Dokumen tersebut membahas tentang vektor, termasuk definisi vektor, notasi vektor, penyajian vektor, operasi-operasi vektor seperti penjumlahan, pengurangan, dan perkalian vektor dengan skalar, serta aplikasi vektor pada momentum gaya.
3. Warsun Najib, 2005 3
1. Vektor di Ruang 2
Besaran Skalar dan Besaran Vektor
Besaran skalar adalah besaran yang hanya memiliki besar
(panjang/nilai)
Ex: waktu, suhu, panjang, luas, volum, massa
Besaran Vektor-> memiliki besar dan arah
Ex: kecepatan, percepatan, gaya, momentum, medan magnet,
medan listrik
Notasi Vektor
Ruas garis berarah yg panjang dan arahnya tertentu.
Vektor dinyatakan dg huruf ū, u, u (bold), atau u (italic).
Jika u menyatakan ruas garis berarah dari A ke B, maka
ditulis dengan lambang u = AB
Notasi u dibaca “vektor u”
4. Warsun Najib, 2005 4
Penyajian Vektor
Vektor sbg pasangan bilangan
u = (a,b)
a : komponen mendatar, b : komponen vertikal
Vektor sbg kombinasi vektor satuan i dan j
u = ai + bj
Panjang vektor u ditentukan oleh rumus
b
a
u
2
2
|
u
| b
a
5. Warsun Najib, 2005 5
Kesamaan Vektor
Dua buah vektor dikatakan sama besar bila
besar dan arahnya sama.
Misalkan u = (a,b) dan v = (c,d)
Jika u = v, maka
|u| = |v|
arah u = arah v
a=c dan b=d
6. Warsun Najib, 2005 6
a b
Dua vektor sama,
a = b
a b
Dua Vektor
mempunyai besar
sama, arah
berbeda
a b
Dua vektor arah
sama, besaran
beda
a
b
Dua Vektor besar
dan arah berbeda
7. Warsun Najib, 2005 7
Penjumlahan Vektor
Penjumlahan vektor menurut aturan segitiga dan
aturan jajaran genjang
Dalam bentuk pasangan bilangan sbb:
v
u w = u + v
w = u + v
u
v
u
d
b
c
a
d
c
b
a
v
u
d
c
v
dan
b
a
u
8. Warsun Najib, 2005 8
Conoth Penggunaan Penjumlahan Vektor
Gambar 154 hal 404 Buku Advance
Engineering Mathematic
9. Warsun Najib, 2005 9
Elemen Identitas
Vektor nol ditulis 0
Vektor nol disebut elemen identitas
u + 0 = 0 + u = u
Jika u adalah sebarang vektor bukan nol,
maka –u adalah invers aditif u yang
didefinisikan sebagai vektor yang memiliki
besar sama tetapi arah berlawanan.
u – u = u + (-u) = 0
10. Warsun Najib, 2005 10
Pengurangan Vektor
Selisih dua vektor u
dan v ditulis u – v
didefinisikan u + (-v)
Dalam bentuk
pasangan bilangan
v
u
w = u - v -v
u
d
b
c
a
d
c
b
a
v
u
d
c
v
dan
b
a
u
11. Warsun Najib, 2005 11
Perkalian Vektor dengan Skalar
mu adalah suatu vektor
dg panjang m kali
panjang vektor u dan
searah dengan u jika
m > 0, dan berlawanan
arah jika m < 0.
u
2u
mb
ma
b
a
m
mu
maka
real
bilangan
m
dan
b
a
u
Jika
:
,
12. Warsun Najib, 2005 12
Sifat-Sifat Operasi Vektor
Komutatif a + b = b + a
Asosiatif (a+b)+c = a+(b+c)
Elemen identitas terhadap penjumlahan
Sifat tertutup-> hasil penjumlahan vektor juga
berupa vektor
Ketidaksamaan segitiga |u+v| ≤ |u| + |v|
1u = u
0u = 0, m0 = 0.
Jika mu = 0, maka m=0 atau u = 0
13. Warsun Najib, 2005 13
Sifat-Sifat Operasi Vektor (lanj.)
