jurnal

1. Jurnal Penelitian Sains Edisi Khusus Desember 2009 (B) 09:12-05
Statistika Sistem Zarah; dari Klasik hingga Eksotik
Akhmad Aminuddin Bama dan Ramlan
Jurusan Fisika FMIPA, Universitas Sriwijaya, Sumatera Selatan, Indonesia
Intisari: Dalam makalah ini diuraikan secara kronologis statistika bagi sistem zarah, dari statistika Maxwell-Boltzmann
yang merupakan bentuk statistik bagi sistem zarah klasik, statistika Bose-Einstein dan Fermi-Dirac, hingga statistika
eksotik yang merupakan berbagai bentuk statistika bagi sistem zarah kuantum.
Kata kunci: statistika Maxwell-Boltzmann, satitistika Bose-Einstein, statistika Fermi-Dirac, statistika eksotik
Abstract: This paper describes in chronological order statistics for particle systems, from the Maxwell-Boltzmann
statistics, which is a statistics of classical particle systems, Bose-Einstein and Fermi-Dirac statistics, to the exotic
statistics, which are various forms of quantum statistics for quantum particle systems.
Keywords: Maxwell-Boltzmann statistics, Bose-Einstein statistics, Fermi-Dirac statistics, exotic statistics
E-mail: akhmadbama@yahoo.com
Desember 2009
1 PENDAHULUAN
D i dalam mekanika statistik, fungsi distribusi
f(E) bagi sistem zarah identik merupakan pe-
luang sebuah zarah berada pada tingkat energi E.
Fungsi ini merupakan perluasan gagasan peluang dis-
kret untuk kasus yang energinya kontinu[1,2,3,4]
.
Sampai sejauh ini, di alam, paling tidak terdapat
tiga fungsi distribusi yang berbeda, yaitu fungsi dis-
tribusi Maxwell-Boltzmann, Bose-Einstein, dan Fermi
Dirac. Fungsi distribusi Maxwell-Boltzmann berlaku
untuk zarah identik tetapi terbedakan. Contoh bagi
distribusi ini adalah distribusi Maxwell untuk kecepa-
tan molekular. Distribusi Bose-Einstein dan Fermi-
Dirac berlaku apabila zarah itu tak terbedakan (aki-
bat efek kuantum) yang masing-masingnya berlaku
untuk spin bulat dan tengahan (dalam satuan ). Ra-
diasi termal dan panas spesifik mematuhi distribusi
Bose-Einstein, sedangkan elektron di dalam logam dan
semikonduktor serta lubang (hole) mematuhi fungsi
distribusi Fermi-Dirac.
Umumnya, di berbagai tulisan maupun buku teks,
berbagai bentuk statistika bagi sistem zarah di atas
diuraikan secara rinci dengan berbagai rumusan ma-
tematis yang begitu banyak dan kompleks. Hal yang
demikian itu terkadang membuat sulit untuk dapat
memahami “benang merahnya” secara utuh, terutama
bagi pemula. Tujuan dari paparan ini adalah mem-
berikan gambaran sekilas tetapi menyeluruh (rangku-
man) mengenai berbagai statistika bagi sistem zarah,
yang umumnya di berbagai tulisan maupun buku teks
tidak terangkum secara menyeluruh.
2 STATISTIKA MAXWELL-BOLTZMANN
Statistika Maxwell-Boltzmann sering digambarkan se-
bagai statistika bagi zarah klasik “terbedakan”.
Sistem zarah klasik terbedakan merupakan sistem
zarah yang konfigurasinya berbeda ketika dua atau
lebih zarah dipertukarkan. Dengan kata lain, konfi-
gurasi zarah A di dalam keadaan 1 dan zarah B di
dalam keadaan 2 berbeda dengan konfigurasi ketika
zarah B berada dalam keadaan 1 sedangkan zarah A
dalam keadaan 2.
Ketika gagasan di atas diimplementasikan akan di-
hasilkan distribusi (Boltzmann) biasa bagi zarah da-
lam berbagai tingkat energi. Fungsi distribusi ini
menghasilkan hasil yang kurang fisis untuk entropi,
sebagaimana ditunjukkan dalam “paradoks Gibbs”
[1,2,3,4]
. Namun, masalah itu tidak muncul pada penin-
jauan statistik ketika semua zarah dianggap tak terbe-
dakan.
