хэрэглээний математик

1. БИЕ ДААЛТ ЛЕКЦ №3. Îëîí õóâüñàã÷èéí ôóíêö.
Îëîí õóâüñàã÷èéí ôóíêö, ò¿¿íèé õÿçãààð, óëàìæëàë.
ßìàð íýã ¿çýãäëèéã ñóäëàõàä õî¸ð áóþó ò¿¿íýýñ äýýø õóâüñàã÷èéí ôóíêö ýëáýã
òîõèîëääîã. Æèøýýëáýë: ;
sin
2
)
,
,
( 

xy
y
x
S = -ãóðâàëæèíû òàëáàé. ;
xyz
V = -
øóëóóí ïàðàëåëîïåïèäèéí ýçýëõ¿¿í ãýõ ìýò.
Òîäîðõîéëîëò: ßìàð íýã D îëîíëîãèéí ¿ë õàìààðàõ õóâüñàõ õýìæèãäýõ¿¿í y
x,
-èéí õîñ óòãà á¿ðä Z
z  ãýñýí òîäîðõîé íýã óòãà õàðãàëçàæ áàéâàë õóâüñàõ
õýìæèãäýõ¿¿í z -èéã y
x, -ýýñ õàìààðñàí õî¸ð õóâüñàã÷èéí ôóíêö ãýýä )
,
( y
x
f
z =
ãýæ òýìäýãëýíý.
D -ã óã ôóíêöèéí òîäîðõîéëîãäîõ ìóæ ãýíý. D íü õàâòãàéí öýã¿¿äèéí ÿìàð íýã
îëîíëîãîîð ä¿ðñëýãäýíý.
Æèøýý 43: ;
4
2
2
2
y
x
z
−
−
= ôóíêöèéí òîäîðõîéëîãäîõ ìóæèéã îë.
;
2
0
4 2
2
2
2
2

+


−
− y
x
y
x (Çóðàã 10.)
Çóðàã 10.
Æèøýý 44: ;
2
arcsin xy
x
z +
= ôóíêöèéí òîäîðõîéëîãäîõ ìóæèéã îë.






−









−
0
2
2
0
1
2
1
xy
x
xy
x
(Çóðàã 11.)
Çóðàã 11.
)
,
( y
x
f
z = ôóíêöèéí ãðàôèê îãòîðãóéä ÿìàð íýã ãàäàðãóó ä¿ðñýëíý. (Çóðàã 12.)

2. Çóðàã 12.
Óã ãàäàðãóóãèéí ãðàôèêèéã ÿíç á¿ðèéí õàâòãàéíóóäààð îãòëîë õèéæ áàéãóóëíà.
Æèøýý 45: ;
2
2
y
x
z +
= ôóíêöèéí ãðàôèêèéã áàéãóóë.
• XOY õàâòãàéãààð îãòëîõ áóþó 0
=
z ¿åä 0
,
0 =
= y
x áàéíà. Ýíý íü óã
ãàäàðãóó XOY õàâòãàéòàé (0,0) öýãýýð ø¿ðãýëöýíý ãýñýí ¿ã.
• a
z = ¿åä 2
2
2
)
( a
y
x =
+ áàéíà. Ýíý íü óã ãàäàðãóóã XOY õàâòãàéòàé
ïàðàëåëü, (0,0, a ) öýãèéã äàéðñàí õàâòãàéãààð îãòëîõîä a ðàäèóñòàé
òîéðîã ¿¿ñíý.
• 0
=
x ¿åä 2
y
z = áàéíà. Ýíý íü óã ãàäàðãóóã YOZ õàâòãàéãààð îãòëîõîä
ïàðàáîë ¿¿ñíý ãýñýí ¿ã.
Çóðàã 13.
D ìóæ äýýð òîäîðõîéëîãäñîí )
,
( y
x
f
z = ôóíêö ºãºãäñºí áàéã.
D
y
y
x
x
y
x 

+

+ )
,
(
),
,
( 0
0
0
0 áàéõ õî¸ð öýã àâúÿ. )
,
(
)
,
( 0
0
0
0 y
x
f
y
y
x
x
f
z −

