1. ЛЕКЦ №4. Äèôôåðåíöèàë òýãøèòãýë.
Äèôôåðåíöèàë òýãøèòãýëä õ¿ðãýäýã áîäëîãóóä.
ßíç á¿ðèéí ¿çýãäëèéã ñóäëàõàä ¿ë õàìààðàõ õóâüñàã÷ x , ò¿¿íýýñ õàìààðñàí
)
(x
y
y = ôóíêö áîëîí ò¿¿íèé óëàìæëàëóóäûã àãóóëñàí òýãøèòãýë ýëáýã
òîõèîëääîã. Y¿íèéã n-ð ýðýìáèéí äèôôåðåíöèàë òýãøèòãýë ãýýä
0
)
,
,
"
,
'
,
,
( )
(
=
n
y
y
y
y
x
F åðºíõèé õýëáýðòýé áè÷èæ áîëíî. Óã òýãøèòãýëä
îðëóóëàõàä àäèëòãàë áîëãîõ ôóíêöèéã äèôôåðåíöèàë òýãøèòãýëèéí øèéä ãýíý.
Æèøýý 56: Äóðûí )
;
( y
x öýã äýýðõè ø¿ðãýã÷èéí ºíöãèéí êîýôôèöèåíò íü x
2
áàéõ, )
0
;
0
(
O öýãèéã äàéðñàí ìóðóéí òýãøèòãýëèéã îë.
)
(x
y
y = íü áîäëîãûí íºõöëèéã õàíãàñàí ìóðóé áàéã.
=
= .
' k
tg
y .
2
' x
y =
áóþó
= .
2x
dx
dy
.
2xdx
dy = áîëíî. Ñ¿¿ë÷èéí òýíöýòãýëèéã ãèø¿¿í÷ëýí
èíòåãðàë÷èëáàë .
2 2
c
x
xdx
y +
=
= áóþó .
2
c
x
y +
=
Çóðàã 16.
)
0
;
0
(
O öýãèéã äàéðàõ òóë )
0
(
0 y
= áóþó
+
= c
2
0
0 0
=
c áîëæ .
2
x
y =
Æèøýý 57: ׺뺺ò óíàëòààð óíàæ áàéãàà áèåèéí õóðä t
g
v
= áîë çàìûí
òîìú¸îã îë. ).
8
.
9
(
g
.
' v
s = áóþó
= .
t
g
v
= .
t
g
dt
ds
.
gtdt
ds = áîëíî. Ãèø¿¿í÷ëýí
èíòåãðàë÷èëáàë .
2
2
c
gt
tdt
g
gtdt
s +
=
=
=
áóþó .
2
2
c
gt
s +
= 0
=
t ¿åä 0
=
s òóë
+
= .
2
0
0
2
c
g
0
=
c áîëæ .
2
2
gt
s =
0
)
'
,
,
( =
y
y
x
F òýãøèòãýëèéã I ýðýìáèéí äèôôåðåíöèàë òýãøèòãýë ãýíý. )
,
(
' y
x
f
y =
òýãøèòãýëèéã óëàìæëàëûíõàà õóâüä áîäîãäñîí I ýðýìáèéí äèôôåðåíöèàë
òýãøèòãýë ãýíý. Äýýðõè æèøýýí¿¿äýýñ ¿çýõýä I ýðýìáèéí äèôôåðåíöèàë
òýãøèòãýëèéí åðºíõèé øèéä )
,
( c
x
y
= õýëáýðòýé áàéíà. c äóðûí òîãòìîë òîî
òóë äèôôåðåíöèàë òýãøèòãýëèéí øèéä òºãñãºëã¿é îëîí áàéíà. (Òóõàéëáàë
Çóðàã 16). Äóðûí òîãòìîë c -èéí òîäîðõîé óòãàíä ãàðàõ øèéäèéã òóõàéí øèéä
ãýíý. Åðºíõèé øèéäýýñ òóõàéí øèéäèéã ñîíãîõûí òóëä íýìýëò íºõöºë õýðýãòýé.
Èéì íºõöºëèéã àíõíû íºõöºë ãýýä ;
0
0
y
y x
x
=
=
ãýæ áè÷íý.
Õóâüñàã÷ íü ÿëãàãäàõ äèôôåðåíöèàë òýãøèòãýë.
Òîäîðõîéëîëò: 0
)
(
)
(
)
(
)
( 2
2
1
1 =
+
dy
y
x
f
dx
y
x
f
õýëáýðèéí òýãøèòãýëèéã I
ýðýìáèéí õóâüñàã÷ íü ÿëãàãäàõ äèôôåðåíöèàë òýãøèòãýë (ÕßÄÒ) ãýíý.
