Upcoming SlideShare
×

# Fisika dasar, fakultas pertanian, praktikum

16,345 views

Published on

5 Likes
Statistics
Notes
• Full Name
Comment goes here.

Are you sure you want to Yes No
• Be the first to comment

Views
Total views
16,345
On SlideShare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
6
Actions
Shares
0
311
0
Likes
5
Embeds 0
No embeds

No notes for slide

### Fisika dasar, fakultas pertanian, praktikum

1. 1. Praktikum Fisika DasarFakultas Pertanian Fakultas Pertanian Universitas Trunojoyo Oleh: Richard Blocher September 2007
2. 2. Praktikum Fisika Dasar oleh Richard Blocher Daftar IsiDaftar Isi ......................................................................................... IPeraturan Praktikum.................................................................. IIIPerhitungan Ralat ..........................................................................11 Prinsip-Prinsip Dasar .............................................................1 1.1 Mengukur .......................................................................................... 1 1.1.1 Apakah Mengukur itu ?....................................................... 1 1.1.2 Hasil Pengukuran, Besaran yang Sebenarnya dan Ralat .................................................................................... 22 Perkiraan Ralat yang Sederhana untuk satu Besaran yang Diukur .............................................................................5 2.1 Statistika ............................................................................................ 5 2.1.1 Sifat-sifat Ralat Statistis. ..................................................... 5 2.1.2 Perkiraan untuk Ralat dan Nilai yang Sebenarnya .............. 7 2.1.3 Bagaimana Kalau Mempunyai Hanya Satu Hasil Ukur ?.................................................................................. 9 2.1.4 Ralat Maksimal ................................................................... 9 2.2 Cara menulis hasil ........................................................................... 10 2.3 Ralat Sistematis ............................................................................... 103 Perambatan Ralat ................................................................. 11 3.1 Prinsip ............................................................................................. 11 3.2 Perkalian dengan Pangkat f ( x, y, z,... ) = Ax a ⋅ y b ⋅ z c ⋅ ... .............. 12 3.3 Kombinasi Linear: f(x, y, z,…) = ax ± by ± cz ±…......................... 13 3.4 Jumlah: f(x, y, z,…) = x ± y ± z ±… ............................................... 13 3.5 Hubungan yang Lebih Kompleks.................................................... 13 I
3. 3. II Daftar Isi 4 Grafik untuk Besaran yang Berhubungan .........................14 4.1 Grafik dan Rumus ........................................................................... 14 4.1.1 Titik dalam Grafik dan Persamaan .................................... 14 4.1.2 Grafik dari fungsi linear .................................................... 16 4.1.3 Transformasi dari Fungsi Non Linear Menjadi Linear ................................................................................ 17 4.2 Metode Perkirakan dengan Melihat................................................. 19 4.3 Perkiraan Ralat ................................................................................ 20 Soal Latihan ..................................................................................26 Petunjuk Praktikum ....................................................................29 1 Bandul Matematis .................................................................29 2 Elastisitas ...............................................................................34 3 Hukum Newton II .................................................................39 4 Bola Jatuh Bebas ...................................................................46 5 Koefisien Muai Panjang .......................................................50 6 Voltameter Tembaga .............................................................54 7 Lensa.......................................................................................59 8 Viskositas Zat Cair................................................................69 Praktikum Fisika Dasar oleh Richard Blocher