Secara khusus, statistika Maxwell-Boltzmann ber-
guna untuk mempelajari berbagai sifat gas mampat.
3 STATISTIKA BOSE-EINSTEIN DAN
FERMI-DIRAC
Statistika kuantum adalah paradigma statistik bagi
zarah atau sistem zarah yang perilaku penyusunnya
harus digambarkan oleh mekanika kuantum, alih-alih
mekanika klasik karena ukuran mikroskopiknya.
c 2010 FMIPA Universitas Sriwijaya 0912-05-26

2. Bama & Ramlan/Statistika Sistem Zarah . . . JPS Edisi Khusus (B) 09:12-05
Sebagaimana di dalam statistika klasik (statistika
Maxwell-Boltzmann), pusat permasalahannya adalah
mencari fungsi distribusi yang tepat untuk berbagai
temperatur (melukiskan energi kinetik rerata sistem
gas). Meskipun demikian, mengingat fungsi distribusi
di dalam mekanika statistik klasik menggambarkan
jumlah zarah di dalam unsur ruang fase pada jangkau
posisi dan momentum tertentu, di dalam statistika
kuantum fungsi distribusi memberikan jumlah zarah
di dalam grup tingkat-tingkat energi. Cacah zarah
yang menghuni setiap tingkat energi individual dapat
satu atau dapat berlebih, tergantung pada derajat ke-
merosotan energi serta sifat simetri fungsi gelombang
terkait dengan pertukaran zarah. Untuk fungsi gelom-
bang antisimetrik, hanya ada sebuah zarah yang dapat
menghuni sebuah keadaan, sedangkan untuk fungsi
gelombang simetrik, sejumlah zarah dapat menghuni
sebuah keadaan (pada saat yang sama). Berdasarkan
batasan ini, terdapat dua distribusi kuantum terpisah,
yaitu distribusi Fermi-Dirac untuk sistem yang digam-
barkan oleh fungsi gelombang antisimetrik dan dis-
tribusi Bose-Einstein untuk sistem yang digambarkan
oleh fungsi gelombang simetrik[5,6]
.
Statistika kuantum Bose-Einstein dan Fermi-Dirac
berlaku ketika efek kuantum harus diperhitungkan
yang mengakibatkan zarah tak lagi terbedakan. Efek
kuantum muncul jika konsentrasi zarah (jumlah za-
rah per-volume (N/V )) lebih besar atau sama dengan
konsentrasi kuantum nq
[2]
.
Konsentrasi kuantum terjadi ketika jarak antar
zarah sama dengan panjang gelombang de-Broglie
termal, yaitu ketika fungsi gelombang zarah saling
menyentuh tetapi tidak saling bertindih (overlapping).
Konsentrasi kuantum bergantung pada temperatur;
pada temperatur tinggi sistem akan berubah men-
jadi sistem dalam limit klasik kecuali sistem itu mem-
punyai kerapatan yang sangat tinggi, misalnya “katai
putih”[5,6]
.
Statistika Bose-Einstein dan Fermi-Dirac akan men-
jadi statistika Maxwell-Boltzmann pada temperatur
tinggi atau pada konsentrasi rendah.
Statistika Fermi-Dirac menentukan distribusi statis-
tik bagi fermion pada berbagai tingkat energi untuk
sebuah sistem di dalam kesetimbangan termal. De-
ngan kata lain, statistika ini merupakan probabilitas
bagi suatu tingkat energi untuk dihuni fermion.
Fermion adalah zarah tak terbedakan berspin te-
ngahan dan karena itu mematuhi asas larangan Pauli,
yaitu pada saat yang sama tidak boleh ada lebih dari
satu zarah yang dapat menempati keadaan kuantum
yang sama. Kumpulan fermion yang tak saling berin-
teraksi disebut sebagai gas Fermi ideal[1,2]
.
