Viet pt-mat-phang-nt long - www.mathvn.com

Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: Loinguyen1310@gmail.com
DĐ: 01694 013 498
1
SỬ DỤNG PHƯƠNG TRÌNH TỔNG QUÁT CỦA MẶT PHẲNG ĐỂ VIẾT
PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG
Gửi tặng: Mathvn.com
Trong chương trình THPT khi viết phương trình tổng quát của mặt phẳng chứa một đường thẳng và
thỏa mãn một điều kiện cho trước, học sinh và đôi khi là giáo viên sử dụng phương pháp chùm mặt
phẳng, phương pháp đó cũng khá là ngắn gọn và hay nhưng hiện nay chỉ dùng phương pháp đó với hình
thức tham khảo, điều đó làm khó khăn cho học sinh trong quá trình làm bài tập, cũng như giáo viên
trong quá trình giảng dạy. Bài viết này hi vọng sẽ giúp đỡ các em, cũng như các bạn đồng nghiệp không
cần sử dụng phương pháp đó vẫn có thể làm bài tập, không những chỉ làm với dạng bài tập đó mà còn
mở rộng sang các dạng khác
Một số dạng cụ thể
Dạng 1: Viết phương trình mặt phẳng đi qua một điểm và thỏa mãn điều kiện cho trước
Điều kiện cho trước là
- Vuông góc với hai mặt phẳng cho trước
- Song song với hai đường thẳng cho trước
- Vuông góc với một mặt phẳng và song song với một đường thẳng cho trước…
Dạng 2: Viết phương trình mặt phẳng đi qua hai điểm và thỏa mãn điều kiện cho trước
Điều kiện cho trước là
- Vuông góc với một mặt phẳng cho trước
- Song song với một đường thẳng cho trước
- Tạo với một mặt phẳng một góc cho trước…
Dạng 3: Viết phương trình mặt phẳng chứa một đường thẳng và thỏa mãn điều kiện cho trước
- Đi qua một điểm không thuộc đường thẳng đã cho
- Song song với một đường thẳng cho trước
- Vuông góc với một mặt phẳng cho trước
- Tiếp xúc với một mặt cầu cho trước
- Tạo với đường thẳng hay mặt phẳng một góc cho trước…
Dạng 4: Viết phương trình mặt phẳng đi qua 3 điểm phân biệt cho trước
Dạng 5: Viết phương trình mặt phẳng chứa hai đường thẳng cắt nhau hoặc song song với nhau
Phương pháp chung cho tất cả các dạng:
Bước 1: Giả sử mặt phẳng cần tìm có dạng :  2 2 2
0 0Ax By Cz D A B C      
 mặt phẳng có vtpt  ; ;n A B C

Bước 2: Từ điều kiện giả thiết dẫn tới một hệ ba phương trình 4 ẩn là , ,A B C và D
www.MATHVN.com
www.mathvn.com

DĐ: 01694 013 498
2
Bước 3: Từ 2 trong 3 phương trình ta rút C và D theo A và B từ đó sẽ dẫn tới hai dạng phương trình là
TH 1: 0A B   , chọn , ,A B C D      phương trình mặt phẳng cần tìm
TH 2:  
2
0
2 2
0 0....
B A A
A AB B
B B
     

 
        
 
quay lại TH 1  phương trình mặt phẳng cần tìm
Để đơn giản, khi giải phương trình   ta có thể chọn luôn 2
1 0B A A      
Chú ý:
- Đối với TH1 khi rơi vào trường hợp đặc biệt là 0 0A A    thì ta chọn 1B  (vì 0  ) và ngược lại
- Thông thường để sử dụng phương pháp này thì bao giờ cũng phải có ba điều kiện thì sẽ tương đương với một
hệ bốn ẩn, ba phương trình và ta làm như trên
- Để giảm độ phức tạp ta sẽ dùng phương pháp “dồn ẩn” như sau
Giả sử 0A  khi đó ta chia hai vế cho A ta được 0
B C D
x y z
A A A
    . Đặt , ,
B C D
b c d
A A A
  
Khi đó ta được  2 2
0 0x by cz d b c      , thì khi gặp ba điều kiện của giả thiết ta được ba phương trình
ba ẩn, bấm máy tính là xong, tuy nhiên chúng ta phải thử trước nhé, biết đâu 0...A  thì sao?
- Vì  2 2 2
0A B C   tức là ít nhất một trong ba hệ số A, B và C phải khác 0 nên ta có thể tính A và D theo B
và C hoặc A và C theo B và D hoặc A và B theo C và D hoặc B và C theo A và D điều này không ảnh hưởng gì
tới kết quả của bài toán
- Ở đây Tôi chỉ dụng phương pháp tổng quát, còn các phương pháp khác hiệu quả hơn (xem trong chuyên đề
mặt phẳng – đường thẳng – mặt cầu của Tôi), tuy nhiên trong một số trường hợp nếu không dung phương pháp
tổng quát (không tính phương pháp chùm) thì làm sao đây….
Bài tập minh họa cho các dạng:
Dạng 1: Viết phương trình mặt phẳng đi qua một điểm và thỏa mãn điều kiện cho trước
Bài 1: (SBT – Ban Cơ Bản T99) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz .Viết phương trình mặt phẳng   đi
qua điểm  2; 1;2M  , song song với trục Oy và vuông góc với mặt phẳng  : 2 3 4 0x y z    
Giải:
Giả sử mặt phẳng   có dạng :  2 2 2
0 0Ax By Cz D A B C      
- Mặt phẳng   đi qua điểm  2; 1;2M   .2 .( 1) .2 0 1A B C D     
- Mặt phẳng   song song với trục Oy  . 0 .0 .1 .0 0 2n j A B C     

