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⾃動定理証明の紹介

〜Proof Summit〜 2011-09-25
                 酒井 政裕
⾃⼰紹介

    酒井 政裕
• Blog: ヒビルテ
• Twitter: @masahiro_sakai

•   Haskeller
•   Agda: Agda1のころ遊んでた
•   Coq: 最近⼊⾨
•   最近、Alloyの本を翻訳
Alloy本
『抽象によるソフトウェア設計
 Alloyではじめる形式⼿法』


• オーム社より
  好評発売中!
このLTの趣旨

CoqとかAgda
の話ばかりで
  ツマラン
ので、息抜きにちょっとは違う話を
話したかったこと

• ⾃動定理証明
 –Automated Theorem Proving
• モデル発⾒
• ⾊々な Decision procedure
• SAT/SMT
CoqやAgdaへのイチャモン

• ⾃分が考えた証明を形式化し、
  正しさを確認したり、
  リファクタリングしたりには便利

• だけど、何かを証明したいときに、
  本当に⽀援になるのか?
CoqやAgdaへのイチャモン

     そもそも
 機械に分からせるために、
 細部まで証明を書くなど

  機械の奴隷
      では?
対話的定理証明
        vs ⾃動定理証明
        対話的定理証明        ⾃動定理証明

ツール     Coq, Agda, …   E, SPASS,
                       Otter, …
⾃動化     ⼈間が証明を書        ツールが証明を
        き、それをツー        探索。⼈間はそ
        ルが検査。          れをガイド
古典論理?   直観主義論理         古典論理
⾼階/⼀階   ⾼階             ⼀階
多分この辺り




Comparing mathematical provers
(by Freek Wiedijk, 2003) より
•数学的な表現⼒は弱い
•が、その分⾃動化され
 ている!
⾃動定理証明器
• Otter
  – ⾃動定理証明器が有名になるきっかけになった
    証明器
• SPASS
  – 様相論理などもサポート
• E
  – The E Equational Theorem Prover (eprover)
• 他にも沢⼭
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簡単な例: ソクラテスは死ぬ
                  (SPASS)
begin_problem(Sokrates1).
                                                                  公理
                                         list_of_formulae(axioms).
list_of_descriptions. ヘッダ                formula(Human(sokrates)).
name({*Sokrates*}).                      formula(forall([x],implies(Human(x),M
author({*Christoph Weidenbach*}).            ortal(x)))).
status(unsatisfiable).                   end_of_list.
description({* Sokrates is mortal and
    since all humans are mortal, he is                  証明したいゴール
    mortal too. *}).                     list_of_formulae(conjectures).
end_of_list.                             formula(Mortal(sokrates)).
                                         end_of_list.
list_of_symbols.
  functions[(sokrates,0)].               end_problem.
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end_of_list.
        関数・述語とアリティの宣⾔
簡単な例: ソクラテスは死ぬ
         (SPASS)
% SPASS -DocProof Socrate.dfg
(中略)
Here is a proof with depth 1, length 5 :
1[0:Inp] || -> Human(sokrates)*.
2[0:Inp] || Mortal(sokrates)* -> .
3[0:Inp] Human(U) || -> Mortal(U)*.
4[0:Res:3.1,2.0] Human(sokrates) || -> .
5[0:MRR:4.0,1.0] || -> .
Formulae used in the proof : axiom0
  conjecture0 axiom1
簡単な例: ソクラテスは死ぬ
             (SPASS)
Human(U) || -> Mortal(U)*.            || Mortal(sokrates)* ->
公理2                                                  ゴールの否定
                 Res

      Human(sokrates) || ->                || -> Human(sokrates)*
                                                                公理1
                              MRR


                              || ->     ⽭盾
表現⼒の弱さ
• 有限個の公理のみ & ⼀階
• たとえば、数学的帰納法は公理化不能:

  P(n) ∧ (∀n. P(n)→P(s(n))) → ∀n. P(n)

• 各述語Pに対して公理がひとつ必要
• ⾼階なら ∀P : N→Prop. 〜 として、
  単⼀の公理で公理化できる
例: ⾃然数の加算の結合性
             (E / TPTP)
fof( plus_z, axiom, ![X] : plus(X,z)=X ).
fof( plus_s, axiom, ![X,Y] : plus(X,s(Y))=s(plus(X,Y)) ).