6. 6. Praktikum Fisika Dasar oleh Richard Blocher Perhitungan Ralat 1 Prinsip-Prinsip Dasar1.1 Mengukur1.1.1 Apakah Mengukur itu ? Mengukur adalah menentukan suatu besaran fisik dari suatu bendadengan cara membandingkan benda itu dengan besaran satuan. Untuk cara,bagaimana satuan dibandingkan dengan benda harus ada aturan yang jelas. Jadi untuk mengukur kita perlu satuan standar dan suatu peraturan,bagaimana cara membandingkan standar tersebut dengan satuan standar.1. Contoh untuk satuan: • Dulu panjang satu meter terdefinisi sebagai panjang dari meter asli di Paris. • Sekarang panjang satu meter terdefinisi sebagai 1.650.763,73 kali panjang gelombang dari Kr86. • Satu detik adalah 9.192.631.770 periode dari salah satu ayunan frekuensi tinggi Cs133.2. Contoh untuk peraturan membandingkan: • Mengukur panjang dilakukan dengan cara meletakkan panjang satuan disebelah benda yang mau diukur. Panjang sama jika ujung awal dan ujung akhir pada posisi yang sama. Untuk menyebut suatu besaran yang kecil atau besar, maka satuan bisa diberikan tambahan seperti: km, cm, mm, mikro-meter, nm. Suatu besaran fisik selalu terdiri atas satu bilangan dan satu satuan. 1
7. 7. 2 Perhitungan Ralat 1.1.2 Hasil Pengukuran, Besaran yang Sebenarnya dan Ralat 1.1.2.1 Besaran yang Sebenarnya Suatu besaran dari satu benda atau sistem fisik mempunyai nilai tertentu. Misalnya satu benda memiliki tinggi tertentu. Nilai dari besaran itu (dalam contoh tinggi benda) merupakan sifat dari sistem fisik atau benda itu. Kita akan sebutkan nilai itu sebagai nilai (tinggi) yang sebenarnya. 1.1.2.2 Hasil Ukur Ketika kita mengukur suatu besaran fisik (contoh: tinggi benda), maka kita akan mendapatkan suatu nilai untuk besaran fisik (tinggi benda) sebagai hasil pengukuran. Hasil pengukuran biasanya disebut secara singkat sebagai hasil ukur. Hasil ukur biasanya tidak persis sama dengan besaran fisik yang sebenarnya. Dalam setiap pengukuran terdapat berbagai kesalahan mengenai hasil ukur sehingga hasil ukur berbeda dengan nilai yang sebenarnya. Besar dari kesalahan tersebut tergantung berbagai faktor, misalnya: berapa baik alat yang dipakai, berapa teliti orang mengukur, suhu lingkungan, angin atau getaran yang mengganggu pengukuran dan lain sebagainya. Perbedaan antara hasil ukur dan besaran yang sebenarnya disebut sebagai ralat ukur. Untuk mendapatkan hasil pengukuran yang baik, kita harus berusaha supaya ralat ukur kecil sehingga hasil ukur pasti dekat dengan besaran yang sebenarnya. 1.1.2.3 Ralat Ralat adalah perbedaan antara hasil ukur dan nilai yang sebenarnya. Karena kita tidak tahu nilai (besaran) yang sebenarnya, maka kita juga tidak tahu besar dari ralat ukur dengan pasti. Untuk mengetahui berapa besar ketidakpastian dari hasil ukur, maka kita harus memperkirakan besar ralat ukur. Ketidakpastian hasil ukur (ralat ukur) menunjukkan berapa besar perbedaan antara hasil ukur dan nilai yang sebenarnya bisa terjadi. Misalnya terdapat hasil ukur untuk panjang l sebesar l = 3,452967 m. Pertanyaan yang harus diajukan: Maksimal berapa jauh nilai yang sebenarnya dari hasil ukur ini ? Seandainya ralat ukur sebesar Δl = 0,000001 m, berarti nilai yang sebenarnya pasti paling banyak sejauh ± 0,000001 m dari hasil ukur. Seandainya ralat ukur sebesar Δl = 0,1 m, berarti nilai yang sebenarnya pasti paling banyak sejauh ± 0,1 m dari hasil ukur, berarti kita hanya tahu, panjang sebenarnya dari benda ini antara 3,35 m dan 3,55 m. Untuk menilai suatu hasil ukur, sangat penting ralatnya atau ketidak- pastiannya diketahui. Dengan kata lain, untuk setiap pengukuran selain hasil ukur juga ralat dari hasil ukur harus ditentukan. Menentukan ralat dari hasil ukur disebut membuat perkiraan ralat. Praktikum Fisika Dasar oleh Richard Blocher
9. 9. 4 Perhitungan Ralat • Stopwatch dijalankan terlambat atau lebih awal. • Getaran mekanik mempengaruhi hasil ukur. Supaya kemungkinan terjadi ralat statistis (ralat rambang) diperkecil, maka kita harus mengukur secara teliti. Untuk mendapatkan suatu informasi tentang besar ralat itu, kita bisa mengukur berulang kali. Jika suatu besaran sudah diukur beberapa kali, maka statistika dapat dipakai untuk memperkirakan besar dari ralat statistis. Kalau suatu besaran diukur berulang kali, maka ralat dari nilai rata-rata dari semua hasil ukur akan lebih kecil daripada ralat dari satu hasil ukur sendiri. Dalam pasal berikut kita akan membicarakan cara untuk memperkirakan ralat statistis. Praktikum Fisika Dasar oleh Richard Blocher