- Mặt phẳng   vuông góc với mặt phẳng      . 0 .2 . 1 .3 0 3n n A B C       
 
Giải hệ (1), (2) và (3)  3, 0, 2, 2.A B C D     
Vậy mặt phẳng   có phương trình là : 3 – 2 – 2 0x z 
Bài 2: (SBT – Ban Cơ Bản T98) Trong không gian Oxyz.Viết phương trình mặt phẳng   đi qua điểm
 3; 1; 5M   đồng thời vuông góc với hai mặt phẳng  : 3 – 2 2 7 0x y z    và  : 5 – 4 3 1 0x y z   
Giải:
Giả sử mặt phẳng   có dạng :  2 2 2
0 0Ax By Cz D A B C      
www.MATHVN.com
www.mathvn.com

DĐ: 01694 013 498
3
- Mặt phẳng   đi qua điểm  3; 1; 5M      .3 .( 1) . 5 0 1A B C D      
- Mặt phẳng   vuông góc với mặt phẳng      . 0 .3 . 2 .2 0 2n n A B C       
 
- Mặt phẳng   vuông góc với mặt phẳng      . 0 .5 . 4 .3 0 3n n A B C       
 
Từ (1) và (2) ta được
3 21
, 6
2 2
C B A D B A    thế vào (3) ta được 2A B chọn
1, 2 2, 15B A C D      
Vậy phương trình mặt phẳng   là 2 – 2 –15 0x y z 
Bài 3: (ĐH – B 2006) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm  0;1;2A và hai đường thẳng
1
1 1
: , ': 1 2
2 1 1
2
x t
x y z
d d y t
z t
 
  
    
   
Viết phương trình mặt phẳng   đi qua A đồng thời song song với d và d’
Giải:
0 0Ax By Cz D A B C      
- Mặt phẳng   đi qua điểm M  .0 .1 .2 0 1A B C D    
- Mặt phẳng   song song với đường thẳng d    . 0 .2 .1 . 1 0 2dn u A B C      

- Mặt phẳng   song song với đường thẳng d’
   '. 0 .1 . 2 .1 0 3d
n u A B C      

Từ (1) và (2) ta được 2 , 4 3C A B D A B     thế vào (3) ta được 3A B chọn
1, 3 5, 13A B C D     
Vậy phương trình mặt phẳng   là 3 5 13 0x y z   
Bài 4: Viết phương trình mặt phẳng  P đi qua điểm  1;2;3M và tạo với mặt phẳng Ox, Oy các góc tương
ứng là 0 0
45 , 30
Giải:
Giả sử mặt phẳng   có dạng 2 2 2
0 ( 0)Ax By Cz D A B C      
Gọi  ; ;n A B C

là vtpt của mặt phẳng  P . Các vtcp của trục Ox và Oy là  1;0;0i

và  0;1;0j

.
Theo giả thiết ta có hệ
0
2 2 2
2 2 2
0
2 2 2
1
sin 45
222
1
sin30
2
A
A BA BA B C
B C BA B C
A B C

      
   
     
 
Chọn 1B  ta được 2, 1A C   
Vậy phương trình mặt phẳng  P đi qua điểm  1;2;3M là
           2 1 2 3 0; 2 1 2 3 0x y z x y z            
www.MATHVN.com
www.mathvn.com

DĐ: 01694 013 498
4
Bài 5: Cho mặt phẳng  P có phương trình 2 0x y z   và điểm  2; 3;1M  . Viết phương trình mặt phẳng
 Q đi qua M vuông góc với mặt phẳng và tạo với mặt phẳng một góc 0
45
Giải:
0 ( 0)Ax By Cz D A B C      
Gọi  ; ;n A B C

là vtpt của mặt phẳng  Q . Theo giả thiết ta có hệ phương trình
2 2 2
2 0
1
2
A B C
A
A B C
  



 
. Giải hệ trên ta được    1;1;0 , 5; 3;4n n 
 
Vậy phương trình mặt phẳng  Q đi qua điểm  2; 3;1M  là
1 0x y   hoặc      5 2 3 3 4 1 0x y z     
Bài 6: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho đường thẳng
1 3
:
1 1 4
x y z 
   và điểm
 0; 2;0 .M  Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M song song với đường thẳng  đồng thời khoảng
cách giữa đường thẳng  và mặt phẳng (P) bằng 4.
Giải:
Giả sử mặt phẳng  P có dạng :  2 2 2
0 0ax by cz d a b c      
Phẳng phẳng  P đi qua  0; 2;0 2M d b   suy ra : 2 0P ax by cz b    .
Đường thẳng  đi qua điểm A(1;3;0) và có một vectơ chỉ phương (1;1;4)u 

Từ giả thiết ta có
2 2 2
. 4 0
/ /( ) (1)
| 5 |
4( ;( )) 4 (2)
n u a b c
P
a b
d A P
a b c
    
 
  
 
 
 
Thế 4b a c   vào (2) ta có 2 2 2 2 2
4
( 5 ) (2 17 8 ) 2 8 0
2
a
c
a c a c ac a ac c
a
c


         
  

Với 4
a
c
 chọn 4, 1 8a c b     . Phương trình mặt phẳng  1 : 4 8 16 0.P x y z   
Với 2
a
c
  chọn 2, 1 2a c b     . Phương trình mặt phẳng  2 : 2 2 4 0.P x y z   
Bài 7: Viết phương trình mặt phẳng (P) qua O, vuông góc với mặt phẳng  : 0Q x y z   và cách điểm
 1;2; 1M  một khoảng bằng 2
Giải:
Phương trình mặt phẳng (P) qua O nên có dạng : Ax + By + Cz = 0 với  2 2 2
0A B C  
Vì (P)  (Q) nên 1. 1. 1. 0 0A B C A B C C A B           (1)
Theo giả thiết    2 2 2 2
2 2 2
2
; 2 2 ( 2 ) 2( )
A B C
d M P A B C A B C
A B C
 
        
 