fof( plusAssocP_def, axiom, ![X,Y,Z] : (    !は∀
plusAssocP(X,Y,Z) <=>
    (plus(plus(X,Y),Z)=plus(X,plus(Y,Z)))           帰納法の
) ).
                                                インスタンスを
fof( plusAssocP_ind, axiom, ![X,Y] : (
(plusAssocP(X,Y,z) &                            明⽰的に公理に
  (![Z] : plusAssocP(X,Y,Z) => plusAssocP(X,Y,s(Z))))
  => ![Z] : plusAssocP(X,Y,Z)
) ).

fof( plus_assoc, conjecture, ![X,Y,Z] : plus(plus(X,Y),Z) =
   plus(X,plus(Y,Z)) ).

              eprover -l 2 --tptp3-format nat1.tptp
TPTP
• Thousands of Problems for Theorem
  Provers
  – http://www.cs.miami.edu/~tptp/
• ATP向けの諸々を提供
  – 問題セット
  – ⼊⼒ファイルフォーマット
  – 各種ユーティリティ
    • 証明を⾒やすく表⽰したり、他のツール⽤に変換したり
      といったツールもあった気がするが、忘れた
• SATLIB, SMTLIB, MIPLIB等のATP版
応⽤: プログラム検証Jahob
チャレンジ
       Seven Trees 問題
• 関数記号: +, ×, T
• 公理: 半環の公理 + {T = 1 + T2}
• ゴール: T = T7

• あなたの使っている定理証明系は、
  こういうのを解くのを⽀援してくれる?
⾃動定理証明器に
                 解かせてみた (1)
fof( coprod_comm, axiom, ![X,Y] : coprod(X,Y) =
   coprod(Y,X) ).
fof( coprod_assoc, axiom, ![X,Y,Z] : coprod(X,coprod(Y,Z))
   = coprod(coprod(X,Y),Z) ).
fof( prod_comm, axiom, ![X,Y] : prod(X,Y) = prod(Y,X) ).


                     爆発
fof( prod_assoc, axiom, ![X,Y,Z] : prod(X,prod(Y,Z)) =
   prod(prod(X,Y),Z) ).
fof( dist, axiom, ![X,Y,Z] : prod(X,coprod(Y,Z)) =
   coprod(prod(X,Y),prod(X,Z)) ).
fof( prod_unit, axiom, ![X] : prod(one, X) = X ).
fof( t, axiom, t = coprod(one, prod(t, t)) ).

fof( seven_trees, conjecture, t =
   prod(t,prod(t,prod(t,prod(t,prod(t,prod(t,t)))))) ).
⾃動定理証明器に
                解かせてみた (2)
fof( comm, axiom, ![X,Y] : coprod(X,Y) = coprod(Y,X) ).
fof( assoc, axiom, ![X,Y,Z] : coprod(X,coprod(Y,Z)) =
   coprod(coprod(X,Y),Z) ).
fof( t1, axiom, t1 = coprod(t0, t2) ).
fof( t2, axiom, t2 = coprod(t1, t3) ).


                 解けた
fof( t3, axiom, t3 = coprod(t2, t4) ).
fof( t4, axiom, t4 = coprod(t3, t5) ).
fof( t5, axiom, t5 = coprod(t4, t6) ).
fof( t6, axiom, t6 = coprod(t5, t7) ).
fof( t7, axiom, t7 = coprod(t6, t8) ).
fof( t8, axiom, t8 = coprod(t7, t9) ).

fof( seven_trees, conjecture, t1 = t7 ).
チャレンジ:
       Otterが有名になった例
• Two inverter problem
  – 3⼊⼒3出⼒の組み合わせ回路で、各出⼒が対応す
    る⼊⼒の否定になっているものを作れ
  – ただし、andとorは何個使ってもよいが、notは2
    個しか使えない
• OtterはPrologのメタ述語のような機能を
  持っていて、それを利⽤して解いた
  – (今の⼀般的な定理証明系では使えない)
• あなたの使っている定理証明系は、
  こういうのを解くのを⽀援してくれる?
CASC
  • The CADE ATP System Competition
     – http://www.cs.miami.edu/~tptp/CASC/
     – CADE(the Conference on Automated
       Deduction)で毎年やってるコンペ
  • CASC-23 (2011) の勝者:
THF: Satallax 2.1        CNF: E 1.4pre
TFA: SPASS+T 2.2.14      EPR: iProver 0.9
FOF: Vampire 0.6         UEQ: Waldmeister 710
FNT: Paradox 3.0         LTB: Vampire-LTB 1.8