10. 10. Praktikum Fisika Dasar oleh Richard Blocher 2 Perkiraan Ralat yang Sederhana untuk satu Besaran yang Diukur2.1 Statistika2.1.1 Sifat-sifat Ralat Statistis. Kalau suatu besaran diukur beberapa kali, maka hasil pengukuran akanberbeda-beda. Hasil pengukuran biasanya sekitar nilai yang sebenarnya. Setelahmengukur berulang kali (misalnya 1000 kali), kita bisa membuat satu grafikseperti gambar 2.1. Grafik ini menunjukkan, berapa sering satu nilai hasil ukurtertentu didapatkan. Jika alat ukur yang dipakai baik dan kita mengukur secarateliti, kesalahan (ralat) dari setiap pengukuran akan kecil dan semua nilai hasilukur akan dekat dengan nilai yang sebenarnya. Jadi lebar dari grafik akan kecil.Lebar dari grafik ini bisa dinyatakan dengan deviasi standard σ. Jika alat ukurkurang baik atau pengukuran dilakukan secara kurang teliti, maka σ akan besar.Kalau σ besar, sebagian besar dari nilai-nilai hasil ukur akan jauh dari nilai yangsebenarnya. Kalau σ kecil, semua nilai hasil ukur akan dekat dengan nilai yangsebenarnya. Berarti, besar σ atau tebal distribusi hasil ukur menunjukkan sejauhberapa suatu nilai hasil ukur dapat dipercayai. Setelah mengukur berulang kali, maka nilai rata-rata x dan deviasistandar σx bisa dihitung. Setelah mengetahui besar x dan besar σx daripengukuran besaran tertentu, maka kita tahu mengenai setiap pengukuran sendiribahwa hasil ukur hampir pasti (dengan kemungkinan besar) akan terdapat antara Jumlah Distribusi nilai nilai x pengukuran 2⋅σ Gambar 2.1.: Distribusi nilai peng- ukuran yang biasanya diperoleh dengan jumlah pengukuran besar. x Nilai pengukuran x 5
11. 11. 6 Perhitungan Ralat nilai hasil ukur ±σ Gambar 2.2.: Nilai hasil ukur t1- σ t1 t1+ σ dan interval di mana nilai yang sebenarnya dapat dianggap. x − σ x dan x + σ x seperti ditunjukkan dalam gambar 2.2. Dari penjelasan ini kita bisa juga mengambil kesimpulan terbalik: Kalau suatu besaran telah diukur satu kali dan telah didapat nilai t1 sebagai hasil ukur, dan kalau juga besar deviasi standar dalam mengukur variabel t diketahui sebesar σt, maka kemungkinan besar, nilai tb yang sebenarnya berada dalam interval antara t1 − σ t dan t1 + σ t . Situasi seperti ini diperlihatkan dalam gambar 2.2. Contoh: • Kita telah mengukur waktu t1 ± σ jatuh dari sebuah batu dan sebuah bulu ayam dari tinggi 1,2 1,4 1,6 1,8 2,0 t/det tertentu. Untuk bulu ayam terdapat selang waktu jatuh t2 ± σ sebesar t1 = 1,5 det, untuk batu Gambar 2.3: Interval untuk nilai yang terdapat t2 = 1,7 det. Apakah sebenarnya dari contoh. dari hasil ukur ini dapat disimpulkan bahwa batu memang jatuh lebih pelan ? Atau harus disimpulkan bahwa perbedaan hasil ukur terdapat sebagai ralat dalam pengukuran ? Untuk menentukan jawaban dari pertanyaan-pertanyaan ini kita harus mengerti, berapa baik hasil ukur kita. Dengan kata lain kita harus tahu besar ralat dari hasil ukur yang telah kita dapatkan. Seandainya kita tahu ralat ukur σt dari cara mengukur yang dipakai sebesar σt = 0,3 det, maka dapat disimpulkan sbb.: kemungkinan besar nilai ta yang sebenarnya untuk selang waktu jatuh dari bulu ayam antara t1 - σ = 1,2 det dan t2 + σ = 1,8 det. Sedangkan nilai tb yang sebenarnya untuk batu antara t2 - σ = 1,4 det dan t2 + σ = 2,0 det. Biasanya ditulis sbb.: Hasil pengukuran untuk selang waktu jatuh bulu ayam sebesar t1 = 1,5 det ± 0,3 det dan waktu jatuh batu sebesar t2 = 1,7 det ± 0,3 det. Hasil ini diperlihatkan dalam gambar 2.3. Dari hasil ini dilihat bahwa terdapat kemungkinan besar, waktu jatuh sebenarnya sama untuk bulu ayam dan untuk batu, bahkan mungkin batu jatuh lebih cepat daripada bulu ayam. Maka teori yang menyatakan bahwa bulu ayam jatuh dengan kecepatan yang sama dengan batu tidak perlu diragukan karena hasil ukur ini. Tetapi hasil ukur ini juga tidak membuktikan bahwa teori tersebut benar. Dari hasil ukur ini masih ada kemungkinan, waktu jatuh berbeda. Praktikum Fisika Dasar oleh Richard Blocher
