Què és i com funciona el pagerank? Més manuals a: http://www.exabyteinformatica.com

1. Més manuals a: http://www.exabyteinformatica.com/manuales-y-apuntes-freeware/
© Roger Casadejús Pérez | Exatienda
Què és I com funciona el Pagerank de Google
PageRank és una marca registrada i patentada per Google el 9 de gener de 1999 que empara
una família d'algorismes utilitzats per assignar de forma numèrica la rellevància dels
documents (o pàgines web) indexats per un motor de cerca. Les seves propietats són molt
discutides per experts en optimització de motors de cerca.
El sistema PageRank és utilitzat pel popular motor de cerca Google per ajudar-li a determinar
la importància o rellevància d'una pàgina. Va ser desenvolupat pels fundadors de Google, Larry
Page i Sergey Brin, a la Universitat de Stanford.
PageRank confia en la naturalesa democràtica de la web utilitzant la seva vasta estructura
d'enllaços com un indicador del valor d'una pàgina en concret. Google interpreta un enllaç
d'una pàgina A a una pàgina B com un vot, de la pàgina A, per a la pàgina B.
"importants", és a dir amb un PageRank elevat, valen més, i ajuden a fer a altres pàgines
"importants". Per tant, el PageRank d'una pàgina reflecteix la importància de la mateixa a
Internet.
Com funciona el Pagerank?
El valor del PageRank que observem és un valor comprès entre 0 i 10. Però en realitat, el
PageRank és un valor numèric molt més alt, calculat en funció dels enllaços que reben les
nostres pàgines.
El valor real sol ser de l'ordre de milers d'unitats. No obstant això, Google pren el seu valor
logarítmic per fer-ho visible als usuaris. La base d'aquest logaritme és desconeguda.

2. Més manuals a: http://www.exabyteinformatica.com/manuales-y-apuntes-freeware/
© Roger Casadejús Pérez | Exatienda
Per exemple, per a una base 7, tindríem els següents valors:
Valor PR PR Real
0 0 - 3
1 3 - 19
2 19 - 130
3 130 - 907
4 907 - 6351
5 6351 - 44458
6 44458 - 311209
7 311209 - 2178466
8 2178466 - 15249262
9 15249262 - 106765607
10 > 106765607
Si una pàgina té un PageRank real -per exemple- de 500000, quin valor li transmetria a una
altra a la qual enllaça?.
La resposta a aquesta pregunta es contesta en el ja famós text de Sergey Brin i Larry Page
(fundadors de Google), anomenat ' The Anatomy of a Large-Scale Hypertextual Web Search
Engine '.
En ell, plantejaven la següent fórmula per calcular el PageRank d'una pàgina web anomenada
'A':
PR(A) = (1-d) + d * [ PR(T1)/C(T1) + ... + PR(Tn)/C(Tn) ]
On:
- 'd' és el factor d'atenuació. Un valor podria ser 0,85.
- 'Ti' és cada pàgina que enllaça a 'A'. 'i' pren els valors 1, 2, ... fins a 'N'. 'N' és el nombre de
pàgines que enllacen a 'A'.
- 'PR(Ti)' és el PageRank de cadascuna de les pàgines que enllacen a 'A'.
- 'C(Ti)' és el número d'enllaços que surten des de cada pàgina 'Ti'.
Per tant, la nostra pàgina de 500000 de PageRank transmetrà a una altra en cas de tenir un
únic enllaç, un valor de 0,85500000 = 425000. Generalment les pàgines posseeixen més d'un
enllaç dins d'elles, així que aquest valor caldria dividir-ho entre el nombre d'enllaços.
Com es pot comprovar, el valor del PageRank de cada pàgina no és constant en el temps, ja
que depèn dels enllaços que anem rebent i, al seu torn, del PR de les pàgines que ens enllacen.
Per això, una vegada al mes aproximadament, Google recalcula el valor d'aquest PageRank que
s’anomena el ' Google Dance'.