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自動定理証明の紹介

  • 2. ⾃⼰紹介 酒井 政裕 • Blog: ヒビルテ • Twitter: @masahiro_sakai • Haskeller • Agda: Agda1のころ遊んでた • Coq: 最近⼊⾨ • 最近、Alloyの本を翻訳
  • 5. 話したかったこと • ⾃動定理証明 –Automated Theorem Proving • モデル発⾒ • ⾊々な Decision procedure • SAT/SMT
  • 6. CoqやAgdaへのイチャモン • ⾃分が考えた証明を形式化し、 正しさを確認したり、 リファクタリングしたりには便利 • だけど、何かを証明したいときに、 本当に⽀援になるのか?
  • 7. CoqやAgdaへのイチャモン そもそも 機械に分からせるために、 細部まで証明を書くなど 機械の奴隷 では?
  • 8. 対話的定理証明 vs ⾃動定理証明 対話的定理証明 ⾃動定理証明 ツール Coq, Agda, … E, SPASS, Otter, … ⾃動化 ⼈間が証明を書 ツールが証明を き、それをツー 探索。⼈間はそ ルが検査。 れをガイド 古典論理? 直観主義論理 古典論理 ⾼階/⼀階 ⾼階 ⼀階
  • 11. ⾃動定理証明器 • Otter – ⾃動定理証明器が有名になるきっかけになった 証明器 • SPASS – 様相論理などもサポート • E – The E Equational Theorem Prover (eprover) • 他にも沢⼭ – Prover9, Vampire, Waldmeister, …
  • 12. 簡単な例: ソクラテスは死ぬ (SPASS) begin_problem(Sokrates1). 公理 list_of_formulae(axioms). list_of_descriptions. ヘッダ formula(Human(sokrates)). name({*Sokrates*}). formula(forall([x],implies(Human(x),M author({*Christoph Weidenbach*}). ortal(x)))). status(unsatisfiable). end_of_list. description({* Sokrates is mortal and since all humans are mortal, he is 証明したいゴール mortal too. *}). list_of_formulae(conjectures). end_of_list. formula(Mortal(sokrates)). end_of_list. list_of_symbols. functions[(sokrates,0)]. end_problem. predicates[(Human,1),(Mortal,1)]. end_of_list. 関数・述語とアリティの宣⾔
  • 13. 簡単な例: ソクラテスは死ぬ (SPASS) % SPASS -DocProof Socrate.dfg (中略) Here is a proof with depth 1, length 5 : 1[0:Inp] || -> Human(sokrates)*. 2[0:Inp] || Mortal(sokrates)* -> . 3[0:Inp] Human(U) || -> Mortal(U)*. 4[0:Res:3.1,2.0] Human(sokrates) || -> . 5[0:MRR:4.0,1.0] || -> . Formulae used in the proof : axiom0 conjecture0 axiom1
  • 14. 簡単な例: ソクラテスは死ぬ (SPASS) Human(U) || -> Mortal(U)*. || Mortal(sokrates)* -> 公理2 ゴールの否定 Res Human(sokrates) || -> || -> Human(sokrates)* 公理1 MRR || -> ⽭盾
  • 15. 表現⼒の弱さ • 有限個の公理のみ & ⼀階 • たとえば、数学的帰納法は公理化不能: P(n) ∧ (∀n. P(n)→P(s(n))) → ∀n. P(n) • 各述語Pに対して公理がひとつ必要 • ⾼階なら ∀P : N→Prop. 〜 として、 単⼀の公理で公理化できる
  • 16. 例: ⾃然数の加算の結合性 (E / TPTP) fof( plus_z, axiom, ![X] : plus(X,z)=X ). fof( plus_s, axiom, ![X,Y] : plus(X,s(Y))=s(plus(X,Y)) ). fof( plusAssocP_def, axiom, ![X,Y,Z] : ( !は∀ plusAssocP(X,Y,Z) <=> (plus(plus(X,Y),Z)=plus(X,plus(Y,Z))) 帰納法の ) ). インスタンスを fof( plusAssocP_ind, axiom, ![X,Y] : ( (plusAssocP(X,Y,z) & 明⽰的に公理に (![Z] : plusAssocP(X,Y,Z) => plusAssocP(X,Y,s(Z)))) => ![Z] : plusAssocP(X,Y,Z) ) ). fof( plus_assoc, conjecture, ![X,Y,Z] : plus(plus(X,Y),Z) = plus(X,plus(Y,Z)) ). eprover -l 2 --tptp3-format nat1.tptp