12. 12. 2. Perkiraan Ralat yang Sederhana untuk satu Besaran yang Diukur 7 Dari teori kebolehjadian terdapat persamaan berikut untuk menghitungbesar deviasi standar σ dari hasil ukur x1 … xn yang didapatkan dari n kalimengukur satu besaran x: ∑ ( xi − x ) 2 σ= = ∑ δi 2 = δi 2 (2.1) n n di mana: n : jumlah pengukuran xi : hasil ukur no i x : nilai rata-rata dari semua pengukuran δi : deviasi hasil ukur no i dengan definisi δi = xi − x Jadi deviasi standar merupakan akar dari rata-rata deviasi kuadrat darisemua hasil ukur. Jika suatu besaran telah diukur dengan jumlah pengukuran n yang takterhingga, maka nilai yang sebenarnya untuk besaran itu diketahui sebesar x .Ketelitian dari pengukuran juga diketahui sebesar deviasi standar σ. Tetapi kalaujumlah pengukuran terbatas maka kita tidak bisa tahu nilai yang sebenarnya daribesaran yang diukur dan kita juga tidak bisa tahu ralat ukur yang sebenarnya.Kita harus memperkirakan nilai yang sebenarnya dan ralat ukur.2.1.2 Perkiraan untuk Ralat dan Nilai yang Sebenarnya Kalau jumlah pengukuran terbatas, nilai yang sebenarnya dan deviasistandar σ dari besaran yang diukur tidak diketahui. Tetapi besar dari nilai yangsebenarnya dan dari deviasi standar σ bisa diperkirakan. Perkiraan paling baikuntuk nilai yang sebenarnya adalah besar nilai rata-rata xn dari semua hasil ukurdengan definisi sbb.: x1 + x2 + x3 + ... + xn 1 n xn = n ⇔ xn = ∑x n i =1 i (2.2) Perkiraan yang paling baik untuk deviasi standar σ adalah deviasistandar yang disesuaikan sn dengan definisi sbb.: n ( xi − xn )2 sn = ∑ n −1 (2.3) i =1dengan: xn : perkiraan untuk nilai benar sn : perkiraan untuk besar deviasi standar σPraktikum Fisika Dasar oleh Richard Blocher
13. 13. 8 Perhitungan Ralat Deviasi standard σ atau perkiraan yang paling baik untuk deviasi standar sn merupakan satu besaran yang menunjukkan ketelitian dari setiap pengukuran masing-masing. Tetapi jika suatu pengukuran sudah dilakukan beberapa kali sehingga terdapat nilai rata-rata xn dari sebanyak n hasil ukur sebagai perkiraan untuk nilai yang sebenarnya, maka nilai rata-rata xn tersebut lebih teliti daripada ketelitian σ atau sn yang terdapat untuk satu pengukuran sendiri. Hal ini dijelaskan lebih rinci dalam alinea berikut ini. Kalau eksperimen dilakukan dengan mengukur nilai x sebanyak n kali, maka terdapat nilai hasil ukur x1, x2, …, xn. Dari nilai-nilai ukur ini terdapat nilai rata-rata x1 . Juga terdapat perkiraan untuk deviasi standar sebesar sn1. Jika eksperimen yang sama diulangi, nilai-nilai hasil ukur x1, x2, ...,xn akan berbeda dari pengukuran pertama dan juga nilai rata-rata x2 dan perkiraan untuk deviasi standar sn2 akan berbeda. Jika mengukur lagi, hasil akan lain lagi, dst. Jadi nilai rata-rata xn juga akan bervariasi dan mempunyai ketidakpastian. Tetapi perbedaan-perbedaan (ketidakpastian) dari nilai rata-rata xn akan lebih kecil daripada ketidakpastian sn dari setiap pengukuran xi masing-masing. Perkiraan untuk ketidakpastian dari nilai rata-rata xn disebut sebagai ralat ukur disesuaikan Sn. Dari teori kebolehjadian terdapat persamaan untuk menghitung Sn sbb: sn n ( xi − xn )2 Sn = n = ∑ n ( n − 1) (2.4) i =1 Dari (2.4) dilihat ralat dari hasil ukur rata-rata akan semakin kecil jika suatu pengukuran diulangi lebih sering, berarti dengan semakin banyak pengukuran, maka hasil ukur akan semakin teliti. Juga nilai sn dan Sn akan berubah jika pengukuran diulangi. Berarti dua nilai ini sendiri juga memiliki suatu ketidakpastian. Semakin sering suatu pengukuran diulangi, berarti semakin banyak nilai hasil ukur terdapat, maka semakin kecil ketidakpastian dari perkiraan ralat ini. Supaya ketidakpastian dari sn dan Sn tidak terlalu besar, berarti dua nilai ini bisa dipercayai cukup teliti, kita perlu minimal 10 pengukuran dari satu besaran. (Harus: n ≥ 10 untuk perkiraan ralat dengan statistika seperti ini !) Dalam praktikum jumlah pengukuran yang dipakai paling besar sekitar n ≈ 10. Dalam situasi ini nilai dari sn dan Sn sendiri memiliki ketidakpastian yang cukup tinggi, sehingga ralat selalu dibulatkan sampai angka pertama yang bernilai. Supaya perkiraan ralat tidak terlalu kecil, pembulatan selalu dilakukan ke nilai yang lebih tinggi. (Bulatkan selalu ke atas !) Praktikum Fisika Dasar oleh Richard Blocher