(2)
www.MATHVN.com
www.mathvn.com

DĐ: 01694 013 498
5
Thay (1) vào (2) , ta được : 2
0
8 5 0 8
5
B
AB B A
B

  
  

TH 1: (1)
0 .B C A    Chọn 1, 1A C   thì  1 : 0P x z 
TH 2:
8
B =
5
A
 . Chọn (1)
5, 1 3A B C     thì  2 : 5 8 3 0P x y z  
Bài 8: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng  :
1
1 1 4
x y z 
  và điểm  0;3; 2M  . Viết
phương trình mặt phẳng (P) qua M, song song  và khoảng cách giữa đường thẳng  và mặt phẳng (P) bằng 3.
HD:
Giả sử phương trình mặt phẳng (P) có dạng  2 2 2
0 0Ax By Cz D A B C      
Từ giả thiết ta có hệ
2 2 2
3 2 0
4 0
3
B C D
A B C
C D
A B C


  

  
  
  
2
8
B C
B C
 
   
TH 1: 2B C  chọn 1, 2 2, 8C B A D      
TH 2: 8B C  chọn 1, 8 4, 26C B A D     
(    ( ; ) ( , )d P d M P  , với M(0; 0; 1) )
Vậy có 2 mp (P) thỏa mãn là: 2 2 – 8 0; 4 – 8 26 0.x y z x y z     
Bài 9: Trong không gian tọa độ Oxyz cho mặt cầu   2 2 2
: 2 4 4 5 0S x y z x y z       , mặt
phẳng (Q): 2x + y – 6z + 5 = 0. Viết phương trình mặt phẳng (P). Biết rằng mặt phẳng (P) đi qua A(1;1;2),
vuông góc với mặt phẳng (Q) và tiếp xúc với mặt cầu (S).
Giải:
0 0ax by cz d a b c      
Mặt phẳng (P) qua A(1;1;2)      1 1 2 0a x b y c z      
Mặt cầu (S) có tâm  1; 2;2I  bán kính R = 2
Mặt phẳng (Q) có VTPT (2;1; 6)Qn  

Ta có (P) vuông góc với (Q) và tiếp xúc (S) nên
2 2 2
2 6 0
3
2
a b c
b
a b c
  



 
2 2 2 2 2 2
2
2 6 2
2 6 2 6
(I)2 5
9 4 4 4 3 10 0
5 11
2
a c
a c b b c
a c b a c b
b c b c
b a b c b bc c
b c
a c
 
       
                    
www.MATHVN.com
www.mathvn.com

DĐ: 01694 013 498
6
Nếu c = 0 thì a = b = 0 (loại) suy ra 0c  .
TH 1: Chọn 1 1, 1c a b     1 : 2 2 6 0P x y z    
TH 2: Chọn
11
1 , 5
2
c a b            2
11
: 1 5 1 2 0 11 10 2 5 0
2
P x y z x y z           
Chú ý:
Nếu thay đổi giả thiết là (P) đi qua một điểm M, song song với đường thẳng d và tiếp xúc với một mặt cầu thì
cũng làm tương tự
Bài 10: (ĐH – D 2010) Trong không gian toạ độ Oxyz, cho hai mặt phẳng  : 3 0P x y z   
và  : 1 0Q x y z    . Viết phương trình mặt phẳng  R vuông góc với  P và  Q sao cho khoảng cách từ
O đến  R bằng 2.
Giải:
Giả sử mặt phẳng  R có dạng :  2 2 2
0 0Ax By Cz D A B C      
- Mặt phẳng  R vuông góc với mặt phẳng  P  . 0 .1 .1 .1 0 1R Pn n A B C     
 
- Mặt phẳng  R vuông góc với mặt phẳng  Q    . 0 .1 . 1 .1 0 2R Qn n A B C      
 
- Khoảng cách     0; 2 2 2 2 3
2
D
d R D     
Cộng (1) và (2) ta được 0A C  , chọn 1 1, 0A C B     kết hợp với (3) ta được hai phương trình mặt
phẳng cần tìm là  1 : 2 2 0R x z   và  2 : 2 2 0R x z  
Dạng 2: Viết phương trình mặt phẳng đi qua hai điểm và thỏa mãn điều kiện cho trước
Bài 11: (SGK – Ban Cơ Bản T80) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz .Viết phương trình mặt phẳng   đi
qua hai điểm    1;0;1 , 5;2;3M N và vuông góc với mặt phẳng  : 2 – – 7 0x y z  
Giải:
0 0Ax By Cz D A B C      
- Mặt phẳng   đi qua  1;0;1M  .1 .0 .1 0 1A B C D    
- Mặt phẳng   đi qua  5;2;3N  .5 .2 .3 0 2A B C D    
- Mặt phẳng   vuông góc với mặt phẳng      . 0 .2 . 1 .1 0 3n n A B C       
 
Từ (1) và (2) ta được –2 – ,C A B D A B   thể vào (3) ta được –2 0B  chọn 1, 0 2, 1A B C D    
Vậy phương trình mặt phẳng   là – 2 1 0x z  
Bài 12: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz. Viết phương trình mặt phẳng   đi qua hai điểm
   2;1;3 , 1; 2;1M N  và song song với đường thẳng d có phương trình là:
1
: 2
3 2
x t
d y t
z t
  


   
Giải:
0 0Ax By Cz D A B C      
www.MATHVN.com
www.mathvn.com

DĐ: 01694 013 498
7
- Mặt phẳng   đi qua  2;1;3M  .2 .1 .3 0 1A B C D    
- Mặt phẳng   đi qua  1; 2;1N     .1 . 2 .1 0 2A B C D     
- Mặt phẳng   song song với đường thẳng d    . 0 .1 .2 . 2 0 3dn u A B C      

