Definición, características y operaciones con vectores en R2 y R3

1. Vectores
Álgebra Vectorial
Ing. José Luis Morillo
Julio 2017

2. Álgebra
vectorial
Suma y resta
Producto de un escalar
por un vector
Producto Escalar
Producto Vectorial
Método Gráfico
Método Analítico
Click sobre el nombre del tema para ir a la diapositiva correspondiente

3. Álgebra vectorial – Suma y resta de vectores – Método gráfico
Método del paralelogramo:
Este método permite operar vectores en parejas (de 2 en 2), lo cual es una seria limitación
si se tiene que trabajar con varios vectores, sin embargo, su aplicación sirve para dar
explicación a varios conceptos que se verán más adelante.
Para una mejor visualización del método, se trazarán los vectores en una cuadrícula que
servirá de guía o referencia para trazar cada vector
𝐀
𝐂
𝐁
𝐀
𝐁
𝐂
Supóngase que se tienen tres vectores 𝐀, 𝐁 𝐲 𝐂
y se quiere sumar 𝐀 + 𝐁+ 𝐂
Primero se toman dos vectores cualquiera, en
este ejemplo se tomarán 𝐀 𝐲 𝐁.
1. Se llevan los vectores 𝐀 𝒚 𝐁 a un origen
común
2. En el extremo de 𝐀 de traza una paralela al
vector 𝐁
3. En el extremo de 𝐁 de traza una paralela al
vector 𝐀
4. El punto de intersección de estas paralelas
es el extremo del vector suma 𝐀 + 𝐁 ,
entonces se traza el vector suma desde el
origen común hasta la intersección de las
paralelas
5. Ahora se suman el vector 𝐀 + 𝐁 con el
vector 𝐂 siguiendo el mismo
procedimiento.

4. Álgebra vectorial – Suma y resta de vectores – Método gráfico
Método del polígono:
Este método tiene la ventaja que permite operar con todos los vectores a la vez:
𝐀 𝐂
𝐁
Usando los mismos vectores del
ejemplo anterior:
1. Se toma uno de los vectores
(cualquiera de ellos)
𝐀
2. Se toma el segundo vector y se
traza tomando como origen el
extremo del primer vector
𝐁
3. Se toma el tercer vector y se
coloca también en el extremo
del segundo vector
𝐂
4. El vector suma se traza desde el
origen del primer vector hasta el
extremo del último vector
𝐂
𝐀
𝐁
𝐁
𝐂
𝐀
𝐂
𝐁
𝐀
𝐂
𝐀
𝐁
Observe que el vector suma es el
mismo, sin importar el orden en
que se tomen los vectores. Esto es
porque la suma de vectores es
conmutativa. MENÚ

5. Álgebra vectorial – Suma y resta de vectores – Método analítico:
Sean los vectores en R2
𝑷𝟏 = 𝒙𝟏, 𝒚𝟏 , 𝑷𝟐 = 𝒙𝟐, 𝒚𝟐 , 𝑷𝟑 = 𝒙𝟑, 𝒚𝟑 , ⋯ , 𝑷𝒏 = 𝒙𝒏, 𝒚𝒏
La suma algebraica vectorial 𝑷𝟏 ± 𝑷𝟐 ± 𝑷𝟑 ± ⋯ ± 𝑷𝒏 se realiza sumando
componente por componentes, «x» con «x» y «y» con «y» de cada vector,
obteniéndose las componentes del vector suma.
𝑷𝟏 ± 𝑷𝟐 ± 𝑷𝟑 ± ⋯ 𝑷𝒏 = 𝒙𝟏, 𝒚𝟏 ± 𝒙𝟐, 𝒚𝟐 ± 𝒙𝟑, 𝒚𝟑 ± ⋯ ± 𝒙𝒏, 𝒚𝒏
𝑷𝟏 ± 𝑷𝟐 ± 𝑷𝟑 ± ⋯ 𝑷𝒏 = 𝒙𝟏 ± 𝒙𝟐 ± 𝒙𝟑 ⋯ ±𝒙𝒏 ; 𝒚𝟏 ± 𝒚𝟐 ± 𝒚𝟑 ⋯ ± 𝒚𝒏
Componente «x»
del vector suma
Componente «y»
del vector suma