14. 14. 2. Perkiraan Ralat yang Sederhana untuk satu Besaran yang Diukur 92.1.3 Bagaimana Kalau Mempunyai Hanya Satu Hasil Ukur ? Jika pengukuran dilakukan hanya satu kali saja, maka terdapat hanyasatu nilai hasil ukur dan ralat tidak bisa ditentukan dari statistika. Dalam situasiini ralat harus diperkirakan dari ketelitian alat ukur atau cara mengukur.Misalnya ralat ditentukan dari ketelitian membaca nilai pada skala pengukuran(misalnya skala penggaris) dan dari memperkirakan ketelitian alat ukur yangdipakai. Sering pembuat alat ukur memberi spesifikasi (penetapan) mengenaiketelitian alat ukur. Spesifikasi ini bisa dipakai untuk menentukan ralat dari hasilukur. Supaya perkiraan ralat kita aman, kita selalu ambil ralat yang maksimalyang bisa terjadi. Dalam cara ini ada ketidakpastian yang besar.2.1.4 Ralat Maksimal Dalam praktikum waktu yang dipakai sering tidak cukup untukmengukur semua besaran lebih dari 10 kali. Satu kompromi adalah dengan caraseperti berikut ini:• Mengukur beberapa kali.• Menghitung nilai rata-rata sebagai perkiraan untuk nilai yang sebenarnya.• Menentukan deviasi δi = xi − x dari semua hasil ukur. Memakai nilai mutlak dari deviasi yang paling besar sebagai ralat.Cara ini disebut sebagai metode ralat maksimal. Contoh untuk metode ralatmaksimal ini seperti dalam tabel 2.1. Dalam contoh ini waktu t diukur empat kalidengan hasil t1 sampai t4. Dari semua hasil ukur terdapat rata-rata waktu t .Untuk setiap hasil ukur ti deviasi δti dihitung. Harga mutlak δti yang paling besardipakai sebagai perkiraan untuk ralat ukur Δt. ti δt ( = ti − t ) Tabel 2.1: Contoh data i untuk ralat maksimal. 2,0 det - 0,05 det 2,3 det 0,25 det 1,9 det - 0,15 det 2,0 det - 0,05 det t = 2,05 det Max (|δti|) = 0,25 det ⇒ Ralat Δt = 0,25 det Hasil ukur dalam contoh ini sebesar: t = 2,1 det ± 0,3 detPraktikum Fisika Dasar oleh Richard Blocher
16. 16. Praktikum Fisika Dasar oleh Richard Blocher 3 Perambatan Ralat3.1 Prinsip Sering beberapa besaran x, y, z, … perlu diukur untuk menentukan suatubesaran f yang lain. Misalnya untuk mendapatkan massa jenis ρ, maka massa mdan volume V dari suatu benda diukur. Lalu massa jenis ditentukan denganpersamaan: m ρ= (3.1) V Dalam mengukur massa m ada kesalahan (ralat) Δm dan dalammengukur volume V ada kesalahan (ralat) ΔV. Pasti hasil perhitungan, ρ, jugamempunyai ralat. Secara umum bisa dikatakan: satu besaran f yang dicari (dalamcontoh f adalah ρ) adalah fungsi dari beberapa variabel x, y, z, ... yang diukur:f = f (x, y, z, ...) (dalam contoh x, y adalah m dan V). Besaran f pasti mempunyairalat Δf jika variabel x, y, z,... mempunyai ralat Δx, Δy, Δz, …. Teori yangmeneliti hubungan antara besar ralat Δf dan besar Δx, Δy, Δz, … disebut sebagaiteori perambatan ralat. Dalam diktat ini hubungan-hubungan yang didapatkanuntuk berbagai situasi tidak dibuktikan, hanya hasilnya dijelaskan dalam pasalini. Silakan carilah bukti dalam buku-buku tentang teori perhitungan ralat. Hasilumum yang didapatkan untuk ralat Δf dari f adalah: ⎛ ∂ f ( x, y,...) ⎞ ⎛ ∂ f ( x, y, z ,...) ⎞ 2 2 Δf = ⎜ Δx ⎟ + ⎜ Δy ⎟ + ... (3.2) ⎝ ∂x ⎠ ⎝ ∂y ⎠ Δ x Δy Jika ralat relatif (ralat nisbi) , , … kecil, maka Δf bisa dihitung x ydengan rumus pendekatan: ∂ f ( x, y , z,... ) ∂ f ( x, y, z,... ) Δf ≈ ⋅ Δx + ⋅ Δy + ... (3.3) ∂x ∂y Dalam pasal-pasal berikut persamaan (3.2) dan (3.3) diterapkan untukbeberapa situasi yang sering terdapat. Dari penerapan ini persamaan khususuntuk situasi tersebut ditentukan. 11
17. 17. 12 Perhitungan Ralat 3.2 Perkalian dengan Pangkat f ( x, y, z,... ) = Ax a ⋅ y b ⋅ z c ⋅ ... Dalam situasi ini, (3.3) menjadi: Δf = A ⋅ ax a −1 ⋅ y b ⋅ z c ... ⋅ Δx + A ⋅ x a ⋅ by b−1 ⋅ z c ... ⋅ Δy + … (3.4) Δf untuk ralat relatif terdapat: f Δf A ⋅ ax a −1 ⋅ y b ⋅ z c ... A ⋅ x a ⋅ by b−1 ⋅ z c ... = ⋅ Δx + ⋅ Δy + … (3.5) f f ( x, y , z, …) f ( x, y , z, …) Karena: a A ⋅ ax a −1 ⋅ y b ⋅ z c ... = ⋅ f ( x, y , z …) dan x b A ⋅ x a ⋅ by b−1 ⋅ z c ... = ⋅ f ( x, y, z …) y dst. maka (3.5) menjadi: Δf a ⋅ f ( x, y , z ,... ) b ⋅ f ( x, y , z ,... ) = ⋅ Δx + ⋅ Δy + ... f x ⋅ f ( x, y , z ,... ) y ⋅ f ( x, y , z,... ) (3.6) Δf Δx Δy ⇔ =a +b + ... f x y Dari (3.6) terdapat aturan untuk menentukan ralat dari hasil perhitungan dalam situasi perkalian dengan pangkat sbb.: ralat relatif dari hasil terdapat sebagai jumlah dari ralat relatif semua faktor, di mana ralat relatif dari masing- masing faktor harus dikalikan dengan harga mutlak dari pangkat faktor itu dulu. Contoh: • Daya listrik P dihitung dari arus I dan voltase V: P = V ⋅ I . Dalam eksperimen telah terdapat hasil ukur: ΔV 0,1V V = 10V ± 0,1V, berarti terdapat ralat relatif = = 0,01 = 1% V 10 V ΔI 0,1A I = 2,5A ± 0,1A, berarti terdapat ralat relatif = = 0, 04 = 4% I 2,5A Maka terdapat daya sebesar P = V ⋅ I = 10 V⋅ 2,5A = 25W dan ralat relatif untuk daya sebesar: Praktikum Fisika Dasar oleh Richard Blocher