3. Més manuals a: http://www.exabyteinformatica.com/manuales-y-apuntes-freeware/
© Roger Casadejús Pérez | Exatienda
Algorisme del Pagerank
(Mètode per a la jerarquització de nodes en una base de dades enllaçada)
La patent més famosa de Google és una dels principals avantatges competitius que va
permetre a aquesta companyia aixafar als seus competidors en el camp de les cerques a
internet i fer-se el gegant que són avui*. El Page Rank, com tots el coneixem, és una idea genial
per trobar el valor o "importància" que té una pàgina web determinada. Aquesta
"importància" s'empra després per mostrar els resultats de major qualitat quan realitzem una
cerca en Google. La qualitat dels resultats de Google emprant aquest mètode (combinat, per
descomptat, amb altres algorismes) és el que ens va fer a tots abandonar els nostres antics
cercadors (Altavista, Metacrawler) i passar-nos al cercador de Larry i Sergei. En aquest post
anem a explicar l'algorisme fins al final intentant emprar la quantitat mínima de matemàtiques
possibles.
Si alguna vegada t'has interessat pel tema, hauràs llegit que:
1. La "importància" d'una pàgina web només depèn de les pàgines web que l'enllacen.
Si tens una pàgina web i aquesta és enllaçada des de pàgines importants (d'alt Page Rank,
posem www.uoc.edu) tu rebràs una part d'aquesta importància. Totes les pàgines que enllacis
des de la teva pàgina web rebran, al seu torn, una part de la importància de la teva pàgina. Per
ser més exactes:
2. Una pàgina web reparteix per igual la seva importància entre totes les pàgines a les quals
enllaça.
És a dir: Si t'enllaça una pàgina important que enllaça 3 o 4 pàgines a part de la teva és molt
millor que si t'enllaça una pàgina igual d'important que enllaci 30 o 40 (toca més Page Rank a
repartir).
També hauràs sentit parlar dels Spiders (aranyes). Això no són més que veloços programes
automàtics que van recorrent internet com si fossin un usuari humà, prement tots els enllaços
possibles, extenent-se així per la "xarxa" (d'aquí el nom) i creant un mapa de la mateixa. Així
que tenim:
3. Els Spiders proporcionen a Google un mapa de la xarxa on es pot veure quina pàgina apunta
a quina pàgina.
Això no significa que sapiguem ja el Page Rank. De fet, tot això és molt bonic però… com
calculem el Page Rank?. Per quina pàgina comencem?. Suposant que comencéssim per una, si
no tenim el Page Rank de les quals enllacen a aquesta, com podem calcular alguna cosa?. I el
que és pitjor: A internet hi ha vint-i-cinc mil milions de pàgines apuntant-se unes a les altres
(nombre que puja ràpidament), com crear un algorisme que sigui capaç de bregar amb
semblant brutalitat d'enllaços?. En el pitjor cas totes les pàgines s'apunten entre si i el numero
total d'enllaços és de vint-i-cinc mil milions, al quadrat!.
Aquí és on realment arriba l'artilleria matemàtica. Prometem que si saps el que és una matriu,
com se sumen i com es multipliquen (i tens una mica de fe) ja pots entendre l'algorisme de
Larry i Sergei fins al final.