2. Óã òýãøèòãýëèéã 0
)
(
)
(
)
(
)
(
1
2
2
1
=
+ dy
y
y
dx
x
f
x
f
õýëáýðò øèëæ¿¿ëýýä ãèø¿¿í÷ëýí
èíòåãðàë÷èëáàë ;
)
(
)
(
)
(
)
(
1
2
2
1
c
dy
y
y
dx
x
f
x
f
=
+
ãýæ åðºíõèé øèéä îëäîíî.
Æèøýý 58: ;
0
=
+ ydy
xdx äèôôåðåíöèàë òýãøèòãýëèéã áîä.
=
+ 0
ydy
xdx
=
+
c
ydy
xdx
=
+ c
y
x
2
2
2
2
.
2
2
c
y
x =
+
Æèøýý 59: ;
ydx
xdy = äèôôåðåíöèàë òýãøèòãýëèéã áîä.
= ydx
xdy
=
x
dx
y
dy
=
x
dx
y
dy
+
= c
x
y ln
ln
+
= c
x
y ln
ln
ln
= cx
y ln
ln .
cx
y =
Áîäëîãî 4: (Áèåèéí õºðºõ õóóëü). Áèåèéí õºðºõ õóðä íü îð÷íû òåìïåðàòóð áà
áèåèéí òåìïåðàòóðûí ÿëãàâàðòàé ïðîïîðöèîíàëü áàéíà. Òàñàëãààíû
òåìïåðàòóð C
20 áàéã. Óã òàñàëãààíä áàéãàà áèå 20 ìèíóòàä C
100 -ýýñ C
60
òåìïåðàòóðòàé áîëñîí áîë áèåèéí õºðºõ õóóëèéã îë.
T - t ìîìåíò äàõü áèåèéí òåìïåðàòóð, t - õóãàöàà ãýâýë )
(t
T
T = íü áèäíèé
îëîõ ¸ñòîé ôóíêö þì.
Óã ôóíêöèéí õóâüä )
20
( C
T
k
dt
dT
−
= òýãøèòãýë, ;
100
0
=
=
t
T áà ;
60
20
=
=
t
T íýìýëò
íºõöë¿¿ä áèåëíý. Ýíä k - ïðîïîðöèîíàëèéí êîýôôèöèåíò.
−
= )
20
( C
T
k
dt
dT
=
−
kdt
T
dT
20
=
−
dt
k
T
dT
20
+
=
− c
kt
T 20
ln
+
=
− c
e
T kt
ln
ln
20
ln
=
− kt
ce
T 20 .
20 kt
ce
T +
= ;
100
0
=
=
t
T ãýäãýýñ
+
= 0
20
100 ce .
80
=
c áîëæ ( ).
80
20
t
k
e
T +
= ;
60
20
=
=
t
T ãýäãýýñ
( )
+
=
20
80
20
60 k
e
=
−
20
1
2
k
e .
2
80
20 20
t
T
−
+
= áîëíî.
Áîäëîãî 5: (Öàöðàã èäýâõò çàäðàëûí õóóëü). Ðàäèéí çàäðàëûí õóðä íü
òóõàéí ìîìåíò äàõü ò¿¿íèé ìàññòàé ïðîïîðöèîíàëü áàéíà. Àíõ ðàäè 0
m
ìàññòàé áàéñàí áà çàäàð÷ ýõýëñýíýýñ õîéø 1590 æèëèéí (õàãàñ çàäðàëûí æèë)
äàðàà
2
0
m
ìàññòàé áîëñîí áîë çàäðàëûí õóóëèéã îë.
X - t ìîìåíò äàõü ðàäèéí ìàññ, t - õóãàöàà ãýâýë )
(t
X
X = íü áèäíèé îëîõ
¸ñòîé ôóíêö.
=
=
=
=
=
2
0
1590
0
0
m
X
m
X
kX
dt
dX
t
t
3.
= kX
dt
dX
= kdt
X
dX
=
dt
k
X
dX
;
kt
ce
X =
=
= 0
0
m
X t
= 0
0
k
ce
m ;
0
m
c =
болж ;
0
kt
e
m
X =
=
=
2
0
1590
m
X t
= k
e
m
m 1590
0
0
2
=
−
1590
1
2
k
e ;
2 1590
0
t
m
X
−
= болно.
Áîäëîãî 6: (Áàêòåðèéí ºñºõ õóóëü). Áàêòåðèéí ºñºõ õóóëü íü ò¿¿íèé òîî
õýìæýýòýé ïðîïîðöèîíàëü áàéíà. Àíõ 100 áàêòåð áàéãààä 4-í öàãèéí äàðàà
ãóðàâ äàõèí ºññºí áîë ò¿¿íèé ºñºõ õóóëèéã îë. 8 öàãèéí äàðààõü áàêòåðèéí òîîã
îë.