+

+
=
 -
èéã )
,
( y
x
f
z = ôóíêöèéí )
,
( 0
0 y
x öýã äýýðõè á¿òýí ººð÷ëºëò ãýíý.
)
,
(
)
,
( 0
0
0
0 y
x
f
y
x
x
f
zx −

+
=
 áà )
,
(
)
,
( 0
0
0
0 y
x
f
y
y
x
f
zy −

+
=
 -èéã )
,
( y
x
f
z =
ôóíêöèéí )
,
( 0
0 y
x öýã äýýðõè òóõàéí ººð÷ëºëò¿¿ä ãýíý. 0
,
0 →

→
 y
x áàéõ ¿åä
0
→
z áàéâàë )
,
( y
x
f
z = ôóíêöèéã )
,
( 0
0 y
x öýã äýýð òàñðàëòã¿é ôóíêö ãýíý.
º.õ. )
,
(
)
,
(
lim 0
0
0
0
y
x
f
y
x
f
y
y
x
x
=
→
→
áóþó )
,
(
)
,
(
lim 0
0
0
0
0
0
y
x
f
y
y
x
x
f
y
x
=

+

+
→

→

áîë )
,
( y
x
f
z =
ôóíêöèéã )
,
( 0
0 y
x öýã äýýð òàñðàëòã¿é ôóíêö ãýíý.
Îëîí õóâüñàã÷èéí ôóíêöèéí õóâüä íýã õóâüñàã÷èéí ôóíêöèéí õÿçãààðûí
÷àíàðóóä õ¿÷èíòýé.
Æèøýý 46: )
1
4
3
(
lim 2
2
1
−
+
→
→
xy
x
y
x
õÿçãààðûã áîä.
;
10
1
2
1
4
1
3
)
1
4
3
(
lim 2
2
2
1
=
−


+

=
−
+
→
→
xy
x
y
x
Æèøýý 47:
1
lim
2
2
2
2
0
0
−
+
+
→
→
y
x
y
x
y
x
õÿçãààðûã áîä.

3. ;
2
1
1
0
0
)
1
1
(
lim
)
1
1
)(
(
lim
1
1
1
1
1
1
lim
1
lim
2
2
2
2
0
0
2
2
2
2
2
2
0
0
2
2
2
2
2
2
2
2
0
0
2
2
2
2
0
0
=
+
+
+
=
=
+
+
+
=
+
+
+
+
+
=
=
+
+
+
+
+
+

−
+
+
+
=
−
+
+
→
→
→
→
→
→
→
→
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
Æèøýý 48: 2
2
2
2
0
0
lim
y
x
y
x
y
x +
−
→
→
õÿçãààðûã áîä.
;
1
0
,
0
1
0
,
0
lim 2
2
2
2
0
0

=






+
→
=
−
→
=
=
+
−
→
→ бол
x
y
бол
y
x
y
x
y
x
y
x
õÿçãààð îðøèí áàéõã¿é.
)
,
( y
x
f
z = ôóíêöýýñ y õóâüñàã÷èéã íü òîãòìîë òîî ãýæ ¿çýýä x õóâüñàã÷ààð íü
àâñàí óëàìæëàëûã óã ôóíêöýýñ x -ýýð àâñàí òóõàéí óëàìæëàë ãýýä
;
)
,
(
)
,
(
lim
)
,
(
'
)
,
(
'
0 x
y
x
f
y
x
x
f
y
x
f
x
y
x
f
z
x
z
x
x
x

−

+
=
=


=
=


→

ãýæ òýìäýãëýíý. Y¿íòýé
àäèëààð y -ýýð àâñàí òóõàéí óëàìæëàëûã áè÷âýë
;
)
,
(
)
,
(
lim
)
,
(
'
)
,
(
'
0 y
y
x
f
y
y
x
f
y
x
f
y
y
x
f
z
y
z
y
y
y

