L146 - Matematika - Lopta - Dušan Cvetanović - Tamara Franeta

1. Lopta
Učenik: Dušan Cvetanović
Škola: Aleksinačka gimnazija
Predmet: Matematika
Profesor: Tamara Franeta

2. Pocetak
KVADRATURA KRUGA
• Jedan od tri nerešiva problema Antike je kvadratura kruga:
KONSTRUISATI KVADRAT ISTE POVRŠINE KAO KRUG!
• Hiljadama godina problem zaokuplja pažnju matematičara.
Tek u XX veku dokazana je nerešivost problema geometrijskim sredstvima.
• Danas je izraz kvadratura kruga metafora za besmisleno!
• Ova oblast matematike nazvana je pseudomatematika,
a lekarska dijagnoza za obuzete problemom glasi morbus ciclometricus!
• Analogon krugu i kvadratu u prostoru su kocka i lopta.
Njihova kombinacija česta je u arhitekturi: KOCKA I KUPOLA.
• “KRUG I KVADRAT, TO SU ELEMENTARNA SLOVA ARHITEKTURE!”
Ledu, arhitekt

3. LUDOLFOV BROJ π Pocetak
π je ne samo IRACIONALAN, već i TRANSCEDENTAN broj!
(nije rešenje nijedne algebarske jednačine).
Rindov
papirus Zato je geometrijska konstrukcija broja π nemoguća! (Lindeman, 1882)
TRANSCEDENTNOST BROJA π JE ODGOVORNO ZA
NEREŠIVOST KVADRATURE KRUGA!
• Vavilon i Biblija nalaze π = 3
• U Egiptu 2000 g.p.n.e. Ahmes (Rindov papirus) daje: π = (16/9)² = 3,16
• Arhimed 280 (god. p.n.e.) određuje granice broja π metodom dvostranog
iscrpljivanja tj. upisivanjem i opisivanjem mnogouglova u krug. Došavši do
96-ugla Arhimed daje granice broja π:
223/71 < π < 22/7 tj. π≈3,14
• Ludolf van Kalen (XIIv.) nalazi 35 decimala broja π ( Ludolfov broj π)
U Muzeju otkrića u Parizu, može se očitati sedam stotina sedam decimala broja π
ispisanih po zidovima elipsaste palate!

4. Pocetak
STEREOMETRIJA
Arhimed
 Do Arhimeda (III vek p.n.e.) stare civilizacije površinu kruga određuju
samo približno.
 Arhimed (287-212 god. p.n.e.) iz Sirakuze najveći је univerzalni um starog
veka, jedan od tri mudraca Antike po Plutarhu. Studirao je u Aleksandriji,
tadašnjem kulturnom centru sveta.
 Formule vezane za krug, loptu (l), valjak (v), kupu (k) odredio je Arhimed:
Vl=2/3Vv Vk=1/3Vv Vl=(Vv+Vk)/2
 Na Arhimedovom skromnom grobu u Sirakuzi nalaze se valjak i upisana
lopta po njegovoj želji.
 “Metod” je jedino sačuvano Arhimedovo delo, koje je inspirisalo najveće
matematičke umove tokom stoleća.

5. Pocetak
L o p t a i d e lo v i lo p t e
L o p t a ( s f e r a ) je g e o m e t r ijs k o t e lo k o je je
p o t p u n o o b lo i c iji je p o p r e c n i p r e s e k
k r u žn o g o b l i k a . S v e t a c k e n a p o v r ši n i
lo p t e n a la z e s e n a je d n a k o j u d a lje n o s t i
o d c e n t r a lo p t e i t a u d a lje n o s t s e n a z iv a
p o lu p r e c n ik lo p t e i o z n a c a v a s e s lo v o m r .
G r c k i m a t e m a t ic a r A r h im e d e s u s t a n o v io
je d a je n e p r o m e n ljiv a v e lic in a " p i" ( B )
c i j a j e v r e d n o s t p r i b l i ž n o 3 , 14 p o s e b n o
z n a c a j n a z a iz r a c u n a v a n j e p o v r šin e i
z a p r e m in e lo p t e .

6. Pocetak
L o p t a i p o lie d r i
 Z a p o lie d a r ~ ija s v a t e m e n a p r ip a d a ju
lo p t i k a ` e s e d a je u p is a n u lo p t u , a z a lo p t u
d a je o p is a n a o k o p o lie d r a . P o lie d a r ~ ije
s v e s t r a n e d o d ir u ju lo p t u je o p is a n o k o
lo p t e , a lo p t a je u n je g a u p is a n a .
 A k o s e u p o l i e d a r m o ` e u p is a t i l o p t a , n j e n
c e n t a r s e n a la z i u t a ~ k i p r e s e k a s im e t r a ln ih
r a v n is v ih u g lo v a d ie d r a d a t o g p o lie d r a .
 D a b i s e u p r i z m u m o g l a u p is a t i l o p t a
p o t r e b n o je i d o v o ljn o d a s e u n je n n o r m a ln i
p r e s e k m o ` e u p is a t i k r u g ~ iji je p r e ~ n ik
je d n a k v is in i p r iz m e .
 D a b i s e u p i r a m i d u m o g l a u p is a t i l o p t a
d o v o ljn o je d a n a g ib n i u g lo v i b o ~ n ih s t r a n a
p r e m a o s n o v i p ir a m id e b u d u je d n a k i.

7. Pocetak
L o p t a i o b r t n a t e la
L o p t a j e u p is a n a u p r a v v a l j a k a k o o s n o v e
i s v e iz v o d n ic e v a ljk a d o d ir u ju lo p t u . T o je
m o g u } e a k o je p r e ~ n ik o s n o v e v a ljk a je d n a k
v is in i v a ljk a .
L o p t a j e u p is a n a u p r a v u k u p u a k o o s n o v a
i s v e iz v o d n ic e k u p e d o d ir u ju lo p t u . T o je
u v e k m o g u }e .
L o p t a j e o p is a n a o k o v a l j k a a k o s u o s n o v e
v a ljk a p r e s e c i lo p t e . O k o s v a k o g p r a v o g
v a ljk a m o ` e s e o p is a t i lo p t a .
L o p t a j e o p is a n a o k o k u p e a k o j e o s n o v a
k u p e p r e s e k lo p t e i a k o v r h k u p e p r ip a d a
o d g o v a r a ju } o j s f e r i. O k o s v a k e k u p e m o ` e
s e o p is a t i lo p t a .

8. Pocetak
PRIMENA LOPTE
U ARHITEKTURI
“Na šta se sve arhitektura oslanja:
na matematiku, sa njenim brojevima
i njihovim zakonima (proporcije,
razmere, tela, prodori), na prirodu i
njene principe i oblike, na svet
tehnika i mašina, na druge
umetnosti, na činjenice kulture
(mitovi, religije, jezik), sve do onog
čuvenog Korbizjeovog paradoksa da
je čovek geometrijska životinja!”
Kružne
Куполе
osnove Svodovi Luk Sfera
Njutnov nadgrobni spomenik

9. Rene Dekart
Isak Njutn
Ptolomej
Saturn
Pjer Ferma
Lajbnic