetA= d. Dividindo umafileiraporx(x≠ 0)
∴ a = 9 eb = –11
e multiplicandoumafileirapory(y≠ 0), temos:
det=⋅dxy dyx s dxy
s ⋅
I 324223221cdcdcdcd+= + = +=t = + = +=
I. + s
∴ c = 1 ed = –1 10

16. 2. a detB= – 6 (triangul r
a inferior)
Aaaaaa a a a a 11121314212223243132333441
a a a a a= det · B) = detA· detB= 36
(A
4224344aa24222
44124
3423comoa = 2i – j,vem:
ij 8. c
AA=− detA= 2sen (x) 2cos (x)
2 + 2 s
−−−− − − − − −
− − − − − −=10123210543276541edet s detA= 2[sen (x) 2cos (x)] 2 · 1 = 2
2 + 2 =
0012321054327654−−
t 1414 ⋅⋅ 2 d t 5e⋅=AA)
Por Jacobi,vem:
1– 1– 230532170246540– 104– 283–
detde ( 525 5 e =2d (
t
41 120246 6= + + × × 1 – 2
5–
Aplicando o teore a de Laplac na
m e
= ⋅⋅⋅= 1165detdetAAx
primeiralinha:
detA= (–1) · A13 s
x 
s detA = (–1) · (–1) ·
4 42284412660−−
−= e
P.5
= ⋅= ⋅= = 11611622 ()detde AA
detA= detA = 0
t
55 t
3. a
Aabc = = b= d 23426 det t)= 2 · detB
t a e
c t 5 s (A
9. d
Como det(A)= detA,temos:
t I.(F)Um contra x m l
e e p o:
detA= 2 detB 23460=
4. d
I .
I (V)
mbncp=⋅4111 detBmanbpc=3111
aaaaaa a nnnnn1112122231122
a a 00000 ⋅⋅  nn
 a⋅
detAa
·
I I 2121211+ ( ⋅−( = − =
I (V)
. ) )
Como detA= 2, temos:
24111= ⋅ambncp
detB= 2121+ ( ⋅−( ⋅detAs
s 11112ambncp= s
) )
manbpc11112= −
∴ detB= 31232 e B = = −
⋅−d t
s detB= 1 · detA
10. c
det 3)= det I s
(M (82)
s (detM3 = 82 · det( )s
) I
2
5. a s (detM3 = 64 · 1 s
)
PG(a;b; c; d),então: s detM=643 s
b = aq; c = aq e d = aq
2 3
s detM= 4
detMabcda aqaqaq== 23
Por P.5: detM= 0 11. d
Multiplicandoa primeiralinhapor a, a segundalinha
6. d
porb e a terceiralinhaporc, temos:
y x z=−⋅= − ss(P.4)
111= ⋅
123691212312323412x z y
abcaaabcbbabcccabcaabbcc
232323232323
ss12323442341234xy x z=− = (P.3)
z y
11
7. d
detA= – 6 (triangul r
a superior)

17. 12. b s x + 8 – 3 – 6x– 2x+ 2 = 0 s
2
[detM] = 25 s
2 s x – 8x+ 7 = 0 s x= 1 ou x= 7
2
s detM= ±5 ( )
I 23. c
detM= 3x+ 12 + 12 – 27 – 4x– 4 = –x – 7 ( I
I)
101120154364251025485−− = − − + = − + = −
De ( I ( ),
I ) I vem:
e
–x – 7 = 5 s –x = 12 s x= –12 ou
–x – 7 = –5 s –x = 2 s x= –2 Logo, o determinan e
t dainversaserá:−548
–12 + (–2) = –14 24. detA≠ 0
13. A= − ======1111detA= 2 3x– 6x ≠ 0 s x≠ 0 e x≠ 12
2
det 2)= (detA2 = 22 = 4
(A )
25. Sendoabcdtm inversa,temos:
ein
ra
14. b
10011001ce ⋅ 0 1 0 01abcd
⋅
det 2 · B2)= det 2)· det 2)s
(A (A (B
s det 2 · B2)= (detA2 · (de
(A ) tB) s
2
tm 0 1 =01 0
dr 0
s det 2 · B2)= (–1) · (–1) = 1
(A 2 2
15. b
a = 1; b = 2; x= 3 e y= 4
A== 1 b
; 1234e detA= –2 abcd1a = r 1001
0b m
0c in
det(AB) detA· detB= detA· detA s
= t 26. A = 2153−−3 3 s detA= –1 (existe –1 )
33
33 A
s det(AB) (de ) s det(AB) 4
= tA2 =
Aplicando o dispositivo prático (página 41),
16. d temos:
1 · 2 · 3 · 4 · 5 + (–1) · (1· 2 · 3 · 4 · 5 · 6)=
3152−−2 2
22
22
= 120 + (–1) · (720)=
= 120 – 720 = – 600
27. c
17. d a)(F)detB= 4
Q 3 = –2Q 2 s det(Q )= det
3 (–2Q2)s Pelodispositivoprático(página41):
s (detQ) = (–2) · (de
3 4 tQ) , dividindo ambos os
2 BA− = − ==== = = = ==1134014
= = == ≠
membros por(detQ) , temos:detQ = 16
2 b)(F)detA= 2; detB= 4
∴ detA≠ detB
18. d
sen()cos ) e ( cos ) e ( s2xxx x
(s n) (s n) e x 1011=nn()cos()
⋅=1110111
cos()xxx
2
c)(V)AB⋅=) ( )⋅⋅
V ) (V =) ( )110213041708
) V
= sen(x) [cos(x) 1 – cos(x) cos (x)]
· + – 2 =
= sen(x) [1 – cos (x)]
· 2 =
= sen(x) sen (x) sen (x)
· =
BA⋅=A( )⋅⋅
2 3
19. b
A2 = –2A ts V A (V =A( )130411021708
) V
s det 2)= det
(A (–2A )s (detA2 = (–2) · det(A)s
t ) 3 t
s (detA2 = –8 · detAs detA= –8
)
∴ AB = BA
20. d
A–1 · B · A = D s
s det –1 · B · A)= detDs
(A
s det –1 )· detB· detA= detDs
(A
⋅⋅
d)(F)det(A· B) = detA· detB= 2 · 4 ≠ 0
e) (F)
s 15detde d t
t e ABA = s
BBBA213041304115016= ⋅=34 0
01⋅⋅
3 3 4 3 01
0 1 =34
s detB= 5
21. detA≠ 3
=≠
=
6 – 12 – 4x≠ 0 s x≠ −32
22. e 12
detA= 0 s

