基礎強化数学　第15回

1. 第15回
距離、内分・外分、
点と直線の距離、円と直線、
2つの円、軌跡と領域
～公式の「使い方」に慣れればOK！～

2. 数学ⅠA・ⅡB(第５回～第２０回）
第5回 平方根、指数、指数関数、対数関数（Ⅰ、Ⅱ）
第6回 絶対値、一元不等式、展開・因数分解（Ⅰ、Ⅱ）
第7回 場合の数と確率、二項定理（Ａ、Ⅱ）
第8回 2次関数のグラフ、2次方程式と2次不等式、解と係数の関係（Ⅰ、Ⅱ）
第9回 微分係数と導関数、3次関数のグラフ、積分法（Ⅱ）
第10回 数列①（Ｂ）
第11回 数列②（Ｂ）
第12回 整式の割り算、剰余定理、因数定理（Ⅱ、Ⅰ）
第13回 三角比、三角形への応用、弧度法、加法定理、グラフ（Ⅰ、Ⅱ）
第14回 平面図形、空間図形、集合と命題（Ａ、Ⅰ）
第15回 距離、内分・外分、点と直線の距離、円と直線、2つの円、軌跡と領域（Ⅱ）
第16回 平面上のベクトル（Ｂ）
第17回 空間のベクトル（Ｂ）
第18回 ユークリッドの互除法、整数の性質の活用（Ａ）
第19回 データの分析（Ⅰ）
第20回 恒等式、等式と不等式の証明、複素数（Ⅱ）

3. 距離
2点間の距離： 𝑥座標の差 2 + 𝑦座標の差 2
内分・外分
線分𝐴𝐵を ： に内分する点：
∙𝑥𝐴+ ∙𝑥𝐵
+
,
∙𝑦𝐴+ ∙𝑦𝐵
+
点と直線の距離
𝑥 + 𝑦+ = 0
点と直線の距離：
∙ 𝑥 + ∙ 𝑦 +
2+ 2
※中点：
𝑥𝐴+𝑥𝐵
2
,
𝑦𝐴+𝑦𝐵
2 ※𝑚: 𝑛に外分＝𝑚: −𝑛に内分

4. 円と直線
①中心(𝑎, 𝑏)、半径𝑟
→円の方程式： 𝑥 − 𝑎 2 + 𝑦 − 𝑏 2 = 𝑟2
② 𝑥2 + 𝑦2 = 𝑟2上の( , )における接線： 𝑥 + 𝑦 = 𝑟2
２つの円
𝑟 + 𝑟′ < 𝑑
半径の和 中心間の距離
𝑟 + 𝑟′ = 𝑑
①離れている ②外接する ③内接する
𝑟 − 𝑟′ = 𝑑
⑤２点で交わる
半径の差
④もう一方の内部
𝑟 − 𝑟′ > 𝑑 𝑟 − 𝑟′ < 𝑑 < 𝑟 + 𝑟′

5. 軌跡と領域
点の動いた跡
「点𝑃の軌跡は？」
①点𝑃の座標を(𝑥, 𝑦)とする
②条件を𝑥, 𝑦を用いた式にして、変形
③「求める軌跡は、 である」
直線𝑦 = ⋯ ⋯
放物線𝑦 = ⋯ ⋯
中心(⋯ , ⋯ )、半径⋯の円
●軌跡
𝑒𝑥 2点𝐴 −2,0 , 𝐵 4,0 からの距離の比が2: 1である点P
の軌跡を求めよ。
①点𝑃の座標を 𝑥, 𝑦 とする。
②条件より 𝐴𝑃: 𝐵𝑃 = 2: 1
𝑥 + 2 2 + 𝑦2 = 2 𝑥 − 4 2 + 𝑦2
𝑥 − 6 2 + 𝑦2 = 42
𝐴𝑃 = 2𝐵𝑃
③求める軌跡は、中心 6,0 、半径4の円である。

6. ① 𝑦 > ⋯ ⋯ → 上側
𝑦 < ⋯ ⋯ → 下側
含む
含まない
=あり
=なし
②答え方：求める領域は図の斜線部である。
ただし境界線を
●領域
𝑒𝑥 𝑥 ≧ 0, 𝑦 ≧ 0, 𝑥 + 𝑦 ≦ 3, 𝑥 + 2𝑦 ≦ 4で表される領域内
で4𝑥 + 5𝑦を最大にする点とその最大値を求めよ。
①不等式の表す領域を図示
②与えられた文字式を𝑘とおき、
「y = ⋯ 」の形に変形
③切片の最大・最小を考える
※答え: 2,1 , 最大値13