4. Més manuals a: http://www.exabyteinformatica.com/manuales-y-apuntes-freeware/
© Roger Casadejús Pérez | Exatienda
La Matriu de repartiment de Page Rank H
D’acord, no sabem com és el page Rank de cap pàgina abans de començar, però si hi ha una
cosa que sabem: Quant del seu desconegut Page Rank reparteix una pàgina entre les pàgines
que enllaça. Pel que s'ha dit anteriorment, si una pàgina enllaça 5 pàgines transmetrà un 1/5
del seu Page Rank a cadascuna. A causa del nombre de pàgines que enllaça cada pàgina ho
sabem. És més, podem construir una taula H de vint-i-cinc mil milions de files per vint-i-cinc mil
milions columnes (no, no cap en un Din-A4), que contingui tots els enllaços possibles. Per a
dues pàgines qualsevol (una com enllaçadora i l'altra com enllaçada) tenim un requadre de la
taula que ens indica quina proporció del Page Rank transfereix la enllaçadora a l'enllaçada. Per
orientar-nos una mica: La diagonal d'aquesta taula representaria el que la pàgina es transmet a
si mateixa (si s'enllacés). Qualsevol requadre per sota de la diagonal i el seu simètric per sobre
de la diagonal indiquen respectivament el que es transmeten dues pàgines quan una actua
com enllaçadora i l'altra com enllaçada i viceversa. Si una pàgina no enllaça a una altra, es posa
un 0 en el requadre (lògicament no li pot transmetre gens de Page Rank).
Matriu (Vector) Invariant I
El que ve a continuació no és idea de Larry Page o Sergei Brin, fa un segle que es coneix, però si
que requereix la poca fe que et demanem reservar. Aquesta taula (llegeixi’s Matriu), que hem
creat amb l'ajuda de la informació proporcionada pels Spiders, representa en realitat la
dificultat (o facilitat) per al "flux" de Page Rank d'una pàgina a una altra. Podem veure el flux
com a aigua que passa amb menor o major dificultat d'una pàgina a una altra d'acord al valor
corresponent al requadre de la taula H. Aquest aigua/transferència de Page Rank fluiria d'una
pàgina a una altra a través dels seus enllaços sense parar i eventualment podria arribar a un
equilibri (si no hi arribés no hi hauria Page Rank algun). Doncs bé les matemàtiques,
concretament el teorema de Ruelle-Perron–Frobenius (engonals) ens garanteix el següent:
4. Sota determinades condicions, que veurem, s'acabarà aconseguint aquest equilibri. No és
que Frobenius (engonals) sabés el que és una pàgina web al 1900, si no que el problema és
matemàticament idèntic a un conegut problema de dinàmica de sistemes (engonals). Després,
hi ha gent que diu que Larry i Sergei són llicenciats en filosofia.
5. L'equilibri queda representat pel vector invariant I. Això és: Una taula d'una sola columna
(una matriu, més concretament vector) de vint-i-cinc mil milions de valors, que compleix que
en multiplicar-la per la matriu de repartiment H ens dóna una altra vegada ella mateixa (I). El
que expressaríem:
Aquest vector invariant I de vint-i-cinc mil milions de valors, quina casualitat, un per a cada
pàgina web, és el Page Rank. Faltarà refinar-ho, escalant-lo d'1 a 10, i “discretitzant-lo” perquè
no doni valors intermedis. Intueixo que el valor “discretitzat” (1 a 10 sense decimals), que es
mostra en la Google toolbar, és solament de cara al públic i internament empressin els
decimals que surtin també.
Sí, molt bé però i referent a les 25.000.000.000 pàgines?

5. Més manuals a: http://www.exabyteinformatica.com/manuales-y-apuntes-freeware/
© Roger Casadejús Pérez | Exatienda
Cert. La gent que hagi sofert àlgebra de primer haurà reconegut a I com un vector propi de
valor propi 1 de la matriu H. I segurament recordarà amb horror que per calcular-ho cal
resoldre un polinomi que en aquest cas tindria grau 25.000.000.000. Vaja no ho calculariem
així ni de broma. Afortunadament, sobretot per a les persones a les quals l'anterior els ha
sonat a xinès, existeix un mètode per calcular I iterativament (en passos successius) i molt molt
senzill. Tan senzill que consisteix que ens inventem una taula de 25.000.000.000 valors del
Page Rank a l’atzar (un vector I0 creat aleatòriament), ho multipliquem per H i el resultat serà
una altra taula de 25.000.000.000 valors I1 però més propers al valor correcte del vector
invariant I. Repeteixi's això un munt de vegades fins que el resultat de multiplicar per H ja no
produeixi cap canvi i ja està. Ja tenim el vector invariant. Aquest algorisme, que es diu el
mètode de les potències (engonals), s'expressaria matemàticament així:
On k no és més que l'índex que indica quantes vegades hem multiplicat per la matriu H. El
primer vector, que crearíem a l’atzar seria k = 0, el segon, procedent de multiplicar per H seria
k =1, etc. Per expressar de forma general que cada terme s'obté mitjançant una transformació
de l'anterior s'empren els índexs k+1 i k. Cal tenir en compte que els mètodes iteratius tenen
l'avantatge que no necessitem acumular massa valors, la qual cosa redueix la quantitat de
memòria que necessitem per computar el Page Rank i accelera tot el procés de càlcul.
Segueixen sent una bestiesa de nombres però almenys és factible.
Gran problema
Sembla fàcil, oi?. Òbviament falla alguna cosa i aquesta cosa és el punt (4). Resulta que no es
compleixen les condicions de convergència del teorema Ruelle-Perron–Frobenius. És a dir que
aplicant el mètode a dalt explicat no hi ha garantia que arribem al vector invariant. No entraré
en els detalls, no fa falta. Utilitzant l'analogia del "flux" de Page Rank es pot entendre
perfectament que és el que falla i com es pot solucionar.
Pàgina Embornal:
Què ocorre quan el flux de Page Rank arriba a una pàgina com la 2 que no té enllaços a cap
lloc?. Doncs simplement que no surt d'aquí. Aquesta pàgina es torna un embornal de Page
Rank i l'algorisme donarà resultats incorrectes. Com ho resolem?. Si fem la pàgina 2 enllaç
totes les pàgines de la web per igual (imagina milions de petites fletxes sortint de 2 cap a totes
lás pàgines), això donarà sortida al flux de Page Rank però la influència en els resultats és
mínima, ja que cada pàgina rep solament 1/25.000.000.000 del Page Rank de 2.
Matemàticament, això equival a sumar-li a H una matriu Al fet que tingui tot 0s menys en les
columnes de les pàgines embornal que tindran tota la columna plena d'1/25.000.000.000.
D'aquesta forma en comptes de la matriu H empraríem la matriu S=H+A en el mètode de les
potències.