6. De igual manera, en el espacio R3 la suma vectorial 𝑷𝟏 ± 𝑷𝟐 ± 𝑷𝟑 ± ⋯ ± 𝑷𝒏 se
realiza sumando las componentes x, y y z.
𝑷𝟏 = 𝒙𝟏, 𝒚𝟏, 𝒛𝟏 , 𝑷𝟐 = 𝒙𝟐, 𝒚𝟐, 𝒛𝟐 , 𝑷𝟑 = 𝒙𝟑, 𝒚𝟑, 𝒛𝟑 , ⋯ , 𝑷𝒏 = 𝒙𝒏, 𝒚𝒏, 𝒛𝒏
𝑷𝟏 ± 𝑷𝟐 ± 𝑷𝟑 ± ⋯ 𝑷𝒏 = 𝒙𝟏, 𝒚𝟏, 𝒛𝟏 ± 𝒙𝟐, 𝒚𝟐, 𝒛𝟐 ± 𝒙𝟑, 𝒚𝟑, 𝒛𝟑 ± ⋯ ± 𝒙𝒏, 𝒚𝒏, 𝒛𝒏
𝑷𝟏 ± 𝑷𝟐 ± 𝑷𝟑 ± ⋯ 𝑷𝒏 = 𝒙𝟏 ± 𝒙𝟐 ± 𝒙𝟑 ⋯ ±𝒙𝒏 ; 𝒚𝟏 ± 𝒚𝟐 ± 𝒚𝟑 ⋯ ± 𝒚𝒏 ; 𝒛𝟏 ± 𝒛𝟐 ± 𝒛𝟑 ⋯ ± 𝒛𝒏
Álgebra vectorial – Suma y resta de vectores – Método analítico:
Componente «x»
del vector suma
Componente «y»
del vector suma
Componente «z»
del vector suma
A continuación se muestra un ejemplo práctico…

7. Álgebra vectorial – Suma y resta de vectores – Método analítico:
Ej Dados los vectores 𝐀 = 𝟏, 𝟐, 𝟑 , 𝐁 = −𝟑, 𝟐, 𝟏 𝐲 𝐂 = (𝟐, −𝟐, 𝟏)
calcular 𝐀 − 𝐁 + 𝐂
Sustituyendo los valores en la operación:
𝐀 − 𝐁 + 𝐂 = 𝟏, 𝟐, 𝟑 − −𝟑, 𝟐, 𝟏 + (𝟐, −𝟐, 𝟏)
𝐀 − 𝐁 + 𝐂 = (𝟏 − −𝟑 + 𝟐; 𝟐 − 𝟐 + −𝟐 ; 𝟑 − 𝟏 + 𝟏)
𝐀 − 𝐁 + 𝐂 = (𝟏 + 𝟑 + 𝟐 ; 𝟐 − 𝟐 − 𝟐 ; 𝟑 − 𝟏 + 𝟏)
𝐀 − 𝐁 + 𝐂 = (𝟔 ; −𝟐; 𝟑)
Sumando componente a componente:
Hay que estar pendientes de los signos de cada componente ya que afectan el
resultado final
Finalmente se obtienen las tres componentes del vector suma:
MENÚ