Statistika Fermi-Dirac diperkenalkan oleh Enrico
Fermi dan Paul Dirac pada tahun 1926. Pada ta-
hun itu pula, Ralph Fowler memanfaatkannya untuk
menggambarkan keruntuhan bintang menjadi katai
putih, dan pada tahun 1927, Arnold Sommerfeld me-
nerapkannya untuk elektron di dalam logam.
Statistika Bose-Einstein menentukan distribusi sta-
tistik bagi boson pada berbagai tingkat energi di da-
lam kesetimbangn termal.
Tidak seperti fermion, boson adalah zarah berspin
bulat sehingga tidak mematuhi asas larangan Pauli;
sejumlah besar zarah boson dapat menempati keadaan
yang sama pada saat yang sama pula. Hal itu
dapat menjelaskan mengapa pada temperatur ren-
dah boson dapat berperilaku sangat berbeda dengan
fermion; semua zarah akan menggumpal bersama-
sama pada keadaan energi yang paling rendah. Proses
yang demikian itu disebut sebagai “kondensasi Bose-
Einstein”, misalnya fenomena superfluida di dalam he-
lium cair. Di samping itu sejumlah zarah tergandeng
secara efektif juga dapat bertindak sebagai boson, mi-
salnya, di dalam teori superkonduktor BCS, sejumlah
pasangan elektron tergandeng bertindak seperti boson
dan berkumpul atau menggumpal ke sebuah keadaan
yang mengakibatkan resistansi elektrik nol[1,2]
.
Statistika Bose-Einstein diperkenalkan oleh Bose
(untuk foton) pada tahun 1920 dan diperluas oleh Ein-
stein untuk atom pada tahun 1924.
4 STATISTIKA EKSOTIK
Di samping statistika klasik (Maxwell-Boltzmann)
dan dua jenis statistika kuantum (Bose-Einstein dan
Fermi-Dirac) sebagaimana yang dijelaskan di atas,
di dalam mekanika kuantum dan mekanika statis-
tika (kuantum statistika), parastatistika merupakan
satu dari beberapa alternatif model statistika zarah
(kuantum) yang secara teoretis telah banyak dise-
lidiki[7,8,9,10,11]
. Selain parastatistika, untuk ruang-
waktu berdimensi lebih rendah, misalnya ruang-waktu
berdimensi-(2 + 1), dikenal juga beberapa alternatif
statistika lain, misalnya statistika anyonik maupun
statistika fraksional lainnya[12,13]
.
Statistika Fraksional dicirii oleh parameter statis-
tik θ (0 < θ < π), yaitu apabila dua zarah yang
memenuhi statistika ini dipertukarkan maka fungsi
gelombang akan berubah dengan sebuah fase exp(iθ)
(θ = 0 → statistika Bose-Einstein; θ = π → statistika
Fermi-Dirac). Semua statistika baru itu (selain statis-
tika Maxwell-Boltzmann, Bose-Einstein, dan Fermi-
Dirac) sering juga disebut sebagai “statistika eksotik”
[12,13,14,15,16,17]
.
Secara aljabar, terdapat grup SN (grup simetrik
berorde-N) yang bekerja pada aljabar operator de-
ngan tafsiran yang diharapkan bagi permutasi N zarah
[18,16,17]
. Mekanika kuantum menghendaki pemfoku-
san pada observabel, dan observabel haruslah invarian
terhadap semua permutasi yang mungkin bagi N za-
rah. Dengan kata lain, jika aljabar operator bagi sis-
tem N-zarah identik adalah aljabar-(∗), maka aljabar
0912-05-27

3. Bama & Ramlan/Statistika Sistem Zarah . . . JPS Edisi Khusus (B) 09:12-05
observabel harus merupakan subaljabar-(∗) yang inva-
rian terhadap tindakan grup SN (perlu dicatat bahwa
hal ini tidak berarti setiap unsur aljabar operator
yang invarian terhadap tindakan SN adalah observ-
abel). Karena itu terdapat sektor superseleksi (ruang
Hilbert) yang berbeda, masing-masing sektor super-
seleksi ini diparameterkan oleh “diagram atau tabel
Young” bagi grup SN .
