行列の計算

1. 次の行列A に対して以下の問に答えよ.
1 1 1 0
4 2 6 −2
−3 −2 −4 1
−3 −2 −4 1
(1)𝐴, 𝐴2
, 𝐴3
の階数をそれぞれ求めよ.
(2)a.b∈𝑅4を次の条件(i),(")を満たすベクトルとす
る.
(i)Ab=0.
(ii) 𝐴, 𝐴2
αとb は一次独立である.
このとき,4 つのベクトルα, A a , 𝐴2a , b は一次独立で
あることを示せ.

2. 次の行列A に対して以下の問に答えよ.
1 1 1 0
4 2 6 −2
−3 −2 −4 1
−3 −2 −4 1
(1)𝐴, 𝐴2
, 𝐴3
の階数をそれぞれ求めよ.
𝐴2 =
2 1 3 −1
0 0 0 0
−2 −1 −3 1
−2 −1 −3 1
基本変形により
A=
1 1 1 0
4 2 6 −2
−3 −2 −4 1
−3 −2 −4 1
基本変形により
𝐴3 =
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
1 1 1 0
0 1 −1 1
0 0 0 0
0 0 0 0
2 1 3 −1
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
𝑟𝑎𝑛𝑘𝐴 = 2, 𝑟𝑎𝑛𝑘𝐴2
=1,rank𝐴3
= 0

3. 次の行列A に対して以下の問に答えよ.
1 1 1 0
4 2 6 −2
−3 −2 −4 1
−3 −2 −4 1
(2)a.b∈𝑅4を次の条件(i),(")を満たすベクトルとす
る.
(i)Ab=0.
(ii) 𝐴, 𝐴2 αとb は一次独立である.
このとき,4 つのベクトルα A a , 𝐴2
a , b は一次独立で
あることを示せ.
証明
α, β, γ,δ∈ R に対してαΑa+βAa+γ𝐴2a+δb=0
両辺にAを掛けると(i)と(1)の結果からαΑa+β𝐴2a＝０
両辺にAを掛けるとα𝐴2
a＝０ α＝0
よってβ𝐴2
a＝０ β=0
よってγ𝐴2
a+δb=0
(ii)により𝐴2
αとb は一次独立だからγ＝δ＝０
以上により一次独立である。