18. mapa a a ⋅= − ⋅+ ⋅=cos()s ( s n )
m p ⋅+
28. d
⋅⋅ b d b ca⋅⋅ b d b
en ) e ( cos ) = oe
( 10cs
abcdabcd c a =bd c c a 12011201s
b
naqanaqa+ ⋅= − ⋅+ ⋅=cos()sen ) e ( co ( 01c
⋅
s aabccdacbdcd2222++ =+ + o
( s n ) s ) =o s
Temos:a = a + 2c s c = 0
29. a
I.–log x · logx– 1 – 3logx≠ 0
2
Resolv endo ambos os siste a
m s,
–2[log x] – 3logx– 1 ≠ 0
2
encontra mo s:
Δ = 9– 8= 1
m= cos(a);n = –sen (a);p = sen(a) q = cos(a)
e
I logxx
I. x≠−≠ ≠ − 12101010 ss
12 Assim,substi uindoemI,vem:
t
s ⋅
e logxxx≠−≠ ≠ − 110110 ss
1
30. AXBC –1 = B Xaaaa=−− s, cos() en ) e ( cos ) s b b b s n
im s (s n) ( co ( b b ) e
Multiplicandoà esquerdaporA–1 e à direitapor
C, temos:
A–1 · A · X · B · C –1 · C = A–1 · B · C s ()sen )
( cos )−o )
( − ss
(s
s I X · B · I A–1 · B · C
· =
s
Sendo I matri identidadede mesm ordemque
a z a
Xababb=⋅+ ⋅⋅cos()cos()sen( sen ) en( coss( s n( cos( sen( c
A, B e C.
X · B = A–1 · B · C ) (s ) ) e ) ) )
Multip licandoà direitaporB –1 , temos:
X · B · B–1 = A–1 · B · C · B –1 s
s ( a a ⋅⋅− ( cos ) e ( s n ⋅⋅+ ⋅⋅ ⋅ a
s X · I A–1 · B · C · B –1 s X = A–1 · B · C · B –1
=
os() en a b b− bbaabab cos )
) ( cos ) (s n) e ( ) a
31. d
⋅ ⋅ as
det(2A) det 2)s
= (A
s 22 · detA= (de )
tA2
Dividindo ambos os membros por detA, temos: s Xabababab=−−−−− − a
acos() en ) e ( cos c
s (s n) (o
)s
detA= 4
Observação: A informaçãosen (a)· cos (a)≠
32. 0 pode ser excluída do enunciado do
SeAaaaaB=−− . A
2 = =cos()sen ) e ( co ( e
( s n ) s ) ccos )
(s
proble a, mas, nesse caso, a resolução
m
en() en )
s ( cos ) b b−c( temos:
( b b − o)
s ,
implicariaumadiscussãomuitolonga.
A · X= B
33. d
Multip licando à esquerda por A–1 (que existe, A · A–1 = I s A · B = I s
2 2
isso⋅
uã⋅
poisdetA≠ 0), temos:
A–1 · A · X = A–1 · B s I X = A–1 · B s X = A–1 · B (I)
·
130143101001pq dcs m 3 1 3 0 3
0 4 =31 1
4sss
Calcul mo A–1 :
e s
s
Amnpq =mq1 e A · A–1 = I
− nl
pe
cos() en ) e ( cos ) a a n q− I ⋅⋅
113041001+0 qiss m pqq
1 dcs u
p u =o it
I.qq414= = s
s (s n) (a a m p − · I · = =I
I 1301340+ = + = pqp ss413112pp=− = − s
I.
∴ s qp− = − − ======= + = 12412112415
= 1001 s
s
mapanaqa ⋅+
m ⋅⋅+ ⋅−⋅cos()sen( cos( s n ) enn( c
) ) e (s ) 34. a)(A+ B) · (A– B)= A2 – AB + BA – B2
b)O produtoAB deveserigualao produto
BA.
( a a aqa+⋅−⋅+
os()s ( cos ) p n
en ) ⋅⋅ s()s =
e c)detde ( d t ) e2AAAA− = − ⋅=(1
t) e 1d t
d)detdetBA=1
= ( s 1001
)en
Para que a igualdad se verifique, é preciso
e 35. b
que: log [det
3 (2A )]= log (detA )s
–1 27 –1
s log [25 · det(2A )]= log 3 [det –1 · A–1 )]s
3 –1 3 (2