1 3 1 7
,
2 2 2 2
C A B D A B      thế vào (3) ta được 2 5A B  chọn
1 19
5, 2 ,
2 2
A B C D      
Vậy phương trình mặt phẳng   là
1 19
5 2 0 10 4 19 0
2 2
x y z x y z        
Bài 13: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho các điểm  1;1;0M  ,  0;0; 2N  và  1;1;1I . Viết
phương trình mặt phẳng  P qua hai điểm A và B, đồng thời khoảng cách từ I tới mặt phẳng  P bằng 3 .
Giải:
0 0Ax By Cz D A B C      
- Mặt phẳng  P đi qua  1;1;0M     . 1 .1 .0 0 1A B C D     
- Mặt phẳng  P đi qua  0;0; 2N     .0 .0 . 2 0 2A B C D     
Từ (1) và (2) ta được  
1
,
2
C A B D A B   
Nên mặt phẳng  P có phương trình là    
1
0
2
Ax By A B z A B     
Theo giả thiết
  
   
 
2 2
2
2 2
1
72
; 3 3 5 2 7 0 1
51
2
A B A B A B
A A
d I P A AB B
B B
A B A B
    
           
 
   
 
TH 1: 1
A
B
  chọn  1, 1 1, 2 : 2 0A B C D P x y z          
TH 2:
7
5
A
B
 chọn  7, 5 1, 2 : 7 5 2 0A B C D P x y z         
Bài 14: (ĐH – B 2009 ) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho tứ diện ABCD có các đỉnh
     1;2;1 , 2;1;3 , 2; 1;1A B C  và  0;3;1D . Viết phương trình mặt phẳng  P đi qua A, B sao cho khoảng
cách từ C đến mặt phẳng  P bằng khoảng cách từ D đến mặt phẳng  P
Giải:
0 0ax by cz d a b c      
- Mặt phẳng  P đi qua  1;2;1A  .1 .2 .1 0 1a b c d    
- Mặt phẳng  P đi qua  2;1;3B     . 2 .1 .3 0 2a b c d     
Từ (1) và (2) ta được  
3 1 5
,
2 2 2
c a b d a b    
www.MATHVN.com
www.mathvn.com

DĐ: 01694 013 498
8
Nên mặt phẳng  P có phương trình là  
3 1 5
0
2 2 2
ax by a b z a b
 
      
 
Theo giả thiết    , ,d C P d D P      
 
2 2
2 2 2 2
3 1 5 5 3 1 5 5
.2 . 1 .1 .0 .3 .1
2 2 2 2 2 2 2 2
3 1 3 1
2 2 2 2
2 4
3
2 0
a b a b a b a b a b a b
a b a b a b a b
a b
a b a b
b
   
             
   

   
        
   

      
Với 2 4a b chọn  14, 2 7, 15 : 4 2 7 15 0a b c d P x y z          
Với 2 0b  chọn    2 2
3 5 3 5
0, 1 , : 0 : 2 3 5 0
2 2 2 2
b a c d P x z P x z             
Bài 15: Trong không gian tọa độ Oxyz, lập phương trình mặt phẳng  P đi qua hai điểm  0; 1;2 ,A 
 1;0;3B và tiếp xúc với mặt cầu  S có phương trình: 2 2 2
( 1) ( 2) ( 1) 2x y z     
Giải:
0 0ax by cz d a b c      
- Mặt phẳng  P đi qua  1;2;1A    .0 . 1 .2 0 1a b c d     
- Mặt phẳng  P đi qua  2;1;3B   .1 .0 .3 0 2a b c d    
Mặt cầu  S có tâm  1;2; 1I  và có bán kính 2R 
- Mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu   
 
 2 2 2
.1 .2 . 1
, 2 3
a b c d
d I P R
a b c
   
   
 
Từ (1) và (2) ta được , 2 3c a b d a b     thể vào (3) và rút gọn ta được 2 2
1
3 8 11 0
8
3
a
b
a b ab
a
b

 
    
  

TH 1: 1
a
b
  . Chọn 1, 1 0, 1a b c d       , suy ra phương trình  1 : 1 0P x y  
TH 2:
8
3
a
b
  . Chọn 8, 3 5, 7a b c d       , suy ra phương trình  2 :8 3 5 7 0P x y z   
Bài 16: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho hai điểm (0; 1;2)M  và ( 1;1;3)N  . Viết phương trình
mặt phẳng (P) đi qua M, N sao cho khoảng cách từ  0;0;2K đến (P) đạt giá trị lớn nhất
Giải:
0 0Ax By Cz D A B C      
Phương trình mặt phẳng (P) đi qua M và N nên ta có
www.MATHVN.com
www.mathvn.com

DĐ: 01694 013 498
9
   
   
.0 . 1 .2 0 1
. 1 .1 .3 0 2
A B C D
A B C D
    

    
Từ (1) và (2) ta được  2 , 2A B C D B C   
   : 2 2 0P B C x By Cz B C      
Khoảng cách từ K đến mp(P) là:   ,
2 2
4 2 4
B
K P
B C BC
d 
 
TH 1: Nếu 0B  thì   , 0d K P  (loại)
TH 2: Nếu 0B  thì    2 2 2
1 1
,
24 2 4
2 1 2
B
d K P
B C BC C
B
  
   
  
 
Dấu “=” xảy ra khi B = – C. Chọn C = 1 và B = – 1
Vậy phương trình mặt phẳng  : – 3 0P x y z  
Chú ý:
Cũng có thể dùng khảo sát hàm số tìm Max với TH 2
Dạng 3: Viết phương trình mặt phẳng chứa một đường thẳng và thỏa mãn điều kiện cho trước
Chú ý:
Đối với dạng 3 này ngoài cách chọn hai điểm thuộc một đường thẳng và thuộc mặt phẳng cần tìm ta được
phương trình (1) và (2) ta cũng có thể chọn một điểm và áp dụng điều kiện đường thẳng chứa trong mặt phẳng
nên . 0nu 
 
từ đó ta được phương trình (1) và (2)
Bài 17: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz. Viết phương trình mặt phẳng  P đi qua giao tuyến của hai mặt
phẳng  : – – 3 0x y z   và  :3 5 –1 0x y z    đồng thời song song với mặt phẳng
 : 2 – 3 0x y z   
Giải:
Gọi  là giao tuyến của   và     có phương trình
3 0
:
3 5 1 0
x y z
x y z
   