8. Álgebra vectorial – Producto de un vector por un escalar:
Sea un vector 𝐀, en R2 o R3, y un escalar «k» ∈ ℝ (números reales)
El producto k·𝐀 da como resultado un vector y se calcula multiplicando el
escalar por cada una de las componentes del vector…
En R3 : k ·𝐀 = 𝒌 𝒙𝑨, 𝒚𝑨, 𝒛𝑨 = (k𝒙𝑨, k𝒚𝑨, k𝒛𝑨)
En R2 : k ·𝐀 = 𝒌 𝒙𝑨, 𝒚𝑨 = (k𝒙𝑨, k𝒚𝑨)
Ej Sea el vector 𝐀 = 𝟏, 𝟐, 𝟑 y el escalar k=4, Calcular el producto k·𝐀
Entonces: 𝒌 · 𝐀 = 𝟒 · 𝟏, 𝟐, 𝟑
Multiplicando por cada componente: 𝒌 · 𝐀 = (𝟒 · 𝟏, 𝟒 · 𝟐 , 𝟒 · 𝟑)
Obteiéndose: 𝒌 · 𝐀 = 𝟒, 𝟖, 𝟏𝟐

9. Álgebra vectorial – Producto de un vector por un escalar:
Efecto del producto escalar:
Al multiplicar un vector por un escalar se obtiene otro vector, éste vector tendrá
la misma dirección del vector original pero su módulo y dirección cambian
dependiendo del valor del escalar.
Gráficamente sería algo así:
Se tiene un vector 𝐀 de 2 u de módulo
𝐀
Si k es positivo y mayor que 1, el vector
resultante tendrá la misma dirección y
sentido pero su módulo aumenta tantas
veces como indique el escalar
𝟐 · 𝐀
𝟏
𝟐
· 𝐀
1,5· 𝐀
Si k es positivo y menor que 1, el vector
resultante tendrá la misma dirección y
sentido pero su módulo disminuye
tantas veces como indique el escalar
Si k es negativo, el vector resultante
tendrá la misma dirección pero sentido
opuesto al vector original
- 𝐀
- 𝟐 · 𝐀
-1,5· 𝐀
-
𝟏
𝟐
· 𝐀

10. Álgebra vectorial – Producto escalar de dos vectores:
Sean dos vectores 𝐀 𝒚 𝐁 , en R2 o R3, El producto escalar 𝐀 ∙ 𝐁 da como
resultado UN ESCALAR y se calcula multiplicando cada componente de un vector
con su correspondiente del otro vector y sumando esos productos, esto es:
𝑨 = 𝒙𝑨, 𝒚𝑨 , 𝑩 = 𝒙𝑩, 𝒚𝑩
𝐀 ∙ 𝐁 = 𝒙𝑨, 𝒚𝑨 · 𝒙𝑩, 𝒚𝑩
𝐀 ∙ 𝐁 = 𝒙𝑨 · 𝒙𝑩 + 𝒚𝑨· 𝒚𝑩
En R2:

11. En R3:
Álgebra vectorial – Producto escalar de dos vectores
𝑨 = 𝒙𝑨, 𝒚𝑨, 𝒛𝑨 , 𝑩 = 𝒙𝑩, 𝒚𝑩, 𝒛𝑩
𝑨 · 𝑩 = 𝒙𝑨 · 𝒙𝑩 + 𝒚𝑨 · 𝒚𝑩 + 𝒛𝑨 · 𝒛𝑩
𝑨 · 𝑩 = 𝒙𝑨, 𝒚𝑨, 𝒛𝑨 · 𝒙𝑩, 𝒚𝑩, 𝒛𝑩
A continuación un ejemplo…

12. Ej Dados los vectores 𝐀 = 𝟏, 𝟐, 𝟑 𝒚 𝐁 = −𝟑, 𝟐, 𝟏 , calcular su
producto escalar
Álgebra vectorial – Producto escalar de dos vectores
𝑨 · 𝑩 = 𝟏, 𝟐, 𝟑 · −𝟑, 𝟐, 𝟏
𝑨 · 𝑩 =1·(-3) + 2·2 + 3·1
𝑨 · 𝑩 =-3 +4 + 3
𝑨 · 𝑩 = 4
Observe que el resultado es UN ESCALAR