Secara khusus, untuk N zarah paraboson berorde-
a (dengan a adalah bilangan bulat positif), diagram
Young yang mungkin adalah semua diagram Young
dengan a baris sebagai acuannya, sedangkan untuk N
zarah parafermion berorde-a adalah semua diagram
Young dengan a kolom sebagai acuannya[19,20]
.
Di dalam parastatistika, istilah paraboson dan pa-
rafermion berorde-a muncul berkaitan dengan tidak
adanya keadaan (state) yang berturut-turut anti-
simetrik dan simetrik sejumlah a buah zarah. Perlu
dicatat bahwa sifat fisis bagi paraboson maupun para-
fermion belum banyak diteliti; diduga keduanya mem-
punyai sifat fisis yang lebih condong ke boson (untuk
paraboson) dan ke fermion (untuk parafermi). Jika a
sama dengan 1, diperoleh kasus untuk statistika Bose-
Einstein (1 baris) dan Fermi-Dirac (1 kolom). Jika a
takterhingga (a tidak hanya bilangan bulat, tetapi da-
pat bilangan sebarang), diperoleh statistika Maxwell-
Boltzmann[20]
.
Lebih jauh lagi, secara matematis, penentuan sek-
tor superseleksi terkait dengan wakilan uniter tak ter-
susutkan (irreducible unitary representation (IUR))
grup fundamental π1(Q) bagi ruang konfigurasi Q
(atau grup N-untai) yang tergantung pada topologi
spasialnya. Untuk ruang berdimensi-3 atau lebih dan
tersambung sederhana (misalnya ruang bertopologi R3
atau S3
), grup fundamental bagi ruang ini trivial,
karena itu statistika yang mungkin bagi sistem N-
zarah identik di dalamnya hanya terkait dengan wa-
kilan uniter bagi grup simetrik SN
[18,21,16,17]
. Boson
dan fermion adalah manifestasi dari wakilan uniter tak
tersusutkan berdimensi-1 bagi SN , sementara untuk
wakilan berdimensi yang lebih tinggi bagi SN akan
memberikan parastatistika. Berbeda dengan kasus
berdimensi-3 (tersambung sederhana), untuk ruang
berdimensi-(d < 3), grup fundamentalnya tidak selalu
trivial. Akibatnya, statistika yang mungkin bagi sis-
tem zarah identik di dalam berbagai ruang ini dapat
sangat bervariasi tergantung pada topologi ruangnya.
Misalnya, N-zarah identik yang menghuni permukaan
datar (ruang bertopologi R2
) akan menunjukkan vari-
asi statistik yang berbeda jika dibandingkan dengan
sistem yang sama tetapi menghuni torus berdimensi-2
(ruang bertopologi T2
) atau permukaan bola (ruang
bertopologi S2
)[22,16,17]
.
5 SIMPULAN
Perilaku kolektif (sifat makro) bagi sistem zarah
klasik (terbedakan) memenuhi statistika Maxwell-
Boltzmann. Sedangkan untuk sistem zarah kuan-
tum dan tak terbedakan, perilaku kolektifnya dapat
digambarkan oleh berbagai jenis statistika, yaitu dari
satistika Bose-Einstein (untuk zarah boson), statistika
Fermi-Dirac (untuk zarah Fermi), hingga statistika ek-
sotik (bukan Bose dan bukan Fermi).
Parastatistik merupakan statistika eksotik untuk
sistem zarah bukan boson dan bukan fermion dalam
ruang berdimensi-3, sedangkan statistika fraksional
untuk ruang berdimensi-(d < 3).
Penenetuan bebagai jenis statistika kuantum terkait
dengan wakilan uniter tak tersusutkan dari grup fun-
damental bagi ruang konfigurasi sistem yang bergan-
tung pada topologi spasialnya (menentukan sektor
superseleksi-nya).
DAFTAR PUSTAKA
[1] Greiner,W., L. Neise, dan H. St¨ocker, 1995,
Thermodynamics and Statistical Mechanics, Springer
Verlag, New York
[2] Huang, K., 1965, Statistical Mechanics, JohnWilley &
Sons, New York
[3] Mandl, F., 1971, Statistical Physics, hal. 310, John Wiley
& Sons Ltd., London
[4] Sears, F.W. dan G.L. Sallinger, 1975, Thermodynamics,
Kinetic Theory, and Statistical Thermodynamics,
Addison-Wesley, Massachusets
[5] Balachandran, A.P., T.D. Imbo, dan C.S. Imbo, 1988,
Topological and Algebraic Aspect of Quantization:
Symmetries and Statistics, Ann. Inst. Henri Poincar´e, vol.