 
   
0 0Ax By Cz D A B C      
Chọn hai điểm  1 7;0; 4M  và  2 1; 2;0M   
- Mặt phẳng  P đi qua  1 7;0; 4M     .7 .0 . 4 0 1A B C D     
- Mặt phẳng  P đi qua  2 1; 2;0M     .1 . 2 .0 0 2A B C D     
3
2
B A
C

 và 2 –D B A
Nên mặt phẳng  P có vtpt
3
; ;
2
P
B A
n A B
 
  
 

www.MATHVN.com
www.mathvn.com

DĐ: 01694 013 498
10
Mặt phẳng   có vtpt  1;1;2n 

, mặt phẳng  P song song với  
 Pn

và n

cùng phương 
2.2
3
11
ABBA 
 chọn 1, 1 2, 1A B C D    
Vậy mặt phẳng  P có phương trình là 2 1 0x y z   
Bài 18: (SBT – Ban Nâng Cao T125) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz .Viết phương trình mặt phẳng  P
a. Đi qua điểm  2;1; 1oM  và qua giao tuyến của hai mặt phẳng  Q và  R có phương trình lần lượt là:
– – 4 0x y z  và 3 – –1 0x y z 
b. Qua giao tuyến của hai mặt phẳng  : 3 – – 2 0x y z   và  : 4 – 5 0x y   đồng thời vuông góc với
mặt phẳng  : 2 – 7 0x z  
Giải:
a. Gọi  là giao tuyến của  Q và  R   có phương trình
– – 4 0
:
3 – –1 0
x y z
x y z
 
 
 
Chọn hai điểm
3 11
; ;0
2 2
M
 
  
 
và
3 11
;0;
2 2
N
 
 
 
 
0 0Ax By Cz D A B C      
- Mặt phẳng  P đi qua
3 11
; ;0
2 2
M
 
  
 
 
3 11
. . .0 0 1
2 2
A B C D
   
         
   
3 11
;0;
2 2
N
 
 
 
 
3 11
. .0 . 0 2
2 2
A B C D
 
      
 
- Mặt phẳng  P đi qua  2;1; 1oM     .2 .1 . 1 0 3A B C D     
Giải hệ (1), (2) và (3) ta được  15, 7, 7, 16 : 15 – 7 7 –16 0A B C D P x y z        
b. Gọi  là giao tuyến của   và     có phương trình
 :





054
023
yx
zyx
Chọn hai điểm  5;0; 13M  và  1;1;0N  
0 0Ax By Cz D A B C      
- Mặt phẳng  P đi qua  5;0; 13M     .5 .0 . 13 0 1A B C D     
- Mặt phẳng  P đi qua  1;1;0N  .1 .1 .0 0 2A B C D    
4
13
A B
C

 và D A B  
4
; ;
13
P
A B
n A B
 
  
 

www.MATHVN.com
www.mathvn.com

DĐ: 01694 013 498
11
Mặt phẳng   có vtpt  2;0; 1n  

, mặt phẳng  P vuông góc với  
  
4
. .2 .0 . 1 0 22
13
P
A B
n n A B A B
 
        
 
 
chọn 1, 22 2, 21A B C D     
Vậy mặt phẳng  P có phương trình là – 22 2 21 0x y z  
Bài 19: (ĐH – A 2002) Trong không gian với hệ toạ độ vuông góc Oxyz cho hai đường thẳng
1
2 4 0
:
2 2 4 0
x y z
x y z
   
 
   
2
1
: 2
1 2
x t
y t
z t
 

  
  
Viết phương trình mặt phẳng  P chứa đường thẳng 1 và song song với đường thẳng 2
Giải:
Chọn hai điểm
4 8
;0;
3 3
M
 
 
 
và  0; 2;0N  1 
0 0Ax By Cz D A B C      
4 8
;0;
3 3
M
 
 
 
 
4 8
. .0 . 0 1
3 3
A B C D    
- Mặt phẳng  P đi qua  0; 2;0N     .0 . 2 .0 0 2A B C D     
1 3
2 4
C A B   và 2D B
1 3
; ;
2 4
Pn A B A B
 
   
 

Đường thẳng 2 có vtcp  2 1;1;2u 

, mặt phẳng  P song song với đường thẳng 2
 2
1 3
. .1 .1 .2 0 5 0
2 4
Pn u A B A B B
 
         
 

chọn
1
1, 0 , 0
2
A B C D     
Vậy mặt phẳng  P có phương trình là
1
– 0 2 0
2
x z x z   
Bài 20: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai đường thẳng 1
1 1
:
2 1 1
x y z
d
 
 

và
2
2 1
:
1 1 1
x y z
d
 
 

. Viết phương trình mặt phẳng chứa 1d và hợp với 2d một góc 300
.
Giải:
0 0Ax By Cz D A B C      
 mặt phẳng  P có vtpt  ; ;Pn A B C

- Trên đường thẳng 1d lấy 2 điểm    1;0; 1 , 1;1;0M N 
Do  P qua ,M N nên:
0 2
0
A C D C A B
A B D D A B
     
 
      
Nên ( ) : (2 ) 0P Ax By A B z A B      .
www.MATHVN.com
www.mathvn.com

DĐ: 01694 013 498
12
- Theo giả thiết ta có 0
2 2 2 2 2 2
1. 1. 1.(2 )1
sin30
2 1 ( 1) 1 . (2 )
A B A B
A B A B
  
 
     
