1. SỞ GIÁO DỤC-ĐÀO TẠO
THÀNH PHỐ CẦN THƠ
KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THCS CẤP THÀNH PHỐ
NĂM HỌC 2005-2006
Khóa ngày 07/4/2006
MÔN THI : TOÁN
Thời gian làm bài : 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Bài 1 : (3 điểm)
Cho parabol (P) :
2
y x= và đường thẳng d : y ax b= + . Xác định các giá trị a, b
biết rằng đường thẳng d cắt parabol (P) tại hai điểm, trong đó một điểm có hoành độ bằng 1−
và điểm còn lại có tung độ bằng 9.
Bài 2 : (4 điểm)
Cho biểu thức
2
2 2( 1)
1 1
x x x x x
P
x x x x
+ + −
= − +
− + −
a. Tìm điều kiện xác định của P và rút gọn P.
b. Tìm giá trị của x để biểu thức
7 x
Q
P
= nhận giá trị nguyên và Q > 1.
Bài 3 : (3 điểm)
Xác định giá trị m để phương trình
2 3
2 ( 1) 0x mx m− + − = có hai nghiệm dương
phân biệt trong đó có một nghiệm bằng bình phương nghiệm còn lại.
Bài 4 : (2 điểm)
Cho tam giác ABC có góc B nhọn. Chứng minh rằng nếu cos
2
BC
B
AB
= thì tam giác
ABC cân.
Bài 5 : (3 điểm)
Cho đoạn thẳng AB = a cố định và một điểm C thuộc đoạn thẳng AB (C khác A và
khác B). Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AB, dựng các nửa đường tròn có đường kính AB,
AC, CB. Xác định vị trí của điểm C để diện tích hình phẳng giới hạn bởi ba nửa đường tròn
trên đạt giá trị lớn nhất.
Bài 6 : (5 điểm)
Cho đường tròn (O) và 2 điểm A, B cố định nằm trên (O) (A, B không đối xứng qua
O). Một điểm C di động trên cung lớn AB của (O) (C khác A và khác B). Kẻ các đường cao
AH, BK của tam giác ABC (H ∈ BC ; K ∈ AC). Chứng minh :
a. Tứ giác AKHB nội tiếp được trong một đường tròn.
b. Độ dài đoạn HK không đổi.
c. HK vuông góc với OC.
ĐỀ CHÍNH THỨC

2. ------------HẾT------------
HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN 9
Bài 1 : (3 điểm)
Cho parabol (P) : 2
y x= và đường thẳng d : y ax b= + . Xác định các giá trị a,
b biết rằng đường thẳng d cắt parabol (P) tại hai điểm, trong đó một điểm có hoành độ
bằng 1− và điểm còn lại có tung độ bằng 9.
Toạ độ điểm thứ nhất : x = – 1 ⇒ y = 1 +
Toạ độ điểm thứ hai : y = 9 ⇒ x = ±3 +
Trường hợp 1 :
d đi qua (–1 ; 1) và (3 ; 9) ⇒
1
3 9
a b
a b
− + =

+ =
+
⇒
2
3
a
b
=

=
+
Trường hợp 2 :
d đi qua (–1 ; 1) và (–3 ; 9) ⇒
1
3 9
a b
a b
− + =

− + =
+
⇒
4
3
a
b
= −

= −
+
Bài 2 : (4 điểm)
Cho biểu thức
2
2 2( 1)
1 1
x x x x x
P
x x x x
+ + −
= − +
− + −
a. Tìm điều kiện xác định của P và rút gọn P.
b. Tìm giá trị của x để biểu thức
7 x
Q
P
= nhận giá trị nguyên và Q > 1.
a. Điều kiện xác định của P :
Vì
2
1 3
1 0
2 4
x x x
 
− + = − + > ÷
 
⇒ Điều kiện : x > 0 và x ≠ 1
+
2

3. ( ) ( ) ( )( )1 2 1 2 1 1
1 1
x x x x x x x
P
x x x x
+ + + −
= − +
− + −
+
( ) ( ) ( )1 2 1 2 1P x x x x= + − + + + +
1P x x= + + +
b.
7
1
x
Q
x x
=
+ +
7
1
1
Q
x
x
=
+ +
+
Do x ≠ 1 nên
1
2x
x
+ > +
1
1 3x
x
⇒ + + >
7
3
Q⇒ <
Vì Q > 1 và Q nguyên nên Q = 2. +
Khi đó ta có phương trình :
7
2 2 5 2 0
1
x
x x
x x
= ⇔ − + =
+ +
42
11
42
xx
xx
 ==
 ⇔ ⇔
  ==
 