13. Álgebra vectorial – Producto escalar de dos vectores
Propiedades del Producto escalar:
1. Es conmutativo: 𝐀 ∙ 𝐁 = 𝐁 ∙ 𝑨
2. Es distributivo respecto a la suma vectorial: 𝐀 ∙ ( 𝐁 + 𝐂 ) = 𝐀 ∙ 𝐁 + 𝐀 · 𝐂
Sean tres vectores 𝐀, 𝐁 y 𝐂 , en R2 o R3y un escalar «k» ϵ ℝ, se verifican las propiedades
siguientes
3. Es asociativo respecto al producto por un escalar: k ( 𝐁 · 𝐂 ) = (k𝐁) · 𝐂 = 𝐁·(k𝐂 )
4. Tiene elemento nulo: 𝟎 · 𝐀 = 𝟎
5. 𝐀 ∙ 𝑨 = 𝑨
𝟐

14. Álgebra vectorial – Producto escalar de dos vectores
Aplicaciones del producto escalar:
Ángulo entre dos vectores:
Sean dos vectores 𝐀 𝒚 𝐁 , en R2 o R3 que forman entre si el ángulo θ
𝐀
𝑩
𝛉
El producto escalar también se puede definir como:
𝐀 · 𝐁 = 𝑨 · 𝑩 cos θ
Despejando el ángulo θ:
cos θ =
𝐀 · 𝐁
𝑨 · 𝑩
𝛉 = cos−𝟏
𝐀 · 𝐁
𝑨 · 𝑩
De esta manera, conociendo el producto escalar de dos vectores y sus módulos, es
posible determinar el ángulo que forman los vectores dados.

15. Ej Dados los vectores 𝐀 = 𝟏, 𝟐, 𝟑 𝒚 𝐁 = −𝟑, 𝟐, 𝟏 , calcular el
ángulo que forman
Álgebra vectorial – Producto escalar de dos vectores
El producto escalar se calculó en el ejemplo anterior:
𝑨 · 𝑩 = 4
Se calcula el módulo de cada vector:
𝐴 = 12 + 22 + 32 = 1 + 4 + 9 = 14
𝐵 = (−3)2 + 22 + 12 = 9 + 4 + 1 = 14
Sustituyendo los valores en la fórmula para el ángulo:
𝛉 = cos−𝟏
𝐀 · 𝐁
𝑨 · 𝑩
= cos−𝟏
𝟒
𝟏𝟒 · 𝟏𝟒
= cos−𝟏
𝟒
𝟏𝟒
= 𝟕𝟑, 𝟐𝟗°
MENÚ

16. Álgebra vectorial – Producto escalar de dos vectores
Aplicaciones del producto escalar:
Condición de ortogonalidad (perpendicularidad) entre dos vectores:
Sean dos vectores 𝐀 𝒚 𝐁 , en R2 o R3
𝐀
𝑩
Se dice que los vectores 𝐀 𝒚 𝐁 son ortogonales
(perpendiculares entre si), si y solo si su producto escalar es
igual a cero
𝑨 ⊥ 𝑩 ⇔ 𝑨 · 𝑩 = 𝟎

17. Álgebra vectorial – Producto escalar de dos vectores
Producto Vectorial de dos vectores:
Sean dos vectores 𝐀 𝒚 𝐁 , en R2 o R3
El producto vectorial 𝐀 × 𝐁 da como resultado UN VECTOR y se calcula como
el determinante de la matriz cuyas filas son la base ortogonal del espacio R3 y
las componentes de los vectores 𝐀 𝒚 𝐁
𝐀 × 𝐁 =
𝐢 𝐣 𝐤
𝒙𝑨 𝒚𝑨 𝒛𝑨
𝒙𝑩 𝒚𝑩 𝒛𝑩
Calculando el determinante por cofactores, resulta:
𝐀 × 𝐁 = 𝐲𝐀𝒛𝑩 − 𝐲𝑩𝒛𝑨 𝐢 − 𝐱𝐀𝐳𝐁 − 𝐱𝑩𝒛𝑨 𝐣 + 𝐱𝐀𝐲𝐁 − 𝐱𝑿𝒚𝑨 𝐤
A continuación un ejemplo:

18. Álgebra vectorial – Producto escalar de dos vectores
Producto Vectorial de dos vectores:
Ej Dados los vectores 𝐀 = 𝟏, 𝟐, 𝟑 𝒚 𝐁 = −𝟑, 𝟐, 𝟏 , calcular su
producto vectorial
𝐀 × 𝐁 =
𝐢 𝐣 𝐤
𝒙𝑨 𝒚𝑨 𝒛𝑨
𝒙𝑩 𝒚𝑩 𝒛𝑩
Se arma el determinante con la base canónica y los vectores dados
=
𝐢 𝐣 𝐤
𝟏 𝟐 𝟑
−𝟑 𝟐 𝟏
𝐀 × 𝐁 = 𝟐 · 𝟏 − 𝟐 · 𝟑 𝐢 − (𝟏 · 𝟏 − −𝟑 · 𝟐)𝐣 + 𝟏 · 𝟐 − −𝟑 · 𝟐 k
𝐀 × 𝐁 = 𝟐 − 𝟔 𝐢 − (𝟏 + 𝟔)𝐣 + 𝟐 + 𝟔 k
𝐀 × 𝐁 = −𝟒𝐢 − 𝟕𝐣 + 8k = (−𝟒, −𝟕, 8)
Resolviendo el determinante por el método de cofactores (o cualquier otro
método, da igual)

19. Álgebra vectorial – Producto escalar de dos vectores
Producto Vectorial de dos vectores:
Propiedades algebraicas del Producto Vectorial:
Sean tres vectores 𝐀, 𝐁 y 𝐂 , en R2 o R3y un escalar «k» ϵ ℝ, se verifican las propiedades
siguientes
1. No es conmutativo, pero se cumple que: 𝐀 × 𝐁 = -(𝐁 × 𝑨 )
2. Es distributivo respecto a la suma vectorial: 𝐀 × ( 𝐁 + 𝐂 ) = 𝐀 × 𝐁 + 𝐀 × 𝐂
3. Es asociativo respecto al producto por un escalar: k ( 𝐁 × 𝐂 ) = (k𝐁) × 𝐂 = 𝐁 ×(k𝐂 )
4. Tiene elemento nulo: 𝟎 × 𝐀 = 𝟎
5. 𝐀 × 𝐀 = 𝟎
6. Es conmutativo respecto al producto escalar: 𝐀 ·( 𝐁 × 𝐂 ) = (𝐀 × 𝐁) · 𝐂

20. Álgebra vectorial – Producto escalar de dos vectores
Producto Vectorial de dos vectores:
Propiedades geométricas del Producto Vectorial:
Sean dos vectores 𝐀 𝐲 𝐁 dos vectores no nulos, en R2 o R3 y θ el ángulo entre
éstos vectores
Entonces se verifican las propiedades siguientes:
𝐀
𝑩
𝛉
1. El vector 𝐀 × 𝐁 es ortogonal (perpendicular) a 𝐀 𝐲 𝐁
2. 𝐀 × 𝐁 = 𝐀 · 𝐁 𝐬𝐢𝐧 𝛉
3. 𝐀 × 𝐁 = 𝟎 si y solo si 𝐀 𝐲 𝐁 son múltiplos escalares el uno del
otro. Esto es: 𝐀 = 𝐤𝐁; donde «k» es un escalar ϵ ℝ
4. 𝐀 × 𝐁 = área del paralelogramo que generan los vectores
𝐀 𝐲 𝐁
𝐀
𝑩
Área del
paralelogramo
𝐀 × 𝐁
MENÚ

21. Presentación realizada por
Ing. José Luis Morillo
Docente de la cátedra de Geometría Analítica
Estudios Básicos y Generales
Universidad José Antonio Páez
San Diego. Carabobo
República de Venezuela
Este trabajo ha sido realizado únicamente con fines didácticos, sin ánimo de lucro.
El uso y distribución de la misma es libre, siempre que se use con el mismo fin que
motivó su creación
Comentarios y/o sugerencias son bienvenidos en
academico.general@gmail.com