−

+
=
=


=
=


→

áàéíà.
Æèøýý 49: 1
2
2
−
+
= xy
y
x
z ôóíêöèéí òóõàéí óëàìæëàëóóäûã îë.
;
2
'
,
2
' 2
2
xy
x
z
y
xy
z y
x +
=
+
=
)
,
( y
x
f
z = ôóíêö òóõàéí óëàìæëàëóóäòàé áàéã. dx
z x
' ¿ðæâýðèéã x -ýýð àâñàí
òóõàéí äèôôåðåíöèàë ãýýä dx
z
z
d x
x '
= ãýæ òýìäýãëýíý. Y¿íòýé àäèëààð y -ýýð
àâñàí òóõàéí äèôôåðåíöèàë dy
z
z
d y
y '
= áàéíà. Òóõàéí äèôôåðåíöèàëóóäûí
íèéëáýðèéã )
,
( y
x
f
z = ôóíêöèéí á¿òýí äèôôåðåíöèàë ãýýä dy
z
dx
z
dz y
x '
' +
= ãýæ
òýìäýãëýíý.
Æèøýý 50: xy
e
z = ôóíêöèéí äèôôåðåíöèàë îë.
;
'
,
' xy
y
xy
x xe
z
ye
z =
= òóë
);
( xdy
ydx
e
dy
xe
dx
ye
dz xy
xy
xy
+
=
+
=
;
dz
z 
 áà dy
z
dx
z
dz y
x '
' +
= ãýäãýýñ
;
)
,
(
'
)
,
(
'
)
,
(
)
,
( y
y
x
f
x
y
x
f
y
x
f
y
y
x
x
f y
x 

+


+


+

+ áàéíà. Y¿íèéã ôóíêöèéí
óòãûã îéðîëöîîãîîð îëîõ òîìú¸î ãýíý.
Æèøýý 51: 01
.
3
02
.
1 óòãûã îéðëöîîãîîð îë.
.
ln
)
,
(
'
;
)
,
(
'
;
)
,
( 1
x
x
y
x
f
yx
y
x
f
x
y
x
f y
y
y
x
y
=
=

= −
.
01
.
0
,
3
,
02
.
0
,
1 =

=
=

= y
y
x
x
ãýâýë
;
06
.
1
01
.
0
1
ln
1
02
.
0
1
3
1
01
.
0
)
3
,
1
(
'
02
.
0
)
3
,
1
(
'
)
3
,
1
(
)
02
.
0
1
(
02
.
1
)
01
.
0
3
,
02
.
0
1
(
3
2
3
01
.
0
3
01
.
3
=

+


+
=
=

+

+


+
=
=
+
+ +
y
x f
f
f
f

4. Äàâõàð ôóíêöèéí óëàìæëàë.
• )
,
( v
u
F
z = ôóíêöèéí v
u, õóâüñàã÷óóä íü y
x, -ýýñ õàìààðñàí ôóíêö¿¿ä
áóþó )
,
(
),
,
( y
x
v
y
x
u 
 =
= áàéâàë óã ôóíêö íü y
x, -ýýñ õàìààðñàí äàâõàð
ôóíêö áîëíî. º.õ. );
,
(
)]
,
(
),
,
(
[
)
,
( y
x
f
y
x
y
x
F
v
u
F
z =
=
= 
 áàéíà. Òýãâýë
òóõàéí óëàìæëàëóóä ;
;
y
v
v
z
y
u
u
z
y
z
x
v
v
z
x
u
u
z
x
z





+





=







+





=


áàéíà.
• )
,
( y
x
F
z = ôóíêöèéí õóâüñàã÷óóä íü )
(
),
( t
y
t
x 
 =
= áàéâàë
);
(
)]
(
),
(
[
)
,
( t
f
t
t
F
y
x
F
z =
=
= 
 íýã õóâüñàã÷ààñ õàìààðñàí äàâõàð ôóíêö
áîëíî. Òýãâýë ;
dt
dy
y
z
dt
dx
x
z
dt
dz