+
Bài 3 : (3 điểm)
Xác định giá trị m để phương trình
2 3
2 ( 1) 0x mx m− + − = có hai nghiệm
dương phân biệt trong đó có một nghiệm bằng bình phương nghiệm còn lại.
Phương trình có 2 nghiệm phân biệt ⇔ 2 3
' ( 1) 0m m∆ = − − > +
Gọi 2 nghiệm là x0 và
2
0x . Ta có :
2
0 0
2 3
0 0
2 (1)
(2). ( 1)
x x m
x x m
 + =

= −
++
Từ (2) ⇒ x0 = m – 1
Thay vào (1) ta được : m2
– 3m = 0 ⇔
0
3
m
m
=
 =
+
Với m = 0 :
3

4. ' 1∆ = , phương trình trở thành x2
– 1 = 0 ⇔ 1x = ± (không thoả điều kiện) +
Với m = 3 :
' 1∆ = , phương trình trở thành x2
– 6x + 8 = 0 ⇔
2
4
x
x
=
 =
(thoả điều kiện) +
Vậy m = 3.
Bài 4 : (2 điểm)
Cho tam giác ABC có góc B nhọn. Chứng minh rằng nếu cos
2
BC
B
AB
= thì tam
giác ABC cân.
Kẻ AH ⊥ BC (H ∈ BC)
Ta có : cos
BH
B
AB
= +
Kết hợp với giả thiết ta được BC = 2BH +
Do góc B nhọn và BC = 2BH nên H là trung điểm của đoạn BC +
Vậy tam giác ABC cân tại A. +
Bài 5 : (3 điểm)
Cho đoạn thẳng AB = a cố định và một điểm C thuộc đoạn thẳng AB (C khác A
và khác B). Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AB, dựng các nửa đường tròn có đường
kính AB, AC, CB. Xác định vị trí của điểm C để diện tích hình phẳng giới hạn bởi ba
nửa đường tròn trên đạt giá trị lớn nhất.
A
B CH
4

5. Đặt AC = x (0 < x < a) ⇒ CB = a – x
Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi ba nửa đường tròn :
2 2 2
2 4 4 4
AB AC CB
S
π  
= − − ÷
 
+
( )2
4
S x ax
π
= − + +
2 2
4 2 16
a a
S x
π π 
= − − + ÷
 
++
2
16
a
S
π
⇒ ≤ +
Vậy S đạt giá trị lớn nhất ⇔
2
a
x = ⇔ C là trung điểm AB. +
Bài 6 : (5 điểm)
Cho đường tròn (O) và 2 điểm A, B cố định nằm trên (O) (A, B không đối
xứng qua O). Một điểm C di động trên cung lớn AB của (O) (C khác A và khác B).
Kẻ các đường cao AH, BK của tam giác ABC (H ∈ BC ; K ∈ AC). Chứng minh :
a. Tứ giác AKHB nội tiếp được trong một đường tròn.
b. Độ dài đoạn HK không đổi.
c. HK vuông góc với OC.
A BC
5

6. Gọi I là trung điểm AB.
a. Ta có : AKB = AHB = 90o
++
⇒ Tứ giác AKHB nội tiếp được trong đường tròn đường kính AB, tâm I. +
b. Do A, B cố định nên ACB =
1
2
sđ AB không đổi. +
⇒ CAH = KAH = 90o
– ACB không đổi
⇒ KIH = 2KAH = 180o
– 2ACB không đổi +
Đường tròn (I) có đường kính AB cố định và KIH không đổi nên độ dài HK
không đổi +
O
A B
C
H
K
I
x
6

7. c. Kẻ tiếp tuyến Cx của đường tròn (O).
Ta có : tứ giác AKHB nội tiếp ⇒ ABC = CKH +
mà ABC = xCA nên xCA = CKH +
⇒ KH // Cx +
⇒ KH ⊥ OC. +
Ghi chú :
- Mỗi dấu + tương ứng với 0,5 điểm.
- Mỗi cách giải đúng đều cho điểm tối đa ở phần đúng đó.
- Điểm toàn bài bằng tổng điểm các phần, không làm tròn số.
O
A B
C
H
K
I
x
7