18. 18. 3. Perambatan Ralat 13 ΔP ΔV ΔI = 1⋅ +1⋅ = 1% + 4% = 5% P V I maka ralat absolut untuk daya sebesar: ΔP = P · 5% = 25W · 0,05 = 1,25W, sehingga hasil pengukuran menjadi: P = 25W ± 1, 25W yang akhirnya akan kita nyatakan sebagai hasil ukur P = 25W ± 2 W .3.3 Kombinasi Linear: f(x, y, z,…) = ax ± by ± cz ±… Dengan (3.3) dalam situasi ini terdapat: Δf = a ⋅ Δ x + b ⋅ Δ y + c ⋅ Δ z + … (3.7)3.4 Jumlah: f(x, y, z,…) = x ± y ± z ±… Ini situasi khusus dari 3.3. kombinasi linear dengan semua koefisiensebesar satu: a = b = c = …= 1. Ralat untuk f terdapat sebesar: Δf = Δx + Δy + Δz + ... (3.8) Perhatikan dalam situasi ini dan pada 3.3. kombinasi linear bahwa ralatselalu bertambah dan tidak berkurang, walaupun dalam perhitungan nilai f adapengurangan. Misalnya perbedaan massa Δm dihitung dari dua kali menimbangsuatu benda dengan hasil timbang m1 ± Δm1 dan m2 ± Δm2 , berarti terdapat ralatdari masing-masing pengukuran sebesar Δm1 dan Δm2 . Ralat dari perbedaanmassa Δ m = m2 − m1 sebesar Δ ( Δ m ) = Δm1 + Δm2 ,bukan Δ ( Δ m ) = Δm1 − Δm2 .3.5 Hubungan yang Lebih Kompleks Kalau hubungan antara hasil ukur dan variabel yang diukur masing-masing lebih kompleks atau dalam persamaan terdapat fungsi lain, maka besarralat bisa ditentukan dengan kombinasi dari cara 3.2 sampai 3.4 atau harusdihitung langsung dari persamaan (3.2) atau (3.3).Praktikum Fisika Dasar oleh Richard Blocher
23. 23. 18 Perhitungan Ralat ukur dengan teori, apakah hasil ukur memang benar linear atau ada penyimpangan dari teori yang menyatakan hubungan sebagai fungsi linear. Juga mudah untuk menentukan konstanta kemiringan a dan bagian sumbu y, b. Dalam praktikum rumus non linear selalu dilinearkan untuk membuat grafik. Suatu grafik dilinearkan dengan meneliti persamaan teori yang menyatakan hubungan antara dua variabel, lalu mendefinisikan variabel baru dari persamaan tersebut sedemikian rupa sehingga variabel baru memiliki hubungan linear. Dalam contoh di atas di mana terdapat fungsi y = kx2 untuk hubungan antara variabel x dan variabel y transformasi bisa dilakukan dengan mendefinisikan dua variabel baru: v = y dan u = x2. Dengan dua variabel ini terdapat hubungan linear v = ku. Dalam contoh percobaan bandul matematis terdapat hubungan antara 4π 2 waktu ayunan T dan panjang bandul l dalam bentuk T 2 = ⋅ l . Pasangan nilai g yang diukur adalah waktu ayunan T dan panjang bandul l, sedangkan besaran yang dicari adalah gravitasi g. Jika T terhadap l diukur dan pasangan-pasangan ukuran dimasukkan ke dalam grafik terdapat grafik fungsi akar atau fungsi kuadratis. Besar g sulit ditentukan dari fungsi seperti itu. Maka fungsi asli perlu dilinearkan dengan menggantikan (mensubstitusikan) variabel atau bagian dari fungsi asli. Dengan kata lain kita akan mendefinisikan variabel baru sehingga terdapat fungsi linear. Dalam contoh tersebut T2 bisa diganti (disubstitusi) dengan v. Dengan kata lain variabel v didefinisikan v = T2. Panjang l diganti dengan u atau variabel u didefinisi u = l. Maka dari teori asli terdapat persamaan v= 4 π2 ⋅ u . Persamaan baru ini merupakan fungsi linear. Kemiringan grafik dari g fungsi ini sebesar a = 4 π2 . Kemiringan ini bisa ditentukan dari grafik yang g digambar dengan data ukur untuk v = T2 dan l. Dalam gambar 4.4 contoh hasil ukur waktu ayunan T digambar terhadap panjang bandul l. Ternyata titik-titik yang terdapat dari pengukuran tidak bisa disambungkan dengan garis lurus, berarti ternyata tidak terdapat hubungan linear antara waktu ayunan T dan panjang bandul l. Dalam gambar 4.5 kuadrat dari waktu T, T2 atau v digambar terhadap panjang bandul. Ternyata di sini terdapat hubungan linear dan titik-titik dari pasangan nilai hasil ukur bisa disambungkan dengan garis lurus. Garis lurus 2 4 π2 dalam contoh ini memiliki kemiringan a = 0,0404 det . Karena a = cm g , maka dari hasil eksperimen ini percepatan bumi bisa ditentukan dengan mudah sebesar 4π2 4π2 g= = 2 = 977, 2 cm2 . a 0,0404 det det cm Praktikum Fisika Dasar oleh Richard Blocher