+



= áàéíà.
• )
,
( y
x
F
z = ôóíêöèéí õóâüñàã÷óóä íü )
(
, x
y
x
x 
=
= áàéâàë
);
(
)]
(
,
[
)
,
( x
f
x
x
F
y
x
F
z =
=
=  íýã õóâüñàã÷ààñ õàìààðñàí äàâõàð ôóíêö
áîëíî. Òýãâýë ;
'
dt
dy
y
z
x
z
dx
dz
z 


+


=
= áàéíà.
Æèøýý 52: ;
sin
;
2
x
y
y
x
z =
+
= áîë
dx
dz
z =
' -ã îë.
;
2
1
'
,
2
'
y
z
x
z y
x =
= áà ;
cos
' x
dx
dy
y =
= òóë
;
cos
sin
2
1
2
cos
2
1
2
' x
x
x
x
y
x
dx
dz
z 
+
=

+
=
=
Äýýä ýðýìáèéí óëàìæëàë, äèôôåðåíöèàë.
)
,
( y
x
f
z = ôóíêöèéí òóõàéí óëàìæëàëóóä
y
z
x
z




, íü ìºí ë y
x, -ýýñ õàìààðñàí
õî¸ð õóâüñàã÷èéí ôóíêö¿¿ä áàéíà. Ýäãýýðýýñ äàõèí àâñàí òóõàéí
óëàìæëàëóóäûã II ýðýìáèéí òóõàéí óëàìæëàëóóä ãýýä ;
" 2
2
2 









=


=
x
z
x
x
z
z x
;
"
2










=



=
x
z
y
y
x
z
z xy
;
"
2












=



=
y
z
x
x
y
z
z yx
;
" 2
2
2












=


=
y
z
y
y
z
z y
ãýæ òýìäýãëýíý.
Æèøýý 53: 1
2
2
−
+
= xy
y
x
z ôóíêöèéí II ýðýìáèéí òóõàéí óëàìæëàëóóäûã îë.
;
2
'
,
2
' 2
2
xy
x
z
y
xy
z y
x +
=
+
= òóë
( ) ;
2
2
" 2
2
2
2 y
y
xy
x
x
z
z x
=
+


=


= ( ) ;
2
2
2
" 2
2
y
x
y
xy
y
y
x
z
z xy +
=
+


=



=
( ) ;
2
2
2
" 2
2
y
x
xy
x
x
x
y
z
z yx +
=
+


=



=
( ) ;
2
2
" 2
2
2
2 x
xy
x
y
y
z
z y
=
+


=


=

5. Òåîðåì: )
,
( y
x
f
z = ôóíêöèéí II ýðýìáèéí òóõàéí óëàìæëàëóóä )
,
( y
x
M öýã äýýð
òàñðàëòã¿é áîë ;
2
2
x
y
z
y
x
z