X - t ìîìåíò äàõü áàêòåðèéí òîî, t - õóãàöàà ãýâýë )
(t
X
X = íü îëîõ ¸ñòîé
ôóíêö.
=
=
=
=
=
300
100
4
0
t
t
X
X
kX
dt
dX
= kX
dt
dX
= kdt
X
dX
=
dt
k
X
dX
;
kt
ce
X =
=
=
100
0
t
X
= 0
100 k
ce
;
100
=
c болж ;
100 kt
e
X =
=
=
300
4
t
X
= k
e4
100
300
= 4
1
3
k
e ;
3
100 4
t
X
= болно.
;
8
=
t үед .
900
3
100
3
100 2
4
8
=
=
=
X
Áîäëîãî 7: (Óóñìàëûí êîíöåíòðàöè). Ñàâàíä 10%-èéí 100 ëèòð äàâñíû
óóñìàë áàéâ. Ìèíóò á¿ðä 30ë óñ ñàâàíä îðæ, 20ë óóñìàë ãàäàãøèëæ áàéâàë t
ìèíóòàä ñàâàíä áàéãàà äàâñíû õýìæýýã îë.
Çóðàã 17.
X - t ìîìåíò äàõü äàâñíû õýìæýý, t - õóãàöàà ãýâýë )
(t
X
X = íü îëîõ ¸ñòîé
ôóíêö.
t ìîìåíò äàõü óóñìàëûí õýìæýý
;
10
100
20
30
100 t
t
t
v +
=
−
+
= áàéíà.
t ìîìåíò äàõü äàâñíû õýìæýý
;
20
10
100
dt
t
X
+
áàéíà.
Äàâñíû ººð÷ëºëò ;
10
2
t
Xdt
dX
+
=
− áàéíà.
+
=
−
t
Xdt
dX
10
2
+
−
=
t
dt
X
dX
10
2
;
)
10
( 2
t
c
X
+
=
=
=
10
0
t
X
+
= 2
)
0
10
(
10
c
;
1000
=
c
болж ;
)
10
(
1000
2
t
X
+
=
4.
5. Áîäëîãî 8: (II ýðýìáèéí õèìèéí óðâàë).
.
5
2
3
5
2
3
спирт
Этилийн
натри
Ацетат
гидрооксид
Натрийн
эфир
цуугийн
Этилийн
OH
H
C
COONa
CH
NaOH
H
COOC
CH +
→
+
Äýýðõè õèìèéí óðâàëûí õóâüä àíõ ýòèë öóóãèéí ýôèð 0.01, íàòðèéí ãèäðîîêñèä
0.002 õýìæýýòýé áàéñàí áà 23 ìèíóòûí äàðàà ýòèë öóóãèéí ýôèðèéí 10% íü
õîðîãäñîí áîë ò¿¿íèé 15% íü õîðîãäîõ õóãàöààã îë.
Ñàíàìæ: Õî¸ð áîäèñ èæèë õýìæýýòýé õîðîãäîíî. (Èæèë õóâèàð áèø).
X - t ìîìåíò äàõü ýòèë öóóãèéí ýôèðèéí õýìæýý, t - õóãàöàà ãýâýë )
(t
X
X = íü
îëîõ ¸ñòîé ôóíêö.
t ìîìåíò äàõü óðâàëûí õóðä .
dt
dX
II ýðýìáèéí õèìèéí óðâàëûí õóâüä
).
002
.
0
)(
01
.
0
( X
X
k
dt
dX
−
−
= áàéíà.
−
−
= )
002
.
0
)(
01
.
0
( X
X
k
dt
dX
=
−
−
kdt
X
X
dX
)
002
.
0
)(
01
.
0
(
=
−
−
dt
k
X
X
dX
)
002
.
0
)(
01
.
0
(
;
01
.
0
002
.
0
ln
125 c
kt
X
X
+
=
−
−
−
=
=
0
0
t
X ;
2
.
0
ln
125
−
=
c
болж
;
2
.
0
ln
125
01
.
0
002
.
0
ln
125 −
=
−
−
− kt
X
X
буюу
.
002
.
0
)
01
.
0
(
2
.
0
ln
125 kt
X
X
=
−
−
=
=
001
.
0
23
t
X
=
−
−
k
23
001
.
0
002
.
0
)
001
.
0
01
.
0
(
2
.
0
ln
125
= ;
8
.
1
ln
23
125
k
.
8
.
1
ln
23
125
002
.
0
)
01
.
0
(
2
.
0
ln
125 t
X
X
=
−
−
;
0015
.
0
=
X үед
=
−
−
.
8
.
1
ln
23
125
0015
.
0
002
.
0
)
0015
.
0
01
.
0
(
2
.
0
ln
125 t
9
.
47
t мин.