24. 24. 4. Grafik untuk Besaran yang Berhubungan 19 Untuk percobaan dengan persamaan dan teori yang lain, substitusi /penggantian variabel untuk mendapatkan fungsi linear berbeda juga.4.2 Metode Perkirakan dengan Melihat Kalau terdapat suatu eksperimen dengan dua variabel, x dan y. Antaradua variabel tersebut terdapat hubungan linear dalam bentuk y = a ⋅ x + b . Jikabeberapa pasangan nilai dari dua besaran ini telah diukur, maka semua pasangannilai ( xi , yi ) yang didapatkan sebagai hasil ukur seharusnya memenuhipersamaan linear tersebut. Ketika pasangan nilai tersebut digambarkan sebagaititik dalam grafik, maka semua titik seharusnya berada di atas satu garis lurus.Tetapi dalam pengukuran biasanya terjadi ralat, maka pasangan nilai tidak semuaakan memenuhi persamaan linear dengan konstanta a dan b yang sebenarnya dantitik hasil ukur yang digambarkan dalam grafik tidak akan berada di atas satugaris lurus. Sebagai contoh kita menyelidiki suatu hasil dari mengukur waktudan posisi suatu benda beberapa kali. Benda tersebut bergerak dengan kecepatankonstan, berarti antara posisi s dan waktu t terdapat hubungan linear s = s0 + v ⋅ t . Dalam tabel 4.2 telah dicatat hasil pengukuran 5 pasangan nilai sidan ti. Posisi si diukur pada waktu ti, berarti s1 diukur pada waktu t1, s2 diukurpada waktu t2 dsb. Pasangan nilai tersebut telah digambarkan ke dalam grafikgambar 4.6. 10 t (det) s (m) 9 s/m 8 t1 = 1,0 s1 = 2,6 7 6 Δs=6m t2 = 1,9 s2 = 5,3 5 4 t3 = 2,1 s3 = 4,5 3 Δt=2,7det 2 t4 = 3,0 s4 = 6,5 1 t / det s0=0,37m 0 t5 = 3,8 s5 = 9,2 0 1 2 3 4 Gambar 4.6: Grafik dari data Tabel 4.2. Tabel 4.2: Data dari contoh pasal 4.2Praktikum Fisika Dasar oleh Richard Blocher
25. 25. 20 Perhitungan Ralat Ternyata titik yang menggambarkan pasangan nilai tidak berada persis di atas satu garis lurus, berarti pasangan nilai hasil ukur tidak memenuhi persamaan linear. Walaupun persamaan linear tetap benar untuk proses fisik ini, pergeseran titik dari garis lurus bisa diakibatkan oleh ralat ukur. Kalau satu nilai tempat ataupun waktu diukur terlalu besar atau terlalu kecil, maka titik dari hasil ukur akan bergeser dari garis lurus. Titik-titik ukur tidak berada di atas garis lurus menunjukkan adanya ralat dalam pengukuran dan kemiringan a, dalam hal ini kecepatan v, yang sebenarnya tidak diketahui. Juga bagian sumbu y, b atau v0, yang sebenarnya tidak diketahui. Untuk mendapatkan satu perkiraan untuk besar dari kemiringan garis lurus a yang sebenarnya atau besar kecepatan benda v yang sebenarnya dan juga bagian sumbu y, yaitu konstanta b atau posisi awal s0 yang sebenarnya, maka pasangan nilai hasil ukur digambarkan ke dalam satu grafik. Sebagai pendekatan, kita memperkirakan, garis lurus mana yang paling dekat dengan hasil ukur. Dalam hal ini “paling dekat dengan hasil ukur”, berarti satu garis lurus dengan sifat, jarak rata-rata antara garis lurus itu dan titik-titik ukuran paling kecil. Garis dengan sifat tersebut dikirakan, kemudian digambarkan ke dalam grafik. Sebagai pendekatan posisi garis yang paling cocok dikirakan dengan melihat grafik saja. Baru dalam pasal mengenai prinsip kuadrat terkecil suatu cara untuk menghitung posisi garis yang paling cocok secara objektif akan dijelaskan. Besar bagian sumbu y (dalam contoh s0) dan kemiringan dari garis tersebut (dalam contoh v) dibaca dari grafik sebagai perkiraan untuk nilai yang sebenarnya. Dalam grafik gambar 4.6 “garis lurus yang paling cocok” telah digambarkan. Dari grafik itu didapatkan besar kecepatan: Δs 6m m v= = = 2, 22 (4.2) δt 2,7 det det dan besar dari bagian sumbu y: s0 = 0,37 m. (4.3) 4.3 Perkiraan Ralat Dengan cara menentukan “garis lurus yang paling cocok” dengan pasangan nilai hasil ukur, maka dari garis lurus tersebut terdapat perkiraan untuk kemiringan a yang sebenarnya dan untuk bagian sumbu y, b. Hasil dari perkiraan untuk dua nilai tersebut pasti terpengaruh oleh ralat ukur. Maka kemiringan a dan bagian sumbu y, b, memiliki ketidakpastian atau ralat. Ralat untuk kemiringan a disebut sebagai Δa dan ralat untuk b disebut sebagai Δb. Dalam pasal ini satu cara untuk memperkirakan besar dari ralat tersebut dibicarakan. Praktikum Fisika Dasar oleh Richard Blocher