=



áàéíà.
Îëîí õóâüñàã÷èéí ôóíêöèéí ýêñòðåìóì.
Òîäîðõîéëîëò: )
,
( y
x
f
z = ôóíêöèéí òîäîðõîéëîãäîõ ìóæèéí )
,
( 0
0
0 y
x
M öýãèéí
îð÷íû á¿õ öýã¿¿ä äýýðõè ôóíêöèéí óòãóóä )
,
( 0
0
0 y
x
M öýã äýýðõè óòãààñ èõã¿é
(áàãàã¿é) áàéâàë )
,
( 0
0
0 y
x
M öýãèéã óã ôóíêöèéí ìàêñèìóìûí (ìèíèìóìûí) öýã
ãýíý.
Îð÷íû max, min –ûí öýã¿¿ä äýýðõè ôóíêöèéí óòãóóäûã ôóíêöèéí ýêñòðåìóì
ãýíý. Îð÷íû max, min –ûí öýã¿¿äèéã ýêñòðåìóìûí öýã¿¿ä ãýíý.
ßìàð íýã 1
D ìóæ äýýðõè ôóíêöèéí ýêñòðåìóìûã îëîõ áîäëîãî òàâèãäñàí ãýå.
D
D =
1 áîë íºõöºëò áèø ýêñòðåìóìûí áîäëîãî ãýíý. Õàðèí D
D 
1 áóþó
õàâòãàéí òîäîðõîé öýã¿¿äèéí õóâüä ôóíêöèéí ýêñòðåìóìûã îëîõ áîäëîãûã
íºõöºëò ýêñòðåìóìûí áîäëîãî ãýíý.
Òåîðåì:(Ýêñòðåìóì áàéõ çàéëøã¿é íºõöºë) )
,
( y
x
f
z =
ôóíêö íü )
,
( 0
0
0 y
x
M öýã äýýð äèôôåðåíöèàë÷ëàãääàã áºãººä )
,
( 0
0
0 y
x
M öýã íü
óã ôóíêöèéí ýêñòðåìóìûí öýã áîë 0
)
,
(
'
)
,
(
' 0
0
0
0 =
= y
x
f
y
x
f y
x () íºõöºë áèåëíý.
Ñàíàìæ. () íºõöëèéã õàíãàõ )
,
( 0
0 y
x öýã á¿ð ýêñòðåìóìûí öýã áàéõ àëáàã¿é.
Æèøýýëáýë: .
3
3
y
x
z +
= ôóíêöèéí òóõàéí óëàìæëàëóóä íü )
0
,
0
( öýã äýýð òýãòýé
òýíö¿¿ áîëîâ÷ ýêñòðåìóì áîëæ ÷àäàõã¿é. Èéìýýñ () õàíãàõ )
,
( y
x öýã¿¿äèéã
ñýæèãòýé öýã¿¿ä ãýíý. Ñýæèãòýé öýã¿¿äèéã îëîõûí òóëä



=
=
0
)
,
(
'
0
)
,
(
'
y
x
f
y
x
f
y
x
ñèñòåì
òýãøèòãýëèéã áîäíî. )
,
( 0
0
0 y
x
M íü ñýæèãòýé öýã áºãººä ýíý öýã äýýð óã ôóíêöèéí
II ýðýìáèéí òóõàéí óëàìæëàëóóä îðøèí áàéäàã ãýýä
)
,
(
"
),
,
(
"
),
,
(
" 0
0
0
0
0
0 2
2 y
x
f
C
y
x
f
B
y
x
f
A y
xy
x
=
=
= ãýæ òýìäýãëýå.
Òåîðåì:(Ýêñòðåìóì áàéõ õ¿ðýëöýýòýé íºõöºë). )
,
( 0
0
0 y
x
M ñýæèãòýé öýãèéí
õóâüä
a) 0
2

−
=
 B
AC áîë óã öýã íü ýêñòðåìóìûí öýã áîëîõ áà 0

A ¿åä
ìèíèìóì, 0

A ¿åä ìàêñèìóìûí öýã áîëíî.
b) 0
2

−
=
 B
AC áîë óã öýã íü ýêñòðåìóìûí öýã áîëæ ÷àäàõã¿é.
c) 0
2
=
−
=
 B
AC áîë íýìýëò øèíæèëãýý õèéíý.
Æèøýý 54: xy
y
x
z 3
3
3
−
+
= ôóíêöèéí ýêñòðåìóìûã îë.






=
−
=
−






=
−
=
=
−
=
0
0
0
3
3
)
,
(
'
0
3
3
)
,
(
'
2
2
2
2
x
y
y
x
x
y
y
x
f
y
x
y
x
f
y
x
)
1
,
1
(
)
0
,
0
(
1
0
M
M
ñýæèãòýé öýã¿¿ä îëäîíî. .
6
"
,
3
"
,
6
" 2
2 y
z
z
x
z y
xy
x
=
−
=
=
− )
0
,
0
(
0
M öýãèéí õóâüä 0
0
6
,
3
,
0
0
6 =

=
−
=
=

= C
B
A áà
0
9
)
3
(
0
0 2

−
=
−
−

=
 òóë ýêñòðåìóì áèø.
− )
1
,
1
(
1
M öýãèéí õóâüä 6
1
6
,
3
,
6
1
6 =

=
−
=
=

= C
B
A áà 0
27
)
3
(
6
6 2

=
−
−

=

òóë ìèíèìóì áîëíî. ;
1
min −
=
z
Æèøýý 55: xy
z = ôóíêöèéí ýêñòðåìóìûã 0
5
3
2 =
−
+ y
x íºõöºëä îë.