49, no. 3, hal. 387-396
[6] Bama, A.A., 2003, Elaborasi Hubungan Spin dan
Statistika, Tesis S2, Program Pascasarjana Universitas
Gadjah Mada, Yogyakarta
[7] Chaturvedi, S. dan V. Srinivasan, 1996, Grand Canonical
Partition Functions for Multi-level Parafermi Systems of
any Order Particles with Different Statistics, Phys. Lett.
A, vol. 224, hal. 249-252
[8] Chaturvedi, S., R.H. McKenzie, P.K. Panigrahi, dan V.
Srinivasan, 1997, Equivalence of the Grand Canonical
Partition Functions of Particles with Different Statistics,
Mod. Phys. Lett. A, vol. 12, hal. 1095-1099
[9] Polychronakus, A.P., 1996, Path Integrals and
Parastatistics, Nucl. Phys. B, vol. 474, hal. 529-539
[10] Satriawan, M., 2002, Generalized Parastatistical Systems,
PhD Thesis, University of Illinois at Chicago, Chicago
[11] Satriawan, M., 2004, Grand Canonical Partition Function
for Parastatistical Systems, Phys. J. IPS, vol. C8, hal.
0515
[12] Einarsson, T., 1991, Fractional Statistics on Compact
Surfaces, G¨oteborg ITP 91-1 (Invited Brief Review for
Mod. Phys. Lett. B)
[13] Haldane, F.D.M., 1991, “Fractional Statistics” in
Arbitrary Dimensions: A Generalization of the Pauli
Principle, Phys. Rev. Lett., vol. 67, no. 8, hal. 83
[14] Hatsugai, Y., M. Kohmoto, dan Y.S. Wu, 1991, Braid
Groups, Anyons and Gauge Invariance (On Topologically
Nontrivial Surfaces), Technical Report of ISSP, vol. Ser.
A, no. 2489
0912-05-28

4. Bama & Ramlan/Statistika Sistem Zarah . . . JPS Edisi Khusus (B) 09:12-05
[15] Hatsugai, Y., M. Kohmoto, dan Y.S. Wu, 1991,
Multi-Sheet Configuration Space and Fractional Quantum
Statistics, Technical Report of ISSP, vol. Ser.A, no. 24,
hal. 567-940
[16] Imbo, T.D. dan J.M. Russell, 1990, Exotic Statistics on
Surfaces, Lyman Lab. of Physics, Harvard University,
Cambridge, MA 02138
[17] Imbo, T.D., C.S. Imbo, dan E.C.G. Sudarshan, 1990,
Identical Particles, Exotic Statistics and Braid Groups,
Phys. Lett. B, vol. 234, hal. 103-107hysics, Harvard
University, Cambridge, MA 02138
[18] Birman, J.S., 1969, On Braid Groups, Comm. Pure Appl.
Math., vol. 22, hal. 41-72
[19] Fulton, W., 1991, Young Tableaux, Cambridge Univ.
Press, New York
[20] Yosi Aprian Sari, R., 2005, Perhitungan Fungsi-fungsi
Termodinamika Sistem Paraboson Orde Dua, Tesis S2,
Program Pascasarjana Universitas Gadjah Mada,
Yogyakarta
[21] Johnson, D.L., 1997, Presentations of Groups, edisi 2,
Cambridge University Press, New York
[22] Bama, A.A., M. Satriawan, M.F. Rosyid, dan Muslim,
2004, Inequivalent Quantizations of Identical Particle
System in a Universe with a Wormhole, dalam Proceeding
of the First Jogja Regional Physics Conference 2004,
Section D, Yogyakarta, Indonesia, 11 September 2004, hal.
65-71, Physics Dept. Gadjah Mada University, Yogyakarta,
Indonesia
0912-05-29