26. 26. 4. Grafik untuk Besaran yang Berhubungan 2110 δs5 9 8 s/m 7 δs4 6 δs2 s2 5 s* 2 δs3 4 3 2 1 t / det Gambar 4.7: Ralat dari t2 masing-masing nilai ukuran 0 0 1 2 3 4 tempat δsi. Untuk mendapatkan ralat dari kemiringan dan dari bagian sumbu y, ralatdari nilai-nilai hasil ukur perlu ditentukan lebih dulu. Ketika mengukur pasangannilai biasanya terdapat ralat dalam dua-duanya variabel x dan y. Jika ralat tidakterlalu besar, menganggap hanya salah satu variabel mempunyai ralat merupakanpendekatan yang cukup baik. Berarti dianggap satu variabel telah diukur dengantepat dan hasil ukurnya merupakan nilai yang sebenarnya. Seluruh ralat ukurdimasukkan ke dalam ralat dari variabel kedua. Untuk mendapatkan perkiraan mengenai besar ralat statistis darivariabel kedua tersebut, deviasi (perbedaan) dari setiap hasil pengukuran denganperkiraan untuk nilai yang sebenarnya ditentukan. Perkiraan untuk nilai yangsebenarnya terdapat di atas garis lurus yang telah ditentukan sebagai garis lurusyang paling cocok dengan nilai-nilai hasil ukur. Dalam praktikum biasanyadipilih untuk memasukkan seluruh ralat ke dalam variabel y yang digambar kearah atas. Kalau cara ini diterapkan dalam contoh di atas, ralat dimasukkan kedalam pengukuran tempat. Maka pada setiap pasangan nilai hasil pengukuranterdapat deviasi δsi antara tempat si yang diukur dan perkiraan untuk tempatyang sebenarnya pada waktu ti. Perkiraan untuk tempat yang sebenarnya padawaktu ti akan kita sebutkan sebagai si*. Dengan contoh hasil ukur dari tabel 4.2dan grafik dalam gambar 4.6 yang digambar lagi dalam gambar 4.7 terdapatdeviasi sbb.: Untuk titik pasangan nilai kedua (i = 2) terdapat dari grafik gambar 4.7dan dari data hasil ukur dalam tabel 4.2: waktu pada titik ukur kedua ini sebesart2 = 1,9 det, tempat yang diukur pada waktu t2 sebesar s2 = 5,3 m, dari “garislurus yang paling cocok” terdapat perkiraan untuk tempat yang sebenarnya padat2 sebesar s2* = 4,6 m, berarti terdapat deviasi (antara tempat yang diukur danPraktikum Fisika Dasar oleh Richard Blocher
27. 27. 22 Perhitungan Ralat perkiraan untuk tempat yang sebenarnya) pada waktu t2 sebesar δs2 = s2 * − s2 = 4,6 m − 5, 3m ⇒ δs2 = 0, 7 m . Dalam tabel 4.3 perkiraan untuk tempat yang sebenarnya pada setiap waktu pengukuran serta deviasi tempat dicatat. Ralat ukur Δs untuk pengukuran tempat ditentukan dari deviasi tempat δsi pada semua hasil ukur. Dalam situasi umum dengan variabel x dan y cara yang sama dipakai untuk menentukan deviasi δyi dari setiap nilai hasil ukur variabel y. Ralat Δy untuk pengukuran variabel y ditentukan dari semua nilai deviasi δyi. Dua cara berikut bisa dipakai untuk menentukan ralat Δy atau ralat Δs dalam contoh. 1. Jika jumlah pasangan nilai ukuran minimal sepuluh, perkiraan untuk deviasi standar bisa dihitung dengan menyesuaikan persamaan (2.3). Perkiraan untuk nilai yang sebenarnya x dalam (2.3) diganti dengan perkiraan untuk nilai yang sebenarnya dalam situasi ini, yaitu yi* atau si* dalam contoh. Maka terdapat besar perkiraan sn untuk deviasi standar σn: n ( si − si* )2 n δs 2 ssn = ∑ n −1 = ∑ n −1 i (4.4) i =1 i =1 Untuk situasi umum s diganti dengan y dan t diganti dengan x. Berarti (4.4) menjadi: n ( yi − yi* )2 n δy 2 s yn = ∑ n −1 = ∑ n −i 1 (4.5) i =1 i =1 2. Jika jumlah pasangan nilai yang diukur tidak lebih dari sepuluh, ralat variabel y (atau tempat s dalam contoh) ditentukan dengan metode ralat maksimal seperti dijelaskan dalam pasal 2.1.4, halaman 9. Dalam metode ralat maksimal ini harga mutlak deviasi yang paling besar dianggap sebagai ralat dari variabel y (tempat s dalam contoh). Jika memakai ralat maksimal, ralat dari variabel y sering bisa dibaca langsung dari grafik dengan mencari titik hasil ukur yang paling jauh dari “garis lurus yang paling cocok”, lalu menentukan jarak antara “garis lurus yang paling cocok” dan titik hasil ukur tersebut dalam skala ke arah y. Dalam tabel 4.3 semua deviasi dan hasil untuk ralat Δs untuk tempat dengan memakai statistika dan dengan memakai metode ralat maksimal dicantumkan. Dalam contoh ini metode ralat maksimal lebih cocok karena terdapat hanya 5 pasangan nilai (si, ti). Praktikum Fisika Dasar oleh Richard Blocher