6. ;
3
2
5
;
3
2
5
0
5
3
2
2
x
x
z
x
y
y
x
−
=

−
=

=
−
+ áîëæ íýã õóâüñàã÷èéí ôóíêöèéí
ýêñòðåìóìûã îëîõ áîäëîãîä øèëæèíý. ;
4
5
0
3
4
5
' =

=
−
= x
x
z ñýæèãòýé öýã îëäîõ
áà 0
1
)
2
(
'
,
0
3
5
)
0
(
' 
−
=

= z
z ãýäãýýñ ;
4
5
=
x -max. ;
6
5
=
y 





6
5
,
4
5
-max.
Áîäëîãî 2: Õèìèéí óðâàëä ãóðâàí áîäèñ z
y
x ,
, õóâüòàé îðîëöîæ áàéã. Äóðûí
ìîìåíò äàõü çàäðàëûí õóðä yz
kx
v 2
= áîë çàäðàëûí õóðä õàìãèéí èõ áàéõ
áîäèñóóäûí êîíöåíòðàöûã îë. Ýíä .
const
k =
y
x
z
z
y
x −
−
=

=
+
+ 100
%
100 áà )
100
(
2
y
x
y
kx
v −
−
= õî¸ð õóâüñàã÷èéí
ôóíêöèéí ýêñòðåìóìûã îëîõ áîäëîãîä øèëæèíý.



=
−
−
=
−
−






=
−
−
=
=
−
−
=
0
)
2
100
(
0
)
2
3
200
(
0
)
2
100
(
'
0
)
2
3
200
(
'
2
2
3
2
2
2
y
x
kx
y
x
kxy
y
x
x
x
k
v
xy
y
x
xy
k
v
y
x



=
=

=
25
,
50
,
0
y
x
R
y
x
ñýæèãòýé öýã¿¿ä îëäîíî. 25
,
50 =
= y
x ñýæèãòýé öýãèéí õóâüä
0
,
0 

 A òóë %
25
%,
25
%,
50 =
=
= z
y
x áàéõàä çàäðàëûí õóðä õàìãèéí èõ
áàéíà.
Õàìãèéí áàãà êâàäðàòûí àðãà.
ßìàð íýã ¿çýãäýë äýýð òóðøèëòóóä õèéãýýä òýäãýýðèéí ¿ð ä¿íã¿¿äèéã àøèãëàí óã
¿çýãäýëèéí õóóëèéã îéðîëöîîãîîð îëîõ øààðäëàãà ýëáýã òîõèîëääîã.
Àðãóìåíòûí òîäîðõîé óòãóóäàä õàðãàëçàõ ôóíêöèéí óòãóóä ºãºãäñºí áàéõàä óã
ôóíêöèéã îéðîëöîîãîîð áàéãóóëàõ àðãóóäûí íýã íü õàìãèéí áàãà êâàäðàòûí
àðãà (ÕÁÊÀ) þì. Àðãóìåíòûí n øèðõýã óòãàíä õàðãàëçàõ ôóíêöèéí óòãóóä
äàðààõ õ¿ñíýãòýýð ºãºãäñºí áàéã.
x 1
x 2
x 3
x  n
x
y 1
y 2
y 3
y  n
y
)
,
(
,
),
,
(
),
,
(
),
,
( 3
3
2
2
1
1 n
n y
x
y
x
y
x
y
x  öýã¿¿äýä õàìãèéí îéð áàéõààð øóëóóí áàéãóóëúÿ.
(Çóðàã 14). Óã øóëóóíû òýãøèòãýëèéã b
ax
y +
= ãýå.
Çóðàã 14.
n
i
y
x i
i ,
1
)
,
( = - òóðøèëòûí óòãà.
n
i
b
ax
x i
i ,
1
)
,
( =
+ - îíîëûí óòãà.