(mn)u = m(nu)
|mu| = |m||u|
(-mu) = - (mu) = m (-u)
Distributif : (m+n)u = mu + nu
Distributif : m(u+v) = mu + mv
u+(-1)u = u + (-u) = 0
14. Warsun Najib, 2005 14
Besar Vektor Hasil Penjumlahan dan
Pengurangan
2
2
)
(
)
(
|
| d
b
c
a
v
u
d
b
c
a
d
c
b
a
v
u
d
c
v
dan
b
a
u
Jika
n
Penguranga
2
2
)
(
)
(
|
| d
b
c
a
v
u
d
b
c
a
d
c
b
a
v
u
d
c
v
dan
b
a
u
Jika
n
Penjumlaha
15. Warsun Najib, 2005 15
Menghitung Besar Vektor Hasil
Penjumlahan dan Pengurangan
cos
|
||
|
2
|
|
|
|
|
| 2
2
v
u
v
u
v
u
u + v
u
v
θ
cos
|
||
|
2
|
|
|
|
|
| 2
2
v
u
v
u
v
u
u
v
u-v
θ
16. Warsun Najib, 2005 16
Menentukan Arah Vektor Hasil
Penjumlahan dan Pengurangan
n
penjumlaha
hasil
r
arah vekto
:
sin
|
|
)
sin(
|
|
sin
|
|
v
u
v
u
u + v
u
v
α
u
v
u-v
α
β
n
penguranga
hasil
r
arah vekto
:
sin
|
|
)
sin(
|
|
sin
|
|
v
u
v
u
β
17. Warsun Najib, 2005 17
Vektor Posisi
OA = a dan OB = b
adalah vektor posisi.
AB = AO + OB
= OB – OA
= b – a
X
Y
0
A
B
b
a
18. Warsun Najib, 2005 18
Dot Product (Inner Product)
Perkalian titik (dot product) a•b (dibaca a dot b) antara dua
vektor a dan b merupakan perkalian antara panjang vektor dan
cosinus sudut antara keduanya.
cos
|
||
| b
a
b
a
Dalam bentuk komponen vektor, bila a = [a1,b1,c1] dan b = [a2,b2,c2],
maka :
3
3
2
2
1
1 c
c
b
a
b
a
b
a
a•b > 0 jika {γ| 0 < γ < 90o}
a•b = 0 jika {γ| γ = 90o}
a•b < 0 jika {γ| 90o < γ< 180o}
19. Warsun Najib, 2005 19
Vektor Ortogonal
Teorema
Hasil perkalian dot product antara dua vektor bukan-nol
adalah nol jika dan hanya jika vektor-vektor tersebut saling
tegak lurus
Vektor a disebut ortogonal thd vektor b jika a•b = 0,
dan vektor b juga ortogonal thd vektor a.
Vektor nol 0 ortogonal terhadap semua vektor.
Untuk vektor bukan-nol
a•b = 0 jika dan hanya jika cos γ = 0 γ = 90o = π/2
20. Warsun Najib, 2005 20
Besar dan Arah dalam Perkalian Dot
Product
Besar Sudut γ dapat dihitung dgn:
b
b
a
a
b
a
b
a
b
a
|
||
|
cos
21. Warsun Najib, 2005 21
Contoh Perkalian Dot Product
a = [1,2,0] dan b = [3,-2,1]
Hitung sudut antara dua vektor tsb
22. Warsun Najib, 2005 22
Applications of Vector Product
Moment of a force
Find moment of force P
about the center of the
wheel.
|P|=1000 lb
30o
1,5 ft
]
1299
,
0
,
0
[
500
866
5
.
1
0
0
0
0
500
866
0
5
.
1
0
)
5
,
1
titik
pada
roda
pusat
(
]
0
,
5
.
1
,
0
[
]
0
,
500
,
866
[
]
0
,
30
sin
1000
,
30
cos
1000
[
k
j
i
k
j
i
p
r
m
y
r
P
Vektor moment (m) tegak lurus thd bidang roda (sumbu z negatif ).
23. Warsun Najib, 2005 23
Scalar Triple Product
shg
pertama,
brs
mnrt
3
orde
determinan
ekspansi
mrpk
Ini
,
,
v
a
c)
(b
a
]
v
,
v
,
[v
v
c
b
andaikan
c)
(b
a
c)
b
(a
sebagai
an
didefinisk
)
(
ditulis
]
,
,
[
],
,
,
[
,
]
,
,
[
vektor
tiga
dari
product
triple
Scalar
2
1
2
1
3
1
3
1
3
2
3
2
3
2
1
3
3
2
2
1
1
3
2
1
3
2
1
3
2
1
3
2
1
c
c
b
b
a
c
c
b
b
a
c
c
b
b
a
v
a
v
a
v
a
c
b
a
c
c
c
c
b
b
b
b
a
a
a
a
3
2
1
3
2
1
3
2
1
c)
(b
a
c)
b
(a
c
c
c
b
b
b
b
b
b
24. Warsun Najib, 2005 24
Scalar Triple Product
Geometric representation
a,b,c vektor
β sudut antara (bxc)
dan a
h tinggi parallelogram
b
|
|
luas
mempunyai
c
dan
b
sisi
dg
alas
genjang
jajaran
cos
|
|
cos
|
||
|
|
)
(
|
)
(
c
b
area
h
height
a
c
b
a
c
b
a
c
b
a
Besar
c
b x c
a
β h