2 2 2 2
2 3 2 3(5 4 2 ) 21 36 10 0A B A AB B A AB B        
Dễ thấy 0B  nên chọn 1B  , suy ra:
18 114
21
A


Vậy có 2 mặt phẳng thỏa mãn:
18 114 15 2 114 3 114
0
21 21 21
x y z
 
   

.
Bài 21: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho điểm      1;2;0 , 0;4;0 , 0;0;3A B C . Viết phương trình mặt
phẳng  P chứa OA, sao cho khoảng cách từ B đến  P bằng khoảng cách từ C đến  P
Giải:
0 0Ax By Cz D A B C      
- Vì  P chứa OA suy ra  P đi qua 2 điểm    0;0;0 1;2;0 .O và A
0 0
2 0 2
D D
A B A B
  
  
    
Suy ra mp(P) có phương trình là: 2 0Bx By Cz   
- Theo giả thiết thì:
      2 2 2 2
4 3 3
, , 4 3 4 3
45 5
B C B
d B P d C P B C B C
CB C B C
          
 
Chọn C = 4 suy ra B =  3
Vậy có 2 mp thoả mãn:    1 2: 6 3 4 0 ; : 6 3 4 0.P x y z P x y z      
Bài 22: Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường
thẳng
2 0
:
2 6 0
x y
d
x z
  

  
sao cho giao tuyến của mặt phẳng (P) và mặt
cầu   2 2 2
: 2 2 2 1 0S x y z x y z       là đường tròn có bán kính r = 1.
Giải:
Giả sử mặt phẳng  P có dạng 2 2 2
0 ( 0)Ax By Cz D A B C      
- Chọn hai điểm    2;0; 2 , 3;1;0M N d 
- Mặt phẳng  P chứa d nên  
 .2 .0 . 2 0
, 2
.3 .1 .0 0
3
A B
A B C D C
M N P
A B C D
D A B

       
   
       
Suy ra mặt phẳng có phương trình là 3 0
2
A B
Ax By z A B

    
- Mặt cầu        
2 2 2
: 1 1 1 4S x y z      có tâm  1;1; 1I   và bán kính 2R 
Mặt phẳng cắt mặt cầu theo một đường tròn có bán kính 1r 
www.MATHVN.com
www.mathvn.com

DĐ: 01694 013 498
13
   
2 2
2
2 2
. 1 .1 . 1 3
2
( ; ) 3 3
2
A B
A B A B
d I P R r
A B
A B

     
     
 
   
 
2 2
2 2
1
7 5
3 17 10 7 0
75 5 2
17
A
A B B
A AB B
AA B AB
B


       
    

TH 1: 1
A
B
 . Chọn 11 1, 4 ( ) : 4 0A B C D P x y z           
TH 2:
7
17
A
B
  . Chọn 27, 17 5, 5 ( ) : 7 17 5 4 0A B C D P x y z           
Bài 23: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) và đường thẳng d lần lượt có
phương trình: : 2 5 0P x y z    và
1
: 1 3
2
x
d y z

    . Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa đường
thẳng d và tạo với mặt phẳng (P) một góc nhỏ nhất
Giải:
Giả sử mặt phẳng  Q có dạng 2 2 2
0 ( 0)Ax By Cz D A B C      
- Chọn hai điểm    1; 1;3 , 1;0;4M N d  
- Mặt phẳng  Q chứa d nên  
   . 1 . 1 .3 0 1
,
7 4.1 .0 .4 0
A B C D C A B
M N Q
D A BA B C D
        
   
     
Suy ra mặt phẳng có phương trình là  2 7 4 0Ax By A B z A B       và có vtpt  ; ; 2Qn A B A B  

- Mặt phẳng (P) có vtpt  1;2; 1Pn  

. Gọi  là góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) ta có
2 2
3
cos
6 5 2 4
A B
A B AB



 
. Xét hai trường hợp
TH 1: 0A  khi đó
2
3 3
cos
2 66 2
B
B

    
TH 2: 0A  khi đó
2
1
3
cos
6
5 2 4
B
A
B B
A A



 
  
 
. Đặt
B
x
A
 và   2
cosf x 
Xét hàm số  
2
2
9 2 1
.
6 5 2 4
x x
f x
x x
 

 
, khảo sát hàm số này ta thấy   0 cos 0
2 6
Min f x
 
      
Vậy chỉ có TH 1 thỏa mãn, tức là 0A  , chọn  1 1, 4 : 4 0B C D P y z       
Chú ý:
Ta có thể xét trường hợp 0B  , 0B  hoặc 0A B  , 0A B 
www.MATHVN.com
www.mathvn.com

DĐ: 01694 013 498
14
Bài 24: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng
1
: 2
2
x t
d y t
z t
 

  
 
Viết phương trình mặt phẳng  P chứa đường thẳng d và tạo với trục Oy một góc lớn nhất
Giải:
- Giả sử mặt phẳng  P có dạng 2 2 2
0 ( 0)Ax By Cz D A B C      
- Chọn hai điểm    1; 2;0 , 0; 1;2M N d  
- Mặt phẳng  P chứa d nên  
 
 
.1 . 2 .0 0
, 2
.0 . 1 .2 0
2
A B
A B C D C
M N P
A B C D
D A B
      
   
        
Suy ra mặt phẳng có phương trình là 2 0
2
A B
Ax By z A B

     và có vtpt ; ;
2
P
A B
n A B
 
  
 

Gọi  là góc giữa hai mặt phẳng  P và Oy ta có
2 2 2
2 2
2
sin
5 5 2
2
B B
A B ABA B
A B
  
  
   
 
TH 1: 0
0 sin 0 0B      
TH 2:
2
2
0 sin
5 5 2
B
A A
B B
  
 
  