7. b
ax
y +
= øóëóóíû k
x öýã äýýðõè óòãà (îíîëûí óòãà) áà óã öýã äýýðõè òóðøèëòûí
óòãûí ÿëãàâðûã k
x öýã äýýðõè àëäàà ãýýä )
,
1
(
;
)
( n
k
y
b
ax k
k
k =
−
+
=
 ãýæ
òýìäýãëýíý. Àëäààíóóäûí êâàäðàòóóäûí íèéëáýð õàìãèéí áàãà áàéõààð b
a, -ã
îëú¸.
Ýíý íü min
)
)
((
)
,
(
1
2
1
2
→
−
+
=
= 
 =
=
n
i
i
i
n
i
i y
b
ax
b
a
U  áóþó îëîí õóâüñàã÷èéí ôóíêöèéí
ýêñòðåìóìûí îëîõ áîäëîãîä øèëæèíý. Y¿íèé òóëä







=
+
=
+








=


=







=
=
=
=
=
n
i
i
n
i
i
n
i
i
i
n
i
i
n
i
i
y
bn
x
a
y
x
x
b
x
a
b
S
a
S
1
1
1
1
1
2
0
0
ñèñòåì òýãøèòãýëèéã áîäîæ a,b –ã îëáîë óã
óòãóóä íü )
,
( b
a
U ôóíêöèéí ìèíèìóìûí öýã áîëíî.
Áîäëîãî 3: 10000 õ¿íä íîîãäîõ äîòðûí èõ ýì÷èéí òîî, íàñ áàðàëòûí òîî
äàðààõü õ¿ñíýãòýýð ºãºãäæýý. /1999 îíû ä¿í/.
Èõ ýì÷ íàñ áàðàëò
Áóëãàí 0.75 45
Çàâõàí 0.86 44
ªâºðõàíãàé 1.02 81
Õýíòèé 1.03 45
Äîðíîãîâü 1.19 43
Áàÿíõîíãîð 1.3 92
ªìíºãîâü 1.3 43
Õîâä 1.39 73
Ãîâü Àëòàé 1.48 72
Ñýëýíãý 1.48 64
Õºâñãºë 1.53 94
Áàÿí ªëãèé 1.63 20
Äóíäãîâü 1.65 30
Òºâ 1.77 55
Äàðõàí Óóë 1.9 36
Àðõàíãàé 1.92 63
Äîðíîä 2.01 43
Óâñ 2.01 52
Îðõîí 2.59 23
Ñ¿õáààòàð 3.01 34
Ãîâü Ñ¿ìáýð 3.82 15

8. ÕÁÊÀðãààð 10000 õ¿íä íîîãäîõ èõ ýì÷èéí òîî áà íàñ áàðàëòûí òîî õî¸ðûí
õîîðîíäûí õàìààðàëûã îéðîëöîîãîîð îë.
x - 10000 õ¿íä íîîãäîõ èõ ýì÷èéí òîî.
y - íàñ áàðàëòûí òîî.
Çóðàã 15.
Ýäãýýð öýã¿¿äýä õàìãèéí îéð øóëóóíûã b
ax
y +
= ãýâýë ÕÁÊÀðãààð a,b –èéí
õóâüä



=
+
=
+
1067
21
64
.
35
77
.
1652
64
.
35
1028
.
71
b
a
b
a
ñèñòåì òýãøèòãýë áèåëíý. Óã ñèñòåì òýãøèòãýëèéã
áîäâîë .
07995
.
76
,
89
.
14 =
−
= b
a ãýæ îëäîíî. Èéìýýñ 10000 õ¿íä íîîãäîõ èõ
ýì÷èéí òîî áà íàñ áàðàëòûí òîî õî¸ðûí õîîðîíäûí îéðîëöîî õàìààðàë
;
07995
.
76
89
.
14 +
−
= x
y áîëíî. (Ñóäàëãààíû àæèë áóñ æèøýý áîäëîãî áîëîõûã
àíõààðíà óó!)
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
0.75
1.02
1.19
1.3
1.48
1.53
1.65
1.9
2.01
2.59
3.82