19. s
loglogde 33132113132
t( ⋅⋅ 2 1 1 ⋅⋅ 2 1 1
1 3 = 1 3 −
det)AAs
s logdetlogdet 321321AA 22 ⋅⋅ 2 3 1s
3313 33
11
= 1 2
s 32132 detdetAA=d s
13 etÛ
s 212155detdetAA= s
3
s 220 · detA= det A s 220 = det A s
3 2
s detA= 1.024 = 210
36. a)AB = BA s AB · B–1 = BA · B–1 s A · I B =
· A · B–1 s
s A = B · A · B–1 s B–1 · A = B–1 · B · A · B–1 s
s B–1 · A = I A · B–1 s B–1 · A = A · B–1
·
∴ A · B–1 = B–1 · A (c.q.d.)
13

20. b)A2 + 2AB – B = 0 s B = A2 + 2AB s B = A(A+ 2B)s
s det(B) det[A(A+ 2B)]s
=
s det(B) det(A) det(A+ 2B)
= ·
Do enunciado,sabemosqueB é inversíve Logo, det
l. (B) 0.
≠
Assim:det ) det(A+ 2B)≠ 0 s det ) 0 e det + 2B)≠ 0
(A · (A ≠ (A
Então,sedet ) 0, A é inversíve
(A ≠ l.
(c.q.d.)
Capítulo 4 sistemas lineares
Conexões
1.
– 5 05 – 2 1 2 y x r t s
2. S1(r;s):yxyx= + = − 52
S2(r;t):yxyx= + = − 52
S3(t;s):yxyx= − = − 22
3. S1(r;s):yxyx= + = − 52s
s x+ 5 = –2x s 3x= –5 s x= − 53
∴ S= − 53 10 3 ; (Asretassãoconcorren e )
t s.
S2(r;t):yxyx= + = − 52 s
s x+ 5 = x– 2 s 0x= –7 (F)
∴ S = ∅ (Asretassãopara e a distinta )
l l s s.
S3(t;s):yxyx= − = − 22s
s x– 2 = –2x s 3x= 2 s x= 23
∴ S = 23 43 ; − (Asretassãoconcorren e )
t s.
Exercícios complementares
13. D a a a a a = − = − − cos()sen()sen()cos()cos()s2 en() aD s = −1
2
⋅
D a a a a x= − − = = − sen(2)sen()cos(2)cos()sen(2)cos()sen()cos()aaaa + ⋅ 2s
s Dx= –sen (a)
D a a a a a y= − = − cos()sen(2)sen()cos(2)cos(2)cos()sen2sen()⋅ − ⋅ aaa
Dy= – cos(a)
xDD a a x= = − − = sen()sen()1
yDD a a y= = − − = cos()cos()1

21. ∴ S = {(sen(a);cos(a))}
14. a)SPD (sistemaescalonadodo primeirotipo)
a bbb + = = = a 5 2 12 6 s
e
Substitui eb naprimeira
s
- igualdade:
a + 6 = 5 s a = –1
∴ S = {(–1; 6)}
b)SPD (sist m escalonadodo primeirotipo)
e a
2z= 4 s z= 2
Substitui eznasegundaigualdad
s
- e:
3y+ 4 · 2 = 14 s 3y= 6 s y= 2
Substitui eye zna primeira
s
- igualdade:
x+ 2 · 2 – 2 = 0 s x= –2
∴ S = {(–2; 2; 2)}
c)SP (sist m escalonadodo segundotipo)
I e a
p é a variáv l
e livre.
n + 2p= 5 s n = 5 – 2p
Substitui eo valorden naprimeira
s
- equação.
–m + 2 · (5– 2p)+ 3p= 4 s
s –m + 10 – 4p+ 3p= 4 s
s –m – p = – 6 s
s m= 6 – p
∴ S = {(6– p; 5 – 2p; p),comp 3 ® }
15. d
Sendoy= 0, subs tuímos
ti essevalornasegundaequaçãoe obtemos = 2.
x
Substituindonaprimeiraequação,temos:
(λ + 1)· 2 + 0 = 0 s λ + 1 = 0 s λ = –1
16. d
Antes Hoje Depois
Eu y 2x a
Tu x y 2x