 
. Đặt
A
x
B
 và   2
sinf x 
  2
4
5 2 5
f x
x x

 
, khảo sát hàm số này ta được  
5 1
6 5
Maxf x x  
Hiển nhiên trong trường hợp này 0
0 
Vậy TH 2 thỏa mãn tức là
1
5
A
B
 . Chọn  1, 5 2, 9 : 5 2 9 0A B C D P x y z          
Chú ý:
Có thể làm TH 2 bằng tam thức bậc hai như sau như sau
2 2
2 2 2 5 1
0 sin
5241 24
5 5 2 5
5 5
B x
A A
x
B B
      
   
      
   
Bài 25: (ĐH – A 2008) Trong không gian với toạ độ Oxyz, cho điểm A(2;5;3) và đường thẳng
1 2
:
2 1 2
x y z
d
 
  . Viết phương trình mặt phẳng () chứa d sao cho khoảng cách từ A đến () lớn nhất.
Giải:
Giả sử mặt phẳng  P có dạng 2 2 2
0 ( 0)Ax By Cz D A B C      

www.MATHVN.com
www.mathvn.com

DĐ: 01694 013 498
15
- Đường thẳng d đi qua điểm  1;2;0M và có vtcp  2;1;2du 

- Vì  P chứa d , nên nói riêng chứa điểm (1,0,2) vậy có    2 0 1M P A C D     
và  . 0 2 2 0 2P dn u A B C    
 
2
2
A B
C
D A B

 

  
suy ra mặt phẳng    : 2 2 2 2 2 0P Ax By A B z A B     
TH 1: 0B  thì  : 2 2 2 0 1 0P Ax Az A x z       (vì 0A  )
Khi đó    2 2
2 3 1
, 0
1 1
d A P
 
 

(loại)
TH 2: 0B  . Chọn 1B  thì    : 2 2 2 1 2 2 0P Ax y A z A     
Khi đó    2 2 2
4 10 6 3 2 2 9 9 9 2
,
38 4 5 8 4 5 1 3
2 2
2 2
A A A
d A P
A A A A
A
    
   
     
  
 
Vậy    1 1
, 2 0
2 4Max
d A P A A     
Với  
1 1 3
, 1 , : 4 3 0
4 4 4
A B C D P x y z           
Bài 26: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm  10;2; 1A  và đường thẳng d có
phương trình
1 2
1 3
x t
y t
z t
 


  
. Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua A, song song với d và khoảng cách từ d tới (P)
là lớn nhất.
Giải:
- Giả sử mặt phẳng  P có dạng 2 2 2
0 ( 0)Ax By Cz D A B C      

- Đường thẳng d đi qua điểm  1;0;1M và có vtcp  2;1;3du 

- Mặt phẳng đi qua điểm    10;2; 1 10 2 0 1A A B C D     
- Mặt phẳng (P) song song với đường thẳng d nên  . 0 2 3 0 2P dn u A B C    
 
2 32 7
,
3 3
A B A B
C D
 
  
Vậy mặt phẳng (P) có phương trình  3 3 2 32 7 0Ax By A B z A B     
     
 
 
2 2 22 2
3 .1 3 .0 2 1 32 7 33 6
, ,
13 10 49 9 2
A B A B A B A B
d d P d M P
A B ABA B A B
     
  
   
www.MATHVN.com
www.mathvn.com

DĐ: 01694 013 498
16
Xét hai trường hợp 0B  hoặc 0B  ta được phương trình  : 7 5 77 0P x y z   
…Bạn đọc tự giải
Dạng 4: Viết phương trình mặt phẳng đi qua 3 điểm cho trước
Bài 27: (SGK – Ban Cơ Bản T80) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz .Viết phương trình mặt phẳng   đi
qua ba điểm M 3;0;0 ;  0; 2;0N  và  0;0; 1P 
Giải:
0 ( 0)Ax By Cz D A B C      
- Mặt phẳng   đi qua M 3;0;0    . 1 .0 .0 0 1A B C D     
- Mặt phẳng   đi qua  0; 2;0N     .0 . 2 .0 0 2A B C D     
- Mặt phẳng   đi qua  0;0; 1P     .0 .0 . 1 0 3A B C D     
Giải hệ (1), (2) và (3) ta được A = 2, B = 3, C = 6 và D = 6 .
Vậy mặt phẳng   có phương trình là 2 3 6 6 0x y z   
Dạng 5: Viết phương trình mặt phẳng   chứa hai đường thẳng 1 và 2 cắt nhau hoặc song song với
nhau
Nhận xét:
Thực chất đây là bài toán viết phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm phân biệt trong đó lấy hai điểm thuộc
đường thẳng này mà một điểm thuộc đường thẳng kia (dạng 4)
Bài 28: (ĐH – D 2005) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho hai đường thẳng
1
1 2 1
:
3 1 2
x y z
d
  
 

và 2
2 0
:
3 12 0
x y z
d
x y
   

  
. Chứng minh d1 và d2 song song với nhau .Viết phương trình
mặt phẳng   chứa cả hai đường thẳng d1 và d2
Giải:
- Chứng minh d1 và d2 song song với nhau ,ta có
d1 đi qua điểm  1; 2; 1M   và có vtcp 1u

= (3;-1;2)
d2 có vtcp 2u

= (3;-1;2) = 1u

và M1  d2 vậy d1 // d2
- Viết phương trình mặt phẳng   chứa cả d1 và d2
Chọn hai điểm     23;5;0 12;0;10N và Q d  .
Mặt phẳng   chứa d1 // d2  mặt phẳng   đi qua ba điểm M, N và Q
0 ( 0)Ax By Cz D A B C      
- Mặt phẳng   đi qua  1; 2; 1M        .1 . 2 . 1 0 1A B C D      
- Mặt phẳng   đi qua      3;5;0 . 3 .5 .0 0 2N A B C D      
- Mặt phẳng   đi qua    12;0;10 .12 .0 .10 0 3Q A B C D    
Giải hệ (1), (2) và (3) ta được 15, 11, 17A B C    và 10D   .
www.MATHVN.com
www.mathvn.com