  • 17. TPTP • Thousands of Problems for Theorem Provers – http://www.cs.miami.edu/~tptp/ • ATP向けの諸々を提供 – 問題セット – ⼊⼒ファイルフォーマット – 各種ユーティリティ • 証明を⾒やすく表⽰したり、他のツール⽤に変換したり といったツールもあった気がするが、忘れた • SATLIB, SMTLIB, MIPLIB等のATP版
  • 19. チャレンジ Seven Trees 問題 • 関数記号: +, ×, T • 公理: 半環の公理 + {T = 1 + T2} • ゴール: T = T7 • あなたの使っている定理証明系は、 こういうのを解くのを⽀援してくれる?
  • 20. ⾃動定理証明器に 解かせてみた (1) fof( coprod_comm, axiom, ![X,Y] : coprod(X,Y) = coprod(Y,X) ). fof( coprod_assoc, axiom, ![X,Y,Z] : coprod(X,coprod(Y,Z)) = coprod(coprod(X,Y),Z) ). fof( prod_comm, axiom, ![X,Y] : prod(X,Y) = prod(Y,X) ). 爆発 fof( prod_assoc, axiom, ![X,Y,Z] : prod(X,prod(Y,Z)) = prod(prod(X,Y),Z) ). fof( dist, axiom, ![X,Y,Z] : prod(X,coprod(Y,Z)) = coprod(prod(X,Y),prod(X,Z)) ). fof( prod_unit, axiom, ![X] : prod(one, X) = X ). fof( t, axiom, t = coprod(one, prod(t, t)) ). fof( seven_trees, conjecture, t = prod(t,prod(t,prod(t,prod(t,prod(t,prod(t,t)))))) ).
  • 21. ⾃動定理証明器に 解かせてみた (2) fof( comm, axiom, ![X,Y] : coprod(X,Y) = coprod(Y,X) ). fof( assoc, axiom, ![X,Y,Z] : coprod(X,coprod(Y,Z)) = coprod(coprod(X,Y),Z) ). fof( t1, axiom, t1 = coprod(t0, t2) ). fof( t2, axiom, t2 = coprod(t1, t3) ). 解けた fof( t3, axiom, t3 = coprod(t2, t4) ). fof( t4, axiom, t4 = coprod(t3, t5) ). fof( t5, axiom, t5 = coprod(t4, t6) ). fof( t6, axiom, t6 = coprod(t5, t7) ). fof( t7, axiom, t7 = coprod(t6, t8) ). fof( t8, axiom, t8 = coprod(t7, t9) ). fof( seven_trees, conjecture, t1 = t7 ).
  • 22. チャレンジ: Otterが有名になった例 • Two inverter problem – 3⼊⼒3出⼒の組み合わせ回路で、各出⼒が対応す る⼊⼒の否定になっているものを作れ – ただし、andとorは何個使ってもよいが、notは2 個しか使えない • OtterはPrologのメタ述語のような機能を 持っていて、それを利⽤して解いた – (今の⼀般的な定理証明系では使えない) • あなたの使っている定理証明系は、 こういうのを解くのを⽀援してくれる?
  • 23. CASC • The CADE ATP System Competition – http://www.cs.miami.edu/~tptp/CASC/ – CADE(the Conference on Automated Deduction)で毎年やってるコンペ • CASC-23 (2011) の勝者: THF: Satallax 2.1 CNF: E 1.4pre TFA: SPASS+T 2.2.14 EPR: iProver 0.9 FOF: Vampire 0.6 UEQ: Waldmeister 710 FNT: Paradox 3.0 LTB: Vampire-LTB 1.8