6. Més manuals a: http://www.exabyteinformatica.com/manuales-y-apuntes-freeware/
© Roger Casadejús Pérez | Exatienda
Xarxa-Embornal:
Un cas similar és el de les sub-xarxes de pàgines dins de la xarxa, com la 5-7-6-8, que no tenen
enllaços de tornada. Aquestes xarxes es converteixen en xarxes-embornal. El problema és que
aquestes pàgines sí enllacen altres pàgines i no podem simplement carregar-nos aquesta
informació i enllaçar totes les pàgines de la xarxa des d'elles. Per donar sortida al flux de Page
Rank, anem a recórrer a una solució al més pur estil "enginyer".
Gran solució
Necessitem garantir la sortida del flux de Page Rank de qualsevol pàgina o sub-xarxa, és a dir,
que tota pàgina apunti a una altra pàgina. No ens val amb crear un enllaç a qualsevol pàgina a
l’atzar perquè (a part d'estar falsejant el Page Rank), si resulta en una xarxa tancada com 5-7-6-
8 no hem solucionat gens. Ara, imaginem un cas ideal on totes les pàgines apuntessin a totes
les pàgines. Aquí el Page Rank sempre tindria algun enllaç per on escapar, fins i tot de les sub-
xarxes, i l'algorisme funcionaria. Però clar, es perdria tota la jerarquia que donen els enllaços,
la matriu de repartiment tindria tots els seus elements iguals a 1/25.000.000.000 i totes les
pàgines tindrien el mateix Page Rank.
Doncs res, sumar la matriu de repartiment real, calculada amb la informació dels Spiders amb
la ideal en la qual totes les pàgines s'apunten entre si i ho dividim per dos. La matriu resultant
tindrà sempre enllaços sortints de cada pàgina i tenim el flux de Page Rank garantit. Que en
barrejar a parts iguals la matriu real i la ideal ens surten els resultats massa aleatoris? (per
influència de la ideal). Bé, doncs en comptes de meitat i meitat les barregem amb 85% de la
matriu real i un 15% de la ideal i llestos. I ja que parlem del tema, aquí teniu la famosa matriu
de Google:

7. Més manuals a: http://www.exabyteinformatica.com/manuales-y-apuntes-freeware/
© Roger Casadejús Pérez | Exatienda
On recordem que S=H+A és la matriu real amb el problema dels embornals individuals resolt,
1/n×1, amb n = 25.000.000.000 és la matriu ideal i α = 0.85 ens dóna la citada barreja al 85%.
Algun lector espavilat pot dir: Però… al ficar-hi un 15% de aleatorietat, no falseja d'alguna
manera el Page Rank?
Per acabar si emprem G en comptes d'H en el mètode de les potències i juguem una mica amb
els termes obtenim la formula que apareixia al principi del post. Emprant la fórmula a la dreta
de l'igual obtindrem cada nou vector Ik+1 en cada iteració.
Anotacions finals
- El valor òptim del paràmetre α es determina experimentalment i regula també la velocitat de
convergència del mètode de les potències, a major percentatge de matriu real, menor
velocitat de convergència. Google diu que amb n'hi ha prou amb k=50-100 iteracions per
calcular el Page Rank, cosa que triga diversos dies. Imagino que treballant amb diversos
ordinadors en paral·lel. Això es coneix com Google Dance i en TSS no ens fa gens de gràcia.
- Matemàticament, la condició de convergència de l'algorisme emprat per Google és que tots
els elements de la matriu de repartiment de Page Rank siguin estrictament majors que 0, cosa
que compleix la ruda solució que acabem de veure. Això no és una condició de convergència
del mètode de les potències si no una condició per a l'existència del vector invariant segons el
teorema de Ruelle-Perron–Frobenius.