DĐ: 01694 013 498
17
Vậy mặt phẳng   có phương trình là 15 11 17 10 0x y z   
Bài tập áp dụng:
Bài 1:
a. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho 3 điểm      3;4;1 , 2;3;4 , 1;0;2 .M N E Viết
phương trình mặt phẳng   đi qua điểm E và vuông góc với MN.
(Đề thi tốt nghiệp BTTHPT lần 2 năm 2007)
b. Viết phương trình mặt phẳng   đi qua  1; 2;1K  và vuông góc với đường
thẳng
1
: 1 2
1 3
x t
d y t
z t
  

 
   
.
(Đề thi tốt nghiệp THPT lần 2 năm 2007)
Đs: a.  : 3 5 0x y z     b.  : 2 3 8 0x y z    
Bài 2: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho điểm  1; 1;0M   và mặt phẳng ( P có phương trình:
2 4 0.x y z    Viết phương trình mặt phẳng   đi qua M và song song với  P
Đs:  : 2 2 0x y z    
(Đề thi tốt nghiệp THPT hệ phân ban năm 2007)
Bài 3: Viết phương trình mặt phẳng   đi qua điểm  2;3;1M  và vuông góc với hai mặt phẳng
   : 2 2 5 0 và : 3 2 3 0P x y z Q x y z       
(Sách bài tập nâng cao hình học 12)
Đs:  : 3 4 19 0x y z    
Bài 4: Lập phương trình mặt phẳng  P đi qua    1; 1;3 , 1;0;4M N  và tạo với mặt phẳng
 : 2 5 0Q x y z    một góc nhỏ nhất .
Đs:  : 4 0P y z  
Bài 5: Viết phương trình mặt phẳng   đi qua hai điểm    1;2;3 , 2; 2;4M N  và song song với Oy.
(Tài liệu ôn thi tốt nghiệp năm 2009)
Đs: : 2 0x z   
Bài 6: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho mặt phẳng  : 2 3 7 0P x y z     . Viết phương trình mặt
phẳng ( ) đi qua    1;1;0 , 1;2;7A B  và vuông góc với  P
(Tài liệu ôn thi tốt nghiệp năm 2009)
Đs: :11 8 2 19 0x y z    
Bài 7: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho đường thẳng d có phương trình
3
1
2
1
1
2 



 zyx
và mặt
phẳng  : 3 2 0P x y z    . Viết phương trình mặt phẳng   chứa d và vuông góc với  P
(Đề thi tốt nghiệp THPT năm 2007)
www.MATHVN.com
www.mathvn.com

DĐ: 01694 013 498
18
Đs:  : 3 5 0x z   
Bài 8: Viết phương trình mặt phẳng   chứa
1 1 2
:
2 1 5
x y z
d
  
  sao cho khoảng cách từ  5;1;6A đến
  lớn nhất.
Đs:  : 2 1 0x y z    
Bài 9: Trong các mặt phẳng đi qua điểm  2; 1;0A  và song song với đường thẳng
1 2 1
:
1 1 1
x y z
d
  
 

.
Viết phương trình mặt phẳng   tạo với mặt phẳng  xOy một góc nhỏ nhất
Đs:  : 2 1 0x y z    
Bài 10: Trong các mặt phẳng đi qua  1;1; 1A  và vuông góc với mặt phẳng  : 2 2 0x y z     . Viết
phương trình mặt phẳng tạo với Oy một góc lớn nhất.
Đs:    
5 1
: 0; : 3 0
2 2
y z x y z      
Bài 11: Trong các mặt phẳng đi qua các điểm    1;2; 1 , 1;1;2A B  , viết phương trình mặt phẳng   tạo với
mặt xOy một góc nhỏ nhất.
Đs: : 6 3 5 7 0x y z    
Bài 12: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai đường thẳng d và d’ lần lượt có phương trình :
2
:
1
y
d x z

 

và
2 5
’: 3
2 1
x z
d y
 
  

. Viết phương trình mặt phẳng )( đi qua d và tạo với d’ một góc
0
30
Đs: 2 4 0 ; 2 2 0x y z x y z       
LỜI KẾT:
Chuyên đề gồm 28 bài tập giải mẫu và 12 bài tập tự giải có đáp số tuy chưa minh họa hết các dạng
bài tập nhưng cũng minh họa được một cách tối ưu phương pháp dùng PTTQ của mặt phẳng
Tôi không có tư tưởng của một nhà viết sách hay gì cả, tôi chỉ viết lên những dòng suy nghĩ và
những mạch cảm xúc của mình và chỉ mong các em học tốt hơn, nhưng tôi mong rằng khi ai đó đọc tài
liệu này và sử dụng nó để giảng dạy… hãy nhớ tới tôi như một người bạn… Chào thân ái
Mọi yêu cầu thắc mắc, bổ sung xin gửi theo địa chỉ Email: Loinguyen1310@gmail.com
Hoặc địa chỉ:
Nguyễn Thành Long: Số nhà 15 – Khu phố 6 – Phường ngọc trạo – Thị xã bỉm sơn – TP. Thanh hóa
... Tôi sẽ trả lời cho bạn..
Vẫn biết rằng “ Biển học vô bờ “ nhưng đừng lo nhé, tôi luôn ở bên cạnh bạn, nào chúng ta hãy cùng
nắm tay nhau nhé các bạn
www.MATHVN.com
www.mathvn.com

Viet pt-mat-phang-nt long - www.mathvn.com

Recommended

Recommended

More Related Content

What's hot

What's hot (20)

Similar to Viet pt-mat-phang-nt long - www.mathvn.com

Similar to Viet pt-mat-phang-nt long - www.mathvn.com (20)

Viet pt-mat-phang-nt long - www.mathvn.com